ध्वनिक स्ट्रीमिंग

ध्वनिक स्ट्रीमिंग उच्च आयाम ध्वनिक दोलनों के अवशोषण द्वारा संचालित द्रव में स्थिर प्रवाह है। यह घटना ध्वनि उत्सर्जकों के निकट अथवा कुंड की नली के भीतर अप्रगामी तरंगों में अवलोकित की जाती है। 1884 में सर्वप्रथम लॉर्ड रेले द्वारा ध्वनिक स्ट्रीमिंग की व्याख्या की गई थी।

यह प्रवाह द्वारा ध्वनि उत्पादन के विपरीत है।

ऐसी दो स्थितियाँ हैं जहाँ ध्वनि प्रसार के माध्यम में अवशोषित हो जाती है-

• बल्क फ्लो ('एकार्ट स्ट्रीमिंग') में प्रसार के समय अवशोषित हो जाती है। स्टोक्स के नियम (ध्वनि क्षीणन) के अनुसार क्षीणन गुणांक $\alpha =2\eta \omega ^{2}/(3\rho c^{3})$ है। यह प्रभाव उच्च आवृत्तियों पर अधिक तीव्र होता है और जल (100 मेगाहर्ट्ज पर $\alpha ^{-1}$~1 मीटर) की तुलना में वायु (जहाँ क्षीणन 1 मेगाहर्ट्ज पर $\alpha ^{-1}$~10 सेमी की विशिष्ट दूरी पर होता है) में अधिक होता है। इसे क्वार्ट्ज वायु के रूप में जाना जाता है।
• सीमा के निकट ('रेले स्ट्रीमिंग') ध्वनि प्रसार के माध्यम में अवशोषित हो जाती है। अथवा जब ध्वनि सीमा तक पहुँचती है, अथवा जब सीमा स्थिर माध्यम में दोलन कर रही होती है। कम्पित दीवार स्टोक्स सीमा परत के भीतर क्षीण आयाम की अपरूपण तरंग उत्पन्न करती है। यह प्रभाव विशेषता आकार $\delta =[\eta /(\rho \omega )]^{1/2}$ की क्षीणन लंबाई पर स्थानीयकृत है। जिसका परिमाण क्रम 1 मेगाहर्ट्ज पर वायु और जल दोनों में कुछ माइक्रोमीटर है। ध्वनि तरंगें और सूक्ष्म बुलबुले, बहुलक के संपर्क के कारण उत्पन्न स्ट्रीमिंग प्रवाह, और जैविक कोशिकाएं सीमा संचालित ध्वनिक स्ट्रीमिंग के उदाहरण हैं।

रेले स्ट्रीमिंग

समतल अप्रगामी ध्वनि तरंग पर विचार करते हैं जो वेग क्षेत्र $U(x,t)=v_{0}\cos kx\cos \omega t=\varepsilon \cos kx\Re (e^{-i\omega t})$ से युग्मित होती है, जहाँ $k=2\pi /\lambda =\omega /c$ है। मान लीजिये $l$, समस्या का अभिलाक्षणिक (अनुप्रस्थ) आयाम है। वर्णित प्रवाह क्षेत्र अश्यान प्रवाह से युग्मित होता है। चूँकि श्यान प्रभाव ठोस दीवार के निकट महत्वपूर्ण है, तब मोटाई $\delta =(2\nu /\omega )^{1/2}$ की सीमा परत उपस्थित होती है। रेले स्ट्रीमिंग को सन्निकटन $\lambda \gg l\gg \delta .$ में उचित प्रकार से अवलोकित किया गया है। $U(x,t)$ के रूप में, वेग घटक $(u,v)$, $c$ से कम होता है। इसके अतिरिक्त, ध्वनिक समय स्तर $l/c$ की तुलना में सीमा परत के भीतर अभिलाक्षणिक समय का स्तर अधिक बड़ा ($\delta$ की लघुता के कारण) है। इस प्रकार की टिप्पणियों का अर्थ है कि सीमा परत में प्रवाह को असम्पीडित माना जा सकता है।

अस्थिर, असंपीड्य सीमा-परत समीकरण है-

${\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}-\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=U{\frac {\partial U}{\partial x}}+{\frac {\partial U}{\partial t}}$

जहाँ दाहिनी ओर की स्तिथियाँ सीमा परत पर लगाए गए दबाव प्रवणता के अनुरूप होती हैं। स्ट्रीम फ़ंक्शन का उपयोग करके समस्या को हल किया जा सकता है $\psi$ जो संतुष्ट करता है $u=\partial \psi /\partial y$ और $v=-\partial \psi /\partial x.$ चूंकि परिभाषा के अनुसार, वेग क्षेत्र $U$ ध्वनि तरंग में बहुत छोटा है, हम औपचारिक रूप से सीमा परत समीकरण के लिए asymptotic श्रृंखला शुरू करके समाधान प्राप्त कर सकते हैं $\varepsilon \rightarrow 0$ जैसा $u=\varepsilon u_{1}+\varepsilon ^{2}u_{2}+\cdots$, $\psi =\varepsilon \psi _{1}+\varepsilon ^{2}\psi _{2}\cdots$ वगैरह।

पहले सन्निकटन में, एक प्राप्त करता है

${\frac {\partial u_{1}}{\partial t}}-\nu {\frac {\partial ^{2}u_{1}}{\partial y^{2}}}=-\omega \cos kx\Re (ie^{-i\omega t}).$

समाधान जो दीवार पर नो-स्लिप स्थिति को संतुष्ट करता है $y/\delta =0$ और पहुँचता है $U$ जैसा $y/\delta \rightarrow \infty$ द्वारा दिया गया है

$u_{1}=\Re \left[\cos kx\,(1-e^{-\kappa y})\,e^{-i\omega t}\right],\quad \psi _{1}=\Re \left[\cos kx\,\zeta _{1}(y)\,e^{-i\omega t}\right]$

जहाँ $\kappa =(1-i)/\delta$ और $\zeta _{1}=y+(e^{-\kappa y}-1)/\kappa .$ अगले क्रम पर समीकरण है

${\frac {\partial u_{2}}{\partial t}}-\nu {\frac {\partial ^{2}u_{2}}{\partial y^{2}}}=U{\frac {\partial U}{\partial x}}-u_{1}{\frac {\partial u_{1}}{\partial x}}-v_{1}{\frac {\partial u_{1}}{\partial y}}.$

चूंकि दाहिनी ओर का प्रत्येक पद द्विघात है, इसका परिणाम बारंबारताओं के संदर्भ में होगा $\omega +\omega =2\omega$ और $\omega -\omega =0.$ $\omega =0$ h> शब्द समय के लिए स्वतंत्र बल के अनुरूप हैं $u_{2}$. आइए हम ऐसे समाधान खोजें जो केवल इस समय-स्वतंत्र भाग से मेल खाता हो। इससे ये होता है $\psi _{2}=\sin 2kx\,\zeta _{2}(y)/c$ जहाँ $\zeta _{2}$ समीकरण को संतुष्ट करता है

$2\delta \zeta _{2}'''=1-|\zeta _{1}'|^{2}+\Re (\zeta _{1}\zeta _{1}'')$ फ़ाइल:Rayleigh Streaming.pdf|thumb|400px

जहाँ प्राइम के संबंध में भेदभाव को दर्शाता है $y.$ दीवार पर सीमा की स्थिति का तात्पर्य है $\zeta (0)=\zeta '(0)=0.$ जैसा $y/\delta \rightarrow \infty$, $\zeta _{2}$ परिमित होना चाहिए। उपरोक्त समीकरण को दो बार समाकलित करने पर प्राप्त होता है

$\zeta _{2}'={\frac {3}{8}}-{\frac {1}{8}}e^{-2y/\delta }-e^{-y/\delta }\left[\sin {\frac {y}{\delta }}+{\frac {1}{4}}\cos {\frac {y}{\delta }}+{\frac {y}{4\delta }}\left(\sin {\frac {y}{\delta }}-\cos {\frac {y}{\delta }}\right)\right].$ जैसा $y/\delta \rightarrow \infty$, $\zeta '(\infty )=3/8$ परिणाम की ओर अग्रसर है $v_{2}(x,\infty ,t)=(3/8c)\sin 2kx.$ इस प्रकार, सीमा के किनारे पर, दोलन गति पर अध्यारोपित एक स्थिर द्रव गति होती है। यह वेग बल सीमा परत के बाहर एक स्थिर स्ट्रीमिंग गति को चलाएगा। दिलचस्प परिणाम यह है कि जब से $v_{2}(\infty )$ से स्वतंत्र है $\nu$, सीमा परत के बाहर होने वाली स्थिर स्ट्रीमिंग गति भी चिपचिपाहट से स्वतंत्र होती है, चूँकि इसके अस्तित्व की उत्पत्ति चिपचिपी सीमा परत के कारण होती है।

बाहरी स्थिर स्ट्रीमिंग असम्पीडित गति समस्या की ज्यामिति पर निर्भर करेगी। अगर दो दीवारें एक पर हैं $y=0$ और $y=2h$, तो समाधान है

$\psi _{2}={\frac {3}{16c}}\sin 2kx\,[-(y-h)+(y-h)^{3}/h^{2}]$

जो काउंटर-रोटेटिंग भंवरों की एक आवधिक सरणी से मेल खाती है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

उत्पत्ति: द्रव में ध्वनिक अवशोषण के कारण एक शरीर बल

ध्वनिक स्ट्रीमिंग एक गैर रेखीय प्रभाव है।

हम वेग क्षेत्र को एक कंपन भाग और एक स्थिर भाग में विघटित कर सकते हैं ${u}=v+{\overline {u}}$. कंपन वाला भाग $v$ ध्वनि के कारण है, जबकि स्थिर भाग ध्वनिक स्ट्रीमिंग वेग (औसत वेग) है। ध्वनिक स्ट्रीमिंग वेग के लिए नेवियर-स्टोक्स समीकरण का अर्थ है:

${\overline {\rho }}{\partial _{t}{\overline {u}}_{i}}+{\overline {\rho }}{\overline {u}}_{j}{\partial _{j}{\overline {u}}_{i}}=-{\partial {\overline {p}}_{i}}+\eta {\partial _{j}^{2}{\overline {u}}_{i}}-{\partial _{j}}({\overline {\rho v_{i}v_{j}}}/{\partial x_{j}}).$

स्थिर प्रवाह एक स्थिर शरीर बल से उत्पन्न होता है $f_{i}=-{\partial }({\overline {\rho v_{i}v_{j}}})/{\partial x_{j}}$ जो दाहिनी ओर दिखाई देता है। यह बल अशांति में रेनॉल्ड्स तनाव के रूप में जाना जाने वाला एक कार्य है $-{\overline {\rho v_{i}v_{j}}}$. रेनॉल्ड्स तनाव ध्वनि कंपन के आयाम पर निर्भर करता है, और शरीर बल इस ध्वनि आयाम में कमी को दर्शाता है।

हम देखते हैं कि वेग आयाम में यह तनाव गैर-रेखीय (द्विघात फलन) है। यह गैर-गायब है, जहाँ वेग आयाम भिन्न होता है। यदि ध्वनि के कारण द्रव का वेग दोलन करता है $\epsilon \cos(\omega t)$, द्विघात गैर-रैखिकता के समानुपाती एक स्थिर बल उत्पन्न करता है

$\scriptstyle {\overline {\epsilon ^{2}\cos ^{2}(\omega t)}}=\epsilon ^{2}/2$.

ध्वनिक स्ट्रीमिंग वेगों के परिमाण का क्रम

यहां तक ​​​​कि अगर ध्वनिक स्ट्रीमिंग के लिए चिपचिपाहट जिम्मेदार है, तो निकट-सीमा ध्वनिक स्टीमिंग के मामले में परिणामी स्ट्रीमिंग वेग से चिपचिपाहट का मूल्य गायब हो जाता है।

स्ट्रीमिंग वेगों के परिमाण का क्रम है:

• एक सीमा के निकट (सीमा परत के बाहर):

$U\sim -{3}/{(4\omega )}\times v_{0}dv_{0}/dx,$

साथ $v_{0}$ ध्वनि कंपन वेग और $x$ दीवार की सीमा के साथ। प्रवाह को ध्वनि कंपन (कंपन नोड्स) कम करने की दिशा में निर्देशित किया जाता है।

• एक हिलते हुए बुलबुले के निकट आराम की त्रिज्या a, जिसका त्रिज्या सापेक्ष आयाम के साथ स्पंदित होता है $\epsilon =\delta r/a$ (या $r=\epsilon a\sin(\omega t)$), और जिसका द्रव्यमान केंद्र भी समय-समय पर सापेक्ष आयाम के साथ अनुवाद करता है $\epsilon '=\delta x/a$ (या $x=\epsilon 'a\sin(\omega t/\phi )$). एक चरण बदलाव के साथ $\phi$

$\displaystyle U\sim \epsilon \epsilon 'a\omega \sin \phi$

• दीवारों से दूर $U\sim \alpha P/(\pi \mu c)$ प्रवाह की उत्पत्ति से दूर ( साथ $P$ध्वनिक शक्ति, $\mu$ गतिशील चिपचिपाहट और $c$ ध्वनि की गति)। प्रवाह की उत्पत्ति के निकट, वेग की जड़ के रूप में मापता है $P$.

• यह दिखाया गया है कि ध्वनिक तरंगों के संपर्क में आने पर जैविक प्रजातियां, उदाहरण के लिए, अनुयायी कोशिकाएं भी ध्वनिक स्ट्रीमिंग प्रवाह प्रदर्शित कर सकती हैं। सतह से जुड़ी कोशिकाएं सतह से अलग किए बिना मिमी/एस के क्रम में ध्वनिक स्ट्रीमिंग प्रवाह उत्पन्न कर सकती हैं।

यह भी देखें

• ध्वनिक चिमटी