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[[File:Cobordism.svg|thumb|सह-सीमावाद (डब्ल्यू; एम, एन)।]]गणित में, '''सह-सीमावाद''' एक समान आयाम के सुसंहत प्रसमष्‍टि के वर्ग पर एक मौलिक तुल्यता संबंध है, जो कि प्रसमष्‍टि की सीमा (फ्रेंच बोर्ड, सह-सीमावाद) की अवधारणा का उपयोग करके स्थापित किया गया है। समान आयाम के दो प्रसमष्‍टि समरूप होते हैं यदि उनका असंयुक्‍त सम्मिलन एक सुसंहत प्रसमष्‍टि एक आयाम की सीमा है।
[[File:Cobordism.svg|thumb|सह-सीमावाद (W,M,N)]]गणित में, '''सह-सीमावाद''' एक समान आयाम के सुसंहत प्रसमष्‍टि के वर्ग पर एक मौलिक तुल्यता संबंध है, जो कि प्रसमष्‍टि की सीमा (फ्रेंच बोर्ड, सह-सीमावाद) की अवधारणा का उपयोग करके स्थापित किया गया है। समान आयाम के दो प्रसमष्‍टि समरूप होते हैं यदि उनका असंयुक्‍त सम्मिलन एक सुसंहत प्रसमष्‍टि एक आयाम की सीमा है।


एक (n + 1)-आयामी प्रसमष्‍टि W की सीमा एक n-आयामी प्रसमष्‍टि ∂W है जो कि रिक्त सीमा के साथ संवृत है। सामान्य रूप से, एक संवृत प्रसमष्‍टि को सीमा सह-सीमावाद सिद्धांत नहीं होना चाहिए, सभी संवृत प्रसमष्‍टि और जो सीमाएं हैं, के बीच अंतर का अध्ययन है। सिद्धांत मूल रूप से रेने थॉम द्वारा सामान्य प्रसमष्‍टि (अर्थात, अलग-अलग) के लिए विकसित किया गया था, लेकिन अब भागों के रैखिक और सांंस्थितिक प्रसमष्‍टि के संस्करण भी हैं।
एक (n + 1)-आयामी प्रसमष्‍टि W की सीमा एक n-आयामी प्रसमष्‍टि ∂W है जो कि रिक्त सीमा के साथ संवृत है। सामान्य रूप से, एक संवृत प्रसमष्‍टि को सीमा सह-सीमावाद सिद्धांत नहीं होना चाहिए, सभी संवृत प्रसमष्‍टि और जो सीमाएं हैं, के बीच अंतर का अध्ययन है। सिद्धांत मूल रूप से रेने थॉम द्वारा सामान्य प्रसमष्‍टि (अर्थात, अलग-अलग) के लिए विकसित किया गया था, लेकिन अब भागों के रैखिक और सांंस्थितिक प्रसमष्‍टि के संस्करण भी हैं।
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प्रसमष्‍टि ''M'' और ''N'' के बीच एक ''सह-सीमावाद'' एक सुसंहत प्रसमष्‍टि ''W'' है, जिसकी सीमा ''M'' और ''N'' का <math>\partial W=M \sqcup N</math> असंयुक्‍त सम्मिलन है।
प्रसमष्‍टि ''M'' और ''N'' के बीच एक ''सह-सीमावाद'' एक सुसंहत प्रसमष्‍टि ''W'' है, जिसकी सीमा ''M'' और ''N'' का <math>\partial W=M \sqcup N</math> असंयुक्‍त सम्मिलन है।


सह-सीमावाद का अध्ययन उनके द्वारा उत्पन्न समतुल्यता संबंध के लिए और अपने आप में वस्तुओं के रूप में किया जाता है। सह-सीमावाद अवकलनीय तद्वता या सम-आकारिकी की तुलना में बहुत स्थूल तुल्यता संबंध है, और इसका अध्ययन और गणना करना काफी आसान है। आयाम ≥ 4 में अवकलनीय तद्वता या सम-आकारिकी तक प्रसमष्टि वर्गीकृत करना संभव नहीं है - क्योंकि समूहों के लिए पद समस्या को संशोधित नहीं किया जा सकता है - लेकिन सह-सीमावाद तक प्रसमष्टि वर्गीकृत करना संभव है। सह-सीमावाद ज्यामितीय सांस्थिति और बीजगणितीय सांस्थिति में अध्ययन की केंद्रीय वस्तुएं हैं। ज्यामितीय सांस्थिति में, सह-सीमावाद मोर्स सिद्धांत के साथ घनिष्ठ रूप से जुड़े हुए हैं, और h-सह-सीमावाद उच्च-आयामी प्रसमष्टि, अर्थात् प्रसमष्टि सिद्धांत के अध्ययन में मौलिक हैं। बीजगणितीय सांस्थिति में, सह-सीमावाद सिद्धांत मौलिक असाधारण सह समरूपता सिद्धांत हैं, और सह-सीमावाद की श्रेणियां सांंस्थितिक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांतों के प्रक्षेत्र हैं।
सह-सीमावाद का अध्ययन उनके द्वारा उत्पन्न समतुल्यता संबंध के लिए और स्वयं में वस्तुओं के रूप में किया जाता है। सह-सीमावाद अवकलनीय तद्वता या सम-आकारिकी की तुलना में बहुत स्थूल तुल्यता संबंध है, और इसका अध्ययन और गणना करना अपेक्षाकृत अधिक आसान है। आयाम ≥ 4 में अवकलनीय तद्वता या सम-आकारिकी तक प्रसमष्टि वर्गीकृत करना संभव नहीं है - क्योंकि समूहों के लिए पद समस्या को संशोधित नहीं किया जा सकता है - लेकिन सह-सीमावाद तक प्रसमष्टि वर्गीकृत करना संभव है। सह-सीमावाद ज्यामितीय सांस्थिति और बीजगणितीय सांस्थिति में अध्ययन की केंद्रीय वस्तुएं हैं। ज्यामितीय सांस्थिति में, सह-सीमावाद मोर्स सिद्धांत के साथ अधिकतम संयोजित होते हैं, और h-सह-सीमावाद उच्च-आयामी प्रसमष्टि, अर्थात् प्रसमष्टि सिद्धांत के अध्ययन में मौलिक हैं। बीजगणितीय सांस्थिति में, सह-सीमावाद सिद्धांत मौलिक असाधारण सह समरूपता सिद्धांत हैं, और सह-सीमावाद की श्रेणियां सांंस्थितिक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांतों के प्रक्षेत्र हैं।


== परिभाषा ==
== परिभाषा ==


=== प्रसमष्‍टि ===
=== प्रसमष्‍टि ===
सामान्य रूप से, एक n-आयाम प्रसमष्‍टि (गणित) M एक स्थलीय सांस्थितिक समष्टि [[पड़ोस (गणित)|प्रतिवेश (गणित)]] है (अर्थात, प्रत्येक बिंदु के पास) सम-आकारिकी [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडियन समष्टि]] <math>\R^n</math> के एक विवृत उपसमुच्चय के लिए होमियोमॉर्फिक है। सीमा के साथ प्रसमष्टि समान है, इसके अतिरिक्त कि M के एक बिंदु को एक प्रतिवेश रखने की अनुमति है जो अर्धसमष्‍टि(ज्यामिति) के विवृत उपसमुच्चय के लिए होमोमोर्फिक है
सामान्य रूप से, एक n-आयाम प्रसमष्‍टि (गणित) M एक स्थलीय सांस्थितिक समष्टि [[पड़ोस (गणित)|प्रतिवेश (गणित)]] है (अर्थात, प्रत्येक बिंदु के पास) सम-आकारिकी [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडियन समष्टि]] <math>\R^n</math> के एक विवृत उपसमुच्चय के लिए होमियोमॉर्फिक है। सीमा के साथ प्रसमष्टि समान है, इसके अतिरिक्त कि M के एक बिंदु को एक प्रतिवेश रखने की स्वीकृति है जो अर्धसमष्‍टि(ज्यामिति) के विवृत उपसमुच्चय के लिए होमोमोर्फिक है


:<math>\{(x_1,\ldots,x_n) \in \R^n \mid x_n \geqslant 0\}.</math>
:<math>\{(x_1,\ldots,x_n) \in \R^n \mid x_n \geqslant 0\}.</math>
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=== प्रकार ===
=== प्रकार ===
उपरोक्त परिभाषा का सबसे मौलिक रूप है। इसे उन्मुख सीमवाद भी कहा जाता है। कई स्थितियों में, प्रश्न में प्रसमष्टि उन्मुख होते हैं, या GG-संरचना के रूप में संदर्भित कुछ अन्य अतिरिक्त संरचना ले जाते हैं। यह क्रमशः "उन्मुख सह सीमवाद" और "G-संरचना के साथ सह सीमवाद" को उत्पन्न करता है। अनुकूल तकनीकी परिस्थितियों में ये एक श्रेणीबद्ध वलय बनाते हैं जिसे '''सह सीमवाद वलय''' <math>\Omega^G_*</math> कहा जाता है, आयाम द्वारा क्रमिक के साथ, अलग संघ द्वारा जोड़ और कार्तीय गुणनफल द्वारा गुणा किया जाता है। सह सीमवाद समूह <math>\Omega^G_*</math> एक सामान्यीकृत होमोलॉजी (सजातीयता) सिद्धांत के गुणांक समूह हैं।
उपरोक्त परिभाषा का सबसे मौलिक रूप है। इसे उन्मुख सीमवाद भी कहा जाता है। कई स्थितियों में, प्रश्न में प्रसमष्टि उन्मुख होते हैं, या GG-संरचना के रूप में संदर्भित कुछ अन्य अतिरिक्त संरचना ले जाते हैं। यह क्रमशः "उन्मुख सह सीमवाद" और "G-संरचना के साथ सह सीमवाद" को उत्पन्न करता है। अनुकूल तकनीकी परिस्थितियों में ये एक श्रेणीबद्ध वलय बनाते हैं जिसे '''सह सीमवाद वलय''' <math>\Omega^G_*</math> कहा जाता है, आयाम द्वारा क्रमिक के साथ, अलग संघ द्वारा जोड़ और कार्तीय गुणनफल द्वारा गुणा किया जाता है। सह सीमवाद समूह <math>\Omega^G_*</math> एक सामान्यीकृत सजातीय (सजातीयता) सिद्धांत के गुणांक समूह हैं।


जब अतिरिक्त संरचना होती है, तो सह-सीमावाद की धारणा को अधिक परिशुद्ध रूप से तैयार किया जाना चाहिए: डब्ल्यू पर एक जी-संरचना एम और एन पर जी-संरचना तक सीमित है।
जब अतिरिक्त संरचना होती है, तो सह-सीमावाद की धारणा को अधिक परिशुद्ध रूप से तैयार किया जाना चाहिए: डब्ल्यू पर एक जी-संरचना एम और एन पर जी-संरचना तक सीमित है।
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इसी तरह, शल्य चिकित्सा सिद्धांत में एक मानक उपकरण सामान्य मानचित्रों पर शल्य चिकित्सा है: ऐसी प्रक्रिया एक सामान्य मानचित्र को उसी सीमवाद वर्ग के अंदर दूसरे सामान्य मानचित्र में परिवर्तित कर देती है।
इसी तरह, शल्य चिकित्सा सिद्धांत में एक मानक उपकरण सामान्य मानचित्रों पर शल्य चिकित्सा है: ऐसी प्रक्रिया एक सामान्य मानचित्र को उसी सीमवाद वर्ग के अंदर दूसरे सामान्य मानचित्र में परिवर्तित कर देती है।


अतिरिक्त संरचना पर विचार करने के अतिरिक्त, प्रसमष्‍टि की विभिन्न धारणाओं को ध्यान में रखना भी संभव है, विशेष रूप से खंडश: रैखिक (पीएल) और सांंस्थितिक प्रसमष्‍टिके विभिन्न विचारों को ध्यान में रखना भी संभव है। यह सीमावाद समूहों <math>\Omega_*^{PL}(X), \Omega_*^{TOP}(X)</math> को उत्पन्न करता है, जिनकी गणना करना अलग-अलग प्रतिवर्त की तुलना में कठिन है।{{citation needed|date=September 2018}}
अतिरिक्त संरचना पर विचार करने के अतिरिक्त, प्रसमष्‍टि की विभिन्न धारणाओं को ध्यान में रखना भी संभव है, विशेष रूप से खंडश: रैखिक (पीएल) और सांंस्थितिक प्रसमष्‍टि के विभिन्न विचारों को ध्यान में रखना भी संभव है। यह सीमावाद समूहों <math>\Omega_*^{PL}(X), \Omega_*^{TOP}(X)</math> को उत्पन्न करता है, जिनकी गणना करना अलग-अलग प्रतिवर्त की तुलना में कठिन है।{{citation needed|date=September 2018}}


==शल्य चिकित्सा का निर्माण==
==शल्य चिकित्सा का निर्माण==
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:<math>N := (M - \operatorname{int~im}\varphi) \cup_{\varphi|_{\mathbb{S}^p\times \mathbb{S}^{q-1}}} \left(\mathbb{D}^{p+1}\times \mathbb{S}^{q-1}\right)</math>
:<math>N := (M - \operatorname{int~im}\varphi) \cup_{\varphi|_{\mathbb{S}^p\times \mathbb{S}^{q-1}}} \left(\mathbb{D}^{p+1}\times \mathbb{S}^{q-1}\right)</math>
प्रसमष्टि सिद्धांत द्वारा प्राप्त किया गया <math>\mathbb{S}^p \times \mathbb{D}^q</math> के आंतरिक भाग को प्रतिच्छेद करके संश्लेषित करके  <math>\mathbb{D}^{p+1} \times \mathbb{S}^{q-1}</math> शल्य चिकित्सा द्वारा प्राप्त किया गया, उनकी सीमा के साथ
प्रसमष्टि सिद्धांत द्वारा प्राप्त किया गया <math>\mathbb{S}^p \times \mathbb{D}^q</math> के आंतरिक भाग को प्रतिच्छेद करके संश्लेषित करके  <math>\mathbb{D}^{p+1} \times \mathbb{S}^{q-1}</math> प्रसमष्टि द्वारा प्राप्त किया गया, उनकी सीमा के साथ


:<math>\partial \left (\mathbb{S}^p \times \mathbb{D}^q \right) = \mathbb{S}^p \times \mathbb{S}^{q-1} = \partial \left( \mathbb{D}^{p+1} \times \mathbb{S}^{q-1} \right).</math>
:<math>\partial \left (\mathbb{S}^p \times \mathbb{D}^q \right) = \mathbb{S}^p \times \mathbb{S}^{q-1} = \partial \left( \mathbb{D}^{p+1} \times \mathbb{S}^{q-1} \right).</math>
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एक सह सीमवाद (W; M, N) को देखते हुए एक सामान्य फलन :W → [0, -1] जैसे कि f<sup>−1</sup>(0) = M, F<sup>−1</sup>(1) = N सम्मिलित है। सामान्य स्थिति से, कोई मान सकता है कि f मोर्स है और ऐसा है कि सभी महत्वपूर्ण बिंदु W के आंतरिक भाग में होते हैं। इस समुच्चयन में f को सह-सीमावाद पर मोर्स फलन कहा जाता है। सह-सीमावाद (W; M, N) M पर प्रसमष्टि के अनुक्रम के संकेत का एक संघ है, F के प्रत्येक महत्वपूर्ण बिंदु के लिए एक नियंत्रण अपघटन संलग्न करके प्रसमष्‍टि W, M × [0, -1] से प्राप्त किया जाता है।
एक सह सीमवाद (W; M, N) को देखते हुए एक सामान्य फलन :W → [0, -1] जैसे कि f<sup>−1</sup>(0) = M, F<sup>−1</sup>(1) = N सम्मिलित है। सामान्य स्थिति से, कोई मान सकता है कि f मोर्स है और ऐसा है कि सभी महत्वपूर्ण बिंदु W के आंतरिक भाग में होते हैं। इस समुच्चयन में f को सह-सीमावाद पर मोर्स फलन कहा जाता है। सह-सीमावाद (W; M, N) M पर प्रसमष्टि के अनुक्रम के संकेत का एक संघ है, F के प्रत्येक महत्वपूर्ण बिंदु के लिए एक नियंत्रण अपघटन संलग्न करके प्रसमष्‍टि W, M × [0, -1] से प्राप्त किया जाता है।


[[File:Cobordism.svg|thumb|3-आयामी सह-सीमावाद <math>W = \mathbb{S}^1 \times \mathbb{D}^2 - \mathbb{D}^3</math> 2-गोले के बीच <math>M = \mathbb{S}^2</math> और 2-[[ टोरस्र्स | टोरस्र्स]] <math>N = \mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^1,</math> प्रसमष्टि द्वारा m से प्राप्त n के साथ <math>\mathbb{S}^0 \times \mathbb{D}^2 \subset M,</math>और W ने M × I से 1-नियंत्रण संलग्न करके <math>\mathbb{D}^1 \times \mathbb{D}^2</math> प्राप्त किया]]मोर्स/स्मेल प्रमेय कहता है कि सह-सीमावाद पर मोर्स फलन के लिए, f' की प्रवाह रेखाएं ट्रिपल (W; M, N) के एक निर्धारित अपघटन को उत्पन्न करती हैं। इसके विपरीत, एक सह-सीमावाद के नियंत्रण अपघटन को देखते हुए, यह एक उपयुक्त मोर्स फलन से आता है। उपयुक्त रूप से सामान्यीकृत संस्थापन में यह प्रक्रिया प्रबंध अपघटन और मोर्स फलनों के बीच एक सह-सीमावाद के बीच समानता होती है।
[[File:Cobordism.svg|thumb|3-आयामी सह-सीमावाद <math>W = \mathbb{S}^1 \times \mathbb{D}^2 - \mathbb{D}^3</math> 2-गोले के बीच <math>M = \mathbb{S}^2</math> और 2-[[ टोरस्र्स | टोरस्र्स]] <math>N = \mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^1,</math> प्रसमष्टि द्वारा m से प्राप्त n के साथ <math>\mathbb{S}^0 \times \mathbb{D}^2 \subset M,</math>और W ने M × I से 1-नियंत्रण संलग्न करके <math>\mathbb{D}^1 \times \mathbb{D}^2</math> प्राप्त किया]]मोर्स/स्मेल प्रमेय कहता है कि सह-सीमावाद पर मोर्स फलन के लिए, f' की प्रवाह रेखाएं त्रिक (W; M, N) के एक निर्धारित अपघटन को उत्पन्न करती हैं। इसके विपरीत, एक सह-सीमावाद के नियंत्रण अपघटन को देखते हुए, यह एक उपयुक्त मोर्स फलन से आता है। उपयुक्त रूप से सामान्यीकृत संस्थापन में यह प्रक्रिया प्रबंध अपघटन और मोर्स फलनों के बीच एक सह-सीमावाद के बीच समानता होती है।


== इतिहास ==
== इतिहास ==
सह-सीमावाद मूल 1895 में हेनरी पोनकारे द्वारा (असफल) प्रयास में थीं, जो होमोलॉजी को विशुद्ध रूप से प्रसमष्टि के संदर्भ में परिभाषित (ड्यूडोने 1989, पृष्ठ 289) करने के लिए था। पोंकारे ने एक साथ होमोलॉजी और सह-सीमावाद दोनों को परिभाषित किया, जो सामान्य रूप से समान नहीं हैं। सीमवाद और होमोलॉजी के बीच संबंधों के लिए सह-सीमावाद को एक असाधारण सह समरूपता सिद्धांत के रूप में देखें।
सह-सीमावाद मूल 1895 में हेनरी पोनकारे द्वारा (असफल) प्रयास में थीं, जो सजातीय को विशुद्ध रूप से प्रसमष्टि के संदर्भ में परिभाषित (ड्यूडोने 1989, पृष्ठ 289) करने के लिए था। पोंकारे ने एक साथ सजातीय और सह-सीमावाद दोनों को परिभाषित किया, जो सामान्य रूप से समान नहीं हैं। सीमवाद और सजातीय के बीच संबंधों के लिए सह-सीमावाद को एक असाधारण सह समरूपता सिद्धांत के रूप में देखें।


प्रसमष्‍टि पर ज्यामितीय फलन में [[लेव पोंट्रीगिन]] द्वारा सीमवाद को स्पष्ट रूप से प्रस्तुत किया गया था। यह तब प्रमुखता में आया जब रेने थॉम ने दिखाया कि थॉम जटिल निर्माण के माध्यम से, [[होमोटॉपी सिद्धांत]] के माध्यम से सह-सीमावाद समूहों की गणना की जा सकती है। सह-सीमावाद सिद्धांत के-सिद्धांत के साथ-साथ असाधारण सह समरूपता सिद्धांत के तंत्र का भाग बन गया। 1950 के दशक और 1960 के दशक के प्रारंभ में, विशेष रूप से हिर्ज़ब्रुक-रीमैन-रोच प्रमेय में, और अतियाह-सिंगर सुचकांक प्रमेय के पहले प्रमाणों में, इसने एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई।
प्रसमष्‍टि पर ज्यामितीय फलन में [[लेव पोंट्रीगिन]] द्वारा सीमवाद को स्पष्ट रूप से प्रस्तुत किया गया था। यह तब प्रमुखता में आया जब रेने थॉम ने दिखाया कि थॉम जटिल निर्माण के माध्यम से, [[होमोटॉपी सिद्धांत|होमोटॉपी (समस्थेयता) सिद्धांत]] के माध्यम से सह-सीमावाद समूहों की गणना की जा सकती है। सह-सीमावाद सिद्धांत के-सिद्धांत के साथ-साथ असाधारण सह समरूपता सिद्धांत के तंत्र का भाग बन गया। 1950 के दशक और 1960 के दशक के प्रारंभ में, विशेष रूप से हिर्ज़ब्रुक-रीमैन-रोच प्रमेय में, और अतियाह-सिंगर सुचकांक प्रमेय के पहले प्रमाणों में, इसने एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई।


1980 के दशक में वस्तु (श्रेणी सिद्धांत) के रूप में सुसंहत प्रसमष्‍टि के साथ [[श्रेणी (गणित)]] और इन दोनों के बीच आकारिकी के रूप में सह-सीमावाद ने सांंस्थितिक क्वांटम क्षेत्र [[कश्मीर सिद्धांत|k सिद्धांत]] के लिए अतियाह-सेगल स्वयंसिद्धों में एक मौलिक भूमिका निभाई, जो [[क्वांटम टोपोलॉजी|क्वांटम सांस्थिति]] का एक महत्वपूर्ण भाग है।
1980 के दशक में वस्तु (श्रेणी सिद्धांत) के रूप में सुसंहत प्रसमष्‍टि के साथ [[श्रेणी (गणित)]] और इन दोनों के बीच आकारिकी के रूप में सह-सीमावाद ने सांंस्थितिक क्वांटम क्षेत्र [[कश्मीर सिद्धांत|k सिद्धांत]] के लिए अतियाह-सेगल स्वयंसिद्धों में एक मौलिक भूमिका निभाई, जो [[क्वांटम टोपोलॉजी|क्वांटम सांस्थिति]] का एक महत्वपूर्ण भाग है।
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सह-सीमावाद वर्गों के अतिरिक्त, सह-सीमावाद अपने आप में अध्ययन की वस्तुएं हैं। सह-सीमावाद एक श्रेणी (गणित) बनाते हैं, जिनकी वस्तुएं प्रसमष्‍टि संवृत होती हैं और जिनकी आकृतियां सह-सीमावाद होती हैं। सामान्य रूप से, रचना को सिरे-से-सिरे तक एक साथ जोड़कर दिया जाता है: (W; M, N) और (W ′; N, P) की रचना को पहले के दाहिने सिरे को बायें सिरे से जोड़कर परिभाषित किया जाता है। दूसरा, उत्पादन (''W'' ′ ∪<sub>''N''</sub> ''W''; ''M'', ''P'') होता है। सह-सीमावाद एक प्रकार का सह-विस्तार M → W ← N है।<ref>While every cobordism is a cospan, the category of cobordisms is ''not'' a "cospan category": it is not the category of all cospans in "the category of manifolds with inclusions on the boundary", but rather a subcategory thereof, as the requirement that ''M'' and ''N'' form a partition of the boundary of ''W'' is a global constraint.</ref> श्रेणी एक [[डैगर कॉम्पैक्ट श्रेणी|डैगर सुसंहत श्रेणी]] है।
सह-सीमावाद वर्गों के अतिरिक्त, सह-सीमावाद अपने आप में अध्ययन की वस्तुएं हैं। सह-सीमावाद एक श्रेणी (गणित) बनाते हैं, जिनकी वस्तुएं प्रसमष्‍टि संवृत होती हैं और जिनकी आकृतियां सह-सीमावाद होती हैं। सामान्य रूप से, रचना को सिरे-से-सिरे तक एक साथ जोड़कर दिया जाता है: (W; M, N) और (W ′; N, P) की रचना को पहले के दाहिने सिरे को बायें सिरे से जोड़कर परिभाषित किया जाता है। दूसरा, उत्पादन (''W'' ′ ∪<sub>''N''</sub> ''W''; ''M'', ''P'') होता है। सह-सीमावाद एक प्रकार का सह-विस्तार M → W ← N है।<ref>While every cobordism is a cospan, the category of cobordisms is ''not'' a "cospan category": it is not the category of all cospans in "the category of manifolds with inclusions on the boundary", but rather a subcategory thereof, as the requirement that ''M'' and ''N'' form a partition of the boundary of ''W'' is a global constraint.</ref> श्रेणी एक [[डैगर कॉम्पैक्ट श्रेणी|डैगर सुसंहत श्रेणी]] है।


एक सांंस्थितिक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत सह-सीमावाद की एक श्रेणी से सदिश समष्टि की एक श्रेणी के लिए एकपदीय [[ऑपरेटर|फलननिर्धारक]] है। यही है, यह फलननिर्धारक है जिसका मान प्रसमष्‍टि के असंबद्ध सम्मिलन पर प्रत्येक घटक प्रसमष्‍टि पर इसके मानो के प्रदिश गुणनफल के बराबर है।
एक सांंस्थितिक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत सह-सीमावाद की एक श्रेणी से सदिश समष्टि की एक श्रेणी के लिए एकपदीय [[ऑपरेटर|फलननिर्धारक]] है। यही है, यह फलननिर्धारक है जिसका मान प्रसमष्‍टि के असंबद्ध सम्मिलन पर प्रत्येक घटक प्रसमष्‍टि पर इसके मानो के प्रदिश गुणनफल के समतुल्य है।


निम्न आयामों में, सीमावाद का प्रश्न अपेक्षाकृत सामान्य है, लेकिन सह-सीमावाद की श्रेणी नहीं है। उदाहरण के लिए, वृत्त को परिबद्ध बिम्ब एक अशक्त (0-एरी) संक्रियक से अनुरूप है, जबकि बेलन 1-एरी संक्रियक और पैंट के युग्म एक बाइनरी संक्रियक से अनुरूप है।
निम्न आयामों में, सीमावाद का प्रश्न अपेक्षाकृत सामान्य है, लेकिन सह-सीमावाद की श्रेणी नहीं है। उदाहरण के लिए, वृत्त को परिबद्ध बिम्ब एक अशक्त (0-एरी) संक्रियक से अनुरूप है, जबकि बेलन 1-एरी संक्रियक और पैंट के युग्म एक बाइनरी संक्रियक से अनुरूप है।
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:<math>\mathfrak{N}_* = \mathbb{F}_2 \left[x_i | i \geqslant 1, i \neq 2^j - 1 \right]</math>
:<math>\mathfrak{N}_* = \mathbb{F}_2 \left[x_i | i \geqslant 1, i \neq 2^j - 1 \right]</math>
प्रत्येक आयाम <math>x_i</math> में एक जनरेटर <math>i \neq 2^j - 1</math> के साथ बहुपद बीजगणित है। इस प्रकार दो अनियंत्रित संवृत n-आयामी प्रसमष्‍टि M, n अनुरूप हैं, यदि <math>[M] = [N] \in \mathfrak{N}_n,</math> और केवल यदि प्रत्येक संग्रह के लिए <math>\left(i_1, \cdots, i_k\right)</math> पूर्णांकों के k-टपल का <math>i \geqslant 1, i \neq 2^j - 1</math> है। जैसे कि <math>i_1 + \cdots + i_k = n</math> स्टिफ़ेल-व्हिटनी संख्याएँ बराबर हैं
प्रत्येक आयाम <math>x_i</math> में एक जनरेटर <math>i \neq 2^j - 1</math> के साथ बहुपद बीजगणित है। इस प्रकार दो अनियंत्रित संवृत n-आयामी प्रसमष्‍टि M, n अनुरूप हैं, यदि <math>[M] = [N] \in \mathfrak{N}_n,</math> और केवल यदि प्रत्येक संग्रह के लिए <math>\left(i_1, \cdots, i_k\right)</math> पूर्णांकों के k-टपल का <math>i \geqslant 1, i \neq 2^j - 1</math> है। जैसे कि <math>i_1 + \cdots + i_k = n</math> स्टिफ़ेल-व्हिटनी संख्याएँ समतुल्य हैं


:<math>\left\langle w_{i_1}(M) \cdots w_{i_k}(M), [M] \right\rangle = \left\langle w_{i_1}(N) \cdots w_{i_k}(N), [N] \right\rangle \in \mathbb{F}_2</math>
:<math>\left\langle w_{i_1}(M) \cdots w_{i_k}(M), [M] \right\rangle = \left\langle w_{i_1}(N) \cdots w_{i_k}(N), [N] \right\rangle \in \mathbb{F}_2</math>
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संकेत मानचित्र <math>\sigma:\Omega_{4i}^{\text{SO}} \to \Z</math> सभी i ≥ 1 के लिए आच्छादक है, और i = 1 के लिए एक तुल्याकारिता है।
संकेत मानचित्र <math>\sigma:\Omega_{4i}^{\text{SO}} \to \Z</math> सभी i ≥ 1 के लिए आच्छादक है, और i = 1 के लिए एक तुल्याकारिता है।


== एक असाधारण सह समरूपता सिद्धांत के रूप में सहकारिता ==
== असाधारण सह समरूपता सिद्धांत के रूप में सहकारिता ==
प्रत्येक सदिश बंडल सिद्धांत (वास्तविक, जटिल आदि) में एक असाधारण सह समरूपता सिद्धांत होता है जिसे K-सिद्धांत कहा जाता है। इसी प्रकार, प्रत्येक सह-सीमावाद सिद्धांत Ω<sup>G</sup> के पास होमोलॉजी (सीमावाद) समूहों के साथ एक असाधारण सह समरूपता सिद्धांत <math>\Omega^G_n(X)</math> है, और सह समरूपता (सहसंवाद) समूह <math>\Omega^n_G(X)</math> किसी भी समष्टि X के लिए होता है। सामान्यीकृत होमोलॉजी समूह <math>\Omega_*^G(X)</math> X में [[सहप्रसरण]] हैं, और सामान्यीकृत सह समरूपता समूह <math>\Omega^*_G(X)</math> हैं, X में सहप्रसरण और सदिशों के प्रतिप्रसरण हैं। ऊपर परिभाषित सह-सीमावाद समूह, इस दृष्टिकोण से, एक बिंदु के <math>\Omega_n^G = \Omega_n^G(\text{pt})</math> समरूप समूह हैं। तब <math>\Omega^G_n(X)</math> M एक संवृत n-आयामी प्रसमष्‍टि M (G- संरचना के साथ) और f : M → X एक मानचित्र के साथ जोड़े (M, f) के सीमवाद वर्गों का समूह है। इस तरह के जोड़े (M, F), (N, G) सीमांत हैं यदि G-सह-सीमावाद सम्मिलित है (W; M, N) मानचित्र H के साथ: W → X, जो M पर F तक सीमित है, और N पर G.
प्रत्येक सदिश बंडल सिद्धांत (वास्तविक, जटिल आदि) में एक असाधारण सह समरूपता सिद्धांत होता है जिसे K-सिद्धांत कहा जाता है। इसी प्रकार, प्रत्येक सह-सीमावाद सिद्धांत Ω<sup>G</sup> के पास सजातीय (सीमावाद) समूहों के साथ एक असाधारण सह समरूपता सिद्धांत <math>\Omega^G_n(X)</math> है, और सह समरूपता (सहसंवाद) समूह <math>\Omega^n_G(X)</math> किसी भी समष्टि X के लिए होता है। सामान्यीकृत सजातीय समूह <math>\Omega_*^G(X)</math> X में [[सहप्रसरण]] हैं, और सामान्यीकृत सह समरूपता समूह <math>\Omega^*_G(X)</math> हैं, X में सहप्रसरण और सदिशों के प्रतिप्रसरण हैं। ऊपर परिभाषित सह-सीमावाद समूह, इस दृष्टिकोण से, एक बिंदु के <math>\Omega_n^G = \Omega_n^G(\text{pt})</math> समरूप समूह हैं। तब <math>\Omega^G_n(X)</math> M एक संवृत n-आयामी प्रसमष्‍टि M (G- संरचना के साथ) और f : M → X एक मानचित्र के साथ युग्म (M, f) के सीमवाद वर्गों का समूह है। इस तरह के युग्म (M, F), (N, G) सीमांत हैं यदि G-सह-सीमावाद सम्मिलित है (W; M, N) मानचित्र H के साथ: W → X, जो M पर F तक सीमित है, और N पर G.


एक n-आयाम प्रसमष्‍टि M में एक होमोलॉजी (गणित) [''M''] ∈ ''H<sub>n</sub>''(''M'') है। जिसमें गुणांक के साथ <math>\Z/2</math> सामान्य रूप से, और <math>\Z</math> की उन्मुख स्थिति में, एक प्राकृतिक परिवर्तन को परिभाषित करना
एक n-आयाम प्रसमष्‍टि M में एक सजातीय (गणित) [''M''] ∈ ''H<sub>n</sub>''(''M'') है। जिसमें गुणांक के साथ <math>\Z/2</math> सामान्य रूप से, और <math>\Z</math> की उन्मुख स्थिति में, एक प्राकृतिक परिवर्तन को परिभाषित करना


:<math>\begin{cases}
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यह अनियंत्रित सह-संघवाद के लिए सही है। अन्य सह-सीमावाद सिद्धांत इस तरह से सामान्य समरूपता को कम नहीं करते हैं, विशेष रूप से पोंट्रेजगिन-थॉम निर्माण संरचना सह-सीमावाद, उन्मुख सह-सीमावाद और जटिल सह-सीमावाद है। विशेष रूप से अंतिम-नामित सिद्धांत का उपयोग बीजगणितीय प्ररुपविज्ञानी द्वारा संगणनात्मक उपकरण के रूप में किया जाता है उदाहरण के लिए, क्षेत्रों के समरूप समूहों के लिए है।<ref>{{Cite book |first=D.C.  |last=Ravenel |title=जटिल कोबोर्डिज्म और गोले के स्थिर होमोटॉपी समूह|publisher=Academic Press |date=April 1986 |isbn=0-12-583430-6 }}</ref>
यह अनियंत्रित सह-संघवाद के लिए सही है। अन्य सह-सीमावाद सिद्धांत इस तरह से सामान्य समरूपता को कम नहीं करते हैं, विशेष रूप से पोंट्रेजगिन-थॉम निर्माण संरचना सह-सीमावाद, उन्मुख सह-सीमावाद और जटिल सह-सीमावाद है। विशेष रूप से अंतिम-नामित सिद्धांत का उपयोग बीजगणितीय प्ररुपविज्ञानी द्वारा संगणनात्मक उपकरण के रूप में किया जाता है उदाहरण के लिए, क्षेत्रों के समरूप समूहों के लिए है।<ref>{{Cite book |first=D.C.  |last=Ravenel |title=जटिल कोबोर्डिज्म और गोले के स्थिर होमोटॉपी समूह|publisher=Academic Press |date=April 1986 |isbn=0-12-583430-6 }}</ref>


सह-सीमावाद सिद्धांतों को [[थॉम स्पेक्ट्रम]] MG द्वारा दर्शाया गया है: एक समूह G दिया गया है, थॉम स्पेक्ट्रम [[थॉम स्पेस|थॉम समष्टि]] MG <sub>n</sub> से बना है। ध्यान दें कि समान समूहों के लिए भी, थॉम दीप्ति रेखा बहुत अलग हो सकता है: MSO और MO बहुत अलग हैं, उन्मुख और गैर-उन्मुख सहकारीवाद के बीच अंतर को दर्शाते हैं।
सह-सीमावाद सिद्धांतों को [[थॉम स्पेक्ट्रम]] MG द्वारा दर्शाया गया है: एक समूह G दिया गया है, थॉम वर्णक्रमीय [[थॉम स्पेस|थॉम समष्टि]] MG<sub>n</sub> से बना है। ध्यान दें कि समान समूहों के लिए भी, थॉम दीप्ति रेखा बहुत अलग हो सकता है: MSO और MO बहुत अलग हैं, उन्मुख और गैर-उन्मुख सहकारीवाद के बीच अंतर को दर्शाते हैं।


दीप्ति रेखाओ के दृष्टिकोण से, गैर-उन्मुख सह-सीमावाद एलेनबर्ग-मैकलेन स्पेक्ट्रम का एक गुणनफल है। ईलेनबर्ग-मैकलेन दीप्ति रेखा - MO = H ({{pi}}<sub>∗</sub>(MO)) - जबकि उन्मुख सह-सीमावाद ईलेनबर्ग-मैकलेन दीप्ति रेखा का तर्कसंगत रूप से एक गुणनफल है, और 2 पर, लेकिन विषम भाजक पर नहीं: उन्मुख सह-सीमावाद स्पेक्ट्रम MSO, MO की तुलना में अधिक जटिल है।
दीप्ति रेखाओ के दृष्टिकोण से, गैर-उन्मुख सह-सीमावाद एलेनबर्ग-मैकलेन स्पेक्ट्रम का एक गुणनफल है। ईलेनबर्ग-मैकलेन दीप्ति रेखा - MO = H ({{pi}}<sub>∗</sub>(MO)) - जबकि उन्मुख सह-सीमावाद ईलेनबर्ग-मैकलेन दीप्ति रेखा का तर्कसंगत रूप से एक गुणनफल है, और 2 पर, लेकिन विषम भाजक पर नहीं: उन्मुख सह-सीमावाद स्पेक्ट्रम MSO, MO की तुलना में अधिक जटिल है।
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Latest revision as of 21:51, 3 May 2023

सह-सीमावाद (W,M,N)

गणित में, सह-सीमावाद एक समान आयाम के सुसंहत प्रसमष्‍टि के वर्ग पर एक मौलिक तुल्यता संबंध है, जो कि प्रसमष्‍टि की सीमा (फ्रेंच बोर्ड, सह-सीमावाद) की अवधारणा का उपयोग करके स्थापित किया गया है। समान आयाम के दो प्रसमष्‍टि समरूप होते हैं यदि उनका असंयुक्‍त सम्मिलन एक सुसंहत प्रसमष्‍टि एक आयाम की सीमा है।

एक (n + 1)-आयामी प्रसमष्‍टि W की सीमा एक n-आयामी प्रसमष्‍टि ∂W है जो कि रिक्त सीमा के साथ संवृत है। सामान्य रूप से, एक संवृत प्रसमष्‍टि को सीमा सह-सीमावाद सिद्धांत नहीं होना चाहिए, सभी संवृत प्रसमष्‍टि और जो सीमाएं हैं, के बीच अंतर का अध्ययन है। सिद्धांत मूल रूप से रेने थॉम द्वारा सामान्य प्रसमष्‍टि (अर्थात, अलग-अलग) के लिए विकसित किया गया था, लेकिन अब भागों के रैखिक और सांंस्थितिक प्रसमष्‍टि के संस्करण भी हैं।

प्रसमष्‍टि M और N के बीच एक सह-सीमावाद एक सुसंहत प्रसमष्‍टि W है, जिसकी सीमा M और N का असंयुक्‍त सम्मिलन है।

सह-सीमावाद का अध्ययन उनके द्वारा उत्पन्न समतुल्यता संबंध के लिए और स्वयं में वस्तुओं के रूप में किया जाता है। सह-सीमावाद अवकलनीय तद्वता या सम-आकारिकी की तुलना में बहुत स्थूल तुल्यता संबंध है, और इसका अध्ययन और गणना करना अपेक्षाकृत अधिक आसान है। आयाम ≥ 4 में अवकलनीय तद्वता या सम-आकारिकी तक प्रसमष्टि वर्गीकृत करना संभव नहीं है - क्योंकि समूहों के लिए पद समस्या को संशोधित नहीं किया जा सकता है - लेकिन सह-सीमावाद तक प्रसमष्टि वर्गीकृत करना संभव है। सह-सीमावाद ज्यामितीय सांस्थिति और बीजगणितीय सांस्थिति में अध्ययन की केंद्रीय वस्तुएं हैं। ज्यामितीय सांस्थिति में, सह-सीमावाद मोर्स सिद्धांत के साथ अधिकतम संयोजित होते हैं, और h-सह-सीमावाद उच्च-आयामी प्रसमष्टि, अर्थात् प्रसमष्टि सिद्धांत के अध्ययन में मौलिक हैं। बीजगणितीय सांस्थिति में, सह-सीमावाद सिद्धांत मौलिक असाधारण सह समरूपता सिद्धांत हैं, और सह-सीमावाद की श्रेणियां सांंस्थितिक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांतों के प्रक्षेत्र हैं।

परिभाषा

प्रसमष्‍टि

सामान्य रूप से, एक n-आयाम प्रसमष्‍टि (गणित) M एक स्थलीय सांस्थितिक समष्टि प्रतिवेश (गणित) है (अर्थात, प्रत्येक बिंदु के पास) सम-आकारिकी यूक्लिडियन समष्टि के एक विवृत उपसमुच्चय के लिए होमियोमॉर्फिक है। सीमा के साथ प्रसमष्टि समान है, इसके अतिरिक्त कि M के एक बिंदु को एक प्रतिवेश रखने की स्वीकृति है जो अर्धसमष्‍टि(ज्यामिति) के विवृत उपसमुच्चय के लिए होमोमोर्फिक है