एलपी स्पेस

For the sequence space ℓ^p, see Sequence space § ℓp spaces.

गणित में एलपी रिक्त स्थान कार्यक्रम स्थान हैं जो परिमित-आयामी सदिश रिक्त स्थान के लिए पी-मानदंड के प्राकृतिक सामान्यीकरण का उपयोग करके परिभाषित किए जाते हैं उन्हें कभी-कभी हेनरी लेबेस्ग्यू डनफोर्ड एंड श्वार्ट्ज 1958 के नाम पर लेबेस्ग्यू स्पेस कहा जाता है जबकि बोरबाकी समूह (बोरबाकी 1987) के अनुसार उन्हें पहली बार फ्रिगेस रिज्जु द्वारा (1910) में पेश किया गया था।
 

एलपी रिक्त स्थान कार्यात्मक विश्लेषण और करणीय सदिश रिक्त स्थान में बनच रिक्त स्थान का एक महत्वपूर्ण वर्ग बनाते हैं माप और संभाव्यता रिक्त स्थान के गणितीय विश्लेषण में उनकी महत्वपूर्ण भूमिका के कारण भौतिकी, सांख्यिकी, अर्थशास्त्र, वित्त, इंजीनियरिंग और अन्य विषयों में समस्याओं की सैद्धांतिक चर्चा में भी लेबेस्गु रिक्त स्थान का उपयोग किया जाता है।

एम्बेडिंग

सामान्य बोलचाल में अगर $1\leq p<q\leq \infty ,$ है तो इसमें ऐसे $L^{p}(S,\mu )$ कई कार्य सम्मिलित हैं जो अधिक स्थानीय रूप से एकवचन हैं जबकि ये तत्व $L^{q}(S,\mu )$ अधिक फैलाया जा सकता है तथा रेखा पर लेबेस्गु माप पर इसमें एक सतत कार्य $L^{1}$ होता है लेकिन अनंत की ओर तेजी से क्षय नहीं होना चाहिए तथा यह दूसरी ओर निरंतर कार्य करता है $L^{\infty }$ को बिल्कुल भी क्षय की आवश्यकता नहीं है लेकिन विस्फोट की अनुमति भी नहीं है इस तकनीकी के परिणाम निम्नलिखित है जैसे कि $0<p<q\leq \infty .$ तब

1. $L^{q}(S,\mu )\subseteq L^{p}(S,\mu )$ अगर $S$ परिमित के समूह नहीं होते हैं उदाहरण के लिए कोई परिमित माप।
2. $L^{p}(S,\mu )\subseteq L^{q}(S,\mu )$ और $S$ गैर-शून्य के समूह में सम्मिलित नहीं हैं लेकिन छोटे होते हैं।

माप के साथ वास्तविक रेखा के लिए कोई भी शर्त नहीं है जबकि दोनों स्थितियाँ किसी परिमित समूह पर गिनती माप के लिए अग्रसर नहीं हैं ये दोनों ही जगहों में व्याख्या करते हैं जिसकी पहचान एक चालक पर सीमित है $L^{q}$ को $L^{p}$ की जगहों में और $L^{p}$ को $L^{q}$ क्षण में यह बंद ग्राफ प्रमेय और गुणों का परिणाम है तथा $L^{p}$ रिक्त स्थान और डोमेन $S$ परिमित माप है जो इस प्रकार है-

$$\ \|\mathbf {1} f^{p}\|_{1}\leq \|\mathbf {1} \|_{q/(q-p)}\|f^{p}\|_{q/p}$$

तब

$$\ \|f\|_{p}\leq \mu (S)^{1/p-1/q}\|f\|_{q}.$$

उपरोक्त असमानता में दिखाई देने वाले निरंतर अर्थ में कि पहचान का मानदंड यह $I:L^{q}(S,\mu )\to L^{p}(S,\mu )$ है जहाँ

$$\|I\|_{q,p}=\mu (S)^{1/p-1/q}$$

इसमें समानता ठीक उसी समय प्राप्त किया जा रहा है $f=1$ $\mu$

सघन उपस्थान

इस पूरे खंड में हम यह मानते हैं $1\leq p<\infty .$एक माप स्थान बनें एक पूर्णांक सरल कार्य $f$ पर $S$ एक रूप है जो इस प्रकार है

$$f=\sum _{j=1}^{n}a_{j}\mathbf {1} _{A_{j}}$$

जब $a_{j}$ अदिश राशि है तो यह $A_{j}\in \Sigma$ परिमित उपाय है और ${\mathbf {1} }_{A_{j}}$ समूह