[[कुल व्युत्पन्न]] का उपयोग करके दूसरी पंक्ति प्राप्त की जाती है, जहाँ {{math|''∂f'' /''∂∇''''ρ''}}''' सदिश के संबंध में अदिश का व्युत्पन्न है।<ref group="Note">For a three-dimensional Cartesian coordinate system,
[[कुल व्युत्पन्न]] का उपयोग करके दूसरी पंक्ति प्राप्त की जाती है, जहाँ {{math|''∂f'' /''∂∇''''ρ''}} सदिश के संबंध में अदिश का व्युत्पन्न है।<ref group="Note">For a three-dimensional Cartesian coordinate system,
where <math>\rho_x = \frac{\partial \rho}{\partial x}\, , \ \rho_y = \frac{\partial \rho}{\partial y}\, , \ \rho_z = \frac{\partial \rho}{\partial z}</math> and <math>\mathbf{\hat{i}}</math>, <math>\mathbf{\hat{j}}</math>, <math>\mathbf{\hat{k}}</math> are unit vectors along the x, y, z axes.</ref>'''
where <math>\rho_x = \frac{\partial \rho}{\partial x}\, , \ \rho_y = \frac{\partial \rho}{\partial y}\, , \ \rho_z = \frac{\partial \rho}{\partial z}</math> and <math>\mathbf{\hat{i}}</math>, <math>\mathbf{\hat{j}}</math>, <math>\mathbf{\hat{k}}</math> are unit vectors along the x, y, z axes.</ref>'''
Line 65:
Line 65:
====थॉमस-फर्मी गतिज ऊर्जा क्रियात्मक====
====थॉमस-फर्मी गतिज ऊर्जा क्रियात्मक====
1927 के थॉमस-फर्मी मॉडल ने इलेक्ट्रॉनिक संरचना के घनत्व-कार्यात्मक सिद्धांत के पहले प्रयास में गैर-बाधित समान [[मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल]] के लिए कार्यात्मक गतिज ऊर्जा का उपयोग किया:<math display="block">T_\mathrm{TF}[\rho] = C_\mathrm{F} \int \rho^{5/3}(\mathbf{r}) \, d\mathbf{r} \, .</math>के समाकलन के बाद से {{math|''T''<sub>TF</sub>[''ρ'']}} का व्युत्पन्न सम्मलित नहीं है {{math|''ρ''('''''r''''')}}, का कार्यात्मक व्युत्पन्न {{math|''T''<sub>TF</sub>[''ρ'']}} है,<ref name="ParrYangP247A.6">{{harv|Parr|Yang|1989|loc=p. 247, Eq. A.6}}.</ref><math display="block">\begin{align}
1927 के थॉमस-फर्मी मॉडल ने इलेक्ट्रॉनिक संरचना के घनत्व-कार्यात्मक सिद्धांत के पहले प्रयास में गैर-बाधित समान [[मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल]] के लिए कार्यात्मक गतिज ऊर्जा का उपयोग किया:<math display="block">T_\mathrm{TF}[\rho] = C_\mathrm{F} \int \rho^{5/3}(\mathbf{r}) \, d\mathbf{r} \, .</math>चूँकि {{math|''T''<sub>TF</sub>[''ρ'']}} के समाकलन में {{math|''ρ''('''''r''''')}} का व्युत्पन्न सम्मलित नहीं है , {{math|''T''<sub>TF</sub>[''ρ'']}} का कार्यात्मक व्युत्पन्न है,<ref name="ParrYangP247A.6">{{harv|Parr|Yang|1989|loc=p. 247, Eq. A.6}}.</ref><math display="block">\begin{align}
इलेक्ट्रॉन-नाभिक क्षमता के लिए, थॉमस और फर्मी ने कूलम्ब के नियम संभावित ऊर्जा कार्यात्मक को नियोजित किया<math display="block">V[\rho] = \int \frac{\rho(\boldsymbol{r})}{|\boldsymbol{r}|} \ d\boldsymbol{r}.</math>कार्यात्मक व्युत्पन्न की परिभाषा को लागू करना,<math display="block">\begin{align}
इलेक्ट्रॉन-नाभिक क्षमता के लिए, थॉमस और फर्मी ने कूलम्ब के नियम संभावित ऊर्जा कार्यात्मक को नियोजित किया<math display="block">V[\rho] = \int \frac{\rho(\boldsymbol{r})}{|\boldsymbol{r}|} \ d\boldsymbol{r}.</math>कार्यात्मक व्युत्पन्न की परिभाषा को लागू करना,<math display="block">\begin{align}
\end{align}</math>इसलिए,<math display="block"> \frac{\delta V}{\delta \rho(\boldsymbol{r})} = \frac{1}{|\boldsymbol{r}|} \ . </math>इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन अन्योन्य क्रिया के मौलिक भाग के लिए, थॉमस और फर्मी ने कूलम्ब के नियम संभावित ऊर्जा क्रियात्मक का प्रयोग किया<math display="block">J[\rho] = \frac{1}{2}\iint \frac{\rho(\mathbf{r}) \rho(\mathbf{r}')}{| \mathbf{r}-\mathbf{r}' |}\, d\mathbf{r} d\mathbf{r}' \, .</math>कार्यात्मक व्युत्पन्न#कार्यात्मक व्युत्पन्न से,<math display="block">\begin{align}
\end{align}</math>इसलिए,<math display="block"> \frac{\delta V}{\delta \rho(\boldsymbol{r})} = \frac{1}{|\boldsymbol{r}|} \ . </math>इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन अन्योन्य क्रिया के मौलिक भाग के लिए, थॉमस और फर्मी ने कूलम्ब के नियम संभावित ऊर्जा क्रियात्मक का प्रयोग किया<math display="block">J[\rho] = \frac{1}{2}\iint \frac{\rho(\mathbf{r}) \rho(\mathbf{r}')}{| \mathbf{r}-\mathbf{r}' |}\, d\mathbf{r} d\mathbf{r}' \, .</math>कार्यात्मक व्युत्पन्न से,<math display="block">\begin{align}
\end{align}</math>अंतिम समीकरण के दाहिने हाथ की ओर पहला और दूसरा पद बराबर हैं, क्योंकि {{math|'''''r'''''}} और {{math|'''''r′'''''}} दूसरे पद में अभिन्न के मान को बदले बिना आपस में बदला जा सकता है। इसलिए,<math display="block"> \int \frac{\delta J}{\delta\rho(\boldsymbol{r})} \phi(\boldsymbol{r})d\boldsymbol{r} = \int \left ( \int \frac {\rho(\boldsymbol{r}') }{| \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}' |} d\boldsymbol{r}' \right ) \phi(\boldsymbol{r}) d\boldsymbol{r} </math><nowiki>और इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन कूलम्ब संभावित ऊर्जा कार्यात्मक के कार्यात्मक व्युत्पन्न {{math|</nowiki>''J''}[ρ] है,<ref name="ParrYangP248A.11">{{harv|Parr|Yang|1989|loc=p. 248, Eq. A.11}}.</ref><math display="block"> \frac{\delta J}{\delta\rho(\boldsymbol{r})} = \int \frac {\rho(\boldsymbol{r}') }{| \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}' |} d\boldsymbol{r}' \, . </math>दूसरा कार्यात्मक व्युत्पन्न है<math display="block">\frac{\delta^2 J[\rho]}{\delta \rho(\mathbf{r}')\delta\rho(\mathbf{r})} = \frac{\partial}{\partial \rho(\mathbf{r}')} \left ( \frac{\rho(\mathbf{r}')}{| \mathbf{r}-\mathbf{r}' |} \right ) = \frac{1}{| \mathbf{r}-\mathbf{r}' |}.</math>
\end{align}</math>अंतिम समीकरण के दाहिने हाथ की ओर पहला और दूसरा पद बराबर हैं, क्योंकि दूसरे पद में {{math|'''''r'''''}} और {{math|'''''r′'''''}} को समाकल के मान को बदले बिना आपस में बदला जा सकता है। इसलिए,<math display="block"> \int \frac{\delta J}{\delta\rho(\boldsymbol{r})} \phi(\boldsymbol{r})d\boldsymbol{r} = \int \left ( \int \frac {\rho(\boldsymbol{r}') }{| \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}' |} d\boldsymbol{r}' \right ) \phi(\boldsymbol{r}) d\boldsymbol{r} </math>और इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन कूलॉम का कार्यात्मक व्युत्पन्न स्थितिज ऊर्जा कार्यात्मक {''J''}[ρ] है,<ref name="ParrYangP248A.11">{{harv|Parr|Yang|1989|loc=p. 248, Eq. A.11}}.</ref><math display="block"> \frac{\delta J}{\delta\rho(\boldsymbol{r})} = \int \frac {\rho(\boldsymbol{r}') }{| \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}' |} d\boldsymbol{r}' \, . </math>दूसरा कार्यात्मक व्युत्पन्न है<math display="block">\frac{\delta^2 J[\rho]}{\delta \rho(\mathbf{r}')\delta\rho(\mathbf{r})} = \frac{\partial}{\partial \rho(\mathbf{r}')} \left ( \frac{\rho(\mathbf{r}')}{| \mathbf{r}-\mathbf{r}' |} \right ) = \frac{1}{| \mathbf{r}-\mathbf{r}' |}.</math>
====Weizsäcker काइनेटिक एनर्जी फंक्शनल====
====Weizsäcker काइनेटिक एनर्जी फंक्शनल====
Revision as of 10:42, 3 May 2023
विविधताओं की कलन में, गणितीय विश्लेषण का क्षेत्र, कार्यात्मक व्युत्पन्न (या परिवर्तनशील व्युत्पन्न)[1]कार्यात्मक (गणित) में परिवर्तन से संबंधित है (इस अर्थ में कार्यात्मक व्युत्पन्न है जो कार्यों पर कार्य करता है) कार्य में परिवर्तन के लिए जिस पर कार्यात्मक निर्भर करता है।
विविधताओं की गणना में, प्रकार्यों को सामान्यतः कार्यों के समाकलक, उनके कार्य के तर्क और उनके यौगिक के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है। समाकलन में कार्यात्मक L , यदि कोई कार्य f इसमें और व्युत्पन्न δf जोड़कर भिन्न होता है जो अव्यवस्थित रूप से छोटा है और परिणामी δf, का समाकलन की शक्तियों में विस्तार किया गया है पहले क्रम की अवधि में δf के गुणांक को कार्यात्मक व्युत्पन्न कहा जाता है।
उदाहरण के लिए, कार्यात्मक पर विचार करें
जहाँ f ′(x) ≡ df/dx. यदि f इसमें व्युत्पन्न जोड़कर δf भिन्न होता है और परिणामी समाकलन L(x, f +δf, f '+δf ′) की शक्तियों में विस्तारित δf है, जब δf में J के पहले क्रम के मान में परिवर्तन निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है। [1][Note 1]
जहां व्युत्पन्न में भिन्नता, δf ′ को भिन्नता के व्युत्पन्न के रूप में फिर से (δf) ′ लिखा गया था, और भागों द्वारा समाकलन का उपयोग किया गया था।
इस खंड में, कार्यात्मक व्युत्पन्न परिभाषित किया गया है। फिर कार्यात्मक अंतर को कार्यात्मक व्युत्पन्न के संदर्भ में परिभाषित किया गया है।
कार्यात्मक व्युत्पन्न
कई गुना दिया M का प्रतिनिधित्व (निरंतर/चिकनी) कार्य ρ करता है (कुछ सीमा स्थितियों आदि के साथ), और कार्यात्मक (गणित) F के रूप में परिभाषित
F[ρ] का कार्यात्मक व्युत्पन्न, निरूपित δF/δρ द्वारा परिभाषित किया गया है[2]
जहाँ एकपक्षीय कार्य है। मात्रा को ρ की भिन्नता कहा जाता है। दूसरे शब्दों में,
रेखीय कार्यात्मक है,इसलिए कोई भी उपाय के विरुद्ध समाकलन के रूप में इस कार्यात्मक का प्रतिनिधित्व करने के लिए रिज-मार्कोव-काकुटानी प्रतिनिधित्व प्रमेय लागू कर सकता है।
तब δF/δρ को इस उपाय के रेडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है।
एक व्यक्ति कार्य δF/δρ को F बिंदु पर ρ प्रवणता के रूप में सोचता है (अर्थात, कितना कार्यात्मक F बदल जाएगा यदि कार्य ρ बिंदु x पर बदल जाता है ) और
बिंदु ρ पर ϕ दिशात्मक व्युत्पन्न के रूप में कम है। फिर सदिश कलन के अनुरूप, आंतरिक उत्पाद ढाल के साथ दिशात्मक व्युत्पन्न देता है।
कार्यात्मक अंतर
कार्यात्मक का अंतर भिन्नता या पहली भिन्नता है। [3][Note 2]
गुण
किसी कार्य के व्युत्पन्न की तरह, कार्यात्मक व्युत्पन्न निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है, जहां F[ρ] और G[ρ] कार्यात्मक हैं:[Note 3]
यदि G अवकलनीय फलन (स्थानीय फलन) g है, तो यह कम हो जाता है[7]
कार्यात्मक व्युत्पन्न का निर्धारण
कार्यात्मकताओं के सामान्य वर्ग के लिए कार्यात्मक व्युत्पन्न निर्धारित करने के लिए सूत्र के फलन और उसके व्युत्पन्न के समाकल के रूप में लिखा जा सकता है। यह यूलर-लैग्रेंज समीकरण का सामान्यीकरण है। वास्तव में, लैग्रैंगियन यांत्रिकी (18 वीं शताब्दी) में कम से कम कार्य के सिद्धांत से दूसरे प्रकार के जोसेफ-लुई लाग्रेंज समीकरण की व्युत्पत्ति के भीतर भौतिकी में कार्यात्मक व्युत्पन्न प्रस्तुत किया गया था। नीचे दिए गए पहले तीन उदाहरण घनत्व कार्यात्मक सिद्धांत (20वीं सदी) से लिए गए हैं, चौथे सांख्यिकीय यांत्रिकी (19वीं सदी) से लिए गए हैं।
सूत्र
कार्यात्मक दिया
और फलन ϕ(r) जो समाकलन के क्षेत्र की सीमा पर गायब हो जाता है, पिछले खंड कार्यात्मक व्युत्पन्न की परिभाषा से,
कुल व्युत्पन्न का उपयोग करके दूसरी पंक्ति प्राप्त की जाती है, जहाँ ∂f /∂∇'ρ सदिश के संबंध में अदिश का व्युत्पन्न है।[Note 4]विचलन के लिए उत्पाद नियम गुण के उपयोग से तीसरी पंक्ति प्राप्त की गई थी। विचलन प्रमेय का उपयोग करके चौथी पंक्ति प्राप्त की गई थी और शर्त यह है कि समाकलन के क्षेत्र की सीमा पर ϕ = 0। ϕ = 0 । तब से ϕ भी एकपक्षीय कार्य है, भिन्नताओं की कलन की मौलिक लेम्मा को अंतिम पंक्ति में लागू करना, कार्यात्मक व्युत्पन्न है
जहाँ ρ = ρ(r) और f = f (r, ρ, ∇ρ). यह सूत्र द्वारा दिए गए कार्यात्मक रूप के F[ρ] स्थितियों के लिए है। इस खंड की प्रारंभिक में अन्य कार्यात्मक रूपों के लिए, कार्यात्मक व्युत्पन्न की परिभाषा को इसके निर्धारण के लिए प्रारंभिक बिंदु के रूप में उपयोग किया जा सकता है। (कार्यात्मक व्युत्पन्न कूलम्ब स्थितिज ऊर्जा कार्यात्मक उदाहरण देखें।) कार्यात्मक व्युत्पन्न के लिए उपरोक्त समीकरण को उस स्थितियों में सामान्यीकृत किया जा सकता है जिसमें उच्च आयाम और उच्च आदेश व्युत्पन्न सम्मलित हैं। कार्यात्मक होगा,
जहां सदिश r ∈ Rn, और ∇(i) टेन्सर है जिसका ni घटक क्रम i के आंशिक व्युत्पन्न संक्रियक हैं ,
[Note 5] कार्यात्मक व्युत्पन्न उपज की परिभाषा का समान अनुप्रयोग
पिछले दो समीकरणों में, ni टेंसर के घटक के आंशिक व्युत्पन्न हैं f ρ के आंशिक व्युत्पन्न के संबंध में,
1927 के थॉमस-फर्मी मॉडल ने इलेक्ट्रॉनिक संरचना के घनत्व-कार्यात्मक सिद्धांत के पहले प्रयास में गैर-बाधित समान मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल के लिए कार्यात्मक गतिज ऊर्जा का उपयोग किया:
चूँकि TTF[ρ] के समाकलन में ρ(r) का व्युत्पन्न सम्मलित नहीं है , TTF[ρ] का कार्यात्मक व्युत्पन्न है,[8]
कूलम्ब संभावित ऊर्जा कार्यात्मक
इलेक्ट्रॉन-नाभिक क्षमता के लिए, थॉमस और फर्मी ने कूलम्ब के नियम संभावित ऊर्जा कार्यात्मक को नियोजित किया
कार्यात्मक व्युत्पन्न की परिभाषा को लागू करना,
इसलिए,
इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन अन्योन्य क्रिया के मौलिक भाग के लिए, थॉमस और फर्मी ने कूलम्ब के नियम संभावित ऊर्जा क्रियात्मक का प्रयोग किया
कार्यात्मक व्युत्पन्न से,
अंतिम समीकरण के दाहिने हाथ की ओर पहला और दूसरा पद बराबर हैं, क्योंकि दूसरे पद में r और r′ को समाकल के मान को बदले बिना आपस में बदला जा सकता है। इसलिए,
और इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन कूलॉम का कार्यात्मक व्युत्पन्न स्थितिज ऊर्जा कार्यात्मक {J}[ρ] है,[9]
दूसरा कार्यात्मक व्युत्पन्न है
Weizsäcker काइनेटिक एनर्जी फंक्शनल
1935 में कार्ल फ्रेडरिक वॉन वीज़सैकर | वॉन वीज़स्कर ने थॉमस-फर्मी गतिज ऊर्जा कार्यात्मक में क्रमिक सुधार जोड़ने का प्रस्ताव दिया जिससे कि इसे आणविक इलेक्ट्रॉन बादल के लिए बेहतर बनाया जा सके:
जहाँ
कार्यात्मक व्युत्पन्न के लिए पहले से व्युत्पन्न कार्यात्मक व्युत्पन्न#फॉर्मूला का उपयोग करना,
असतत यादृच्छिक चर की सूचना एन्ट्रापी संभाव्यता द्रव्यमान फलन का कार्य है।
इस प्रकार,
इस प्रकार,
घातीय
होने देना
डेल्टा व्युत्पन्न का परीक्षण व्युत्पन्न के रूप में उपयोग करना,
इस प्रकार,
यह क्वांटम फील्ड थ्योरी में पार्टिशन फंक्शन (क्वांटम फील्ड थ्योरी) से [[ सहसंबंध फलन (क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत) ]] की गणना करने में विशेष रूप से उपयोगी है।
फलन के कार्यात्मक व्युत्पन्न
फंक्शन को फंक्शनल की तरह इंटीग्रल के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए,
चूंकि समाकलन ρ के व्युत्पन्न पर निर्भर नहीं करता है, ρ के कार्यात्मक डेरिवेटिव(r) है,
पुनरावृत्त व्युत्पन्न का कार्यात्मक व्युत्पन्न
पुनरावृत्त व्युत्पन्न का कार्यात्मक व्युत्पन्न द्वारा दिया गया है:
और
सामान्य रूप में:
अंदर डालते हुए N = 0 देता है:
डेल्टा व्युत्पन्न का परीक्षण व्युत्पन्न के रूप में उपयोग करना
भौतिकी में, डिराक डेल्टा फलन का उपयोग करना आम है सामान्य परीक्षण फलन के स्थान पर , बिंदु पर कार्यात्मक व्युत्पन्न उपज के लिए (यह संपूर्ण कार्यात्मक व्युत्पन्न का बिंदु है क्योंकि आंशिक व्युत्पन्न ढाल का घटक है):[11]
यह उन स्थितियों में काम करता है जब औपचारिक रूप से श्रृंखला (या कम से कम पहले क्रम तक) के रूप में विस्तारित किया जा सकता है . सूत्र चूंकि गणितीय रूप से कठोर नहीं है, क्योंकि सामान्यतः परिभाषित भी नहीं किया जाता है।
पिछले खंड में दी गई परिभाषा ऐसे संबंध पर आधारित है जो सभी परीक्षण कार्यों के लिए है , तो कोई सोच सकता है कि इसे तब भी धारण करना चाहिए जब विशिष्ट कार्य के रूप में चुना जाता है जैसे कि डायराक डेल्टा फ़ंक्शन। हालाँकि, बाद वाला वैध परीक्षण कार्य नहीं है (यह उचित कार्य भी नहीं है)।
परिभाषा में, कार्यात्मक व्युत्पन्न वर्णन करता है कि कैसे कार्यात्मक पूरे फलन में छोटे से परिवर्तन के परिणामस्वरूप परिवर्तन . में परिवर्तन का विशेष रूप निर्दिष्ट नहीं है, लेकिन इसे पूरे अंतराल पर फैलाना चाहिए परिभाषित किया गया। डेल्टा व्युत्पन्न द्वारा दिए गए गड़बड़ी के विशेष रूप को नियोजित करने का अर्थ है केवल बिंदु में भिन्न है . इस बिंदु को छोड़कर इसमें कोई भिन्नता नहीं है .
अनुमान के अनुसार, में परिवर्तन है , तो हमारे पास 'औपचारिक' है , और फिर यह एक फ़ंक्शन के कुल अंतर के रूप में समान है ,
कहाँ स्वतंत्र चर हैं।
पिछले दो समीकरणों की तुलना, कार्यात्मक व्युत्पन्न आंशिक व्युत्पन्न के समान भूमिका है , जहां एकीकरण का चर सारांश सूचकांक के एक सतत संस्करण की तरह है .<ref name=ParrYangP246>(Parr & Yang 1989, p. 246).
Frigyik, Béla A.; Srivastava, Santosh; Gupta, Maya R. (January 2008), Introduction to Functional Derivatives(PDF), UWEE Tech Report, vol. UWEETR-2008-0001, Seattle, WA: Department of Electrical Engineering at the University of Washington, p. 7, archived from the original(PDF) on 2017-02-17, retrieved 2013-10-23.