फेरी अनुक्रम: Difference between revisions

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{{Short description|Increasing sequence of reduced fractions}}
{{Short description|Increasing sequence of reduced fractions}}
[[Image:Farey diagram horizontal arc 9.svg|thumb|300px|लिंक ={{filepath:Farey diagram horizontal arc 9.svg}}|F के लिए फेरी आरेख<sub>9</sub> represented with circular arcs. In [[Media:Farey diagram horizontal arc 9.svg|एसवीजी छवि, इसे और इसकी शर्तों को हाइलाइट करने के लिए वक्र पर होवर करें।]]
[[Image:Farey diagram square 9.svg|thumb|एफ के लिए फेरी आरेख<sub>9</sub>.]]
[[Image:Farey sequence denominators 9.svg|thumb|फेरी अनुक्रम, एफ के हरों द्वारा बनाया गया सममित पैटर्न<sub>9</sub>.]]
[[Image:Farey sequence denominators 25.svg|thumb|फेरी अनुक्रम, एफ के हरों द्वारा बनाया गया सममित पैटर्न<sub>25</sub>.]]गणित में, ऑर्डर 'एन' का फेरी [[अनुक्रम]] पूरी तरह से कम किए गए [[अंश]]ों का अनुक्रम है, या तो 0 और 1 के बीच, या इस प्रतिबंध के बिना,{{efn|“''The sequence of all reduced fractions with denominators not exceeding n, listed in order of their size, is called the Farey sequence of order n.''” With the comment: “''This definition of the Farey sequences seems to be the most convenient. However, some authors prefer to restrict the fractions to the interval from 0 to 1.''” — Niven & Zuckerman (1972)<ref>{{cite book |author1-link=Ivan M. Niven |first1=Ivan M. |last1=Niven |first2=Herbert S. |last2=Zuckerman |title=An Introduction to the Theory of Numbers |edition=Third |publisher=John Wiley and Sons |year=1972 |at=Definition&nbsp;6.1}}</ref>}} जो [[सबसे कम शब्दों में]] n से कम या उसके बराबर है, बढ़ते आकार के क्रम में व्यवस्थित किया गया है।


प्रतिबंधित परिभाषा के साथ, प्रत्येक फेरी अनुक्रम मान 0 से शुरू होता है, जिसे अंश द्वारा दर्शाया जाता है {{sfrac|0|1}}, और मान 1 के साथ समाप्त होता है, जिसे भिन्न द्वारा दर्शाया जाता है {{sfrac|1}} (हालाँकि कुछ लेखक इन शर्तों को छोड़ देते हैं)।
[[Image:Farey diagram square 9.svg|thumb|F के लिए फारे आरेख<sub>9</sub>.]]
[[Image:Farey sequence denominators 9.svg|thumb|फारे अनुक्रम, F के हरों द्वारा बनाया गया सममित पैटर्न<sub>9</sub>.]]
[[Image:Farey sequence denominators 25.svg|thumb|फारे अनुक्रम, F के हरों द्वारा बनाया गया सममित पैटर्न<sub>25</sub>.]]गणित में, क्रम ''n'' का फारे [[अनुक्रम]] पूर्णतया से कम किए गए [[अंश]]ों का अनुक्रम है, या तो 0 और 1 के  मध्य, या इस प्रतिबंध के बिना,{{efn|“''The sequence of all reduced fractions with denominators not exceeding n, listed in order of their size, is called the Farey sequence of order n.''” With the comment: “''This definition of the Farey sequences seems to be the most convenient. However, some authors prefer to restrict the fractions to the interval from 0 to 1.''” — Niven & Zuckerman (1972)<ref>{{cite book |author1-link=Ivan M. Niven |first1=Ivan M. |last1=Niven |first2=Herbert S. |last2=Zuckerman |title=An Introduction to the Theory of Numbers |edition=Third |publisher=John Wiley and Sons |year=1972 |at=Definition&nbsp;6.1}}</ref>}} जो [[सबसे कम शब्दों में]] n से कम या उसके समान है, बढ़ते आकार के क्रम में व्यवस्थित किया गया है।


एक फ़ारे अनुक्रम को कभी-कभी फ़ारे श्रृंखला (गणित) कहा जाता है, जो पूरी तरह से सही नहीं है, क्योंकि शब्दों का योग नहीं किया जाता है।<ref>{{cite book|last1=Guthery |first1=Scott B. |year=2011 |title=A Motif of Mathematics: History and Application of the Mediant and the Farey Sequence |chapter=1. The Mediant |page=7 |publisher=Docent Press |location=Boston |language=en |isbn=978-1-4538-1057-6 |oclc=1031694495 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=swb2c9enRJcC&pg=PA7 |access-date=28 September 2020}}</ref>
प्रतिबंधित परिभाषा के साथ, प्रत्येक फारे अनुक्रम मान 0 से  प्रारंभ होता है, जिसे अंश द्वारा दर्शाया जाता है {{sfrac|0|1}}, और मान 1 के साथ समाप्त होता है, जिसे भिन्न द्वारा दर्शाया जाता है {{sfrac|1}} (हालाँकि कुछ लेखक इन प्रतिबंधों को छोड़ देते हैं)।
 
एक फ़ारे अनुक्रम को कभी-कभी फ़ारे श्रृंखला (गणित) कहा जाता है, जो पूर्णतया से सही नहीं है, क्योंकि शब्दों का योग नहीं किया जाता है।<ref>{{cite book|last1=Guthery |first1=Scott B. |year=2011 |title=A Motif of Mathematics: History and Application of the Mediant and the Farey Sequence |chapter=1. The Mediant |page=7 |publisher=Docent Press |location=Boston |language=en |isbn=978-1-4538-1057-6 |oclc=1031694495 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=swb2c9enRJcC&pg=PA7 |access-date=28 September 2020}}</ref>




== उदाहरण ==
== उदाहरण ==
आदेश 1 से 8 के फेरी क्रम हैं:
अनुक्रम 1 से 8 के फारे क्रम हैं:
:एफ<sub>1</sub> = { {{sfrac|0|1}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|1}} }
:''F''<sub>1</sub> = { {{sfrac|0|1}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|1}} }
:एफ<sub>2</sub> = { {{sfrac|0|1}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|2}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|1}} }
:''F''<sub>2</sub> = { {{sfrac|0|1}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|2}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|1}} }
:एफ<sub>3</sub> = { {{sfrac|0|1}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|3}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|2}}<sub>,</sub> {{sfrac|2|3}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|1}} }
:''F''<sub>3</sub> = { {{sfrac|0|1}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|3}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|2}}<sub>,</sub> {{sfrac|2|3}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|1}} }
:एफ<sub>4</sub> = { {{sfrac|0|1}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|4}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|3}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|2}}<sub>,</sub> {{sfrac|2|3}}<sub>,</sub> {{sfrac|3|4}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|1}} }
:''F''<sub>4</sub> = { {{sfrac|0|1}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|4}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|3}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|2}}<sub>,</sub> {{sfrac|2|3}}<sub>,</sub> {{sfrac|3|4}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|1}} }
:एफ<sub>5</sub> = { {{sfrac|0|1}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|5}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|4}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|3}}<sub>,</sub> {{sfrac|2|5}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|2}}<sub>,</sub> {{sfrac|3|5}}<sub>,</sub> {{sfrac|2|3}}<sub>,</sub> {{sfrac|3|4}}<sub>,</sub> {{sfrac|4|5}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|1}} }
:''F''<sub>5</sub> = { {{sfrac|0|1}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|5}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|4}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|3}}<sub>,</sub> {{sfrac|2|5}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|2}}<sub>,</sub> {{sfrac|3|5}}<sub>,</sub> {{sfrac|2|3}}<sub>,</sub> {{sfrac|3|4}}<sub>,</sub> {{sfrac|4|5}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|1}} }
:एफ<sub>6</sub> = { {{sfrac|0|1}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|6}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|5}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|4}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|3}}<sub>,</sub> {{sfrac|2|5}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|2}}<sub>,</sub> {{sfrac|3|5}}<sub>,</sub> {{sfrac|2|3}}<sub>,</sub> {{sfrac|3|4}}<sub>,</sub> {{sfrac|4|5}}<sub>,</sub> {{sfrac|5|6}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|1}} }
:''F''<sub>6</sub> = { {{sfrac|0|1}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|6}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|5}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|4}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|3}}<sub>,</sub> {{sfrac|2|5}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|2}}<sub>,</sub> {{sfrac|3|5}}<sub>,</sub> {{sfrac|2|3}}<sub>,</sub> {{sfrac|3|4}}<sub>,</sub> {{sfrac|4|5}}<sub>,</sub> {{sfrac|5|6}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|1}} }
:एफ<sub>7</sub> = { {{sfrac|0|1}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|7}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|6}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|5}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|4}}<sub>,</sub> {{sfrac|2|7}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|3}}<sub>,</sub> {{sfrac|2|5}}<sub>,</sub> {{sfrac|3|7}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|2}}<sub>,</sub> {{sfrac|4|7}}<sub>,</sub> {{sfrac|3|5}}<sub>,</sub> {{sfrac|2|3}}<sub>,</sub> {{sfrac|5|7}}<sub>,</sub> {{sfrac|3|4}}<sub>,</sub> {{sfrac|4|5}}<sub>,</sub> {{sfrac|5|6}}<sub>,</sub> {{sfrac|6|7}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|1}} }
:''F''<sub>7</sub> = { {{sfrac|0|1}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|7}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|6}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|5}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|4}}<sub>,</sub> {{sfrac|2|7}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|3}}<sub>,</sub> {{sfrac|2|5}}<sub>,</sub> {{sfrac|3|7}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|2}}<sub>,</sub> {{sfrac|4|7}}<sub>,</sub> {{sfrac|3|5}}<sub>,</sub> {{sfrac|2|3}}<sub>,</sub> {{sfrac|5|7}}<sub>,</sub> {{sfrac|3|4}}<sub>,</sub> {{sfrac|4|5}}<sub>,</sub> {{sfrac|5|6}}<sub>,</sub> {{sfrac|6|7}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|1}} }
:एफ<sub>8</sub> = { {{sfrac|0|1}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|8}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|7}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|6}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|5}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|4}}<sub>,</sub> {{sfrac|2|7}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|3}}<sub>,</sub> {{sfrac|3|8}}<sub>,</sub> {{sfrac|2|5}}<sub>,</sub> {{sfrac|3|7}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|2}}<sub>,</sub> {{sfrac|4|7}}<sub>,</sub> {{sfrac|3|5}}<sub>,</sub> {{sfrac|5|8}}<sub>,</sub> {{sfrac|2|3}}<sub>,</sub> {{sfrac|5|7}}<sub>,</sub> {{sfrac|3|4}}<sub>,</sub> {{sfrac|4|5}}<sub>,</sub> {{sfrac|5|6}}<sub>,</sub> {{sfrac|6|7}}<sub>,</sub> {{sfrac|7|8}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|1}} }
:''F''<sub>8</sub> = { {{sfrac|0|1}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|8}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|7}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|6}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|5}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|4}}<sub>,</sub> {{sfrac|2|7}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|3}}<sub>,</sub> {{sfrac|3|8}}<sub>,</sub> {{sfrac|2|5}}<sub>,</sub> {{sfrac|3|7}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|2}}<sub>,</sub> {{sfrac|4|7}}<sub>,</sub> {{sfrac|3|5}}<sub>,</sub> {{sfrac|5|8}}<sub>,</sub> {{sfrac|2|3}}<sub>,</sub> {{sfrac|5|7}}<sub>,</sub> {{sfrac|3|4}}<sub>,</sub> {{sfrac|4|5}}<sub>,</sub> {{sfrac|5|6}}<sub>,</sub> {{sfrac|6|7}}<sub>,</sub> {{sfrac|7|8}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|1}} }


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! Centered
! केन्द्रीकृत
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| ''F''<sub>1</sub> = { {{sfrac|0|1}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|1}} }
| ''F''<sub>1</sub> = { {{sfrac|0|1}}<sub>,</sub> {{sfrac|1|1}} }
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! Sorted
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===सूरज की उंगली ===
===फारे सनबर्स्ट ===
[[File:Sunburst 8.png|thumb|right|300px|प्लॉटिंग एफ<sub>6</sub> अंश और भाजक]]
[[File:Sunburst 8.png|thumb|right|300px|प्लॉटिंग एफ<sub>6</sub> अंश और भाजक]]
[[File:Farey sunbursts 1-10.svg|thumb|right|150px|पुनरावृत्तियों के स्टारबर्स्ट 1-10 अध्यारोपित]]फारे अनुक्रम के अंशों बनाम हरों को प्लॉट करने से दाईं ओर एक जैसा आकार मिलता है, जिसे निम्न के लिए दिखाया गया है: {{mvar|F}}<sub>6</sub>.
[[File:Farey sunbursts 1-10.svg|thumb|right|150px|पुनरावृत्तियों के स्टारबर्स्ट 1-10 अध्यारोपित]]अनुक्रम के अंशों बनाम हरों को प्लॉट करने से दाईं ओर एक जैसा आकार मिलता है, जिसे निम्न के लिए दर्शाया गया है: {{mvar|F}}<sub>6</sub>.


इस आकार को विकर्ण और मुख्य अक्षों के चारों ओर प्रतिबिंबित करने से नीचे दिखाए गए फेरी सनबर्स्ट उत्पन्न होते हैं। फरे सनबर्स्ट ऑफ ऑर्डर {{mvar|n}} साइड 2 के वर्ग में मूल से दृश्यमान पूर्णांक ग्रिड बिंदुओं को जोड़ता है{{mvar|n}}, मूल पर केंद्रित है। पिक के प्रमेय का उपयोग करते हुए, सनबर्स्ट का क्षेत्रफल 4(|{{mvar|F}}<sub>n</sub>|−1), जहां |{{mvar|F}}<sub>n</sub>| #अनुक्रम_लंबाई_और_अनुक्रमणिका_का_अंश|में भिन्नों की संख्या है {{mvar|F}}<sub>n</sub>.
इस आकार को विकर्ण और मुख्य अक्षों के चारों ओर प्रतिबिंबित करने से नीचे दर्शाए गए फारे सनबर्स्ट उत्पन्न होते हैं। फारे सनबर्स्ट ऑफ क्रम {{mvar|n}} साइड 2 के वर्ग में मूल से दृश्यमान पूर्णांक जालक बिंदुओं को जोड़ता है{{mvar|n}}, मूल पर केंद्रित है। पिक के प्रमेय का उपयोग करते हुए, सनबर्स्ट का क्षेत्रफल 4(|{{mvar|F}}<sub>n</sub>|−1), जहां |{{mvar|F}}<sub>n</sub>| #अनुक्रम_लंबाई_और_अनुक्रमणिका_का_अंश|में भिन्नों की संख्या है {{mvar|F}}<sub>n</sub>.
[[File:Farey_sunburst_6.svg|thumb|center|300px|ऑर्डर 6 का फरी सनबर्स्ट, 1 आंतरिक (लाल) और 96 सीमा (हरा) बिंदुओं के साथ एक क्षेत्र देता है {{nowrap|{{color|red|1}} + {{sfrac|{{color|green|96}}|2}} − 1 {{=}} 48,}} पिक के प्रमेय के अनुसार]]
[[File:Farey_sunburst_6.svg|thumb|center|300px|क्रम 6 का फरी सनबर्स्ट, 1 आंतरिक (लाल) और 96 सीमा (हरा) बिंदुओं के साथ एक क्षेत्र देता है {{nowrap|{{color|red|1}} + {{sfrac|{{color|green|96}}|2}} − 1 {{=}} 48,}} पिक के प्रमेय के अनुसार]]


== इतिहास ==
== इतिहास ==
:'फेरी श्रृंखला' का इतिहास बहुत ही रोचक है - हार्डी एंड राइट (1979)<ref>{{cite book |author1-link=G. H. Hardy |author1=Hardy, G.H. |author2-link=E. M. Wright |author2=Wright, E.M. |year=1979 |title=संख्या के सिद्धांत का परिचय|edition=Fifth |publisher=Oxford University Press |isbn=0-19-853171-0 |at=[https://archive.org/details/introductiontoth00hard/page/ Chapter&nbsp;III] |url=https://archive.org/details/introductiontoth00hard/page/ }}</ref>
:'फारे श्रृंखला' का इतिहास बहुत ही रोचक है - हार्डी एंड राइट (1979)<ref>{{cite book |author1-link=G. H. Hardy |author1=Hardy, G.H. |author2-link=E. M. Wright |author2=Wright, E.M. |year=1979 |title=संख्या के सिद्धांत का परिचय|edition=Fifth |publisher=Oxford University Press |isbn=0-19-853171-0 |at=[https://archive.org/details/introductiontoth00hard/page/ Chapter&nbsp;III] |url=https://archive.org/details/introductiontoth00hard/page/ }}</ref>
:... एक बार फिर वह व्यक्ति जिसका नाम गणितीय संबंध को दिया गया था, जहाँ तक अभिलेखों की बात है, वह मूल खोजकर्ता नहीं था। - बीलर (1964)<ref name=Beiler>{{cite book |author=Beiler, Albert H. |year=1964 |title=संख्या के सिद्धांत में मनोरंजन|edition=Second |publisher=Dover |isbn=0-486-21096-0 |at=Chapter&nbsp;XVI}} Cited in {{cite web |url=http://www.cut-the-knot.org/blue/FareyHistory.shtml |title=Farey Series, A Story |publisher=[[Cut-the-Knot]]}}</ref>
:... एक बार फिर वह व्यक्ति जिसका नाम गणितीय संबंध को दिया गया था, जहाँ तक अभिलेखों की बात है, वह मूल खोजकर्ता नहीं था। - बीलर (1964)<ref name=Beiler>{{cite book |author=Beiler, Albert H. |year=1964 |title=संख्या के सिद्धांत में मनोरंजन|edition=Second |publisher=Dover |isbn=0-486-21096-0 |at=Chapter&nbsp;XVI}} Cited in {{cite web |url=http://www.cut-the-knot.org/blue/FareyHistory.shtml |title=Farey Series, A Story |publisher=[[Cut-the-Knot]]}}</ref>
फ़ारे अनुक्रमों का नाम [[यूनाइटेड किंगडम]] के [[भूविज्ञानी]] जॉन फ़ारे, सीनियर के नाम पर रखा गया है, जिनके इन अनुक्रमों के बारे में पत्र 1816 में [[दार्शनिक पत्रिका]] में प्रकाशित हुआ था। फ़ारे ने अनुमान लगाया, बिना सबूत पेश किए, कि फ़ारे अनुक्रम विस्तार में प्रत्येक नया शब्द औसत (गणित) है ) इसके पड़ोसियों के। फेरी का पत्र [[कॉची]] द्वारा पढ़ा गया था, जिन्होंने अपने एक्सर्सिसिस डे मैथेमेटिक में एक प्रमाण प्रदान किया था, और इस परिणाम का श्रेय फेरी को दिया। वास्तव में, एक अन्य गणितज्ञ, [[चार्ल्स हारोस]] ने 1802 में इसी तरह के परिणाम प्रकाशित किए थे, जो न तो फेरी और न ही कॉची को ज्ञात थे।<ref name=Beiler/>इस प्रकार यह एक ऐतिहासिक दुर्घटना थी जिसने फेरी के नाम को इन अनुक्रमों के साथ जोड़ा। यह स्टिगलर के नामकरण के नियम का एक उदाहरण है।
फ़ारे अनुक्रमों का नाम [[यूनाइटेड किंगडम]] के [[भूविज्ञानी]] जॉन फ़ारे, सीनियर के नाम पर रखा गया है, जिनके इन अनुक्रमों के विषय में पत्र 1816 में [[दार्शनिक पत्रिका]] में प्रकाशित हुआ था। फ़ारे ने अनुमान लगाया, बिना प्रमाण प्रस्तुत किए, कि फ़ारे अनुक्रम विस्तार में प्रत्येक नया शब्द औसत (गणित) है ) इसके सहवासियों के। फारे का पत्र [[कॉची]] द्वारा पढ़ा गया था, जिन्होंने अपने गणित का अभ्यास में एक प्रमाण प्रदान किया था, और इस परिणाम का श्रेय फारे को दिया। वास्तव में, एक अन्य गणितज्ञ, [[चार्ल्स हारोस]] ने 1802 में इसी तरह के परिणाम प्रकाशित किए थे, जो न तो फारे और न ही कॉची को ज्ञात थे।<ref name=Beiler/>इस प्रकार यह एक ऐतिहासिक दुर्घटना थी जिसने फारे के नाम को इन अनुक्रमों के साथ जोड़ा। यह स्टिगलर के नामकरण के नियम का एक उदाहरण है।


== गुण ==
== गुण ==


=== एक अंश की अनुक्रम लंबाई और सूचकांक ===
=== एक अंश की अनुक्रम लंबाई और सूचकांक ===
ऑर्डर एन के फेरी अनुक्रम में निचले क्रम के फेरी अनुक्रमों के सभी सदस्य शामिल हैं। विशेष रूप से एफ<sub>n</sub>F के सभी सदस्य शामिल हैं<sub>''n''&minus;1</sub> और प्रत्येक संख्या के लिए एक अतिरिक्त अंश भी शामिल है जो n से कम है और n के लिए सहअभाज्य है। इस प्रकार एफ<sub>6</sub> F से मिलकर बनता है<sub>5</sub> अंशों के साथ {{sfrac|1|6}} और {{sfrac|5|6}}.
क्रम एन के फारे अनुक्रम में निचले क्रम के फारे अनुक्रमों के सभी सदस्य सम्मिलित हैं। विशेष रूप से ''F''<sub>n</sub> F<sub>''n''&minus;1</sub> के सभी सदस्य सम्मिलित हैं और प्रत्येक संख्या के लिए एक अतिरिक्त अंश भी सम्मिलित है जो n से कम है और n के लिए सहअभाज्य है। इस प्रकार ''F''<sub>6</sub> ''F''<sub>5</sub> से मिलकर बनता है अंशों के साथ {{sfrac|1|6}} और {{sfrac|5|6}}.


फेरी अनुक्रम एफ की मध्य अवधि<sub>''n''</sub> हमेशा से रहा है {{sfrac|1|2}},
फारे अनुक्रम ''F<sub>n</sub>'' की मध्य अवधि सदैव से रहा है {{sfrac|1|2}},
n > 1 के लिए। इससे हम F की लंबाइयों को संबंधित कर सकते हैं<sub>n</sub>और एफ<sub>''n''&minus;1</sub> यूलर के कुल कार्य का उपयोग करना <math>\varphi(n)</math> :
n > 1 के लिए। इससे हम ''F''<sub>n</sub> की लंबाइयों को संबंधित कर सकते हैं और ''F<sub>n</sub>''<sub>&minus;1</sub> यूलर के कुल कार्य का उपयोग करना <math>\varphi(n)</math> :


:<math>|F_n| = |F_{n-1}| + \varphi(n).</math>
:<math>|F_n| = |F_{n-1}| + \varphi(n).</math>
इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि |एफ<sub>1</sub>| = 2, हम F की लंबाई के लिए व्यंजक व्युत्पन्न कर सकते हैं<sub>n</sub>:<ref>{{Cite OEIS|A005728}}</ref>
इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि |''F''<sub>1</sub>| = 2, हम ''F''<sub>n</sub> की लंबाई के लिए व्यंजक व्युत्पन्न कर सकते हैं:<ref>{{Cite OEIS|A005728}}</ref>
:<math>|F_n| = 1 + \sum_{m=1}^n \varphi(m) = 1 + \Phi(n),</math>
:<math>|F_n| = 1 + \sum_{m=1}^n \varphi(m) = 1 + \Phi(n),</math>
कहाँ <math>\Phi(n)</math> टोटिएंट सारांश कार्य है।
जहाँ <math>\Phi(n)</math> टोटिएंट सारांश कार्य है।


हमारे पास भी है :
हमारे पास भी है :
Line 89: Line 89:
जहाँ µ(d) संख्या-सैद्धांतिक मोबियस फलन है, और  <math>\lfloor \tfrac{n}{d} \rfloor </math> तल और छत कार्य है।
जहाँ µ(d) संख्या-सैद्धांतिक मोबियस फलन है, और  <math>\lfloor \tfrac{n}{d} \rfloor </math> तल और छत कार्य है।


एफ का स्पर्शोन्मुख व्यवहार<sub>n</sub>| है :
''F'' का स्पर्शोन्मुख व्यवहार<sub>n</sub>| है :
:<math>|F_n| \sim \frac {3n^2}{\pi^2}.</math>
:<math>|F_n| \sim \frac {3n^2}{\pi^2}.</math>
अनुक्रमणिका <math>I_n(a_{k,n})=k</math> एक अंश का <math>a_{k,n}</math> फेरी क्रम में <math>F_n=\{a_{k,n} : k = 0, 1, \ldots, m_n\}</math> बस यही स्थिति है <math>a_{k,n}</math> क्रम में रखता है। यह विशेष प्रासंगिकता का है क्योंकि इसका उपयोग [[रीमैन परिकल्पना]] के वैकल्पिक सूत्रीकरण में किया जाता है, #Riemann परिकल्पना देखें। विभिन्न उपयोगी गुणों का पालन करें:
अनुक्रमणिका <math>I_n(a_{k,n})=k</math> एक अंश का <math>a_{k,n}</math> फारे क्रम में <math>F_n=\{a_{k,n} : k = 0, 1, \ldots, m_n\}</math> बस यही स्थिति है <math>a_{k,n}</math> क्रम में रखता है। यह विशेष प्रासंगिकता का है क्योंकि इसका उपयोग [[रीमैन परिकल्पना]] के वैकल्पिक सूत्रीकरण में किया जाता है, #Riemann परिकल्पना देखें। विभिन्न उपयोगी गुणों का पालन करें:
:<math>I_n(0/1) = 0,</math>
:<math>I_n(0/1) = 0,</math>
:<math>I_n(1/n) = 1,</math>
:<math>I_n(1/n) = 1,</math>
Line 97: Line 97:
:<math>I_n(1/1) = |F_n|-1 ,</math>
:<math>I_n(1/1) = |F_n|-1 ,</math>
:<math>I_n(h/k) = |F_n|-1-I_n((k-h)/k).</math>
:<math>I_n(h/k) = |F_n|-1-I_n((k-h)/k).</math>
का सूचकांक <math>1/k</math> कहाँ <math>n/(i+1) < k \leq n/i </math> और <math>n</math> पहले का लघुत्तम समापवर्त्य है <math>i</math> नंबर, <math>n={\rm lcm}([2,i]) </math>, द्वारा दिया गया है:<ref name=Tomas2018>{{cite journal |last=Tomas |first=Rogelio |url=https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL25/Tomas/tomas5.pdf|title=आंशिक फ्रैनल योग| journal=Journal of Integer Sequences | date=January 2022 |volume=25 |issue=1  <!-- |access-date=16 January 2022 --> }}</ref>
का सूचकांक <math>1/k</math> जहाँ <math>n/(i+1) < k \leq n/i </math> और <math>n</math> पहले का लघुत्तम समापवर्त्य है <math>i</math> नंबर, <math>n={\rm lcm}([2,i]) </math>, द्वारा दिया गया है:<ref name=Tomas2018>{{cite journal |last=Tomas |first=Rogelio |url=https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL25/Tomas/tomas5.pdf|title=आंशिक फ्रैनल योग| journal=Journal of Integer Sequences | date=January 2022 |volume=25 |issue=1  <!-- |access-date=16 January 2022 --> }}</ref>
:<math>I_n(1/k) = 1 + n \sum_{j=1}^{i} \frac{\varphi(j)}{j} - k\Phi(i).</math>
:<math>I_n(1/k) = 1 + n \sum_{j=1}^{i} \frac{\varphi(j)}{j} - k\Phi(i).</math>




=== फेरी पड़ोसी<!-- This section is linked from [[Farey pair]] -->===
=== फारे सहवासी<!-- This section is linked from [[Farey pair]] -->===
अंश जो किसी भी फेरी अनुक्रम में पड़ोसी शब्द हैं, उन्हें फेरी जोड़ी के रूप में जाना जाता है और इनमें निम्नलिखित गुण होते हैं।
अंश जो किसी भी फारे अनुक्रम में सहवासी शब्द हैं, उन्हें फारे जोड़ी के रूप में जाना जाता है और इनमें निम्नलिखित गुण होते हैं।


अगर {{sfrac|''a''|''b''}} और {{sfrac|''c''|''d''}} फ़ारे क्रम में पड़ोसी हैं, साथ में {{sfrac|''a''|''b''}} < {{sfrac|''c''|''d''}}, फिर उनका अंतर {{sfrac|''c''|''d''}} − {{sfrac|''a''|''b''}} के बराबर है {{sfrac|1|''bd''}}. तब से
यदि {{sfrac|''a''|''b''}} और {{sfrac|''c''|''d''}} फ़ारे क्रम में सहवासी हैं, साथ में {{sfrac|''a''|''b''}} < {{sfrac|''c''|''d''}}, फिर उनका अंतर {{sfrac|''c''|''d''}} − {{sfrac|''a''|''b''}} के समान है {{sfrac|1|''bd''}}. तब से
:<math>\frac{c}{d} - \frac{a}{b} = \frac{bc - ad}{bd},</math>
:<math>\frac{c}{d} - \frac{a}{b} = \frac{bc - ad}{bd},</math>
यह ऐसा कहने के बराबर है
यह ऐसा कहने के समान है
:<math>bc - ad = 1</math>.
:<math>bc - ad = 1</math>.


इस प्रकार {{sfrac|1|3}} और {{sfrac|2|5}} F में पड़ोसी हैं<sub>5</sub>, और उनका अंतर है {{sfrac|1|15}}.
इस प्रकार {{sfrac|1|3}} और {{sfrac|2|5}} ''F''<sub>5</sub> में सहवासी हैं और उनका अंतर है {{sfrac|1|15}}.


इसका उलटा भी सच है। अगर
इसका उलटा भी सच है। यदि
:<math>bc - ad = 1</math>
:<math>bc - ad = 1</math>
सकारात्मक पूर्णांक a, b, c और d के लिए a < b और c < d के साथ {{sfrac|''a''|''b''}} और {{sfrac|''c''|''d''}} ऑर्डर मैक्स (बी, डी) के फेरी अनुक्रम में पड़ोसी होंगे।
सकारात्मक पूर्णांक a, b, c और d के लिए a < b और c < d के साथ {{sfrac|''a''|''b''}} और {{sfrac|''c''|''d''}} क्रम मैक्स (बी, डी) के फारे अनुक्रम में सहवासी होंगे।


अगर {{sfrac|''p''|''q''}} के पड़ोसी हैं {{sfrac|''a''|''b''}} और {{sfrac|''c''|''d''}} कुछ फेरी अनुक्रम में, के साथ
यदि {{sfrac|''p''|''q''}} के सहवासी हैं {{sfrac|''a''|''b''}} और {{sfrac|''c''|''d''}} कुछ फारे अनुक्रम में, के साथ
:<math>\frac{a}{b} < \frac{p}{q} < \frac{c}{d} </math>
:<math>\frac{a}{b} < \frac{p}{q} < \frac{c}{d} </math>
तब {{sfrac|''p''|''q''}} का माध्यिका (गणित) है {{sfrac|''a''|''b''}} और {{sfrac|''c''|''d''}} - दूसरे शब्दों में,
तब {{sfrac|''p''|''q''}} का माध्यिका (गणित) है {{sfrac|''a''|''b''}} और {{sfrac|''c''|''d''}} - दूसरे शब्दों में,
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यह पिछली संपत्ति से आसानी से अनुसरण करता है, क्योंकि if {{nowrap|1=''bp'' – ''aq'' = ''qc'' – ''pd'' = 1}}, तब {{nowrap|1=''bp'' + ''pd'' = ''qc'' + ''aq''}}, {{nowrap|1=''p''(''b'' + ''d'') = ''q''(''a'' + ''c'')}}, {{nowrap|1={{sfrac|''p''|''q''}} = {{sfrac|''a'' + ''c''|''b'' + ''d''}}}}.
यह पिछली संपत्ति से आसानी से अनुसरण करता है, क्योंकि if {{nowrap|1=''bp'' – ''aq'' = ''qc'' – ''pd'' = 1}}, तब {{nowrap|1=''bp'' + ''pd'' = ''qc'' + ''aq''}}, {{nowrap|1=''p''(''b'' + ''d'') = ''q''(''a'' + ''c'')}}, {{nowrap|1={{sfrac|''p''|''q''}} = {{sfrac|''a'' + ''c''|''b'' + ''d''}}}}.


इससे पता चलता है कि अगर {{sfrac|''a''|''b''}} और {{sfrac|''c''|''d''}} फेरी अनुक्रम में पड़ोसी हैं तो उनके बीच पहला शब्द जो फेरी अनुक्रम के क्रम में वृद्धि के रूप में प्रकट होता है
इससे पता चलता है कि यदि {{sfrac|''a''|''b''}} और {{sfrac|''c''|''d''}} फारे अनुक्रम में सहवासी हैं तो उनके मध्य पहला शब्द जो फारे अनुक्रम के क्रम में वृद्धि के रूप में प्रकट होता है
:<math>\frac{a+c}{b+d},</math>
:<math>\frac{a+c}{b+d},</math>
जो पहले क्रम के फेरी अनुक्रम में प्रकट होता है {{nowrap|''b'' + ''d''}}.
जो पहले क्रम के फारे अनुक्रम में प्रकट होता है {{nowrap|''b'' + ''d''}}.


इस प्रकार के बीच प्रकट होने वाला पहला पद {{sfrac|1|3}} और {{sfrac|2|5}} है {{sfrac|3|8}}, जो एफ में दिखाई देता है<sub>8</sub>.
इस प्रकार के मध्य प्रकट होने वाला पहला पद {{sfrac|1|3}} और {{sfrac|2|5}} है {{sfrac|3|8}}, जो ''F'' में दिखाई देता है<sub>8</sub>.


F में फेरी पड़ोसी जोड़े की कुल संख्या<sub>n</sub>2|एफ है<sub>n</sub>| − 3.
''F'' में फारे सहवासी जोड़े की कुल संख्या<sub>n</sub>2|''F'' है<sub>n</sub>| − 3.


स्टर्न-ब्रोकॉट ट्री एक डेटा संरचना है जो दिखाती है कि अनुक्रम 0 (= {{sfrac|0|1}}) और 1 (= {{sfrac|1|1}}), क्रमिक मध्यस्थों को लेकर।
स्टर्न-ब्रोकॉट ट्री एक डेटा संरचना है जो दिखाती है कि अनुक्रम 0 (= {{sfrac|0|1}}) और 1 (= {{sfrac|1|1}}), क्रमिक मध्यस्थों को लेकर।
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==== समतुल्य-क्षेत्र व्याख्या ====
==== समतुल्य-क्षेत्र व्याख्या ====


फेरी परिमेय की प्रत्येक क्रमिक जोड़ी का एक समतुल्य क्षेत्रफल 1 होता है।<ref name=Austin2008>{{cite web |last1=Austin |first1=David |date=December 2008 |title=Trees, Teeth, and Time: The mathematics of clock making |website=[[American Mathematical Society]] |location=Rhode Island |language=en |url=http://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-stern-brocot |access-date=28 September 2020 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20200204014725/http://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-stern-brocot |archive-date=4 February 2020}}</ref> क्रमिक परिमेय r की व्याख्या करके इसे देखें<sub>1</sub> = पी/क्यू और आर<sub>2</sub> = p'/q' x-y तल में सदिशों (p, q) के रूप में। A(p/q, p'/q') का क्षेत्रफल qp' - q'p द्वारा दिया गया है। पिछले दो क्रमागत फारे अनुक्रम अंशों के बीच किसी भी अतिरिक्त अंश की गणना माध्यिका (⊕) के रूप में की जाती है, तो A(r<sub>1</sub>, आर<sub>1</sub> ⊕ आर<sub>2</sub>) = ए (आर<sub>1</sub>, आर<sub>1</sub>) + ए (आर<sub>1</sub>, आर<sub>2</sub>) = ए (आर<sub>1</sub>, आर<sub>2</sub>) = 1 (आर के बाद से<sub>1</sub> = 1/0 और आर<sub>2</sub> = 0/1, इसका क्षेत्रफल 1 होना चाहिए)।
फारे परिमेय की प्रत्येक क्रमिक जोड़ी का एक समतुल्य क्षेत्रफल 1 होता है।<ref name=Austin2008>{{cite web |last1=Austin |first1=David |date=December 2008 |title=Trees, Teeth, and Time: The mathematics of clock making |website=[[American Mathematical Society]] |location=Rhode Island |language=en |url=http://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-stern-brocot |access-date=28 September 2020 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20200204014725/http://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-stern-brocot |archive-date=4 February 2020}}</ref> क्रमिक परिमेय r की व्याख्या करके इसे देखें<sub>1</sub> = पी/क्यू और आर<sub>2</sub> = p'/q' x-y तल में सदिशों (p, q) के रूप में। A(p/q, p'/q') का क्षेत्रफल qp' - q'p द्वारा दिया गया है। पिछले दो क्रमागत फारे अनुक्रम अंशों के मध्य किसी भी अतिरिक्त अंश की गणना माध्यिका (⊕) के रूप में की जाती है, तो A(r<sub>1</sub>, आर<sub>1</sub> ⊕ आर<sub>2</sub>) = ए (आर<sub>1</sub>, आर<sub>1</sub>) + ए (आर<sub>1</sub>, आर<sub>2</sub>) = ए (आर<sub>1</sub>, आर<sub>2</sub>) = 1 (आर के बाद से<sub>1</sub> = 1/0 और आर<sub>2</sub> = 0/1, इसका क्षेत्रफल 1 होना चाहिए)।


=== फेरे पड़ोसी और [[निरंतर अंश]] ===
=== फेरे सहवासी और [[निरंतर अंश]] ===
फेरी अनुक्रम में पड़ोसियों के रूप में दिखाई देने वाले अंशों में निरंतर भिन्न विस्तार से संबंधित है। प्रत्येक भिन्न के दो निरंतर भिन्न विस्तार होते हैं - एक में अंतिम पद 1 होता है; दूसरे में अंतिम अवधि 1 से अधिक है। यदि {{sfrac|''p''|''q''}}, जो पहली बार फेरी सीक्वेंस एफ में दिखाई देता है<sub>q</sub>, अंश विस्तार जारी रखा है
फारे अनुक्रम में पड़ोसियों के रूप में दिखाई देने वाले अंशों में निरंतर भिन्न विस्तार से संबंधित है। प्रत्येक भिन्न के दो निरंतर भिन्न विस्तार होते हैं - एक में अंतिम पद 1 होता है; दूसरे में अंतिम अवधि 1 से अधिक है। यदि {{sfrac|''p''|''q''}}, जो पहली बार फारे सीक्वेंस ''F'' में दिखाई देता है<sub>q</sub>, अंश विस्तार जारी रखा है
: [0; ए<sub>1</sub>, ए<sub>2</sub>, ..., ए<sub>''n'' &minus; 1</sub>, ए<sub>''n''</sub>, 1]
: [0; ए<sub>1</sub>, ए<sub>2</sub>, ..., ए<sub>''n'' &minus; 1</sub>, ए<sub>''n''</sub>, 1]
: [0; ए<sub>1</sub>, ए<sub>2</sub>, ..., ए<sub>''n'' &minus; 1</sub>, ए<sub>''n''</sub> + 1]
: [0; ए<sub>1</sub>, ए<sub>2</sub>, ..., ए<sub>''n'' &minus; 1</sub>, ए<sub>''n''</sub> + 1]


फिर का निकटतम पड़ोसी {{sfrac|''p''|''q''}} एफ में<sub>q</sub>(जो बड़े भाजक के साथ उसका पड़ोसी होगा) का निरंतर भिन्न विस्तार है
फिर का निकटतम सहवासी {{sfrac|''p''|''q''}} ''F'' में<sub>q</sub>(जो बड़े भाजक के साथ उसका सहवासी होगा) का निरंतर भिन्न विस्तार है
: [0; ए<sub>1</sub>, ए<sub>2</sub>, ..., ए<sub>''n''</sub>]
: [0; ए<sub>1</sub>, ए<sub>2</sub>, ..., ए<sub>''n''</sub>]


और इसके दूसरे पड़ोसी का निरंतर अंश विस्तार है
और इसके दूसरे सहवासी का निरंतर अंश विस्तार है
: [0; ए<sub>1</sub>, ए<sub>2</sub>, ..., ए<sub>''n'' &minus; 1</sub>]
: [0; ए<sub>1</sub>, ए<sub>2</sub>, ..., ए<sub>''n'' &minus; 1</sub>]


उदाहरण के लिए, {{sfrac|3|8}} के दो निरंतर अंश विस्तार हैं {{nowrap|[0; 2, 1, 1, 1]}} और {{nowrap|[0; 2, 1, 2]}}, और इसके पड़ोसी F<sub>8</sub> हैं {{sfrac|2|5}}, जिसे इस रूप में विस्तारित किया जा सकता है {{nowrap|[0; 2, 1, 1]}}; और {{sfrac|1|3}}, जिसे इस रूप में विस्तारित किया जा सकता है {{nowrap|[0; 2, 1]}}.
उदाहरण के लिए, {{sfrac|3|8}} के दो निरंतर अंश विस्तार हैं {{nowrap|[0; 2, 1, 1, 1]}} और {{nowrap|[0; 2, 1, 2]}}, और इसके सहवासी ''F''<sub>8</sub> हैं {{sfrac|2|5}}, जिसे इस रूप में विस्तारित किया जा सकता है {{nowrap|[0; 2, 1, 1]}}; और {{sfrac|1|3}}, जिसे इस रूप में विस्तारित किया जा सकता है {{nowrap|[0; 2, 1]}}.


=== फैरी अंश और कम से कम सामान्य एकाधिक ===
=== फैरी अंश और कम से कम सामान्य एकाधिक ===
लघुत्तम समापवर्तक को फेरी भिन्नों के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
लघुत्तम समापवर्तक को फारे भिन्नों के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
:<math> \text{lcm}[1,2,...,N] = e^{\psi(N)}=\frac{1}{2} \left( \prod_{r \in F_N, 0<r \le 1/2} 2 \sin(\pi r) \right)^2 </math>
:<math> \text{lcm}[1,2,...,N] = e^{\psi(N)}=\frac{1}{2} \left( \prod_{r \in F_N, 0<r \le 1/2} 2 \sin(\pi r) \right)^2 </math>
कहाँ <math>\psi(N)</math> दूसरा चेबिशेव समारोह है।<ref>{{Cite arXiv |eprint = 0907.4384|last1 = Martin|first1 = Greg|title = समान भाजक वाले भिन्नों पर गामा फ़ंक्शन मानों का गुणनफल|class = math.CA|year = 2009}}</ref><ref>{{Cite arXiv |eprint=0909.1838 |last1=Wehmeier |first1=Stefan |title=The LCM(1,2,...,n) as a product of sine values sampled over the points in Farey sequences |class=math.CA |year=2009}}</ref>
जहाँ <math>\psi(N)</math> दूसरा चेबिशेव समारोह है।<ref>{{Cite arXiv |eprint = 0907.4384|last1 = Martin|first1 = Greg|title = समान भाजक वाले भिन्नों पर गामा फ़ंक्शन मानों का गुणनफल|class = math.CA|year = 2009}}</ref><ref>{{Cite arXiv |eprint=0909.1838 |last1=Wehmeier |first1=Stefan |title=The LCM(1,2,...,n) as a product of sine values sampled over the points in Farey sequences |class=math.CA |year=2009}}</ref>




=== फैरी अंश और सबसे बड़ा सामान्य विभाजक ===
=== फैरी अंश और सबसे बड़ा सामान्य विभाजक ===
चूँकि यूलर का कुल कार्य सीधे सबसे बड़े सामान्य विभाजक से जुड़ा होता है, इसलिए F में तत्वों की संख्या होती है<sub>n</sub>,
चूँकि यूलर का कुल कार्य सीधे सबसे बड़े सामान्य विभाजक से जुड़ा होता है, इसलिए ''F'' में तत्वों की संख्या होती है<sub>n</sub>,
:<math>|F_n| = 1 + \sum_{m=1}^n \varphi(m) = 1+ \sum\limits_{m=1}^{n} \sum\limits_{k=1}^m \gcd(k,m) \cos {2\pi\frac{k}{m}} .</math>
:<math>|F_n| = 1 + \sum_{m=1}^n \varphi(m) = 1+ \sum\limits_{m=1}^{n} \sum\limits_{k=1}^m \gcd(k,m) \cos {2\pi\frac{k}{m}} .</math>
किसी भी 3 फैरी अंशों के लिए {{sfrac|''a''|''b''}}, {{sfrac|''c''|''d''}} और {{sfrac|''e''|''f''}} निरपेक्ष मूल्य में 2x2 [[मैट्रिक्स निर्धारक]] के सबसे बड़े सामान्य भाजक के बीच निम्नलिखित पहचान है:<ref name=TomasGarcia2020>{{cite journal |last=Tomas Garcia |first=Rogelio |url=http://rtomas.web.cern.ch/rtomas/NNTDM-26-3-005-007.pdf|title=सबसे बड़े सामान्य विभाजक के बीच समानता जिसमें तीन सहअभाज्य जोड़े शामिल हैं| journal=Notes on Number Theory and Discrete Mathematics |date=August 2020 |volume=26 |issue=3|pages=5–7 |doi= 10.7546/nntdm.2020.26.3.5-7 |s2cid=225280271 |doi-access=free  <!-- |access-date=20 January 2022 --> }}</ref>
किसी भी 3 फैरी अंशों के लिए {{sfrac|''a''|''b''}}, {{sfrac|''c''|''d''}} और {{sfrac|''e''|''f''}} निरपेक्ष मूल्य में 2x2 [[मैट्रिक्स निर्धारक]] के सबसे बड़े सामान्य भाजक के मध्य निम्नलिखित पहचान है:<ref name=TomasGarcia2020>{{cite journal |last=Tomas Garcia |first=Rogelio |url=http://rtomas.web.cern.ch/rtomas/NNTDM-26-3-005-007.pdf|title=सबसे बड़े सामान्य विभाजक के बीच समानता जिसमें तीन सहअभाज्य जोड़े शामिल हैं| journal=Notes on Number Theory and Discrete Mathematics |date=August 2020 |volume=26 |issue=3|pages=5–7 |doi= 10.7546/nntdm.2020.26.3.5-7 |s2cid=225280271 |doi-access=free  <!-- |access-date=20 January 2022 --> }}</ref>
:<math>\gcd\left(\begin{Vmatrix} a & c\\b & d \end{Vmatrix},  \begin{Vmatrix} a & e\\b & f \end{Vmatrix} \right)
:<math>\gcd\left(\begin{Vmatrix} a & c\\b & d \end{Vmatrix},  \begin{Vmatrix} a & e\\b & f \end{Vmatrix} \right)
=\gcd\left(\begin{Vmatrix} a & c\\b & d \end{Vmatrix}, \begin{Vmatrix} c & e\\d & f \end{Vmatrix} \right)
=\gcd\left(\begin{Vmatrix} a & c\\b & d \end{Vmatrix}, \begin{Vmatrix} c & e\\d & f \end{Vmatrix} \right)
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=== अनुप्रयोग ===
=== अनुप्रयोग ===
अपरिमेय संख्याओं का परिमेय सन्निकटन ज्ञात करने के लिए फेरी क्रम बहुत उपयोगी होते हैं।<ref>{{cite web |url=https://nrich.maths.org/6596 |title=फेरी सन्निकटन|website=NRICH.maths.org |access-date=18 November 2018 |archive-url=https://web.archive.org/web/20181119092100/https://nrich.maths.org/6596 |archive-date=19 November 2018 |url-status=dead}}</ref> उदाहरण के लिए, एलियाहौ द्वारा निर्माण<ref>{{cite journal |last1=Eliahou |first1=Shalom |title=The 3x+1 problem: new lower bounds on nontrivial cycle lengths |journal=Discrete Mathematics |date=August 1993 |volume=118 |issue=1–3 |pages=45–56 |doi=10.1016/0012-365X(93)90052-U|doi-access=free }}</ref> Collatz conjecture#Cycles|3x+1 प्रक्रिया में गैर-तुच्छ चक्रों की लंबाई पर एक निचली सीमा संख्या लॉग के निरंतर अंश विस्तार की गणना करने के लिए Farey अनुक्रमों का उपयोग करती है<sub>2</sub>(3)।
अपरिमेय संख्याओं का परिमेय सन्निकटन ज्ञात करने के लिए फारे क्रम बहुत उपयोगी होते हैं।<ref>{{cite web |url=https://nrich.maths.org/6596 |title=फेरी सन्निकटन|website=NRICH.maths.org |access-date=18 November 2018 |archive-url=https://web.archive.org/web/20181119092100/https://nrich.maths.org/6596 |archive-date=19 November 2018 |url-status=dead}}</ref> उदाहरण के लिए, एलियाहौ द्वारा निर्माण<ref>{{cite journal |last1=Eliahou |first1=Shalom |title=The 3x+1 problem: new lower bounds on nontrivial cycle lengths |journal=Discrete Mathematics |date=August 1993 |volume=118 |issue=1–3 |pages=45–56 |doi=10.1016/0012-365X(93)90052-U|doi-access=free }}</ref> Collatz conjecture#Cycles|3x+1 प्रक्रिया में गैर-तुच्छ चक्रों की लंबाई पर एक निचली सीमा संख्या लॉग के निरंतर अंश विस्तार की गणना करने के लिए फारे अनुक्रमों का उपयोग करती है<sub>2</sub>(3)।


अनुनाद घटना के साथ भौतिक प्रणालियों में, फेरी अनुक्रम 1डी में अनुनाद स्थानों की गणना करने के लिए एक बहुत ही सुरुचिपूर्ण और कुशल विधि प्रदान करते हैं<ref>{{cite journal |last1=Zhenhua Li |first1=A. |last2=Harter |first2=W.G. |arxiv=1308.4470 |title=Quantum Revivals of Morse Oscillators and Farey–Ford Geometry |journal=Chem. Phys. Lett. |year=2015 |volume=633 |pages=208–213 |doi=10.1016/j.cplett.2015.05.035|bibcode=2015CPL...633..208L |s2cid=66213897 }}</ref> और 2डी।<ref>{{cite journal |last1=Tomas |first1=R. |year=2014 |doi=10.1103/PhysRevSTAB.17.014001|title=फेरी सीक्वेंस से रेजोनेंस डायग्राम तक|journal=Physical Review Special Topics - Accelerators and Beams |volume=17 |issue=1 |page=014001|bibcode=2014PhRvS..17a4001T |doi-access=free }}</ref>
अनुनाद घटना के साथ भौतिक प्रणालियों में, फारे अनुक्रम 1डी में अनुनाद स्थानों की गणना करने के लिए एक बहुत ही सुरुचिपूर्ण और कुशल विधि प्रदान करते हैं<ref>{{cite journal |last1=Zhenhua Li |first1=A. |last2=Harter |first2=W.G. |arxiv=1308.4470 |title=Quantum Revivals of Morse Oscillators and Farey–Ford Geometry |journal=Chem. Phys. Lett. |year=2015 |volume=633 |pages=208–213 |doi=10.1016/j.cplett.2015.05.035|bibcode=2015CPL...633..208L |s2cid=66213897 }}</ref> और 2डी।<ref>{{cite journal |last1=Tomas |first1=R. |year=2014 |doi=10.1103/PhysRevSTAB.17.014001|title=फेरी सीक्वेंस से रेजोनेंस डायग्राम तक|journal=Physical Review Special Topics - Accelerators and Beams |volume=17 |issue=1 |page=014001|bibcode=2014PhRvS..17a4001T |doi-access=free }}</ref>
वर्ग-कोशिका वाले ग्रिड पर किसी भी-कोण पथ योजना के अध्ययन में फ़ारे अनुक्रम प्रमुख हैं, उदाहरण के लिए उनकी कम्प्यूटेशनल जटिलता को चिह्नित करने में<ref>{{cite journal |last1=Harabor |first1=Daniel Damir |last2=Grastien |first2=Alban |last3=Öz |first3=Dindar |last4=Aksakalli |first4=Vural |title=अभ्यास में इष्टतम कोई भी कोण पाथफाइंडिंग|journal=Journal of Artificial Intelligence Research |date=26 May 2016 |volume=56 |pages=89–118 |doi=10.1613/jair.5007|doi-access=free }}</ref> या इष्टतमता।<ref>{{cite journal |last1=Hew |first1=Patrick Chisan |title=बाइनरी ऑक्यूपेंसी ग्रिड में सबसे छोटे वर्टेक्स पाथ की लंबाई सबसे छोटे ''आर''-बाधित वाले की तुलना में|journal=Journal of Artificial Intelligence Research |date=19 August 2017 |volume=59 |pages=543–563 |doi=10.1613/jair.5442|doi-access=free }}</ref> कनेक्शन को आर-बाधित पथों के संदर्भ में माना जा सकता है, अर्थात् लाइन सेगमेंट से बने पथ जो प्रत्येक अधिकतम पर चलते हैं <math>r</math> पंक्तियाँ और अधिक से अधिक <math>r</math> कोशिकाओं के स्तंभ। होने देना <math>Q</math> वैक्टर का सेट हो <math>(q,p)</math> ऐसा है कि <math>1 \leq q \leq r</math>, <math>0 \leq p \leq q</math>, और <math>p</math>, <math>q</math> कोप्राइम हैं। होने देना <math>Q*</math> चिंतन का परिणाम हो <math>Q</math> कतार में <math>y = x</math>. होने देना <math>S = \{ (\pm x, \pm y) : (x, y) \in Q \cup Q* \}</math>. तब किसी भी आर-बाधित पथ को सदिशों के अनुक्रम के रूप में वर्णित किया जा सकता है <math>S</math>. बीच आपत्ति है <math>Q</math> और आदेश का फेरी क्रम <math>r</math> द्वारा दिए गए <math>(q,p)</math> मैपिंग करने के लिए <math>\tfrac{p}{q}</math>.
वर्ग-कोशिका वाले जालक पर किसी भी-कोण पथ योजना के अध्ययन में फ़ारे अनुक्रम प्रमुख हैं, उदाहरण के लिए उनकी कम्प्यूटेशनल जटिलता को चिह्नित करने में<ref>{{cite journal |last1=Harabor |first1=Daniel Damir |last2=Grastien |first2=Alban |last3=Öz |first3=Dindar |last4=Aksakalli |first4=Vural |title=अभ्यास में इष्टतम कोई भी कोण पाथफाइंडिंग|journal=Journal of Artificial Intelligence Research |date=26 May 2016 |volume=56 |pages=89–118 |doi=10.1613/jair.5007|doi-access=free }}</ref> या इष्टतमता।<ref>{{cite journal |last1=Hew |first1=Patrick Chisan |title=बाइनरी ऑक्यूपेंसी ग्रिड में सबसे छोटे वर्टेक्स पाथ की लंबाई सबसे छोटे ''आर''-बाधित वाले की तुलना में|journal=Journal of Artificial Intelligence Research |date=19 August 2017 |volume=59 |pages=543–563 |doi=10.1613/jair.5442|doi-access=free }}</ref> कनेक्शन को आर-बाधित पथों के संदर्भ में माना जा सकता है, अर्थात् लाइन सेगमेंट से बने पथ जो प्रत्येक अधिकतम पर चलते हैं <math>r</math> पंक्तियाँ और अधिक से अधिक <math>r</math> कोशिकाओं के स्तंभ। होने देना <math>Q</math> वैक्टर का सेट हो <math>(q,p)</math> ऐसा है कि <math>1 \leq q \leq r</math>, <math>0 \leq p \leq q</math>, और <math>p</math>, <math>q</math> कोप्राइम हैं। होने देना <math>Q*</math> चिंतन का परिणाम हो <math>Q</math> कतार में <math>y = x</math>. होने देना <math>S = \{ (\pm x, \pm y) : (x, y) \in Q \cup Q* \}</math>. तब किसी भी आर-बाधित पथ को सदिशों के अनुक्रम के रूप में वर्णित किया जा सकता है <math>S</math>. मध्य आपत्ति है <math>Q</math> और अनुक्रम का फारे क्रम <math>r</math> द्वारा दिए गए <math>(q,p)</math> मैपिंग करने के लिए <math>\tfrac{p}{q}</math>.


=== फोर्ड सर्किल ===
=== फोर्ड सर्किल ===
[[File:Comparison_Ford_circles_Farey_diagram.svg|thumb|250px|लिंक ={{filepath:Comparison Ford circles Farey diagram.svg}}|Comparison of Ford circles and a Farey diagram with circular arcs for ''n'' from 1 to 9. Each arc intersects its corresponding circles at right angles. In [[Media:Comparison Ford circles Farey diagram.svg|एसवीजी छवि, इसे और इसकी शर्तों को हाइलाइट करने के लिए एक वृत्त या वक्र पर होवर करें।]]फेरी सीक्वेंस और [[ फोर्ड सर्कल ]] के बीच एक संबंध है।


हर अंश के लिए {{sfrac|''p''|''q''}} (सबसे कम शर्तों में) एक फोर्ड सर्कल सी है [{{sfrac|''p''|''q''}}], जो त्रिज्या 1/(2q<sup>2</sup>) और केंद्र ({{sfrac|''p''|''q''}}, {{sfrac|1|&nbsp;2''q''<sup>2</sup>&nbsp;}}). अलग-अलग अंशों के लिए दो फोर्ड मंडल या तो अलग सेट हैं या वे एक दूसरे के लिए [[स्पर्शरेखा]] हैं- दो फोर्ड मंडल कभी भी एक दूसरे को नहीं काटते हैं। अगर 0 < {{sfrac|''p''|''q''}} <1 तो फोर्ड मंडल जो सी के स्पर्शरेखा हैं [{{sfrac|''p''|''q''}}] निश्चित रूप से भिन्नों के लिए फोर्ड सर्कल हैं जो पड़ोसी हैं {{sfrac|''p''|''q''}} कुछ फेरी क्रम में।


इस प्रकार सी [{{sfrac|2|5}}] C की स्पर्शरेखा है [{{sfrac|1|2}}], सी[{{sfrac|1|3}}], सी[{{sfrac|3|7}}], सी[{{sfrac|3|8}}], वगैरह।
हर अंश के लिए {{sfrac|''p''|''q''}} (सबसे कम प्रतिबंधों में) एक फोर्ड सर्कल सी है [{{sfrac|''p''|''q''}}], जो त्रिज्या 1/(2q<sup>2</sup>) और केंद्र ({{sfrac|''p''|''q''}}, {{sfrac|1|&nbsp;2''q''<sup>2</sup>&nbsp;}}). अलग-अलग अंशों के लिए दो फोर्ड मंडल या तो अलग सेट हैं या वे एक दूसरे के लिए [[स्पर्शरेखा]] हैं- दो फोर्ड मंडल कभी भी एक दूसरे को नहीं काटते हैं। यदि 0 < {{sfrac|''p''|''q''}} <1 तो फोर्ड मंडल जो सी के स्पर्शरेखा हैं [{{sfrac|''p''|''q''}}] निश्चित रूप से भिन्नों के लिए फोर्ड सर्कल हैं जो सहवासी हैं {{sfrac|''p''|''q''}} कुछ फारे क्रम में।
 
इस प्रकार ''C'' [{{sfrac|2|5}}] C की स्पर्शरेखा है ''C'' [{{sfrac|1|2}}]], ''C'' [{{sfrac|1|2}}], ''C''[3/7], ''C''[3/8
 
], वगैरह।


[[अपोलोनियन गैसकेट]] (0,0,1,1) में फोर्ड सर्किल भी दिखाई देते हैं। नीचे दी गई तस्वीर इसे फेरी अनुनाद रेखाओं के साथ दर्शाती है।<ref name=Tomas2020>{{cite arXiv |last=Tomas |first=Rogelio |eprint=2006.10661|title=खामियां और सुधार|class= physics.acc-ph|year=2020 <!-- |access-date=4 July 2020 --> }}</ref>
[[अपोलोनियन गैसकेट]] (0,0,1,1) में फोर्ड सर्किल भी दिखाई देते हैं। नीचे दी गई तस्वीर इसे फारे अनुनाद रेखाओं के साथ दर्शाती है।<ref name="Tomas2020">{{cite arXiv |last=Tomas |first=Rogelio |eprint=2006.10661|title=खामियां और सुधार|class= physics.acc-ph|year=2020 <!-- |access-date=4 July 2020 --> }}</ref>


[[File:Apolloinan gasket Farey.png|650px|thumb|center|Apollonian गैसकेट (0,0,1,1) और Farey अनुनाद आरेख।]]
[[File:Apolloinan gasket Farey.png|650px|thumb|center|Apollonian गैसकेट (0,0,1,1) और फारे अनुनाद आरेख।]]


=== रीमैन परिकल्पना ===
=== रीमैन परिकल्पना ===
रीमैन परिकल्पना के दो समकक्ष योगों में फेरी अनुक्रमों का उपयोग किया जाता है। मान लीजिए की शर्तें <math>F_n</math> हैं <math>\{a_{k,n} : k = 0, 1, \ldots, m_n\}</math>. परिभाषित करना <math>d_{k,n} = a_{k,n} - k/m_n</math>, दूसरे शब्दों में <math>d_{k,n}</math> nवें फेरी क्रम के kवें पद और अंकों की समान संख्या के समुच्चय के kवें सदस्य के बीच का अंतर है, जो इकाई अंतराल पर समान रूप से वितरित है। 1924 में जेरोम फ्रनेल<ref>{{cite journal |author-link=Jérôme Franel |first=Jérôme |last=Franel |url=http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PID=GDZPPN00250653X |title=Les suites de Farey et le problème des nombres premiers |journal=Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen |series=Mathematisch-Physikalische Klasse |year=1924 |pages=198–201 |language=fr}}</ref> साबित कर दिया कि बयान
रीमैन परिकल्पना के दो समकक्ष योगों में फारे अनुक्रमों का उपयोग किया जाता है। मान लीजिए की शर्तें <math>F_n</math> हैं <math>\{a_{k,n} : k = 0, 1, \ldots, m_n\}</math>. परिभाषित करना <math>d_{k,n} = a_{k,n} - k/m_n</math>, दूसरे शब्दों में <math>d_{k,n}</math> nवें फारे क्रम के kवें पद और अंकों की समान संख्या के समुच्चय के kवें सदस्य के मध्य का अंतर है, जो इकाई अंतराल पर समान रूप से वितरित है। 1924 में जेरोम फ्रनेल<ref>{{cite journal |author-link=Jérôme Franel |first=Jérôme |last=Franel |url=http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PID=GDZPPN00250653X |title=Les suites de Farey et le problème des nombres premiers |journal=Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen |series=Mathematisch-Physikalische Klasse |year=1924 |pages=198–201 |language=fr}}</ref> प्रमाणित कर दिया कि बयान


: <math>\sum_{k=1}^{m_n} d_{k,n}^2 = O (n^r)\quad\forall r>-1</math>
: <math>\sum_{k=1}^{m_n} d_{k,n}^2 = O (n^r)\quad\forall r>-1</math>
रीमैन परिकल्पना और फिर [[एडमंड लैंडौ]] के बराबर है<ref>{{cite journal |author-link=Edmund Landau |first=Edmund |last=Landau |url=http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PID=GDZPPN002506548 |title=श्री फ्रैनेल द्वारा पूर्वगामी पेपर पर टिप्पणियाँ|journal=Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen |series=Mathematisch-Physikalische Klasse |year=1924 |pages=202–206 |language=de}}</ref> टिप्पणी की (फ्रानेल के पेपर के ठीक बाद) कि बयान
रीमैन परिकल्पना और फिर [[एडमंड लैंडौ]] के समान है<ref>{{cite journal |author-link=Edmund Landau |first=Edmund |last=Landau |url=http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PID=GDZPPN002506548 |title=श्री फ्रैनेल द्वारा पूर्वगामी पेपर पर टिप्पणियाँ|journal=Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen |series=Mathematisch-Physikalische Klasse |year=1924 |pages=202–206 |language=de}}</ref> टिप्पणी की (फ्रानेल के पेपर के ठीक बाद) कि बयान
: <math>\sum_{k=1}^{m_n} |d_{k,n}| = O (n^r)\quad\forall r>1/2</math>
: <math>\sum_{k=1}^{m_n} |d_{k,n}| = O (n^r)\quad\forall r>1/2</math>
रीमैन परिकल्पना के समतुल्य भी है।
रीमैन परिकल्पना के समतुल्य भी है।


=== फेरी अंशों से जुड़े अन्य योग ===
=== फारे अंशों से जुड़े अन्य योग ===
ऑर्डर एन के सभी फेरी अंशों का योग तत्वों की संख्या का आधा है:
क्रम ''n'' के सभी फारे अंशों का योग तत्वों की संख्या का आधा है:
: <math>\sum_{r\in F_n} r = \frac{1}{2} |F_n| .</math>
: <math>\sum_{r\in F_n} r = \frac{1}{2} |F_n| .</math>
फेरी अनुक्रम में हरों का योग अंशों के योग का दोगुना है और यूलर के पूर्ण कार्य से संबंधित है:
फारे अनुक्रम में हरों का योग अंशों के योग का दोगुना है और यूलर के पूर्ण कार्य से संबंधित है:


: <math>\sum_{a/b \in F_n} b = 2 \sum_{a/b \in F_n} a = 1 + \sum_{i=1}^{n} i\varphi(i) , </math>
: <math>\sum_{a/b \in F_n} b = 2 \sum_{a/b \in F_n} a = 1 + \sum_{i=1}^{n} i\varphi(i) , </math>
जिसे 1962 में हेरोल्ड एल. आरोन द्वारा अनुमानित किया गया था और 1966 में जीन ए. ब्लेक द्वारा प्रदर्शित किया गया था। हेरोल्ड एल. आरोन अनुमान का एक पंक्ति प्रमाण इस प्रकार है।
जिसे 1962 में हेरोल्ड एल. आरोन द्वारा अनुमानित किया गया था और 1966 में जीन ए. ब्लेक द्वारा प्रदर्शित किया गया था। हेरोल्ड एल. आरोन अनुमान का एक पंक्ति प्रमाण इस प्रकार है।
अंशों का योग है <math>{\displaystyle 1+ \sum_{ 2 \le b \le n} \sum_{(a,b)=1} a  = 1+\sum_{ 2 \le b \le n} b\frac{\varphi(b)}{2}}</math>. भाजक का योग है
अंशों का योग है <math>{\displaystyle 1+ \sum_{ 2 \le b \le n} \sum_{(a,b)=1} a  = 1+\sum_{ 2 \le b \le n} b\frac{\varphi(b)}{2}}</math>. भाजक का योग <math>{\displaystyle 2+ \sum_{ 2 \le b \le n} \sum_{(a,b)=1} b  = 2+\sum_{ 2 \le b \le n} b\varphi(b) }</math> है। पहले योग का दूसरे योग से भागफल <math>\frac{1}{2}</math> है।
<math>{\displaystyle 2+ \sum_{ 2 \le b \le n} \sum_{(a,b)=1} b  = 2+\sum_{ 2 \le b \le n} b\varphi(b) }</math>. पहले योग का दूसरे योग से भागफल है <math>\frac{1}{2}</math>.


चलो बी<sub>''j''</sub> F के क्रमित हर हों<sub>''n''</sub>, तब:<ref>{{Cite journal |jstor=10.4169/000298910X475005 |doi=10.4169/000298910X475005 |title=फेरी सम्स और डेडेकाइंड सम्स|journal=The American Mathematical Monthly |volume=117 |issue=1 |pages=72–78 |year=2010 |last1=Kurt Girstmair |last2=Girstmair |first2=Kurt|s2cid=31933470 }}</ref>
चलो ''b<sub>j</sub>'' ''F<sub>n</sub>'' के क्रमित हर हों, तब:<ref>{{Cite journal |jstor=10.4169/000298910X475005 |doi=10.4169/000298910X475005 |title=फेरी सम्स और डेडेकाइंड सम्स|journal=The American Mathematical Monthly |volume=117 |issue=1 |pages=72–78 |year=2010 |last1=Kurt Girstmair |last2=Girstmair |first2=Kurt|s2cid=31933470 }}</ref>
:<math>\sum_{j=0}^{|F_n|-1} \frac{b_j}{b_{j+1}} = \frac{3|F_n|-4}{2}  </math>
:<math>\sum_{j=0}^{|F_n|-1} \frac{b_j}{b_{j+1}} = \frac{3|F_n|-4}{2}  </math>
और
और
: <math>\sum_{j=0}^{|F_n|-1} \frac{1}{b_{j+1}b_{j}} = 1  .</math>
: <math>\sum_{j=0}^{|F_n|-1} \frac{1}{b_{j+1}b_{j}} = 1  .</math>
चलो ए<sub>''j''</sub>/बी<sub>''j''</sub> F में jवाँ फेरी अंश<sub>''n''</sub>, तब
माना ''a<sub>j</sub>''/''b<sub>j</sub>'' ''F<sub>n</sub>'' में jवें फारे अंश, तब
: <math>\sum_{j=1}^{|F_n|-1} (a_{j-1} b_{j+1} - a_{j+1} b_{j-1}) = \sum_{j=1}^{|F_n|-1} \begin{Vmatrix} a_{j-1} & a_{j+1}\\b_{j-1} & b_{j+1} \end{Vmatrix} =3(|F_n|-1)-2n-1 , </math>
: <math>\sum_{j=1}^{|F_n|-1} (a_{j-1} b_{j+1} - a_{j+1} b_{j-1}) = \sum_{j=1}^{|F_n|-1} \begin{Vmatrix} a_{j-1} & a_{j+1}\\b_{j-1} & b_{j+1} \end{Vmatrix} =3(|F_n|-1)-2n-1 , </math>
जिसमें दर्शाया गया है।<ref>{{cite journal|first1=R. R. |last1=Hall |first2= P. |last2=Shiu |title= एक फेरी अनुक्रम का सूचकांक|journal= Michigan Math. J. | volume=51 | year =2003| doi=10.1307/mmj/1049832901|number=1 |pages=209–223|doi-access=free }}
जिसमें दर्शाया गया है।<ref>{{cite journal|first1=R. R. |last1=Hall |first2= P. |last2=Shiu |title= एक फेरी अनुक्रम का सूचकांक|journal= Michigan Math. J. | volume=51 | year =2003| doi=10.1307/mmj/1049832901|number=1 |pages=209–223|doi-access=free }}
</ref> साथ ही इस सन्दर्भ के अनुसार योग के अंदर के शब्द को कई अलग-अलग तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है:
</ref> साथ ही इस सन्दर्भ के अनुसार योग के अंदर के शब्द को कई अलग-अलग तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है:
: <math> a_{j-1} b_{j+1} - a_{j+1} b_{j-1} = \frac{b_{j-1}+b_{j+1}}{b_{j}} = \frac{a_{j-1}+a_{j+1}}{a_{j}} = \left\lfloor\frac{n+ b_{j-1}}{b_{j}} \right\rfloor, </math>
: <math> a_{j-1} b_{j+1} - a_{j+1} b_{j-1} = \frac{b_{j-1}+b_{j+1}}{b_{j}} = \frac{a_{j-1}+a_{j+1}}{a_{j}} = \left\lfloor\frac{n+ b_{j-1}}{b_{j}} \right\rfloor, </math>
एक ही परिणाम के साथ Farey तत्वों पर इस प्रकार कई अलग-अलग रकम प्राप्त करना। लगभग 1/2 पूर्व समरूपता का उपयोग करना
एक ही परिणाम के साथ फारे तत्वों पर इस प्रकार कई अलग-अलग रकम प्राप्त करना। लगभग 1/2 पूर्व समरूपता का उपयोग करना
योग को अनुक्रम के आधे हिस्से तक सीमित किया जा सकता है
योग को अनुक्रम के आधे भाग तक सीमित किया जा सकता है
: <math>\sum_{j=1}^{\lfloor|F_n|/2\rfloor} (a_{j-1} b_{j+1} - a_{j+1} b_{j-1}) = 3(|F_n|-1)/2 - n- \lceil n/2 \rceil , </math>
: <math>\sum_{j=1}^{\lfloor|F_n|/2\rfloor} (a_{j-1} b_{j+1} - a_{j+1} b_{j-1}) = 3(|F_n|-1)/2 - n- \lceil n/2 \rceil , </math>
Mertens फ़ंक्शन को Farey भिन्नों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
Mertens फलन को फारे भिन्नों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है


:<math>M(n)= -1+ \sum_{a\in \mathcal{F}_n} e^{2\pi i a}</math> कहाँ <math> \mathcal{F}_n</math> क्रम n का फेरी क्रम है।
:<math>M(n)= -1+ \sum_{a\in \mathcal{F}_n} e^{2\pi i a}</math> जहाँ <math> \mathcal{F}_n</math> क्रम n का फारे क्रम है।


इस सूत्र का उपयोग फेरी अनुक्रम#रीमैन परिकल्पना|फ्रानेल-लैंडौ प्रमेय के प्रमाण में किया जाता है।<ref>{{cite book|last1=Edwards |first1=Harold M. |author1-link=Harold Edwards (mathematician) |editor1-last=Smith|editor1-first=Paul A.|editor1-link=Paul Althaus Smith|editor2-last=Ellenberg|editor2-first=Samuel|editor2-link=Samuel Eilenberg|year=1974 |title=रीमैन का जीटा फंक्शन|chapter=12.2 Miscellany. The Riemann Hypothesis and Farey Series |publisher=[[Academic Press]] |series=Pure and Applied Mathematics|pages=263{{ndash}}267 |location=New York |language=en |isbn=978-0-08-087373-2 |oclc=316553016 |chapter-url=https://archive.org/details/riemannszetafunc00edwa_0/page/262 |chapter-url-access=registration |access-date=30 September 2020}}</ref>
इस सूत्र का उपयोग फारे अनुक्रम#रीमैन परिकल्पना|फ्रानेल-लैंडौ प्रमेय के प्रमाण में किया जाता है।<ref>{{cite book|last1=Edwards |first1=Harold M. |author1-link=Harold Edwards (mathematician) |editor1-last=Smith|editor1-first=Paul A.|editor1-link=Paul Althaus Smith|editor2-last=Ellenberg|editor2-first=Samuel|editor2-link=Samuel Eilenberg|year=1974 |title=रीमैन का जीटा फंक्शन|chapter=12.2 Miscellany. The Riemann Hypothesis and Farey Series |publisher=[[Academic Press]] |series=Pure and Applied Mathematics|pages=263{{ndash}}267 |location=New York |language=en |isbn=978-0-08-087373-2 |oclc=316553016 |chapter-url=https://archive.org/details/riemannszetafunc00edwa_0/page/262 |chapter-url-access=registration |access-date=30 September 2020}}</ref>




== अगला पद ==
== अगला पद ==
एफ की शर्तें उत्पन्न करने के लिए एक आश्चर्यजनक सरल एल्गोरिदम मौजूद है<sub>n</sub>पारंपरिक क्रम (आरोही) या गैर-पारंपरिक क्रम (अवरोही) में। एल्गोरिथम प्रत्येक क्रमिक प्रविष्टि की गणना पिछली दो प्रविष्टियों के संदर्भ में ऊपर दी गई औसत संपत्ति का उपयोग करके करता है। अगर {{sfrac|''a''|''b''}} और {{sfrac|''c''|''d''}} दो दी गई प्रविष्टियाँ हैं, और {{sfrac|''p''|''q''}} तब अज्ञात अगली प्रविष्टि है {{sfrac|''c''|''d''}} = {{sfrac|''a''&nbsp;+&nbsp;''p''|''b''&nbsp;+&nbsp;''q''}}. तब से {{sfrac|''c''|''d''}} निम्नतम शब्दों में है, तो एक पूर्णांक k होना चाहिए जैसे कि kc = a + p और kd = b + q, जिससे p = kc − a और q = kd − b मिलता है। यदि हम p और q को k का फलन मानते हैं, तब
''F''<sub>n</sub> की पारंपरिक शर्तें उत्पन्न करने के लिए एक आश्चर्यजनक सरल कलन विधि उपस्थित है क्रम (आरोही) या गैर-पारंपरिक क्रम (अवरोही) में। कलन विधि प्रत्येक क्रमिक प्रविष्टि की गणना पिछली दो प्रविष्टियों के संदर्भ में ऊपर दी गई औसत संपत्ति का उपयोग करके करता है। यदि {{sfrac|''a''|''b''}} और {{sfrac|''c''|''d''}} दो दी गई प्रविष्टियाँ हैं, और {{sfrac|''p''|''q''}} तब अज्ञात अगली प्रविष्टि है {{sfrac|''c''|''d''}} = {{sfrac|''a''&nbsp;+&nbsp;''p''|''b''&nbsp;+&nbsp;''q''}}. तब से {{sfrac|''c''|''d''}} निम्नतम शब्दों में है, तो एक पूर्णांक k होना चाहिए जैसे कि kc = a + p और kd = b + q, जिससे p = kc − a और q = kd − b मिलता है। यदि हम p और q को k का फलन मानते हैं, तब
:<math> \frac{p(k)}{q(k)}- \frac{c}{d} = \frac{cb - da}{d(kd - b)}</math>
:<math> \frac{p(k)}{q(k)}- \frac{c}{d} = \frac{cb - da}{d(kd - b)}</math>
तो जितना बड़ा k होगा, उतना ही करीब होगा {{sfrac|''p''|''q''}} उस तक पहुँचना {{sfrac|''c''|''d''}}.
तो जितना बड़ा k होगा, उतना ही समीप होगा {{sfrac|''p''|''q''}} उस तक पहुँचना {{sfrac|''c''|''d''}}.


अनुक्रम में अगला पद देने के लिए k जितना संभव हो उतना बड़ा होना चाहिए, kd − b ≤ n के अधीन (क्योंकि हम केवल उन संख्याओं पर विचार कर रहे हैं जिनके भाजक n से अधिक नहीं हैं), इसलिए k सबसे बड़ा पूर्णांक है ≤{{sfrac|''n''&nbsp;+&nbsp;''b''|''d''}}. k के इस मान को वापस p और q के समीकरणों में रखने पर प्राप्त होता है
अनुक्रम में अगला पद देने के लिए k जितना संभव हो उतना बड़ा होना चाहिए, kd − b ≤ n के अधीन (क्योंकि हम केवल उन संख्याओं पर विचार कर रहे हैं जिनके भाजक n से अधिक नहीं हैं), इसलिए k सबसे बड़ा पूर्णांक ≤{{sfrac|''n''&nbsp;+&nbsp;''b''|''d''}} है। k के इस मान को वापस p और q के समीकरणों में रखने पर प्राप्त होता है।
:<math> p = \left\lfloor\frac{n+b}{d}\right\rfloor c - a</math>
:<math> p = \left\lfloor\frac{n+b}{d}\right\rfloor c - a</math>
:<math> q = \left\lfloor\frac{n+b}{d}\right\rfloor d - b</math>
:<math> q = \left\lfloor\frac{n+b}{d}\right\rfloor d - b</math>
इसे [[पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा)]] में निम्नानुसार कार्यान्वित किया गया है:
इसे [[पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा)|पायथन (क्रमादेशन भाषा)]] में निम्नानुसार कार्यान्वित किया गया है:
<syntaxhighlight lang="python">
<syntaxhighlight lang="python">
def farey_sequence(n: int, descending: bool = False) -> None:
डेफ फारे अनुक्रम(n: int,अवरोही: बूल = असत्य) -> कोई नहीं:
     """Print the n'th Farey sequence. Allow for either ascending or descending."""
     """n वें फारे अनुक्रम को मुद्रण करें। आरोही या अवरोही के लिए अनुमति प्रदान करें।"""
     (a, b, c, d) = (0, 1, 1, n)
     (a, b, c, d) = (0, 1, 1 , n)
     if descending:
     यदि अवरोही हो तो:
         (a, c) = (1, n - 1)
         (a, c) = (1, n - 1)
     print("{0}/{1}".format(a, b))
     मुद्रण ("{0}/{1}" है। प्रारूप(a, b)) है।
     while (c <= n and not descending) or (a > 0 and descending):
     जबकि (c <= n और अवरोही नहीं) या (a > 0 और अवरोही):
         k = (n + b) // d
         k = (n + b) // d
         (a, b, c, d) = (c, d, k * c - a, k * d - b)
         (a, b, c, d) = (c, d, k * c - a, k * d - b)
         print("{0}/{1}".format(a, b))
         मुद्रण ("{0}/{1}" है। प्रारूप(a, b)) है।
</syntaxhighlight>
</syntaxhighlight>
परिमेय में [[डायोफैंटाइन समीकरण]]ों के समाधान के लिए ब्रूट-फोर्स खोज अक्सर फेरी श्रृंखला (केवल कम रूपों की खोज करने के लिए) का लाभ उठा सकती है। हालांकि यह कोड ए, बी, सी, और डी को आरंभ करने के लिए अनुक्रम के पहले दो शब्दों का उपयोग करता है, लेकिन किसी विशेष सीमा से कम (या उससे अधिक) को बाहर करने के लिए आसन्न शब्दों की किसी भी जोड़ी को स्थानापन्न कर सकता है।<ref>{{cite magazine |first=Norman |last=Routledge |title=कम्प्यूटिंग फेरी श्रृंखला|magazine=[[The Mathematical Gazette]] |volume=92 |issue=523 |pages=55–62 |date=March 2008}}</ref>
परिमेय में [[डायोफैंटाइन समीकरण]]ों के समाधान के लिए पाशविक बल खोज प्रायः फारे श्रृंखला (केवल कम रूपों की खोज करने के लिए) का लाभ उठा सकती है। हालांकि यह सांकेतिक अंक ''a'', ''b'', ''c'' और ''d'' को आरंभ करने के लिए अनुक्रम के पहले दो शब्दों का उपयोग करता है, लेकिन किसी विशेष सीमा से कम (या उससे अधिक) को बाहर करने के लिए आसन्न शब्दों की किसी भी जोड़ी को स्थानापन्न कर सकता है।<ref>{{cite magazine |first=Norman |last=Routledge |title=कम्प्यूटिंग फेरी श्रृंखला|magazine=[[The Mathematical Gazette]] |volume=92 |issue=523 |pages=55–62 |date=March 2008}}</ref>




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* {{cite book |author1-link=Ronald L. Graham |first1=Ronald L. |last1=Graham |author2-link=Donald E. Knuth |first2=Donald E. |last2=Knuth |author3-link=Oren Patashnik |first3=Oren |last3=Patashnik |title=Concrete Mathematics: A foundation for computer science |edition=2nd |publisher=Addison-Wesley |place=Boston, MA |year=1989 |isbn=0-201-55802-5 |pages=115–123, 133–139, 150, 462–463, 523–524}} — in particular, see §4.5 (pp.&nbsp;115–123), Bonus Problem&nbsp;4.61 (pp.&nbsp;150, 523–524), §4.9 (pp.&nbsp;133–139), §9.3, Problem&nbsp;9.3.6 (pp.&nbsp;462–463).
* {{cite book |author1-link=Ronald L. Graham |first1=Ronald L. |last1=Graham |author2-link=Donald E. Knuth |first2=Donald E. |last2=Knuth |author3-link=Oren Patashnik |first3=Oren |last3=Patashnik |title=Concrete Mathematics: A foundation for computer science |edition=2nd |publisher=Addison-Wesley |place=Boston, MA |year=1989 |isbn=0-201-55802-5 |pages=115–123, 133–139, 150, 462–463, 523–524}} — in particular, see §4.5 (pp.&nbsp;115–123), Bonus Problem&nbsp;4.61 (pp.&nbsp;150, 523–524), §4.9 (pp.&nbsp;133–139), §9.3, Problem&nbsp;9.3.6 (pp.&nbsp;462–463).
* {{cite web |first=Linas |last=Vepstas |title=The Minkowski Question Mark, GL(2,Z), and the Modular Group |url=http://linas.org/math/chap-minkowski.pdf}} — reviews the isomorphisms of the Stern-Brocot Tree.
* {{cite web |first=Linas |last=Vepstas |title=The Minkowski Question Mark, GL(2,Z), and the Modular Group |url=http://linas.org/math/chap-minkowski.pdf}} — reviews the isomorphisms of the Stern-Brocot Tree.
* {{cite web |first=Linas |last=Vepstas |title=Symmetries of Period-Doubling Maps |url=http://linas.org/math/chap-takagi.pdf}} — reviews connections between Farey Fractions and Fractals.
* {{cite web |first=Linas |last=Vepstas |title=Symmetries of Period-Doubling Maps |url=http://linas.org/math/chap-takagi.pdf}} — reviews connections between फारे Fractions and Fractals.
* {{cite journal |first1=Cristian |last1=Cobeli |first2=Alexandru |last2=Zaharescu |title=The Haros–Farey sequence at two hundred years. A survey |journal=Acta Univ. Apulensis Math. Inform. |issue=5 |year=2003 |pages=1–38}} {{cite web |url=http://www.emis.de/journals/AUA/acta5/survey3.ps_pages1-20.pdf |website=Acta Univ. Apulensis |title=pp. 1–20}} {{cite web |url=http://www.emis.de/journals/AUA/acta5/survey3.ps_pages21-38.pdf |website=Acta Univ. Apulensis |title=pp. 21–38}}
* {{cite journal |first1=Cristian |last1=Cobeli |first2=Alexandru |last2=Zaharescu |title=The Haros–Farey sequence at two hundred years. A survey |journal=Acta Univ. Apulensis Math. Inform. |issue=5 |year=2003 |pages=1–38}} {{cite web |url=http://www.emis.de/journals/AUA/acta5/survey3.ps_pages1-20.pdf |website=Acta Univ. Apulensis |title=pp. 1–20}} {{cite web |url=http://www.emis.de/journals/AUA/acta5/survey3.ps_pages21-38.pdf |website=Acta Univ. Apulensis |title=pp. 21–38}}
* {{cite book |first=Andrey O. |last=Matveev |title=Farey Sequences: Duality and Maps Between Subsequences |publisher=De Gruyter |place=Berlin, DE |year=2017 |isbn=978-3-11-054662-0}} [https://github.com/andreyomatveev/farey-sequences Errata + Code]{{cbignore}}
* {{cite book |first=Andrey O. |last=Matveev |title=Farey Sequences: Duality and Maps Between Subsequences |publisher=De Gruyter |place=Berlin, DE |year=2017 |isbn=978-3-11-054662-0}} [https://github.com/andreyomatveev/farey-sequences Errata + Code]{{cbignore}}

Revision as of 10:04, 7 May 2023

F के लिए फारे आरेख9.
File:Farey sequence denominators 9.svg
फारे अनुक्रम, F के हरों द्वारा बनाया गया सममित पैटर्न9.
फारे अनुक्रम, F के हरों द्वारा बनाया गया सममित पैटर्न25.

गणित में, क्रम n का फारे अनुक्रम पूर्णतया से कम किए गए अंशों का अनुक्रम है, या तो 0 और 1 के मध्य, या इस प्रतिबंध के बिना,[lower-alpha 1] जो सबसे कम शब्दों में n से कम या उसके समान है, बढ़ते आकार के क्रम में व्यवस्थित किया गया है।

प्रतिबंधित परिभाषा के साथ, प्रत्येक फारे अनुक्रम मान 0 से प्रारंभ होता है, जिसे अंश द्वारा दर्शाया जाता है 0/1, और मान 1 के साथ समाप्त होता है, जिसे भिन्न द्वारा दर्शाया जाता है 1/1 (हालाँकि कुछ लेखक इन प्रतिबंधों को छोड़ देते हैं)।

एक फ़ारे अनुक्रम को कभी-कभी फ़ारे श्रृंखला (गणित) कहा जाता है, जो पूर्णतया से सही नहीं है, क्योंकि शब्दों का योग नहीं किया जाता है।[2]


उदाहरण

अनुक्रम 1 से 8 के फारे क्रम हैं:

F1 = { 0/1, 1/1 }
F2 = { 0/1, 1/2, 1/1 }
F3 = { 0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1 }
F4 = { 0/1, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1/1 }
F5 = { 0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1 }
F6 = { 0/1, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 1/1 }
F7 = { 0/1, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 1/1 }
F8 = { 0/1, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 1/1 }
केन्द्रीकृत
F1 = { 0/1, 1/1 }
F2 = { 0/1, 1/2, 1/1 }
F3 = { 0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1 }
F4 = { 0/1, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1/1 }
F5 = { 0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1 }
F6 = { 0/1, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 1/1 }
F7 = { 0/1, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 1/1 }
F8 = { 0/1, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 1/1 }
क्रमबद्ध 
 F1 = {0/1,                                                                                                          1/1}
 F2 = {0/1,                                                   1/2,                                                   1/1}
 F3 = {0/1,                               1/3,                1/2,                2/3,                               1/1}
 F4 = {0/1,                     1/4,      1/3,                1/2,                2/3,      3/4,                     1/1}
 F5 = {0/1,                1/5, 1/4,      1/3,      2/5,      1/2,      3/5,      2/3,      3/4, 4/5,                1/1}
 F6 = {0/1,           1/6, 1/5, 1/4,      1/3,      2/5,      1/2,      3/5,      2/3,      3/4, 4/5, 5/6,           1/1}
 F7 = {0/1,      1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3,      2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5,      2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7,      1/1}
 F8 = {0/1, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 1/1}


फारे सनबर्स्ट

File:Sunburst 8.png
प्लॉटिंग एफ6 अंश और भाजक
File:Farey sunbursts 1-10.svg
पुनरावृत्तियों के स्टारबर्स्ट 1-10 अध्यारोपित

अनुक्रम के अंशों बनाम हरों को प्लॉट करने से दाईं ओर एक जैसा आकार मिलता है, जिसे निम्न के लिए दर्शाया गया है: F6.

इस आकार को विकर्ण और मुख्य अक्षों के चारों ओर प्रतिबिंबित करने से नीचे दर्शाए गए फारे सनबर्स्ट उत्पन्न होते हैं। फारे सनबर्स्ट ऑफ क्रम n साइड 2 के वर्ग में मूल से दृश्यमान पूर्णांक जालक बिंदुओं को जोड़ता हैn, मूल पर केंद्रित है। पिक के प्रमेय का उपयोग करते हुए, सनबर्स्ट का क्षेत्रफल 4(|Fn|−1), जहां |Fn| #अनुक्रम_लंबाई_और_अनुक्रमणिका_का_अंश|में भिन्नों की संख्या है Fn.

File:Farey sunburst 6.svg
क्रम 6 का फरी सनबर्स्ट, 1 आंतरिक (लाल) और 96 सीमा (हरा) बिंदुओं के साथ एक क्षेत्र देता है 1 + 96/2 − 1 = 48, पिक के प्रमेय के अनुसार

इतिहास

'फारे श्रृंखला' का इतिहास बहुत ही रोचक है - हार्डी एंड राइट (1979)[3]
... एक बार फिर वह व्यक्ति जिसका नाम गणितीय संबंध को दिया गया था, जहाँ तक अभिलेखों की बात है, वह मूल खोजकर्ता नहीं था। - बीलर (1964)[4]

फ़ारे अनुक्रमों का नाम यूनाइटेड किंगडम के भूविज्ञानी जॉन फ़ारे, सीनियर के नाम पर रखा गया है, जिनके इन अनुक्रमों के विषय में पत्र 1816 में दार्शनिक पत्रिका में प्रकाशित हुआ था। फ़ारे ने अनुमान लगाया, बिना प्रमाण प्रस्तुत किए, कि फ़ारे अनुक्रम विस्तार में प्रत्येक नया शब्द औसत (गणित) है ) इसके सहवासियों के। फारे का पत्र कॉची द्वारा पढ़ा गया था, जिन्होंने अपने गणित का अभ्यास में एक प्रमाण प्रदान किया था, और इस परिणाम का श्रेय फारे को दिया। वास्तव में, एक अन्य गणितज्ञ, चार्ल्स हारोस ने 1802 में इसी तरह के परिणाम प्रकाशित किए थे, जो न तो फारे और न ही कॉची को ज्ञात थे।[4]इस प्रकार यह एक ऐतिहासिक दुर्घटना थी जिसने फारे के नाम को इन अनुक्रमों के साथ जोड़ा। यह स्टिगलर के नामकरण के नियम का एक उदाहरण है।

गुण

एक अंश की अनुक्रम लंबाई और सूचकांक

क्रम एन के फारे अनुक्रम में निचले क्रम के फारे अनुक्रमों के सभी सदस्य सम्मिलित हैं। विशेष रूप से Fn Fn−1 के सभी सदस्य सम्मिलित हैं और प्रत्येक संख्या के लिए एक अतिरिक्त अंश भी सम्मिलित है जो n से कम है और n के लिए सहअभाज्य है। इस प्रकार F6 F5 से मिलकर बनता है अंशों के साथ 1/6 और 5/6.

फारे अनुक्रम Fn की मध्य अवधि सदैव से रहा है 1/2, n > 1 के लिए। इससे हम Fn की लंबाइयों को संबंधित कर सकते हैं और Fn−1 यूलर के कुल कार्य का उपयोग करना  :

इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि |F1| = 2, हम Fn की लंबाई के लिए व्यंजक व्युत्पन्न कर सकते हैं:[5]

जहाँ टोटिएंट सारांश कार्य है।

हमारे पास भी है :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

और मोबियस उलटा सूत्र द्वारा:

जहाँ µ(d) संख्या-सैद्धांतिक मोबियस फलन है, और तल और छत कार्य है।

F का स्पर्शोन्मुख व्यवहारn| है :

अनुक्रमणिका एक अंश का फारे क्रम में बस यही स्थिति है क्रम में रखता है। यह विशेष प्रासंगिकता का है क्योंकि इसका उपयोग रीमैन परिकल्पना के वैकल्पिक सूत्रीकरण में किया जाता है, #Riemann परिकल्पना देखें। विभिन्न उपयोगी गुणों का पालन करें:

का सूचकांक जहाँ और पहले का लघुत्तम समापवर्त्य है नंबर, , द्वारा दिया गया है:[6]


फारे सहवासी

अंश जो किसी भी फारे अनुक्रम में सहवासी शब्द हैं, उन्हें फारे जोड़ी के रूप में जाना जाता है और इनमें निम्नलिखित गुण होते हैं।

यदि a/b और c/d फ़ारे क्रम में सहवासी हैं, साथ में a/b < c/d, फिर उनका अंतर c/d − a/b के समान है 1/bd. तब से

यह ऐसा कहने के समान है

.

इस प्रकार 1/3 और 2/5 F5 में सहवासी हैं और उनका अंतर है 1/15.

इसका उलटा भी सच है। यदि

सकारात्मक पूर्णांक a, b, c और d के लिए a < b और c < d के साथ a/b और c/d क्रम मैक्स (बी, डी) के फारे अनुक्रम में सहवासी होंगे।

यदि p/q के सहवासी हैं a/b और c/d कुछ फारे अनुक्रम में, के साथ

तब p/q का माध्यिका (गणित) है a/b और c/d - दूसरे शब्दों में,

यह पिछली संपत्ति से आसानी से अनुसरण करता है, क्योंकि if bp – aq = qc – pd = 1, तब bp + pd = qc + aq, p(b + d) = q(a + c), p/q = a + c/b + d.

इससे पता चलता है कि यदि a/b और c/d फारे अनुक्रम में सहवासी हैं तो उनके मध्य पहला शब्द जो फारे अनुक्रम के क्रम में वृद्धि के रूप में प्रकट होता है

जो पहले क्रम के फारे अनुक्रम में प्रकट होता है b + d.

इस प्रकार के मध्य प्रकट होने वाला पहला पद 1/3 और 2/5 है 3/8, जो F में दिखाई देता है8.

F में फारे सहवासी जोड़े की कुल संख्याn2|F हैn| − 3.

स्टर्न-ब्रोकॉट ट्री एक डेटा संरचना है जो दिखाती है कि अनुक्रम 0 (= 0/1) और 1 (= 1/1), क्रमिक मध्यस्थों को लेकर।

समतुल्य-क्षेत्र व्याख्या

फारे परिमेय की प्रत्येक क्रमिक जोड़ी का एक समतुल्य क्षेत्रफल 1 होता है।[7] क्रमिक परिमेय r की व्याख्या करके इसे देखें1 = पी/क्यू और आर2 = p'/q' x-y तल में सदिशों (p, q) के रूप में। A(p/q, p'/q') का क्षेत्रफल qp' - q'p द्वारा दिया गया है। पिछले दो क्रमागत फारे अनुक्रम अंशों के मध्य किसी भी अतिरिक्त अंश की गणना माध्यिका (⊕) के रूप में की जाती है, तो A(r1, आर1 ⊕ आर2) = ए (आर1, आर1) + ए (आर1, आर2) = ए (आर1, आर2) = 1 (आर के बाद से1 = 1/0 और आर2 = 0/1, इसका क्षेत्रफल 1 होना चाहिए)।

फेरे सहवासी और निरंतर अंश

फारे अनुक्रम में पड़ोसियों के रूप में दिखाई देने वाले अंशों में निरंतर भिन्न विस्तार से संबंधित है। प्रत्येक भिन्न के दो निरंतर भिन्न विस्तार होते हैं - एक में अंतिम पद 1 होता है; दूसरे में अंतिम अवधि 1 से अधिक है। यदि p/q, जो पहली बार फारे सीक्वेंस F में दिखाई देता हैq, अंश विस्तार जारी रखा है

[0; ए1, ए2, ..., एn − 1, एn, 1]
[0; ए1, ए2, ..., एn − 1, एn + 1]

फिर का निकटतम सहवासी p/q F मेंq(जो बड़े भाजक के साथ उसका सहवासी होगा) का निरंतर भिन्न विस्तार है

[0; ए1, ए2, ..., एn]

और इसके दूसरे सहवासी का निरंतर अंश विस्तार है

[0; ए1, ए2, ..., एn − 1]

उदाहरण के लिए, 3/8 के दो निरंतर अंश विस्तार हैं [0; 2, 1, 1, 1] और [0; 2, 1, 2], और इसके सहवासी F8 हैं 2/5, जिसे इस रूप में विस्तारित किया जा सकता है [0; 2, 1, 1]; और 1/3, जिसे इस रूप में विस्तारित किया जा सकता है [0; 2, 1].

फैरी अंश और कम से कम सामान्य एकाधिक

लघुत्तम समापवर्तक को फारे भिन्नों के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

जहाँ दूसरा चेबिशेव समारोह है।[8][9]


फैरी अंश और सबसे बड़ा सामान्य विभाजक

चूँकि यूलर का कुल कार्य सीधे सबसे बड़े सामान्य विभाजक से जुड़ा होता है, इसलिए F में तत्वों की संख्या होती हैn,

किसी भी 3 फैरी अंशों के लिए a/b, c/d और e/f निरपेक्ष मूल्य में 2x2 मैट्रिक्स निर्धारक के सबसे बड़े सामान्य भाजक के मध्य निम्नलिखित पहचान है:[10]

[6]


अनुप्रयोग

अपरिमेय संख्याओं का परिमेय सन्निकटन ज्ञात करने के लिए फारे क्रम बहुत उपयोगी होते हैं।[11] उदाहरण के लिए, एलियाहौ द्वारा निर्माण[12] Collatz conjecture#Cycles|3x+1 प्रक्रिया में गैर-तुच्छ चक्रों की लंबाई पर एक निचली सीमा संख्या लॉग के निरंतर अंश विस्तार की गणना करने के लिए फारे अनुक्रमों का उपयोग करती है2(3)।

अनुनाद घटना के साथ भौतिक प्रणालियों में, फारे अनुक्रम 1डी में अनुनाद स्थानों की गणना करने के लिए एक बहुत ही सुरुचिपूर्ण और कुशल विधि प्रदान करते हैं[13] और 2डी।[14] वर्ग-कोशिका वाले जालक पर किसी भी-कोण पथ योजना के अध्ययन में फ़ारे अनुक्रम प्रमुख हैं, उदाहरण के लिए उनकी कम्प्यूटेशनल जटिलता को चिह्नित करने में[15] या इष्टतमता।[16] कनेक्शन को आर-बाधित पथों के संदर्भ में माना जा सकता है, अर्थात् लाइन सेगमेंट से बने पथ जो प्रत्येक अधिकतम पर चलते हैं पंक्तियाँ और अधिक से अधिक कोशिकाओं के स्तंभ। होने देना वैक्टर का सेट हो ऐसा है कि , , और , कोप्राइम हैं। होने देना चिंतन का परिणाम हो कतार में . होने देना . तब किसी भी आर-बाधित पथ को सदिशों के अनुक्रम के रूप में वर्णित किया जा सकता है . मध्य आपत्ति है और अनुक्रम का फारे क्रम द्वारा दिए गए मैपिंग करने के लिए .

फोर्ड सर्किल

हर अंश के लिए p/q (सबसे कम प्रतिबंधों में) एक फोर्ड सर्कल सी है [p/q], जो त्रिज्या 1/(2q2) और केंद्र (p/q, 1/ 2q2 ). अलग-अलग अंशों के लिए दो फोर्ड मंडल या तो अलग सेट हैं या वे एक दूसरे के लिए स्पर्शरेखा हैं- दो फोर्ड मंडल कभी भी एक दूसरे को नहीं काटते हैं। यदि 0 < p/q <1 तो फोर्ड मंडल जो सी के स्पर्शरेखा हैं [p/q] निश्चित रूप से भिन्नों के लिए फोर्ड सर्कल हैं जो सहवासी हैं p/q कुछ फारे क्रम में।

इस प्रकार C [2/5] C की स्पर्शरेखा है C [1/2]], C [1/2], C[3/7], C[3/8

], वगैरह।

अपोलोनियन गैसकेट (0,0,1,1) में फोर्ड सर्किल भी दिखाई देते हैं। नीचे दी गई तस्वीर इसे फारे अनुनाद रेखाओं के साथ दर्शाती है।[17]

File:Apolloinan gasket Farey.png
Apollonian गैसकेट (0,0,1,1) और फारे अनुनाद आरेख।

रीमैन परिकल्पना

रीमैन परिकल्पना के दो समकक्ष योगों में फारे अनुक्रमों का उपयोग किया जाता है। मान लीजिए की शर्तें हैं . परिभाषित करना , दूसरे शब्दों में nवें फारे क्रम के kवें पद और अंकों की समान संख्या के समुच्चय के kवें सदस्य के मध्य का अंतर है, जो इकाई अंतराल पर समान रूप से वितरित है। 1924 में जेरोम फ्रनेल[18] प्रमाणित कर दिया कि बयान

रीमैन परिकल्पना और फिर एडमंड लैंडौ के समान है[19] टिप्पणी की (फ्रानेल के पेपर के ठीक बाद) कि बयान

रीमैन परिकल्पना के समतुल्य भी है।

फारे अंशों से जुड़े अन्य योग

क्रम n के सभी फारे अंशों का योग तत्वों की संख्या का आधा है:

फारे अनुक्रम में हरों का योग अंशों के योग का दोगुना है और यूलर के पूर्ण कार्य से संबंधित है:

जिसे 1962 में हेरोल्ड एल. आरोन द्वारा अनुमानित किया गया था और 1966 में जीन ए. ब्लेक द्वारा प्रदर्शित किया गया था। हेरोल्ड एल. आरोन अनुमान का एक पंक्ति प्रमाण इस प्रकार है। अंशों का योग है . भाजक का योग है। पहले योग का दूसरे योग से भागफल है।

चलो bj Fn के क्रमित हर हों, तब:[20]

और

माना aj/bj Fn में jवें फारे अंश, तब

जिसमें दर्शाया गया है।[21] साथ ही इस सन्दर्भ के अनुसार योग के अंदर के शब्द को कई अलग-अलग तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है:

एक ही परिणाम के साथ फारे तत्वों पर इस प्रकार कई अलग-अलग रकम प्राप्त करना। लगभग 1/2 पूर्व समरूपता का उपयोग करना योग को अनुक्रम के आधे भाग तक सीमित किया जा सकता है

Mertens फलन को फारे भिन्नों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

जहाँ क्रम n का फारे क्रम है।

इस सूत्र का उपयोग फारे अनुक्रम#रीमैन परिकल्पना|फ्रानेल-लैंडौ प्रमेय के प्रमाण में किया जाता है।[22]


अगला पद

Fn की पारंपरिक शर्तें उत्पन्न करने के लिए एक आश्चर्यजनक सरल कलन विधि उपस्थित है क्रम (आरोही) या गैर-पारंपरिक क्रम (अवरोही) में। कलन विधि प्रत्येक क्रमिक प्रविष्टि की गणना पिछली दो प्रविष्टियों के संदर्भ में ऊपर दी गई औसत संपत्ति का उपयोग करके करता है। यदि a/b और c/d दो दी गई प्रविष्टियाँ हैं, और p/q तब अज्ञात अगली प्रविष्टि है c/d = a + p/b + q. तब से c/d निम्नतम शब्दों में है, तो एक पूर्णांक k होना चाहिए जैसे कि kc = a + p और kd = b + q, जिससे p = kc − a और q = kd − b मिलता है। यदि हम p और q को k का फलन मानते हैं, तब

तो जितना बड़ा k होगा, उतना ही समीप होगा p/q उस तक पहुँचना c/d.

अनुक्रम में अगला पद देने के लिए k जितना संभव हो उतना बड़ा होना चाहिए, kd − b ≤ n के अधीन (क्योंकि हम केवल उन संख्याओं पर विचार कर रहे हैं जिनके भाजक n से अधिक नहीं हैं), इसलिए k सबसे बड़ा पूर्णांक ≤n + b/d है। k के इस मान को वापस p और q के समीकरणों में रखने पर प्राप्त होता है।

इसे पायथन (क्रमादेशन भाषा) में निम्नानुसार कार्यान्वित किया गया है: 

डेफ फारे अनुक्रम(n: int,अवरोही: बूल = असत्य) -> कोई नहीं:
    """n वें फारे अनुक्रम को मुद्रण करें। आरोही या अवरोही के लिए अनुमति प्रदान करें।"""
    (a, b, c, d) = (0, 1, 1 , n)
    यदि अवरोही हो तो:
        (a, c) = (1, n - 1)
    मुद्रण ("{0}/{1}" है। प्रारूप(a, b)) है।
    जबकि (c <= n और अवरोही नहीं) या (a > 0 और अवरोही):
        k = (n + b) // d
        (a, b, c, d) = (c, d, k * c - a, k * d - b)
        मुद्रण ("{0}/{1}" है। प्रारूप(a, b)) है।

परिमेय में डायोफैंटाइन समीकरणों के समाधान के लिए पाशविक बल खोज प्रायः फारे श्रृंखला (केवल कम रूपों की खोज करने के लिए) का लाभ उठा सकती है। हालांकि यह सांकेतिक अंक a, b, c और d को आरंभ करने के लिए अनुक्रम के पहले दो शब्दों का उपयोग करता है, लेकिन किसी विशेष सीमा से कम (या उससे अधिक) को बाहर करने के लिए आसन्न शब्दों की किसी भी जोड़ी को स्थानापन्न कर सकता है।[23]


यह भी देखें

फुटनोट्स

  1. ↑ “The sequence of all reduced fractions with denominators not exceeding n, listed in order of their size, is called the Farey sequence of order n.” With the comment: “This definition of the Farey sequences seems to be the most convenient. However, some authors prefer to restrict the fractions to the interval from 0 to 1.” — Niven & Zuckerman (1972)[1]

संदर्भ

  1. ↑ Niven, Ivan M.; Zuckerman, Herbert S. (1972). An Introduction to the Theory of Numbers (Third ed.). John Wiley and Sons. Definition 6.1.
  2. ↑ Guthery, Scott B. (2011). "1. The Mediant". A Motif of Mathematics: History and Application of the Mediant and the Farey Sequence (in English). Boston: Docent Press. p. 7. ISBN 978-1-4538-1057-6. OCLC 1031694495. Retrieved 28 September 2020.
  3. ↑ Hardy, G.H.; Wright, E.M. (1979). संख्या के सिद्धांत का परिचय (Fifth ed.). Oxford University Press. Chapter III. ISBN 0-19-853171-0.
  4. ↑ 4.0 4.1 Beiler, Albert H. (1964). संख्या के सिद्धांत में मनोरंजन (Second ed.). Dover. Chapter XVI. ISBN 0-486-21096-0. Cited in "Farey Series, A Story". Cut-the-Knot.
  5. ↑ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A005728". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
  6. ↑ 6.0 6.1 Tomas, Rogelio (January 2022). "आंशिक फ्रैनल योग" (PDF). Journal of Integer Sequences. 25 (1).
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अग्रिम पठन


बाहरी संबंध

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