शीफ कोहोलॉजी: Difference between revisions
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गणित में, '''शीफ कोहोलॉजी''' [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] पर [[शीफ (गणित)]] के वैश्विक वर्गों का विश्लेषण करने के लिए होमोलॉजिकल बीजगणित का अनुप्रयोग है। व्यापक रूप से बोलते हुए, शीफ कोहोलॉजी विश्व स्तर पर ज्यामितीय समस्या को समाधान करने के लिए बाधाओं का वर्णन करती है, जब इसे स्थानीय रूप से समाधान किया जा सकता है। शेफ कॉहोलॉजी के अध्ययन के लिए केंद्रीय कार्य ग्रोथेंडिक का 1957 तोहोकू पेपर है। | गणित में, '''शीफ कोहोलॉजी''' [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] पर [[शीफ (गणित)]] के वैश्विक वर्गों का विश्लेषण करने के लिए होमोलॉजिकल बीजगणित का अनुप्रयोग है। व्यापक रूप से बोलते हुए, शीफ कोहोलॉजी विश्व स्तर पर ज्यामितीय समस्या को समाधान करने के लिए बाधाओं का वर्णन करती है, जब इसे स्थानीय रूप से समाधान किया जा सकता है। शेफ कॉहोलॉजी के अध्ययन के लिए केंद्रीय कार्य ग्रोथेंडिक का 1957 तोहोकू पेपर है। | ||
ऑस्ट्रिया में ऑफलाग XVII-A के युद्ध शिविर के कैदी में [[ जॉन लेरे ]] द्वारा शेव्स, शीफ कोहोलॉजी और [[ वर्णक्रमीय अनुक्रम ]] प्रस्तुत किए गए थे।<ref name=HaynesMiller>{{harv|Miller|2000}}</ref> 1940 से 1945 तक, लेरे और अन्य कैदियों ने शिविर में विश्वविद्यालय का आयोजन किया था। | ऑस्ट्रिया में ऑफलाग XVII-A के युद्ध शिविर के कैदी में [[ जॉन लेरे |जॉन लेरे]] द्वारा शेव्स, शीफ कोहोलॉजी और [[ वर्णक्रमीय अनुक्रम |वर्णक्रमीय अनुक्रम]] प्रस्तुत किए गए थे।<ref name=HaynesMiller>{{harv|Miller|2000}}</ref> 1940 से 1945 तक, लेरे और अन्य कैदियों ने शिविर में विश्वविद्यालय का आयोजन किया था। | ||
1950 के दशक में लेरे की परिभाषाओं को सरल और स्पष्ट किया गया था। यह स्पष्ट हो गया कि शेफ [[सह-समरूपता]] न केवल [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] में कोहोलॉजी के लिए नया दृष्टिकोण था, किन्तु [[जटिल विश्लेषणात्मक ज्यामिति]] और [[बीजगणितीय ज्यामिति]] में भी शक्तिशाली विधि थी। इन विषयों में अधिकांश निर्दिष्ट स्थानीय गुणों के साथ वैश्विक कार्य (गणित) का निर्माण करना सम्मिलित होता है, और शेफ कोहोलॉजी आदर्श रूप से ऐसी समस्याओं के अनुकूल होती है। रीमैन-रोच प्रमेय और [[हॉज सिद्धांत]] जैसे पहले के कई परिणाम शीफ कोहोलॉजी का उपयोग करके सामान्यीकृत या उत्तम समझे गए हैं। | 1950 के दशक में लेरे की परिभाषाओं को सरल और स्पष्ट किया गया था। यह स्पष्ट हो गया कि शेफ [[सह-समरूपता]] न केवल [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] में कोहोलॉजी के लिए नया दृष्टिकोण था, किन्तु [[जटिल विश्लेषणात्मक ज्यामिति]] और [[बीजगणितीय ज्यामिति]] में भी शक्तिशाली विधि थी। इन विषयों में अधिकांश निर्दिष्ट स्थानीय गुणों के साथ वैश्विक कार्य (गणित) का निर्माण करना सम्मिलित होता है, और शेफ कोहोलॉजी आदर्श रूप से ऐसी समस्याओं के अनुकूल होती है। रीमैन-रोच प्रमेय और [[हॉज सिद्धांत]] जैसे पहले के कई परिणाम शीफ कोहोलॉजी का उपयोग करके सामान्यीकृत या उत्तम समझे गए हैं। | ||
== परिभाषा == | == परिभाषा == | ||
टोपोलॉजिकल स्पेस X पर [[एबेलियन समूह|एबेलियन समूहों]] के शेवों की श्रेणी एक [[एबेलियन श्रेणी]] है, और इसलिए यह पूछने में समझ में आता है कि कब मोर्फिज्म ''f'': ''B'' → ''C'' का शेव्स इंजेक्शन ([[एकरूपता]]) या विशेषण ([[अधिरूपता]]) है। उत्तर यह है कि f अंतःक्षेपी (क्रमशः विशेषण) है यदि और केवल यदि | टोपोलॉजिकल स्पेस X पर [[एबेलियन समूह|एबेलियन समूहों]] के शेवों की श्रेणी एक [[एबेलियन श्रेणी]] है, और इसलिए यह पूछने में समझ में आता है कि कब मोर्फिज्म ''f'': ''B'' → ''C'' का शेव्स इंजेक्शन ([[एकरूपता]]) या विशेषण ([[अधिरूपता]]) है। उत्तर यह है कि f अंतःक्षेपी (क्रमशः विशेषण) है यदि और केवल यदि शीफ (शीफ) ''B<sub>x</sub>'' → ''C<sub>x</sub>'' पर संबंधित समरूपता X में प्रत्येक बिंदु x के लिए अंतःक्षेपी फलन (क्रमशः आच्छादन फलन) है। यह अनुसरण करता है कि f अंतःक्षेपी है यदि और केवल यदि U पर वर्गों का समरूपता B(U) → C(U) X में प्रत्येक खुले समुच्चय U के लिए अंतःक्षेपी है। प्रक्षेपकता अधिक सूक्ष्म है, चूंकि: मोर्फिज्म एफ विशेषण है यदि और केवल यदि X में प्रत्येक खुले समुच्चय U के लिए, U के ऊपर सी के प्रत्येक खंड, और U में हर बिंदु X, X का खुला [[पड़ोस (गणित)|निकटतम (गणित)]] V है U में ऐसा है कि V तक सीमित है, V के ऊपर B के कुछ खंड की छवि है। (शब्दों में: C का प्रत्येक खंड स्थानीय रूप से B के अनुभागों के लिए लिफ्ट करता है।) | ||
परिणामस्वरूप, सवाल उठता है: शेवों के B → C और X के ऊपर C के एक खंड को देखते हुए, X के ऊपर B के एक खंड की छवि कब है? यह ज्यामिति में सभी प्रकार के स्थानीय-बनाम-वैश्विक प्रश्नों के लिए एक मॉडल है। शेफ कोहोलॉजी संतोषजनक सामान्य उत्तर देता है। अर्थात्, A को प्रक्षेपण B → C का कर्नेल (श्रेणी सिद्धांत) होने दें, जो X पर संक्षिप्त त्रुटिहीन अनुक्रम देता है | परिणामस्वरूप, सवाल उठता है: शेवों के B → C और X के ऊपर C के एक खंड को देखते हुए, X के ऊपर B के एक खंड की छवि कब है? यह ज्यामिति में सभी प्रकार के स्थानीय-बनाम-वैश्विक प्रश्नों के लिए एक मॉडल है। शेफ कोहोलॉजी संतोषजनक सामान्य उत्तर देता है। अर्थात्, A को प्रक्षेपण B → C का कर्नेल (श्रेणी सिद्धांत) होने दें, जो X पर संक्षिप्त त्रुटिहीन अनुक्रम देता है | ||
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जहां H<sup>0</sup>(X,A) X पर A के वैश्विक अनुभागों का समूह A(X) है। उदाहरण के लिए, यदि समूह H<sup>1</sup>(X,A) शून्य है, तो इस त्रुटिहीन अनुक्रम का तात्पर्य है कि C का प्रत्येक वैश्विक खंड B के वैश्विक खंड को उठाता है। अधिक सामान्यतः, त्रुटिहीन अनुक्रम उच्च कोहोलॉजी समूहों के ज्ञान को लक्षित करने के लिए मौलिक उपकरण बनाता है। शेवों के वर्गों को समझें। | जहां H<sup>0</sup>(X,A) X पर A के वैश्विक अनुभागों का समूह A(X) है। उदाहरण के लिए, यदि समूह H<sup>1</sup>(X,A) शून्य है, तो इस त्रुटिहीन अनुक्रम का तात्पर्य है कि C का प्रत्येक वैश्विक खंड B के वैश्विक खंड को उठाता है। अधिक सामान्यतः, त्रुटिहीन अनुक्रम उच्च कोहोलॉजी समूहों के ज्ञान को लक्षित करने के लिए मौलिक उपकरण बनाता है। शेवों के वर्गों को समझें। | ||
शेफ कोहोलॉजी की [[अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक]] की परिभाषा, जो अब मानक है, होमोलॉजिकल बीजगणित की भाषा का उपयोग करती है। आवश्यक बिंदु यह है कि टोपोलॉजिकल स्पेस X को ठीक किया जाए और कोहोलॉजी को X पर एबेलियन समूहों के शेव से लेकर एबेलियन समूहों तक [[ऑपरेटर]] के रूप में सोचा जाए। अधिक विस्तार से, X पर एबेलियन समूहों के शेवों से एबेलियन समूहों के लिए फंक्शनल E ↦ E (X) से प्रारंभ करें। यह त्रुटिहीन कारक छोड़ दिया गया है, | शेफ कोहोलॉजी की [[अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक]] की परिभाषा, जो अब मानक है, होमोलॉजिकल बीजगणित की भाषा का उपयोग करती है। आवश्यक बिंदु यह है कि टोपोलॉजिकल स्पेस X को ठीक किया जाए और कोहोलॉजी को X पर एबेलियन समूहों के शेव से लेकर एबेलियन समूहों तक [[ऑपरेटर]] के रूप में सोचा जाए। अधिक विस्तार से, X पर एबेलियन समूहों के शेवों से एबेलियन समूहों के लिए फंक्शनल E ↦ E (X) से प्रारंभ करें। यह त्रुटिहीन कारक छोड़ दिया गया है, किन्तु सामान्यतः सही त्रुटिहीन नहीं है। फिर समूह H<sup>i</sup>(X,E) [[पूर्णांक|पूर्णांकों]] के लिए i को फ़ैक्टर E ↦ E(X) के सही व्युत्पन्न फ़ैक्टर के रूप में परिभाषित किया गया है। यह इसे स्वचालित बनाता है कि H<sup>i</sup>(X,E) i < 0 के लिए शून्य है, और वह H<sup>0</sup>(X,E) वैश्विक वर्गों का समूह E(X) है। ऊपर दिया गया लंबा त्रुटिहीन क्रम भी इस परिभाषा से सीधा है। | ||
व्युत्पन्न फलन की परिभाषा का उपयोग करता है कि किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस X पर एबेलियन समूहों के शेवों की श्रेणी में पर्याप्त इंजेक्शन हैं; अर्थात्, प्रत्येक शीफ E के लिए इंजेक्शन E → I के साथ [[इंजेक्शन शीफ]] I है।<ref>{{harv|Iversen|1986|loc=Theorem II.3.1.}}</ref> यह इस प्रकार है कि प्रत्येक शीफ E में इंजेक्शन [[संकल्प (बीजगणित)]] होता है: | व्युत्पन्न फलन की परिभाषा का उपयोग करता है कि किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस X पर एबेलियन समूहों के शेवों की श्रेणी में पर्याप्त इंजेक्शन हैं; अर्थात्, प्रत्येक शीफ E के लिए इंजेक्शन E → I के साथ [[इंजेक्शन शीफ]] I है।<ref>{{harv|Iversen|1986|loc=Theorem II.3.1.}}</ref> यह इस प्रकार है कि प्रत्येक शीफ E में इंजेक्शन [[संकल्प (बीजगणित)]] होता है: | ||
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परिणामस्वरूप, निरंतर गुणांक वाले शीफ कोहोलॉजी की कई मूलभूत गणना एकवचन कोहोलॉजी की गणना के समान हैं। गोले, प्रोजेक्टिव स्पेस, तोरी और सतहों के कोहोलॉजी के लिए कोहोलॉजी पर लेख देखें। | परिणामस्वरूप, निरंतर गुणांक वाले शीफ कोहोलॉजी की कई मूलभूत गणना एकवचन कोहोलॉजी की गणना के समान हैं। गोले, प्रोजेक्टिव स्पेस, तोरी और सतहों के कोहोलॉजी के लिए कोहोलॉजी पर लेख देखें। | ||
स्वैच्छिक विधि से टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए, एकवचन कोहोलॉजी और शीफ कोहोलॉजी (निरंतर गुणांक के साथ) अलग-अलग हो सकते हैं। यह H<sup>0 के लिए भी होता है। एकवचन कोहोलॉजी H<sup>0(X,'Z') X के [[पथ घटक|पथ घटकों]] के समुच्चय से पूर्णांक 'Z' तक सभी कार्यों का समूह है, जबकि शीफ कोहोलॉजी H<sup>0(X,'Z'< | स्वैच्छिक विधि से टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए, एकवचन कोहोलॉजी और शीफ कोहोलॉजी (निरंतर गुणांक के साथ) अलग-अलग हो सकते हैं। यह H<sup>0 के लिए भी होता है। एकवचन कोहोलॉजी H<sup>0(X,'Z') X के [[पथ घटक|पथ घटकों]] के समुच्चय से पूर्णांक 'Z' तक सभी कार्यों का समूह है, जबकि शीफ कोहोलॉजी H<sup>0(X,'Z'<nowiki/>''X'') X से 'Z' तक स्थानीय रूप से स्थिर कार्यों का समूह है। ये भिन्न हैं, उदाहरण के लिए, जब X [[कैंटर सेट|कैंटर समुच्चय]] है। वास्तविक में, शीफ कोहोलॉजी H<sup>0(X,'Z'<nowiki/>''X'') उस स्थिति में [[गणनीय]] एबेलियन समूह है, जबकि एकवचन कोहोलॉजी H<sup>0(X,'Z') X से 'Z' तक के सभी कार्यों का समूह है, जिसमें [[प्रमुखता]] <math>2^{2^{\aleph_0}}</math>है। | ||
पैराकॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस X और X पर एबेलियन समूहों के किसी भी शेफ ई के लिए, कोहोलॉजी समूह H<sup>j</sup>(X,E) X के [[आवरण आयाम]] से बड़े j के लिए शून्य हैं।<ref>{{harv|Godement|1973|loc=II.5.12.}}</ref> (यह एकवचन कोहोलॉजी के लिए समान सामान्यता में नहीं है: उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन स्पेस '''R'''<sup>3</sup> का [[ कॉम्पैक्ट जगह ]] सबसमुच्चय है जिसमें असीमित रूप से कई डिग्री में शून्येतर एकवचन कोहोलॉजी है।<ref>{{harv|Barratt|Milnor|1962}}</ref> कवरिंग आयाम टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड या CW जटिल के लिए आयाम की सामान्य धारणा से सहमत है। | पैराकॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस X और X पर एबेलियन समूहों के किसी भी शेफ ई के लिए, कोहोलॉजी समूह H<sup>j</sup>(X,E) X के [[आवरण आयाम]] से बड़े j के लिए शून्य हैं।<ref>{{harv|Godement|1973|loc=II.5.12.}}</ref> (यह एकवचन कोहोलॉजी के लिए समान सामान्यता में नहीं है: उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन स्पेस '''R'''<sup>3</sup> का [[ कॉम्पैक्ट जगह |कॉम्पैक्ट जगह]] सबसमुच्चय है जिसमें असीमित रूप से कई डिग्री में शून्येतर एकवचन कोहोलॉजी है।<ref>{{harv|Barratt|Milnor|1962}}</ref> कवरिंग आयाम टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड या CW जटिल के लिए आयाम की सामान्य धारणा से सहमत है। | ||
==परतदार और मुलायम शेव== | ==परतदार और मुलायम शेव== | ||
टोपोलॉजिकल स्पेस X पर एबेलियन समूहों के शीफ E को 'एसाइक्लिक' कहा जाता है यदि H<sup>j</sup>(X,E) = 0 सभी j > 0 के लिए। शीफ कोहोलॉजी के लंबे त्रुटिहीन अनुक्रम द्वारा, किसी भी शेफ के कोहोलॉजी की गणना E के किसी भी एसाइक्लिक रिज़ॉल्यूशन (इंजेक्शन रिज़ॉल्यूशन के | टोपोलॉजिकल स्पेस X पर एबेलियन समूहों के शीफ E को 'एसाइक्लिक' कहा जाता है यदि H<sup>j</sup>(X,E) = 0 सभी j > 0 के लिए। शीफ कोहोलॉजी के लंबे त्रुटिहीन अनुक्रम द्वारा, किसी भी शेफ के कोहोलॉजी की गणना E के किसी भी एसाइक्लिक रिज़ॉल्यूशन (इंजेक्शन रिज़ॉल्यूशन के अतिरिक्त) से की जा सकती है। इंजेक्टिव शीव्स एसाइक्लिक हैं, किन्तु कम्प्यूटेशंस के लिए एसाइक्लिक शेव्स के अन्य उदाहरणों के लिए यह उपयोगी है। | ||
X पर शीफ ई को 'फ्लैबी' (फ्रेंच: फ्लास्क) कहा जाता है यदि X के खुले उपसमुच्चय पर ई के प्रत्येक खंड को X के सभी पर ई के खंड तक फैलाया जाता है। फ्लैबी शीव्स चक्रीय हैं।<ref>{{harv|Iversen|1986|loc=Theorem II.3.5.}}</ref> [[रोजर गॉडमेंट]] ने शीफ कोहोलॉजी को किसी भी शीफ के [[देव संकल्प]] के माध्यम से परिभाषित किया; चूँकि पिलपिला शेव एसाइक्लिक है, गोडेमेंट की परिभाषा उपरोक्त शीफ कोहोलॉजी की परिभाषा से सहमत है।<ref>{{harv|Iversen|1986|loc=II.3.6.}}</ref> | X पर शीफ ई को 'फ्लैबी' (फ्रेंच: फ्लास्क) कहा जाता है यदि X के खुले उपसमुच्चय पर ई के प्रत्येक खंड को X के सभी पर ई के खंड तक फैलाया जाता है। फ्लैबी शीव्स चक्रीय हैं।<ref>{{harv|Iversen|1986|loc=Theorem II.3.5.}}</ref> [[रोजर गॉडमेंट]] ने शीफ कोहोलॉजी को किसी भी शीफ के [[देव संकल्प]] के माध्यम से परिभाषित किया; चूँकि पिलपिला शेव एसाइक्लिक है, गोडेमेंट की परिभाषा उपरोक्त शीफ कोहोलॉजी की परिभाषा से सहमत है।<ref>{{harv|Iversen|1986|loc=II.3.6.}}</ref> | ||
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पैराकॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्पेस X पर शीफ ई को 'सॉफ्ट' कहा जाता है, यदि X के [[बंद उपसमुच्चय]] के लिए ई के प्रतिबंध का प्रत्येक खंड X के सभी पर ई के खंड तक फैला हुआ है। प्रत्येक सॉफ्ट शीफ एसाइक्लिक है।<ref>{{harv|Bredon|1997|loc=Theorem II.9.11.}}</ref> | पैराकॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्पेस X पर शीफ ई को 'सॉफ्ट' कहा जाता है, यदि X के [[बंद उपसमुच्चय]] के लिए ई के प्रतिबंध का प्रत्येक खंड X के सभी पर ई के खंड तक फैला हुआ है। प्रत्येक सॉफ्ट शीफ एसाइक्लिक है।<ref>{{harv|Bredon|1997|loc=Theorem II.9.11.}}</ref> | ||
सॉफ्ट शेव के कुछ उदाहरण हैं किसी भी पैराकॉम्पैक्ट हॉउसडॉर्फ स्पेस पर [[वास्तविक संख्या]]-मूल्यवान [[निरंतर कार्य|निरंतर कार्यों]] का शीफ, या [[ चिकना समारोह | स्मूथ फलन]] का शीफ (C)<sup>∞</sup>) किसी भी [[ चिकना कई गुना | स्मूथ मैनीफोल्ड]] पर काम करता है।<ref>{{harv|Bredon|1997|loc=Example II.9.4.}}</ref> सामान्यतः, सॉफ्ट रिंग वाली जगह पर मॉड्यूल का कोई भी शीफ सॉफ्ट होता है; उदाहरण के लिए, स्मूथ मैनिफोल्ड के ऊपर [[वेक्टर बंडल]] के स्मूथ सेक्शन का शीफ सॉफ्ट होता है।<ref>{{harv|Bredon|1997|loc=Theorem II.9.16.}}</ref> | सॉफ्ट शेव के कुछ उदाहरण हैं किसी भी पैराकॉम्पैक्ट हॉउसडॉर्फ स्पेस पर [[वास्तविक संख्या]]-मूल्यवान [[निरंतर कार्य|निरंतर कार्यों]] का शीफ, या [[ चिकना समारोह |स्मूथ फलन]] का शीफ (C)<sup>∞</sup>) किसी भी [[ चिकना कई गुना |स्मूथ मैनीफोल्ड]] पर काम करता है।<ref>{{harv|Bredon|1997|loc=Example II.9.4.}}</ref> सामान्यतः, सॉफ्ट रिंग वाली जगह पर मॉड्यूल का कोई भी शीफ सॉफ्ट होता है; उदाहरण के लिए, स्मूथ मैनिफोल्ड के ऊपर [[वेक्टर बंडल|सदिश बंडल]] के स्मूथ सेक्शन का शीफ सॉफ्ट होता है।<ref>{{harv|Bredon|1997|loc=Theorem II.9.16.}}</ref> | ||
उदाहरण के लिए, ये परिणाम डी रम के प्रमेय के प्रमाण का भाग हैं। स्मूथ मैनिफोल्ड X के लिए, पॉइनकेयर लेम्मा कहती है कि डी रहम जटिल निरंतर शीफ 'R<sub>''X''</sub>' का रेजोल्यूशन है।: | उदाहरण के लिए, ये परिणाम डी रम के प्रमेय के प्रमाण का भाग हैं। स्मूथ मैनिफोल्ड X के लिए, पॉइनकेयर लेम्मा कहती है कि डी रहम जटिल निरंतर शीफ 'R<sub>''X''</sub>' का रेजोल्यूशन है।: | ||
:<math>0\to\mathbf{R}_X\to\Omega^0_X\to\Omega^1_X\to\cdots,</math> | :<math>0\to\mathbf{R}_X\to\Omega^0_X\to\Omega^1_X\to\cdots,</math> | ||
जहां Ω<sub>''X''</sub><sup>j</sup> स्मूथ डिफरेंशियल j-रूपों का शीफ है और मैप Ω<sub>''X''</sub><sup>''j''</sup> → Ω<sub>''X''</sub><sup>''j''+1</sup> बाह्य व्युत्पन्न d है। उपरोक्त परिणामों से, शेव Ω<sub>''X''</sub><sup>j</sup> मुलायम होते हैं और इसलिए एसाइक्लिक होते हैं। यह इस प्रकार है कि वास्तविक गुणांक वाले X के शीफ कॉहोलॉजी X के डी रम कॉहोलॉजी के लिए आइसोमोर्फिक है, जिसे वास्तविक | जहां Ω<sub>''X''</sub><sup>j</sup> स्मूथ डिफरेंशियल j-रूपों का शीफ है और मैप Ω<sub>''X''</sub><sup>''j''</sup> → Ω<sub>''X''</sub><sup>''j''+1</sup> बाह्य व्युत्पन्न d है। उपरोक्त परिणामों से, शेव Ω<sub>''X''</sub><sup>j</sup> मुलायम होते हैं और इसलिए एसाइक्लिक होते हैं। यह इस प्रकार है कि वास्तविक गुणांक वाले X के शीफ कॉहोलॉजी X के डी रम कॉहोलॉजी के लिए आइसोमोर्फिक है, जिसे वास्तविक सदिश स्पेस के परिसर के कॉहोलॉजी के रूप में परिभाषित किया गया है: | ||
:<math>0\to \Omega^0_X(X)\to\Omega^1_X(X)\to\cdots.</math> | :<math>0\to \Omega^0_X(X)\to\Omega^1_X(X)\to\cdots.</math> | ||
डी राम के प्रमेय का दूसरा भाग वास्तविक गुणांकों के साथ शीफ कोहोलॉजी और X के एकवचन कोहोलॉजी की पहचान करना है; जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, अधिक व्यापकता में है। | डी राम के प्रमेय का दूसरा भाग वास्तविक गुणांकों के साथ शीफ कोहोलॉजी और X के एकवचन कोहोलॉजी की पहचान करना है; जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, अधिक व्यापकता में है। | ||
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यदि खुले का प्रत्येक परिमित चौराहा V अंदर समुच्चय होता है <math>\mathcal{U}</math> ई में गुणांक के साथ कोई उच्च कोहोलॉजी नहीं है, जिसका अर्थ है कि एच<sup>j</sup>(V,E) = 0 सभी j > 0 के लिए, फिर चेक कोहोलॉजी से समरूपता <math>H^j(\mathcal{U},E)</math> शीफ कोहोलॉजी के लिए समरूपता है।<ref>{{harv|Godement|1973|loc=section II.5.4.}}</ref> | यदि खुले का प्रत्येक परिमित चौराहा V अंदर समुच्चय होता है <math>\mathcal{U}</math> ई में गुणांक के साथ कोई उच्च कोहोलॉजी नहीं है, जिसका अर्थ है कि एच<sup>j</sup>(V,E) = 0 सभी j > 0 के लिए, फिर चेक कोहोलॉजी से समरूपता <math>H^j(\mathcal{U},E)</math> शीफ कोहोलॉजी के लिए समरूपता है।<ref>{{harv|Godement|1973|loc=section II.5.4.}}</ref> | ||
शेफ कोहोलॉजी से सीच कोहोलॉजी से संबंधित अन्य दृष्टिकोण इस प्रकार है। चेक कोहोलॉजी समूह <math>\check{H}^j(X,E)</math> की [[प्रत्यक्ष सीमा]] के रूप में परिभाषित किया गया है <math>H^j(\mathcal{U},E)</math> सभी खुले आवरणों पर <math>\mathcal{U}</math> X का (जहां [[शोधन (टोपोलॉजी)]] द्वारा खुले कवर का आदेश दिया जाता है)। समरूपता है <math>\check{H}^j(X,E)\to H^j(X,E)</math> चेक कोहोलॉजी से शीफ कोहोलॉजी तक, जो जे ≤ 1 के लिए आइसोमोर्फिज्म है। | शेफ कोहोलॉजी से सीच कोहोलॉजी से संबंधित अन्य दृष्टिकोण इस प्रकार है। चेक कोहोलॉजी समूह <math>\check{H}^j(X,E)</math> की [[प्रत्यक्ष सीमा]] के रूप में परिभाषित किया गया है <math>H^j(\mathcal{U},E)</math> सभी खुले आवरणों पर <math>\mathcal{U}</math> X का (जहां [[शोधन (टोपोलॉजी)]] द्वारा खुले कवर का आदेश दिया जाता है)। समरूपता है <math>\check{H}^j(X,E)\to H^j(X,E)</math> चेक कोहोलॉजी से शीफ कोहोलॉजी तक, जो जे ≤ 1 के लिए आइसोमोर्फिज्म है। स्वैच्छिक विधि से टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए, चेक कोहोलॉजी उच्च डिग्री में शीफ कोहोलॉजी से भिन्न हो सकती है। आसानी से, चूंकि, सीच कोहोलॉजी पैराकॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्पेस पर किसी भी शीफ के लिए शीफ कोहोलॉजी के लिए आइसोमॉर्फिक है।<ref>{{harv|Godement|1973|loc=section II.5.10.}}</ref> | ||
समरूपता <math>\check{H}^1(X,E)\cong H^1(X,E)</math> ''H''<sup>1</sup>(''X'',''E'') का वर्णन करता है टोपोलॉजिकल स्पेस X पर एबेलियन समूहों के किसी भी शेफ E के लिए: यह समूह आइसोमोर्फिज्म तक X के ऊपर E-''''टॉर्सर्स'''<nowiki/>' (जिसे प्रिंसिपल ई-बंडल भी कहा जाता है) को वर्गीकृत करता है। (यह कथन समूह G के किसी भी समूह के लिए सामान्यीकरण करता है, [[गैर-अबेलियन कोहोलॉजी]] समुच्चय H<sup>1</sup>(X,G) का उपयोग करके आवश्यक रूप से एबेलियन नहीं है।) परिभाषा के अनुसार, X के ऊपर ई-टॉर्सर, X पर E की [[समूह क्रिया (गणित)]] के साथ समुच्चय का शीफ S है, जैसे कि X में प्रत्येक बिंदु पर खुला निकटतम है जो S, E के लिए समरूपी है, जिसमें E अनुवाद के द्वारा स्वयं पर कार्य करता है। उदाहरण के लिए, एक चक्राकार स्थान पर (X,O<sub>''X''</sub>), यह इस प्रकार है कि X पर उल्टे शीशों का [[पिकार्ड समूह]] शीफ कोहोलॉजी समूह ''H''<sup>1</sup>(''X'',''O<sub>X</sub>''*) के लिए आइसोमॉर्फिक है, जहां O<sub>X</sub>* O<sub>X</sub> में [[ इकाई (अंगूठी सिद्धांत) |इकाईयों (वलय सिद्धांत)]] का शीफ है। | समरूपता <math>\check{H}^1(X,E)\cong H^1(X,E)</math> ''H''<sup>1</sup>(''X'',''E'') का वर्णन करता है टोपोलॉजिकल स्पेस X पर एबेलियन समूहों के किसी भी शेफ E के लिए: यह समूह आइसोमोर्फिज्म तक X के ऊपर E-''''टॉर्सर्स'''<nowiki/>' (जिसे प्रिंसिपल ई-बंडल भी कहा जाता है) को वर्गीकृत करता है। (यह कथन समूह G के किसी भी समूह के लिए सामान्यीकरण करता है, [[गैर-अबेलियन कोहोलॉजी]] समुच्चय H<sup>1</sup>(X,G) का उपयोग करके आवश्यक रूप से एबेलियन नहीं है।) परिभाषा के अनुसार, X के ऊपर ई-टॉर्सर, X पर E की [[समूह क्रिया (गणित)]] के साथ समुच्चय का शीफ S है, जैसे कि X में प्रत्येक बिंदु पर खुला निकटतम है जो S, E के लिए समरूपी है, जिसमें E अनुवाद के द्वारा स्वयं पर कार्य करता है। उदाहरण के लिए, एक चक्राकार स्थान पर (X,O<sub>''X''</sub>), यह इस प्रकार है कि X पर उल्टे शीशों का [[पिकार्ड समूह]] शीफ कोहोलॉजी समूह ''H''<sup>1</sup>(''X'',''O<sub>X</sub>''*) के लिए आइसोमॉर्फिक है, जहां O<sub>X</sub>* O<sub>X</sub> में [[ इकाई (अंगूठी सिद्धांत) |इकाईयों (वलय सिद्धांत)]] का शीफ है। | ||
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== कॉम्पैक्ट | == कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ कोहोलॉजी == | ||
बता दें कि X [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट]] टोपोलॉजिकल स्पेस है। (इस लेख में, स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्पेस को हॉसडॉर्फ समझा जाता है।) X पर एबेलियन समूहों के शेफ | बता दें कि X [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट]] टोपोलॉजिकल स्पेस है। (इस लेख में, स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्पेस को हॉसडॉर्फ समझा जाता है।) X पर एबेलियन समूहों के शेफ E के लिए, कोई 'कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ कोहोलॉजी' ''H''<sub>c</sub><sup>''j''</sup>(''X'',''E'') को परिभाषित कर सकता है।<ref>{{harv|Iversen|1986|loc=Definition III.1.3.}}</ref> इन समूहों को कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित अनुभागों के फ़ंक्टर के व्युत्पन्न फ़ंक्टर के रूप में परिभाषित किया गया है: | ||
:<math>H^0_c(X,E)=\{s\in E(X): \text{there is a compact subset }K\text{ of }X\text{ with }s|_{X-K}=0\}.</math> | :<math>H^0_c(X,E)=\{s\in E(X): \text{there is a compact subset }K\text{ of }X\text{ with }s|_{X-K}=0\}.</math> | ||
प्राकृतिक समरूपता | एक प्राकृतिक समरूपता ''H''<sub>c</sub><sup>''j''</sup>(''X'',''E'') → ''H<sup>j</sup>''(''X'',''E'') है, जो X कॉम्पैक्ट के लिए एक समरूपता है। | ||
स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्पेस X पर शीफ | स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्पेस X पर शीफ E के लिए, E के पुलबैक में गुणांक के साथ X × 'R' के कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित कोहोलॉजी X के कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित कोहोलॉजी का एक बदलाव है:<ref>{{harv|Bredon|1997|loc=Theorem II.15.2.}}</ref> | ||
:<math>H^{j+1}_c(X\times\mathbf{R},E)\cong H^j_c(X,E).</math> | :<math>H^{j+1}_c(X\times\mathbf{R},E)\cong H^j_c(X,E).</math> | ||
यह इस प्रकार है, उदाहरण के लिए, कि | यह इस प्रकार है, उदाहरण के लिए, कि ''H<sub>c</sub><sup>j</sup>''('''R'''<sup>''n''</sup>,'''Z | ||