बहुरेखीय रूप: Difference between revisions

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: <math>f(x_1,\ldots, x_p,\ldots, x_q,\ldots, x_k) = -f(x_1,\ldots, x_q,\ldots, x_p,\ldots, x_k). </math>
: <math>f(x_1,\ldots, x_p,\ldots, x_q,\ldots, x_k) = -f(x_1,\ldots, x_q,\ldots, x_p,\ldots, x_k). </math>
अतिरिक्त परिकल्पना के साथ कि [[विशेषता (फ़ील्ड)]] <math>K</math> 2 नहीं है, सेटिंग <math>x_p=x_q=x </math> परिणाम के रूप में तात्पर्य है कि <math>f(x_1,\ldots, x,\ldots, x,\ldots, x_k) = 0 </math>; अर्थात, जब भी इसके दो तर्क बराबर होते हैं, तो प्रपत्र का मान 0 होता है। चूँकि, ध्यान दें कि कुछ लेखक<ref>{{Cite book|title=परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान|last=Halmos|first=Paul R.|publisher=Van Nostrand|year=1958|isbn=0-387-90093-4|edition=2nd |pages=50}}</ref> वैकल्पिक रूपों की परिभाषित संपत्ति के रूप में इस अंतिम स्थिति का उपयोग करें। इस परिभाषा का तात्पर्य खंड की शुरुआत में दी गई संपत्ति से है, लेकिन जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, विपरीत निहितार्थ तभी होता है जब <math>\operatorname{char}(K)\neq 2 </math>.
अतिरिक्त परिकल्पना के साथ कि [[विशेषता (फ़ील्ड)]] <math>K</math> 2 नहीं है, सेटिंग <math>x_p=x_q=x </math> परिणाम के रूप में तात्पर्य है कि <math>f(x_1,\ldots, x,\ldots, x,\ldots, x_k) = 0 </math>; अर्थात, जब भी इसके दो तर्क बराबर होते हैं, तो प्रपत्र का मान 0 होता है। चूँकि, ध्यान दें कि कुछ लेखक<ref>{{Cite book|title=परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान|last=Halmos|first=Paul R.|publisher=Van Nostrand|year=1958|isbn=0-387-90093-4|edition=2nd |pages=50}}</ref> वैकल्पिक रूपों की परिभाषित संपत्ति के रूप में इस अंतिम स्थिति का उपयोग करें। इस परिभाषा का तात्पर्य खंड की शुरुआत में दी गई संपत्ति से है, किन्तु जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, विपरीत निहितार्थ तभी होता है जब <math>\operatorname{char}(K)\neq 2 </math>.


वैकल्पिक बहुरेखीय <math>k</math>-फॉर्म ऑन <math>V</math> ऊपर <math>\R</math> डिग्री का बहुवेक्टर कहलाता है <math>\boldsymbol{k}</math> या <math>\boldsymbol{k}</math>-वेक्टर, और ऐसे वैकल्पिक रूपों का वेक्टर स्थान, उप-स्थान <math>\mathcal{T}^k(V)</math>,  सामान्यतः  निरूपित किया जाता है <math>\mathcal{A}^k(V)</math>, या, की तुल्याकारी kth बाह्य शक्ति के लिए संकेतन का उपयोग करना <math>V^*</math>([[दोहरी जगह|दोहरी स्थान]] <math>V</math>), <math display="inline">\bigwedge^k V^*</math>.<ref>Spivak uses <math>\Omega^k(V)</math> for the space of <math>k</math>-covectors on <math>V</math>.  However, this notation is more commonly reserved for the space of differential <math>k</math>-forms on <math>V</math>.  In this article, we use <math>\Omega^k(V)</math> to mean the latter.</ref> ध्यान दें कि रैखिक कार्यात्मक (बहुरेखीय 1-रूप ओवर <math>\R</math>) तुच्छ रूप से वैकल्पिक हैं, ताकि <math>\mathcal{A}^1(V)=\mathcal{T}^1(V)=V^*</math>, जबकि, परिपाटी के अनुसार, 0-रूपों को अदिश राशि के रूप में परिभाषित किया जाता है: <math>\mathcal{A}^0(V)=\mathcal{T}^0(V)=\R</math>.
वैकल्पिक बहुरेखीय <math>k</math>-फॉर्म ऑन <math>V</math> ऊपर <math>\R</math> डिग्री का बहुवेक्टर कहलाता है <math>\boldsymbol{k}</math> या <math>\boldsymbol{k}</math>-वेक्टर, और ऐसे वैकल्पिक रूपों का वेक्टर स्थान, उप-स्थान <math>\mathcal{T}^k(V)</math>,  सामान्यतः  निरूपित किया जाता है <math>\mathcal{A}^k(V)</math>, या, की तुल्याकारी kth बाह्य शक्ति के लिए संकेतन का उपयोग करना <math>V^*</math>([[दोहरी जगह|दोहरी स्थान]] <math>V</math>), <math display="inline">\bigwedge^k V^*</math>.<ref>Spivak uses <math>\Omega^k(V)</math> for the space of <math>k</math>-covectors on <math>V</math>.  However, this notation is more commonly reserved for the space of differential <math>k</math>-forms on <math>V</math>.  In this article, we use <math>\Omega^k(V)</math> to mean the latter.</ref> ध्यान दें कि रैखिक कार्यात्मक (बहुरेखीय 1-रूप ओवर <math>\R</math>) तुच्छ रूप से वैकल्पिक हैं, जिससे  <math>\mathcal{A}^1(V)=\mathcal{T}^1(V)=V^*</math>, जबकि, परिपाटी के अनुसार, 0-रूपों को अदिश राशि के रूप में परिभाषित किया जाता है: <math>\mathcal{A}^0(V)=\mathcal{T}^0(V)=\R</math>.


निर्धारक चालू <math>n\times n</math> मेट्रिसेस, के रूप में देखा <math>n</math> स्तंभ वैक्टर का तर्क कार्य, वैकल्पिक बहुरेखीय रूप का महत्वपूर्ण उदाहरण है।
निर्धारक चालू <math>n\times n</math> मेट्रिसेस, के रूप में देखा <math>n</math> स्तंभ वैक्टर का तर्क कार्य, वैकल्पिक बहुरेखीय रूप का महत्वपूर्ण उदाहरण है।


==== [[बाहरी उत्पाद]] ====
==== [[बाहरी उत्पाद]] ====
वैकल्पिक बहुरेखीय रूपों का टेन्सर उत्पाद, सामान्य रूप से, अब वैकल्पिक नहीं है। चूँकि, टेन्सर उत्पाद के सभी क्रमपरिवर्तनों का योग करके, प्रत्येक शब्द की समानता को ध्यान में रखते हुए, बाहरी उत्पाद (<math>\wedge</math>, जिसे वेज उत्पाद के रूप में भी जाना जाता है) को मल्टीकोक्टर्स के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, ताकि यदि <math>f\in\mathcal{A}^k(V)</math> और <math>g\in\mathcal{A}^\ell(V)</math>, तब <math>f\wedge g\in\mathcal{A}^{k+\ell}(V)</math>:
वैकल्पिक बहुरेखीय रूपों का टेन्सर उत्पाद, सामान्य रूप से, अब वैकल्पिक नहीं है। चूँकि, टेन्सर उत्पाद के सभी क्रमपरिवर्तनों का योग करके, प्रत्येक शब्द की समानता को ध्यान में रखते हुए, बाहरी उत्पाद (<math>\wedge</math>, जिसे वेज उत्पाद के रूप में भी जाना जाता है) को मल्टीकोक्टर्स के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिससे  यदि <math>f\in\mathcal{A}^k(V)</math> और <math>g\in\mathcal{A}^\ell(V)</math>, तब <math>f\wedge g\in\mathcal{A}^{k+\ell}(V)</math>:


: <math>(f\wedge g)(v_1,\ldots, v_{k+\ell})=\frac{1}{k!\ell!}\sum_{\sigma\in S_{k+\ell}} (\sgn(\sigma)) f(v_{\sigma(1)}, \ldots, v_{\sigma(k)})g(v_{\sigma(k+1)}
: <math>(f\wedge g)(v_1,\ldots, v_{k+\ell})=\frac{1}{k!\ell!}\sum_{\sigma\in S_{k+\ell}} (\sgn(\sigma)) f(v_{\sigma(1)}, \ldots, v_{\sigma(k)})g(v_{\sigma(k+1)}
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{{main|विभेदक रूप}}
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विभेदक रूप गणितीय वस्तुएं हैं जो स्पर्शरेखा रिक्त स्थान और बहु-रेखीय रूपों के माध्यम से निर्मित होती हैं, जो कई तरह से व्यवहार करती हैं, जैसे शास्त्रीय अर्थों में फ़ंक्शन का अंतर। चूंकि  संकल्पनात्मक और कम्प्यूटेशनल रूप से उपयोगी, अंतर कलन के इतिहास में प्रारंभिक रूप से विकसित अपरिमित मात्राओं की अ-परिभाषित धारणाओं पर आधारित हैं। विभेदक रूप लंबे समय से चले आ रहे इस विचार को आधुनिक बनाने के लिए गणितीय रूप से कठोर और सटीक रूपरेखा प्रदान करते हैं। विभेदक रूप विशेष रूप से [[बहुभिन्नरूपी कैलकुलस]] (विश्लेषण) और विभेदक ज्यामिति में उपयोगी होते हैं क्योंकि उनके पास परिवर्तन गुण होते हैं जो उन्हें घटता, सतहों और उनके उच्च-आयामी एनालॉग्स (भिन्नात्मक कई गुना) पर एकीकृत करने की अनुमति देते हैं। दूरगामी अनुप्रयोग स्टोक्स प्रमेय का आधुनिक कथन है, उच्च आयामों के लिए कलन के मौलिक प्रमेय का व्यापक सामान्यीकरण।
विभेदक रूप गणितीय वस्तुएं हैं जो स्पर्शरेखा रिक्त स्थान और बहु-रेखीय रूपों के माध्यम से निर्मित होती हैं, जो कई तरह से व्यवहार करती हैं, जैसे मौलिक अर्थों में फ़ंक्शन का अंतर। चूंकि  संकल्पनात्मक और कम्प्यूटेशनल रूप से उपयोगी, अंतर कलन के इतिहास में प्रारंभिक रूप से विकसित अपरिमित मात्राओं की अ-परिभाषित धारणाओं पर आधारित हैं। विभेदक रूप लंबे समय से चले आ रहे इस विचार को आधुनिक बनाने के लिए गणितीय रूप से कठोर और स्पष्ट  रूपरेखा प्रदान करते हैं। विभेदक रूप विशेष रूप से [[बहुभिन्नरूपी कैलकुलस]] (विश्लेषण) और विभेदक ज्यामिति में उपयोगी होते हैं क्योंकि उनके पास परिवर्तन गुण होते हैं जो उन्हें घटता, सतहों और उनके उच्च-आयामी एनालॉग्स (भिन्नात्मक कई गुना) पर एकीकृत करने की अनुमति देते हैं। दूरगामी अनुप्रयोग स्टोक्स प्रमेय का आधुनिक कथन है, उच्च आयामों के लिए कलन के मौलिक प्रमेय का व्यापक सामान्यीकरण।


नीचे दिया गया सार मुख्य रूप से स्पिवक (1965) पर आधारित है।<ref>{{Cite book|url=https://archive.org/details/SpivakM.CalculusOnManifoldsPerseus2006Reprint|title=कई गुना पर पथरी|last=Spivak|first=Michael|publisher=W. A. Benjamin, Inc.|year=1965|isbn=0805390219 |pages=75–146}}</ref> और तू (2011)।<ref name=":0" />
नीचे दिया गया सार मुख्य रूप से स्पिवक (1965) पर आधारित है।<ref>{{Cite book|url=https://archive.org/details/SpivakM.CalculusOnManifoldsPerseus2006Reprint|title=कई गुना पर पथरी|last=Spivak|first=Michael|publisher=W. A. Benjamin, Inc.|year=1965|isbn=0805390219 |pages=75–146}}</ref> और तू (2011)।<ref name=":0" />
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'अंतर <math>\boldsymbol{k}</math>-फॉर्म ऑन <math>U\subset\R^n</math> कार्य  के रूप में परिभाषित किया गया है <math>\omega</math> जो प्रत्येक को आवंटित करता है <math>p\in U</math> a <math>k</math>-कोवेक्टोर के स्पर्शरेखा स्थान पर <math>\R^n</math>पर <math>p</math>, सामान्यतः निरूपित <math>\omega_p:=\omega(p)\in\mathcal{A}^k(\R^n_p)</math>. संक्षेप में, अंतर <math>k</math>-रूप है <math>k</math>-वेक्टर क्षेत्र। का स्थान <math>k</math>-फॉर्म चालू है <math>U</math> सामान्यतया निरूपित किया जाता है <math>\Omega^k(U)</math>; इस प्रकार यदि <math>\omega</math> अंतर है <math>k</math>-फॉर्म, हम लिखते हैं <math>\omega\in\Omega^k(U)</math>. कन्वेंशन द्वारा, पर सतत कार्य <math>U</math> अंतर 0-रूप है: <math>f\in C^0(U)=\Omega^0(U)</math>.
'अंतर <math>\boldsymbol{k}</math>-फॉर्म ऑन <math>U\subset\R^n</math> कार्य  के रूप में परिभाषित किया गया है <math>\omega</math> जो प्रत्येक को आवंटित करता है <math>p\in U</math> a <math>k</math>-कोवेक्टोर के स्पर्शरेखा स्थान पर <math>\R^n</math>पर <math>p</math>, सामान्यतः निरूपित <math>\omega_p:=\omega(p)\in\mathcal{A}^k(\R^n_p)</math>. संक्षेप में, अंतर <math>k</math>-रूप है <math>k</math>-वेक्टर क्षेत्र। का स्थान <math>k</math>-फॉर्म चालू है <math>U</math> सामान्यतया निरूपित किया जाता है <math>\Omega^k(U)</math>; इस प्रकार यदि <math>\omega</math> अंतर है <math>k</math>-फॉर्म, हम लिखते हैं <math>\omega\in\Omega^k(U)</math>. कन्वेंशन द्वारा, पर सतत कार्य <math>U</math> अंतर 0-रूप है: <math>f\in C^0(U)=\Omega^0(U)</math>.


हम पहले 0-रूपों से विभेदक 1-रूपों का निर्माण करते हैं और उनके कुछ मूलभूत गुणों को निकालते हैं। नीचे दी गई चर्चा को सरल बनाने के लिए, हम केवल चिकनेपन से निर्मित [[चिकनाई]] अंतर रूपों पर विचार करेंगे (<math>C^\infty</math>) कार्य करता है। होने देना <math>f:\R^n\to\R</math> सुचारू कार्य हो। हम 1-रूप को परिभाषित करते हैं <math>df</math> पर <math>U</math> के लिए <math>p\in U</math> और <math>v_p\in\R^n_p</math> द्वारा <math>(df)_p(v_p):=Df|_p(v)</math>, कहाँ <math>Df|_p:\R^n\to\R</math> का कुल योग है <math>f</math> पर <math>p</math>. (याद रखें कि कुल व्युत्पन्न रैखिक परिवर्तन है।) विशेष रुचि के प्रक्षेपण मानचित्र हैं (जिन्हें समन्वय कार्यों के रूप में भी जाना जाता है) <math>\pi^i:\R^n\to\R</math>, द्वारा परिभाषित <math>x\mapsto x^i</math>, कहाँ <math>x^i</math> का i मानक निर्देशांक है <math>x\in\R^n</math>. 1-रूप <math>d\pi^i</math> बुनियादी 1-रूपों के रूप में जाने जाते हैं; वे पारंपरिक रूप से निरूपित हैं <math>dx^i</math>. यदि मानक निर्देशांक <math>v_p\in\R^n_p</math> हैं <math>(v^1,\ldots, v^n)</math>, फिर की परिभाषा का अनुप्रयोग <math>df</math> पैदावार <math>dx^i_p(v_p)=v^i</math>, ताकि <math>dx^i_p((e_j)_p)=\delta_j^i</math>, कहाँ <math>\delta^i_j</math> [[क्रोनकर डेल्टा]] है।<ref>The Kronecker delta is usually denoted by <math>\delta_{ij}=\delta(i,j)</math> and defined as <math display="inline">\delta:X\times X\to\{0,1\},\ (i,j)\mapsto \begin{cases} 1, & i=j \\ 0, & i\neq j \end{cases}</math>.  Here, the notation <math>\delta^i_j</math> is used to conform to the tensor calculus convention on the use of upper and lower indices. </ref> इस प्रकार, के लिए मानक आधार के दोहरे के रूप में <math>\R^n_p</math>, <math>(dx^1_p,\ldots,dx^n_p)</math> का आधार बनता है <math>\mathcal{A}^1(\R^n_p)=(\R^n_p)^*</math>. फलस्वरूप यदि <math>\omega</math> 1-फॉर्म ऑन है <math>U</math>, तब <math>\omega</math> रूप में लिखा जा सकता है <math display="inline">\sum a_i\,dx^i</math> सुचारू कार्यों के लिए <math>a_i:U\to\R</math>. इसके अतिरिक्त , हम के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकते हैं <math>df</math> कुल अंतर के लिए शास्त्रीय अभिव्यक्ति के साथ मेल खाता है:
हम पहले 0-रूपों से विभेदक 1-रूपों का निर्माण करते हैं और उनके कुछ मूलभूत गुणों को निकालते हैं। नीचे दी गई चर्चा को सरल बनाने के लिए, हम केवल चिकनेपन से निर्मित [[चिकनाई]] अंतर रूपों पर विचार करेंगे (<math>C^\infty</math>) कार्य करता है। होने देना <math>f:\R^n\to\R</math> सुचारू कार्य हो। हम 1-रूप को परिभाषित करते हैं <math>df</math> पर <math>U</math> के लिए <math>p\in U</math> और <math>v_p\in\R^n_p</math> द्वारा <math>(df)_p(v_p):=Df|_p(v)</math>, कहाँ <math>Df|_p:\R^n\to\R</math> का कुल योग है <math>f</math> पर <math>p</math>. (याद रखें कि कुल व्युत्पन्न रैखिक परिवर्तन है।) विशेष रुचि के प्रक्षेपण मानचित्र हैं (जिन्हें समन्वय कार्यों के रूप में भी जाना जाता है) <math>\pi^i:\R^n\to\R</math>, द्वारा परिभाषित <math>x\mapsto x^i</math>, कहाँ <math>x^i</math> का i मानक निर्देशांक है <math>x\in\R^n</math>. 1-रूप <math>d\pi^i</math> मूलभूत  1-रूपों के रूप में जाने जाते हैं; वे पारंपरिक रूप से निरूपित हैं <math>dx^i</math>. यदि मानक निर्देशांक <math>v_p\in\R^n_p</math> हैं <math>(v^1,\ldots, v^n)</math>, फिर की परिभाषा का अनुप्रयोग <math>df</math> पैदावार <math>dx^i_p(v_p)=v^i</math>, जिससे  <math>dx^i_p((e_j)_p)=\delta_j^i</math>, कहाँ <math>\delta^i_j</math> [[क्रोनकर डेल्टा]] है।<ref>The Kronecker delta is usually denoted by <math>\delta_{ij}=\delta(i,j)</math> and defined as <math display="inline">\delta:X\times X\to\{0,1\},\ (i,j)\mapsto \begin{cases} 1, & i=j \\ 0, & i\neq j \end{cases}</math>.  Here, the notation <math>\delta^i_j</math> is used to conform to the tensor calculus convention on the use of upper and lower indices. </ref> इस प्रकार, के लिए मानक आधार के दोहरे के रूप में <math>\R^n_p</math>, <math>(dx^1_p,\ldots,dx^n_p)</math> का आधार बनता है <math>\mathcal{A}^1(\R^n_p)=(\R^n_p)^*</math>. फलस्वरूप यदि <math>\omega</math> 1-फॉर्म ऑन है <math>U</math>, तब <math>\omega</math> रूप में लिखा जा सकता है <math display="inline">\sum a_i\,dx^i</math> सुचारू कार्यों के लिए <math>a_i:U\to\R</math>. इसके अतिरिक्त , हम के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकते हैं <math>df</math> कुल अंतर के लिए मौलिक अभिव्यक्ति के साथ मेल खाता है:


: <math>df=\sum_{i=1}^n D_i f\; dx^i={\partial f\over\partial x^1} \, dx^1+\cdots+{\partial f\over\partial x^n} \, dx^n.</math>
: <math>df=\sum_{i=1}^n D_i f\; dx^i={\partial f\over\partial x^1} \, dx^1+\cdots+{\partial f\over\partial x^n} \, dx^n.</math>
[नोटेशन पर टिप्पणियाँ: इस लेख में, हम [[टेंसर कैलकुलेशन|टेंसर गणना]] और डिफरेंशियल ज्योमेट्री के कन्वेंशन का पालन करते हैं जिसमें मल्टीवैक्टर और मल्टीकोवेक्टर क्रमशः निचले और ऊपरी सूचकांकों के साथ लिखे जाते हैं। चूंकि विभेदक रूप बहुवेक्टर क्षेत्र हैं, इसलिए उन्हें अनुक्रमित करने के लिए ऊपरी सूचकांकों को नियोजित किया जाता है।<ref name=":0" /> विपरीत नियम मल्टीवैक्टर और मल्टीकोक्टर के घटकों पर लागू होता है, जो क्रमशः ऊपरी और निचले सूचकांकों के साथ लिखे जाते हैं। उदाहरण के लिए, हम वेक्टर के मानक निर्देशांक का प्रतिनिधित्व करते हैं <math>v\in\R^n</math> जैसा <math>(v^1,\ldots,v^n)</math>, ताकि <math display="inline">v=\sum_{i=1}^n v^ie_i</math> मानक आधार के संदर्भ में <math>(e_1,\ldots,e_n)</math>. इसके अतिरिक्त , अभिव्यक्ति के भाजक में दिखाई देने वाली सुपरस्क्रिप्ट (जैसा कि <math display="inline">\frac{\partial f}{\partial x^i}</math>) को इस परिपाटी में निम्न सूचकांकों के रूप में माना जाता है। जब सूचकांकों को इस तरीके से लागू और व्याख्या किया जाता है, तो ऊपरी सूचकांकों की संख्या घटाकर अभिव्यक्ति के प्रत्येक शब्द में निचले सूचकांकों की संख्या को संरक्षित किया जाता है, योग के अंदर और समान चिह्न के अंदर, सुविधा जो उपयोगी स्मरक उपकरण के रूप में कार्य करती है और मैन्युअल संगणना के दौरान की गई त्रुटियों को इंगित करने में मदद करता है।]
[नोटेशन पर टिप्पणियाँ: इस लेख में, हम [[टेंसर कैलकुलेशन|टेंसर गणना]] और डिफरेंशियल ज्योमेट्री के कन्वेंशन का पालन करते हैं जिसमें मल्टीवैक्टर और मल्टीकोवेक्टर क्रमशः निचले और ऊपरी सूचकांकों के साथ लिखे जाते हैं। चूंकि विभेदक रूप बहुवेक्टर क्षेत्र हैं, इसलिए उन्हें अनुक्रमित करने के लिए ऊपरी सूचकांकों को नियोजित किया जाता है।<ref name=":0" /> विपरीत नियम मल्टीवैक्टर और मल्टीकोक्टर के घटकों पर प्रयुक्त  होता है, जो क्रमशः ऊपरी और निचले सूचकांकों के साथ लिखे जाते हैं। उदाहरण के लिए, हम वेक्टर के मानक निर्देशांक का प्रतिनिधित्व करते हैं <math>v\in\R^n</math> जैसा <math>(v^1,\ldots,v^n)</math>, जिससे  <math display="inline">v=\sum_{i=1}^n v^ie_i</math> मानक आधार के संदर्भ में <math>(e_1,\ldots,e_n)</math>. इसके अतिरिक्त , अभिव्यक्ति के भाजक में दिखाई देने वाली सुपरस्क्रिप्ट (जैसा कि <math display="inline">\frac{\partial f}{\partial x^i}</math>) को इस परिपाटी में निम्न सूचकांकों के रूप में माना जाता है। जब सूचकांकों को इस तरीके से प्रयुक्त  और व्याख्या किया जाता है, तो ऊपरी सूचकांकों की संख्या घटाकर अभिव्यक्ति के प्रत्येक शब्द में निचले सूचकांकों की संख्या को संरक्षित किया जाता है, योग के अंदर और समान चिह्न के अंदर, सुविधा जो उपयोगी स्मरक उपकरण के रूप में कार्य करती है और मैन्युअल संगणना के समय की गई त्रुटियों को इंगित करने में सहायता करता है।]


==== अंतर के-रूपों पर बुनियादी संचालन ====
==== अंतर के-रूपों पर मूलभूत  संचालन ====
बाहरी उत्पाद (<math>\wedge</math>) और बाहरी व्युत्पन्न (<math>d</math>) विभेदक रूपों पर दो मूलभूत संक्रियाएँ हैं। ए का बाहरी उत्पाद <math>k</math>-रूप और <math>\ell</math>-रूप है <math>(k+\ell)</math>-फॉर्म, जबकि ए के बाहरी व्युत्पन्न <math>k</math>-रूप है <math>(k+1)</math>-प्रपत्र। इस प्रकार, दोनों संक्रियाएँ निम्न कोटि के उच्चतर कोटि के विभेदक रूपों को उत्पन्न करती हैं।
बाहरी उत्पाद (<math>\wedge</math>) और बाहरी व्युत्पन्न (<math>d</math>) विभेदक रूपों पर दो मूलभूत संक्रियाएँ हैं। ए का बाहरी उत्पाद <math>k</math>-रूप और <math>\ell</math>-रूप है <math>(k+\ell)</math>-फॉर्म, जबकि ए के बाहरी व्युत्पन्न <math>k</math>-रूप है <math>(k+1)</math>-प्रपत्र। इस प्रकार, दोनों संक्रियाएँ निम्न कोटि के उच्चतर कोटि के विभेदक रूपों को उत्पन्न करती हैं।


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यदि <math>I=\{i_1,\ldots,i_k\}</math>, <math>J=\{j_1,\ldots,j_{\ell}\}</math>, और <math>I\cap J=\varnothing</math>, फिर के सूचकांक <math>\omega\wedge\eta</math> ऐसे स्वैप के (सीमित) अनुक्रम द्वारा आरोही क्रम में व्यवस्थित किया जा सकता है। तब से <math>dx^\alpha\wedge dx^\alpha=0</math>, <math>I\cap J\neq\varnothing</math> इसका आशय है <math>\omega\wedge\eta=0</math>. अंत में, द्विरेखीयता के परिणामस्वरूप, यदि <math>\omega</math> और <math>\eta</math> कई शब्दों का योग है, उनका बाहरी उत्पाद इनमें से प्रत्येक पद के संबंध में वितरण का पालन करता है।
यदि <math>I=\{i_1,\ldots,i_k\}</math>, <math>J=\{j_1,\ldots,j_{\ell}\}</math>, और <math>I\cap J=\varnothing</math>, फिर के सूचकांक <math>\omega\wedge\eta</math> ऐसे स्वैप के (सीमित) अनुक्रम द्वारा आरोही क्रम में व्यवस्थित किया जा सकता है। तब से <math>dx^\alpha\wedge dx^\alpha=0</math>, <math>I\cap J\neq\varnothing</math> इसका आशय है <math>\omega\wedge\eta=0</math>. अंत में, द्विरेखीयता के परिणामस्वरूप, यदि <math>\omega</math> और <math>\eta</math> कई शब्दों का योग है, उनका बाहरी उत्पाद इनमें से प्रत्येक पद के संबंध में वितरण का पालन करता है।


बुनियादी 1-रूपों के बाहरी उत्पादों का संग्रह <math>\{dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k} \mid 1\leq i_1<\cdots< i_k\leq n\}</math> अंतर के-रूपों के स्थान के लिए आधार का गठन करता है। इस प्रकार, कोई <math>\omega\in\Omega^k(U)</math> रूप में लिखा जा सकता है
मूलभूत  1-रूपों के बाहरी उत्पादों का संग्रह <math>\{dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k} \mid 1\leq i_1<\cdots< i_k\leq n\}</math> अंतर के-रूपों के स्थान के लिए आधार का गठन करता है। इस प्रकार, कोई <math>\omega\in\Omega^k(U)</math> रूप में लिखा जा सकता है


: <math>\omega=\sum_{i_1<\cdots<i_k} a_{i_1\ldots i_k} \, dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}, \qquad (*)</math>
: <math>\omega=\sum_{i_1<\cdots<i_k} a_{i_1\ldots i_k} \, dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}, \qquad (*)</math>
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: <math>d\omega:=\sum_{i_1<\ldots <i_k} da_{i_1\ldots i_k}\wedge dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}.</math>
: <math>d\omega:=\sum_{i_1<\ldots <i_k} da_{i_1\ldots i_k}\wedge dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}.</math>
की संपत्ति <math>d</math> जो सभी चिकने रूपों के लिए है, वह किसी का दूसरा बाहरी व्युत्पन्न है <math>\omega</math> समान रूप से गायब हो जाता है: <math>d^2\omega=d(d\omega)\equiv 0</math>. इसे सीधे की परिभाषा से स्थापित किया जा सकता है <math>d</math> और [[दूसरे डेरिवेटिव की समरूपता]] या के मिश्रित दूसरे क्रम के आंशिक डेरिवेटिव की समानता <math>C^2</math> कार्य (विवरण के लिए [[बंद और सटीक अंतर रूप|बंद और सटीक अंतर रूपों]] पर आलेख देखें)।
की संपत्ति <math>d</math> जो सभी चिकने रूपों के लिए है, वह किसी का दूसरा बाहरी व्युत्पन्न है <math>\omega</math> समान रूप से गायब हो जाता है: <math>d^2\omega=d(d\omega)\equiv 0</math>. इसे सीधे की परिभाषा से स्थापित किया जा सकता है <math>d</math> और [[दूसरे डेरिवेटिव की समरूपता]] या के मिश्रित दूसरे क्रम के आंशिक डेरिवेटिव की समानता <math>C^2</math> कार्य (विवरण के लिए [[बंद और सटीक अंतर रूप|बंद और स्पष्ट  अंतर रूपों]] पर आलेख देखें)।


==== जंजीरों के लिए अंतर रूपों और स्टोक्स प्रमेय का एकीकरण ====
==== जंजीरों के लिए अंतर रूपों और स्टोक्स प्रमेय का एकीकरण ====
पैरामिट्रीकृत डोमेन पर डिफरेंशियल फॉर्म को एकीकृत करने के लिए, हमें सबसे पहले डिफरेंशियल फॉर्म के पुलबैक की धारणा को पेश करने की आवश्यकता है। मोटे तौर पर बोलते हुए, जब विभेदक प्रपत्र एकीकृत होता है, तो पुलबैक को लागू करने से यह तरह से बदल जाता है जो सही ढंग से समन्वय के परिवर्तन के लिए खाता है।
पैरामिट्रीकृत डोमेन पर डिफरेंशियल फॉर्म को एकीकृत करने के लिए, हमें सबसे पहले डिफरेंशियल फॉर्म के पुलबैक की धारणा को प्रस्तुत  करने की आवश्यकता है। मोटे तौर पर बोलते हुए, जब विभेदक प्रपत्र एकीकृत होता है, तो पुलबैक को प्रयुक्त  करने से यह तरह से बदल जाता है जो सही ढंग से समन्वय के परिवर्तन के लिए खाता है।


अवकलनीय फलन दिया है <math>f:\R^n\to\R^m</math> और <math>k</math>-प्रपत्र <math>\eta\in\Omega^k(\R^m)</math>, हम बुलाते है <math>f^*\eta\in\Omega^k(\R^n)</math> पुलबैक (डिफरेंशियल ज्योमेट्री) का <math>\eta</math> द्वारा <math>f</math> और इसे के रूप में परिभाषित करें <math>k</math>- ऐसा रूप
अवकलनीय फलन दिया है <math>f:\R^n\to\R^m</math> और <math>k</math>-प्रपत्र <math>\eta\in\Omega^k(\R^m)</math>, हम बुलाते है <math>f^*\eta\in\Omega^k(\R^n)</math> पुलबैक (डिफरेंशियल ज्योमेट्री) का <math>\eta</math> द्वारा <math>f</math> और इसे के रूप में परिभाषित करें <math>k</math>- ऐसा रूप
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: <math>\int_C \omega :=\sum_i n_i\int_{c_i} \omega.</math>
: <math>\int_C \omega :=\sum_i n_i\int_{c_i} \omega.</math>
की उपयुक्त परिभाषा <math>(n-1)</math>-[[चेन (बीजगणितीय टोपोलॉजी)]] <math>\partial C</math>की सीमा के रूप में जाना जाता है <math>C</math>,<ref>The formal definition of the boundary of a chain is somewhat involved and is omitted here (''see {{harvnb|Spivak|1965|pp=98–99}} for a discussion'').  Intuitively, if <math>C</math> maps to a square, then <math>\partial C</math> is a linear combination of functions that maps to its edges in a counterclockwise manner.  The boundary of a chain is distinct from the notion of a boundary in point-set topology.</ref> हमें स्टोक्स के प्रमेय (स्टोक्स-कार्टन प्रमेय) को सबसेट में जंजीरों के लिए बताने की अनुमति देता है <math>\R^m</math>: <blockquote>यदि <math>\omega</math> चिकना है <math>(n-1)</math>- खुले समुच्चय  पर फॉर्म <math>A\subset\R^m</math>और <math>C</math> चिकना है <math>n</math>-श्रृंखला में <math>A</math>, तब<math>\int_C d\omega=\int_{\partial C} \omega</math></blockquote>अधिक परिष्कृत मशीनरी (जैसे, जर्म (गणित) और [[व्युत्पत्ति (अंतर बीजगणित)]]) का उपयोग करके, स्पर्शरेखा स्थान <math>T_p M</math> किसी भी चिकनी कई गुना <math>M</math> (जरूरी नहीं कि इसमें एम्बेड किया गया हो <math>\R^m</math>) परिभाषित किया जा सकता। अनुरूप रूप से, विभेदक रूप <math>\omega\in\Omega^k(M)</math> सामान्य स्मूथ मैनिफोल्ड पर नक्शा है <math>\omega:p\in M\mapsto\omega_p\in \mathcal{A}^k(T_pM)</math>. स्टोक्स की प्रमेय को सीमा के साथ मनमाना कई गुना और यहां तक ​​कि कुछ कच्चे डोमेन के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है (विवरण के लिए स्टोक्स के प्रमेय पर लेख देखें)।
की उपयुक्त परिभाषा <math>(n-1)</math>-[[चेन (बीजगणितीय टोपोलॉजी)]] <math>\partial C</math>की सीमा के रूप में जाना जाता है <math>C</math>,<ref>The formal definition of the boundary of a chain is somewhat involved and is omitted here (''see {{harvnb|Spivak|1965|pp=98–99}} for a discussion'').  Intuitively, if <math>C</math> maps to a square, then <math>\partial C</math> is a linear combination of functions that maps to its edges in a counterclockwise manner.  The boundary of a chain is distinct from the notion of a boundary in point-set topology.</ref> हमें स्टोक्स के प्रमेय (स्टोक्स-कार्टन प्रमेय) को सबसेट में जंजीरों के लिए बताने की अनुमति देता है <math>\R^m</math>: <blockquote>यदि <math>\omega</math> चिकना है <math>(n-1)</math>- खुले समुच्चय  पर फॉर्म <math>A\subset\R^m</math>और <math>C</math> चिकना है <math>n</math>-श्रृंखला में <math>A</math>, तब<math>\int_C d\omega=\int_{\partial C} \omega</math></blockquote>अधिक परिष्कृत मशीनरी (जैसे, जर्म (गणित) और [[व्युत्पत्ति (अंतर बीजगणित)]]) का उपयोग करके, स्पर्शरेखा स्थान <math>T_p M</math> किसी भी चिकनी कई गुना <math>M</math> (आवश्यक  नहीं कि इसमें एम्बेड किया गया हो <math>\R^m</math>) परिभाषित किया जा सकता। अनुरूप रूप से, विभेदक रूप <math>\omega\in\Omega^k(M)</math> सामान्य स्मूथ मैनिफोल्ड पर नक्शा है <math>\omega:p\in M\mapsto\omega_p\in \mathcal{A}^k(T_pM)</math>. स्टोक्स की प्रमेय को सीमा के साथ इच्छानुसार कई गुना और यहां तक ​​कि कुछ कच्चे डोमेन के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है (विवरण के लिए स्टोक्स के प्रमेय पर लेख देखें)।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==

Revision as of 10:45, 29 April 2023

अमूर्त बीजगणित और बहुरेखीय बीजगणित में, सदिश स्थान पर बहुरेखीय रूप क्षेत्र पर (गणित) मानचित्र (गणित) है

जो अपने प्रत्येक तर्कों में अलग से -रैखिक है।[1] अधिक सामान्यतः , मॉड्यूल (गणित) पर क्रमविनिमेय वृत्त पर बहु-रेखीय रूपों को परिभाषित किया जा सकता है। चूँकि, इस लेख के बाकी हिस्से में केवल आयाम (वेक्टर स्पेस) या परिमित-आयामी वेक्टर स्पेस पर बहुरेखीय रूपों पर विचार किया जाएगा।

बहुरेखीय -फॉर्म ऑन ऊपर (सहसंयोजक) कहा जाता है -टेंसर, और ऐसे रूपों के वेक्टर स्थान को सामान्यतः निरूपित किया जाता है या .[2]


टेंसर उत्पाद

ए दिया -टेंसर और -टेंसर , उत्पाद , टेंसर उत्पाद के रूप में जाना जाता है, जिसे संपत्ति द्वारा परिभाषित किया जा सकता है