नौ-बिंदु चक्र

नौ बिंदु

  त्रिभुज भुजाएँ

  ऊंचाई (ऑर्थोसेंटर पर सहमत)

  पार्श्व मध्यबिंदुओं के लंबवत रेखा खंड (परिकेंद्र पर समवर्ती)

  नाइन-पॉइंट सर्कल (नौ-पॉइंट सेंटर पर केंद्रित)

ध्यान दें कि लंबकेन्द्र और परिकेन्द्र त्रिभुज के बाहर होने पर भी निर्माण कार्य करता है।

ज्यामिति में, नौ-बिंदु वाला वृत्त एक वृत्त होता है जिसे किसी दिए गए त्रिभुज के लिए बनाया जा सकता है। इसका नाम इसलिए रखा गया है क्योंकि यह त्रिभुज से परिभाषित नौ महत्वपूर्ण चक्रीय बिंदुओं से होकर निकलते है। ये नौ बिंदु (ज्यामिति) हैं:

• त्रिभुज की प्रत्येक भुजा का मध्य बिंदु
• प्रत्येक ऊंचाई का लंबवत (त्रिकोण)
• त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष (ज्यामिति) से लंबकेन्द्र तक रेखा खंड का मध्यबिंदु (जहाँ तीन उन्नतांश मिलते हैं; ये रेखाखंड अपनी-अपनी ऊँचाई पर स्थित होते हैं)।

नौ-बिंदु वाले वृत्त को फ्यूअरबैक के वृत्त (कार्ल विल्हेम फेउरबैक के बाद), यूलर के वृत्त (लियोनहार्ड यूलर के बाद), टेरक्वेम के वृत्त (ओलरी टेरक्यूम के बाद), छह-बिंदु वाले वृत्त, बारह-बिंदु वाले वृत्त n-बिंदु के रूप में भी जाना जाता है। वृत्त मध्यवृत्त वृत्त, मध्य वृत्त या परिवृत्त-मध्यवृत्त है। इसका केंद्र त्रिभुज का नौ-बिंदु केंद्र है।

नौ महत्वपूर्ण बिंदु

ऊपर दिया गया आरेख नौ-बिंदु वाले वृत्त के नौ महत्वपूर्ण बिंदुओं को दर्शाता है। बिंदु D, E, F त्रिभुज की तीनों भुजाओं के मध्य बिंदु हैं। बिंदु G, H, I त्रिभुज की ऊँचाई के लंबवत हैं। बिंदु J, K, L प्रत्येक ऊँचाई के शीर्ष (ज्यामिति) प्रतिच्छेदन (बिंदु A, B, C) और त्रिभुज का लंबकेन्द्र (बिंदु S)के बीच रेखा खंडों के मध्य बिंदु हैं |

एक तीव्र त्रिकोण के लिए, छह बिंदु (मध्यबिंदु और ऊंचाई लंबवत) त्रिभुज पर ही स्थित होते हैं; अधिक कोण वाले त्रिभुज के लिए दो शीर्षलंबों के लंबवत त्रिकोण के बाहर होते हैं, किन्तु ये लंबवत अभी भी नौ-बिंदु वाले वृत्त से संबंधित हैं।

आविष्कार

यद्यपि उन्हें इसकी आविष्कार का श्रेय दिया जाता है, कार्ल विल्हेम फेउरबैक ने पूरी तरह से नौ-बिंदु वाले वृत्त की आविष्कार नहीं की, किन्तु छह-बिंदु वाले वृत्त की आविष्कार की, जो त्रिभुज के तीनों पक्षों के मध्यबिंदुओं के महत्व और उस की ऊंचाई के चरणों को पहचानता है। त्रिकोण। (चित्र 1 देखें, बिंदु D, E, F, G, H, I.) (पहले की तारीख में, चार्ल्स ब्रायनचोन और जीन-विक्टर पोंसेलेट ने उसी प्रमेय को कहा और सिद्ध किया था।) किन्तु जल्द ही फेउरबैक के बाद, गणितज्ञ ओलरी टेरक्यूम ने खुद को वृत्त के अस्तित्व को सिद्ध कर दिया। वह त्रिभुज के शीर्षों और लंबकेन्द्र के बीच के तीन मध्यबिंदुओं के अतिरिक्त महत्व को पहचानने वाले पहले व्यक्ति थे। (चित्र 1 देखें, बिंदु J, K, L.) इस प्रकार, टेरक्वेम नौ-बिंदु वृत्त नाम का उपयोग करने वाला पहला व्यक्ति था।

स्पर्शरेखा वृत्त

नौ-बिंदु वाला वृत्त अंतःवृत्त और बाह्यवृत्तों को स्पर्श करता है

1822 में कार्ल फेउरबैक ने पाया कि किसी भी त्रिभुज का नौ-बिंदु वाला वृत्त बाहरी रूप से उस त्रिभुज के तीन बहिर्वृत्तों को स्पर्श करता है और आंतरिक रूप से उसके अंतःवृत्त को स्पर्श करता है; इस परिणाम को फायरबैक प्रमेय के रूप में जाना जाता है। उन्होंने सिद्ध किया कि:

वह वृत्त जो किसी त्रिभुज की ऊंचाई के पादों से होकर निकलते है, उन चारों वृत्तों को स्पर्श करता है जो बदले में त्रिभुज की तीनों भुजाओं को स्पर्श करते हैं |

(फ्यूअरबैक 1822)

वह त्रिभुज केंद्र जिस पर अंतर्वृत्त और नौ-बिंदु वृत्त स्पर्श करते हैं, उसे फेउरबैक बिंदु कहा जाता है।

नौ-बिंदु वृत्त के अन्य गुण

• किसी त्रिभुज के परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या उस त्रिभुज के नौ-बिंदु वाले वृत्त की त्रिज्या की दोगुनी होती है।

चित्र तीन

• एक नौ-बिंदु वाला वृत्त संगत त्रिभुज के लंबकेंद्र से उसके परिवृत्त पर किसी बिंदु तक जाने वाले रेखा खंड को द्विभाजित करता है।

चित्रा 4

• नौ-बिंदु वाले वृत्त का केंद्र लंबकेन्द्र H से परिकेन्द्र O तक एक खंड को द्विभाजित करता है (ऑर्थोकेंद्र को दोनों वृत्तों के होमोथेटिक केंद्र बनाता है):: 

${\overline {ON}}={\overline {NH}}.$

• नौ सूत्री केंद्र N H केन्द्रक से यूलर रेखा के साथ-साथ एक-चौथाई है G ऑर्थोसेंटर के लिए :

${\overline {HN}}=3{\overline {NG}}.$

• ω चक्रीय चतुर्भुज के विकर्ण त्रिभुज का नौ-बिंदु वाला वृत्त होता है। चक्रीय चतुर्भुज के द्विमाध्यकों के प्रतिच्छेदन बिंदु नौ-बिंदु वृत्त के अंतर्गत आता है।

ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। △EFG का विकर्ण त्रिभुज है ABCD. बिंदु T के द्विमाध्यकों के प्रतिच्छेदन का ABCD नौ-बिंदु वाले वृत्त के अंतर्गत आता है △EFG.

एक संदर्भ त्रिभुज का नौ-बिंदु चक्र संदर्भ त्रिभुज के औसत अंकित का त्रिभुज (संदर्भ त्रिभुज के किनारों के मध्यबिंदुओं पर कोने के साथ) और इसके ओर्थिक त्रिभुज (संदर्भ त्रिभुज की ऊंचाई के फलक पर कोने के साथ) दोनों का परिधि है। .

• त्रिभुज के शीर्षों से निकलने वाले सभी आयताकार अतिपरवलयों का केंद्र इसके नौ-बिंदु वाले वृत्त पर स्थित होता है। उदाहरणों में फ्रेडरिक विल्हेम अगस्त लुडविग कीपर्ट, वैक्लेव जेराबेक और फेउरबैक के प्रसिद्ध आयताकार अतिपरवलय सम्मिलित हैं। इस तथ्य को फायरबैक शांकव प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

ऑर्थोसेन्ट्रिक प्रणाली के नौ बिंदु वृत्त और 16 स्पर्शरेखा वृत्त

* यदि चार बिंदुओं की ऑर्थोसेन्ट्रिक प्रणाली A, B, C, H दिया गया है, तो उस प्रणाली के तीन अलग-अलग बिंदुओं के किसी भी संयोजन से बने चार त्रिकोण सभी एक ही नौ-बिंदु वाले वृत्त को साझा करते हैं। यह समरूपता का परिणाम है: एक शीर्ष से सटे एक त्रिभुज की भुजाएँ जो दूसरे त्रिभुज का लंबकेंद्र है, उस दूसरे त्रिभुज के खंड हैं। एक तीसरा मध्यबिंदु उनके आम पक्ष पर स्थित है। (समान 'मिडपॉइंट्स' अलग-अलग नौ-बिंदु वृत्त को परिभाषित करते हैं, वे वृत्त समवर्ती होने चाहिए।)

• परिणाम स्वरुप, इन चार त्रिकोणों में समान त्रिज्या वाले परिवृत्त हैं। N सामान्य नौ-बिंदु केंद्र का प्रतिनिधित्व करते हैं और P ऑर्थोसेन्ट्रिक प्रणाली के तल में इच्छानुसार बिंदु है। तब

${\overline {NA}}^{2}+{\overline {NB}}^{2}+{\overline {NC}}^{2}+{\overline {NH}}^{2}=3R^{2}$ :जहाँ R सामान्य परित्रिज्या है; और यदि

${\overline {PA}}^{2}+{\overline {PB}}^{2}+{\overline {PC}}^{2}+{\overline {PH}}^{2}=K^{2},$

जहाँ K को स्थिर रखा जाता है, तो P का स्थान N पर केंद्रित एक वृत्त है जिसकी त्रिज्या के साथ ${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {K^{2}-3R^{2}}}.$ जैसा P N के पास पहुँचता है संगत स्थिरांक K के लिए P का स्थान,N नौ सूत्री केंद्र पर गिर जाता है । इसके अतिरिक्त नौ-बिंदु वृत्त का स्थान है P जैसे कि

${\overline {PA}}^{2}+{\overline {PB}}^{2}+{\overline {PC}}^{2}+{\overline {PH}}^{2}=4R^{2}.$

• एक त्रिकोण के अंतःवृत्त और बहिर्वृत्त के केंद्र एक ऑर्थोसेन्ट्रिक प्रणाली बनाते हैं। उस ओर्थोसेंट्रिक प्रणाली के लिए बनाया गया नौ-बिंदु चक्र मूल त्रिकोण का परिवृत्त है। ऑर्थोसेन्ट्रिक प्रणाली में ऊंचाई के लंबवत मूल त्रिभुज के शिखर हैं।
• यदि चार इच्छानुसार बिंदु A, B, C, D दिए गए हैं जो ऑर्थोसेन्ट्रिक प्रणाली नहीं बनाते हैं, फिर नौ-बिंदु वृत्त △ABC, △BCD, △CDA, △DAB एक बिंदु पर सहमत, बिंदु A, B, C, D.के पोंसलेट इन नौ-बिंदु मंडलियों के शेष छह स्थान बिंदु प्रत्येक चार त्रिभुजों के मध्यबिंदुओं के साथ मिलते हैं। उल्लेखनीय रूप से, इन चार इच्छानुसार बिंदुओं के केंद्र में केंद्रित एक अद्वितीय नौ-बिंदु शंकु उपस्थित है, जो इन नौ-बिंदु मंडलियों के सभी सात बिंदुओं के स्थान से निकलते है। इसके अतिरिक्त, ऊपर वर्णित फेउरबैक शांकव प्रमेय के कारण, चार नौ-बिंदु हलकों के सामान्य स्थान बिंदु पर केंद्रित एक अद्वितीय आयताकार परिधि उपस्थित है, जो चार मूल इच्छानुसार बिंदुओं के साथ-साथ चार त्रिकोणों के ऑर्थोसेंटर से होकर निकलते है।
• यदि चार बिंदु A, B, C, D दिए गए हैं जो एक चक्रीय चतुर्भुज बनाते हैं, फिर नौ-बिंदु मंडल △ABC, △BCD, △CDA, △DAB चक्रीय चतुर्भुज एंटीसेंटर और चक्रीय चतुर्भुज की संरेखता पर सहमति होती है। चक्रीय चतुर्भुज के परिवृत्त की आधी त्रिज्या के साथ नौ-बिंदु वृत्त सर्वांगसम हैं। नौ-बिंदु मंडल चार जॉनसन हलकों का समुच्चय बनाते हैं। परिणाम स्वरुप, चार नौ-बिंदु केंद्र चक्रीय होते हैं और चक्रीय चतुर्भुज के एंटीसेंटर पर केंद्रित चार नौ-बिंदु हलकों के अनुरूप एक चक्र पर स्थित होते हैं। इसके अतिरिक्त, चार नौ-पोंट केंद्रों से बनने वाला चक्रीय चतुर्भुज संदर्भ चक्रीय चतुर्भुज के संदर्भ में होमोथेटिक परिवर्तन है ABCD के गुणक और इसके होमोथेटिक केंद्र द्वारा N -½ परिकेन्द्र को जोड़ने वाली रेखा पर स्थित है |

${\overline {ON}}=2{\overline {NM}}.$

• परिधि से निकलने वाली रेखाओं का ऑर्थोपोल नौ-बिंदु वाले वृत्त पर स्थित होता है।
• त्रिभुज का परिवृत्त, उसका नौ-बिंदु वाला वृत्त, उसका ध्रुवीय वृत्त (ज्यामिति), और उसके स्पर्शरेखा त्रिभुज का परिवृत्त समाक्षीय वृत्त हैं।
• किपर्ट अतिशयोक्ति के केंद्र के लिए त्रिरेखीय निर्देशांक हैं

${\frac {(b^{2}-c^{2})^{2}}{a}}:{\frac {(c^{2}-a^{2})^{2}}{b}}:{\frac {(a^{2}-b^{2})^{2}}{c}}$

• जेरेबेक अतिपरवलय के केंद्र के लिए त्रिरेखीय निर्देशांक हैं

$\cos(A)\sin ^{2}(B-C):\cos(B)\sin ^{2}(C-A):\cos(C)\sin ^{2}(A-B)$

• दे रहा है x : y : z त्रिरेखीय निर्देशांक में एक चर बिंदु हो, नौ-बिंदु वृत्त के लिए एक समीकरण है

$x^{2}\sin 2A+y^{2}\sin 2B+z^{2}\sin 2C-2(yz\sin A+zx\sin B+xy\sin C)=0.$

सामान्यीकरण

Main article: नौ-बिंदु शंकु

वृत्त एक शंकु खंड का एक उदाहरण है और नौ-बिंदु वृत्त सामान्य नौ-बिंदु शंकु का एक उदाहरण है जिसे त्रिभुज △ABC और चौथे बिंदु P के संबंध में बनाया गया है, जहां विशेष नौ-बिंदु वृत्त का उदाहरण है तब उत्पन्न होता है जब P, △ABC का लंबकेन्द्र होता है। त्रिभुज के शीर्ष और P एक पूर्ण चतुर्भुज और तीन "विकर्ण बिंदु निर्धारित करते हैं जहाँ चतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। चतुर्भुज में छह भुजाएँ होती हैं; नौ-बिंदु शंकु मध्यबिंदुओं को काटता है। ये और विकर्ण बिंदु भी सम्मिलित हैं। शंकु एक दीर्घवृत्त है जब P,△ABC के आंतरिक भाग में है या त्रिकोण के साथ ऊर्ध्वाधर कोण साझा करने वाले क्षेत्र में है, किन्तु एक नौ-बिंदु अतिपरवलय तब होता है जब P तीन आसन्न क्षेत्रों में से एक में होता है, और अतिपरवलय आयताकार होता है जब P △ABC के परिवृत्त पर स्थित होता है

यह भी देखें

• हार्ट वृत्त, वृत्ताकार त्रिकोणों के लिए संबंधित निर्माण
• लेस्टर की प्रमेय
• पॉन्सलेट बिंदु
• कृत्रिम ज्यामिति

संदर्भ

• Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2nd ed.), New York: Barnes & Noble, LCCN 52013504
• Feuerbach, Karl Wilhelm; Buzengeiger, Carl Heribert Ignatz (1822), Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren. Eine analytisch-trigonometrische Abhandlung (Monograph ed.), Nürnberg: Wiessner.
• Kay, David C. (1969), College Geometry, New York: Holt, Rinehart and Winston, LCCN 69012075
• Fraivert, David (2019), "New points that belong to the nine-point circle", The Mathematical Gazette, 103 (557): 222–232, doi:10.1017/mag.2019.53, S2CID 213935239
• Fraivert, David (2018), "New applications of method of complex numbers in the geometry of cyclic quadrilaterals" (PDF), International Journal of Geometry, 7 (1): 5–16

बाहरी संबंध

• "A Javascript demonstration of the nine point circle" at rykap.com
• Encyclopedia of Triangles Centers by Clark Kimberling. The nine-point center is indexed as X(5), the फेउरबैक point, as X(11), the center of the Kiepert hyperbola as X(115), and the center of the Jeřábek hyperbola as X(125).
• History about the nine-point circle based on J.S. MacKay's article from 1892: History of the Nine Point Circle
• Weisstein, Eric W. "Nine-Point Circle". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Orthopole". MathWorld.
• Nine Point Circle in Java at cut-the-knot
• Feuerbach's Theorem: a Proof at cut-the-knot
• Special lines and circles in a triangle by Walter Fendt
• Interactive Nine Point Circle applet from the Wolfram Demonstrations Project
• Nine-point conic and Euler line generalization at Dynamic Geometry Sketches Generalizes nine-point circle to a nine-point conic with an associated generalization of the Euler line.
• N J Wildberger. Chromogeometry. Discusses the nine-point circle with regard to three different quadratic forms (blue, red, green).