फेरी अनुक्रम

F₉ के लिए फारे आरेख।

File:Farey sequence denominators 9.svg

फारे अनुक्रम, F₉ के भाजको द्वारा बनाया गया सममित प्रतिरूप।

फारे अनुक्रम, F₂₅ के भाजको द्वारा बनाया गया सममित प्रतिरूप।

गणित में, क्रम n का फारे अनुक्रम पूर्णतया से कम किए गए अंशों का अनुक्रम है, या तो 0 और 1 के मध्य, या इस प्रतिबंध के बिना, जो सबसे कम शब्दों में n से कम या उसके समान है, बढ़ते आकार के क्रम में व्यवस्थित किया गया है।

प्रतिबंधित परिभाषा के साथ, प्रत्येक फारे अनुक्रम मान 0 से प्रारंभ होता है, जिसे अंश द्वारा दर्शाया जाता है 0/1, और मान 1 के साथ समाप्त होता है, जिसे भिन्न द्वारा दर्शाया जाता है 1/1 (हालाँकि कुछ लेखक इन प्रतिबंधों को छोड़ देते हैं)।

एक फ़ारे अनुक्रम को कभी-कभी फ़ारे श्रृंखला (गणित) कहा जाता है, जो पूर्णतया से सही नहीं है, क्योंकि शब्दों का योग नहीं किया जाता है।

उदाहरण

अनुक्रम 1 से 8 के फारे क्रम हैं:

F₁ = { 0/1_, 1/1 }

F₂ = { 0/1_, 1/2_, 1/1 }

F₃ = { 0/1_, 1/3_, 1/2_, 2/3_, 1/1 }

F₄ = { 0/1_, 1/4_, 1/3_, 1/2_, 2/3_, 3/4_, 1/1 }

F₅ = { 0/1_, 1/5_, 1/4_, 1/3_, 2/5_, 1/2_, 3/5_, 2/3_, 3/4_, 4/5_, 1/1 }

F₆ = { 0/1_, 1/6_, 1/5_, 1/4_, 1/3_, 2/5_, 1/2_, 3/5_, 2/3_, 3/4_, 4/5_, 5/6_, 1/1 }

F₇ = { 0/1_, 1/7_, 1/6_, 1/5_, 1/4_, 2/7_, 1/3_, 2/5_, 3/7_, 1/2_, 4/7_, 3/5_, 2/3_, 5/7_, 3/4_, 4/5_, 5/6_, 6/7_, 1/1 }

F₈ = { 0/1_, 1/8_, 1/7_, 1/6_, 1/5_, 1/4_, 2/7_, 1/3_, 3/8_, 2/5_, 3/7_, 1/2_, 4/7_, 3/5_, 5/8_, 2/3_, 5/7_, 3/4_, 4/5_, 5/6_, 6/7_, 7/8_, 1/1 }

केन्द्रीकृत
F1 = { 0/1, 1/1 }
F2 = { 0/1, 1/2, 1/1 }
F3 = { 0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1 }
F4 = { 0/1, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1/1 }
F5 = { 0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1 }
F6 = { 0/1, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 1/1 }
F7 = { 0/1, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 1/1 }
F8 = { 0/1, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 1/1 }

क्रमबद्ध

F1 = {0/1, 1/1} F2 = {0/1, 1/2, 1/1} F3 = {0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1} F4 = {0/1, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1/1} F5 = {0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1} F6 = {0/1, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 1/1} F7 = {0/1, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 1/1} F8 = {0/1, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 1/1}

फारे सनबर्स्ट

File:Sunburst 8.png

आलेखन F₆ अंश और भाजक हैं।

File:Farey sunbursts 1-10.svg

पुनरावृत्तियों के स्टारबर्स्ट 1-10 अध्यारोपित।

अनुक्रम के अंशों बनाम हरों को प्लॉट करने से दाईं ओर एक जैसा आकार मिलता है, जिसे निम्न F₆ के लिए दर्शाया गया है:

इस आकार को विकर्ण और मुख्य अक्षों के चारों ओर प्रतिबिंबित करने से नीचे दर्शाए गए फारे सनबर्स्ट उत्पन्न होते हैं। फारे सनबर्स्ट ऑफ क्रम n साइड 2 के वर्ग में मूल से दृश्यमान पूर्णांक जालक बिंदुओं को जोड़ता हैn, मूल पर केंद्रित है। पिक के प्रमेय का उपयोग करते हुए, सनबर्स्ट का क्षेत्रफल 4(|F_n|−1), जहां |F_n| #अनुक्रम_लंबाई_और_अनुक्रमणिका_का_अंश|में भिन्नों की संख्या F_n है।

File:Farey sunburst 6.svg

क्रम 6 का फारे सनबर्स्ट, पिक के प्रमेय के अनुसार, 1 आंतरिक (लाल) और 96 सीमा (हरा) बिंदुओं के साथ एक क्षेत्र 1 + 96/2 − 1 = 48 प्रदान करता है।

इतिहास

'फारे श्रृंखला' का इतिहास बहुत ही रोचक है - हार्डी एंड राइट (1979)

... एक बार फिर वह व्यक्ति जिसका नाम गणितीय संबंध को दिया गया था, जहाँ तक अभिलेखों की बात है, वह मूल खोजकर्ता नहीं था। - बीलर (1964)

फ़ारे अनुक्रमों का नाम यूनाइटेड किंगडम के भूविज्ञानी जॉन फ़ारे, सीनियर के नाम पर रखा गया है, जिनके इन अनुक्रमों के विषय में पत्र 1816 में दार्शनिक पत्रिका में प्रकाशित हुआ था। फ़ारे ने अनुमान लगाया, बिना प्रमाण प्रस्तुत किए, कि फ़ारे अनुक्रम विस्तार में प्रत्येक नया शब्द औसत (गणित) है ) इसके सहवासियों के। फारे का पत्र कॉची द्वारा पढ़ा गया था, जिन्होंने अपने गणित का अभ्यास में एक प्रमाण प्रदान किया था, और इस परिणाम का श्रेय फारे को दिया। वास्तव में, एक अन्य गणितज्ञ, चार्ल्स हारोस ने 1802 में इसी तरह के परिणाम प्रकाशित किए थे, जो न तो फारे और न ही कॉची को ज्ञात थे।इस प्रकार यह एक ऐतिहासिक दुर्घटना थी जिसने फारे के नाम को इन अनुक्रमों के साथ जोड़ा। यह स्टिगलर के नामकरण के नियम का एक उदाहरण है।

गुणधर्म

एक अंश की अनुक्रम लंबाई और सूचकांक

क्रम एन के फारे अनुक्रम में निचले क्रम के फारे अनुक्रमों के सभी सदस्य सम्मिलित हैं। विशेष रूप से F_n F_n−1 के सभी सदस्य सम्मिलित हैं और प्रत्येक संख्या के लिए एक अतिरिक्त अंश भी सम्मिलित है जो n से कम है और n के लिए सहअभाज्य है। इस प्रकार F₆ F₅ से मिलकर बनता है अंशों के साथ 1/6 और 5/6.

फारे अनुक्रम F_n की मध्य अवधि सदैव से रहा है 1/2, n > 1 के लिए। इससे हम F_n की लंबाइयों को संबंधित कर सकते हैं और F_n−1 यूलर के कुल कार्य का उपयोग करना $\varphi (n)$ :

$|F_{n}|=|F_{n-1}|+\varphi (n).$

इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि |F₁| = 2, हम F_n की लंबाई के लिए व्यंजक व्युत्पन्न कर सकते हैं:

$|F_{n}|=1+\sum _{m=1}^{n}\varphi (m)=1+\Phi (n)$

जहाँ $\Phi (n)$ टोटिएंट सारांश कार्य है।

हमारे पास भी है:

$|F_{n}|={\frac {1}{2}}\left(3+\sum _{d=1}^{n}\mu (d)\left\lfloor {\tfrac {n}{d}}\right\rfloor ^{2}\right)$

और मोबियस उलटा सूत्र द्वारा:

$|F_{n}|={\frac {1}{2}}(n+3)n-\sum _{d=2}^{n}|F_{\lfloor n/d\rfloor }|,$

जहाँ µ(d) संख्या-सैद्धांतिक मोबियस फलन है, और $\lfloor {\tfrac {n}{d}}\rfloor$ तल और छत कार्य है।

|F_n| का स्पर्शोन्मुख व्यवहार है:

$|F_{n}|\sim {\frac {3n^{2}}{\pi ^{2}}}.$

अनुक्रमणिका $I_{n}(a_{k,n})=k$ एक अंश का $a_{k,n}$ फारे क्रम में $F_{n}=\{a_{k,n}:k=0,1,\ldots ,m_{n}\}$ बस यही स्थिति है, क्रम $a_{k,n}$ में रखता है। यह विशेष प्रासंगिकता का है क्योंकि इसका उपयोग रीमैन परिकल्पना के वैकल्पिक सूत्रीकरण में किया जाता है, #Riemann परिकल्पना देखें। विभिन्न उपयोगी गुणों का पालन करें:

$I_{n}(0/1)=0,$

$I_{n}(1/n)=1,$

$I_{n}(1/2)=(|F_{n}|-1)/2,$

$I_{n}(1/1)=|F_{n}|-1,$

$I_{n}(h/k)=|F_{n}|-1-I_{n}((k-h)/k).$

का सूचकांक $1/k$ जहाँ $n/(i+1)<k\leq n/i$ और $n$ पहले $i$ संख्या का लघुत्तम समापवर्त्य है, $n={\rm {lcm}}([2,i])$, द्वारा दिया गया है:

$I_{n}(1/k)=1+n\sum _{j=1}^{i}{\frac {\varphi (j)}{j}}-k\Phi (i).$

फारे सहवासी

अंश जो किसी भी फारे अनुक्रम में सहवासी शब्द हैं, उन्हें फारे जोड़ी के रूप में जाना जाता है और इनमें निम्नलिखित गुण होते हैं।

यदि a/b और c/d फ़ारे क्रम में सहवासी हैं, साथ में a/b < c/d, फिर उनका अंतर c/d − a/b के समान 1/bd है। तब से

${\frac {c}{d}}-{\frac {a}{b}}={\frac {bc-ad}{bd}}$

यह ऐसा कहने के समान है

$bc-ad=1$.

इस प्रकार 1/3 और 2/5 F₅ में सहवासी हैं और उनका अंतर 1/15 है।

इसका उलटा भी सच है। यदि

$bc-ad=1$

सकारात्मक पूर्णांक a, b, c और d के लिए a < b और c < d के साथ a/b और c/d क्रम मैक्स (बी, डी) के फारे अनुक्रम में सहवासी होंगे।

यदि p/q के सहवासी हैं a/b और c/d कुछ फारे अनुक्रम में, के साथ

${\frac {a}{b}}<{\frac {p}{q}}<{\frac {c}{d}}$

तब p/q का माध्यिका (गणित) है a/b और c/d - दूसरे शब्दों में,

${\frac {p}{q}}={\frac {a+c}{b+d}}$

यह पिछले गुणधर्म से सरलता से अनुसरण करता है, क्योंकि यदि bp – aq = qc – pd = 1, तब bp + pd = qc + aq, p(b + d) = q(a + c), p/q = a + c/b + d है।

इससे पता चलता है कि यदि a/b और c/d फारे अनुक्रम में सहवासी हैं तो उनके मध्य पहला शब्द जो फारे अनुक्रम के क्रम में वृद्धि के रूप में प्रकट होता है।

${\frac {a+c}{b+d}}$

जो पहले क्रम के फारे अनुक्रम में प्रकट होता है b + d.

इस प्रकार के मध्य प्रकट होने वाला पहला पद 1/3 और 2/5, 3/8 है, जो F₈ में दिखाई देता है।

F_n में फारे सहवासी युग्म की कुल संख्या 2|F_n| − 3 है।

स्टर्न-ब्रोकॉट ट्री एक डेटा संरचना है जो दर्शाती है कि अनुक्रम 0 (= 0/1) और 1 (= 1/1), क्रमिक मध्यस्थों को लेकर।

समतुल्य-क्षेत्र व्याख्या

फारे परिमेय की प्रत्येक क्रमिक जोड़ी का एक समतुल्य क्षेत्रफल 1 होता है। क्रमिक परिमेय r की व्याख्या करके इसे देखें₁ = पी/क्यू और आर₂ = p'/q' x-y तल में सदिशों (p, q) के रूप में। A(p/q, p'/q') का क्षेत्रफल qp' - q'p द्वारा दिया गया है। पिछले दो क्रमागत फारे अनुक्रम अंशों के मध्य किसी भी अतिरिक्त अंश की गणना माध्यिका (⊕) के रूप में की जाती है, तो A(r₁, आर₁ ⊕ आर₂) = ए (आर₁, आर₁) + ए (आर₁, आर₂) = ए (आर₁, आर₂) = 1 (आर के बाद से₁ = 1/0 और आर₂ = 0/1, इसका क्षेत्रफल 1 होना चाहिए)।

फेरे सहवासी और निरंतर अंश

फारे अनुक्रम में पड़ोसियों के रूप में दिखाई देने वाले अंशों में निरंतर भिन्न विस्तार से संबंधित है। प्रत्येक भिन्न के दो निरंतर भिन्न विस्तार होते हैं - एक में अंतिम पद 1 होता है; दूसरे में अंतिम अवधि 1 से अधिक है। यदि p/q, जो पहली बार फारे सीक्वेंस F में दिखाई देता है_q, अंश विस्तार जारी रखा है।

[0; a₁, a₂, ..., a_{n − 1}, a_n, 1]

[0; a₁, a₂, ..., a_{n − 1}, a_n + 1]

फिर का निकटतम सहवासी p/q F_q में(जो बड़े भाजक के साथ उसका सहवासी होगा) का निरंतर भिन्न विस्तार है।

[0; a₁, a₂, ..., a_n]

और इसके दूसरे सहवासी का निरंतर अंश विस्तार है।

[0; a₁, a₂, ..., a_{n − 1}]

उदाहरण के लिए, 3/8 के दो निरंतर अंश विस्तार हैं [0; 2, 1, 1, 1] और [0; 2, 1, 2], और इसके सहवासी F₈ 2/5 हैं, जिसे इस रूप में विस्तारित किया जा सकता है [0; 2, 1, 1]; और 1/3, जिसे इस [0; 2, 1] रूप में विस्तारित किया जा सकता है।

फैरी अंश और कम से कम सामान्य एकाधिक

लघुत्तम समापवर्तक को फारे भिन्नों के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

${\text{lcm}}[1,2,...,N]=e^{\psi (N)}={\frac {1}{2}}\left(\prod _{r\in F_{N},0<r\leq 1/2}2\sin(\pi r)\right)^{2}$

जहाँ $\psi (N)$ दूसरा चेबिशेव समारोह है।

फैरी अंश और सबसे बड़ा सामान्य विभाजक

चूँकि यूलर का कुल कार्य सीधे सबसे बड़े सामान्य विभाजक से जुड़ा होता है, इसलिए F_n में तत्वों की संख्या होती है।

$|F_{n}|=1+\sum _{m=1}^{n}\varphi (m)=1+\sum \limits _{m=1}^{n}\sum \limits _{k=1}^{m}\gcd(k,m)\cos {2\pi {\frac {k}{m}}}.$

किसी भी 3 फैरी अंशों के लिए a/b, c/d और e/f निरपेक्ष मूल्य में 2x2 मैट्रिक्स निर्धारक के सबसे बड़े सामान्य भाजक के मध्य निम्नलिखित पहचान है:

$\gcd \left({\begin{Vmatrix}a&c\\b&d\end{Vmatrix}},{\begin{Vmatrix}a&e\\b&f\end{Vmatrix}}\right)=\gcd \left({\begin{Vmatrix}a&c\\b&d\end{Vmatrix}},{\begin{Vmatrix}c&e\\d&f\end{Vmatrix}}\right)=\gcd \left({\begin{Vmatrix}a&e\\b&f\end{Vmatrix}},{\begin{Vmatrix}c&e\\d&f\end{Vmatrix}}\right)$

अनुप्रयोग

अपरिमेय संख्याओं का परिमेय सन्निकटन ज्ञात करने के लिए फारे क्रम बहुत उपयोगी होते हैं। उदाहरण के लिए, एलियाहौ द्वारा निर्माण Collatz conjecture#Cycles|3x+1 प्रक्रिया में गैर-तुच्छ चक्रों की लंबाई पर एक निचली सीमा संख्या लॉग के निरंतर अंश विस्तार की गणना करने के लिए फारे अनुक्रमों का उपयोग करती है₂(3)।

अनुनाद घटना के साथ भौतिक प्रणालियों में, फारे अनुक्रम 1डी में अनुनाद स्थानों की गणना करने के लिए एक बहुत ही सुरुचिपूर्ण और कुशल विधि प्रदान करते हैं और 2डी। वर्ग-कोशिका वाले जालक पर किसी भी-कोण पथ योजना के अध्ययन में फ़ारे अनुक्रम प्रमुख हैं, उदाहरण के लिए उनकी कम्प्यूटेशनल जटिलता को चिह्नित करने में या इष्टतमता। कनेक्शन को आर-बाधित पथों के संदर्भ में माना जा सकता है, अर्थात् लाइन सेगमेंट से बने पथ जो प्रत्येक अधिकतम पर चलते हैं $r$ पंक्तियाँ और अधिक से अधिक $r$ कोशिकाओं के स्तंभ। होने देना $Q$ वैक्टर का सेट हो $(q,p)$ ऐसा है कि $1\leq q\leq r$, $0\leq p\leq q$, और $p$, $q$ कोप्राइम हैं। होने देना $Q*$ चिंतन का परिणाम हो $Q$ कतार में $y=x$. होने देना $S=\{(\pm x,\pm y):(x,y)\in Q\cup Q*\}$. तब किसी भी आर-बाधित पथ को सदिशों के अनुक्रम के रूप में वर्णित किया जा सकता है $S$. मध्य आपत्ति है $Q$ और अनुक्रम का फारे क्रम $r$ द्वारा दिए गए $(q,p)$ मैपिंग करने के लिए ${\tfrac {p}{q}}$.

फोर्ड सर्किल

हर अंश के लिए p/q (सबसे कम प्रतिबंधों में) एक फोर्ड सर्कल सी है [p/q], जो त्रिज्या 1/(2q²) और केंद्र (p/q, 1/ 2q² ). अलग-अलग अंशों के लिए दो फोर्ड मंडल या तो अलग सेट हैं या वे एक दूसरे के लिए स्पर्शरेखा हैं- दो फोर्ड मंडल कभी भी एक दूसरे को नहीं काटते हैं। यदि 0 < p/q <1 तो फोर्ड मंडल जो सी के स्पर्शरेखा हैं [p/q] निश्चित रूप से भिन्नों के लिए फोर्ड सर्कल हैं जो सहवासी हैं p/q कुछ फारे क्रम में।

इस प्रकार C [2/5] C की स्पर्शरेखा है C [1/2], C [1/3], C [3/7], C [3/8] आदि।

अपोलोनियन गैसकेट (0,0,1,1) में फोर्ड सर्किल भी दिखाई देते हैं। नीचे दी गई तस्वीर इसे फारे अनुनाद रेखाओं के साथ दर्शाती है।

File:Apolloinan gasket Farey.png

अपोलोनियन गैसकेट (0,0,1,1) और फारे अनुनाद आरेख।

रीमैन परिकल्पना

रीमैन परिकल्पना के दो समकक्ष योगों में फारे अनुक्रमों का उपयोग किया जाता है। मान लीजिए की शर्तें $F_{n}$ हैं $\{a_{k,n}:k=0,1,\ldots ,m_{n}\}$. परिभाषित करना $d_{k,n}=a_{k,n}-k/m_{n}$, दूसरे शब्दों में $d_{k,n}$ nवें फारे क्रम के kवें पद और अंकों की समान संख्या के समुच्चय के kवें सदस्य के मध्य का अंतर है, जो इकाई अंतराल पर समान रूप से वितरित है। 1924 में जेरोम फ्रनेल प्रमाणित कर दिया कि बयान

$\sum _{k=1}^{m_{n}}d_{k,n}^{2}=O(n^{r})\quad \forall r>-1$

रीमैन परिकल्पना और फिर एडमंड लैंडौ के समान है टिप्पणी की (फ्रानेल के पेपर के ठीक बाद) कि बयान

$\sum _{k=1}^{m_{n}}|d_{k,n}|=O(n^{r})\quad \forall r>1/2$

रीमैन परिकल्पना के समतुल्य भी है।

फारे अंशों से जुड़े अन्य योग

क्रम n के सभी फारे अंशों का योग तत्वों की संख्या का आधा है:

$\sum _{r\in F_{n}}r={\frac {1}{2}}|F_{n}|.$

फारे अनुक्रम में हरों का योग अंशों के योग का दोगुना है और यूलर के पूर्ण कार्य से संबंधित है:

$\sum _{a/b\in F_{n}}b=2\sum _{a/b\in F_{n}}a=1+\sum _{i=1}^{n}i\varphi (i),$

जिसे 1962 में हेरोल्ड एल. आरोन द्वारा अनुमानित किया गया था और 1966 में जीन ए. ब्लेक द्वारा प्रदर्शित किया गया था। हेरोल्ड एल. आरोन अनुमान का एक पंक्ति प्रमाण इस प्रकार है। अंशों का योग ${\displaystyle 1+\sum _{2\leq b\leq n}\sum _{(a,b)=1}a=1+\sum _{2\leq b\leq n}b{\frac {\varphi (b)}{2}}}$ है। भाजक का योग ${\displaystyle 2+\sum _{2\leq b\leq n}\sum _{(a,b)=1}b=2+\sum _{2\leq b\leq n}b\varphi (b)}$ है। पहले योग का दूसरे योग से भागफल ${\frac {1}{2}}$ है।

चलो b_j F_n के क्रमित हर हों, तब:

$\sum _{j=0}^{|F_{n}|-1}{\frac {b_{j}}{b_{j+1}}}={\frac {3|F_{n}|-4}{2}}$

और

$\sum _{j=0}^{|F_{n}|-1}{\frac {1}{b_{j+1}b_{j}}}=1$

माना a_j/b_j F_n में jवें फारे अंश, तब

$\sum _{j=1}^{|F_{n}|-1}(a_{j-1}b_{j+1}-a_{j+1}b_{j-1})=\sum _{j=1}^{|F_{n}|-1}{\begin{Vmatrix}a_{j-1}&a_{j+1}\\b_{j-1}&b_{j+1}\end{Vmatrix}}=3(|F_{n}|-1)-2n-1$

जिसमें दर्शाया गया है। साथ ही इस सन्दर्भ के अनुसार योग के अंदर के शब्द को कई अलग-अलग तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है:

$a_{j-1}b_{j+1}-a_{j+1}b_{j-1}={\frac {b_{j-1}+b_{j+1}}{b_{j}}}={\frac {a_{j-1}+a_{j+1}}{a_{j}}}=\left\lfloor {\frac {n+b_{j-1}}{b_{j}}}\right\rfloor$

एक ही परिणाम के साथ फारे तत्वों पर इस प्रकार कई अलग-अलग रकम प्राप्त करना। लगभग 1/2 पूर्व समरूपता का उपयोग करना योग को अनुक्रम के आधे भाग तक सीमित किया जा सकता है

$\sum _{j=1}^{\lfloor |F_{n}|/2\rfloor }(a_{j-1}b_{j+1}-a_{j+1}b_{j-1})=3(|F_{n}|-1)/2-n-\lceil n/2\rceil$

Mertens फलन को फारे भिन्नों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$M(n)=-1+\sum _{a\in {\mathcal {F}}_{n}}e^{2\pi ia}$ जहाँ ${\mathcal {F}}_{n}$ क्रम n का फारे क्रम है।

इस सूत्र का उपयोग फारे अनुक्रम#रीमैन परिकल्पना|फ्रानेल-लैंडौ प्रमेय के प्रमाण में किया जाता है।

अगला पद

F_n की पारंपरिक शर्तें उत्पन्न करने के लिए एक आश्चर्यजनक सरल कलन विधि उपस्थित है क्रम (आरोही) या गैर-पारंपरिक क्रम (अवरोही) में। कलन विधि प्रत्येक क्रमिक प्रविष्टि की गणना पिछली दो प्रविष्टियों के संदर्भ में ऊपर दी गई औसत संपत्ति का उपयोग करके करता है। यदि a/b और c/d दो दी गई प्रविष्टियाँ हैं, और p/q तब अज्ञात अगली प्रविष्टि है c/d = a + p/b + q. तब से c/d निम्नतम शब्दों में है, तो एक पूर्णांक k होना चाहिए जैसे कि kc = a + p और kd = b + q, जिससे p = kc − a और q = kd − b मिलता है। यदि हम p और q को k का फलन मानते हैं, तब

${\frac {p(k)}{q(k)}}-{\frac {c}{d}}={\frac {cb-da}{d(kd-b)}}$

तो जितना बड़ा k होगा, उतना ही समीप होगा p/q उस तक पहुँचना c/d.

अनुक्रम में अगला पद देने के लिए k जितना संभव हो उतना बड़ा होना चाहिए, kd − b ≤ n के अधीन (क्योंकि हम केवल उन संख्याओं पर विचार कर रहे हैं जिनके भाजक n से अधिक नहीं हैं), इसलिए k सबसे बड़ा पूर्णांक ≤n + b/d है। k के इस मान को वापस p और q के समीकरणों में रखने पर प्राप्त होता है।

$p=\left\lfloor {\frac {n+b}{d}}\right\rfloor c-a$

$q=\left\lfloor {\frac {n+b}{d}}\right\rfloor d-b$

इसे पायथन (क्रमादेशन भाषा) में निम्नानुसार कार्यान्वित किया गया है:

डेफ फारे अनुक्रम(n: int,अवरोही: बूल = असत्य) -> कोई नहीं:
    """n वें फारे अनुक्रम को मुद्रण करें। आरोही या अवरोही के लिए अनुमति प्रदान करें।"""
    (a, b, c, d) = (0, 1, 1 , n)
    यदि अवरोही हो तो:
        (a, c) = (1, n - 1)
    मुद्रण ("{0}/{1}" है। प्रारूप(a, b)) है।
    जबकि (c <= n और अवरोही नहीं) या (a > 0 और अवरोही):
        k = (n + b) // d
        (a, b, c, d) = (c, d, k * c - a, k * d - b)
        मुद्रण ("{0}/{1}" है। प्रारूप(a, b)) है।

परिमेय में डायोफैंटाइन समीकरणों के समाधान के लिए पाशविक बल खोज प्रायः फारे श्रृंखला (केवल कम रूपों की खोज करने के लिए) का लाभ उठा सकती है। हालांकि यह सांकेतिक अंक a, b, c और d को आरंभ करने के लिए अनुक्रम के पहले दो शब्दों का उपयोग करता है, लेकिन किसी विशेष सीमा से कम (या उससे अधिक) को बाहर करने के लिए आसन्न शब्दों की किसी भी जोड़ी को स्थानापन्न कर सकता है।

यह भी देखें

• अबकाबा पैटर्न
• स्टर्न-ब्रोकॉट ट्री
• यूलर का कुल कार्य

अग्रिम पठन

• Hatcher, Allen. "Topology of Numbers". Mathematics. Ithaca, NY: Cornell U.
• Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1989). Concrete Mathematics: A foundation for computer science (2nd ed.). Boston, MA: Addison-Wesley. pp. 115–123, 133–139, 150, 462–463, 523–524. ISBN 0-201-55802-5. — in particular, see §4.5 (pp. 115–123), Bonus Problem 4.61 (pp. 150, 523–524), §4.9 (pp. 133–139), §9.3, Problem 9.3.6 (pp. 462–463).
• Vepstas, Linas. "The Minkowski Question Mark, GL(2,Z), and the Modular Group" (PDF). — reviews the isomorphisms of the Stern-Brocot Tree.
• Vepstas, Linas. "Symmetries of Period-Doubling Maps" (PDF). — reviews connections between फारे Fractions and Fractals.
• Cobeli, Cristian; Zaharescu, Alexandru (2003). "The Haros–Farey sequence at two hundred years. A survey". Acta Univ. Apulensis Math. Inform. (5): 1–38. "pp. 1–20" (PDF). Acta Univ. Apulensis. "pp. 21–38" (PDF). Acta Univ. Apulensis.
• Matveev, Andrey O. (2017). Farey Sequences: Duality and Maps Between Subsequences. Berlin, DE: De Gruyter. ISBN 978-3-11-054662-0. Errata + Code

बाहरी संबंध

• Bogomolny, Alexander. "Farey series". Cut-the-Knot.
• Bogomolny, Alexander. "Stern-Brocot Tree". Cut-the-Knot.
• Pennestri, Ettore. "A Brocot table of base 120".
• "Farey series", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Stern-Brocot Tree". MathWorld.
• OEIS sequence A005728 (Number of fractions in Farey series of order n)
• OEIS sequence A006842 (Numerators of Farey series of order n)
• OEIS sequence A006843 (Denominators of Farey series of order n)
• Archived at Ghostarchive and the Wayback Machine: Bonahon, Francis. Funny Fractions and Ford Circles (video). Brady Haran. Retrieved 9 June 2015 – via YouTube.