आंशिक आदर्श: Difference between revisions

Revision as of 11:20, 2 May 2023

गणित में, विशेष रूप से क्रमविनिमेय बीजगणित में, आंशिक आदर्श की अवधारणा को अभिन्न डोमेन के संदर्भ में प्रस्तुत किया जाता है और डेडेकिंड डोमेन के अध्ययन में विशेष रूप से उपयोगी है। कुछ अर्थों में, एक अभिन्न डोमेन के आंशिक आदर्श आदर्श (रिंग सिद्धांत) की तरह होते हैं जहां भाजक की अनुमति होती है। संदर्भों में जहां भिन्नात्मक आदर्श और साधारण रिंग आदर्श दोनों चर्चा के अधीन हैं, बाद वाले को कभी-कभी स्पष्टता के लिए 'अभिन्न आदर्श' कहा जाता है।

त्मक आदर्श और साधारण रिंग आदर्श दोनों चर्चा के अधीन हैं, बाद वाले को कभी-कभी स्पष्टता के लिए 'अभिन्न आदर्श' कहा जाता है।

परिभाषा और मूल परिणाम

मान लें कि $R$ एक अभिन्न डोमेन है, और $K=\operatorname {Frac} R$ इसके भिन्नों का क्षेत्र है।

$R$ का एक आंशिक आदर्श $K$ का एक $R$ -उपमॉड्यूल है जैसे कि $R$ में एक गैर-शून्य $r\in R$ उपस्थित है जैसे कि $rI\subseteq R$ तत्व $r$ को $I$ में हरों को साफ करने के रूप में माना जा सकता है, इसलिए इसका नाम भिन्नात्मक आदर्श है।

प्रमुख आंशिक आदर्श वे हैं $R$ - के उपमॉड्यूल $K$ के एक एकल अशून्य तत्व द्वारा उत्पन्न $K$ . एक आंशिक आदर्श $I$ में निहित है $R$ यदि , और केवल यदि , यह एक ('अभिन्न') आदर्श है $R$ .

एक भिन्नात्मक आदर्श $I$ को व्युत्क्रमणीय कहा जाता है यदि कोई अन्य भिन्नात्मक आदर्श $J$ ऐसा हो

IJ=R

जहाँ

I J = {a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n} : a

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 मान लें कि <math>R</math> एक अभिन्न डोमेन है, और <math>K = \operatorname{Frac}R</math>  इसके भिन्नों का क्षेत्र है।
-<math>R</math> का एक आंशिक आदर्श <math>K</math> का एक <math>R</math>-उपमॉड्यूल I है जैसे कि <math>R</math> में एक गैर-शून्य <math>r \in R</math> उपस्थित है जैसे कि <math>rI\subseteq R</math> तत्व <math>r</math> को <math>I</math> में हरों को साफ करने के रूप में माना जा सकता है, इसलिए इसका नाम भिन्नात्मक आदर्श है।
+<math>R</math> का एक आंशिक आदर्श <math>K</math> का एक <math>R</math>-उपमॉड्यूल है जैसे कि <math>R</math> में एक गैर-शून्य <math>r \in R</math> उपस्थित है जैसे कि <math>rI\subseteq R</math> तत्व <math>r</math> को <math>I</math> में हरों को साफ करने के रूप में माना जा सकता है, इसलिए इसका नाम भिन्नात्मक आदर्श है।
 प्रमुख आंशिक आदर्श वे हैं <math>R</math>- के उपमॉड्यूल <math>K</math> के एक एकल अशून्य तत्व द्वारा उत्पन्न <math>K</math>. एक आंशिक आदर्श <math>I</math> में निहित है <math>R</math> यदि , और केवल यदि , यह एक ('अभिन्न') आदर्श है <math>R</math>.
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 इस स्थिति में, आंशिक आदर्श <math>J</math> विशिष्ट रूप से निर्धारित और सामान्यीकृत [[आदर्श भागफल]] के समान है
 :<math>(R :_{K} I) = \{ x \in K : xI \subseteq R \}.</math>
-व्युत्क्रमणीय भिन्नात्मक आदर्शों का समूह उपरोक्त उत्पाद के संबंध में एक एबेलियन समूह बनाता है, जहां पहचान स्वयं इकाई आदर्श <math>(1) = R</math> है। इस समूह को <math>R</math> के भिन्नात्मक आदर्शों का समूह कहा जाता है। प्रमुख भिन्नात्मक आदर्श एक उपसमूह बनाते हैं।  (अशून्य) आंशिक आदर्श व्युत्क्रम है, और केवल यदि , यह <math>R</math>-मॉड्यूल के रूप में प्रक्षेप्य है। ज्यामितीय रूप से, इसका अर्थ है कि एक व्युत्क्रमणीय भिन्नात्मक आदर्श को श्रेणी 1 वेक्टर बंडल के रूप में व्याख्या की जा सकती है जो कि एफ़िन योजना <math>\text{Spec}(R)</math> पर है।
+व्युत्क्रमणीय भिन्नात्मक आदर्शों का समूह उपरोक्त उत्पाद के संबंध में एक एबेलियन समूह बनाता है, जहां पहचान स्वयं इकाई आदर्श <math>(1) = R</math> है। इस समूह को <math>R</math> के भिन्नात्मक आदर्शों का समूह कहा जाता है। प्रमुख भिन्नात्मक आदर्श एक उपसमूह बनाते हैं।  (अशून्य) आंशिक आदर्श व्युत्क्रम है, और केवल यदि यह <math>R</math>-मॉड्यूल के रूप में प्रक्षेप्य है। ज्यामितीय रूप से इसका अर्थ है कि एक व्युत्क्रमणीय भिन्नात्मक आदर्श को श्रेणी 1 वेक्टर बंडल के रूप में व्याख्या की जा सकती है जो कि एफ़िन योजना <math>\text{Spec}(R)</math> पर है।
 K का प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न <math>R</math>-उपमॉड्यूल एक भिन्नात्मक आदर्श है और यदि R नोथेरियन है तो ये सभी <math>R</math> के भिन्नात्मक आदर्श हैं।
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 == संख्या क्षेत्र ==
-संख्या क्षेत्र <math>K</math> के विशेष स्थिति के लिए (जैसे कि <math>\mathbb{Q}(\zeta_n)</math>) वहाँ एक संबंधित रिंग है जिसे <math>\mathcal{O}_K</math>कहा जाता है। <math>K</math> के पूर्णांक। उदाहरण के लिए,<math>\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt{d})} = \mathbb{Z}[\sqrt{d}]</math> <math>d</math> वर्ग के लिए मुफ्त और <math>2,3 \text{ }(\text{mod } 4)</math> के समान है। इन रिंग की मुख्य संपत्ति <math>\mathcal{O}_K</math> है, वे डेडेकिंड डोमेन हैं। इसलिए संख्या क्षेत्रों के पूर्णांकों के छल्ले के लिए भिन्नात्मक आदर्शों के सिद्धांत का वर्णन किया जा सकता है। वास्तव में, वर्ग क्षेत्र सिद्धांत वर्ग रिंग्स के ऐसे समूहों का अध्ययन है।
+संख्या क्षेत्र <math>K</math> के विशेष स्थिति के लिए (जैसे कि <math>\mathbb{Q}(\zeta_n)</math>) वहाँ एक संबंधित रिंग है जिसे <math>\mathcal{O}_K</math>कहा जाता है। <math>K</math> के पूर्णांक उदाहरण के लिए,<math>\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt{d})} = \mathbb{Z}[\sqrt{d}]</math> <math>d</math> वर्ग के लिए मुफ्त और <math>2,3 \text{ }(\text{mod } 4)</math> के समान है। इन रिंग की मुख्य संपत्ति <math>\mathcal{O}_K</math> है, वे डेडेकिंड डोमेन हैं। इसलिए संख्या क्षेत्रों के पूर्णांकों के रिंग  के  लिए  भिन्नात्मक  आदर्शों  के  सिद्धांत  का  वर्णन  किया  जा  सकता  है।  वास्तव  में  वर्ग  क्षेत्र  सिद्धांत  वर्ग  रिंग्स  के  ऐसे  समूहों  का  अध्ययन  है।
-=== संबंधित संरचनाएं ===
+=== संबंधित  संरचनाएं ===
-पूर्णांकों की रिंग के लिए<ref>{{Cite book|last=Childress|first=Nancy|url=https://www.worldcat.org/oclc/310352143|title=वर्ग क्षेत्र सिद्धांत|date=2009|publisher=Springer|isbn=978-0-387-72490-4|location=New York|oclc=310352143}}</ref><sup>pg 2</sup>  <math>\mathcal{O}_K</math> एक संख्या क्षेत्र के लिए, आंशिक आदर्शों का समूह एक समूह को निरूपित करता है <math>\mathcal{I}_K</math>  और प्रमुख आंशिक आदर्शों के उपसमूह को  <math>\mathcal{P}_K</math>. के रूप में दर्शाया गया है। आदर्श वर्ग समूह भिन्नात्मक आदर्शों का समूह है जो प्रमुख भिन्नात्मक आदर्शों को मापता है, इसलिए
+पूर्णांकों  की  रिंग  के  लिए<ref>{{Cite book|last=Childress|first=Nancy|url=https://www.worldcat.org/oclc/310352143|title=वर्ग क्षेत्र सिद्धांत|date=2009|publisher=Springer|isbn=978-0-387-72490-4|location=New York|oclc=310352143}}</ref><sup>pg  2</sup>  <math>\mathcal{O}_K</math>  एक  संख्या  क्षेत्र  के  लिए,  आंशिक  आदर्शों  का  समूह  एक  समूह  को  निरूपित  करता  है  <math>\mathcal{I}_K</math>  और  प्रमुख  आंशिक  आदर्शों  के  उपसमूह  को  <math>\mathcal{P}_K</math>.  के  रूप  में  दर्शाया  गया  है।  आदर्श  वर्ग  समूह  भिन्नात्मक  आदर्शों  का  समूह  है  जो प्रमुख भिन्नात्मक आदर्शों को मापता है, इसलिए
 : <math>\mathcal{C}_K := \mathcal{I}_K/\mathcal{P}_K</math>
-और इसकी कक्षा संख्या <math>h_K</math> समूह <math>h_K = |\mathcal{C}_K|</math> का क्रम है . कुछ मायनों में, वर्ग संख्या इस बात का माप है कि पूर्णांकों का वलय कितना दूर है <math>\mathcal{O}_K</math> एक अद्वितीय कारककरण डोमेन होने से है। यह है क्योंकि <math>h_K = 1</math> यदि  और केवल यदि  <math>\mathcal{O}_K</math> एक यूएफडी है।
+और इसकी कक्षा संख्या <math>h_K</math> समूह <math>h_K = |\mathcal{C}_K|</math> का क्रम है कुछ मायनों में, वर्ग संख्या इस बात का माप है कि पूर्णांकों का वलय कितना दूर है <math>\mathcal{O}_K</math> एक अद्वितीय कारककरण डोमेन होने से है। यह है क्योंकि <math>h_K = 1</math> यदि  और केवल यदि  <math>\mathcal{O}_K</math> एक यूएफडी है।
 ==== आदर्श वर्ग समूहों के लिए [[सटीक क्रम|स्पष्ट क्रम]] ====

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