यूलर की पहचान

गणित में, यूलर की पहचान (यूलर के समीकरण के रूप में भी जाना जाता है) समानता (गणित) है

$$e^{i\pi }+1=0$$

जहाँ

e यूलर की संख्या प्राकृतिक लघुगणक का आधार है

i एक काल्पनिक इकाई है, जो परिभाषा के अनुसार i² = −1 और को संतुष्ट करती है

π एक वृत्त की परिधि और उसके व्यास का अनुपात पाई है।

यूलर की पहचान स्विस गणितज्ञ लियोनहार्ड यूलर के नाम पर है। यह यूलर के सूत्र का एक विशेष स्थिति है $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ जब x = π के लिए मूल्यांकन किया जाता है। यूलर की पहचान को गणितीय सुंदरता का एक उदाहरण माना जाता है क्योंकि यह गणित में सबसे मौलिक संख्याओं के बीच गहरा संबंध दर्शाता है। इसके अतिरिक्त यह सीधे तौर पर एक प्रमाण में उपयोग किया जाता है कि π पारलौकिक है जिसका अर्थ है कि वृत्त को चौकोर करना असंभव है।

गणितीय सौंदर्य

यूलर की पहचान को अधिकांशतः गहरे गणितीय सौंदर्य के उदाहरण के रूप में उद्धृत किया जाता है। तीन मूल अंकगणितीय ऑपरेशन ठीक एक बार होते हैं: जोड़ गुणा और घातांक पहचान पांच मूलभूत गणितीय स्थिरांकों को भी जोड़ती है:

• 0, योगात्मक पहचान।
• 1, गुणक तत्समक।
• संख्या π (π = 3.1415...) मूल वृत्त स्थिरांक।
• संख्या e (e = 2.718...) जिसे यूलर संख्या के रूप में भी जाना जाता है, जो गणितीय विश्लेषण में व्यापक रूप से पाई जाती है।
• संख्या i सम्मिश्र संख्याओं की काल्पनिक इकाई है।

इसके अतिरिक्त समीकरण शून्य के समान अभिव्यक्ति सेट के रूप में दिया जाता है, जो गणित के कई क्षेत्रों में सामान्य अभ्यास है।

स्टैनफोर्ड विश्वविद्यालय के गणित के प्रोफेसर कीथ डिवालिन ने कहा है शेक्सपियर के गाथा की तरह जो प्यार के सार को पकड़ता है या एक पेंटिंग जो मानव रूप की सुंदरता को सामने लाती है जो सिर्फ त्वचा की गहराई से कहीं अधिक है यूलर का समीकरण बहुत गहराई तक पहुंचता है अस्तित्व का और पॉल नाहिन न्यू हैम्पशायर विश्वविद्यालय में एक प्रोफेसर एमेरिटस जिन्होंने यूलर के सूत्र और फूरियर विश्लेषण में इसके अनुप्रयोगों को समर्पित एक पुस्तक लिखी है यूलर की पहचान को उत्कृष्ट सौंदर्य के रूप में वर्णित करता है।

गणित लेखक कॉन्स्टेंस रीड ने कहा है कि यूलर की पहचान सभी गणित में सबसे प्रसिद्ध सूत्र है। 19वीं सदी के एक अमेरिकी दार्शनिक, गणितज्ञ और हार्वर्ड विश्वविद्यालय के प्रोफेसर बेंजामिन पीयर्स ने एक व्याख्यान के समय यूलर की पहचान को सिद्ध करने के बाद कहा कि पहचान पूर्ण रूप से विरोधाभासी है; हम इसे समझ नहीं सकते हैं और हम नहीं जानते कि इसका क्या अर्थ है किन्तु हमने इसे सिद्ध कर दिया है और इसलिए हम जानते हैं कि यह सच होना चाहिए।

1990 में गणितीय बुद्धिजीवी द्वारा आयोजित पाठकों के एक सर्वेक्षण में यूलर की पहचान को गणित में सबसे सुंदर प्रमेय के रूप में नामित किया गया था। 2004 में भौतिकी की दुनिया द्वारा आयोजित पाठकों के एक अन्य सर्वेक्षण में यूलर की पहचान मैक्सवेल के समीकरणों (विद्युत चुंबकत्व के) के साथ अब तक के सबसे बड़े समीकरण के रूप में जुड़ी हुई है।

यूलर की पहचान के बारे में लोकप्रिय गणित में कम से कम तीन पुस्तकें प्रकाशित हुई हैं:

• डॉ यूलर का शानदार सूत्र: पॉल नाहिन (2011) द्वारा कई गणितीय बीमारियों का इलाज
• ए मोस्ट एलिगेंट इक्वेशन: डेविड स्टिप (2017) द्वारा यूलर का सूत्र और गणित की सुंदरता
• यूलर का अग्रणी समीकरण: रॉबिन विल्सन (गणितज्ञ) (2018) द्वारा गणित में सबसे सुंदर प्रमेय।

स्पष्टीकरण

काल्पनिक घातांक

Main article: यूलर का सूत्र

See also: एक सकारात्मक वास्तविक आधार के साथ जटिल घातांक

इस एनीमेशन में N 1 से 100 तक विभिन्न वर्धमान मान लेता है। की गणना (1 + iπ/N)^N के संयुक्त प्रभाव के रूप में प्रदर्शित होता है N जटिल विमान में बार-बार गुणा, अंतिम बिंदु का वास्तविक मूल्य होने के साथ (1 + iπ/N)^N. के रूप में देखा जा सकता है N बड़ा हो जाता है (1 + iπ/N)^N -1 की सीमा तक पहुंचता है।

मौलिक रूप से, यूलर की पहचान का प्रमाणित है कि $e^{i\pi }$ -1 के समान है। व्यंजक $e^{i\pi }$, व्यंजक $e^{z}$ का एक विशेष मामला है, जहाँ z कोई सम्मिश्र संख्या है। सामान्यतः $e^{z}$ को जटिल z के लिए वास्तविक एक्सपोनेंट से जटिल एक्सपोनेंट तक एक्सपोनेंशियल फलन की परिभाषाओं में से एक को विस्तारित करके परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक सामान्य परिभाषा है:

$e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.$

यूलर की पहचान इसलिए बताती है कि $(1+i\pi /n)^{n}$ की सीमा, जैसे n अनंत तक पहुँचती है, -1 के समान है। यह सीमा एनीमेशन में दाईं ओर सचित्र है।

सामान्य कोण के लिए यूलर का सूत्र

यूलर की पहचान यूलर के सूत्र का एक विशेष स्थिति है जो बताता है कि किसी भी वास्तविक संख्या x के लिए

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

जहां त्रिकोणमिति साइन और कोसाइन के इनपुट कांति में दिए गए हैं।

विशेष रूप से, जब x = π,

$e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .$

तब से

$\cos \pi =-1$

और

$\sin \pi =0,$

यह इस प्रकार है कि

$e^{i\pi }=-1+0i,$

जो यूलर की पहचान देता है:

$e^{i\pi }+1=0.$

ज्यामितीय व्याख्या

किसी भी सम्मिश्र संख्या $z=x+iy$ को सम्मिश्र तल पर बिंदु $(x,y)$ द्वारा दर्शाया जा सकता है। इस बिंदु को ध्रुवीय निर्देशांक में $(r,\theta )$ के रूप में भी दर्शाया जा सकता है, जहां r z (मूल से दूरी) का निरपेक्ष मान है, और $\theta$ z का तर्क है (धनात्मक x-अक्ष से वामावर्त कोण) . साइन और कोसाइन की परिभाषाओं के अनुसार, इस बिंदु में $(r\cos \theta ,r\sin \theta )$ के कार्टेशियन निर्देशांक हैं, जिसका अर्थ है कि $$