सममित टेंसर: Difference between revisions
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:<math>T(v_1,v_2,\ldots,v_r) = T(v_{\sigma 1},v_{\sigma 2},\ldots,v_{\sigma r})</math> | :<math>T(v_1,v_2,\ldots,v_r) = T(v_{\sigma 1},v_{\sigma 2},\ldots,v_{\sigma r})</math> | ||
प्रतीकों | प्रतीकों {{nowrap|{1, 2, ..., ''r''}.}}के प्रत्येक क्रमचय σ के लिए वैकल्पिक रूप से, r सूचकांकों के साथ मात्रा के रूप में निर्देशांक में दर्शाए गए क्रम r का सममित टेन्सर संतुष्ट करता है। | ||
:<math>T_{i_1i_2\cdots i_r} = T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\cdots i_{\sigma r}}.</math> | :<math>T_{i_1i_2\cdots i_r} = T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\cdots i_{\sigma r}}.</math> | ||
परिमित-आयामी सदिश स्थान V पर क्रम r के सममित टेंसरों का स्थान V पर डिग्री r के [[सजातीय बहुपद]] | परिमित-आयामी सदिश स्थान V पर क्रम r के सममित टेंसरों का स्थान V पर डिग्री r के [[सजातीय बहुपद|सजातीय बहुपदों]] के स्थान के दोहरे के लिए [[प्राकृतिक समरूपता]] है। [[विशेषता शून्य]] के [[क्षेत्र (गणित)]] पर, सभी सममित का श्रेणीबद्ध [[सदिश स्थल]] दसियों को ''V'' पर [[सममित बीजगणित]] के साथ स्वाभाविक रूप से पहचाना जा सकता है। संबंधित अवधारणा [[एंटीसिमेट्रिक टेंसर]] या [[वैकल्पिक रूप]] की है। [[अभियांत्रिकी]], भौतिकी एवं गणित में सममित टेन्सर व्यापक रूप से पाए जाते हैं। | ||
== परिभाषा == | == परिभाषा == | ||
मान लीजिए कि V एक सदिश समष्टि है | मान लीजिए कि V एक सदिश समष्टि है एवं | ||
:<math>T\in V^{\otimes k}</math> | :<math>T\in V^{\otimes k}</math> | ||
आदेश का एक टेंसर k। तब T एक सममित टेंसर है यदि | आदेश का एक टेंसर k। तब T एक सममित टेंसर है यदि | ||
:<math>\tau_\sigma T = T\,</math> | :<math>\tau_\sigma T = T\,</math> | ||
टेंसर उत्पाद के लिए#टेन्सर की शक्तियाँ | टेंसर उत्पाद के लिए#टेन्सर की शक्तियाँ एवं ब्रेडिंग प्रत्येक क्रमचय σ से संबंधित प्रतीकों पर {1,2,...,k} (या समतुल्य रूप से इन प्रतीकों पर प्रत्येक ट्रांसपोज़िशन (गणित) के लिए)। | ||
एक आधार दिया (रैखिक बीजगणित) {ई<sup>i</sup>}, रैंक k के किसी भी सममित टेन्सर T को इस रूप में लिखा जा सकता है | एक आधार दिया (रैखिक बीजगणित) {ई<sup>i</sup>}, रैंक k के किसी भी सममित टेन्सर T को इस रूप में लिखा जा सकता है | ||
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प्रत्येक क्रमचय के लिए σ. | प्रत्येक क्रमचय के लिए σ. | ||
V पर परिभाषित क्रम k के सभी सममित टेंसरों का स्थान अक्सर S द्वारा निरूपित किया जाता है<sup>k</sup>(V) या Sym<sup>के</सुप>(वी). यह स्वयं एक सदिश समष्टि है, | V पर परिभाषित क्रम k के सभी सममित टेंसरों का स्थान अक्सर S द्वारा निरूपित किया जाता है<sup>k</sup>(V) या Sym<sup>के</सुप>(वी). यह स्वयं एक सदिश समष्टि है, एवं यदि V का आयाम N है तो Sym का आयाम है<sup>k</sup>(V) [[द्विपद गुणांक]] है | ||
:<math>\dim\operatorname{Sym}^k(V) = {N + k - 1 \choose k}.</math> | :<math>\dim\operatorname{Sym}^k(V) = {N + k - 1 \choose k}.</math> | ||
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== उदाहरण == | == उदाहरण == | ||
सममित टेन्सर के कई उदाहरण हैं। कुछ में शामिल हैं, [[मीट्रिक टेंसर]], <math>g_{\mu\nu}</math>, [[आइंस्टीन टेंसर]], <math>G_{\mu\nu}</math> | सममित टेन्सर के कई उदाहरण हैं। कुछ में शामिल हैं, [[मीट्रिक टेंसर]], <math>g_{\mu\nu}</math>, [[आइंस्टीन टेंसर]], <math>G_{\mu\nu}</math> एवं [[रिक्की टेंसर]], <math>R_{\mu\nu}</math>. | ||
भौतिकी | भौतिकी एवं इंजीनियरिंग में उपयोग किए जाने वाले कई भौतिक गुणों एवं [[क्षेत्र (भौतिकी)]] को सममित टेंसर फ़ील्ड के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है; उदाहरण के लिए: [[तनाव (भौतिकी)]], तनाव टेन्सर, एवं [[एनिस्ट्रोपिक]] [[विद्युत प्रतिरोधकता और चालकता|विद्युत प्रतिरोधकता एवं चालकता]]। इसके अलावा, [[प्रसार एमआरआई]] में मस्तिष्क या शरीर के अन्य भागों में प्रसार का वर्णन करने के लिए अक्सर सममित टेंसर का उपयोग किया जाता है। | ||
दीर्घवृत्त बीजगणितीय किस्मों के उदाहरण हैं; | दीर्घवृत्त बीजगणितीय किस्मों के उदाहरण हैं; एवं इसलिए, सामान्य रैंक के लिए, सजातीय बहुपदों की आड़ में सममित टेंसरों का उपयोग प्रोजेक्टिव किस्मों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, एवं अक्सर इस तरह अध्ययन किया जाता है। | ||
एक रिमेंनियन कई गुना दिया गया <math>(M,g)</math> इसके Levi-Civita कनेक्शन से लैस है <math>\nabla</math>, रीमैन कर्वेचर टेन्सर#कोऑर्डिनेट एक्सप्रेशन सदिश स्थान पर एक सममित क्रम 2 टेन्सर है <math display="inline">V = \Omega^2(M) = \bigwedge^2 T^*M</math> अंतर 2-रूपों का। यह इस तथ्य से मेल खाता है कि, देखना <math>R_{ijk\ell} \in (T^*M)^{\otimes 4}</math>, हमारे पास समरूपता है <math>R_{ij\, k\ell} = R_{k\ell\, ij}</math> प्रत्येक जोड़ी के भीतर एंटीसिमेट्री के अलावा तर्कों के पहले | एक रिमेंनियन कई गुना दिया गया <math>(M,g)</math> इसके Levi-Civita कनेक्शन से लैस है <math>\nabla</math>, रीमैन कर्वेचर टेन्सर#कोऑर्डिनेट एक्सप्रेशन सदिश स्थान पर एक सममित क्रम 2 टेन्सर है <math display="inline">V = \Omega^2(M) = \bigwedge^2 T^*M</math> अंतर 2-रूपों का। यह इस तथ्य से मेल खाता है कि, देखना <math>R_{ijk\ell} \in (T^*M)^{\otimes 4}</math>, हमारे पास समरूपता है <math>R_{ij\, k\ell} = R_{k\ell\, ij}</math> प्रत्येक जोड़ी के भीतर एंटीसिमेट्री के अलावा तर्कों के पहले एवं दूसरे जोड़े के बीच: <math>R_{jik\ell} = - R_{ijk\ell} = R_{ij\ell k}</math>.<ref>{{Cite book |last=Carmo |first=Manfredo Perdigão do |url=https://www.worldcat.org/oclc/24667701 |title=रिमानियन ज्यामिति|date=1992 |publisher=Birkhäuser |others=Francis J. Flaherty |isbn=0-8176-3490-8 |location=Boston |oclc=24667701}}</ref> | ||
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कल्पना करना <math>V</math> [[विशेषता (बीजगणित)]] 0 के एक क्षेत्र पर एक सदिश स्थान है। यदि {{nowrap|''T'' ∈ ''V''<sup>⊗''k''</sup>}} ऑर्डर का टेन्सर है <math>k</math>, फिर का सममित भाग <math>T</math> द्वारा परिभाषित सममित टेंसर है | कल्पना करना <math>V</math> [[विशेषता (बीजगणित)]] 0 के एक क्षेत्र पर एक सदिश स्थान है। यदि {{nowrap|''T'' ∈ ''V''<sup>⊗''k''</sup>}} ऑर्डर का टेन्सर है <math>k</math>, फिर का सममित भाग <math>T</math> द्वारा परिभाषित सममित टेंसर है | ||
:<math>\operatorname{Sym}\, T = \frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_k} \tau_\sigma T,</math> | :<math>\operatorname{Sym}\, T = \frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_k} \tau_\sigma T,</math> | ||
कश्मीर प्रतीकों पर [[सममित समूह]] पर विस्तार योग। एक आधार के संदर्भ में, | कश्मीर प्रतीकों पर [[सममित समूह]] पर विस्तार योग। एक आधार के संदर्भ में, एवं [[आइंस्टीन योग सम्मेलन]] को नियोजित करते हुए, यदि | ||
:<math>T = T_{i_1i_2\cdots i_k}e^{i_1}\otimes e^{i_2}\otimes\cdots \otimes e^{i_k},</math> | :<math>T = T_{i_1i_2\cdots i_k}e^{i_1}\otimes e^{i_2}\otimes\cdots \otimes e^{i_k},</math> | ||
तब | तब | ||
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तब T का सममित भाग कारकों का सममित उत्पाद है: | तब T का सममित भाग कारकों का सममित उत्पाद है: | ||
:<math>v_1\odot v_2\odot\cdots\odot v_r := \frac{1}{r!}\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_r} v_{\sigma 1}\otimes v_{\sigma 2}\otimes\cdots\otimes v_{\sigma r}.</math> | :<math>v_1\odot v_2\odot\cdots\odot v_r := \frac{1}{r!}\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_r} v_{\sigma 1}\otimes v_{\sigma 2}\otimes\cdots\otimes v_{\sigma r}.</math> | ||
सामान्य तौर पर हम क्रमविनिमेय | सामान्य तौर पर हम क्रमविनिमेय एवं साहचर्य गुणनफल ⊙ को परिभाषित करके Sym(V) को [[बीजगणित]] में बदल सकते हैं।<ref name="Kostrikin1997">{{cite book | ||
| last1 = Kostrikin | first1 = Alexei I. | | last1 = Kostrikin | first1 = Alexei I. | ||
| last2 = Manin | first2 = Iurii Ivanovich | | last2 = Manin | first2 = Iurii Ivanovich | ||
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| pages = 276–279 | | pages = 276–279 | ||
| isbn = 9056990497 | | isbn = 9056990497 | ||
}}</ref> दो टेंसर दिए गए हैं {{nowrap|''T''<sub>1</sub> ∈ Sym<sup>''k''<sub>1</sub></sup>(''V'')}} | }}</ref> दो टेंसर दिए गए हैं {{nowrap|''T''<sub>1</sub> ∈ Sym<sup>''k''<sub>1</sub></sup>(''V'')}} एवं {{nowrap|''T''<sub>2</sub> ∈ Sym<sup>''k''<sub>2</sub></sup>(''V'')}}, हम सममितीकरण ऑपरेटर का उपयोग परिभाषित करने के लिए करते हैं: | ||
:<math>T_1\odot T_2 = \operatorname{Sym}(T_1\otimes T_2)\quad\left(\in\operatorname{Sym}^{k_1+k_2}(V)\right).</math> | :<math>T_1\odot T_2 = \operatorname{Sym}(T_1\otimes T_2)\quad\left(\in\operatorname{Sym}^{k_1+k_2}(V)\right).</math> | ||
इसे सत्यापित किया जा सकता है (जैसा कि कोस्ट्रिकिन | इसे सत्यापित किया जा सकता है (जैसा कि कोस्ट्रिकिन एवं मैनिन ने किया है<ref name="Kostrikin1997" /> परिणामी उत्पाद वास्तव में क्रमविनिमेय एवं साहचर्य है। कुछ मामलों में ऑपरेटर छोड़ा गया है: {{nowrap|1=''T''<sub>1</sub>''T''<sub>2</sub> = ''T''<sub>1</sub> ⊙ ''T''<sub>2</sub>}}. | ||
कुछ मामलों में एक घातीय संकेतन का उपयोग किया जाता है: | कुछ मामलों में एक घातीय संकेतन का उपयोग किया जाता है: | ||
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== अपघटन == | == अपघटन == | ||
[[सममित मैट्रिक्स]] के सिद्धांत के अनुरूप, क्रम 2 के एक (वास्तविक) सममित टेंसर को विकर्ण किया जा सकता है। अधिक सटीकता से, किसी टेन्सर T ∈ Sym के लिए<sup>2</sup>(V), एक पूर्णांक r है, गैर-शून्य इकाई वैक्टर v<sub>1</sub>,...,में<sub>''r''</sub>∈ वी | [[सममित मैट्रिक्स]] के सिद्धांत के अनुरूप, क्रम 2 के एक (वास्तविक) सममित टेंसर को विकर्ण किया जा सकता है। अधिक सटीकता से, किसी टेन्सर T ∈ Sym के लिए<sup>2</sup>(V), एक पूर्णांक r है, गैर-शून्य इकाई वैक्टर v<sub>1</sub>,...,में<sub>''r''</sub>∈ वी एवं वजन λ<sub>1</sub>,..., एल<sub>''r''</sub> ऐसा है कि | ||
:<math>T = \sum_{i=1}^r \lambda_i \, v_i\otimes v_i.</math> | :<math>T = \sum_{i=1}^r \lambda_i \, v_i\otimes v_i.</math> | ||
न्यूनतम संख्या आर जिसके लिए इस तरह का अपघटन संभव है, टी का (सममित) रैंक है। इस न्यूनतम अभिव्यक्ति में दिखाई देने वाले वैक्टर टेन्सर के [[प्रधान अक्ष प्रमेय]] हैं, | न्यूनतम संख्या आर जिसके लिए इस तरह का अपघटन संभव है, टी का (सममित) रैंक है। इस न्यूनतम अभिव्यक्ति में दिखाई देने वाले वैक्टर टेन्सर के [[प्रधान अक्ष प्रमेय]] हैं, एवं आम तौर पर एक महत्वपूर्ण भौतिक अर्थ है। उदाहरण के लिए, [[जड़ता टेंसर]] के प्रमुख अक्ष जड़ता के क्षण का प्रतिनिधित्व करने वाले पॉइन्सॉट के दीर्घवृत्त को परिभाषित करते हैं। सिल्वेस्टर का जड़त्व का नियम भी देखें। | ||
मनमाना क्रम k के सममित टेंसरों के लिए, अपघटन | मनमाना क्रम k के सममित टेंसरों के लिए, अपघटन | ||
:<math>T = \sum_{i=1}^r \lambda_i \, v_i^{\otimes k}</math> | :<math>T = \sum_{i=1}^r \lambda_i \, v_i^{\otimes k}</math> | ||
भी संभव हैं। न्यूनतम संख्या आर जिसके लिए इस तरह का अपघटन संभव है सममित टेंसर (आंतरिक परिभाषा) # टी का टेंसर रैंक है।<ref name="Comon2008">{{Cite journal | last1 = Comon | first1 = P. | last2 = Golub | first2 = G. | last3 = Lim | first3 = L. H. | last4 = Mourrain | first4 = B. | title = सममित टेंसर और सममित टेंसर रैंक| doi = 10.1137/060661569 | journal = SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications | volume = 30 | issue = 3 | pages = 1254 | year = 2008 | arxiv = 0802.1681 | s2cid = 5676548 }}</ref> इस न्यूनतम अपघटन को वारिंग अपघटन कहा जाता है; यह [[टेंसर रैंक अपघटन]] का एक सममित रूप है। दूसरे क्रम के टेंसरों के लिए यह किसी भी आधार पर टेंसर का प्रतिनिधित्व करने वाले मैट्रिक्स के रैंक से मेल खाता है, | भी संभव हैं। न्यूनतम संख्या आर जिसके लिए इस तरह का अपघटन संभव है सममित टेंसर (आंतरिक परिभाषा) # टी का टेंसर रैंक है।<ref name="Comon2008">{{Cite journal | last1 = Comon | first1 = P. | last2 = Golub | first2 = G. | last3 = Lim | first3 = L. H. | last4 = Mourrain | first4 = B. | title = सममित टेंसर और सममित टेंसर रैंक| doi = 10.1137/060661569 | journal = SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications | volume = 30 | issue = 3 | pages = 1254 | year = 2008 | arxiv = 0802.1681 | s2cid = 5676548 }}</ref> इस न्यूनतम अपघटन को वारिंग अपघटन कहा जाता है; यह [[टेंसर रैंक अपघटन]] का एक सममित रूप है। दूसरे क्रम के टेंसरों के लिए यह किसी भी आधार पर टेंसर का प्रतिनिधित्व करने वाले मैट्रिक्स के रैंक से मेल खाता है, एवं यह सर्वविदित है कि अधिकतम रैंक अंतर्निहित वेक्टर स्थान के आयाम के बराबर है। हालांकि, उच्च ऑर्डर के लिए यह जरूरी नहीं है: रैंक अंतर्निहित वेक्टर स्पेस में आयामों की संख्या से अधिक हो सकती है। इसके अलावा, एक सममित टेंसर की रैंक एवं सममित रैंक भिन्न हो सकती है।<ref>{{Cite journal|last=Shitov|first=Yaroslav|date=2018|title=कॉमन के अनुमान का एक प्रति उदाहरण|url=https://epubs.siam.org/action/captchaChallenge?redirectUri=%2Fdoi%2F10.1137%2F17M1131970|journal=SIAM Journal on Applied Algebra and Geometry|language=en-US|volume=2|issue=3|pages=428–443|doi=10.1137/17m1131970|issn=2470-6566|arxiv=1705.08740|s2cid=119717133 }}</ref> | ||
Revision as of 15:14, 29 April 2023
गणित में, सममित टेन्सर होता है, जो स्वयं सदिश तर्कों के क्रम परिवर्तन के अनुसार अपरिवर्तनीय होता है।
प्रतीकों {1, 2, ..., r}.के प्रत्येक क्रमचय σ के लिए वैकल्पिक रूप से, r सूचकांकों के साथ मात्रा के रूप में निर्देशांक में दर्शाए गए क्रम r का सममित टेन्सर संतुष्ट करता है।
परिमित-आयामी सदिश स्थान V पर क्रम r के सममित टेंसरों का स्थान V पर डिग्री r के सजातीय बहुपदों के स्थान के दोहरे के लिए प्राकृतिक समरूपता है। विशेषता शून्य के क्षेत्र (गणित) पर, सभी सममित का श्रेणीबद्ध सदिश स्थल दसियों को V पर सममित बीजगणित के साथ स्वाभाविक रूप से पहचाना जा सकता है। संबंधित अवधारणा एंटीसिमेट्रिक टेंसर या वैकल्पिक रूप की है। अभियांत्रिकी, भौतिकी एवं गणित में सममित टेन्सर व्यापक रूप से पाए जाते हैं।
परिभाषा
मान लीजिए कि V एक सदिश समष्टि है एवं
आदेश का एक टेंसर k। तब T एक सममित टेंसर है यदि
टेंसर उत्पाद के लिए#टेन्सर की शक्तियाँ एवं ब्रेडिंग प्रत्येक क्रमचय σ से संबंधित प्रतीकों पर {1,2,...,k} (या समतुल्य रूप से इन प्रतीकों पर प्रत्येक ट्रांसपोज़िशन (गणित) के लिए)।
एक आधार दिया (रैखिक बीजगणित) {ईi}, रैंक k के किसी भी सममित टेन्सर T को इस रूप में लिखा जा सकता है
गुणांक की कुछ अनूठी सूची के लिए (आधार में टेंसर के घटक) जो सूचकांकों पर सममित हैं। यानी