यूलर की पहचान: Difference between revisions

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गणित में, यूलर की पहचान{{#tag:ref |The term "Euler's identity" (or "Euler identity") is also used elsewhere to refer to other concepts, including the related general formula {{math|''e''<sup>''ix''</sup> {{=}} cos ''x'' + ''i'' sin ''x''}},<ref>Dunham, 1999, [https://books.google.com/books?id=uKOVNvGOkhQC&pg=PR24 p. xxiv].</ref> and the [[Riemann zeta function#Euler's product formula|Euler product formula]].<ref name=EOM>{{Eom| title = Euler identity | author-last1 = Stepanov| author-first1 = S.A. | oldid = 33574}}</ref>  See also [[List of things named after Leonhard Euler]]. |group=note}} (यूलर के समीकरण के रूप में भी जाना जाता है) [[समानता (गणित)]] है
गणित में, यूलर की पहचान{{#tag:ref |The term "Euler's identity" (or "Euler identity") is also used elsewhere to refer to other concepts, including the related general formula {{math|''e''<sup>''ix''</sup> {{=}} cos ''x'' + ''i'' sin ''x''}},<ref>Dunham, 1999, [https://books.google.com/books?id=uKOVNvGOkhQC&pg=PR24 p. xxiv].</ref> and the [[Riemann zeta function#Euler's product formula|Euler product formula]].<ref name=EOM>{{Eom| title = Euler identity | author-last1 = Stepanov| author-first1 = S.A. | oldid = 33574}}</ref>  See also [[List of things named after Leonhard Euler]]. |group=note}} (यूलर के समीकरण के रूप में भी जाना जाता है) [[समानता (गणित)]] है
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* [[1]], गुणक तत्समक।
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*संख्या {{mvar|&pi;}} ({{mvar|&pi;}} = 3.1415...) मूल वृत्त स्थिरांक।
*संख्या {{mvar|&pi;}} ({{mvar|&pi;}} = 3.1415...) मूल वृत्त स्थिरांक।
*संख्या {{math|''e''}} ({{math|''e''}} = 2.718...) जिसे यूलर संख्या के रूप में भी जाना जाता है, जो [[गणितीय विश्लेषण]] में व्यापक रूप से पाई जाती है।
*संख्या {{math|''e''}} ({{math|''e''}} = 2.718...) जिसे यूलर संख्या के रूप में भी जाना जाता है, जो [[गणितीय विश्लेषण]] में व्यापक रूप से पाई जाती है।
*संख्या {{math|''i''}} सम्मिश्र संख्याओं की काल्पनिक इकाई है।
*संख्या {{math|''i''}} सम्मिश्र संख्याओं की काल्पनिक इकाई है।


इसके अतिरिक्त समीकरण शून्य के समान अभिव्यक्ति सेट के रूप में दिया जाता है, जो गणित के कई क्षेत्रों में सामान्य अभ्यास है।
इसके अतिरिक्त समीकरण शून्य के समान अभिव्यक्ति सेट के रूप में दिया जाता है, जो गणित के कई क्षेत्रों में सामान्य अभ्यास है।


[[ स्टैनफोर्ड विश्वविद्यालय ]] के गणित के प्रोफेसर [[कीथ डिवालिन]] ने कहा है शेक्सपियर के [[गाथा]] की तरह जो प्यार के सार को पकड़ता है या एक पेंटिंग जो मानव रूप की सुंदरता को सामने लाती है जो सिर्फ त्वचा की गहराई से कहीं अधिक है यूलर का समीकरण बहुत गहराई तक पहुंचता है अस्तित्व का<ref>Nahin, 2006, [https://books.google.com/books?id=GvSg5HQ7WPcC&pg=PA1 p. 1].</ref> और पॉल नाहिन [[न्यू हैम्पशायर विश्वविद्यालय]] में एक प्रोफेसर एमेरिटस जिन्होंने यूलर के सूत्र और [[फूरियर विश्लेषण]] में इसके अनुप्रयोगों को समर्पित एक पुस्तक लिखी है यूलर की पहचान को उत्कृष्ट सौंदर्य के रूप में वर्णित करता है।<ref>Nahin, 2006, p. xxxii.</ref>
[[ स्टैनफोर्ड विश्वविद्यालय | स्टैनफोर्ड विश्वविद्यालय]] के गणित के प्रोफेसर [[कीथ डिवालिन]] ने कहा है शेक्सपियर के [[गाथा]] की तरह जो प्यार के सार को पकड़ता है या एक पेंटिंग जो मानव रूप की सुंदरता को सामने लाती है जो सिर्फ त्वचा की गहराई से कहीं अधिक है यूलर का समीकरण बहुत गहराई तक पहुंचता है अस्तित्व का<ref>Nahin, 2006, [https://books.google.com/books?id=GvSg5HQ7WPcC&pg=PA1 p. 1].</ref> और पॉल नाहिन [[न्यू हैम्पशायर विश्वविद्यालय]] में एक प्रोफेसर एमेरिटस जिन्होंने यूलर के सूत्र और [[फूरियर विश्लेषण]] में इसके अनुप्रयोगों को समर्पित एक पुस्तक लिखी है यूलर की पहचान को उत्कृष्ट सौंदर्य के रूप में वर्णित करता है।<ref>Nahin, 2006, p. xxxii.</ref>


गणित लेखक [[कॉन्स्टेंस रीड]] ने कहा है कि यूलर की पहचान सभी गणित में सबसे प्रसिद्ध सूत्र है।<ref>Reid, chapter ''e''.</ref> और 19वीं सदी के एक अमेरिकी [[दार्शनिक]], गणितज्ञ और हार्वर्ड विश्वविद्यालय के प्रोफेसर [[बेंजामिन पीयर्स]] ने एक व्याख्यान के समय यूलर की पहचान को सिद्ध करने के बाद कहा कि पहचान पूर्ण रूप से विरोधाभासी है; हम इसे समझ नहीं सकते हैं और हम नहीं जानते कि इसका क्या अर्थ है किन्तु हमने इसे सिद्ध कर दिया है और इसलिए हम जानते हैं कि यह सच होना चाहिए।<ref>Maor, [https://books.google.com/books?id=eIsyLD_bDKkC&pg=PA160 p. 160], and Kasner & Newman, [https://books.google.com/books?id=Ad8hAx-6m9oC&pg=PA103 p. 103–104].</ref>
गणित लेखक [[कॉन्स्टेंस रीड]] ने कहा है कि यूलर की पहचान सभी गणित में सबसे प्रसिद्ध सूत्र है।<ref>Reid, chapter ''e''.</ref> 19वीं सदी के एक अमेरिकी [[दार्शनिक]], गणितज्ञ और हार्वर्ड विश्वविद्यालय के प्रोफेसर [[बेंजामिन पीयर्स]] ने एक व्याख्यान के समय यूलर की पहचान को सिद्ध करने के बाद कहा कि पहचान पूर्ण रूप से विरोधाभासी है; हम इसे समझ नहीं सकते हैं और हम नहीं जानते कि इसका क्या अर्थ है किन्तु हमने इसे सिद्ध कर दिया है और इसलिए हम जानते हैं कि यह सच होना चाहिए।<ref>Maor, [https://books.google.com/books?id=eIsyLD_bDKkC&pg=PA160 p. 160], and Kasner & Newman, [https://books.google.com/books?id=Ad8hAx-6m9oC&pg=PA103 p. 103–104].</ref>


1990 में [[गणितीय बुद्धिजीवी]] द्वारा आयोजित पाठकों के एक सर्वेक्षण में यूलर की पहचान को गणित में सबसे सुंदर [[प्रमेय]] के रूप में नामित किया गया था।<ref>Wells, 1990.</ref> 2004 में [[ भौतिकी की दुनिया | भौतिकी की दुनिया]] द्वारा आयोजित पाठकों के एक अन्य सर्वेक्षण में यूलर की पहचान मैक्सवेल के समीकरणों ([[विद्युत]] चुंबकत्व के) के साथ अब तक के सबसे बड़े समीकरण के रूप में जुड़ी हुई है।<ref>Crease, 2004.</ref>
1990 में [[गणितीय बुद्धिजीवी]] द्वारा आयोजित पाठकों के एक सर्वेक्षण में यूलर की पहचान को गणित में सबसे सुंदर [[प्रमेय]] के रूप में नामित किया गया था।<ref>Wells, 1990.</ref> 2004 में [[ भौतिकी की दुनिया |भौतिकी की दुनिया]] द्वारा आयोजित पाठकों के एक अन्य सर्वेक्षण में यूलर की पहचान मैक्सवेल के समीकरणों ([[विद्युत]] चुंबकत्व के) के साथ अब तक के सबसे बड़े समीकरण के रूप में जुड़ी हुई है।<ref>Crease, 2004.</ref>


यूलर की पहचान के बारे में [[लोकप्रिय गणित]] में कम से कम तीन पुस्तकें प्रकाशित हुई हैं:
यूलर की पहचान के बारे में [[लोकप्रिय गणित]] में कम से कम तीन पुस्तकें प्रकाशित हुई हैं:
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{{main|यूलर का सूत्र}}
{{main|यूलर का सूत्र}}
{{See also|एक्सपोनेंटिएशन या कॉम्प्लेक्स_एक्सपोनेंट्स_विद_ए_पॉजिटिव_रियल_बेस|l1=एक सकारात्मक वास्तविक आधार के साथ जटिल घातांक}}
{{See also|एक्सपोनेंटिएशन या कॉम्प्लेक्स_एक्सपोनेंट्स_विद_ए_पॉजिटिव_रियल_बेस|l1=एक सकारात्मक वास्तविक आधार के साथ जटिल घातांक}}
[[File:ExpIPi.gif|thumb|right|इस एनीमेशन में {{mvar|N}} 1 से 100 तक विभिन्न वर्धमान मान लेता है। की गणना {{math|(1 + {{sfrac|''iπ''|''N''}})<sup>''N''</sup>}} के संयुक्त प्रभाव के रूप में प्रदर्शित होता है {{mvar|N}} [[जटिल विमान]] में बार-बार गुणा, अंतिम बिंदु का वास्तविक मूल्य होने के साथ {{math|(1 + {{sfrac|''iπ''|''N''}})<sup>''N''</sup>}}. के रूप में देखा जा सकता है {{mvar|N}} बड़ा हो जाता है {{math|(1 + {{sfrac|''iπ''|''N''}})<sup>''N''</sup>}} -1 की सीमा तक पहुंचता है।]]मौलिक रूप से, यूलर की पहचान का प्रमाणित है कि <math>e^{i\pi}</math> -1 के समान है। व्यंजक <math>e^{i\pi}</math>, व्यंजक <math>e^z</math> का एक विशेष मामला है, जहाँ {{math|''z''}} कोई सम्मिश्र संख्या है। सामान्यतः <math>e^z</math> को जटिल {{math|''z''}} के लिए वास्तविक एक्सपोनेंट से जटिल एक्सपोनेंट तक एक्सपोनेंशियल फलन की परिभाषाओं में से एक को विस्तारित करके परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक सामान्य परिभाषा है:
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:<math>e^z = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac z n \right)^n.</math>
:<math>e^z = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac z n \right)^n.</math>
यूलर की पहचान इसलिए बताती है कि <math>(1 + i\pi/n)^n</math> की सीमा, जैसे {{math|''n''}} अनंत तक पहुँचती है, -1 के समान है। यह सीमा एनीमेशन में दाईं ओर सचित्र है।
यूलर की पहचान इसलिए बताती है कि <math>(1 + i\pi/n)^n</math> की सीमा, जैसे {{math|''n''}} अनंत तक पहुँचती है, -1 के समान है। यह सीमा एनीमेशन में दाईं ओर सचित्र है।


[[File:Euler's formula.svg|thumb|right|सामान्य कोण के लिए यूलर का सूत्र]]यूलर की पहचान यूलर के सूत्र का एक [[विशेष मामला|विशेष]] स्थिति है जो बताता है कि किसी भी [[वास्तविक संख्या]] {{math|''x''}} के लिए  
[[File:Euler's formula.svg|thumb|right|सामान्य कोण के लिए यूलर का सूत्र]]यूलर की पहचान यूलर के सूत्र का एक [[विशेष मामला|विशेष]] स्थिति है जो बताता है कि किसी भी [[वास्तविक संख्या]] {{math|''x''}} के लिए  


: <math>e^{ix} = \cos x + i\sin x</math>
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जहां [[त्रिकोणमिति]] साइन और कोसाइन के इनपुट [[ कांति ]] में दिए गए हैं।
जहां [[त्रिकोणमिति]] साइन और कोसाइन के इनपुट [[ कांति |कांति]] में दिए गए हैं।


विशेष रूप से, जब {{math|''x'' {{=}} ''π''}},
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:<math>e^{\frac{1}{\sqrt 3}(i \pm j \pm k)\pi} + 1 = 0. </math>
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सामान्यतः [[वास्तविक संख्या|वास्तविक]] {{math|''a''<sub>1</sub>}}, {{math|''a''<sub>2</sub>}}, और {{math|''a''<sub>3</sub>}} ऐसे दिए गए हैं कि {{math|''a''<sub>1</sub><sup>2</sup> + ''a''<sub>2</sub><sup>2</sup> + ''a''<sub>3</sub><sup>2</sup> {{=}} 1}}, फिर,
सामान्यतः [[वास्तविक संख्या|वास्तविक]] {{math|''a''<sub>1</sub>}}, {{math|''a''<sub>2</sub>}}, और {{math|''a''<sub>3</sub>}} ऐसे दिए गए हैं कि {{math|''a''<sub>1</sub><sup>2</sup> + ''a''<sub>2</sub><sup>2</sup> + ''a''<sub>3</sub><sup>2</sup> {{=}} 1}}, फिर,


:<math>e^{\left(a_1i+a_2j+a_3k\right)\pi} + 1 = 0. </math>
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[[ Octonions |ऑक्टोनियंस]] के लिए वास्तविक {{math|''a''<sub>''n''</sub>}} के साथ {{math|''a''<sub>1</sub><sup>2</sup> + ''a''<sub>2</sub><sup>2</sup> + ... + ''a''<sub>7</sub><sup>2</sup> {{=}} 1}} और ऑक्टोनियन आधार तत्वों {{math|{{mset|''i''<sub>1</sub>, ''i''<sub>2</sub>, ..., ''i''<sub>7</sub>}}}}के साथ,
ऑक्टोनियंस के लिए वास्तविक {{math|''a''<sub>''n''</sub>}} के साथ {{math|''a''<sub>1</sub><sup>2</sup> + ''a''<sub>2</sub><sup>2</sup> + ... + ''a''<sub>7</sub><sup>2</sup> {{=}} 1}} और ऑक्टोनियन आधार तत्वों {{math|{{mset|''i''<sub>1</sub>, ''i''<sub>2</sub>, ..., ''i''<sub>7</sub>}}}}के साथ,


:<math>e^{\left(a_1i_1+a_2i_2+\dots+a_7i_7\right)\pi} + 1 = 0. </math>
:<math>e^{\left(a_1i_1+a_2i_2+\dots+a_7i_7\right)\pi} + 1 = 0. </math>
== इतिहास ==
== इतिहास ==
जबकि यूलर की पहचान यूलर के सूत्र का प्रत्यक्ष परिणाम है, जो 1748 में उनके गणितीय विश्लेषण के स्मारकीय कार्य में प्रकाशित हुआ था, [[Introductio in analysin infinitorum|एनालिसिस इनफिनिटोरम में परिचय]],<ref>Conway & Guy, p. 254–255.</ref> यह संदेहास्पद है कि क्या पांच मूलभूत स्थिरांकों को एक कॉम्पैक्ट रूप में जोड़ने की विशेष अवधारणा का श्रेय स्वयं यूलर को दिया जा सकता है क्योंकि हो सकता है कि उन्होंने इसे व्यक्त नहीं किया होगा।<ref name=Sandifer2007>Sandifer, p. 4.</ref>
जबकि यूलर की पहचान यूलर के सूत्र का प्रत्यक्ष परिणाम है, जो 1748 में उनके गणितीय विश्लेषण के स्मारकीय कार्य में प्रकाशित हुआ था, एनालिसिस इनफिनिटोरम में परिचय,<ref>Conway & Guy, p. 254–255.</ref> यह संदेहास्पद है कि क्या पांच मूलभूत स्थिरांकों को एक कॉम्पैक्ट रूप में जोड़ने की विशेष अवधारणा का श्रेय स्वयं यूलर को दिया जा सकता है क्योंकि हो सकता है कि उन्होंने इसे व्यक्त नहीं किया होगा।<ref name=Sandifer2007>Sandifer, p. 4.</ref>


रॉबिन विल्सन (गणितज्ञ) निम्नलिखित कहते हैं।<ref>Wilson, p. 151-152.</ref>
रॉबिन विल्सन (गणितज्ञ) निम्नलिखित कहते हैं।<ref>Wilson, p. 151-152.</ref>
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* एली मौर|माओर, एली (1998),{{mvar|e}}: द स्टोरी ऑफ़ ए नंबर, [[प्रिंसटन यूनिवर्सिटी प्रेस]] {{ISBN|0-691-05854-7}}
* एली मौर|माओर, एली (1998),{{mvar|e}}: द स्टोरी ऑफ़ ए नंबर, [[प्रिंसटन यूनिवर्सिटी प्रेस]] {{ISBN|0-691-05854-7}}
* नाहिन, पॉल जे. (2006), डॉ. यूलर का शानदार सूत्र: कई गणितीय बीमारियों का इलाज, प्रिंसटन यूनिवर्सिटी प्रेस {{ISBN|978-0-691-11822-2}}
* नाहिन, पॉल जे. (2006), डॉ. यूलर का शानदार सूत्र: कई गणितीय बीमारियों का इलाज, प्रिंसटन यूनिवर्सिटी प्रेस {{ISBN|978-0-691-11822-2}}
* जॉन एलेन पॉलोस | पॉलोस, जॉन एलन (1992), बियॉन्ड न्यूमरेसी: एन अनकॉमन डिक्शनरी ऑफ मैथेमेटिक्स, [[ पेंगुइन पुस्तकें ]] {{ISBN|0-14-014574-5}}
* जॉन एलेन पॉलोस | पॉलोस, जॉन एलन (1992), बियॉन्ड न्यूमरेसी: एन अनकॉमन डिक्शनरी ऑफ मैथेमेटिक्स, [[ पेंगुइन पुस्तकें |पेंगुइन पुस्तकें]] {{ISBN|0-14-014574-5}}
* रीड, कॉन्स्टेंस (विभिन्न संस्करण)[[शून्य से अनंत तक]], मैथमेटिकल एसोसिएशन ऑफ अमेरिका
* रीड, कॉन्स्टेंस (विभिन्न संस्करण)[[शून्य से अनंत तक]], मैथमेटिकल एसोसिएशन ऑफ अमेरिका
* सैंडिफ़र, सी. एडवर्ड (2007), [https://books.google.com/books?id=sohHs7ExOsYC&pg=PA4 यूलर ग्रेटेस्ट हिट्स], मैथमैटिकल एसोसिएशन ऑफ़ अमेरिका {{ISBN|978-0-88385-563-8}}
* सैंडिफ़र, सी. एडवर्ड (2007), [https://books.google.com/books?id=sohHs7ExOsYC&pg=PA4 यूलर ग्रेटेस्ट हिट्स], मैथमैटिकल एसोसिएशन ऑफ़ अमेरिका {{ISBN|978-0-88385-563-8}}
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==बाहरी संबंध==
==बाहरी संबंध==
{{Wikiquote|Euler's identity}}
* [http://betterexplained.com/articles/intuitive-understanding-of-eulers-formula/ Intuitive understanding of Euler's formula]
* [http://betterexplained.com/articles/intuitive-understanding-of-eulers-formula/ Intuitive understanding of Euler's formula]
 
{{DEFAULTSORT:Euler's identity}}    
{{Leonhard Euler}}
{{DEFAULTSORT:Euler's identity}}[[Category: घातांक]] [[Category: गणितीय पहचान]] [[Category: ई (गणितीय स्थिरांक)]] [[Category: जटिल विश्लेषण में प्रमेय]] [[Category: लियोनहार्ड यूलर]]


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गणित में, यूलर की पहचान[note 1] (यूलर के समीकरण के रूप में भी जाना जाता है) समानता (गणित) है

जहाँ

e यूलर की संख्या प्राकृतिक लघुगणक का आधार है
i एक काल्पनिक इकाई है, जो परिभाषा के अनुसार i2 = −1 और को संतुष्ट करती है
π एक वृत्त की परिधि और उसके व्यास का अनुपात पाई है।

यूलर की पहचान स्विस गणितज्ञ लियोनहार्ड यूलर के नाम पर है। यह यूलर के सूत्र का एक विशेष स्थिति है जब x = π के लिए मूल्यांकन किया जाता है। यूलर की पहचान को गणितीय सुंदरता का एक उदाहरण माना जाता है क्योंकि यह गणित में सबसे मौलिक संख्याओं के बीच गहरा संबंध दर्शाता है। इसके अतिरिक्त यह सीधे तौर पर एक प्रमाण में उपयोग किया जाता है कि π पारलौकिक है[3][4] जिसका अर्थ है कि वृत्त को चौकोर करना असंभव है।

गणितीय सौंदर्य

यूलर की पहचान को अधिकांशतः गहरे गणितीय सौंदर्य के उदाहरण के रूप में उद्धृत किया जाता है। तीन मूल अंकगणितीय ऑपरेशन ठीक एक बार होते हैं: जोड़ गुणा और घातांक पहचान पांच मूलभूत गणितीय स्थिरांकों को भी जोड़ती है:[5]

  • 0, योगात्मक पहचान।
  • 1, गुणक तत्समक।
  • संख्या π (π = 3.1415...) मूल वृत्त स्थिरांक।
  • संख्या e (e = 2.718...) जिसे यूलर संख्या के रूप में भी जाना जाता है, जो गणितीय विश्लेषण में व्यापक रूप से पाई जाती है।
  • संख्या i सम्मिश्र संख्याओं की काल्पनिक इकाई है।

इसके अतिरिक्त समीकरण शून्य के समान अभिव्यक्ति सेट के रूप में दिया जाता है, जो गणित के कई क्षेत्रों में सामान्य अभ्यास है।

स्टैनफोर्ड विश्वविद्यालय के गणित के प्रोफेसर कीथ डिवालिन ने कहा है शेक्सपियर के गाथा की तरह जो प्यार के सार को पकड़ता है या एक पेंटिंग जो मानव रूप की सुंदरता को सामने लाती है जो सिर्फ त्वचा की गहराई से कहीं अधिक है यूलर का समीकरण बहुत गहराई तक पहुंचता है अस्तित्व का[6] और पॉल नाहिन न्यू हैम्पशायर विश्वविद्यालय में एक प्रोफेसर एमेरिटस जिन्होंने यूलर के सूत्र और फूरियर विश्लेषण में इसके अनुप्रयोगों को समर्पित एक पुस्तक लिखी है यूलर की पहचान को उत्कृष्ट सौंदर्य के रूप में वर्णित करता है।[7]

गणित लेखक कॉन्स्टेंस रीड ने कहा है कि यूलर की पहचान सभी गणित में सबसे प्रसिद्ध सूत्र है।[8] 19वीं सदी के एक अमेरिकी दार्शनिक, गणितज्ञ और हार्वर्ड विश्वविद्यालय के प्रोफेसर बेंजामिन पीयर्स ने एक व्याख्यान के समय यूलर की पहचान को सिद्ध करने के बाद कहा कि पहचान पूर्ण रूप से विरोधाभासी है; हम इसे समझ नहीं सकते हैं और हम नहीं जानते कि इसका क्या अर्थ है किन्तु हमने इसे सिद्ध कर दिया है और इसलिए हम जानते हैं कि यह सच होना चाहिए।[9]

1990 में गणितीय बुद्धिजीवी द्वारा आयोजित पाठकों के एक सर्वेक्षण में यूलर की पहचान को गणित में सबसे सुंदर प्रमेय के रूप में नामित किया गया था।[10] 2004 में भौतिकी की दुनिया द्वारा आयोजित पाठकों के एक अन्य सर्वेक्षण में यूलर की पहचान मैक्सवेल के समीकरणों (विद्युत चुंबकत्व के) के साथ अब तक के सबसे बड़े समीकरण के रूप में जुड़ी हुई है।[11]

यूलर की पहचान के बारे में लोकप्रिय गणित में कम से कम तीन पुस्तकें प्रकाशित हुई हैं:

  • डॉ यूलर का शानदार सूत्र: पॉल नाहिन (2011) द्वारा कई गणितीय बीमारियों का इलाज[12]
  • ए मोस्ट एलिगेंट इक्वेशन: डेविड स्टिप (2017) द्वारा यूलर का सूत्र और गणित की सुंदरता[13]
  • यूलर का अग्रणी समीकरण: रॉबिन विल्सन (गणितज्ञ) (2018) द्वारा गणित में सबसे सुंदर प्रमेय।[14]


स्पष्टीकरण

काल्पनिक घातांक

Main article: यूलर का सूत्र
See also: एक सकारात्मक वास्तविक आधार के साथ जटिल घातांक
इस एनीमेशन में N 1 से 100 तक विभिन्न वर्धमान मान लेता है। की गणना (1 + iπ/N)N के संयुक्त प्रभाव के रूप में प्रदर्शित होता है N जटिल विमान में बार-बार गुणा, अंतिम बिंदु का वास्तविक मूल्य होने के साथ (1 + iπ/N)N. के रूप में देखा जा सकता है N बड़ा हो जाता है (1 + iπ/N)N -1 की सीमा तक पहुंचता है।

मौलिक रूप से, यूलर की पहचान का प्रमाणित है कि -1 के समान है। व्यंजक , व्यंजक का एक विशेष मामला है, जहाँ z कोई सम्मिश्र संख्या है। सामान्यतः को जटिल z के लिए वास्तविक एक्सपोनेंट से जटिल एक्सपोनेंट तक एक्सपोनेंशियल फलन की परिभाषाओं में से एक को विस्तारित करके परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक सामान्य परिभाषा है: