मुक्त बीजगणित: Difference between revisions

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:<math>\left(X_{i_1}X_{i_2} \cdots X_{i_l}\right) \cdot \left(X_{j_1}X_{j_2} \cdots X_{j_m}\right) = X_{i_1}X_{i_2} \cdots X_{i_l}X_{j_1}X_{j_2} \cdots X_{j_m},</math>
:<math>\left(X_{i_1}X_{i_2} \cdots X_{i_l}\right) \cdot \left(X_{j_1}X_{j_2} \cdots X_{j_m}\right) = X_{i_1}X_{i_2} \cdots X_{i_l}X_{j_1}X_{j_2} \cdots X_{j_m},</math>
और इस प्रकार दो मनमाना आर-मॉड्यूल तत्वों का उत्पाद विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है (क्योंकि आर-बीजगणित में गुणन आर-बिलिनियर होना चाहिए)। इस R-बीजगणित को R⟨X दर्शाया गया है<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>n</sub>⟩। इस निर्माण को आसानी से एक मनमाना सेट X के अनिश्चित सेट के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।
एवं इस प्रकार दो मनमाना ''R''-मॉड्यूल तत्वों का उत्पाद विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है (क्योंकि ''R''-बीजगणित में गुणन ''R''-बिलिनियर होना चाहिए)। इस R-बीजगणित को ''R''⟨''X''<sub>1</sub>,...,''X<sub>n</sub>''⟩ दर्शाया गया है। इस निर्माण को सरलता से एक मनमाना सेट X के अनिश्चित सेट के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।


संक्षेप में, एक मनमाना सेट के लिए <math>X=\{X_i\,;\; i\in I\}</math>, मुक्त (साहचर्य, इकाई बीजगणित) ''आर''-बीजगणित (अंगूठी सिद्धांत) ''एक्स'' पर है
संक्षेप में, एक मनमाना सेट के लिए <math>X=\{X_i\,;\; i\in I\}</math>, मुक्त (साहचर्य, इकाई बीजगणित) ''आर''-बीजगणित (अंगूठी सिद्धांत) ''एक्स'' पर है
:<math>R\langle X\rangle:=\bigoplus_{w\in X^\ast}R w</math>
:<math>R\langle X\rangle:=\bigoplus_{w\in X^\ast}R w</math>
आर-बिलिनियर गुणन के साथ जो शब्दों पर संयोजन है, जहां एक्स * एक्स पर [[मुक्त मोनोइड]] को दर्शाता है (अर्थात अक्षर एक्स पर शब्द<sub>i</sub>), <math>\oplus</math> मॉड्यूल के बाहरी प्रत्यक्ष योग को दर्शाता है, और आरडब्ल्यू मुक्त मॉड्यूल को दर्शाता है। 1 तत्व पर मुफ्त आर-मॉड्यूल, शब्द डब्ल्यू।
आर-बिलिनियर गुणन के साथ जो शब्दों पर संयोजन है, जहां एक्स * एक्स पर [[मुक्त मोनोइड]] को दर्शाता है (अर्थात अक्षर एक्स पर शब्द<sub>i</sub>), <math>\oplus</math> मॉड्यूल के बाहरी प्रत्यक्ष योग को दर्शाता है, एवं आरडब्ल्यू मुक्त मॉड्यूल को दर्शाता है। 1 तत्व पर मुफ्त आर-मॉड्यूल, शब्द डब्ल्यू।


उदाहरण के लिए, R⟨X में<sub>1</sub>,एक्स<sub>2</sub>,एक्स<sub>3</sub>,एक्स<sub>4</sub>⟩, स्केलर α, β, γ, δ ∈ R के लिए, दो तत्वों के उत्पाद का एक ठोस उदाहरण है
उदाहरण के लिए, R⟨X में<sub>1</sub>,एक्स<sub>2</sub>,एक्स<sub>3</sub>,एक्स<sub>4</sub>⟩, स्केलर α, β, γ, δ ∈ R के लिए, दो तत्वों के उत्पाद का एक ठोस उदाहरण है
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:<math>\sum\limits_{k = 0}^\infty \, \, \, \sum\limits_{i_1,i_2, \cdots ,i_k\in\left\lbrace 1,2, \cdots ,n\right\rbrace} a_{i_1,i_2, \cdots ,i_k} X_{i_1} X_{i_2} \cdots X_{i_k},</math>
:<math>\sum\limits_{k = 0}^\infty \, \, \, \sum\limits_{i_1,i_2, \cdots ,i_k\in\left\lbrace 1,2, \cdots ,n\right\rbrace} a_{i_1,i_2, \cdots ,i_k} X_{i_1} X_{i_2} \cdots X_{i_k},</math>
कहाँ <math>a_{i_1,i_2,...,i_k}</math> R के अवयव हैं और अंतत: इनमें से बहुत से अवयव शून्य हैं। यह बताता है कि R⟨X के तत्व क्यों हैं<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>n</sub>⟩ को अक्सर चर (या अनिश्चित) X में गैर-कम्यूटेटिव बहुपद के रूप में दर्शाया जाता है<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>n</sub>; अवयव <math> a_{i_1,i_2,...,i_k}</math> इन बहुपदों और R-बीजगणित R⟨X के गुणांक कहे जाते हैं<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>n</sub>⟩ को n indeterminates में R के ऊपर गैर-कम्यूटेटिव बहुपद बीजगणित कहा जाता है। ध्यान दें कि एक वास्तविक बहुपद रिंग के विपरीत, चर [[क्रमविनिमेय संचालन]] नहीं करते हैं। उदाहरण के लिए, एक्स<sub>1</sub>X<sub>2</sub> X के बराबर नहीं है<sub>2</sub>X<sub>1</sub>.
कहाँ <math>a_{i_1,i_2,...,i_k}</math> R के अवयव हैं एवं अंतत: इनमें से बहुत से अवयव शून्य हैं। यह बताता है कि R⟨X के तत्व क्यों हैं<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>n</sub>⟩ को अक्सर चर (या अनिश्चित) X में गैर-कम्यूटेटिव बहुपद के रूप में दर्शाया जाता है<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>n</sub>; अवयव <math> a_{i_1,i_2,...,i_k}</math> इन बहुपदों एवं R-बीजगणित R⟨X के गुणांक कहे जाते हैं<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>n</sub>⟩ को n indeterminates में R के ऊपर गैर-कम्यूटेटिव बहुपद बीजगणित कहा जाता है। ध्यान दें कि एक वास्तविक बहुपद रिंग के विपरीत, चर [[क्रमविनिमेय संचालन]] नहीं करते हैं। उदाहरण के लिए, एक्स<sub>1</sub>X<sub>2</sub> X के बराबर नहीं है<sub>2</sub>X<sub>1</sub>.


अधिक आम तौर पर, [[जनरेटिंग सेट]] के किसी भी सेट ई पर मुक्त बीजगणित R⟨E⟩ का निर्माण किया जा सकता है। चूँकि छल्ले को 'Z'-अलजेब्रस के रूप में माना जा सकता है, E पर एक 'फ्री रिंग' को मुक्त बीजगणित 'Z'⟨E⟩ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।
अधिक आम तौर पर, [[जनरेटिंग सेट]] के किसी भी सेट ई पर मुक्त बीजगणित R⟨E⟩ का निर्माण किया जा सकता है। चूँकि छल्ले को 'Z'-अलजेब्रस के रूप में माना जा सकता है, E पर एक 'फ्री रिंग' को मुक्त बीजगणित 'Z'⟨E⟩ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।
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एक [[क्षेत्र (गणित)]] पर, एन अनिश्चित पर मुक्त बीजगणित को एन-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष पर [[टेंसर बीजगणित]] के रूप में बनाया जा सकता है। अधिक सामान्य गुणांक रिंग के लिए, वही निर्माण कार्य करता है यदि हम n जनरेटिंग सेट पर [[मुफ्त मॉड्यूल]] लेते हैं।
एक [[क्षेत्र (गणित)]] पर, एन अनिश्चित पर मुक्त बीजगणित को एन-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष पर [[टेंसर बीजगणित]] के रूप में बनाया जा सकता है। अधिक सामान्य गुणांक रिंग के लिए, वही निर्माण कार्य करता है यदि हम n जनरेटिंग सेट पर [[मुफ्त मॉड्यूल]] लेते हैं।


ई पर मुक्त बीजगणित का निर्माण प्रकृति में कार्यात्मक है और उपयुक्त [[सार्वभौमिक संपत्ति]] को संतुष्ट करता है। मुक्त बीजगणित फ़ैक्टर को आर-एलजेब्रा की श्रेणी से [[सेट की श्रेणी]] में भुलक्कड़ [[ऑपरेटर]] के पास छोड़ दिया जाता है।
ई पर मुक्त बीजगणित का निर्माण प्रकृति में कार्यात्मक है एवं उपयुक्त [[सार्वभौमिक संपत्ति]] को संतुष्ट करता है। मुक्त बीजगणित फ़ैक्टर को आर-एलजेब्रा की श्रेणी से [[सेट की श्रेणी]] में भुलक्कड़ [[ऑपरेटर]] के पास छोड़ दिया जाता है।


विभाजन वलय पर मुक्त बीजगणित मुक्त आदर्श वलय हैं।
विभाजन वलय पर मुक्त बीजगणित मुक्त आदर्श वलय हैं।

Revision as of 11:03, 29 April 2023

This article is about रिंग सिद्धांत में मुक्त बीजगणित. For सार्वभौमिक बीजगणित में अधिक सामान्य मुक्त बीजगणित, see मुक्त वस्तु.
Algebraic structure → Ring theory
Ring theory
Latex integers.svg
Basic concepts
Rings
• Subrings
• Ideal
• Quotient ring
• Fractional ideal
• Total ring of fractions
• Product of rings
• Free product of associative algebras
• Tensor product of algebras

Ring homomorphisms

• Kernel
• Inner automorphism
• Frobenius endomorphism

Algebraic structures

• Module
• Associative algebra
• Graded ring
• Involutive ring
• Category of rings
• Initial ring
• Terminal ring

Related structures

• Field
• Finite field
• Non-associative ring
• Lie ring
• Jordan ring
• Semiring
• Semifield
Commutative algebra
Commutative rings
• Integral domain
• Integrally closed domain
• GCD domain
• Unique factorization domain
• Principal ideal domain
• Euclidean domain
• Field
• Finite field
• Composition ring
• Polynomial ring
• Formal power series ring

Algebraic number theory

• Algebraic number field
• Ring of integers
• Algebraic independence
• Transcendental number theory
• Transcendence degree

p-adic number theory and decimals

• Direct limit/Inverse limit
• Zero ring
• Integers modulo pn
• Prüfer p-ring
• Base-p circle ring
• Base-p integers
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• p-adic integers
• p-adic numbers
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Algebraic geometry

• Affine variety
Noncommutative algebra
Noncommutative rings
• Division ring
• Semiprimitive ring
• Simple ring
• Commutator

Noncommutative algebraic geometry

Free algebra

Clifford algebra

• Geometric algebra
Operator algebra

गणित में, विशेष रूप से अमूर्त बीजगणित के क्षेत्र में जिसे अंगूठी सिद्धांत के रूप में जाना जाता है, मुक्त बीजगणित बहुपद वलय का गैर-अनुवर्ती एनालॉग है क्योंकि इसके तत्वों को गैर-कम्यूटिंग चर के साथ बहुपद के रूप में वर्णित किया जा सकता है। इसी प्रकार, बहुपद वलय को मुक्त क्रमविनिमेय बीजगणित माना जा सकता है।

परिभाषा

R के लिए क्रमविनिमेय वलय, मुक्त (सहयोगी, इकाई बीजगणित) बीजगणित (अंगूठी सिद्धांत) n अनिश्चित (चर) {X1,...,Xn} पर मुफ्त मॉड्यूल है, जिसका आधार वर्णमाला {X1,...,Xn} पर सभी शब्द (गणित) (खाली शब्द सहित, जो मुक्त बीजगणित की इकाई है)। यह R-मॉड्यूल बीजगणित (रिंग थ्योरी) बन जाता है। R-बीजगणित गुणन को निम्नानुसार परिभाषित करता है, दो आधार तत्वों का उत्पाद संबंधित शब्दों का संयोजन होता है।

एवं इस प्रकार दो मनमाना R-मॉड्यूल तत्वों का उत्पाद विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है (क्योंकि R-बीजगणित में गुणन R-बिलिनियर होना चाहिए)। इस R-बीजगणित को R⟨X1,...,Xn⟩ दर्शाया गया है। इस निर्माण को सरलता से एक मनमाना सेट X के अनिश्चित सेट के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

संक्षेप में, एक मनमाना सेट के लिए , मुक्त (साहचर्य, इकाई बीजगणित) आर-बीजगणित (अंगूठी सिद्धांत) एक्स पर है

आर-बिलिनियर गुणन के साथ जो शब्दों पर संयोजन है, जहां एक्स * एक्स पर मुक्त मोनोइड को दर्शाता है (अर्थात अक्षर एक्स पर शब्दi), मॉड्यूल के बाहरी प्रत्यक्ष योग को दर्शाता है, एवं आरडब्ल्यू मुक्त मॉड्यूल को दर्शाता है। 1 तत्व पर मुफ्त आर-मॉड्यूल, शब्द डब्ल्यू।

उदाहरण के लिए, R⟨X में1,एक्स2,एक्स3,एक्स4⟩, स्केलर α, β, γ, δ ∈ R के लिए, दो तत्वों के उत्पाद का एक ठोस उदाहरण है