अवधियों की मूलभूत जोड़ी

गणित में, अवधियों की मौलिक जोड़ी जटिल संख्याओं की क्रमबद्ध जोड़ी है जो सम्मिश्र समतल में लैटिस (समूह) को परिभाषित करती है। इस प्रकार की लैटिस अंतर्निहित वस्तु है जिसके साथ अंडाकार कार्यों और मॉड्यूलर रूपों को परिभाषित किया जाता है।

मौलिक समांतर चतुर्भुज सम्मिश्र समतल में वैक्टर की एक जोड़ी द्वारा परिभाषित।

परिभाषा

अवधियों की एक मौलिक जोड़ी जटिल संख्याओं की एक जोड़ी है $\omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C}$ ऐसा है कि उनका अनुपात $\omega _{2}/\omega _{1}$ वास्तविक नहीं है। यदि वैक्टर के रूप में माना जाता है $\mathbb {R} ^{2}$, दोनों रैखिक रूप से स्वतंत्र नहीं हैं। द्वारा उत्पन्न लैटिस $\omega _{1}$ और $\omega _{2}$ है

$\Lambda =\left\{m\omega _{1}+n\omega _{2}\mid m,n\in \mathbb {Z} \right\}.$

इस लैटिस को कभी-कभी निरूपित भी किया जाता है $\Lambda (\omega _{1},\omega _{2})$ स्पष्ट करने के लिए कि यह पर निर्भर करता है $\omega _{1}$ और $\omega _{2}.$ इसे कभी-कभी द्वारा भी निरूपित किया जाता है $\Omega {\vphantom {(}}$ या $\Omega (\omega _{1},\omega _{2}),$ या बस द्वारा $(\omega _{1},\omega _{2}).$ दो जनरेटर $\omega _{1}$ और $\omega _{2}$ लैटिस आधार कहा जाता है। शीर्षों वाला समांतर चतुर्भुज $(0,\omega _{1},\omega _{1}+\omega _{2},\omega _{2})$ मौलिक समांतर चतुर्भुज कहा जाता है।

जबकि एक मौलिक जोड़ी एक लैटिस उत्पन्न करती है, एक लैटिस में कोई अद्वितीय मौलिक जोड़ी नहीं होती है; वास्तव में, मौलिक युग्मों की अनंत संख्या एक ही जालक के अनुरूप होती है।

बीजगणितीय गुण

नीचे सूचीबद्ध कई गुण देखे जा सकते हैं।

समानता

अवधियों द्वारा फैला एक लैटिस ω₁ और ω₂, अवधियों की एक समतुल्य जोड़ी दिखा रहा है α₁ और α₂.

जटिल संख्याओं के दो जोड़े $(\omega _{1},\omega _{2})$ और $(\alpha _{1},\alpha _{2})$ तुल्यता संबंध कहलाते हैं यदि वे समान लैटिस उत्पन्न करते हैं: अर्थात, यदि $\Lambda (\omega _{1},\omega _{2})=\Lambda (\alpha _{1},\alpha _{2}).$

कोई आंतरिक बिंदु नहीं

मौलिक समांतर चतुर्भुज के आंतरिक या सीमा में आगे कोई लैटिस बिंदु नहीं है। इसके विपरीत, इस संपत्ति के साथ लैटिस बिंदुओं की कोई भी जोड़ी एक मौलिक जोड़ी बनाती है, और इसके अलावा, वे एक ही लैटिस उत्पन्न करते हैं।

मॉड्यूलर समरूपता

दो जोड़े $(\omega _{1},\omega _{2})$ और $(\alpha _{1},\alpha _{2})$ समतुल्य हैं अगर और केवल अगर मौजूद है 2 × 2 आव्यूह ${\textstyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$ पूर्णांक प्रविष्टियों के साथ $a,$ $b,$ $c,$ और $d$ और निर्धारक $ad-bc=\pm 1$ ऐसा है कि

${\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\alpha _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\end{pmatrix}},$

वह है, ताकि

${\begin{aligned}\alpha _{1}=a\omega _{1}+b\omega _{2},\\[5mu]\alpha _{2}=c\omega _{1}+d\omega _{2}.\end{aligned}}$

यह मैट्रिक्स मॉड्यूलर समूह से संबंधित है $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} ).$ लैटिस के इस तुल्यता को अण्डाकार कार्यों (विशेष रूप से वीयरस्ट्रैस अण्डाकार समारोह) और मॉड्यूलर रूपों के कई गुणों के अंतर्निहित के रूप में माना जा सकता है।

सामयिक गुण

एबेलियन समूह $\mathbb {Z} ^{2}$ जटिल तल को मौलिक समांतर चतुर्भुज में मैप करता है। यानी हर बिंदु $z\in \mathbb {C}$ रूप में लिखा जा सकता है $z=p+m\omega _{1}+n\omega _{2}$ पूर्णांकों के लिए $m,n$ एक बिंदु के साथ $p$ मौलिक समांतर चतुर्भुज में।

चूंकि यह मैपिंग समांतर चतुर्भुज के विपरीत पक्षों को समान होने के रूप में पहचानती है, मौलिक समांतर चतुर्भुज में एक टोरस्र्स की टोपोलॉजी होती है। समान रूप से, एक कहता है कि भागफल कई गुना है $\mathbb {C} /\Lambda$ एक टोरस है।

मौलिक क्षेत्र

ग्रे विहित मौलिक डोमेन को दर्शाता है।

परिभाषित करना $\tau =\omega _{2}/\omega _{1}$ अर्ध-अवधि अनुपात होना। फिर लैटिस के आधार को हमेशा चुना जा सकता है ताकि $\tau$ एक विशेष क्षेत्र में निहित है, जिसे मौलिक डोमेन कहा जाता है। वैकल्पिक रूप से, प्रक्षेपी रैखिक समूह का एक तत्व हमेशा मौजूद होता है $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ जो एक लैटिस आधार को दूसरे आधार पर मैप करता है ताकि $\tau$ मौलिक डोमेन में है।

मौलिक डोमेन सेट द्वारा दिया जाता है $D,$ जो एक सेट से बना है $U$ प्लस की सीमा का एक हिस्सा $U$:

$U=\left\{z\in H:\left|z\right|>1,\,\left|\operatorname {Re} (z)\right|<{\tfrac {1}{2}}\right\}.$

कहाँ $H$ ऊपरी आधा विमान है।

मौलिक डोमेन $D$ फिर बाईं ओर की सीमा और तल पर आधे चाप को जोड़कर बनाया गया है:

$D=U\cup \left\{z\in H:\left|z\right|\geq 1,\,\operatorname {Re} (z)=-{\tfrac {1}{2}}\right\}\cup \left\{z\in H:\left|z\right|=1,\,\operatorname {Re} (z)\leq 0\right\}.$

तीन मामले संबंधित हैं:

• अगर $\tau \neq i$ और ${\textstyle \tau \neq e^{i\pi /3}}$, तो ठीक उसी के साथ दो जालीदार आधार हैं $\tau$ मौलिक क्षेत्र में: $(\omega _{1},\omega _{2})$ और $(-\omega _{1},-\omega _{2}).$ * अगर $\tau =i$, तो चार लैटिस आधार समान हैं $\tau$: उपरोक्त दो $(\omega _{1},\omega _{2})$, $(-\omega _{1},-\omega _{2})$ और $(i\omega _{1},i\omega _{2})$, $(-i\omega _{1},-i\omega _{2}).$ * अगर ${\textstyle \tau =e^{i\pi /3}}$, तो उसी के साथ छह जालीदार आधार हैं $\tau$: $(\omega _{1},\omega _{2})$, $(\tau \omega _{1},\tau \omega _{2})$, $(\tau ^{2}\omega _{1},\tau ^{2}\omega _{2})$ और उनके नकारात्मक।

मौलिक डोमेन के बंद होने में: $\tau =i$ और ${\textstyle \tau =e^{i\pi /3}.}$

यह भी देखें

• लैटिस के लिए और मौलिक जोड़ी के लिए कई वैकल्पिक संकेत मौजूद हैं, और अक्सर इसके स्थान पर उपयोग किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, नोम (गणित), अण्डाकार मापांक, तिमाही अवधि और अर्ध-अवधि अनुपात पर लेख देखें।
• अण्डाकार वक्र
• मॉड्यूलर रूप
• ईसेनस्टीन श्रृंखला

संदर्भ

• Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (1990), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97127-0 (See chapters 1 and 2.)
• Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X (See chapter 2.)