शिफ्ट प्रमेय

गणित में, चरघातीय विस्थापन प्रमेय बहुपद अवकल ऑपरेटरों (डी-ऑपरेटरों) और चरघातांकी फलन के बारे में एक प्रमेय है और इस प्रकार यह कुछ स्थितियों में डी-ऑपरेटरों के अनुसार घातांक प्रकार्य को खत्म करने की अनुमति देता है।

कथन

प्रमेय कहता है कि, यदि P(D) एक बहुपद D-संचालक के रूप में है, तो किसी भी पर्याप्त रूप से भिन्न फलन y के लिए इस रूप में दिखाया जाता है,

$P(D)(e^{ax}y)\equiv e^{ax}P(D+a)y.$

और इस प्रकार परिणाम को सिद्ध करने के लिए प्रेरण द्वारा आगे बढ़ते है और ध्यान दें कि केवल विशेष स्थिति के लिए इस रूप में होता है,

$P(D)=D^{n}$

और इस प्रकार डी ऑपरेटरों की रैखिकता के बाद सामान्य परिणाम के रूप में से इसे सिद्ध करने की आवश्यकता होती है।

परिणाम n = 1 के लिए यह स्पष्ट रूप से सत्य है

$D(e^{ax}y)=e^{ax}(D+a)y.$

अब मान लीजिए कि परिणाम n = k के लिए सही है, अर्थात,

$D^{k}(e^{ax}y)=e^{ax}(D+a)^{k}y.$

तब,

${\begin{aligned}D^{k+1}(e^{ax}y)&\equiv {\frac {d}{dx}}\left\{e^{ax}\left(D+a\right)^{k}y\right\}\\&{}=e^{ax}{\frac {d}{dx}}\left\{\left(D+a\right)^{k}y\right\}+ae^{ax}\left\{\left(D+a\right)^{k}y\right\}\\&{}=e^{ax}\left\{\left({\frac {d}{dx}}+a\right)\left(D+a\right)^{k}y\right\}\\&{}=e^{ax}(D+a)^{k+1}y.\end{aligned}}$

यह प्रमाण को पूरा करता है।

शिफ्ट प्रमेय को व्युत्क्रम संचालकों के लिए समान रूप से अच्छी तरह से प्रयुक्त किया जा सकता है

${\frac {1}{P(D)}}(e^{ax}y)=e^{ax}{\frac {1}{P(D+a)}}y.$

संबंधित

लाप्लास परिवर्तन ($t<a$) के लिए शिफ्ट प्रमेय एक समान संस्करण के रूप में है