बहुरेखीय रूप: Difference between revisions
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==== विभेदक k- रूपों की परिभाषा और 1-रूपों का निर्माण ==== | ==== विभेदक k- रूपों की परिभाषा और 1-रूपों का निर्माण ==== | ||
विवर्त उपसमुच्चयों <math>U\subset\R^n</math> पर विभेदक रूपों को परिभाषित करने के लिए, हमें सबसे पहले <math>p</math> पर <math>\R^n</math> की स्पर्शरेखा स्थान की धारणा की आवश्यकता होती है, जिसे सामान्यतः | विवर्त उपसमुच्चयों <math>U\subset\R^n</math> पर विभेदक रूपों को परिभाषित करने के लिए, हमें सबसे पहले <math>p</math> पर <math>\R^n</math> की स्पर्शरेखा स्थान की धारणा की आवश्यकता होती है, जिसे सामान्यतः <math>T_p\R^n</math> या <math>\R^n_p</math> वेक्टर स्पेस <math>\R^n_p</math> को एलिमेंट्स <math>v_p</math> <math>v\in\R^n</math> के सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिसमें <math>v_p+w_p:=(v+w)_p</math> फिक्स्ड) वेक्टर जोड़ और स्केलर गुणन के साथ <math>p\in\R^n</math> और <math>a\cdot(v_p):=(a\cdot v)_p</math>, क्रमशः इसके अतिरिक्त , यदि <math>(e_1,\ldots,e_n)</math><math>\R^n</math> के लिए मानक आधार है, तो <math>((e_1)_p,\ldots,(e_n)_p)</math><math>\R^n_p</math> के लिए समान मानक आधार है। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान <math>\R^n_p</math> को केवल <math>\R^n</math> (स्पर्शरेखा सदिशों का एक सेट) की एक प्रति के रूप में माना जा सकता है बिंदु <math>p</math>। <math>\R^n</math> की स्पर्शरेखा रिक्त स्थान का संग्रह (विच्छिन्न संघ) बिल्कुल<math>p\in\R^n</math> को <math>\R^n</math> के स्पर्शरेखा बंडल के रूप में जाना जाता है। और सामान्यतः <math display="inline">T\R^n:=\bigcup_{p\in\R^n}\R^n_p</math>। जबकि यहाँ दी गई परिभाषा <math>\R^n</math> के स्पर्शरेखा स्थान का एक सरल विवरण प्रदान करती है, वहाँ अन्य, अधिक परिष्कृत निर्माण हैं जो सामान्य रूप से स्मूथ मैनिफोल्ड्स के स्पर्शरेखा रिक्त स्थान को परिभाषित करने के लिए बेहतर अनुकूल हैं (पर लेख देखें) विवरण के लिए स्पर्शरेखा रिक्त स्थान है)। | ||
<math>U\subset\R^n</math> पर विभेदक <math>\boldsymbol{k}</math>-फॉर्म को एक फंक्शन <math>\omega</math> के रूप में परिभाषित किया गया है जो टेंगेंट पर हर <math>p\in U</math> a <math>k</math>-कोवेक्टोर को असाइन करता है। <math>p</math> पर <math>\R^n</math> की जगह, सामान्यतः | <math>U\subset\R^n</math> पर विभेदक <math>\boldsymbol{k}</math>-फॉर्म को एक फंक्शन <math>\omega</math> के रूप में परिभाषित किया गया है जो टेंगेंट पर हर <math>p\in U</math> a <math>k</math>-कोवेक्टोर को असाइन करता है। <math>p</math> पर <math>\R^n</math> की जगह, सामान्यतः <math>\omega_p:=\omega(p)\in\mathcal{A}^k(\R^n_p)</math>। संक्षेप में, एक विभेदक <math>k</math>-रूप एक <math>k</math>-वेक्टर क्षेत्र है। <math>U</math> पर <math>k</math>-फॉर्म का स्थान सामान्यतः <math>\Omega^k(U)</math>; इस प्रकार यदि <math>\omega</math> एक विभेदक <math>k</math>-रूप है, तो हम <math>\omega\in\Omega^k(U)</math> लिखते हैं। परिपाटी के अनुसार, <math>U</math> पर एक सतत फलन अवकल 0-रूप: <math>f\in C^0(U)=\Omega^0(U)</math> है। | ||
हम पहले 0-रूपों से विभेदक 1-रूपों का निर्माण करते हैं और उनके कुछ मूलभूत गुणों को निकालते हैं। नीचे दी गई चर्चा को सरल बनाने के लिए, हम केवल स्मूथ से निर्मित स्मूथ अंतर रूपों पर विचार करेंगे (<math>C^\infty</math>) कार्य करता है। होने देना <math>f:\R^n\to\R</math> सुचारू कार्य हो। हम 1-रूप को परिभाषित करते हैं <math>df</math> पर <math>U</math> के लिए <math>p\in U</math> और <math>v_p\in\R^n_p</math> द्वारा <math>(df)_p(v_p):=Df|_p(v)</math>, जहाँ <math>Df|_p:\R^n\to\R</math> का कुल योग है <math>f</math> पर <math>p</math>. (याद रखें कि कुल व्युत्पन्न रैखिक परिवर्तन है।) विशेष रुचि के प्रक्षेपण मानचित्र हैं (जिन्हें समन्वय कार्यों के रूप में भी जाना जाता है) <math>\pi^i:\R^n\to\R</math>, द्वारा परिभाषित <math>x\mapsto x^i</math>, जहाँ <math>x^i</math> का i मानक निर्देशांक है <math>x\in\R^n</math>. 1-रूप <math>d\pi^i</math> मूलभूत 1-रूपों के रूप में जाने जाते हैं; वे पारंपरिक रूप से निरूपित हैं <math>dx^i</math>. यदि मानक निर्देशांक <math>v_p\in\R^n_p</math> हैं <math>(v^1,\ldots, v^n)</math>, फिर की परिभाषा का अनुप्रयोग <math>df</math> उत्पन्न | हम पहले 0-रूपों से विभेदक 1-रूपों का निर्माण करते हैं और उनके कुछ मूलभूत गुणों को निकालते हैं। नीचे दी गई चर्चा को सरल बनाने के लिए, हम केवल स्मूथ से निर्मित स्मूथ अंतर रूपों पर विचार करेंगे (<math>C^\infty</math>) कार्य करता है। होने देना <math>f:\R^n\to\R</math> सुचारू कार्य हो। हम 1-रूप को परिभाषित करते हैं <math>df</math> पर <math>U</math> के लिए <math>p\in U</math> और <math>v_p\in\R^n_p</math> द्वारा <math>(df)_p(v_p):=Df|_p(v)</math>, जहाँ <math>Df|_p:\R^n\to\R</math> का कुल योग है <math>f</math> पर <math>p</math>. (याद रखें कि कुल व्युत्पन्न रैखिक परिवर्तन है।) विशेष रुचि के प्रक्षेपण मानचित्र हैं (जिन्हें समन्वय कार्यों के रूप में भी जाना जाता है) <math>\pi^i:\R^n\to\R</math>, द्वारा परिभाषित <math>x\mapsto x^i</math>, जहाँ <math>x^i</math> का i मानक निर्देशांक है <math>x\in\R^n</math>. 1-रूप <math>d\pi^i</math> मूलभूत 1-रूपों के रूप में जाने जाते हैं; वे पारंपरिक रूप से निरूपित हैं <math>dx^i</math>. यदि मानक निर्देशांक <math>v_p\in\R^n_p</math> हैं <math>(v^1,\ldots, v^n)</math>, फिर की परिभाषा का अनुप्रयोग <math>df</math> उत्पन्न <math>dx^i_p(v_p)=v^i</math>, जिससे <math>dx^i_p((e_j)_p)=\delta_j^i</math>, जहाँ <math>\delta^i_j</math> [[क्रोनकर डेल्टा]] है।<ref>The Kronecker delta is usually denoted by <math>\delta_{ij}=\delta(i,j)</math> and defined as <math display="inline">\delta:X\times X\to\{0,1\},\ (i,j)\mapsto \begin{cases} 1, & i=j \\ 0, & i\neq j \end{cases}</math>. Here, the notation <math>\delta^i_j</math> is used to conform to the tensor calculus convention on the use of upper and lower indices. </ref> इस प्रकार, के लिए मानक आधार के दोहरे के रूप में <math>\R^n_p</math>, <math>(dx^1_p,\ldots,dx^n_p)</math> का आधार बनता है <math>\mathcal{A}^1(\R^n_p)=(\R^n_p)^*</math>. परिणामस्वरूप यदि <math>\omega</math> 1-फॉर्म ऑन है <math>U</math>, तब <math>\omega</math> रूप में लिखा जा सकता है <math display="inline">\sum a_i\,dx^i</math> सुचारू कार्यों के लिए <math>a_i:U\to\R</math>. इसके अतिरिक्त , हम के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकते हैं <math>df</math> कुल अंतर के लिए मौलिक अभिव्यक्ति के साथ मेल खाता है: | ||
: <math>df=\sum_{i=1}^n D_i f\; dx^i={\partial f\over\partial x^1} \, dx^1+\cdots+{\partial f\over\partial x^n} \, dx^n.</math> | : <math>df=\sum_{i=1}^n D_i f\; dx^i={\partial f\over\partial x^1} \, dx^1+\cdots+{\partial f\over\partial x^n} \, dx^n.</math> | ||
नोटेशन पर टिप्पणियाँ: इस लेख में, हम [[टेंसर कैलकुलेशन|टेंसर गणना]] और विभेदक ज्योमेट्री के अधिवेशन का पालन करते हैं जिसमें मल्टीवैक्टर और मल्टीकोवेक्टर क्रमशः निचले और ऊपरी सूचकांकों के साथ लिखे जाते हैं। चूंकि विभेदक रूप बहुवेक्टर क्षेत्र हैं, इसलिए उन्हें अनुक्रमित करने के लिए ऊपरी सूचकांकों को नियोजित किया जाता है।<ref name=":0" /> विपरीत नियम मल्टीवैक्टर और मल्टीकोक्टर के घटकों पर प्रयुक्त होता है, जो क्रमशः ऊपरी और निचले सूचकांकों के साथ लिखे जाते हैं। उदाहरण के लिए, हम वेक्टर <math>v\in\R^n</math> के मानक निर्देशांक का<math>(v^1,\ldots,v^n)</math> प्रतिनिधित्व करते हैं | नोटेशन पर टिप्पणियाँ: इस लेख में, हम [[टेंसर कैलकुलेशन|टेंसर गणना]] और विभेदक ज्योमेट्री के अधिवेशन का पालन करते हैं जिसमें मल्टीवैक्टर और मल्टीकोवेक्टर क्रमशः निचले और ऊपरी सूचकांकों के साथ लिखे जाते हैं। चूंकि विभेदक रूप बहुवेक्टर क्षेत्र हैं, इसलिए उन्हें अनुक्रमित करने के लिए ऊपरी सूचकांकों को नियोजित किया जाता है।<ref name=":0" /> विपरीत नियम मल्टीवैक्टर और मल्टीकोक्टर के घटकों पर प्रयुक्त होता है, जो क्रमशः ऊपरी और निचले सूचकांकों के साथ लिखे जाते हैं। उदाहरण के लिए, हम वेक्टर <math>v\in\R^n</math> के मानक निर्देशांक का<math>(v^1,\ldots,v^n)</math> प्रतिनिधित्व करते हैं जिससे <math display="inline">v=\sum_{i=1}^n v^ie_i</math> मानक आधार के संदर्भ में <math>(e_1,\ldots,e_n)</math>. इसके अतिरिक्त, अभिव्यक्ति के भाजक में दिखाई देने वाली सुपरस्क्रिप्ट (जैसा कि <math display="inline">\frac{\partial f}{\partial x^i}</math>) को इस परिपाटी में निम्न सूचकांकों के रूप में माना जाता है। जब सूचकांकों को इस विधि से प्रयुक्त और व्याख्या किया जाता है, तो ऊपरी सूचकांकों की संख्या घटाकर अभिव्यक्ति के प्रत्येक शब्द में निचले सूचकांकों की संख्या को संरक्षित किया जाता है, योग के अंदर और समान चिह्न के अंदर, सुविधा जो उपयोगी स्मरक उपकरण के रूप में कार्य करती है और मैन्युअल संगणना के समय की गई त्रुटियों को इंगित करने में सहायता करता है। | ||
==== अंतर के-रूपों पर मूलभूत संचालन ==== | ==== अंतर के-रूपों पर मूलभूत संचालन ==== | ||
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जहाँ <math>a_{i_1\ldots i_k}:U\to\R</math> सहज कार्य हैं। सूचकांक के प्रत्येक सेट के साथ <math>\{i_1,\ldots,i_k\}</math> आरोही क्रम में रखा गया है, (*) को <math>\omega</math> की मानक प्रस्तुति कहा जाता है।<br> | जहाँ <math>a_{i_1\ldots i_k}:U\to\R</math> सहज कार्य हैं। सूचकांक के प्रत्येक सेट के साथ <math>\{i_1,\ldots,i_k\}</math> आरोही क्रम में रखा गया है, (*) को <math>\omega</math> की मानक प्रस्तुति कहा जाता है।<br> | ||
पिछले अनुभाग में, 1-फ़ॉर्म <math>df</math> 0-फॉर्म (निरंतर कार्य) <math>f</math> के बाहरी व्युत्पन्न को लेकर परिभाषित किया गया था . अब हम एक्सटीरियर व्युत्पत्ति ऑपरेटर <math>d:\Omega^k(U)\to\Omega^{k+1}(U)</math> को परिभाषित करके इसका विस्तार करते हैं यदि | पिछले अनुभाग में, 1-फ़ॉर्म <math>df</math> 0-फॉर्म (निरंतर कार्य) <math>f</math> के बाहरी व्युत्पन्न को लेकर परिभाषित किया गया था . अब हम एक्सटीरियर व्युत्पत्ति ऑपरेटर <math>d:\Omega^k(U)\to\Omega^{k+1}(U)</math> को परिभाषित करके इसका विस्तार करते हैं यदि <math>k\geq1</math>. यदि की मानक प्रस्तुति <math>k</math>-प्रपत्र <math>\omega</math> (*) द्वारा दिया गया है <math>(k+1)</math>-प्रपत्र <math>d\omega</math> द्वारा परिभाषित किया गया है | ||
: <math>d\omega:=\sum_{i_1<\ldots <i_k} da_{i_1\ldots i_k}\wedge dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}.</math> | : <math>d\omega:=\sum_{i_1<\ldots <i_k} da_{i_1\ldots i_k}\wedge dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}.</math> | ||
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पैरामिट्रीकृत डोमेन पर विभेदक फॉर्म को एकीकृत करने के लिए, हमें सबसे पहले विभेदक फॉर्म के पुलबैक की धारणा को प्रस्तुत करने की आवश्यकता है। सामान्यतः बोलते हुए, जब विभेदक प्रपत्र एकीकृत होता है, तो पुलबैक को प्रयुक्त करने से यह तरह से बदल जाता है जो सही विधि से समन्वय के परिवर्तन के लिए खाता है। | पैरामिट्रीकृत डोमेन पर विभेदक फॉर्म को एकीकृत करने के लिए, हमें सबसे पहले विभेदक फॉर्म के पुलबैक की धारणा को प्रस्तुत करने की आवश्यकता है। सामान्यतः बोलते हुए, जब विभेदक प्रपत्र एकीकृत होता है, तो पुलबैक को प्रयुक्त करने से यह तरह से बदल जाता है जो सही विधि से समन्वय के परिवर्तन के लिए खाता है। | ||
एक अवकलनीय फलन दिया गया है<math>f:\R^n\to\R^m</math> और k-रूप | एक अवकलनीय फलन दिया गया है<math>f:\R^n\to\R^m</math> और k-रूप <math>\eta\in\Omega^k(\R^m)</math> हम <math>f^*\eta\in\Omega^k(\R^n)</math> को <math>f</math> द्वारा <math>\eta</math> का पुलबैक कहते हैं और इसे <math>k</math>-रूप के रूप में परिभाषित करें जैसे कि | ||
: <math>(f^*\eta)_p(v_{1p},\ldots, v_{kp}):=\eta_{f(p)}(f_*(v_{1p}),\ldots,f_*(v_{kp})),</math> | : <math>(f^*\eta)_p(v_{1p},\ldots, v_{kp}):=\eta_{f(p)}(f_*(v_{1p}),\ldots,f_*(v_{kp})),</math> | ||
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: <math>\int_{[0,1]^n} \omega = \int_{[0,1]^n} f\,dx^1\wedge\cdots \wedge dx^n:= \int_0^1\cdots\int_0^1 f\, dx^1\cdots dx^n.</math> | : <math>\int_{[0,1]^n} \omega = \int_{[0,1]^n} f\,dx^1\wedge\cdots \wedge dx^n:= \int_0^1\cdots\int_0^1 f\, dx^1\cdots dx^n.</math> | ||
इसके बाद, हम एक अलग-अलग फलन <math>c:[0,1]^n\to A\subset\R^m</math> जिसे ''n''-घन के रूप में जाना जाता है, द्वारा पैरामीटर किए गए एकीकरण के एक डोमेन पर विचार करते हैं। <math>c</math> के ऊपर <math>\omega\in\Omega^n(A)</math> के इंटीग्रल को परिभाषित करने के लिए, हम <math>A</math> | इसके बाद, हम एक अलग-अलग फलन <math>c:[0,1]^n\to A\subset\R^m</math> जिसे ''n''-घन के रूप में जाना जाता है, द्वारा पैरामीटर किए गए एकीकरण के एक डोमेन पर विचार करते हैं। <math>c</math> के ऊपर <math>\omega\in\Omega^n(A)</math> के इंटीग्रल को परिभाषित करने के लिए, हम <math>A</math> से इकाई ''n''-सेल में "वापस खींचते हैं": | ||
: <math>\int_c \omega :=\int_{[0,1]^n}c^*\omega.</math> | : <math>\int_c \omega :=\int_{[0,1]^n}c^*\omega.</math> | ||
| Line 108: | Line 108: | ||
: <math>\int_C \omega :=\sum_i n_i\int_{c_i} \omega.</math> | : <math>\int_C \omega :=\sum_i n_i\int_{c_i} \omega.</math> | ||
<math>(n-1)</math>-श्रृंखला <math>\partial C</math> की एक उपयुक्त परिभाषा, जिसे <math>C</math> की सीमा के रूप में जाना जाता है, | <math>(n-1)</math>-श्रृंखला <math>\partial C</math> की एक उपयुक्त परिभाषा, जिसे <math>C</math> की सीमा के रूप में जाना जाता है, हमें <math>\R^m</math> के सबसेट में श्रृंखला के लिए प्रसिद्ध स्टोक्स प्रमेय (स्टोक्स-कार्टन प्रमेय) को बताने की अनुमति देती है। <blockquote>यदि <math>\omega</math> विवर्त समुच्चय <math>A\subset\R^m</math> पर एक स्मूथ <math>(n-1)</math>-फॉर्म है और <math>C</math>, <math>A</math> में एक स्मूथ <math>n</math>-चेन है, तो <math>\int_C d\omega=\int_{\partial C} \omega</math>। | ||
.</blockquote>अधिक परिष्कृत मशीनरी (जैसे, रोगाणु और [[व्युत्पत्ति (अंतर बीजगणित)]]) का उपयोग करके, स्पर्शरेखा स्थान <math>T_p M</math> किसी भी स्मूथ मैनिफोल्ड | .</blockquote>अधिक परिष्कृत मशीनरी (जैसे, रोगाणु और [[व्युत्पत्ति (अंतर बीजगणित)]]) का उपयोग करके, स्पर्शरेखा स्थान <math>T_p M</math> किसी भी स्मूथ मैनिफोल्ड <math>M</math> (जरूरी नहीं कि <math>\R^m</math> में एम्बेडेड किया गया हो) को परिभाषित किया जा सकता है। समान रूप से, सामान्य स्मूथ मैनिफोल्ड पर विभेदक रूप <math>\omega\in\Omega^k(M)</math> एक मानचित्र है | ||
<math>\omega:p\in M\mapsto\omega_p\in \mathcal{A}^k(T_pM)</math> स्टोक्स के प्रमेय को और अधिक सामान्यीकृत किया जा सकता है इच्छानुसार | <math>\omega:p\in M\mapsto\omega_p\in \mathcal{A}^k(T_pM)</math> स्टोक्स के प्रमेय को और अधिक सामान्यीकृत किया जा सकता है इच्छानुसार से स्मूथ मैनिफोल्ड-साथ-सीमा और यहां तक कि कुछ "रफ" डोमेन (विवरण के लिए स्टोक्स के प्रमेय पर लेख देखें)। | ||
== यह भी देखें == | == यह भी देखें == | ||
Revision as of 10:36, 3 May 2023
अमूर्त बीजगणित और बहुरेखीय बीजगणित में, सदिश स्थान पर बहुरेखीय रूप क्षेत्र पर (गणित) मानचित्र (गणित) है
जो अपने प्रत्येक तर्कों में अलग से -रैखिक है।[1] अधिक सामान्यतः , मॉड्यूल (गणित) पर क्रमविनिमेय वृत्त पर बहु-रेखीय रूपों को परिभाषित किया जा सकता है। चूँकि, इस लेख के बाकी हिस्से में केवल आयाम (वेक्टर स्पेस) या परिमित-आयामी वेक्टर स्पेस पर बहुरेखीय रूपों पर विचार किया जाएगा।
पर पर बहुरेखीय -रूप को (सहसंयोजक) -टेंसर कहा जाता है, और ऐसे रूपों के सदिश स्थान को सामान्यतः पर या निरूपित किया जाता है|[2]
टेंसर उत्पाद
दिए गए -टेंसर और -टेंसर , उत्पाद , टेंसर उत्पाद के रूप में जाना जाता है, जिसे संपत्ति द्वारा परिभाषित किया जा सकता है
सभी