कार्यात्मक व्युत्पन्न: Difference between revisions

Revision as of 20:03, 2 May 2023

विविधताओं की कलन में, गणितीय विश्लेषण का एक क्षेत्र, कार्यात्मक व्युत्पन्न (या परिवर्तनशील व्युत्पन्न)^[1] एक कार्यात्मक (गणित) में एक परिवर्तन से संबंधित है (इस अर्थ में एक कार्यात्मक एक फ़ंक्शन है जो कार्यों पर कार्य करता है) एक फ़ंक्शन (गणित) में परिवर्तन के लिए जिस पर कार्यात्मक निर्भर करता है।

भिन्नरूपों की गणना में, प्रकार्यों को आम तौर पर कार्यों के अभिन्न अंग, उनके कार्य के तर्क और उनके यौगिक के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है। एक अभिन्न में {{math|L}एक कार्यात्मक का }, यदि कोई कार्य $f$ इसमें एक और फ़ंक्शन जोड़कर भिन्न होता है $δf$ जो मनमाने ढंग से छोटा है, और परिणामी इंटीग्रैंड की शक्तियों में विस्तार किया गया है $δf$ , का गुणांक $δf$ पहले क्रम की अवधि में कार्यात्मक व्युत्पन्न कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, कार्यात्मक पर विचार करें

J[f]=\int _{a}^{b}L(\,x,f(x),f\,'(x)\,)\,dx\ ,

कहाँ

f'(x) \equiv df/dx

. अगर

f

इसमें एक फ़ंक्शन जोड़कर भिन्न होता है

δf

, और परिणामी इंटीग्रैंड

L (x, f +δf, f '+δf')

की शक्तियों में विस्तारित है

δf

, फिर के मूल्य में परिवर्तन

J

पहले ऑर्डर करने के लिए

δf

को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:^[1]^{[Note 1]}

\delta J=\int _{a}^{b}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}\delta f(x)+{\frac {\partial L}{\partial f'}}{\frac {d}{dx}}\delta f(x)\right)\,dx\,=\int _{a}^{b}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\right)\delta f(x)\,dx\,+\,{\frac {\partial L}{\partial f'}}(b)\delta f(b)\,-\,{\frac {\partial L}{\partial f'}}(a)\delta f(a)\,

जहां व्युत्पन्न में भिन्नता,

δf'

को भिन्नता के व्युत्पन्न के रूप में फिर से लिखा गया था

(δf) '

, और भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग किया गया था।

परिभाषा

इस खंड में, कार्यात्मक व्युत्पन्न परिभाषित किया गया है। फिर कार्यात्मक अंतर को कार्यात्मक व्युत्पन्न के संदर्भ में परिभाषित किया गया है।

कार्यात्मक व्युत्पन्न

कई गुना दिया $M$ प्रतिनिधित्व (निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) / सुचारू कार्य) कार्य करता है $ρ$ (कुछ सीमा स्थितियों आदि के साथ), और एक कार्यात्मक (गणित) $F$ के रूप में परिभाषित

F\colon M\to \mathbb {R} \quad {\text{or}}\quad F\colon M\to \mathbb {C} \,,

का कार्यात्मक व्युत्पन्न

F [ρ]

, निरूपित

δF / δρ

द्वारा परिभाषित किया गया है^[2]

{\begin{aligned}\int {\frac {\delta F}{\delta \rho }}(x)\phi (x)\;dx&=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\rho +\varepsilon \phi ]-F[\rho ]}{\varepsilon }}\\&=\left[{\frac {d}{d\varepsilon }}F[\rho +\varepsilon \phi ]\right]_{\varepsilon =0},\end{aligned}}

कहाँ

\phi

एक मनमाना कार्य है। मात्रा

\varepsilon \phi

की भिन्नता कहलाती है

ρ

.

दूसरे शब्दों में,

\phi \mapsto \left[{\frac {d}{d\varepsilon }}F[\rho +\varepsilon \phi ]\right]_{\varepsilon =0}

एक रेखीय कार्यात्मक है, इसलिए कोई व्यक्ति इस कार्यात्मक को कुछ माप (गणित) के विरुद्ध एकीकरण के रूप में प्रस्तुत करने के लिए रिज-मार्कोव-काकुटानी प्रतिनिधित्व प्रमेय लागू कर सकता है। तब

δF / δρ

को इस उपाय के रेडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है।

एक समारोह के बारे में सोचता है $δF / δρ$ की ढाल के रूप में $F$ बिंदु पर $ρ$ (यानी, कितना कार्यात्मक $F$ बदल जाएगा अगर समारोह $ρ$ बिंदु पर बदल जाता है $x$ ) और

\int {\frac {\delta F}{\delta \rho }}(x)\phi (x)\;dx

बिंदु पर दिशात्मक व्युत्पन्न के रूप में

ρ

कम है

ϕ

. फिर सदिश कलन के अनुरूप, आंतरिक उत्पाद ढाल के साथ दिशात्मक व्युत्पन्न देता है।

कार्यात्मक अंतर

कार्यात्मक का अंतर (या भिन्नता या पहली भिन्नता)। $F\left[\rho \right]$ है ^[3] ^{[Note 2]}

गुण

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की तरह, कार्यात्मक व्युत्पन्न निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है, जहां $F [ρ]$ और $G [ρ]$ कार्यात्मक हैं:^{[Note 3]}

रैखिकता:^[4] ${\frac {\delta (\lambda F+\mu G)[\rho ]}{\delta \rho (x)}}=\lambda {\frac {\delta F[\rho ]}{\delta \rho (x)}}+\mu {\frac {\delta G[\rho ]}{\delta \rho (x)}},$ कहाँ $λ, μ$ नियतांक हैं।
प्रॉडक्ट नियम:^[5] ${\frac {\delta (FG)[\rho ]}{\delta \rho (x)}}={\frac {\delta F[\rho ]}{\delta \rho (x)}}G[\rho ]+F[\rho ]{\frac {\delta G[\rho ]}{\delta \rho (x)}}\,,$
चेन नियम:
- अगर $F$ एक कार्यात्मक और है $G$ एक और कार्यात्मक, फिर^[6] ${\frac {\delta F[G[\rho ]]}{\delta \rho (y)}}=\int dx{\frac {\delta F[G]}{\delta G(x)}}_{G=G[\rho ]}\cdot {\frac {\delta G[\rho ](x)}{\delta \rho (y)}}\ .$
- अगर $G$ एक साधारण भिन्न कार्य है (स्थानीय कार्यात्मक) $g$ , तो यह कम हो जाता है^[7] ${\frac {\delta F[g(\rho )]}{\delta \rho (y)}}={\frac {\delta F[g(\rho )]}{\delta g[\rho (y)]}}\ {\frac {dg(\rho )}{d\rho (y)}}\ .$

कार्यात्मक डेरिवेटिव का निर्धारण

कार्यात्मकताओं के एक सामान्य वर्ग के लिए कार्यात्मक डेरिवेटिव निर्धारित करने के लिए एक सूत्र को फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव के अभिन्न अंग के रूप में लिखा जा सकता है। यह यूलर-लैग्रेंज समीकरण का एक सामान्यीकरण है: वास्तव में, लैग्रैंगियन यांत्रिकी (18 वीं शताब्दी) में कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत से दूसरे प्रकार के जोसेफ-लुई लाग्रेंज समीकरण की व्युत्पत्ति के भीतर भौतिकी में कार्यात्मक व्युत्पन्न पेश किया गया था। नीचे दिए गए पहले तीन उदाहरण घनत्व कार्यात्मक सिद्धांत (20वीं सदी) से लिए गए हैं, चौथे सांख्यिकीय यांत्रिकी (19वीं सदी) से लिए गए हैं।

सूत्र

एक कार्यात्मक दिया

F[\rho ]=\int f({\boldsymbol {r}},\rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla \rho ({\boldsymbol {r}}))\,d{\boldsymbol {r}},

और एक समारोह

ϕ (r)

जो एकीकरण के क्षेत्र की सीमा पर गायब हो जाता है, पिछले खंड कार्यात्मक व्युत्पन्न#परिभाषा से,

{\begin{aligned}\int {\frac {\delta F}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\,\phi ({\boldsymbol {r}})\,d{\boldsymbol {r}}&=\left[{\frac {d}{d\varepsilon }}\int f({\boldsymbol {r}},\rho +\varepsilon \phi ,\nabla \rho +\varepsilon \nabla \phi )\,d{\boldsymbol {r}}\right]_{\varepsilon =0}\\&=\int \left({\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\phi +{\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\cdot \nabla \phi \right)d{\boldsymbol {r}}\\&=\int \left[{\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\phi +\nabla \cdot \left({\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\,\phi \right)-\left(\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\right)\phi \right]d{\boldsymbol {r}}\\&=\int \left[{\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\phi -\left(\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\right)\phi \right]d{\boldsymbol {r}}\\&=\int \left({\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\right)\phi ({\boldsymbol {r}})\ d{\boldsymbol {r}}\,.\end{aligned}}

कुल व्युत्पन्न का उपयोग करके दूसरी पंक्ति प्राप्त की जाती है, जहाँ $\partialf / \partial\nabla' ρ$ एक मैट्रिक्स कैलकुलस#स्केलर-बाय-वेक्टर है।^{[Note 4]} डायवर्जेंस # गुण के उपयोग से तीसरी पंक्ति प्राप्त की गई थी। डायवर्जेंस प्रमेय और शर्त का उपयोग करके चौथी पंक्ति प्राप्त की गई थी $ϕ = 0$ एकीकरण के क्षेत्र की सीमा पर। तब से $ϕ$ भी एक मनमाना कार्य है, अंतिम पंक्ति में भिन्नता के कलन के मूलभूत लेम्मा को लागू करते हुए, कार्यात्मक व्युत्पन्न है

{\frac {\delta F}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}={\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}

कहाँ

ρ = ρ (r)

और

f = f (r, ρ, \nabla ρ)

. यह सूत्र द्वारा दिए गए कार्यात्मक रूप के मामले के लिए है

F [ρ]

इस खंड की शुरुआत में। अन्य कार्यात्मक रूपों के लिए, कार्यात्मक व्युत्पन्न की परिभाषा को इसके निर्धारण के लिए शुरुआती बिंदु के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है। (कार्यात्मक व्युत्पन्न#Coulomb स्थितिज ऊर्जा कार्यात्मक उदाहरण देखें।) कार्यात्मक व्युत्पन्न के लिए उपरोक्त समीकरण को उस मामले में सामान्यीकृत किया जा सकता है जिसमें उच्च आयाम और उच्च आदेश डेरिवेटिव शामिल हैं। कार्यात्मक होगा,

F[\rho ({\boldsymbol {r}})]=\int f({\boldsymbol {r}},\rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla \rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla ^{(2)}\rho ({\boldsymbol {r}}),\dots ,\nabla ^{(N)}\rho ({\boldsymbol {r}}))\,d{\boldsymbol {r}},

जहां वेक्टर

r \in R n

, और

\nabla (i)

एक टेन्सर है जिसका

n i

घटक ऑर्डर के आंशिक डेरिवेटिव ऑपरेटर हैं

i

,

\left[\nabla ^{(i)}\right]_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}={\frac {\partial ^{\,i}}{\partial r_{\alpha _{1}}\partial r_{\alpha _{2}}\cdots \partial r_{\alpha _{i}}}}\qquad \qquad {\text{where}}\quad \alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{i}=1,2,\cdots ,n\ .

^{[Note 5]} कार्यात्मक व्युत्पन्न उपज की परिभाषा का एक समान अनुप्रयोग

{\begin{aligned}{\frac {\delta F[\rho ]}{\delta \rho }}&{}={\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial (\nabla \rho )}}+\nabla ^{(2)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(2)}\rho \right)}}+\dots +(-1)^{N}\nabla ^{(N)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(N)}\rho \right)}}\\&{}={\frac {\partial f}{\partial \rho }}+\sum _{i=1}^{N}(-1)^{i}\nabla ^{(i)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}\ .\end{aligned}}

पिछले दो समीकरणों में,

n i

टेंसर के घटक

{\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}

के आंशिक व्युत्पन्न हैं

f

ρ के आंशिक डेरिवेटिव के संबंध में,

\left[{\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}\right]_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}={\frac {\partial f}{\partial \rho _{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}}}\qquad \qquad {\text{where}}\quad \rho _{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}\equiv {\frac {\partial ^{\,i}\rho }{\partial r_{\alpha _{1}}\,\partial r_{\alpha _{2}}\cdots \partial r_{\alpha _{i}}}}\ ,

और टेंसर स्केलर उत्पाद है,

\nabla ^{(i)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}=\sum _{\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{i}=1}^{n}\ {\frac {\partial ^{\,i}}{\partial r_{\alpha _{1}}\,\partial r_{\alpha _{2}}\cdots \partial r_{\alpha _{i}}}}\ {\frac {\partial f}{\partial \rho _{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}}}\ .

^{[Note 6]}

उदाहरण

थॉमस-फर्मी गतिज ऊर्जा क्रियात्मक

1927 के थॉमस-फर्मी मॉडल ने इलेक्ट्रॉनिक संरचना के घनत्व-कार्यात्मक सिद्धांत के पहले प्रयास में एक गैर-बाधित समान मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल के लिए कार्यात्मक गतिज ऊर्जा का उपयोग किया:

T_{\mathrm {TF} }[\rho ]=C_{\mathrm {F} }\int \rho ^{5/3}(\mathbf {r} )\,d\mathbf {r} \,.

के एकीकरण के बाद से

T TF [ρ]

का डेरिवेटिव शामिल नहीं है

ρ (r)

, का कार्यात्मक व्युत्पन्न

T TF [ρ]

है,^[8]

{\begin{aligned}{\frac {\delta T_{\mathrm {TF} }}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}&=C_{\mathrm {F} }{\frac {\partial \rho ^{5/3}(\mathbf {r} )}{\partial \rho (\mathbf {r} )}}\\&={\frac {5}{3}}C_{\mathrm {F} }\rho ^{2/3}(\mathbf {r} )\,.\end{aligned}}

कूलम्ब स्थितिज ऊर्जा क्रियाशील

इलेक्ट्रॉन-नाभिक क्षमता के लिए, थॉमस और फर्मी ने कूलम्ब के नियम संभावित ऊर्जा कार्यात्मक को नियोजित किया

V[\rho ]=\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})}{|{\boldsymbol {r}}|}}\ d{\boldsymbol {r}}.

कार्यात्मक व्युत्पन्न की परिभाषा को लागू करना,

{\begin{aligned}\int {\frac {\delta V}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\ \phi ({\boldsymbol {r}})\ d{\boldsymbol {r}}&{}=\left[{\frac {d}{d\varepsilon }}\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})+\varepsilon \phi ({\boldsymbol {r}})}{|{\boldsymbol {r}}|}}\ d{\boldsymbol {r}}\right]_{\varepsilon =0}\\&{}=\int {\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}|}}\,\phi ({\boldsymbol {r}})\ d{\boldsymbol {r}}\,.\end{aligned}}

इसलिए,

{\frac {\delta V}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}={\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}|}}\ .

इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन अन्योन्य क्रिया के शास्त्रीय भाग के लिए, थॉमस और फर्मी ने कूलम्ब के नियम संभावित ऊर्जा क्रियात्मक का प्रयोग किया

J[\rho ]={\frac {1}{2}}\iint {\frac {\rho (\mathbf {r} )\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d\mathbf {r} d\mathbf {r} '\,.

कार्यात्मक व्युत्पन्न#कार्यात्मक व्युत्पन्न से,

{\begin{aligned}\int {\frac {\delta J}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\phi ({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}&{}=\left[{\frac {d\ }{d\epsilon }}\,J[\rho +\epsilon \phi ]\right]_{\epsilon =0}\\&{}=\left[{\frac {d\ }{d\epsilon }}\,\left({\frac {1}{2}}\iint {\frac {[\rho ({\boldsymbol {r}})+\epsilon \phi ({\boldsymbol {r}})]\,[\rho ({\boldsymbol {r}}')+\epsilon \phi ({\boldsymbol {r}}')]}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'\right)\right]_{\epsilon =0}\\&{}={\frac {1}{2}}\iint {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')\phi ({\boldsymbol {r}})}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'+{\frac {1}{2}}\iint {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})\phi ({\boldsymbol {r}}')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'\\\end{aligned}}

अंतिम समीकरण के दाहिने हाथ की ओर पहला और दूसरा पद बराबर हैं, क्योंकि

r

और

r'

दूसरे पद में अभिन्न के मान को बदले बिना आपस में बदला जा सकता है। इसलिए,

\int {\frac {\delta J}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\phi ({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}=\int \left(\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}d{\boldsymbol {r}}'\right)\phi ({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}

और इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन कूलम्ब संभावित ऊर्जा कार्यात्मक के कार्यात्मक व्युत्पन्न {{math|J}[ρ] है,^[9]

{\frac {\delta J}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}=\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}d{\boldsymbol {r}}'\,.

दूसरा कार्यात्मक व्युत्पन्न है

{\frac {\delta ^{2}J[\rho ]}{\delta \rho (\mathbf {r} ')\delta \rho (\mathbf {r} )}}={\frac {\partial }{\partial \rho (\mathbf {r} ')}}\left({\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)={\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}.

Weizsäcker काइनेटिक एनर्जी फंक्शनल

1935 में कार्ल फ्रेडरिक वॉन वीज़सैकर | वॉन वीज़स्कर ने थॉमस-फर्मी गतिज ऊर्जा कार्यात्मक में एक क्रमिक सुधार जोड़ने का प्रस्ताव दिया ताकि इसे एक आणविक इलेक्ट्रॉन बादल के लिए बेहतर बनाया जा सके:

T_{\mathrm {W} }[\rho ]={\frac {1}{8}}\int {\frac {\nabla \rho (\mathbf {r} )\cdot \nabla \rho (\mathbf {r} )}{\rho (\mathbf {r} )}}d\mathbf {r} =\int t_{\mathrm {W} }\ d\mathbf {r} \,,

कहाँ

t_{\mathrm {W} }\equiv {\frac {1}{8}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho }}\qquad {\text{and}}\ \ \rho =\rho ({\boldsymbol {r}})\ .

कार्यात्मक व्युत्पन्न के लिए पहले से व्युत्पन्न कार्यात्मक व्युत्पन्न#फॉर्मूला का उपयोग करना,

{\begin{aligned}{\frac {\delta T_{\mathrm {W} }}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}&={\frac {\partial t_{\mathrm {W} }}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial t_{\mathrm {W} }}{\partial \nabla \rho }}\\&=-{\frac {1}{8}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho ^{2}}}-\left({\frac {1}{4}}{\frac {\nabla ^{2}\rho }{\rho }}-{\frac {1}{4}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho ^{2}}}\right)\qquad {\text{where}}\ \ \nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla \ ,\end{aligned}}

और परिणाम है,^[10]

{\frac {\delta T_{\mathrm {W} }}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}=\ \ \,{\frac {1}{8}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho ^{2}}}-{\frac {1}{4}}{\frac {\nabla ^{2}\rho }{\rho }}\ .

एंट्रॉपी

असतत यादृच्छिक चर की सूचना एन्ट्रापी संभाव्यता द्रव्यमान समारोह का एक कार्य है।

H[p(x)]=-\sum _{x}p(x)\log p(x)

इस प्रकार,

{\begin{aligned}\sum _{x}{\frac {\delta H}{\delta p(x)}}\,\phi (x)&{}=\left[{\frac {d}{d\epsilon }}H[p(x)+\epsilon \phi (x)]\right]_{\epsilon =0}\\&{}=\left[-\,{\frac {d}{d\varepsilon }}\sum _{x}\,[p(x)+\varepsilon \phi (x)]\ \log[p(x)+\varepsilon \phi (x)]\right]_{\varepsilon =0}\\&{}=-\sum _{x}\,[1+\log p(x)]\ \phi (x)\,.\end{aligned}}

इस प्रकार,

{\frac {\delta H}{\delta p(x)}}=-1-\log p(x).

घातीय

होने देना

F[\varphi (x)]=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}.

डेल्टा फ़ंक्शन का परीक्षण फ़ंक्शन के रूप में उपयोग करना,

{\frac {\delta F[\varphi (x)]}{\delta \varphi (y)}}=g(y)F[\varphi (x)].

[2] According to Giaquinta & Hildebrandt (1996), p. 18, this notation is customary in physical literature.

[5] में अंतर कहलाता है (Parr & Yang 1989, p. 246), भिन्नता या पहली भिन्नता (Courant & Hilbert 1953, p. 186), और भिन्नता या अंतर (Gelfand & Fomin 2000, p. 11, § 3.2).</रेफरी> $\delta F[\rho ;\phi ]=\int {\frac {\delta F}{\delta \rho }}(x)\ \phi (x)\ dx\ .$ अनुमान के अनुसार, $\phi$ में परिवर्तन है $\rho$ , तो हमारे पास 'औपचारिक' है $\phi =\delta \rho$ , और फिर यह एक फ़ंक्शन के कुल अंतर के रूप में समान है $F(\rho _{1},\rho _{2},\dots ,\rho _{n})$ , $dF=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial \rho _{i}}}\ d\rho _{i}\ ,$ कहाँ $\rho _{1},\rho _{2},\dots ,\rho _{n}$ स्वतंत्र चर हैं। पिछले दो समीकरणों की तुलना, कार्यात्मक व्युत्पन्न $\delta F/\delta \rho (x)$ आंशिक व्युत्पन्न के समान भूमिका है $\partial F/\partial \rho _{i}$ , जहां एकीकरण का चर $x$ सारांश सूचकांक के एक सतत संस्करण की तरह है $i$ .<ref name=ParrYangP246>(Parr & Yang 1989, p. 246).

[6] Here the notation ${\frac {\delta {F}}{\delta \rho }}(x)\equiv {\frac {\delta {F}}{\delta \rho (x)}}$ is introduced.

[11] For a three-dimensional Cartesian coordinate system, ${\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}={\frac {\partial f}{\partial \rho _{x}}}\mathbf {\hat {i}} +{\frac {\partial f}{\partial \rho _{y}}}\mathbf {\hat {j}} +{\frac {\partial f}{\partial \rho _{z}}}\mathbf {\hat {k}} \,,$ where $\rho _{x}={\frac {\partial \rho }{\partial x}}\,,\ \rho _{y}={\frac {\partial \rho }{\partial y}}\,,\ \rho _{z}={\frac {\partial \rho }{\partial z}}$ and $\mathbf {\hat {i}}$ , $\mathbf {\hat {j}}$ , $\mathbf {\hat {k}}$ are unit vectors along the x, y, z axes.

[12] For example, for the case of three dimensions ( $n = 3$ ) and second order derivatives ( $i = 2$ ), the tensor $\nabla (2)$ has components, $\left[\nabla ^{(2)}\right]_{\alpha \beta }={\frac {\partial ^{\,2}}{\partial r_{\alpha }\,\partial r_{\beta }}}\qquad \qquad {\text{where}}\quad \alpha ,\beta =1,2,3\,.$

[13] For example, for the case $n = 3$ and $i = 2$ , the tensor scalar product is, $\nabla ^{(2)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(2)}\rho \right)}}=\sum _{\alpha ,\beta =1}^{3}\ {\frac {\partial ^{\,2}}{\partial r_{\alpha }\,\partial r_{\beta }}}\ {\frac {\partial f}{\partial \rho _{\alpha \beta }}}\qquad {\text{where}}\ \ \rho _{\alpha \beta }\equiv {\frac {\partial ^{\,2}\rho }{\partial r_{\alpha }\,\partial r_{\beta }}}\ .$

[GiaquintaHildebrandtP18-1] 1.0 ^1.1 (Giaquinta & Hildebrandt 1996, p. 18)

[ParrYangP246A.2-3] (Parr & Yang 1989, p. 246, Eq. A.2).

[ParrYangP246A.1-4] (Parr & Yang 1989, p. 246, Eq. A.1).

[ParrYangP247A.3-7] (Parr & Yang 1989, p. 247, Eq. A.3).

[ParrYangP247A.4-8] (Parr & Yang 1989, p. 247, Eq. A.4).

[9] (Greiner & Reinhardt 1996, p. 38, Eq. 6).

[10] (Greiner & Reinhardt 1996, p. 38, Eq. 7).

[ParrYangP247A.6-14] (Parr & Yang 1989, p. 247, Eq. A.6).

[ParrYangP248A.11-15] (Parr & Yang 1989, p. 248, Eq. A.11).

[ParrYangP247A.9-16] (Parr & Yang 1989, p. 247, Eq. A.9).

[17] Greiner & Reinhardt 1996, p. 37

[1]

[Note 1]

[2]

[3]

[Note 2]

[Note 3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[Note 4]

[Note 5]

[Note 6]

[8]

[9]

[10]

[11]

@@ Line 1: / Line 1: @@
-{{Short description|Concept in calculus of variation}}
 विविधताओं की कलन में, [[गणितीय विश्लेषण]] का एक क्षेत्र, कार्यात्मक व्युत्पन्न (या परिवर्तनशील व्युत्पन्न)<ref name="GiaquintaHildebrandtP18">{{harv|Giaquinta|Hildebrandt|1996|p=18}}</ref> एक [[कार्यात्मक (गणित)]] में एक परिवर्तन से संबंधित है (इस अर्थ में एक कार्यात्मक एक फ़ंक्शन है जो कार्यों पर कार्य करता है) एक फ़ंक्शन (गणित) में परिवर्तन के लिए जिस पर कार्यात्मक निर्भर करता है।
 भिन्नरूपों की गणना में, प्रकार्यों को आम तौर पर कार्यों के [[अभिन्न]] अंग, उनके कार्य के तर्क और उनके [[ यौगिक ]] के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है। एक अभिन्न में {{math|''L''}एक कार्यात्मक का }, यदि कोई कार्य {{math|''f''}} इसमें एक और फ़ंक्शन जोड़कर भिन्न होता है {{math|''δf''}} जो मनमाने ढंग से छोटा है, और परिणामी इंटीग्रैंड की शक्तियों में विस्तार किया गया है {{math|''δf''}}, का गुणांक {{math|''δf''}} पहले क्रम की अवधि में कार्यात्मक व्युत्पन्न कहा जाता है।
-उदाहरण के लिए, कार्यात्मक पर विचार करें
+उदाहरण के लिए, कार्यात्मक पर विचार करें<math display="block"> J[f] = \int_a^b L( \, x, f(x), f \, '(x) \, ) \, dx \ , </math>
-<math display="block"> J[f] = \int_a^b L( \, x, f(x), f \, '(x) \, ) \, dx \ , </math>
+कहाँ {{math|''f'' &prime;(''x'') &equiv; ''df/dx''}}. अगर {{math|''f''}} इसमें एक फ़ंक्शन जोड़कर भिन्न होता है {{math|''δf''}}, और परिणामी इंटीग्रैंड {{math|''L''(''x, f +δf, f '+δf'' &prime;)}} की शक्तियों में विस्तारित है {{math|''δf''}}, फिर के मूल्य में परिवर्तन {{math|''J''}} पहले ऑर्डर करने के लिए {{math|''δf''}} को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:<ref name="GiaquintaHildebrandtP18" /><ref Group = 'Note'>According to {{Harvp|Giaquinta|Hildebrandt|1996|p=18}}, this notation is customary in [[Physics|physical]] literature.</ref><math display="block"> \delta J = \int_a^b \left( \frac{\partial L}{\partial f} \delta f(x) + \frac{\partial L}{\partial f'} \frac{d}{dx} \delta f(x) \right) \, dx \, = \int_a^b \left( \frac{\partial L}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial L}{\partial f'} \right) \delta f(x) \, dx \, + \, \frac{\partial L}{\partial f'} (b) \delta f(b) \, - \, \frac{\partial L}{\partial f'} (a) \delta f(a) \, </math>
-कहाँ {{math|''f'' &prime;(''x'') &equiv; ''df/dx''}}. अगर {{math|''f''}} इसमें एक फ़ंक्शन जोड़कर भिन्न होता है {{math|''δf''}}, और परिणामी इंटीग्रैंड {{math|''L''(''x, f +δf, f '+δf'' &prime;)}} की शक्तियों में विस्तारित है {{math|''δf''}}, फिर के मूल्य में परिवर्तन {{math|''J''}} पहले ऑर्डर करने के लिए {{math|''δf''}} को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:<ref name="GiaquintaHildebrandtP18" /><ref Group = 'Note'>According to {{Harvp|Giaquinta|Hildebrandt|1996|p=18}}, this notation is customary in [[Physics|physical]] literature.</ref>
-<math display="block"> \delta J = \int_a^b \left( \frac{\partial L}{\partial f} \delta f(x) + \frac{\partial L}{\partial f'} \frac{d}{dx} \delta f(x) \right) \, dx \, = \int_a^b \left( \frac{\partial L}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial L}{\partial f'} \right) \delta f(x) \, dx \, + \, \frac{\partial L}{\partial f'} (b) \delta f(b) \, - \, \frac{\partial L}{\partial f'} (a) \delta f(a) \, </math>
 जहां व्युत्पन्न में भिन्नता, {{math|''δf'' &prime;}} को भिन्नता के व्युत्पन्न के रूप में फिर से लिखा गया था {{math|(''δf'') &prime;}}, और [[भागों द्वारा एकीकरण]] का उपयोग किया गया था।
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 === कार्यात्मक व्युत्पन्न ===
-[[कई गुना]] दिया {{math|''M''}} प्रतिनिधित्व ([[निरंतर कार्य (टोपोलॉजी)]] / सुचारू कार्य) कार्य करता है {{math|''ρ''}} (कुछ सीमा स्थितियों आदि के साथ), और एक कार्यात्मक (गणित) {{math|''F''}} के रूप में परिभाषित
+[[कई गुना]] दिया {{math|''M''}} प्रतिनिधित्व ([[निरंतर कार्य (टोपोलॉजी)]] / सुचारू कार्य) कार्य करता है {{math|''ρ''}} (कुछ सीमा स्थितियों आदि के साथ), और एक कार्यात्मक (गणित) {{math|''F''}} के रूप में परिभाषित<math display="block">F\colon M \to \mathbb{R} \quad \text{or} \quad F\colon M \to \mathbb{C} \, ,</math>का कार्यात्मक व्युत्पन्न {{math|''F''[''ρ'']}}, निरूपित {{math|''δF''/''δρ''}} द्वारा परिभाषित किया गया है<ref name="ParrYangP246A.2">{{harv|Parr|Yang|1989|loc= p. 246, Eq. A.2}}.</ref><math display="block">\begin{align}
-<math display="block">F\colon M \to \mathbb{R} \quad \text{or} \quad F\colon M \to \mathbb{C} \, ,</math>
-का कार्यात्मक व्युत्पन्न {{math|''F''[''ρ'']}}, निरूपित {{math|''δF''/''δρ''}} द्वारा परिभाषित किया गया है<ref name=ParrYangP246A.2>{{harv|Parr|Yang|1989|loc= p. 246, Eq. A.2}}.</ref>
-<math display="block">\begin{align}
   \int \frac{\delta F}{\delta\rho}(x) \phi(x) \; dx
 &= \lim_{\varepsilon\to 0}\frac{F[\rho+\varepsilon \phi]-F[\rho]}{\varepsilon} \\
 &= \left [ \frac{d}{d\varepsilon}F[\rho+\varepsilon \phi]\right ]_{\varepsilon=0},
-\end{align}</math>
+\end{align}</math>कहाँ <math>\phi</math> एक मनमाना कार्य है। मात्रा <math>\varepsilon\phi</math> की भिन्नता कहलाती है {{math|''ρ''}}.
-कहाँ <math>\phi</math> एक मनमाना कार्य है। मात्रा <math>\varepsilon\phi</math> की भिन्नता कहलाती है {{math|''ρ''}}.
-दूसरे शब्दों में,
+दूसरे शब्दों में,<math display="block">\phi \mapsto \left [ \frac{d}{d\varepsilon}F[\rho+\varepsilon \phi]\right ]_{\varepsilon=0}</math>एक रेखीय कार्यात्मक है, इसलिए कोई व्यक्ति इस कार्यात्मक को कुछ माप (गणित) के विरुद्ध एकीकरण के रूप में प्रस्तुत करने के लिए रिज-मार्कोव-काकुटानी प्रतिनिधित्व प्रमेय लागू कर सकता है।
-<math display="block">\phi \mapsto \left [ \frac{d}{d\varepsilon}F[\rho+\varepsilon \phi]\right ]_{\varepsilon=0}</math>
-एक रेखीय कार्यात्मक है, इसलिए कोई व्यक्ति इस कार्यात्मक को कुछ माप (गणित) के विरुद्ध एकीकरण के रूप में प्रस्तुत करने के लिए रिज-मार्कोव-काकुटानी प्रतिनिधित्व प्रमेय लागू कर सकता है।
 तब {{math|''δF''/''δρ''}} को इस उपाय के रेडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है।
-एक समारोह के बारे में सोचता है {{math|''δF''/''δρ''}} की ढाल के रूप में {{math|''F''}} बिंदु पर {{math|''ρ''}} (यानी, कितना कार्यात्मक {{math|''F''}} बदल जाएगा अगर समारोह {{math|''ρ''}} बिंदु पर बदल जाता है {{math|''x''}}) और
+एक समारोह के बारे में सोचता है {{math|''δF''/''δρ''}} की ढाल के रूप में {{math|''F''}} बिंदु पर {{math|''ρ''}} (यानी, कितना कार्यात्मक {{math|''F''}} बदल जाएगा अगर समारोह {{math|''ρ''}} बिंदु पर बदल जाता है {{math|''x''}}) और<math display="block">\int \frac{\delta F}{\delta\rho}(x) \phi(x) \; dx</math>बिंदु पर दिशात्मक व्युत्पन्न के रूप में {{math|''ρ''}} कम है {{math|''ϕ''}}. फिर सदिश कलन के अनुरूप, आंतरिक उत्पाद ढाल के साथ दिशात्मक व्युत्पन्न देता है।
-<math display="block">\int \frac{\delta F}{\delta\rho}(x) \phi(x) \; dx</math>
-बिंदु पर दिशात्मक व्युत्पन्न के रूप में {{math|''ρ''}} कम है {{math|''ϕ''}}. फिर सदिश कलन के अनुरूप, आंतरिक उत्पाद ढाल के साथ दिशात्मक व्युत्पन्न देता है।
 === कार्यात्मक अंतर ===
-कार्यात्मक का अंतर (या भिन्नता या पहली भिन्नता)। <math>F\left[\rho\right]</math> है <ref name=ParrYangP246A.1>{{harv|Parr|Yang|1989|loc= p. 246, Eq. A.1}}.</ref> <Ref Group = 'Note' >में अंतर कहलाता है {{harv|Parr|Yang|1989|p=246}}, भिन्नता या पहली भिन्नता {{harv|Courant|Hilbert|1953|p=186}}, और भिन्नता या अंतर {{harv|Gelfand|Fomin|2000|loc= p. 11, § 3.2}}.</रेफरी>
+कार्यात्मक का अंतर (या भिन्नता या पहली भिन्नता)। <math>F\left[\rho\right]</math> है <ref name=ParrYangP246A.1>{{harv|Parr|Yang|1989|loc= p. 246, Eq. A.1}}.</ref> <ref group="Note">में अंतर कहलाता है {{harv|Parr|Yang|1989|p=246}}, भिन्नता या पहली भिन्नता {{harv|Courant|Hilbert|1953|p=186}}, और भिन्नता या अंतर {{harv|Gelfand|Fomin|2000|loc= p. 11, § 3.2}}.</रेफरी>
 <math display="block">\delta F [\rho; \phi] = \int \frac {\delta F} {\delta \rho}(x) \ \phi(x) \ dx \ .</math>
 अनुमान के अनुसार, <math>\phi</math> में परिवर्तन है <math>\rho</math>, तो हमारे पास 'औपचारिक' है <math>\phi = \delta\rho</math>, और फिर यह एक फ़ंक्शन के [[कुल अंतर]] के रूप में समान है <math>F(\rho_1,\rho_2,\dots,\rho_n)</math>,
 <math display="block"> dF = \sum_{i=1} ^n \frac {\partial F} {\partial \rho_i} \ d\rho_i \ ,</math>
 कहाँ <math>\rho_1,\rho_2,\dots,\rho_n</math> स्वतंत्र चर हैं।
-पिछले दो समीकरणों की तुलना, कार्यात्मक व्युत्पन्न <math>\delta F/\delta\rho(x)</math> आंशिक व्युत्पन्न के समान भूमिका है <math>\partial F/\partial\rho_i</math>, जहां एकीकरण का चर <math>x</math> सारांश सूचकांक के एक सतत संस्करण की तरह है <math>i</math>.<ref name=ParrYangP246>{{harv|Parr|Yang|1989|p=246}}.</ref>
+पिछले दो समीकरणों की तुलना, कार्यात्मक व्युत्पन्न <math>\delta F/\delta\rho(x)</math> आंशिक व्युत्पन्न के समान भूमिका है <math>\partial F/\partial\rho_i</math>, जहां एकीकरण का चर <math>x</math> सारांश सूचकांक के एक सतत संस्करण की तरह है <math>i</math>.<nowiki><ref name=ParrYangP246></nowiki>{{harv|Parr|Yang|1989|p=246}}.</ref>
 == गुण ==
 किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की तरह, कार्यात्मक व्युत्पन्न निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है, जहां {{math|''F''[''ρ'']}} और {{math|''G''[''ρ'']}} कार्यात्मक हैं:<ref group="Note">
@@ Line 54: / Line 40: @@
 **अगर {{math|''F''}} एक कार्यात्मक और है {{math|''G''}} एक और कार्यात्मक, फिर<ref>{{harv|Greiner|Reinhardt|1996|loc=p. 38, Eq. 6}}.</ref> <math display="block">\frac{\delta F[G[\rho]] }{\delta\rho(y)} = \int dx \frac{\delta F[G]}{\delta G(x)}_{G = G[\rho]}\cdot\frac {\delta G[\rho](x)} {\delta\rho(y)} \ . </math>
 **अगर {{math|''G''}} एक साधारण भिन्न कार्य है (स्थानीय कार्यात्मक) {{math|''g''}}, तो यह कम हो जाता है<ref>{{harv|Greiner|Reinhardt|1996|loc=p. 38, Eq. 7}}.</ref> <math display="block">\frac{\delta F[g(\rho)] }{\delta\rho(y)} = \frac{\delta F[g(\rho)]}{\delta g[\rho(y) ]} \ \frac {dg(\rho)} {d\rho(y)} \ . </math>
 == कार्यात्मक डेरिवेटिव का निर्धारण ==
 कार्यात्मकताओं के एक सामान्य वर्ग के लिए कार्यात्मक डेरिवेटिव निर्धारित करने के लिए एक सूत्र को फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव के अभिन्न अंग के रूप में लिखा जा सकता है। यह यूलर-लैग्रेंज समीकरण का एक सामान्यीकरण है: वास्तव में, लैग्रैंगियन यांत्रिकी (18 वीं शताब्दी) में कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत से दूसरे प्रकार के [[जोसेफ-लुई लाग्रेंज]] समीकरण की व्युत्पत्ति के भीतर भौतिकी में कार्यात्मक व्युत्पन्न पेश किया गया था। नीचे दिए गए पहले तीन उदाहरण घनत्व कार्यात्मक सिद्धांत (20वीं सदी) से लिए गए हैं, चौथे [[सांख्यिकीय यांत्रिकी]] (19वीं सदी) से लिए गए हैं।
 === सूत्र ===
-एक कार्यात्मक दिया
+एक कार्यात्मक दिया<math display="block">F[\rho] = \int f( \boldsymbol{r}, \rho(\boldsymbol{r}), \nabla\rho(\boldsymbol{r}) )\, d\boldsymbol{r},</math>और एक समारोह {{math|''ϕ''('''''r''''')}} जो एकीकरण के क्षेत्र की सीमा पर गायब हो जाता है, पिछले खंड कार्यात्मक व्युत्पन्न#परिभाषा से,<math display="block">\begin{align}
-<math display="block">F[\rho] = \int f( \boldsymbol{r}, \rho(\boldsymbol{r}), \nabla\rho(\boldsymbol{r}) )\, d\boldsymbol{r},</math>
-और एक समारोह {{math|''ϕ''('''''r''''')}} जो एकीकरण के क्षेत्र की सीमा पर गायब हो जाता है, पिछले खंड कार्यात्मक व्युत्पन्न#परिभाषा से,
-<math display="block">\begin{align}
 \int \frac{\delta F}{\delta\rho(\boldsymbol{r})} \, \phi(\boldsymbol{r}) \, d\boldsymbol{r}
 & = \left [ \frac{d}{d\varepsilon} \int f( \boldsymbol{r}, \rho + \varepsilon \phi, \nabla\rho+\varepsilon\nabla\phi )\, d\boldsymbol{r} \right ]_{\varepsilon=0} \\
@@ Line 71: / Line 52: @@
 & = \int \left( \frac{\partial f}{\partial\rho} - \nabla \cdot \frac{\partial f}{\partial\nabla\rho} \right) \phi(\boldsymbol{r}) \ d\boldsymbol{r} \, .
 \end{align}</math>
-[[कुल व्युत्पन्न]] का उपयोग करके दूसरी पंक्ति प्राप्त की जाती है, जहाँ {{math|''&part;f'' /''&part;&nabla;''''ρ''}} एक मैट्रिक्स कैलकुलस#स्केलर-बाय-वेक्टर है।<ref group="Note">For a three-dimensional Cartesian coordinate system,
+[[कुल व्युत्पन्न]] का उपयोग करके दूसरी पंक्ति प्राप्त की जाती है, जहाँ {{math|''&part;f'' /''&part;&nabla;''''ρ''}}''' एक मैट्रिक्स कैलकुलस#स्केलर-बाय-वेक्टर है।<ref group="Note">For a three-dimensional Cartesian coordinate system,
 <math display="block">\frac{\partial f}{\partial\nabla\rho} = \frac{\partial f}{\partial\rho_x} \mathbf{\hat{i}} + \frac{\partial f}{\partial\rho_y} \mathbf{\hat{j}} + \frac{\partial f}{\partial\rho_z} \mathbf{\hat{k}}\, ,</math>
-where <math>\rho_x = \frac{\partial \rho}{\partial x}\, , \ \rho_y = \frac{\partial \rho}{\partial y}\, , \ \rho_z = \frac{\partial \rho}{\partial z}</math> and <math>\mathbf{\hat{i}}</math>, <math>\mathbf{\hat{j}}</math>, <math>\mathbf{\hat{k}}</math> are unit vectors along the x, y, z axes.</ref>
+where <math>\rho_x = \frac{\partial \rho}{\partial x}\, , \ \rho_y = \frac{\partial \rho}{\partial y}\, , \ \rho_z = \frac{\partial \rho}{\partial z}</math> and <math>\mathbf{\hat{i}}</math>, <math>\mathbf{\hat{j}}</math>, <math>\mathbf{\hat{k}}</math> are unit vectors along the x, y, z axes.</ref>'''
-डायवर्जेंस # गुण के उपयोग से तीसरी पंक्ति प्राप्त की गई थी। डायवर्जेंस प्रमेय और शर्त का उपयोग करके चौथी पंक्ति प्राप्त की गई थी {{math|1=''ϕ'' = 0}} एकीकरण के क्षेत्र की सीमा पर। तब से {{math|''ϕ''}} भी एक मनमाना कार्य है, अंतिम पंक्ति में भिन्नता के कलन के मूलभूत लेम्मा को लागू करते हुए, कार्यात्मक व्युत्पन्न है
+डायवर्जेंस # गुण के उपयोग से तीसरी पंक्ति प्राप्त की गई थी। डायवर्जेंस प्रमेय और शर्त का उपयोग करके चौथी पंक्ति प्राप्त की गई थी {{math|1=''ϕ'' = 0}} एकीकरण के क्षेत्र की सीमा पर। तब से {{math|''ϕ''}} भी एक मनमाना कार्य है, अंतिम पंक्ति में भिन्नता के कलन के मूलभूत लेम्मा को लागू करते हुए, कार्यात्मक व्युत्पन्न है<math display="block">\frac{\delta F}{\delta\rho(\boldsymbol{r})} = \frac{\partial f}{\partial\rho} - \nabla \cdot \frac{\partial f}{\partial\nabla\rho} </math>कहाँ {{math|1=''ρ'' = ''ρ''('''''r''''')}} और {{math|1=''f'' = ''f'' ('''''r''''', ''ρ'', &nabla;''ρ'')}}. यह सूत्र द्वारा दिए गए कार्यात्मक रूप के मामले के लिए है {{math|''F''[''ρ'']}} इस खंड की शुरुआत में। अन्य कार्यात्मक रूपों के लिए, कार्यात्मक व्युत्पन्न की परिभाषा को इसके निर्धारण के लिए शुरुआती बिंदु के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है। (कार्यात्मक व्युत्पन्न#Coulomb स्थितिज ऊर्जा कार्यात्मक उदाहरण देखें।)
-<math display="block">\frac{\delta F}{\delta\rho(\boldsymbol{r})} = \frac{\partial f}{\partial\rho} - \nabla \cdot \frac{\partial f}{\partial\nabla\rho} </math>
+कार्यात्मक व्युत्पन्न के लिए उपरोक्त समीकरण को उस मामले में सामान्यीकृत किया जा सकता है जिसमें उच्च आयाम और उच्च आदेश डेरिवेटिव शामिल हैं। कार्यात्मक होगा,<math display="block">F[\rho(\boldsymbol{r})] = \int f( \boldsymbol{r}, \rho(\boldsymbol{r}), \nabla\rho(\boldsymbol{r}), \nabla^{(2)}\rho(\boldsymbol{r}), \dots, \nabla^{(N)}\rho(\boldsymbol{r}))\, d\boldsymbol{r},</math>जहां वेक्टर {{math|'''''r''''' &isin; '''R'''<sup>''n''</sup>}}, और {{math|&nabla;<sup>(''i'')</sup>}} एक टेन्सर है जिसका {{math|''n<sup>i</sup>''}} घटक ऑर्डर के आंशिक डेरिवेटिव ऑपरेटर हैं {{math|''i''}},<math display="block"> \left [ \nabla^{(i)} \right ]_{\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_i} = \frac {\partial^{\, i}} {\partial r_{\alpha_1} \partial r_{\alpha_2} \cdots \partial r_{\alpha_i} } \qquad \qquad \text{where} \quad \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_i = 1, 2, \cdots , n \ . </math><ref group="Note">For example, for the case of three dimensions ({{math|1=''n'' = 3}}) and second order derivatives ({{math|1=''i'' = 2}}), the tensor {{math|&nabla;<sup>(2)</sup>}} has components,
-कहाँ {{math|1=''ρ'' = ''ρ''('''''r''''')}} और {{math|1=''f'' = ''f'' ('''''r''''', ''ρ'', &nabla;''ρ'')}}. यह सूत्र द्वारा दिए गए कार्यात्मक रूप के मामले के लिए है {{math|''F''[''ρ'']}} इस खंड की शुरुआत में। अन्य कार्यात्मक रूपों के लिए, कार्यात्मक व्युत्पन्न की परिभाषा को इसके निर्धारण के लिए शुरुआती बिंदु के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है। (कार्यात्मक व्युत्पन्न#Coulomb स्थितिज ऊर्जा कार्यात्मक उदाहरण देखें।)
-कार्यात्मक व्युत्पन्न के लिए उपरोक्त समीकरण को उस मामले में सामान्यीकृत किया जा सकता है जिसमें उच्च आयाम और उच्च आदेश डेरिवेटिव शामिल हैं। कार्यात्मक होगा,
-<math display="block">F[\rho(\boldsymbol{r})] = \int f( \boldsymbol{r}, \rho(\boldsymbol{r}), \nabla\rho(\boldsymbol{r}), \nabla^{(2)}\rho(\boldsymbol{r}), \dots, \nabla^{(N)}\rho(\boldsymbol{r}))\, d\boldsymbol{r},</math>
-जहां वेक्टर {{math|'''''r''''' &isin; '''R'''<sup>''n''</sup>}}, और {{math|&nabla;<sup>(''i'')</sup>}} एक टेन्सर है जिसका {{math|''n<sup>i</sup>''}} घटक ऑर्डर के आंशिक डेरिवेटिव ऑपरेटर हैं {{math|''i''}},
-<math display="block"> \left [ \nabla^{(i)} \right ]_{\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_i} = \frac {\partial^{\, i}} {\partial r_{\alpha_1} \partial r_{\alpha_2} \cdots \partial r_{\alpha_i} } \qquad \qquad \text{where} \quad \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_i = 1, 2, \cdots , n \ . </math><ref group="Note">For example, for the case of three dimensions ({{math|1=''n'' = 3}}) and second order derivatives ({{math|1=''i'' = 2}}), the tensor {{math|&nabla;<sup>(2)</sup>}} has components,
 <math display="block"> \left [ \nabla^{(2)} \right ]_{\alpha \beta} = \frac {\partial^{\,2}} {\partial r_{\alpha} \, \partial r_{\beta}} \qquad \qquad \text{where} \quad \alpha, \beta = 1, 2, 3 \, . </math></ref>
-कार्यात्मक व्युत्पन्न उपज की परिभाषा का एक समान अनुप्रयोग
+कार्यात्मक व्युत्पन्न उपज की परिभाषा का एक समान अनुप्रयोग<math display="block">\begin{align}
-<math display="block">\begin{align}
 \frac{\delta F[\rho]}{\delta \rho} &{} = \frac{\partial f}{\partial\rho} - \nabla \cdot \frac{\partial f}{\partial(\nabla\rho)} + \nabla^{(2)} \cdot \frac{\partial f}{\partial\left(\nabla^{(2)}\rho\right)} + \dots + (-1)^N \nabla^{(N)} \cdot \frac{\partial f}{\partial\left(\nabla^{(N)}\rho\right)} \\
 &{} = \frac{\partial f}{\partial\rho} + \sum_{i=1}^N (-1)^{i}\nabla^{(i)} \cdot \frac{\partial f}{\partial\left(\nabla^{(i)}\rho\right)} \ .
-\end{align}</math>
+\end{align}</math>पिछले दो समीकरणों में, {{math|''n<sup>i</sup>''}} टेंसर के घटक <math> \frac{\partial f}{\partial\left(\nabla^{(i)}\rho\right)} </math> के आंशिक व्युत्पन्न हैं {{math|''f''}} ρ के आंशिक डेरिवेटिव के संबंध में,<math display="block"> \left [ \frac {\partial f} {\partial \left (\nabla^{(i)}\rho \right ) } \right ]_{\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_i} = \frac {\partial f} {\partial \rho_{\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_i} } \qquad \qquad \text{where} \quad \rho_{\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_i} \equiv \frac {\partial^{\, i}\rho} {\partial r_{\alpha_1} \, \partial r_{\alpha_2} \cdots \partial r_{\alpha_i} } \ , </math>और टेंसर स्केलर उत्पाद है,<math display="block"> \nabla^{(i)} \cdot \frac{\partial f}{\partial\left(\nabla^{(i)}\rho\right)} = \sum_{\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_i = 1}^n \ \frac {\partial^{\, i} } {\partial r_{\alpha_1} \, \partial r_{\alpha_2} \cdots \partial r_{\alpha_i} } \ \frac {\partial f} {\partial \rho_{\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_i} } \ . </math><ref group="Note">For example, for the case {{math|1=''n'' = 3}} and {{math|1=''i'' = 2}}, the tensor scalar product is,
-पिछले दो समीकरणों में, {{math|''n<sup>i</sup>''}} टेंसर के घटक <math> \frac{\partial f}{\partial\left(\nabla^{(i)}\rho\right)} </math> के आंशिक व्युत्पन्न हैं {{math|''f''}} ρ के आंशिक डेरिवेटिव के संबंध में,
-<math display="block"> \left [ \frac {\partial f} {\partial \left (\nabla^{(i)}\rho \right ) } \right ]_{\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_i} = \frac {\partial f} {\partial \rho_{\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_i} } \qquad \qquad \text{where} \quad \rho_{\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_i} \equiv \frac {\partial^{\, i}\rho} {\partial r_{\alpha_1} \, \partial r_{\alpha_2} \cdots \partial r_{\alpha_i} } \ , </math>
-और टेंसर स्केलर उत्पाद है,
-<math display="block"> \nabla^{(i)} \cdot \frac{\partial f}{\partial\left(\nabla^{(i)}\rho\right)} = \sum_{\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_i = 1}^n \ \frac {\partial^{\, i} } {\partial r_{\alpha_1} \, \partial r_{\alpha_2} \cdots \partial r_{\alpha_i} } \ \frac {\partial f} {\partial \rho_{\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_i} } \ . </math> <ref group="Note">For example, for the case {{math|1=''n'' = 3}} and {{math|1=''i'' = 2}}, the tensor scalar product is,
 <math display="block"> \nabla^{(2)} \cdot \frac{\partial f}{\partial\left(\nabla^{(2)}\rho\right)} = \sum_{\alpha, \beta = 1}^3 \ \frac {\partial^{\, 2} } {\partial r_{\alpha} \, \partial r_{\beta} } \ \frac {\partial f} {\partial \rho_{\alpha \beta} } \qquad \text{where} \ \ \rho_{\alpha \beta} \equiv \frac {\partial^{\, 2}\rho} {\partial r_{\alpha} \, \partial r_{\beta} } \ . </math></ref>
 === उदाहरण ===
 ====थॉमस-फर्मी गतिज ऊर्जा क्रियात्मक====
-के थॉमस-फर्मी मॉडल ने इलेक्ट्रॉनिक संरचना के घनत्व-कार्यात्मक सिद्धांत के पहले प्रयास में एक गैर-बाधित समान [[मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल]] के लिए कार्यात्मक गतिज ऊर्जा का उपयोग किया:
+के थॉमस-फर्मी मॉडल ने इलेक्ट्रॉनिक संरचना के घनत्व-कार्यात्मक सिद्धांत के पहले प्रयास में एक गैर-बाधित समान [[मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल]] के लिए कार्यात्मक गतिज ऊर्जा का उपयोग किया:<math display="block">T_\mathrm{TF}[\rho] = C_\mathrm{F} \int \rho^{5/3}(\mathbf{r}) \, d\mathbf{r} \, .</math>के एकीकरण के बाद से {{math|''T''<sub>TF</sub>[''ρ'']}} का डेरिवेटिव शामिल नहीं है {{math|''ρ''('''''r''''')}}, का कार्यात्मक व्युत्पन्न {{math|''T''<sub>TF</sub>[''ρ'']}} है,<ref name="ParrYangP247A.6">{{harv|Parr|Yang|1989|loc=p. 247, Eq. A.6}}.</ref><math display="block">\begin{align}
-<math display="block">T_\mathrm{TF}[\rho] = C_\mathrm{F} \int \rho^{5/3}(\mathbf{r}) \, d\mathbf{r} \, .</math>
-के एकीकरण के बाद से {{math|''T''<sub>TF</sub>[''ρ'']}} का डेरिवेटिव शामिल नहीं है {{math|''ρ''('''''r''''')}}, का कार्यात्मक व्युत्पन्न {{math|''T''<sub>TF</sub>[''ρ'']}} है,<ref name=ParrYangP247A.6>{{harv|Parr|Yang|1989|loc=p. 247, Eq. A.6}}.</ref>
-<math display="block">\begin{align}
 \frac{\delta T_{\mathrm{TF}}}{\delta \rho (\boldsymbol{r}) }
 & = C_\mathrm{F} \frac{\partial \rho^{5/3}(\mathbf{r})}{\partial \rho(\mathbf{r})} \\
 & = \frac{5}{3} C_\mathrm{F} \rho^{2/3}(\mathbf{r}) \, .
 \end{align}</math>
 ==== कूलम्ब स्थितिज ऊर्जा क्रियाशील ====
-इलेक्ट्रॉन-नाभिक क्षमता के लिए, थॉमस और फर्मी ने कूलम्ब के नियम संभावित ऊर्जा कार्यात्मक को नियोजित किया
+इलेक्ट्रॉन-नाभिक क्षमता के लिए, थॉमस और फर्मी ने कूलम्ब के नियम संभावित ऊर्जा कार्यात्मक को नियोजित किया<math display="block">V[\rho] = \int \frac{\rho(\boldsymbol{r})}{|\boldsymbol{r}|} \ d\boldsymbol{r}.</math>कार्यात्मक व्युत्पन्न की परिभाषा को लागू करना,<math display="block">\begin{align}
-<math display="block">V[\rho] = \int \frac{\rho(\boldsymbol{r})}{|\boldsymbol{r}|} \ d\boldsymbol{r}.</math>
-कार्यात्मक व्युत्पन्न की परिभाषा को लागू करना,
-<math display="block">\begin{align}
 \int \frac{\delta V}{\delta \rho(\boldsymbol{r})} \ \phi(\boldsymbol{r}) \ d\boldsymbol{r}
 & {} = \left [ \frac{d}{d\varepsilon} \int \frac{\rho(\boldsymbol{r}) + \varepsilon \phi(\boldsymbol{r})}{|\boldsymbol{r}|} \ d\boldsymbol{r} \right ]_{\varepsilon=0} \\
 & {} = \int \frac {1} {|\boldsymbol{r}|} \, \phi(\boldsymbol{r}) \ d\boldsymbol{r} \, .
-\end{align}</math>
+\end{align}</math>इसलिए,<math display="block"> \frac{\delta V}{\delta \rho(\boldsymbol{r})} = \frac{1}{|\boldsymbol{r}|} \ . </math>इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन अन्योन्य क्रिया के शास्त्रीय भाग के लिए, थॉमस और फर्मी ने कूलम्ब के नियम संभावित ऊर्जा क्रियात्मक का प्रयोग किया<math display="block">J[\rho] = \frac{1}{2}\iint \frac{\rho(\mathbf{r}) \rho(\mathbf{r}')}{| \mathbf{r}-\mathbf{r}' |}\, d\mathbf{r} d\mathbf{r}' \, .</math>कार्यात्मक व्युत्पन्न#कार्यात्मक व्युत्पन्न से,<math display="block">\begin{align}
-इसलिए,
-<math display="block"> \frac{\delta V}{\delta \rho(\boldsymbol{r})} = \frac{1}{|\boldsymbol{r}|} \ . </math>
-इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन अन्योन्य क्रिया के शास्त्रीय भाग के लिए, थॉमस और फर्मी ने कूलम्ब के नियम संभावित ऊर्जा क्रियात्मक का प्रयोग किया
-<math display="block">J[\rho] = \frac{1}{2}\iint \frac{\rho(\mathbf{r}) \rho(\mathbf{r}')}{| \mathbf{r}-\mathbf{r}' |}\, d\mathbf{r} d\mathbf{r}' \, .</math>
-कार्यात्मक व्युत्पन्न#कार्यात्मक व्युत्पन्न से,
-<math display="block">\begin{align}
 \int \frac{\delta J}{\delta\rho(\boldsymbol{r})} \phi(\boldsymbol{r})d\boldsymbol{r}
 & {} = \left [ \frac {d \ }{d\epsilon} \, J[\rho + \epsilon\phi] \right ]_{\epsilon = 0} \\
 & {} = \left [ \frac {d \ }{d\epsilon} \, \left ( \frac{1}{2}\iint \frac {[\rho(\boldsymbol{r}) + \epsilon \phi(\boldsymbol{r})] \, [\rho(\boldsymbol{r}') + \epsilon \phi(\boldsymbol{r}')] }{| \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}' |}\, d\boldsymbol{r} d\boldsymbol{r}' \right ) \right ]_{\epsilon = 0} \\
 & {} = \frac{1}{2}\iint \frac {\rho(\boldsymbol{r}') \phi(\boldsymbol{r}) }{| \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}' |}\, d\boldsymbol{r} d\boldsymbol{r}' + \frac{1}{2}\iint \frac {\rho(\boldsymbol{r}) \phi(\boldsymbol{r}') }{| \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}' |}\, d\boldsymbol{r} d\boldsymbol{r}' \\
-\end{align}</math>
+\end{align}</math>अंतिम समीकरण के दाहिने हाथ की ओर पहला और दूसरा पद बराबर हैं, क्योंकि {{math|'''''r'''''}} और {{math|'''''r&prime;'''''}} दूसरे पद में अभिन्न के मान को बदले बिना आपस में बदला जा सकता है। इसलिए,<math display="block"> \int \frac{\delta J}{\delta\rho(\boldsymbol{r})} \phi(\boldsymbol{r})d\boldsymbol{r} = \int \left ( \int \frac {\rho(\boldsymbol{r}') }{| \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}' |} d\boldsymbol{r}' \right ) \phi(\boldsymbol{r}) d\boldsymbol{r} </math><nowiki>और इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन कूलम्ब संभावित ऊर्जा कार्यात्मक के कार्यात्मक व्युत्पन्न {{math|</nowiki>''J''}[ρ] है,<ref name="ParrYangP248A.11">{{harv|Parr|Yang|1989|loc=p. 248, Eq. A.11}}.</ref><math display="block"> \frac{\delta J}{\delta\rho(\boldsymbol{r})} = \int \frac {\rho(\boldsymbol{r}') }{| \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}' |} d\boldsymbol{r}' \, . </math>दूसरा कार्यात्मक व्युत्पन्न है<math display="block">\frac{\delta^2 J[\rho]}{\delta \rho(\mathbf{r}')\delta\rho(\mathbf{r})} = \frac{\partial}{\partial \rho(\mathbf{r}')} \left ( \frac{\rho(\mathbf{r}')}{| \mathbf{r}-\mathbf{r}' |} \right ) = \frac{1}{| \mathbf{r}-\mathbf{r}' |}.</math>
-अंतिम समीकरण के दाहिने हाथ की ओर पहला और दूसरा पद बराबर हैं, क्योंकि {{math|'''''r'''''}} और {{math|'''''r&prime;'''''}} दूसरे पद में अभिन्न के मान को बदले बिना आपस में बदला जा सकता है। इसलिए,
-<math display="block"> \int \frac{\delta J}{\delta\rho(\boldsymbol{r})} \phi(\boldsymbol{r})d\boldsymbol{r} = \int \left ( \int \frac {\rho(\boldsymbol{r}') }{| \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}' |} d\boldsymbol{r}' \right ) \phi(\boldsymbol{r}) d\boldsymbol{r} </math>
-और इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन कूलम्ब संभावित ऊर्जा कार्यात्मक के कार्यात्मक व्युत्पन्न {{math|''J''}[ρ] है,<ref name=ParrYangP248A.11>{{harv|Parr|Yang|1989|loc=p. 248, Eq. A.11}}.</ref>
-<math display="block"> \frac{\delta J}{\delta\rho(\boldsymbol{r})} = \int \frac {\rho(\boldsymbol{r}') }{| \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}' |} d\boldsymbol{r}' \, . </math>
-दूसरा कार्यात्मक व्युत्पन्न है
-<math display="block">\frac{\delta^2 J[\rho]}{\delta \rho(\mathbf{r}')\delta\rho(\mathbf{r})} = \frac{\partial}{\partial \rho(\mathbf{r}')} \left ( \frac{\rho(\mathbf{r}')}{| \mathbf{r}-\mathbf{r}' |} \right ) = \frac{1}{| \mathbf{r}-\mathbf{r}' |}.</math>
 ====Weizsäcker काइनेटिक एनर्जी फंक्शनल====
-में कार्ल फ्रेडरिक वॉन वीज़सैकर | वॉन वीज़स्कर ने थॉमस-फर्मी गतिज ऊर्जा कार्यात्मक में एक क्रमिक सुधार जोड़ने का प्रस्ताव दिया ताकि इसे एक आणविक इलेक्ट्रॉन बादल के लिए बेहतर बनाया जा सके:
+में कार्ल फ्रेडरिक वॉन वीज़सैकर | वॉन वीज़स्कर ने थॉमस-फर्मी गतिज ऊर्जा कार्यात्मक में एक क्रमिक सुधार जोड़ने का प्रस्ताव दिया ताकि इसे एक आणविक इलेक्ट्रॉन बादल के लिए बेहतर बनाया जा सके:<math display="block">T_\mathrm{W}[\rho] = \frac{1}{8} \int \frac{\nabla\rho(\mathbf{r}) \cdot \nabla\rho(\mathbf{r})}{ \rho(\mathbf{r}) } d\mathbf{r} = \int t_\mathrm{W} \ d\mathbf{r} \, ,</math>कहाँ<math display="block"> t_\mathrm{W} \equiv \frac{1}{8} \frac{\nabla\rho \cdot \nabla\rho}{ \rho } \qquad \text{and} \ \ \rho = \rho(\boldsymbol{r}) \ . </math>कार्यात्मक व्युत्पन्न के लिए पहले से व्युत्पन्न कार्यात्मक व्युत्पन्न#फॉर्मूला का उपयोग करना,<math display="block">\begin{align}
-<math display="block">T_\mathrm{W}[\rho] = \frac{1}{8} \int \frac{\nabla\rho(\mathbf{r}) \cdot \nabla\rho(\mathbf{r})}{ \rho(\mathbf{r}) } d\mathbf{r} = \int t_\mathrm{W} \ d\mathbf{r} \, ,</math>
-कहाँ
-<math display="block"> t_\mathrm{W} \equiv \frac{1}{8} \frac{\nabla\rho \cdot \nabla\rho}{ \rho } \qquad \text{and} \ \ \rho = \rho(\boldsymbol{r}) \ . </math>
-कार्यात्मक व्युत्पन्न के लिए पहले से व्युत्पन्न कार्यात्मक व्युत्पन्न#फॉर्मूला का उपयोग करना,
-<math display="block">\begin{align}
 \frac{\delta T_\mathrm{W}}{\delta \rho(\boldsymbol{r})}
 & = \frac{\partial t_\mathrm{W}}{\partial \rho} - \nabla\cdot\frac{\partial t_\mathrm{W}}{\partial \nabla \rho} \\
 & = -\frac{1}{8}\frac{\nabla\rho \cdot \nabla\rho}{\rho^2} - \left ( \frac {1}{4} \frac {\nabla^2\rho} {\rho} - \frac {1}{4} \frac {\nabla\rho \cdot \nabla\rho} {\rho^2} \right ) \qquad \text{where} \ \ \nabla^2 = \nabla \cdot \nabla \ ,
-\end{align}</math>
+\end{align}</math>और परिणाम है,<ref name="ParrYangP247A.9">{{harv|Parr|Yang|1989|loc= p. 247, Eq. A.9}}.</ref><math display="block"> \frac{\delta T_\mathrm{W}}{\delta \rho(\boldsymbol{r})} = \ \ \, \frac{1}{8}\frac{\nabla\rho \cdot \nabla\rho}{\rho^2} - \frac{1}{4}\frac{\nabla^2\rho}{\rho} \ . </math>
-और परिणाम है,<ref name=ParrYangP247A.9>{{harv|Parr|Yang|1989|loc= p. 247, Eq. A.9}}.</ref>
-<math display="block"> \frac{\delta T_\mathrm{W}}{\delta \rho(\boldsymbol{r})} = \ \ \, \frac{1}{8}\frac{\nabla\rho \cdot \nabla\rho}{\rho^2} - \frac{1}{4}\frac{\nabla^2\rho}{\rho} \ . </math>
 ==== एंट्रॉपी ====
-असतत यादृच्छिक चर की [[सूचना एन्ट्रापी]] संभाव्यता द्रव्यमान समारोह का एक कार्य है।
+असतत यादृच्छिक चर की [[सूचना एन्ट्रापी]] संभाव्यता द्रव्यमान समारोह का एक कार्य है।<math display="block">H[p(x)] = -\sum_x p(x) \log p(x)</math>इस प्रकार,
-<math display="block">H[p(x)] = -\sum_x p(x) \log p(x)</math>
-इस प्रकार,
 <math display="block">\begin{align}
 \sum_x \frac{\delta H}{\delta p(x)} \, \phi(x)
@@ Line 197: / Line 137: @@
 पुनरावृत्त फ़ंक्शन का कार्यात्मक व्युत्पन्न <math>f(f(x))</math> द्वारा दिया गया है:
 <math display="block">\frac{\delta f(f(x))}{\delta f(y) } = f'(f(x))\delta(x-y) + \delta(f(x)-y)</math>
-और
+और<math display="block">\frac{\delta f(f(f(x)))}{\delta f(y) } = f'(f(f(x))(f'(f(x))\delta(x-y) + \delta(f(x)-y)) + \delta(f(f(x))-y)</math>सामान्य रूप में:<math display="block">\frac{\delta f^N(x)}{\delta f(y)} = f'( f^{N-1}(x) ) \frac{ \delta f^{N-1}(x)}{\delta f(y)} + \delta( f^{N-1}(x) - y ) </math>अंदर डालते हुए {{math|1=''N'' = 0}} देता है:<math display="block"> \frac{\delta f^{-1}(x)}{\delta f(y) } = - \frac{ \delta(f^{-1}(x)-y ) }{ f'(f^{-1}(x)) }</math>
-<math display="block">\frac{\delta f(f(f(x)))}{\delta f(y) } = f'(f(f(x))(f'(f(x))\delta(x-y) + \delta(f(x)-y)) + \delta(f(f(x))-y)</math>
-सामान्य रूप में:
+== डेल्टा फ़ंक्शन का परीक्षण फ़ंक्शन के रूप में उपयोग करना ==
-<math display="block">\frac{\delta f^N(x)}{\delta f(y)} = f'( f^{N-1}(x) ) \frac{ \delta f^{N-1}(x)}{\delta f(y)} + \delta( f^{N-1}(x) - y ) </math>
+भौतिकी में, [[डिराक डेल्टा समारोह]] का उपयोग करना आम है <math>\delta(x-y)</math> एक सामान्य परीक्षण समारोह के स्थान पर <math>\phi(x)</math>, बिंदु पर कार्यात्मक व्युत्पन्न उपज के लिए <math>y</math> (यह संपूर्ण कार्यात्मक व्युत्पन्न का एक बिंदु है क्योंकि [[आंशिक व्युत्पन्न]] ढाल का एक घटक है):<ref>{{harvnb|Greiner|Reinhardt|1996|p=37}}</ref><math display="block">\frac{\delta F[\rho(x)]}{\delta \rho(y)}=\lim_{\varepsilon\to 0}\frac{F[\rho(x)+\varepsilon\delta(x-y)]-F[\rho(x)]}{\varepsilon}.</math>
-अंदर डालते हुए {{math|1=''N'' = 0}} देता है:
-<math display="block"> \frac{\delta f^{-1}(x)}{\delta f(y) } = - \frac{ \delta(f^{-1}(x)-y ) }{ f'(f^{-1}(x)) }</math>
-== डेल्टा फ़ंक्शन का परीक्षण फ़ंक्शन के रूप में उपयोग करना ==
-भौतिकी में, [[डिराक डेल्टा समारोह]] का उपयोग करना आम है <math>\delta(x-y)</math> एक सामान्य परीक्षण समारोह के स्थान पर <math>\phi(x)</math>, बिंदु पर कार्यात्मक व्युत्पन्न उपज के लिए <math>y</math> (यह संपूर्ण कार्यात्मक व्युत्पन्न का एक बिंदु है क्योंकि [[आंशिक व्युत्पन्न]] ढाल का एक घटक है):<ref>{{harvnb|Greiner|Reinhardt|1996|p=37}}</ref>
-<math display="block">\frac{\delta F[\rho(x)]}{\delta \rho(y)}=\lim_{\varepsilon\to 0}\frac{F[\rho(x)+\varepsilon\delta(x-y)]-F[\rho(x)]}{\varepsilon}.</math>
 यह उन मामलों में काम करता है जब <math>F[\rho(x)+\varepsilon f(x)]</math> औपचारिक रूप से एक श्रृंखला (या कम से कम पहले क्रम तक) के रूप में विस्तारित किया जा सकता है <math>\varepsilon</math>. सूत्र हालांकि गणितीय रूप से कठोर नहीं है, क्योंकि <math>F[\rho(x)+\varepsilon\delta(x-y)]</math> आमतौर पर परिभाषित भी नहीं किया जाता है।
@@ Line 216: / Line 151: @@
 ==टिप्पणियाँ==
 {{Reflist|group=Note}}
 == फुटनोट्स ==

v t e Analysis in topological vector spaces
Basic concepts	Abstract Wiener space Classical Wiener space Bochner space Convex series Cylinder set measure Infinite-dimensional vector function Matrix calculus Vector calculus
Derivatives	Differentiable vector–valued functions from Euclidean space Differentiation in Fréchet spaces Fréchet derivative Total Functional derivative Gateaux derivative Directional Generalizations of the derivative Hadamard derivative Holomorphic Quasi-derivative
Measurability	Besov measure Cylinder set measure Canonical Gaussian Classical Wiener measure Measure like set functions infinite-dimensional Gaussian measure Projection-valued Vector Bochner / Weakly / Strongly measurable function Radonifying function
Integrals	Bochner Direct integral Dunford Gelfand–Pettis/Weak Regulated Paley–Wiener
Results	Cameron–Martin theorem Inverse function theorem Nash–Moser theorem Feldman–Hájek theorem No infinite-dimensional Lebesgue measure Sazonov's theorem Structure theorem for Gaussian measures
Related	Covariance operator
Functional calculus	Borel functional calculus Continuous functional calculus Holomorphic functional calculus
Applications	Banach manifold (bundle) Convenient vector space Choquet theory Fréchet manifold Hilbert manifold

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Revision as of 20:03, 2 May 2023

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परिभाषा

कार्यात्मक व्युत्पन्न

कार्यात्मक अंतर

गुण

कार्यात्मक डेरिवेटिव का निर्धारण

सूत्र

उदाहरण

थॉमस-फर्मी गतिज ऊर्जा क्रियात्मक

कूलम्ब स्थितिज ऊर्जा क्रियाशील

Weizsäcker काइनेटिक एनर्जी फंक्शनल

एंट्रॉपी

घातीय

एक समारोह के कार्यात्मक व्युत्पन्न

पुनरावृत्त फ़ंक्शन का कार्यात्मक व्युत्पन्न

डेल्टा फ़ंक्शन का परीक्षण फ़ंक्शन के रूप में उपयोग करना

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कार्यात्मक अंतर

गुण

कार्यात्मक डेरिवेटिव का निर्धारण

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कूलम्ब स्थितिज ऊर्जा क्रियाशील

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