यूलर की पहचान: Difference between revisions

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गणित में, यूलर की पहचान{{#tag:ref |The term "Euler's identity" (or "Euler identity") is also used elsewhere to refer to other concepts, including the related general formula {{math|''e''<sup>''ix''</sup> {{=}} cos ''x'' + ''i'' sin ''x''}},<ref>Dunham, 1999, [https://books.google.com/books?id=uKOVNvGOkhQC&pg=PR24 p. xxiv].</ref> and the [[Riemann zeta function#Euler's product formula|Euler product formula]].<ref name=EOM>{{Eom| title = Euler identity | author-last1 = Stepanov| author-first1 = S.A. | oldid = 33574}}</ref>  See also [[List of things named after Leonhard Euler]]. |group=note}} (यूलर के समीकरण के रूप में भी जाना जाता है) [[समानता (गणित)]] है
गणित में, यूलर की पहचान{{#tag:ref |The term "Euler's identity" (or "Euler identity") is also used elsewhere to refer to other concepts, including the related general formula {{math|''e''<sup>''ix''</sup> {{=}} cos ''x'' + ''i'' sin ''x''}},<ref>Dunham, 1999, [https://books.google.com/books?id=uKOVNvGOkhQC&pg=PR24 p. xxiv].</ref> and the [[Riemann zeta function#Euler's product formula|Euler product formula]].<ref name=EOM>{{Eom| title = Euler identity | author-last1 = Stepanov| author-first1 = S.A. | oldid = 33574}}</ref>  See also [[List of things named after Leonhard Euler]]. |group=note}} (यूलर के समीकरण के रूप में भी जाना जाता है) [[समानता (गणित)]] है
<math display=block>e^{i \pi} + 1 = 0</math>
<math display=block>e^{i \pi} + 1 = 0</math>
कहाँ
जहाँ
:{{mvar|e}} E (गणितीय स्थिरांक) है|यूलर की संख्या, [[प्राकृतिक]] लघुगणक का आधार,
:{{mvar|e}} यूलर की संख्या [[प्राकृतिक]] लघुगणक का आधार है
:{{mvar|i}} एक [[काल्पनिक इकाई]] है, जो परिभाषा के अनुसार संतुष्ट करती है {{math|''i''<sup>2</sup> {{=}} −1}}, और
:{{mvar|i}} एक [[काल्पनिक इकाई]] है, जो परिभाषा के अनुसार {{math|''i''<sup>2</sup> {{=}} −1}} और को संतुष्ट करती है
:{{mvar|&pi;}} पाई है, एक वृत्त की [[परिधि]] का उसके [[व्यास]] से [[अनुपात]]।
:{{mvar|&pi;}} एक वृत्त की [[परिधि]] और उसके [[व्यास]] का [[अनुपात]] पाई है।
यूलर की पहचान स्विस [[गणितज्ञ]] [[लियोनहार्ड यूलर]] के नाम पर है। यह यूलर के सूत्र का एक विशेष मामला है <math>e^{ix} = \cos x + i\sin x</math> जब के लिए मूल्यांकन किया गया {{math|''x'' {{=}} ''π''}}. यूलर की पहचान को गणितीय सुंदरता का एक उदाहरण माना जाता है क्योंकि यह गणित में सबसे मौलिक संख्याओं के बीच गहरा संबंध दर्शाता है। इसके अलावा, यह सीधे लिंडमैन-वीयरस्ट्रास प्रमेय # ई और π के ट्रान्सेंडेंस में प्रयोग किया जाता है<ref>{{citation|title=The Transcendence of π and the Squaring of the Circle|last1=Milla|first1=Lorenz|arxiv=2003.14035|year=2020}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://math.colorado.edu/~rohi1040/expository/eistranscendental.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20210623215444/https://math.colorado.edu/~rohi1040/expository/eistranscendental.pdf |archive-date=2021-06-23 |url-status=live|title=ई पारलौकिक है|last=Hines|first=Robert|website=University of Colorado}}</ref> वह {{pi}} ट्रान्सेंडैंटल संख्या है, जिसका तात्पर्य है कि वृत्त का वर्ग बनाना असंभव है।
यूलर की पहचान स्विस [[गणितज्ञ]] [[लियोनहार्ड यूलर]] के नाम पर है। यह यूलर के सूत्र का एक विशेष स्थिति है <math>e^{ix} = \cos x + i\sin x</math> जब {{math|''x'' {{=}} ''π''}} के लिए मूल्यांकन किया जाता है। यूलर की पहचान को गणितीय सुंदरता का एक उदाहरण माना जाता है क्योंकि यह गणित में सबसे मौलिक संख्याओं के बीच गहरा संबंध दर्शाता है। इसके अतिरिक्त यह सीधे तौर पर एक प्रमाण में उपयोग किया जाता है कि {{pi}} पारलौकिक है<ref>{{citation|title=The Transcendence of π and the Squaring of the Circle|last1=Milla|first1=Lorenz|arxiv=2003.14035|year=2020}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://math.colorado.edu/~rohi1040/expository/eistranscendental.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20210623215444/https://math.colorado.edu/~rohi1040/expository/eistranscendental.pdf |archive-date=2021-06-23 |url-status=live|title=ई पारलौकिक है|last=Hines|first=Robert|website=University of Colorado}}</ref> जिसका अर्थ है कि वृत्त को चौकोर करना असंभव है।


== गणितीय सौंदर्य ==
== गणितीय सौंदर्य ==
यूलर की पहचान को अक्सर गहरे गणितीय सौंदर्य के उदाहरण के रूप में उद्धृत किया जाता है।<ref name=Gallagher2014>{{cite news |last=Gallagher |first=James |title=Mathematics: Why the brain sees maths as beauty |url=https://www.bbc.co.uk/news/science-environment-26151062 |access-date=26 December 2017 |work=[[BBC News Online]] |date=13 February 2014}}</ref> मूल [[अंकगणित]]ीय संक्रियाओं में से तीन प्रत्येक में ठीक एक बार होती हैं: जोड़, [[गुणा]] और [[घातांक]]। पहचान पांच मूलभूत [[गणितीय स्थिरांक]]ों को भी जोड़ती है:<ref>Paulos, 1992, p. 117.</ref>
यूलर की पहचान को अधिकांशतः गहरे गणितीय सौंदर्य के उदाहरण के रूप में उद्धृत किया जाता है। तीन मूल अंकगणितीय ऑपरेशन ठीक एक बार होते हैं: जोड़ [[गुणा]] और [[घातांक]] पहचान पांच मूलभूत [[गणितीय स्थिरांक|गणितीय]] स्थिरांकों को भी जोड़ती है:<ref>Paulos, 1992, p. 117.</ref>
* [[0]], योगात्मक पहचान।
* [[0]], योगात्मक पहचान।
* [[1]], गुणक तत्समक।
* [[1]], गुणक तत्समक।
* पाई | संख्या {{mvar|&pi;}} ({{mvar|&pi;}} = 3.1415...), मूल वृत्त स्थिरांक।
*संख्या {{mvar|&pi;}} ({{mvar|&pi;}} = 3.1415...) मूल वृत्त स्थिरांक।
* ई (गणितीय स्थिरांक)|संख्या {{math|''e''}} ({{math|''e''}} = 2.718...), जिसे यूलर संख्या के रूप में भी जाना जाता है, जो [[गणितीय विश्लेषण]] में व्यापक रूप से पाया जाता है।
*संख्या {{math|''e''}} ({{math|''e''}} = 2.718...) जिसे यूलर संख्या के रूप में भी जाना जाता है, जो [[गणितीय विश्लेषण]] में व्यापक रूप से पाई जाती है।
* काल्पनिक इकाई | संख्या {{math|''i''}}, सम्मिश्र संख्याओं की काल्पनिक इकाई।
*संख्या {{math|''i''}} सम्मिश्र संख्याओं की काल्पनिक इकाई है।


इसके अलावा, समीकरण शून्य के बराबर अभिव्यक्ति सेट के रूप में दिया जाता है, जो गणित के कई क्षेत्रों में सामान्य अभ्यास है।
इसके अतिरिक्त समीकरण शून्य के समान अभिव्यक्ति सेट के रूप में दिया जाता है, जो गणित के कई क्षेत्रों में सामान्य अभ्यास है।
 
[[ स्टैनफोर्ड विश्वविद्यालय | स्टैनफोर्ड विश्वविद्यालय]] के गणित के प्रोफेसर [[कीथ डिवालिन]] ने कहा है शेक्सपियर के [[गाथा]] की तरह जो प्यार के सार को पकड़ता है या एक पेंटिंग जो मानव रूप की सुंदरता को सामने लाती है जो सिर्फ त्वचा की गहराई से कहीं अधिक है यूलर का समीकरण बहुत गहराई तक पहुंचता है अस्तित्व का<ref>Nahin, 2006, [https://books.google.com/books?id=GvSg5HQ7WPcC&pg=PA1 p. 1].</ref> और पॉल नाहिन [[न्यू हैम्पशायर विश्वविद्यालय]] में एक प्रोफेसर एमेरिटस जिन्होंने यूलर के सूत्र और [[फूरियर विश्लेषण]] में इसके अनुप्रयोगों को समर्पित एक पुस्तक लिखी है यूलर की पहचान को उत्कृष्ट सौंदर्य के रूप में वर्णित करता है।<ref>Nahin, 2006, p. xxxii.</ref>
 
गणित लेखक [[कॉन्स्टेंस रीड]] ने कहा है कि यूलर की पहचान सभी गणित में सबसे प्रसिद्ध सूत्र है।<ref>Reid, chapter ''e''.</ref> 19वीं सदी के एक अमेरिकी [[दार्शनिक]], गणितज्ञ और हार्वर्ड विश्वविद्यालय के प्रोफेसर [[बेंजामिन पीयर्स]] ने एक व्याख्यान के समय यूलर की पहचान को सिद्ध करने के बाद कहा कि पहचान पूर्ण रूप से विरोधाभासी है; हम इसे समझ नहीं सकते हैं और हम नहीं जानते कि इसका क्या अर्थ है किन्तु हमने इसे सिद्ध कर दिया है और इसलिए हम जानते हैं कि यह सच होना चाहिए।<ref>Maor, [https://books.google.com/books?id=eIsyLD_bDKkC&pg=PA160 p. 160], and Kasner & Newman, [https://books.google.com/books?id=Ad8hAx-6m9oC&pg=PA103 p. 103–104].</ref>
 
1990 में [[गणितीय बुद्धिजीवी]] द्वारा आयोजित पाठकों के एक सर्वेक्षण में यूलर की पहचान को गणित में सबसे सुंदर [[प्रमेय]] के रूप में नामित किया गया था।<ref>Wells, 1990.</ref> 2004 में [[ भौतिकी की दुनिया |भौतिकी की दुनिया]] द्वारा आयोजित पाठकों के एक अन्य सर्वेक्षण में यूलर की पहचान मैक्सवेल के समीकरणों ([[विद्युत]] चुंबकत्व के) के साथ अब तक के सबसे बड़े समीकरण के रूप में जुड़ी हुई है।<ref>Crease, 2004.</ref>


[[ स्टैनफोर्ड विश्वविद्यालय ]] के गणित के प्रोफेसर [[कीथ डिवालिन]] ने कहा है, शेक्सपियर के [[गाथा]] की तरह जो प्यार के सार को पकड़ता है, या एक पेंटिंग जो मानव रूप की सुंदरता को सामने लाती है, जो सिर्फ त्वचा की गहराई से कहीं अधिक है, यूलर का समीकरण बहुत गहराई तक पहुंचता है अस्तित्व का।<ref>Nahin, 2006, [https://books.google.com/books?id=GvSg5HQ7WPcC&pg=PA1 p. 1].</ref> और पॉल नाहिन, [[न्यू हैम्पशायर विश्वविद्यालय]] में एक प्रोफेसर एमेरिटस, जिन्होंने यूलर के सूत्र और [[फूरियर विश्लेषण]] में इसके अनुप्रयोगों को समर्पित एक पुस्तक लिखी है, यूलर की पहचान को उत्कृष्ट सौंदर्य के रूप में वर्णित करता है।<ref>Nahin, 2006, p. xxxii.</ref>
गणित लेखक [[कॉन्स्टेंस रीड]] ने कहा है कि यूलर की पहचान सभी गणित में सबसे प्रसिद्ध सूत्र है।<ref>Reid, chapter ''e''.</ref> और 19वीं सदी के एक अमेरिकी [[दार्शनिक]], गणितज्ञ और हार्वर्ड विश्वविद्यालय के प्रोफेसर [[बेंजामिन पीयर्स]] ने एक व्याख्यान के दौरान यूलर की पहचान को साबित करने के बाद कहा कि पहचान बिल्कुल विरोधाभासी है; हम इसे समझ नहीं सकते हैं, और हम नहीं जानते कि इसका क्या मतलब है, लेकिन हमने इसे साबित कर दिया है, और इसलिए हम जानते हैं कि यह सच होना चाहिए।<ref>Maor, [https://books.google.com/books?id=eIsyLD_bDKkC&pg=PA160 p. 160], and Kasner & Newman, [https://books.google.com/books?id=Ad8hAx-6m9oC&pg=PA103 p. 103–104].</ref>
1990 में [[गणितीय बुद्धिजीवी]] द्वारा आयोजित पाठकों के एक सर्वेक्षण में यूलर की पहचान को गणित में सबसे सुंदर [[प्रमेय]] के रूप में नामित किया गया था।<ref>Wells, 1990.</ref> 2004 में [[ भौतिकी की दुनिया ]] द्वारा आयोजित पाठकों के एक अन्य सर्वेक्षण में, यूलर की पहचान मैक्सवेल के समीकरणों ([[विद्युत]] चुंबकत्व के) के साथ अब तक के सबसे बड़े समीकरण के रूप में जुड़ी हुई है।<ref>Crease, 2004.</ref>
यूलर की पहचान के बारे में [[लोकप्रिय गणित]] में कम से कम तीन पुस्तकें प्रकाशित हुई हैं:
यूलर की पहचान के बारे में [[लोकप्रिय गणित]] में कम से कम तीन पुस्तकें प्रकाशित हुई हैं:
*डॉ। यूलर का शानदार सूत्र: पॉल नाहिन (2011) द्वारा कई गणितीय बीमारियों का इलाज<ref>{{cite book |last1=Nahin |first1=Paul |title=Dr. Euler's fabulous formula : cures many mathematical ills |date=2011 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0691118222 |language=en}}</ref>
*डॉ यूलर का शानदार सूत्र: पॉल नाहिन (2011) द्वारा कई गणितीय बीमारियों का इलाज<ref>{{cite book |last1=Nahin |first1=Paul |title=Dr. Euler's fabulous formula : cures many mathematical ills |date=2011 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0691118222 |language=en}}</ref>
*ए मोस्ट एलिगेंट इक्वेशन: डेविड स्टिप (2017) द्वारा यूलर का सूत्र और गणित की सुंदरता<ref>{{cite book |last1=Stipp |first1=David |title=A most elegant equation : Euler's formula and the beauty of mathematics |date=2017 |publisher=Basic Books |isbn=978-0465093779 |edition=First |language=en}}</ref>
*ए मोस्ट एलिगेंट इक्वेशन: डेविड स्टिप (2017) द्वारा यूलर का सूत्र और गणित की सुंदरता<ref>{{cite book |last1=Stipp |first1=David |title=A most elegant equation : Euler's formula and the beauty of mathematics |date=2017 |publisher=Basic Books |isbn=978-0465093779 |edition=First |language=en}}</ref>
*यूलर का अग्रणी समीकरण: [[रॉबिन विल्सन (गणितज्ञ)]] (2018) द्वारा गणित में सबसे सुंदर प्रमेय।<ref>{{cite book |last1=Wilson |first1=Robin |title=Euler's pioneering equation : the most beautiful theorem in mathematics |date=2018 |publisher=Oxford University Press |location=Oxford |isbn=978-0198794936 |language=en}}</ref>
*यूलर का अग्रणी समीकरण: [[रॉबिन विल्सन (गणितज्ञ)]] (2018) द्वारा गणित में सबसे सुंदर प्रमेय।<ref>{{cite book |last1=Wilson |first1=Robin |title=Euler's pioneering equation : the most beautiful theorem in mathematics |date=2018 |publisher=Oxford University Press |location=Oxford |isbn=978-0198794936 |language=en}}</ref>
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=== काल्पनिक घातांक ===
=== काल्पनिक घातांक ===
{{main|Euler's formula}}
{{main|यूलर का सूत्र}}
{{See also|Exponentiation#Complex_exponents_with_a_positive_real_base|l1=Complex exponents with a positive real base}}
{{See also|एक्सपोनेंटिएशन या कॉम्प्लेक्स_एक्सपोनेंट्स_विद_ए_पॉजिटिव_रियल_बेस|l1=एक सकारात्मक वास्तविक आधार के साथ जटिल घातांक}}
[[File:ExpIPi.gif|thumb|right|इस एनीमेशन में {{mvar|N}} 1 से 100 तक विभिन्न वर्धमान मान लेता है। की गणना {{math|(1 + {{sfrac|''iπ''|''N''}})<sup>''N''</sup>}} के संयुक्त प्रभाव के रूप में प्रदर्शित होता है {{mvar|N}} [[जटिल विमान]] में बार-बार गुणा, अंतिम बिंदु का वास्तविक मूल्य होने के साथ {{math|(1 + {{sfrac|''iπ''|''N''}})<sup>''N''</sup>}}. के रूप में देखा जा सकता है {{mvar|N}} बड़ा हो जाता है {{math|(1 + {{sfrac|''iπ''|''N''}})<sup>''N''</sup>}} -1 की सीमा तक पहुंचता है।]]मौलिक रूप से, यूलर की पहचान यह दावा करती है <math>e^{i\pi}</math> -1 के बराबर है। इजहार <math>e^{i\pi}</math> अभिव्यक्ति का एक विशेष मामला है <math>e^z</math>, कहाँ {{math|''z''}} कोई सम्मिश्र संख्या है। सामान्य रूप में, <math>e^z</math> जटिल के लिए परिभाषित किया गया है {{math|''z''}} वास्तविक घातांक से जटिल घातांक तक घातीय फलन की विशेषताओं में से एक का विस्तार करके। उदाहरण के लिए, एक सामान्य परिभाषा है:
[[File:ExpIPi.gif|thumb|right|इस एनीमेशन में {{mvar|N}} 1 से 100 तक विभिन्न वर्धमान मान लेता है। की गणना {{math|(1 + {{sfrac|''iπ''|''N''}})<sup>''N''</sup>}} के संयुक्त प्रभाव के रूप में प्रदर्शित होता है {{mvar|N}} [[जटिल विमान]] में बार-बार गुणा, अंतिम बिंदु का वास्तविक मूल्य होने के साथ {{math|(1 + {{sfrac|''iπ''|''N''}})<sup>''N''</sup>}}. के रूप में देखा जा सकता है {{mvar|N}} बड़ा हो जाता है {{math|(1 + {{sfrac|''iπ''|''N''}})<sup>''N''</sup>}} -1 की सीमा तक पहुंचता है।]]मौलिक रूप से, यूलर की पहचान का प्रमाणित है कि <math>e^{i\pi}</math> -1 के समान है। व्यंजक <math>e^{i\pi}</math>, व्यंजक <math>e^z</math> का एक विशेष मामला है, जहाँ {{math|''z''}} कोई सम्मिश्र संख्या है। सामान्यतः <math>e^z</math> को जटिल {{math|''z''}} के लिए वास्तविक एक्सपोनेंट से जटिल एक्सपोनेंट तक एक्सपोनेंशियल फलन की परिभाषाओं में से एक को विस्तारित करके परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक सामान्य परिभाषा है:


:<math>e^z = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac z n \right)^n.</math>
:<math>e^z = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac z n \right)^n.</math>
यूलर की पहचान इसलिए बताती है कि सीमा, जैसा {{math|''n''}} अनंत तक पहुंचता है, का <math>(1 + i\pi/n)^n</math> -1 के बराबर है। यह सीमा एनीमेशन में दाईं ओर सचित्र है।
यूलर की पहचान इसलिए बताती है कि <math>(1 + i\pi/n)^n</math> की सीमा, जैसे {{math|''n''}} अनंत तक पहुँचती है, -1 के समान है। यह सीमा एनीमेशन में दाईं ओर सचित्र है।


[[File:Euler's formula.svg|thumb|right|सामान्य कोण के लिए यूलर का सूत्र]]यूलर की पहचान यूलर के सूत्र का एक [[विशेष मामला]] है, जो बताता है कि किसी भी [[वास्तविक संख्या]] के लिए {{math|''x''}},
[[File:Euler's formula.svg|thumb|right|सामान्य कोण के लिए यूलर का सूत्र]]यूलर की पहचान यूलर के सूत्र का एक [[विशेष मामला|विशेष]] स्थिति है जो बताता है कि किसी भी [[वास्तविक संख्या]] {{math|''x''}} के लिए


: <math>e^{ix} = \cos x + i\sin x</math>
: <math>e^{ix} = \cos x + i\sin x</math>
जहां [[त्रिकोणमिति]] साइन और कोसाइन के इनपुट [[ कांति ]] में दिए गए हैं।
जहां [[त्रिकोणमिति]] साइन और कोसाइन के इनपुट [[ कांति |कांति]] में दिए गए हैं।


विशेष रूप से, कब {{math|''x'' {{=}} ''π''}},
विशेष रूप से, जब {{math|''x'' {{=}} ''π''}},


: <math>e^{i \pi} = \cos \pi + i\sin \pi.</math>
: <math>e^{i \pi} = \cos \pi + i\sin \pi.</math>
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=== ज्यामितीय व्याख्या ===
=== ज्यामितीय व्याख्या ===
कोई जटिल संख्या <math>z = x + iy</math> बिंदु द्वारा दर्शाया जा सकता है <math>(x, y)</math> जटिल तल पर। इस बिंदु को Complex_number#Polar_complex_plane के रूप में भी दर्शाया जा सकता है <math>(r, \theta)</math>, जहाँ r z का निरपेक्ष मान है (मूल बिंदु से दूरी), और <math>\theta</math> z का तर्क है (धनात्मक x-अक्ष से वामावर्त कोण)। साइन और कोसाइन की परिभाषाओं के अनुसार, इस बिंदु के कार्टेशियन निर्देशांक हैं <math>(r \cos \theta, r \sin \theta)</math>, जिसका अर्थ है <math>z = r(\cos \theta + i \sin \theta)</math>. यूलर के सूत्र के अनुसार, यह कहने के बराबर है <math>z = r e^{i\theta}</math>.
किसी भी सम्मिश्र संख्या <math>z = x + iy</math> को सम्मिश्र तल पर बिंदु <math>(x, y)</math> द्वारा दर्शाया जा सकता है। इस बिंदु को ध्रुवीय निर्देशांक में <math>(r, \theta)</math> के रूप में भी दर्शाया जा सकता है, जहां r z (मूल से दूरी) का निरपेक्ष मान है, और <math>\theta</math> z का तर्क है (धनात्मक x-अक्ष से वामावर्त कोण) . साइन और कोसाइन की परिभाषाओं के अनुसार, इस बिंदु में <math>(r \cos \theta, r \sin \theta)</math> के कार्टेशियन निर्देशांक हैं, जिसका अर्थ है कि <math>z = r(\cos \theta + i \sin \theta)</math> यूलर के सूत्र के अनुसार, यह <math>z = r e^{i\theta}</math> कहने के समान है।


यूलर की पहचान यही कहती है <math>-1 = e^{i\pi}</math>. तब से <math>e^{i\pi}</math> है <math>r e^{i\theta}</math> आर = 1 और के लिए <math>\theta = \pi</math>, इसे जटिल तल पर संख्या -1 के बारे में एक तथ्य के रूप में व्याख्या किया जा सकता है: मूल से इसकी दूरी 1 है, और धनात्मक x-अक्ष से इसका कोण है <math>\pi</math> रेडियन।
यूलर की पहचान कहती है कि<math>-1 = e^{i\pi}</math> चूंकि <math>e^{i\pi}</math>, r = 1 और <math>r e^{i\theta}</math> के लिए <math>\theta = \pi</math> है, इसे जटिल तल पर संख्या −1 के तथ्य के रूप में समझा जा सकता है: मूल बिंदु से इसकी दूरी 1 है, और धनात्मक x-अक्ष से इसका कोण <math>\pi</math> रेडियन है।


इसके अतिरिक्त, जब कोई सम्मिश्र संख्या z सम्मिश्र संख्या#गुणा और विभाजन ध्रुवीय रूप में होती है <math>e^{i\theta}</math>, यह z वामावर्त को के कोण से घुमाने का प्रभाव रखता है <math>\theta</math> जटिल तल पर। चूँकि −1 से गुणा करने पर मूल बिंदु पर एक बिंदु प्रतिबिम्बित होता है, यूलर की पहचान को यह कहते हुए व्याख्यायित किया जा सकता है कि किसी भी बिंदु को घुमाना <math>\pi</math> मूल बिंदु के आस-पास रेडियन का वही प्रभाव होता है जो मूल बिंदु पर बिंदु को दर्शाता है। इसी तरह, सेटिंग <math>\theta</math> के बराबर <math>2\pi</math> संबंधित समीकरण देता है <math>e^{2\pi i} = 1,</math> जिसे यह कहते हुए समझा जा सकता है कि मूल के चारों ओर एक [[मोड़ (कोण)]] से किसी भी बिंदु को घुमाने से वह अपनी मूल स्थिति में लौट आता है।
इसके अतिरिक्त, जब किसी सम्मिश्र संख्या z को <math>e^{i\theta}</math> से गुणा किया जाता है, तो इसका जटिल तल पर <math>\theta</math> के कोण से z वामावर्त घुमाने का प्रभाव होता है। चूँकि −1 से गुणन मूल बिंदु पर एक बिंदु को दर्शाता है यूलर की पहचान को यह कहते हुए व्याख्या किया जा सकता है कि मूल के चारों ओर किसी भी बिंदु <math>\pi</math> रेडियन को घुमाने का वही प्रभाव होता है जो मूल बिंदु पर बिंदु को दर्शाता है। इसी तरह, <math>\theta</math> को <math>2\pi</math> के समान सेट करने से संबंधित समीकरण <math>e^{2\pi i} = 1,</math> प्राप्त होता है, जिसे यह कहते हुए समझा जा सकता है कि किसी भी बिंदु को मूल के चारों ओर एक चक्कर लगाने से वह अपने मूल स्थिति पर वापस आ जाता है।  


== सामान्यीकरण ==
== सामान्यीकरण ==
यूलर की पहचान भी अधिक सामान्य पहचान का एक विशेष मामला है जो कि यूलर की पहचान है {{mvar|n}एकता की वें जड़ें, के लिए {{math|''n'' > 1}}, 0 तक जोड़ें:
यूलर की पहचान भी अधिक सामान्य पहचान का एक विशेष स्थिति है कि एकता की n वीं जड़ें, {{math|''n'' > 1}} के लिए, 0 तक जोड़ती हैं:


:<math>\sum_{k=0}^{n-1} e^{2 \pi i \frac{k}{n}} = 0 .</math>
:<math>\sum_{k=0}^{n-1} e^{2 \pi i \frac{k}{n}} = 0 .</math>
यूलर की पहचान वह मामला है जहां {{math|''n'' {{=}} 2}}.
यूलर की पहचान वह स्थिति है जहां {{math|''n'' {{=}} 2}}.है |


गणित के एक अन्य क्षेत्र में, चतुष्कोणीय घातांक का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि समान पहचान चतुष्कोणों पर भी लागू होती है। होने देना {{math|{{mset|''i'', ''j'', ''k''}}}} आधार तत्व हो; तब,
गणित के एक अन्य क्षेत्र में, चतुष्कोणीय घातांक का उपयोग करके कोई यह दिखा सकता है कि समान पहचान चतुष्कोणों पर भी प्रयुक्त होती है। होने देना {{math|{{mset|''i'', ''j'', ''k''}}}} आधार तत्व हो; तब,


:<math>e^{\frac{1}{\sqrt 3}(i \pm j \pm k)\pi} + 1 = 0. </math>
:<math>e^{\frac{1}{\sqrt 3}(i \pm j \pm k)\pi} + 1 = 0. </math>
सामान्य तौर पर, [[वास्तविक संख्या]]एँ दी गई हैं {{math|''a''<sub>1</sub>}}, {{math|''a''<sub>2</sub>}}, और {{math|''a''<sub>3</sub>}} ऐसा है कि {{math|''a''<sub>1</sub><sup>2</sup> + ''a''<sub>2</sub><sup>2</sup> + ''a''<sub>3</sub><sup>2</sup> {{=}} 1}}, तब,
सामान्यतः [[वास्तविक संख्या|वास्तविक]] {{math|''a''<sub>1</sub>}}, {{math|''a''<sub>2</sub>}}, और {{math|''a''<sub>3</sub>}} ऐसे दिए गए हैं कि {{math|''a''<sub>1</sub><sup>2</sup> + ''a''<sub>2</sub><sup>2</sup> + ''a''<sub>3</sub><sup>2</sup> {{=}} 1}}, फिर,


:<math>e^{\left(a_1i+a_2j+a_3k\right)\pi} + 1 = 0. </math>
:<math>e^{\left(a_1i+a_2j+a_3k\right)\pi} + 1 = 0. </math>
[[ Octonions ]] के लिए, असली के साथ {{math|''a''<sub>''n''</sub>}} ऐसा है कि {{math|''a''<sub>1</sub><sup>2</sup> + ''a''<sub>2</sub><sup>2</sup> + ... + ''a''<sub>7</sub><sup>2</sup> {{=}} 1}}, और ऑक्टोनियन आधार तत्वों के साथ {{math|{{mset|''i''<sub>1</sub>, ''i''<sub>2</sub>, ..., ''i''<sub>7</sub>}}}},
ऑक्टोनियंस के लिए वास्तविक {{math|''a''<sub>''n''</sub>}} के साथ {{math|''a''<sub>1</sub><sup>2</sup> + ''a''<sub>2</sub><sup>2</sup> + ... + ''a''<sub>7</sub><sup>2</sup> {{=}} 1}} और ऑक्टोनियन आधार तत्वों {{math|{{mset|''i''<sub>1</sub>, ''i''<sub>2</sub>, ..., ''i''<sub>7</sub>}}}}के साथ,


:<math>e^{\left(a_1i_1+a_2i_2+\dots+a_7i_7\right)\pi} + 1 = 0. </math>
:<math>e^{\left(a_1i_1+a_2i_2+\dots+a_7i_7\right)\pi} + 1 = 0. </math>
== इतिहास  ==
जबकि यूलर की पहचान यूलर के सूत्र का प्रत्यक्ष परिणाम है, जो 1748 में उनके गणितीय विश्लेषण के स्मारकीय कार्य में प्रकाशित हुआ था, एनालिसिस इनफिनिटोरम में परिचय,<ref>Conway & Guy, p. 254–255.</ref> यह संदेहास्पद है कि क्या पांच मूलभूत स्थिरांकों को एक कॉम्पैक्ट रूप में जोड़ने की विशेष अवधारणा का श्रेय स्वयं यूलर को दिया जा सकता है क्योंकि हो सकता है कि उन्होंने इसे व्यक्त नहीं किया होगा।<ref name=Sandifer2007>Sandifer, p. 4.</ref>


रॉबिन विल्सन (गणितज्ञ) निम्नलिखित कहते हैं।<ref>Wilson, p. 151-152.</ref>


== इतिहास ==
जबकि यूलर की पहचान यूलर के सूत्र का प्रत्यक्ष परिणाम है, जो 1748 में उनके गणितीय विश्लेषण के स्मारकीय कार्य में प्रकाशित हुआ था, [[Introductio in analysin infinitorum]],<ref>Conway & Guy, p. 254–255.</ref> यह संदेहास्पद है कि क्या पांच मूलभूत स्थिरांकों को एक कॉम्पैक्ट रूप में जोड़ने की विशेष अवधारणा का श्रेय स्वयं यूलर को दिया जा सकता है, क्योंकि हो सकता है कि उन्होंने इसे कभी व्यक्त न किया हो।<ref name=Sandifer2007>Sandifer, p. 4.</ref>
रॉबिन विल्सन (गणितज्ञ) निम्नलिखित कहते हैं।<ref>Wilson, p. 151-152.</ref>
{{quote|text=  
{{quote|text=  
We've seen how it [Euler's identity] can easily be deduced from results of Johann Bernoulli and Roger Cotes, but that neither of them seem to have done so. Even Euler does not seem to have written it down explicitly – and certainly it doesn't appear in any of his publications – though he must surely have realized that it follows immediately from his identity [i.e. [[Euler's formula]]], {{nowrap|''e<sup>ix</sup>'' {{=}} cos ''x'' + ''i'' sin ''x''}}. Moreover, it seems to be unknown who first stated the result explicitly&hellip;.
हमने देखा है कि कैसे यह [यूलर की पहचान] आसानी से जोहान बर्नौली और रोजर कोट्स के परिणामों से निकाली जा सकती है,  
किन्तु  ऐसा लगता है कि उनमें से किसी ने भी ऐसा नहीं किया है। ऐसा प्रतीत होता है कि यूलर ने भी इसे स्पष्ट रूप से नहीं लिखा है - और निश्चित रूप से यह उनके किसी भी प्रकाशन में प्रकट नहीं होता है - चूँकि उन्होंने निश्चित रूप से यह अनुभव किया होगा कि यह उनकी पहचान [अर्थात। [[यूलर का सूत्र]]], {{nowrap|''e<sup>ix</sup>'' {{=}} cos ''x'' + ''i'' sin ''x''}} . इसके अलावा, यह अज्ञात प्रतीत होता है जिसने सबसे पहले परिणाम को स्पष्ट रूप से बताया&hellip;.
}}
}}


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* एली मौर|माओर, एली (1998),{{mvar|e}}: द स्टोरी ऑफ़ ए नंबर, [[प्रिंसटन यूनिवर्सिटी प्रेस]] {{ISBN|0-691-05854-7}}
* एली मौर|माओर, एली (1998),{{mvar|e}}: द स्टोरी ऑफ़ ए नंबर, [[प्रिंसटन यूनिवर्सिटी प्रेस]] {{ISBN|0-691-05854-7}}
* नाहिन, पॉल जे. (2006), डॉ. यूलर का शानदार सूत्र: कई गणितीय बीमारियों का इलाज, प्रिंसटन यूनिवर्सिटी प्रेस {{ISBN|978-0-691-11822-2}}
* नाहिन, पॉल जे. (2006), डॉ. यूलर का शानदार सूत्र: कई गणितीय बीमारियों का इलाज, प्रिंसटन यूनिवर्सिटी प्रेस {{ISBN|978-0-691-11822-2}}
* जॉन एलेन पॉलोस | पॉलोस, जॉन एलन (1992), बियॉन्ड न्यूमरेसी: एन अनकॉमन डिक्शनरी ऑफ मैथेमेटिक्स, [[ पेंगुइन पुस्तकें ]] {{ISBN|0-14-014574-5}}
* जॉन एलेन पॉलोस | पॉलोस, जॉन एलन (1992), बियॉन्ड न्यूमरेसी: एन अनकॉमन डिक्शनरी ऑफ मैथेमेटिक्स, [[ पेंगुइन पुस्तकें |पेंगुइन पुस्तकें]] {{ISBN|0-14-014574-5}}
* रीड, कॉन्स्टेंस (विभिन्न संस्करण)[[शून्य से अनंत तक]], मैथमेटिकल एसोसिएशन ऑफ अमेरिका
* रीड, कॉन्स्टेंस (विभिन्न संस्करण)[[शून्य से अनंत तक]], मैथमेटिकल एसोसिएशन ऑफ अमेरिका
* सैंडिफ़र, सी. एडवर्ड (2007), [https://books.google.com/books?id=sohHs7ExOsYC&pg=PA4 यूलर ग्रेटेस्ट हिट्स], मैथमैटिकल एसोसिएशन ऑफ़ अमेरिका {{ISBN|978-0-88385-563-8}}
* सैंडिफ़र, सी. एडवर्ड (2007), [https://books.google.com/books?id=sohHs7ExOsYC&pg=PA4 यूलर ग्रेटेस्ट हिट्स], मैथमैटिकल एसोसिएशन ऑफ़ अमेरिका {{ISBN|978-0-88385-563-8}}
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==बाहरी संबंध==
==बाहरी संबंध==
{{Wikiquote|Euler's identity}}
* [http://betterexplained.com/articles/intuitive-understanding-of-eulers-formula/ Intuitive understanding of Euler's formula]
* [http://betterexplained.com/articles/intuitive-understanding-of-eulers-formula/ Intuitive understanding of Euler's formula]
 
{{DEFAULTSORT:Euler's identity}}    
{{Leonhard Euler}}
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गणित में, यूलर की पहचान[note 1] (यूलर के समीकरण के रूप में भी जाना जाता है) समानता (गणित) है