अवधियों की मूलभूत जोड़ी

गणित में, अवधियों की मौलिक जोड़ी समिश्र संख्या की क्रमबद्ध जोड़ी है जो सम्मिश्र समतल में लैटिस (समूह) को परिभाषित करती है। इस प्रकार की लैटिस अंतर्निहित वस्तु है जिसके साथ दीर्घवृत्तीय फलन और प्रतिरूपक रूप को परिभाषित किया जाता है।

मौलिक समांतर चतुर्भुज सम्मिश्र समतल में सदिश की एक जोड़ी द्वारा परिभाषित।

परिभाषा

अवधियों की मौलिक जोड़ी समिश्र संख्या की जोड़ी है $\omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C}$ कि उनका अनुपात $\omega _{2}/\omega _{1}$ वास्तविक नहीं है। यदि सदिश के रूप में माना जाता है $\mathbb {R} ^{2}$, दोनों सरेख नहीं हैं। लैटिस द्वारा उत्पन्न किया गया $\omega _{1}$ और $\omega _{2}$ है

$\Lambda =\left\{m\omega _{1}+n\omega _{2}\mid m,n\in \mathbb {Z} \right\}.$

इस लैटिस को कभी-कभी निरूपित भी किया जाता है $\Lambda (\omega _{1},\omega _{2})$ यह स्पष्ट करने के लिए कि यह पर निर्भर करता है $\omega _{1}$ और $\omega _{2}.$ इसे कभी-कभी $\Omega {\vphantom {(}}$ या $\Omega (\omega _{1},\omega _{2}),$द्वारा भी निरूपित किया जाता है या द्वारा $(\omega _{1},\omega _{2}).$भी निरूपित किया जाता है, दो जनरेटर $\omega _{1}$ और $\omega _{2}$ लैटिस आधार कहा जाता है। शीर्षों वाला समांतर चतुर्भुज $(0,\omega _{1},\omega _{1}+\omega _{2},\omega _{2})$ मौलिक समांतर चतुर्भुज कहा जाता है।

जबकि मौलिक जोड़ी लैटिस उत्पन्न करती है, लैटिस में कोई अद्वितीय मौलिक जोड़ी नहीं होती है; वास्तव में, मौलिक युग्मों की अनंत संख्या एक ही लैटिस के अनुरूप होती है।

बीजगणितीय गुण

नीचे सूचीबद्ध कई गुण देखे जा सकते हैं।

समानता

अवधियों द्वारा फैला एक लैटिस ω₁ और ω₂, अवधियों की एक समतुल्य जोड़ी दिखा रहा है α₁ और α₂.

समिश्र संख्या के दो जोड़े $(\omega _{1},\omega _{2})$ और $(\alpha _{1},\alpha _{2})$ तुल्यता संबंध कहलाते हैं यदि वे समान लैटिस उत्पन्न करते हैं: अर्थात, यदि $\Lambda (\omega _{1},\omega _{2})=\Lambda (\alpha _{1},\alpha _{2}).$

कोई आंतरिक बिंदु नहीं

मौलिक समांतर चतुर्भुज के आंतरिक या सीमा में आगे कोई लैटिस बिंदु नहीं है। इसके विपरीत, इस गुण के साथ लैटिस बिंदुओं की कोई भी जोड़ी मौलिक जोड़ी बनाती है, और इसके अलावा, वे एक ही लैटिस उत्पन्न करते हैं।

प्रतिरूपक समरूपता

दो जोड़े $(\omega _{1},\omega _{2})$ और $(\alpha _{1},\alpha _{2})$ समतुल्य हैं अगर और केवल अगर मौजूद है 2 × 2 आव्यूह ${\textstyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$ पूर्णांक प्रविष्टियों के साथ $a,$ $b,$ $c,$ और $d$ और निर्धारक $ad-bc=\pm 1$ ऐसा है कि

${\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\alpha _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\end{pmatrix}},$

वह है, ताकि

${\begin{aligned}\alpha _{1}=a\omega _{1}+b\omega _{2},\\[5mu]\alpha _{2}=c\omega _{1}+d\omega _{2}.\end{aligned}}$

यह आव्यूह प्रतिरूपक समूह $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} ).$ से संबंधित है, लैटिस के इस तुल्यता को दीर्घवृत्तीय फलन (विशेष रूप से वीयरस्ट्रैस दीर्घवृत्तीय फलन) और प्रतिरूपक रूपों के कई गुणों के अंतर्निहित के रूप में माना जा सकता है।

सामयिक गुण

एबेलियन समूह $\mathbb {Z} ^{2}$ सम्मिश्र समतल को मौलिक समांतर चतुर्भुज में प्रतिचित्र करता है। यानी हर बिंदु $z\in \mathbb {C}$ रूप में लिखा जा सकता है $z=p+m\omega _{1}+n\omega _{2}$ पूर्णांकों के लिए $m,n$ एक बिंदु के साथ $p$ मौलिक समांतर चतुर्भुज में है।

चूंकि यह प्रतिचित्र समांतर चतुर्भुज के विपरीत पक्षों को समान होने के रूप में पहचानती है, मौलिक समांतर चतुर्भुज में टोरस्र्स की संस्थितिविज्ञान होती है। समान रूप से, कहता है कि भागफल बहुविध $\mathbb {C} /\Lambda$ टोरस है।

मौलिक क्षेत्र

ग्रे विहित मौलिक डोमेन को दर्शाता है।

परिभाषित करना $\tau =\omega _{2}/\omega _{1}$ अर्ध-अवधि अनुपात होना है। फिर लैटिस के आधार को हमेशा चुना जा सकता है ताकि $\tau$ एक विशेष क्षेत्र में निहित है, जिसे मौलिक डोमेन कहा जाता है। वैकल्पिक रूप से, प्रक्षेपी रैखिक समूह का एक तत्व हमेशा मौजूद होता है $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ जो एक लैटिस आधार को दूसरे आधार पर प्रतिचित्र करता है ताकि $\tau$ मौलिक डोमेन में है।

मौलिक डोमेन सेट द्वारा दिया जाता है $D,$ जो एक सेट से बना है $U$ प्लस की सीमा का एक हिस्सा $U$:

$U=\left\{z\in H:\left|z\right|>1,\,\left|\operatorname {Re} (z)\right|<{\tfrac {1}{2}}\right\}.$

कहाँ $H$ ऊपरी आधा विमान है।

मौलिक डोमेन $D$ फिर बाईं ओर की सीमा और तल पर आधे चाप को जोड़कर बनाया गया है:

$D=U\cup \left\{z\in H:\left|z\right|\geq 1,\,\operatorname {Re} (z)=-{\tfrac {1}{2}}\right\}\cup \left\{z\in H:\left|z\right|=1,\,\operatorname {Re} (z)\leq 0\right\}.$

तीन मामले संबंधित हैं:

• अगर $\tau \neq i$ और ${\textstyle \tau \neq e^{i\pi /3}}$, तो ठीक उसी के साथ दो जालीदार आधार हैं $\tau$ मौलिक क्षेत्र में: $(\omega _{1},\omega _{2})$ और $(-\omega _{1},-\omega _{2}).$ * अगर $\tau =i$, तो चार लैटिस आधार समान हैं $\tau$: उपरोक्त दो $(\omega _{1},\omega _{2})$, $(-\omega _{1},-\omega _{2})$ और $(i\omega _{1},i\omega _{2})$, $(-i\omega _{1},-i\omega _{2}).$ * अगर ${\textstyle \tau =e^{i\pi /3}}$, तो उसी के साथ छह जालीदार आधार हैं $\tau$: $(\omega _{1},\omega _{2})$, $(\tau \omega _{1},\tau \omega _{2})$, $(\tau ^{2}\omega _{1},\tau ^{2}\omega _{2})$ और उनके नकारात्मक।

मौलिक डोमेन के बंद होने में: $\tau =i$ और ${\textstyle \tau =e^{i\pi /3}.}$

यह भी देखें

• लैटिस के लिए और मौलिक जोड़ी के लिए कई वैकल्पिक संकेत मौजूद हैं, और अक्सर इसके स्थान पर उपयोग किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, नोम (गणित), दीर्घवृत्तीय मापांक, तिमाही अवधि और अर्ध-अवधि अनुपात पर लेख देखें।
• दीर्घवृत्तीय वक्र
• प्रतिरूपक रूप
• ईसेनस्टीन श्रृंखला

संदर्भ

• Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (1990), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97127-0 (See chapters 1 and 2.)
• Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X (See chapter 2.)