कार्यात्मक व्युत्पन्न: Difference between revisions
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विविधताओं की कलन में, [[गणितीय विश्लेषण]] का क्षेत्र, कार्यात्मक व्युत्पन्न (या परिवर्तनशील व्युत्पन्न)<ref name="GiaquintaHildebrandtP18">{{harv|Giaquinta|Hildebrandt|1996|p=18}}</ref> [[कार्यात्मक (गणित)]] में परिवर्तन से संबंधित है (इस अर्थ में कार्यात्मक व्युत्पन्न है जो कार्यों पर कार्य करता है) [[कार्य]] में परिवर्तन के लिए जिस पर कार्यात्मक निर्भर करता है। | विविधताओं की कलन में, [[गणितीय विश्लेषण]] का क्षेत्र, कार्यात्मक व्युत्पन्न (या परिवर्तनशील व्युत्पन्न)<ref name="GiaquintaHildebrandtP18">{{harv|Giaquinta|Hildebrandt|1996|p=18}}</ref> [[कार्यात्मक (गणित)]] में परिवर्तन से संबंधित है (इस अर्थ में कार्यात्मक व्युत्पन्न है जो कार्यों पर कार्य करता है) [[कार्य]] में परिवर्तन के लिए जिस पर कार्यात्मक निर्भर करता है। | ||
विविधताओं की गणना में, प्रकार्यों को सामान्यतः कार्यों के [[समाकलक (इंटीग्रेटर)|समाकलक]], उनके कार्य के [[तर्क]] और उनके [[ यौगिक |यौगिक]] के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है। समाकलन | विविधताओं की गणना में, प्रकार्यों को सामान्यतः कार्यों के [[समाकलक (इंटीग्रेटर)|समाकलक]], उनके कार्य के [[तर्क]] और उनके [[ यौगिक |यौगिक]] के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है। समाकलन में कार्यात्मक ''L'' , यदि कोई कार्य {{math|''f''}} इसमें और व्युत्पन्न {{math|''δf''}} जोड़कर भिन्न होता है जो अव्यवस्थित रूप से छोटा है और परिणामी {{math|''δf''}}, का समाकलन की शक्तियों में विस्तार किया गया है पहले क्रम की अवधि में {{math|''δf''}} के गुणांक को कार्यात्मक व्युत्पन्न कहा जाता है। | ||
उदाहरण के लिए, कार्यात्मक पर विचार करें<math display="block"> J[f] = \int_a^b L( \, x, f(x), f \, '(x) \, ) \, dx \ , </math>जहाँ {{math|''f'' ′(''x'') ≡ ''df/dx''}}. यदि {{math|''f''}} | उदाहरण के लिए, कार्यात्मक पर विचार करें<math display="block"> J[f] = \int_a^b L( \, x, f(x), f \, '(x) \, ) \, dx \ , </math>जहाँ {{math|''f'' ′(''x'') ≡ ''df/dx''}}. यदि {{math|''f''}} इसमें व्युत्पन्न जोड़कर {{math|''δf''}} भिन्न होता है और परिणामी समाकलन {{math|''L''(''x, f +δf, f '+δf'' ′)}} की शक्तियों में विस्तारित {{math|''δf''}} है, जब {{math|''δf''}} में {{math|''J''}} के पहले क्रम के मान में परिवर्तन निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है। <ref name="GiaquintaHildebrandtP18" /><ref group="Note">According to {{Harvp|Giaquinta|Hildebrandt|1996|p=18}}, this notation is customary in [[Physics|physical]] literature.</ref><math display="block"> \delta J = \int_a^b \left( \frac{\partial L}{\partial f} \delta f(x) + \frac{\partial L}{\partial f'} \frac{d}{dx} \delta f(x) \right) \, dx \, = \int_a^b \left( \frac{\partial L}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial L}{\partial f'} \right) \delta f(x) \, dx \, + \, \frac{\partial L}{\partial f'} (b) \delta f(b) \, - \, \frac{\partial L}{\partial f'} (a) \delta f(a) \, </math> | ||
जहां व्युत्पन्न में भिन्नता, {{math|''δf'' ′}} को भिन्नता के व्युत्पन्न के रूप में फिर से {{math|(''δf'') ′}} लिखा गया था, और [[भागों द्वारा एकीकरण|भागों द्वारा समाकलन]] का उपयोग किया गया था। | जहां व्युत्पन्न में भिन्नता, {{math|''δf'' ′}} को भिन्नता के व्युत्पन्न के रूप में फिर से {{math|(''δf'') ′}} लिखा गया था, और [[भागों द्वारा एकीकरण|भागों द्वारा समाकलन]] का उपयोग किया गया था। | ||
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=== कार्यात्मक व्युत्पन्न === | === कार्यात्मक व्युत्पन्न === | ||
[[कई गुना]] दिया {{math|''M''}} | [[कई गुना]] दिया {{math|''M''}} का प्रतिनिधित्व (निरंतर/चिकनी) कार्य {{math|''ρ''}} करता है (कुछ सीमा स्थितियों आदि के साथ), और कार्यात्मक (गणित) {{math|''F''}} के रूप में परिभाषित<math display="block">F\colon M \to \mathbb{R} \quad \text{or} \quad F\colon M \to \mathbb{C} \, ,</math>{{math|''F''[''ρ'']}} का कार्यात्मक व्युत्पन्न, निरूपित {{math|''δF''/''δρ''}} द्वारा परिभाषित किया गया है<ref name="ParrYangP246A.2">{{harv|Parr|Yang|1989|loc= p. 246, Eq. A.2}}.</ref><math display="block">\begin{align} | ||
\int \frac{\delta F}{\delta\rho}(x) \phi(x) \; dx | \int \frac{\delta F}{\delta\rho}(x) \phi(x) \; dx | ||
&= \lim_{\varepsilon\to 0}\frac{F[\rho+\varepsilon \phi]-F[\rho]}{\varepsilon} \\ | &= \lim_{\varepsilon\to 0}\frac{F[\rho+\varepsilon \phi]-F[\rho]}{\varepsilon} \\ | ||
&= \left [ \frac{d}{d\varepsilon}F[\rho+\varepsilon \phi]\right ]_{\varepsilon=0}, | &= \left [ \frac{d}{d\varepsilon}F[\rho+\varepsilon \phi]\right ]_{\varepsilon=0}, | ||
\end{align}</math>जहाँ <math>\phi</math> एकपक्षीय | \end{align}</math>जहाँ <math>\phi</math> एकपक्षीय कार्य है। मात्रा <math>\varepsilon\phi</math> को {{math|''ρ''}} की भिन्नता कहा जाता है। दूसरे शब्दों में,<math display="block">\phi \mapsto \left [ \frac{d}{d\varepsilon}F[\rho+\varepsilon \phi]\right ]_{\varepsilon=0}</math>रेखीय कार्यात्मक है,इसलिए कोई भी उपाय के विरुद्ध समाकलन के रूप में इस कार्यात्मक का प्रतिनिधित्व करने के लिए [[रिज-मार्कोव-काकुटानी प्रतिनिधित्व प्रमेय]] लागू कर सकता है। | ||
तब {{math|''δF''/''δρ''}} को इस उपाय के [[रेडॉन-निकोडिम]] व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है। | तब {{math|''δF''/''δρ''}} को इस उपाय के [[रेडॉन-निकोडिम]] व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है। | ||
एक व्यक्ति कार्य {{math|''δF''/''δρ''}} को {{math|''F''}} बिंदु पर {{math|''ρ''}} | एक व्यक्ति कार्य {{math|''δF''/''δρ''}} को {{math|''F''}} बिंदु पर {{math|''ρ''}} प्रवणता के रूप में सोचता है (अर्थात, कितना कार्यात्मक {{math|''F''}} बदल जाएगा यदि कार्य {{math|''ρ''}} बिंदु {{math|''x''}} पर बदल जाता है ) और<math display="block">\int \frac{\delta F}{\delta\rho}(x) \phi(x) \; dx</math>बिंदु {{math|''ρ''}} पर {{math|''ϕ''}} दिशात्मक व्युत्पन्न के रूप में कम है। फिर सदिश कलन के अनुरूप, आंतरिक उत्पाद ढाल के साथ दिशात्मक व्युत्पन्न देता है। | ||
=== कार्यात्मक अंतर === | === कार्यात्मक अंतर === | ||
कार्यात्मक <math>F\left[\rho\right]</math> का अंतर भिन्नता या पहली भिन्नता | कार्यात्मक <math>F\left[\rho\right]</math> का अंतर भिन्नता या पहली भिन्नता है। <ref name=ParrYangP246A.1>{{harv|Parr|Yang|1989|loc= p. 246, Eq. A.1}}.</ref> <ref group="Note">में अंतर कहलाता है {{harv|Parr|Yang|1989|p=246}}, भिन्नता या पहली भिन्नता {{harv|Courant|Hilbert|1953|p=186}}, और भिन्नता या अंतर {{harv|Gelfand|Fomin|2000|loc= p. 11, § 3.2}}.</रेफरी> | ||
<math display="block">\delta F [\rho; \phi] = \int \frac {\delta F} {\delta \rho}(x) \ \phi(x) \ dx \ .</math> | <math display="block">\delta F [\rho; \phi] = \int \frac {\delta F} {\delta \rho}(x) \ \phi(x) \ dx \ .</math> | ||
अनुमान के अनुसार, <math>\phi</math> में परिवर्तन है <math>\rho</math>, तो हमारे पास 'औपचारिक' है <math>\phi = \delta\rho</math>, और फिर यह एक फ़ंक्शन के [[कुल अंतर]] के रूप में समान है <math>F(\rho_1,\rho_2,\dots,\rho_n)</math>, | अनुमान के अनुसार, <math>\phi</math> में परिवर्तन है <math>\rho</math>, तो हमारे पास 'औपचारिक' है <math>\phi = \delta\rho</math>, और फिर यह एक फ़ंक्शन के [[कुल अंतर]] के रूप में समान है <math>F(\rho_1,\rho_2,\dots,\rho_n)</math>, | ||
Line 27: | Line 27: | ||
पिछले दो समीकरणों की तुलना, कार्यात्मक व्युत्पन्न <math>\delta F/\delta\rho(x)</math> आंशिक व्युत्पन्न के समान भूमिका है <math>\partial F/\partial\rho_i</math>, जहां एकीकरण का चर <math>x</math> सारांश सूचकांक के एक सतत संस्करण की तरह है <math>i</math>.<nowiki><ref name=ParrYangP246></nowiki>{{harv|Parr|Yang|1989|p=246}}.</ref> | पिछले दो समीकरणों की तुलना, कार्यात्मक व्युत्पन्न <math>\delta F/\delta\rho(x)</math> आंशिक व्युत्पन्न के समान भूमिका है <math>\partial F/\partial\rho_i</math>, जहां एकीकरण का चर <math>x</math> सारांश सूचकांक के एक सतत संस्करण की तरह है <math>i</math>.<nowiki><ref name=ParrYangP246></nowiki>{{harv|Parr|Yang|1989|p=246}}.</ref> | ||
== गुण == | == गुण == | ||
किसी कार्य | किसी कार्य के व्युत्पन्न की तरह, कार्यात्मक व्युत्पन्न निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है, जहां {{math|''F''[''ρ'']}} और {{math|''G''[''ρ'']}} कार्यात्मक हैं:<ref group="Note"> | ||
Here the notation | Here the notation | ||
<math display="block">\frac{\delta{F}}{\delta\rho}(x) \equiv \frac{\delta{F}}{\delta\rho(x)}</math> | <math display="block">\frac{\delta{F}}{\delta\rho}(x) \equiv \frac{\delta{F}}{\delta\rho(x)}</math> | ||
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* उत्पाद नियम:<ref name=ParrYangP247A.4>{{harv|Parr|Yang|1989|loc= p. 247, Eq. A.4}}.</ref> <math display="block">\frac{\delta(FG)[\rho]}{\delta \rho(x)} = \frac{\delta F[\rho]}{\delta \rho(x)} G[\rho] + F[\rho] \frac{\delta G[\rho]}{\delta \rho(x)} \, , </math> | * उत्पाद नियम:<ref name=ParrYangP247A.4>{{harv|Parr|Yang|1989|loc= p. 247, Eq. A.4}}.</ref> <math display="block">\frac{\delta(FG)[\rho]}{\delta \rho(x)} = \frac{\delta F[\rho]}{\delta \rho(x)} G[\rho] + F[\rho] \frac{\delta G[\rho]}{\delta \rho(x)} \, , </math> | ||
* श्रृंखला नियम: | * श्रृंखला नियम: | ||
**यदि {{math|''F''}} | **यदि {{math|''F''}} और {{math|''G''}} कार्यात्मक है, फिर<ref>{{harv|Greiner|Reinhardt|1996|loc=p. 38, Eq. 6}}.</ref> <math display="block">\frac{\delta F[G[\rho]] }{\delta\rho(y)} = \int dx \frac{\delta F[G]}{\delta G(x)}_{G = G[\rho]}\cdot\frac {\delta G[\rho](x)} {\delta\rho(y)} \ . </math> | ||
**यदि {{math|''G''}} अवकलनीय फलन (स्थानीय फलन) {{math|''g''}} है, तो यह कम हो जाता है<ref>{{harv|Greiner|Reinhardt|1996|loc=p. 38, Eq. 7}}.</ref> <math display="block">\frac{\delta F[g(\rho)] }{\delta\rho(y)} = \frac{\delta F[g(\rho)]}{\delta g[\rho(y) ]} \ \frac {dg(\rho)} {d\rho(y)} \ . </math> | **यदि {{math|''G''}} अवकलनीय फलन (स्थानीय फलन) {{math|''g''}} है, तो यह कम हो जाता है<ref>{{harv|Greiner|Reinhardt|1996|loc=p. 38, Eq. 7}}.</ref> <math display="block">\frac{\delta F[g(\rho)] }{\delta\rho(y)} = \frac{\delta F[g(\rho)]}{\delta g[\rho(y) ]} \ \frac {dg(\rho)} {d\rho(y)} \ . </math> | ||
== कार्यात्मक व्युत्पन्न का निर्धारण == | == कार्यात्मक व्युत्पन्न का निर्धारण == | ||
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[[कुल व्युत्पन्न]] का उपयोग करके दूसरी पंक्ति प्राप्त की जाती है, जहाँ {{math|''∂f'' /''∂∇''''ρ''}} | [[कुल व्युत्पन्न]] का उपयोग करके दूसरी पंक्ति प्राप्त की जाती है, जहाँ {{math|''∂f'' /''∂∇''''ρ''}} सदिश के संबंध में अदिश का व्युत्पन्न है।<ref group="Note">For a three-dimensional Cartesian coordinate system, | ||
<math display="block">\frac{\partial f}{\partial\nabla\rho} = \frac{\partial f}{\partial\rho_x} \mathbf{\hat{i}} + \frac{\partial f}{\partial\rho_y} \mathbf{\hat{j}} + \frac{\partial f}{\partial\rho_z} \mathbf{\hat{k}}\, ,</math> | <math display="block">\frac{\partial f}{\partial\nabla\rho} = \frac{\partial f}{\partial\rho_x} \mathbf{\hat{i}} + \frac{\partial f}{\partial\rho_y} \mathbf{\hat{j}} + \frac{\partial f}{\partial\rho_z} \mathbf{\hat{k}}\, ,</math> | ||
where <math>\rho_x = \frac{\partial \rho}{\partial x}\, , \ \rho_y = \frac{\partial \rho}{\partial y}\, , \ \rho_z = \frac{\partial \rho}{\partial z}</math> and <math>\mathbf{\hat{i}}</math>, <math>\mathbf{\hat{j}}</math>, <math>\mathbf{\hat{k}}</math> are unit vectors along the x, y, z axes.</ref> | where <math>\rho_x = \frac{\partial \rho}{\partial x}\, , \ \rho_y = \frac{\partial \rho}{\partial y}\, , \ \rho_z = \frac{\partial \rho}{\partial z}</math> and <math>\mathbf{\hat{i}}</math>, <math>\mathbf{\hat{j}}</math>, <math>\mathbf{\hat{k}}</math> are unit vectors along the x, y, z axes.</ref> | ||
[[विचलन]] के लिए उत्पाद नियम गुण के उपयोग से तीसरी पंक्ति प्राप्त की गई थी। [[विचलन प्रमेय]] का उपयोग करके चौथी पंक्ति प्राप्त की गई थी और शर्त यह है कि समाकलन के क्षेत्र की सीमा पर ϕ = 0। {{math|1=''ϕ'' = 0}} । तब से {{math|''ϕ''}} भी एकपक्षीय कार्य है, भिन्नताओं की कलन की मौलिक लेम्मा को अंतिम पंक्ति में लागू करना, कार्यात्मक व्युत्पन्न है<math display="block">\frac{\delta F}{\delta\rho(\boldsymbol{r})} = \frac{\partial f}{\partial\rho} - \nabla \cdot \frac{\partial f}{\partial\nabla\rho} </math>जहाँ {{math|1=''ρ'' = ''ρ''('''''r''''')}} और {{math|1=''f'' = ''f'' ('''''r''''', ''ρ'', ∇''ρ'')}}. यह सूत्र द्वारा दिए गए कार्यात्मक रूप के {{math|''F''[''ρ'']}} स्थितियों के लिए है। | [[विचलन]] के लिए उत्पाद नियम गुण के उपयोग से तीसरी पंक्ति प्राप्त की गई थी। [[विचलन प्रमेय]] का उपयोग करके चौथी पंक्ति प्राप्त की गई थी और शर्त यह है कि समाकलन के क्षेत्र की सीमा पर ϕ = 0। {{math|1=''ϕ'' = 0}} । तब से {{math|''ϕ''}} भी एकपक्षीय कार्य है, भिन्नताओं की कलन की मौलिक लेम्मा को अंतिम पंक्ति में लागू करना, कार्यात्मक व्युत्पन्न है<math display="block">\frac{\delta F}{\delta\rho(\boldsymbol{r})} = \frac{\partial f}{\partial\rho} - \nabla \cdot \frac{\partial f}{\partial\nabla\rho} </math>जहाँ {{math|1=''ρ'' = ''ρ''('''''r''''')}} और {{math|1=''f'' = ''f'' ('''''r''''', ''ρ'', ∇''ρ'')}}. यह सूत्र द्वारा दिए गए कार्यात्मक रूप के {{math|''F''[''ρ'']}} स्थितियों के लिए है। इस खंड की प्रारंभिक में अन्य कार्यात्मक रूपों के लिए, कार्यात्मक व्युत्पन्न की परिभाषा को इसके निर्धारण के लिए प्रारंभिक बिंदु के रूप में उपयोग किया जा सकता है। (कार्यात्मक व्युत्पन्न कूलम्ब स्थितिज ऊर्जा कार्यात्मक उदाहरण देखें।) कार्यात्मक व्युत्पन्न के लिए उपरोक्त समीकरण को उस स्थितियों में सामान्यीकृत किया जा सकता है जिसमें उच्च आयाम और उच्च आदेश व्युत्पन्न सम्मलित हैं। कार्यात्मक होगा,<math display="block">F[\rho(\boldsymbol{r})] = \int f( \boldsymbol{r}, \rho(\boldsymbol{r}), \nabla\rho(\boldsymbol{r}), \nabla^{(2)}\rho(\boldsymbol{r}), \dots, \nabla^{(N)}\rho(\boldsymbol{r}))\, d\boldsymbol{r},</math>जहां सदिश {{math|'''''r''''' ∈ '''R'''<sup>''n''</sup>}}, और {{math|∇<sup>(''i'')</sup>}} टेन्सर है जिसका {{math|''n<sup>i</sup>''}} घटक क्रम {{math|''i''}} के आंशिक व्युत्पन्न संक्रियक हैं ,<math display="block"> \left [ \nabla^{(i)} \right ]_{\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_i} = \frac {\partial^{\, i}} {\partial r_{\alpha_1} \partial r_{\alpha_2} \cdots \partial r_{\alpha_i} } \qquad \qquad \text{where} \quad \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_i = 1, 2, \cdots , n \ . </math><ref group="Note">For example, for the case of three dimensions ({{math|1=''n'' = 3}}) and second order derivatives ({{math|1=''i'' = 2}}), the tensor {{math|∇<sup>(2)</sup>}} has components, | ||
<math display="block"> \left [ \nabla^{(2)} \right ]_{\alpha \beta} = \frac {\partial^{\,2}} {\partial r_{\alpha} \, \partial r_{\beta}} \qquad \qquad \text{where} \quad \alpha, \beta = 1, 2, 3 \, . </math></ref> कार्यात्मक व्युत्पन्न उपज की परिभाषा का समान अनुप्रयोग<math display="block">\begin{align} | <math display="block"> \left [ \nabla^{(2)} \right ]_{\alpha \beta} = \frac {\partial^{\,2}} {\partial r_{\alpha} \, \partial r_{\beta}} \qquad \qquad \text{where} \quad \alpha, \beta = 1, 2, 3 \, . </math></ref> कार्यात्मक व्युत्पन्न उपज की परिभाषा का समान अनुप्रयोग<math display="block">\begin{align} | ||
\frac{\delta F[\rho]}{\delta \rho} &{} = \frac{\partial f}{\partial\rho} - \nabla \cdot \frac{\partial f}{\partial(\nabla\rho)} + \nabla^{(2)} \cdot \frac{\partial f}{\partial\left(\nabla^{(2)}\rho\right)} + \dots + (-1)^N \nabla^{(N)} \cdot \frac{\partial f}{\partial\left(\nabla^{(N)}\rho\right)} \\ | \frac{\delta F[\rho]}{\delta \rho} &{} = \frac{\partial f}{\partial\rho} - \nabla \cdot \frac{\partial f}{\partial(\nabla\rho)} + \nabla^{(2)} \cdot \frac{\partial f}{\partial\left(\nabla^{(2)}\rho\right)} + \dots + (-1)^N \nabla^{(N)} \cdot \frac{\partial f}{\partial\left(\nabla^{(N)}\rho\right)} \\ | ||
Line 65: | Line 65: | ||
====थॉमस-फर्मी गतिज ऊर्जा क्रियात्मक==== | ====थॉमस-फर्मी गतिज ऊर्जा क्रियात्मक==== | ||
1927 के थॉमस-फर्मी मॉडल ने इलेक्ट्रॉनिक संरचना के घनत्व-कार्यात्मक सिद्धांत के पहले प्रयास में गैर-बाधित समान [[मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल]] के लिए कार्यात्मक गतिज ऊर्जा का उपयोग किया:<math display="block">T_\mathrm{TF}[\rho] = C_\mathrm{F} \int \rho^{5/3}(\mathbf{r}) \, d\mathbf{r} \, .</math>चूँकि | 1927 के थॉमस-फर्मी मॉडल ने इलेक्ट्रॉनिक संरचना के घनत्व-कार्यात्मक सिद्धांत के पहले प्रयास में गैर-बाधित समान [[मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल]] के लिए कार्यात्मक गतिज ऊर्जा का उपयोग किया:<math display="block">T_\mathrm{TF}[\rho] = C_\mathrm{F} \int \rho^{5/3}(\mathbf{r}) \, d\mathbf{r} \, .</math>चूँकि {{math|''T''<sub>TF</sub>[''ρ'']}} के समाकलन में {{math|''ρ''('''''r''''')}} का व्युत्पन्न सम्मलित नहीं है , {{math|''T''<sub>TF</sub>[''ρ'']}} का कार्यात्मक व्युत्पन्न है,<ref name="ParrYangP247A.6">{{harv|Parr|Yang|1989|loc=p. 247, Eq. A.6}}.</ref><math display="block">\begin{align} | ||
\frac{\delta T_{\mathrm{TF}}}{\delta \rho (\boldsymbol{r}) } | \frac{\delta T_{\mathrm{TF}}}{\delta \rho (\boldsymbol{r}) } | ||
& = C_\mathrm{F} \frac{\partial \rho^{5/3}(\mathbf{r})}{\partial \rho(\mathbf{r})} \\ | & = C_\mathrm{F} \frac{\partial \rho^{5/3}(\mathbf{r})}{\partial \rho(\mathbf{r})} \\ | ||
Line 81: | Line 81: | ||
& {} = \left [ \frac {d \ }{d\epsilon} \, \left ( \frac{1}{2}\iint \frac {[\rho(\boldsymbol{r}) + \epsilon \phi(\boldsymbol{r})] \, [\rho(\boldsymbol{r}') + \epsilon \phi(\boldsymbol{r}')] }{| \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}' |}\, d\boldsymbol{r} d\boldsymbol{r}' \right ) \right ]_{\epsilon = 0} \\ | & {} = \left [ \frac {d \ }{d\epsilon} \, \left ( \frac{1}{2}\iint \frac {[\rho(\boldsymbol{r}) + \epsilon \phi(\boldsymbol{r})] \, [\rho(\boldsymbol{r}') + \epsilon \phi(\boldsymbol{r}')] }{| \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}' |}\, d\boldsymbol{r} d\boldsymbol{r}' \right ) \right ]_{\epsilon = 0} \\ | ||
& {} = \frac{1}{2}\iint \frac {\rho(\boldsymbol{r}') \phi(\boldsymbol{r}) }{| \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}' |}\, d\boldsymbol{r} d\boldsymbol{r}' + \frac{1}{2}\iint \frac {\rho(\boldsymbol{r}) \phi(\boldsymbol{r}') }{| \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}' |}\, d\boldsymbol{r} d\boldsymbol{r}' \\ | & {} = \frac{1}{2}\iint \frac {\rho(\boldsymbol{r}') \phi(\boldsymbol{r}) }{| \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}' |}\, d\boldsymbol{r} d\boldsymbol{r}' + \frac{1}{2}\iint \frac {\rho(\boldsymbol{r}) \phi(\boldsymbol{r}') }{| \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}' |}\, d\boldsymbol{r} d\boldsymbol{r}' \\ | ||
\end{align}</math>अंतिम समीकरण के दाहिने हाथ की ओर पहला और दूसरा पद बराबर हैं, | \end{align}</math>अंतिम समीकरण के दाहिने हाथ की ओर पहला और दूसरा पद बराबर हैं, क्योंकि दूसरे पद में {{math|'''''r'''''}} और {{math|'''''r′'''''}} को समाकल के मान को बदले बिना आपस में बदला जा सकता है। इसलिए,<math display="block"> \int \frac{\delta J}{\delta\rho(\boldsymbol{r})} \phi(\boldsymbol{r})d\boldsymbol{r} = \int \left ( \int \frac {\rho(\boldsymbol{r}') }{| \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}' |} d\boldsymbol{r}' \right ) \phi(\boldsymbol{r}) d\boldsymbol{r} </math>और इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन कूलॉम का कार्यात्मक व्युत्पन्न स्थितिज ऊर्जा कार्यात्मक {''J''}[ρ] है,<ref name="ParrYangP248A.11">{{harv|Parr|Yang|1989|loc=p. 248, Eq. A.11}}.</ref><math display="block"> \frac{\delta J}{\delta\rho(\boldsymbol{r})} = \int \frac {\rho(\boldsymbol{r}') }{| \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}' |} d\boldsymbol{r}' \, . </math>दूसरा कार्यात्मक व्युत्पन्न है<math display="block">\frac{\delta^2 J[\rho]}{\delta \rho(\mathbf{r}')\delta\rho(\mathbf{r})} = \frac{\partial}{\partial \rho(\mathbf{r}')} \left ( \frac{\rho(\mathbf{r}')}{| \mathbf{r}-\mathbf{r}' |} \right ) = \frac{1}{| \mathbf{r}-\mathbf{r}' |}.</math> | ||
====वेइज़ेकर गतिज ऊर्जा कार्यात्मक==== | ====वेइज़ेकर गतिज ऊर्जा कार्यात्मक==== | ||
1935 में कार्ल फ्रेडरिक वॉन वेइज़ेकर ने थॉमस-फर्मी गतिज ऊर्जा कार्यात्मक में क्रमिक सुधार जोड़ने का प्रस्ताव दिया जिससे कि इसे आणविक इलेक्ट्रॉन बादल के लिए उचित | 1935 में कार्ल फ्रेडरिक वॉन वेइज़ेकर ने थॉमस-फर्मी गतिज ऊर्जा कार्यात्मक में क्रमिक सुधार जोड़ने का प्रस्ताव दिया जिससे कि इसे आणविक इलेक्ट्रॉन बादल के लिए उचित बनाया जा सके:<math display="block">T_\mathrm{W}[\rho] = \frac{1}{8} \int \frac{\nabla\rho(\mathbf{r}) \cdot \nabla\rho(\mathbf{r})}{ \rho(\mathbf{r}) } d\mathbf{r} = \int t_\mathrm{W} \ d\mathbf{r} \, ,</math>जहाँ<math display="block"> t_\mathrm{W} \equiv \frac{1}{8} \frac{\nabla\rho \cdot \nabla\rho}{ \rho } \qquad \text{and} \ \ \rho = \rho(\boldsymbol{r}) \ . </math>कार्यात्मक व्युत्पन्न के लिए पहले से व्युत्पन्न कार्यात्मक व्युत्पन्न सूत्र का उपयोग करना,<math display="block">\begin{align} | ||
\frac{\delta T_\mathrm{W}}{\delta \rho(\boldsymbol{r})} | \frac{\delta T_\mathrm{W}}{\delta \rho(\boldsymbol{r})} | ||
& = \frac{\partial t_\mathrm{W}}{\partial \rho} - \nabla\cdot\frac{\partial t_\mathrm{W}}{\partial \nabla \rho} \\ | & = \frac{\partial t_\mathrm{W}}{\partial \rho} - \nabla\cdot\frac{\partial t_\mathrm{W}}{\partial \nabla \rho} \\ | ||
Line 136: | Line 136: | ||
== डेल्टा फलन का परीक्षण फलन के रूप में उपयोग करना == | == डेल्टा फलन का परीक्षण फलन के रूप में उपयोग करना == | ||
भौतिकी में, [[डिराक डेल्टा समारोह|डिराक डेल्टा]] फलन <math>\delta(x-y)</math> का उपयोग करना साधारण | भौतिकी में, [[डिराक डेल्टा समारोह|डिराक डेल्टा]] फलन <math>\delta(x-y)</math> का उपयोग करना साधारण है सामान्य परीक्षण फलन के स्थान पर <math>\phi(x)</math>, बिंदु पर कार्यात्मक व्युत्पन्न उपज के लिए <math>y</math> (यह संपूर्ण कार्यात्मक व्युत्पन्न का बिंदु है क्योंकि [[आंशिक व्युत्पन्न]] ढाल का घटक है):<ref>{{harvnb|Greiner|Reinhardt|1996|p=37}}</ref><math display="block">\frac{\delta F[\rho(x)]}{\delta \rho(y)}=\lim_{\varepsilon\to 0}\frac{F[\rho(x)+\varepsilon\delta(x-y)]-F[\rho(x)]}{\varepsilon}.</math> | ||
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Revision as of 11:15, 3 May 2023
विविधताओं की कलन में, गणितीय विश्लेषण का क्षेत्र, कार्यात्मक व्युत्पन्न (या परिवर्तनशील व्युत्पन्न)[1] कार्यात्मक (गणित) में परिवर्तन से संबंधित है (इस अर्थ में कार्यात्मक व्युत्पन्न है जो कार्यों पर कार्य करता है) कार्य में परिवर्तन के लिए जिस पर कार्यात्मक निर्भर करता है।
विविधताओं की गणना में, प्रकार्यों को सामान्यतः कार्यों के समाकलक, उनके कार्य के तर्क और उनके यौगिक के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है। समाकलन में कार्यात्मक L , यदि कोई कार्य f इसमें और व्युत्पन्न δf जोड़कर भिन्न होता है जो अव्यवस्थित रूप से छोटा है और परिणामी δf, का समाकलन की शक्तियों में विस्तार किया गया है पहले क्रम की अवधि में δf के गुणांक को कार्यात्मक व्युत्पन्न कहा जाता है।
उदाहरण के लिए, कार्यात्मक पर विचार करें
परिभाषा
इस खंड में, कार्यात्मक व्युत्पन्न परिभाषित किया गया है। फिर कार्यात्मक अंतर को कार्यात्मक व्युत्पन्न के संदर्भ में परिभाषित किया गया है।
कार्यात्मक व्युत्पन्न
कई गुना दिया M का प्रतिनिधित्व (निरंतर/चिकनी) कार्य ρ करता है (कुछ सीमा स्थितियों आदि के साथ), और कार्यात्मक (गणित) F के रूप में परिभाषित
एक व्यक्ति कार्य δF/δρ को F बिंदु पर ρ प्रवणता के रूप में सोचता है (अर्थात, कितना कार्यात्मक F बदल जाएगा यदि कार्य ρ बिंदु x पर बदल जाता है ) और
कार्यात्मक अंतर
कार्यात्मक का अंतर भिन्नता या पहली भिन्नता है। [3] [Note 2]
गुण
किसी कार्य के व्युत्पन्न की तरह, कार्यात्मक व्युत्पन्न निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है, जहां F[ρ] और G[ρ] कार्यात्मक हैं:[Note 3]
कार्यात्मक व्युत्पन्न का निर्धारण
कार्यात्मकताओं के सामान्य वर्ग के लिए कार्यात्मक व्युत्पन्न निर्धारित करने के लिए सूत्र के फलन और उसके व्युत्पन्न के समाकल के रूप में लिखा जा सकता है। यह यूलर-लैग्रेंज समीकरण का सामान्यीकरण है। वास्तव में, लैग्रैंगियन यांत्रिकी (18 वीं शताब्दी) में कम से कम कार्य के सिद्धांत से दूसरे प्रकार के जोसेफ-लुई लाग्रेंज समीकरण की व्युत्पत्ति के भीतर भौतिकी में कार्यात्मक व्युत्पन्न प्रस्तुत किया गया था। नीचे दिए गए पहले तीन उदाहरण घनत्व कार्यात्मक सिद्धांत (20वीं सदी) से लिए गए हैं, चौथे सांख्यिकीय यांत्रिकी (19वीं सदी) से लिए गए हैं।
सूत्र
कार्यात्मक दिया
कुल व्युत्पन्न का उपयोग करके दूसरी पंक्ति प्राप्त की जाती है, जहाँ ∂f /∂∇'ρ सदिश के संबंध में अदिश का व्युत्पन्न है।[Note 4] विचलन के लिए उत्पाद नियम गुण के उपयोग से तीसरी पंक्ति प्राप्त की गई थी। विचलन प्रमेय का उपयोग करके चौथी पंक्ति प्राप्त की गई थी और शर्त यह है कि समाकलन के क्षेत्र की सीमा पर ϕ = 0। ϕ = 0 । तब से ϕ भी एकपक्षीय कार्य है, भिन्नताओं की कलन की मौलिक लेम्मा को अंतिम पंक्ति में लागू करना, कार्यात्मक व्युत्पन्न है
उदाहरण
थॉमस-फर्मी गतिज ऊर्जा क्रियात्मक
1927 के थॉमस-फर्मी मॉडल ने इलेक्ट्रॉनिक संरचना के घनत्व-कार्यात्मक सिद्धांत के पहले प्रयास में गैर-बाधित समान मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल के लिए कार्यात्मक गतिज ऊर्जा का उपयोग किया:
कूलम्ब संभावित ऊर्जा कार्यात्मक
इलेक्ट्रॉन-नाभिक क्षमता के लिए, थॉमस और फर्मी ने कूलम्ब के नियम संभावित ऊर्जा कार्यात्मक को नियोजित किया
वेइज़ेकर गतिज ऊर्जा कार्यात्मक
1935 में कार्ल फ्रेडरिक वॉन वेइज़ेकर ने थॉमस-फर्मी गतिज ऊर्जा कार्यात्मक में क्रमिक सुधार जोड़ने का प्रस्ताव दिया जिससे कि इसे आणविक इलेक्ट्रॉन बादल के लिए उचित बनाया जा सके:
एंट्रॉपी
असतत यादृच्छिक चर की सूचना एन्ट्रापी संभाव्यता द्रव्यमान फलन का एक फलन है।
घातीय
होने देना
फलन के कार्यात्मक व्युत्पन्न
फलन के कार्यात्मक व्युत्पन्न की तरह समाकल के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए,
पुनरावृत्त फलन का कार्यात्मक व्युत्पन्न
पुनरावृत्त फलन का कार्यात्मक व्युत्पन्न द्वारा दिया गया है:
डेल्टा फलन का परीक्षण फलन के रूप में उपयोग करना
भौतिकी में, डिराक डेल्टा फलन का उपयोग करना साधारण है सामान्य परीक्षण फलन के स्थान पर , बिंदु पर कार्यात्मक व्युत्पन्न उपज के लिए (यह संपूर्ण कार्यात्मक व्युत्पन्न का बिंदु है क्योंकि आंशिक व्युत्पन्न ढाल का घटक है):[11]
यह उन स्थितियों में काम करता है जब औपचारिक रूप से श्रृंखला (या कम से कम पहले क्रम तक) के रूप में विस्तारित किया जा सकता है। सूत्र चूंकि गणितीय रूप से कठोर नहीं है, क्योंकि सामान्यतः परिभाषित भी नहीं किया जाता है।
पिछले खंड में दी गई परिभाषा ऐसे संबंध पर आधारित है जो सभी परीक्षण फलन के लिए है , तो कोई सोच सकता है कि इसे तब भी धारण करना चाहिए जब विशिष्ट कार्य के रूप में चुना जाता है जैसे कि डायराक डेल्टा फलन । चूँकि , बाद वाला वैध परीक्षण कार्य नहीं है (यह उचित कार्य भी नहीं है)।
परिभाषा में, कार्यात्मक व्युत्पन्न वर्णन करता है कि कैसे कार्यात्मक पूरे फलन में छोटे से परिवर्तन के परिणामस्वरूप परिवर्तन है। में परिवर्तन का विशेष रूप निर्दिष्ट नहीं है, किन्तु इसे पूरे अंतराल पर फैलाना चाहिए परिभाषित किया गया। डेल्टा व्युत्पन्न द्वारा दिए गए गड़बड़ी के विशेष रूप को नियोजित करने का अर्थ है केवल बिंदु में भिन्न है . इस बिंदु को छोड़कर इसमें कोई भिन्नता नहीं है।
टिप्पणियाँ
- ↑ According to Giaquinta & Hildebrandt (1996), p. 18, this notation is customary in physical literature.
- ↑ में अंतर कहलाता है (Parr & Yang 1989, p. 246), भिन्नता या पहली भिन्नता (Courant & Hilbert 1953, p. 186), और भिन्नता या अंतर (Gelfand & Fomin 2000, p. 11, § 3.2).</रेफरी>
अनुमान के अनुसार, में परिवर्तन है , तो हमारे पास 'औपचारिक' है , और फिर यह एक फ़ंक्शन के कुल अंतर के रूप में समान है ,कहाँ स्वतंत्र चर हैं। पिछले दो समीकरणों की तुलना, कार्यात्मक व्युत्पन्न आंशिक व्युत्पन्न के समान भूमिका है , जहां एकीकरण का चर सारांश सूचकांक के एक सतत संस्करण की तरह है .<ref name=ParrYangP246>(Parr & Yang 1989, p. 246).
- ↑
Here the notation
is introduced.
- ↑ For a three-dimensional Cartesian coordinate system,
where and , , are unit vectors along the x, y, z axes.
- ↑ For example, for the case of three dimensions (n = 3) and second order derivatives (i = 2), the tensor ∇(2) has components,
- ↑ For example, for the case n = 3 and i = 2, the tensor scalar product is,
फुटनोट्स
- ↑ 1.0 1.1 (Giaquinta & Hildebrandt 1996, p. 18)
- ↑ (Parr & Yang 1989, p. 246, Eq. A.2).
- ↑ (Parr & Yang 1989, p. 246, Eq. A.1).
- ↑ (Parr & Yang 1989, p. 247, Eq. A.3).
- ↑ (Parr & Yang 1989, p. 247, Eq. A.4).
- ↑ (Greiner & Reinhardt 1996, p. 38, Eq. 6).
- ↑ (Greiner & Reinhardt 1996, p. 38, Eq. 7).
- ↑ (Parr & Yang 1989, p. 247, Eq. A.6).
- ↑ (Parr & Yang 1989, p. 248, Eq. A.11).
- ↑ (Parr & Yang 1989, p. 247, Eq. A.9).
- ↑ Greiner & Reinhardt 1996, p. 37
संदर्भ
- Courant, Richard; Hilbert, David (1953). "Chapter IV. The Calculus of Variations". Methods of Mathematical Physics. Vol. I (First English ed.). New York, New York: Interscience Publishers, Inc. pp. 164–274. ISBN 978-0471504474. MR 0065391. Zbl 0001.00501..
- Frigyik, Béla A.; Srivastava, Santosh; Gupta, Maya R. (January 2008), Introduction to Functional Derivatives (PDF), UWEE Tech Report, vol. UWEETR-2008-0001, Seattle, WA: Department of Electrical Engineering at the University of Washington, p. 7, archived from the original (PDF) on 2017-02-17, retrieved 2013-10-23.
- Gelfand, I. M.; Fomin, S. V. (2000) [1963], Calculus of variations, translated and edited by Richard A. Silverman (Revised English ed.), Mineola, N.Y.: Dover Publications, ISBN 978-0486414485, MR 0160139, Zbl 0127.05402.
- Giaquinta, Mariano; Hildebrandt, Stefan (1996), Calculus of Variations 1. The Lagrangian Formalism, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 310 (1st ed.), Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-50625-X, MR 1368401, Zbl 0853.49001.
- Greiner, Walter; Reinhardt, Joachim (1996), "Section 2.3 – Functional derivatives", Field quantization, With a foreword by D. A. Bromley, Berlin–Heidelberg–New York: Springer-Verlag, pp. 36–38, ISBN 3-540-59179-6, MR 1383589, Zbl 0844.00006.
- Parr, R. G.; Yang, W. (1989). "Appendix A, Functionals". Density-Functional Theory of Atoms and Molecules. New York: Oxford University Press. pp. 246–254. ISBN 978-0195042795.
बाहरी संबंध
- "Functional derivative", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]