बृहत् वृत्त: Difference between revisions
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[[File:Great circle hemispheres.png|thumb|right| | [[File:Great circle hemispheres.png|thumb|right|बड़ा वृत्त वृत्त को दो बराबर अर्धवृत्त में विभाजित करता है।]]गणित में, बड़ा [[वृत्त]] या ऑर्थोड्रोम वृत्त का वृत्ताकार प्रतिच्छेदन (ज्यामिति) एवं समतल (ज्यामिति) आपतन (ज्यामिति) वृत्त का [[केंद्र (ज्यामिति)]] होता है।<ref>{{Cite web |last=W. |first=Weisstein, Eric |title=ग्रेट सर्किल - वोल्फ्राम मैथवर्ल्ड से|url=https://mathworld.wolfram.com/GreatCircle.html |access-date=2022-09-30 |website=mathworld.wolfram.com |language=en}}</ref><ref>{{Cite book |last1=Weintrit |first1=Adam |url=https://dl.acm.org/doi/abs/10.5555/2788309 |title=नेविगेशन में लॉक्सोड्रोम (रंब लाइन), ऑर्थोड्रोम (ग्रेट सर्कल), ग्रेट एलिप्से और जियोडेटिक लाइन (जियोडेसिक)|last2=Kopcz |first2=Piotr |date=2014 |publisher=CRC Press, Inc. |isbn=978-1-138-00004-9 |location=USA }}</ref> | ||
बड़े वृत्त का कोई भी वृत्ताकार चाप, वृत्त का भूगणितीय होता है, इसलिए [[गोलाकार ज्यामिति|वृत्ताकार ज्यामिति]] में बड़े वृत्त [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] में [[रेखा (ज्यामिति)]] के प्राकृतिक अनुरूप होते हैं। वृत्त पर भिन्न-भिन्न गैर-[[एंटीपोडल बिंदु]] [[बिंदु (ज्यामिति)|(ज्यामिति)]] की किसी भी जोड़ी के लिए, दोनों के मध्य से प्रवाहित होने वाला बड़ा चक्र है। (किसी भी बिंदु से होकर जाने वाला प्रत्येक बड़ा वृत्त अपने [[व्यास|प्रतिव्यास]] बिंदु से होकर भी प्रवाहित होता है, इसलिए दो प्रतिव्यास बिंदुओं के माध्यम से असीम रूप से कई बड़े वृत्त होते हैं।) वृत्त पर दो भिन्न-भिन्न बिंदुओं के मध्य दो बड़े वृत्त के अल्प चाप को लघु चाप कहा जाता है, एवं उनके मध्य सबसे अल्प सतह-पथ है। इस चाप की लंबाई बिंदुओं ( वृत्त पर [[आंतरिक मीट्रिक]]) के मध्य की महान-वृत्त दूरी है, एवं दो बिंदुओं एवं वृत्त के केंद्र द्वारा गठित [[केंद्रीय कोण]] के [[कोण माप]] के समानुपाती होती है। | |||
बड़ा वृत्त सबसे बड़ा वृत्त है जिसे किसी दिए गए वृत्त पर खींचा जा सकता है। किसी भी बड़े वृत्त का कोई भी व्यास वृत्त के व्यास के साथ मेल खाता है, एवं इसलिए हर बड़ा वृत्त वृत्त के साथ संकेंद्रित वस्तु है एवं समान त्रिज्या साझा करता है। वृत्त के किसी भी अन्य वृत्त को छोटा वृत्त कहा जाता है, एवं यह उस वृत्त का प्रतिच्छेदन है जिसके केंद्र से कोई समतल नहीं गुजरता है। अल्प वृत्त यूक्लिडियन अंतरिक्ष में मंडलियों के वृत्ताकार-ज्यामिति एनालॉग हैं। | |||
यूक्लिडियन 3-स्पेस में प्रत्येक वृत्त ठीक | यूक्लिडियन 3-स्पेस में प्रत्येक वृत्त ठीक वृत्त का बड़ा वृत्त है। | ||
बड़े वृत्त से घिरी हुई [[डिस्क (गणित)]] को बड़ी डिस्क कहा जाता है: यह [[गेंद (ज्यामिति)]] एवं उसके केंद्र से प्रवाहित होने वाले समतल का प्रतिच्छेदन है। | |||
उच्च आयामों में, n-sphere|n-sphere पर महान वृत्त n-sphere के 2-विमानों के प्रतिच्छेदन हैं जो यूक्लिडियन अंतरिक्ष में उत्पत्ति के माध्यम से गुजरते हैं {{math|'''R'''<sup>''n'' + 1</sup>}}. | उच्च आयामों में, n-sphere|n-sphere पर महान वृत्त n-sphere के 2-विमानों के प्रतिच्छेदन हैं जो यूक्लिडियन अंतरिक्ष में उत्पत्ति के माध्यम से गुजरते हैं {{math|'''R'''<sup>''n'' + 1</sup>}}. | ||
== सबसे | == सबसे अल्प रास्तों की व्युत्पत्ति == | ||
{{see also|Great-circle distance}} | {{see also|Great-circle distance}} | ||
यह साबित करने के लिए कि | यह साबित करने के लिए कि बड़े वृत्त का लघु चाप वृत्त की सतह पर दो बिंदुओं को जोड़ने वाला सबसे छोटा रास्ता है, इसमें विविधताओं की कलन लागू की जा सकती है। | ||
बिंदु से सभी नियमित पथों की कक्षा पर विचार करें <math>p</math> दूसरे बिंदु पर <math>q</math>. [[गोलाकार निर्देशांक|वृत्ताकार निर्देशांक]] पेश करें ताकि <math>p</math> उत्तरी ध्रुव से मेल खाता है। वृत्त पर कोई भी वक्र जो किसी भी ध्रुव को नहीं काटता है, संभवत: अंतिम बिंदुओं को छोड़कर, पैरामीट्रिज्ड किया जा सकता है | |||
:<math>\theta = \theta(t),\quad \phi = \phi(t),\quad a\le t\le b</math> | :<math>\theta = \theta(t),\quad \phi = \phi(t),\quad a\le t\le b</math> | ||
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ds=r\sqrt{\theta'^2+\phi'^{2}\sin^{2}\theta}\, dt. | ds=r\sqrt{\theta'^2+\phi'^{2}\sin^{2}\theta}\, dt. | ||
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तो | तो वक्र की लंबाई <math>\gamma</math> से <math>p</math> को <math>q</math> द्वारा दिए गए वक्र का [[कार्यात्मक (गणित)]] है | ||
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यूलर-लैग्रेंज समीकरण के अनुसार, <math>S[\gamma]</math> कम से कम अगर एवं केवल अगर है | यूलर-लैग्रेंज समीकरण के अनुसार, <math>S[\gamma]</math> कम से कम अगर एवं केवल अगर है | ||
:<math> \frac{\sin^2\theta\phi'}{\sqrt{\theta'^2+\phi'^2\sin^2\theta}}=C</math>, | :<math> \frac{\sin^2\theta\phi'}{\sqrt{\theta'^2+\phi'^2\sin^2\theta}}=C</math>, | ||
कहाँ <math>C</math> | कहाँ <math>C</math> है <math>t</math>-स्वतंत्र स्थिरांक, एवं | ||
:<math> \frac{\sin\theta\cos\theta\phi'^2}{\sqrt{\theta'^2+\phi'^2\sin^2\theta}}=\frac{d}{dt}\frac{\theta'}{\sqrt{\theta'^2+\phi'^2\sin^2\theta}}.</math> | :<math> \frac{\sin\theta\cos\theta\phi'^2}{\sqrt{\theta'^2+\phi'^2\sin^2\theta}}=\frac{d}{dt}\frac{\theta'}{\sqrt{\theta'^2+\phi'^2\sin^2\theta}}.</math> | ||
इन दोनों के पहले समीकरण से यह प्राप्त किया जा सकता है | इन दोनों के पहले समीकरण से यह प्राप्त किया जा सकता है | ||
:<math> \phi'=\frac{C\theta'}{\sin\theta\sqrt{\sin^2\theta-C^2}}</math>. | :<math> \phi'=\frac{C\theta'}{\sin\theta\sqrt{\sin^2\theta-C^2}}</math>. | ||
दोनों पक्षों को | दोनों पक्षों को ीकृत करना एवं सीमा की स्थिति पर विचार करना, का वास्तविक समाधान <math>C</math> शून्य है। इस प्रकार, <math>\phi'=0</math> एवं <math>\theta</math> 0 एवं के मध्य कोई भी मान हो सकता है <math>\theta_0</math>, यह दर्शाता है कि वक्र वृत्त के याम्योत्तर पर स्थित होना चाहिए। कार्तीय निर्देशांक में, यह है | ||
:<math>x\sin\phi_0 - y\cos\phi_0 = 0</math> | :<math>x\sin\phi_0 - y\cos\phi_0 = 0</math> | ||
जो कि मूल बिंदु से होकर जाने वाला | जो कि मूल बिंदु से होकर जाने वाला तल है, अर्थात, वृत्त का केंद्र। | ||
== अनुप्रयोग == | == अनुप्रयोग == | ||
खगोलीय क्षेत्र पर महान वृत्तों के कुछ उदाहरणों में [[[[आकाश]]ीय क्षितिज]], [[आकाशीय [[भूमध्य रेखा]]]] एवं [[क्रांतिवृत्त]] शामिल हैं। हवा या समुद्र के लिए पृथ्वी की सतह पर | खगोलीय क्षेत्र पर महान वृत्तों के कुछ उदाहरणों में [[[[आकाश]]ीय क्षितिज]], [[आकाशीय [[भूमध्य रेखा]]]] एवं [[क्रांतिवृत्त]] शामिल हैं। हवा या समुद्र के लिए पृथ्वी की सतह पर दीर्घवृत्ताभ पर भू-भौतिकी के सटीक सन्निकटन के रूप में ग्रेट सर्किल का भी उपयोग किया जाता है [[ग्रेट-सर्कल नेविगेशन]] (हालांकि यह [[पृथ्वी का आकार]] है), साथ ही वृत्ताकार आकाशीय पिंडों पर भी। | ||
आदर्श पृथ्वी का भूमध्य रेखा | आदर्श पृथ्वी का भूमध्य रेखा बड़ा चक्र है एवं कोई भी मध्याह्न रेखा एवं इसके विपरीत भूमध्य रेखा महान चक्र बनाती है। एवं बड़ा वृत्त वह है जो [[भूमि और जल गोलार्ध|भूमि एवं जल गोलार्ध]]ों को विभाजित करता है। बड़ा वृत्त पृथ्वी को पृथ्वी के दो गोलार्द्धों में विभाजित करता है एवं यदि बड़ा वृत्त बिंदु से होकर गुजरता है तो उसे अपने प्रतिध्रुव बिंदु से होकर गुजरना होगा। | ||
[[फंक ट्रांसफॉर्म]] क्षेत्र के सभी महान मंडलियों के साथ | [[फंक ट्रांसफॉर्म]] क्षेत्र के सभी महान मंडलियों के साथ समारोह को ीकृत करता है। | ||
== यह भी देखें == | == यह भी देखें == | ||
* [[छोटा घेरा]] | * [[छोटा घेरा]] | ||
* | * वृत्त का घेरा | ||
* ग्रेट-सर्कल दूरी | * ग्रेट-सर्कल दूरी | ||
* ग्रेट-सर्कल नेविगेशन | * ग्रेट-सर्कल नेविगेशन | ||
Revision as of 10:57, 27 April 2023
गणित में, बड़ा वृत्त या ऑर्थोड्रोम वृत्त का वृत्ताकार प्रतिच्छेदन (ज्यामिति) एवं समतल (ज्यामिति) आपतन (ज्यामिति) वृत्त का केंद्र (ज्यामिति) होता है।[1][2]
बड़े वृत्त का कोई भी वृत्ताकार चाप, वृत्त का भूगणितीय होता है, इसलिए वृत्ताकार ज्यामिति में बड़े वृत्त यूक्लिडियन अंतरिक्ष में रेखा (ज्यामिति) के प्राकृतिक अनुरूप होते हैं। वृत्त पर भिन्न-भिन्न गैर-एंटीपोडल बिंदु (ज्यामिति) की किसी भी जोड़ी के लिए, दोनों के मध्य से प्रवाहित होने वाला बड़ा चक्र है। (किसी भी बिंदु से होकर जाने वाला प्रत्येक बड़ा वृत्त अपने प्रतिव्यास बिंदु से होकर भी प्रवाहित होता है, इसलिए दो प्रतिव्यास बिंदुओं के माध्यम से असीम रूप से कई बड़े वृत्त होते हैं।) वृत्त पर दो भिन्न-भिन्न बिंदुओं के मध्य दो बड़े वृत्त के अल्प चाप को लघु चाप कहा जाता है, एवं उनके मध्य सबसे अल्प सतह-पथ है। इस चाप की लंबाई बिंदुओं ( वृत्त पर आंतरिक मीट्रिक) के मध्य की महान-वृत्त दूरी है, एवं दो बिंदुओं एवं वृत्त के केंद्र द्वारा गठित केंद्रीय कोण के कोण माप के समानुपाती होती है।
बड़ा वृत्त सबसे बड़ा वृत्त है जिसे किसी दिए गए वृत्त पर खींचा जा सकता है। किसी भी बड़े वृत्त का कोई भी व्यास वृत्त के व्यास के साथ मेल खाता है, एवं इसलिए हर बड़ा वृत्त वृत्त के साथ संकेंद्रित वस्तु है एवं समान त्रिज्या साझा करता है। वृत्त के किसी भी अन्य वृत्त को छोटा वृत्त कहा जाता है, एवं यह उस वृत्त का प्रतिच्छेदन है जिसके केंद्र से कोई समतल नहीं गुजरता है। अल्प वृत्त यूक्लिडियन अंतरिक्ष में मंडलियों के वृत्ताकार-ज्यामिति एनालॉग हैं।
यूक्लिडियन 3-स्पेस में प्रत्येक वृत्त ठीक वृत्त का बड़ा वृत्त है।
बड़े वृत्त से घिरी हुई डिस्क (गणित) को बड़ी डिस्क कहा जाता है: यह गेंद (ज्यामिति) एवं उसके केंद्र से प्रवाहित होने वाले समतल का प्रतिच्छेदन है। उच्च आयामों में, n-sphere|n-sphere पर महान वृत्त n-sphere के 2-विमानों के प्रतिच्छेदन हैं जो यूक्लिडियन अंतरिक्ष में उत्पत्ति के माध्यम से गुजरते हैं Rn + 1.
सबसे अल्प रास्तों की व्युत्पत्ति
यह साबित करने के लिए कि बड़े वृत्त का लघु चाप वृत्त की सतह पर दो बिंदुओं को जोड़ने वाला सबसे छोटा रास्ता है, इसमें विविधताओं की कलन लागू की जा सकती है।
बिंदु से सभी नियमित पथों की कक्षा पर विचार करें दूसरे बिंदु पर . वृत्ताकार निर्देशांक पेश करें ताकि उत्तरी ध्रुव से मेल खाता है। वृत्त पर कोई भी वक्र जो किसी भी ध्रुव को नहीं काटता है, संभवत: अंतिम बिंदुओं को छोड़कर, पैरामीट्रिज्ड किया जा सकता है
बशर्ते हम अनुमति दें मनमाना वास्तविक मूल्यों को लेने के लिए। इन निर्देशांकों में अपरिमेय चाप की लंबाई है
तो वक्र की लंबाई से को द्वारा दिए गए वक्र का कार्यात्मक (गणित) है
यूलर-लैग्रेंज समीकरण के अनुसार, कम से कम अगर एवं केवल अगर है
- ,
कहाँ है -स्वतंत्र स्थिरांक, एवं