लोकस (गणित): Difference between revisions

Revision as of 22:39, 22 April 2023

इस उदाहरण में प्रत्येक वक्र बिंदुपथ है जिसे बिंदु

P

और रेखा

l

के शंकुवृक्ष के रूप में परिभाषित किया गया है। इस उदाहरण में,

P

,

l

से 8 सेमी की दूरी पर स्थित है|

ज्यामिति में, लोकस (बहुवचन: लोकी) (स्थान के लिए लैटिन शब्द) सभी बिंदुओं (ज्यामिति) का सेट (गणित) है (सामान्यतः, रेखा (ज्यामिति), रेखा खंड, वक्र ( गणित) या सतह (टोपोलॉजी)), जिसका स्थान संतुष्ट करता है अथवा अधिक निर्दिष्ट स्थितियों द्वारा निर्धारित किया जाता है।^[1]^[2]

कुछ संपत्ति को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं के समुच्चय को अधिकांशतः इस संपत्ति को संतुष्ट करने वाले बिंदु का स्थान कहा जाता है। इस सूत्रीकरण में एकवचन का प्रयोग इस तथ्य का साक्षी है कि 19वीं शताब्दी के अंत में गणितज्ञ अनंत समुच्चयों पर विचार नहीं किया करते थे। रेखाओं और वक्रों को बिंदुओं के समुच्चय के रूप में अवलोकित करने के अतिरिक्त, उन्हें ऐसे स्थानों के रूप में अवलोकित किया जहाँ बिंदु स्थित हो सकता है या स्थानांतरित हो सकता है।

इतिहास और दर्शन

20वीं शताब्दी के प्रारम्भ में, ज्यामितीय आकृति (उदाहरण के लिए वक्र) को बिंदुओं के अनंत समुच्चय के रूप में स्वीकार नहीं किया जाता था, किंतु, इसे इकाई के रूप में स्वीकार किया जाता था, जिस पर बिंदु स्थित हो सकता है अथवा जिस पर वह गमन करता है। इस प्रकार यूक्लिडियन विमान में वृत्त (गणित) को बिंदु के स्थान के रूप में परिभाषित किया गया था जो निश्चित बिंदु, वृत्त के केंद्र की दूरी पर स्थित है। आधुनिक गणित में, आकृतियों को समुच्चय के रूप में वर्णित करके समान अवधारणाओं की अधिक पुनरावृत्ति की जाती है| उदाहरण के लिए, वृत्त उन बिंदुओं का समुच्चय है जो केंद्र से निश्चित दूरी पर हैं।^[3]

सेट-सैद्धांतिक दृष्टिकोण के विपरीत, पूर्व सूत्रीकरण अनंत संग्रहों पर विचार नहीं करता है, क्योंकि वास्तविक अनंत से प्रतिरक्षण पूर्व गणितज्ञों की महत्वपूर्ण दार्शनिक स्थिति थी।^[4]^[5]

स्थापित सिद्धांत सार्वभौमिक आधार है जिस पर गणित आधारित है,^[6] लोकस प्राचीन शब्द है।^[7] तथापि, यह शब्द वर्तमान में व्यापक रूप से मुख्यतः संक्षिप्त सूत्रीकरण के लिए उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए-

क्रिटिकल लोकस , अवकलनीय फलन के महत्वपूर्ण बिंदुओं (गणित) का समुच्चय है।
शून्य लोकस या लुप्त लोकस, उन बिंदुओं का समुच्चय जहाँ फलन लुप्त हो जाता है, जिसमें वह शून्य मान (गणित) स्वीकार करता है।
एकल लोकस, बीजगणितीय प्रकार के बिंदुओं का समुच्चय है।
कनेक्टेडनेस लोकस , परिमेय फलन के सदस्य का प्राचल समुच्चय जिसके लिए फलन का जूलिया समुच्चय युग्मित है।

योजना सिद्धांत (गणित) और गणित को आधार देने के लिए समुच्चय सिद्धांत के अतिरिक्त श्रेणी सिद्धांत का उपयोग, बिंदुओं के समुच्चय के अतिरिक्त ऑब्जेक्ट के रूप में लोकस की मूल परिभाषा के रूप में किया जाता है।^[5]

विमान ज्यामिति में उदाहरण

समतल ज्यामिति के उदाहरणों में सम्मिलित हैं-

दो बिंदुओं से समदूरस्थ बिंदुओं का समुच्चय दो बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड का लम्ब समद्विभाजक होता है।^[8]
दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से समदूरस्थ बिंदुओं का समुच्चय उनके दो कोण समद्विभाजकों का युग्मन होता है।
सभी शंकु-परिच्छेद लोकी हैं-^[9]
- वृत्त- बिंदुओं का समुच्चय जिसके लिए बिंदु से दूरी स्थिर (त्रिज्या) है।
- परवलय- निश्चित बिंदु (फोकस (ज्यामिति)) और रेखा (डायरेक्ट्रिक्स (शंक्वाकार खंड)) से समदूरस्थ बिंदुओं का समुच्चय है।
- अतिशयोक्ति - बिंदुओं का वह समुच्चय जिनमें से प्रत्येक के लिए दो दिए गए नाभियों की दूरी के मध्य अंतर का निरपेक्ष मान स्थिरांक होता है।
- दीर्घवृत्त- बिंदुओं का वह समुच्चय जिसमें से प्रत्येक के लिए दो दिए गए नाभियों की दूरी का योग स्थिरांक होता है।

लोकी के अन्य उदाहरण गणित के विभिन्न क्षेत्रों में प्राप्त होते हैं। उदाहरण के लिए, जटिल गतिकी में, मैंडलब्रॉट सेट जटिल तल का उपसमुच्चय है जिसे बहुपद मानचित्रों के सदस्य के कनेक्टेडनेस लोकस के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

लोकस का प्रमाण

ज्यामितीय आकृति साबित करने के लिए शर्तों के सेट के लिए सही स्थान है,

सामान्यतः सबूत को दो चरणों में विभाजित करता है: सबूत है कि शर्तों को संतुष्ट करने वाले सभी बिंदु दिए गए आकार पर हैं, और प्रमाण है कि दिए गए आकार पर सभी बिंदु शर्तों को पूरा करते हैं।^[10]

उदाहरण

(दूरी पीए) = 3. (दूरी पीबी)

प्रथम उदाहरण

उस बिंदु P का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए जिसकी दूरियों का अनुपात k = d है₁/डी₂ दो दिए गए बिंदुओं के लिए।

इस उदाहरण में k = 3, A(−1,0) और B(0,2) को निश्चित बिंदुओं के रूप में चुना गया है।

P(x,y) बिंदुपथ का एक बिंदु है

\Leftrightarrow |PA|=3|PB|

\Leftrightarrow |PA|^{2}=9|PB|^{2}

\Leftrightarrow (x+1)^{2}+(y-0)^{2}=9(x-0)^{2}+9(y-2)^{2}

\Leftrightarrow 8(x^{2}+y^{2})-2x-36y+35=0

\Leftrightarrow \left(x-{\frac {1}{8}}\right)^{2}+\left(y-{\frac {9}{4}}\right)^{2}={\frac {45}{64}}.

यह समीकरण केंद्र (1/8,9/4) और त्रिज्या के साथ वृत्त का प्रतिनिधित्व करता है ${\tfrac {3}{8}}{\sqrt {5}}$ . यह अपोलोनियस की परिभाषा है, जो के, ए, और बी के इन मूल्यों द्वारा परिभाषित वृत्त की परिभाषा है।

द्वितीय उदाहरण

File:Locus3a.svg

बिंदु C का स्थान

एक त्रिभुज ABC की लंबाई c के साथ एक निश्चित भुजा [AB] है।

तीसरे वर्टेक्स (ज्यामिति) सी का स्थान निर्धारित करें जैसे कि ए और सी से मेडियन (ज्यामिति) ओर्थोगोनल हैं।

एक असामान्य निर्देशांक प्रणाली चुनें जैसे कि A(−c/2,0), B(c/2,0)। C(x,y) चर तीसरा शीर्ष है। [BC] का केंद्र M((2x+c)/4,y/2) है। C से माध्यिका का ढलान y/x है। माध्यिका AM का ढलान 2y/(2x+3c) है।

File:Locus3.svg

ठिकाना वृत्त है

:C(x,y) बिंदुपथ का एक बिंदु है

\Leftrightarrow

A और C से माध्यिकाएँ ओर्थोगोनल हैं

\Leftrightarrow {\frac {y}{x}}\cdot {\frac {2y}{2x+3c}}=-1

:

\Leftrightarrow 2y^{2}+2x^{2}+3cx=0

:

\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+(3c/2)x=0

:

\Leftrightarrow (x+3c/4)^{2}+y^{2}=9c^{2}/16.

शीर्ष C का स्थान केंद्र (−3c/4,0) और त्रिज्या 3c/4 वाला एक वृत्त है।

तृतीय उदाहरण

File:Geassocieerde rechten.svg

संबद्ध रेखाओं k और l का प्रतिच्छेदन बिंदु वृत्त का वर्णन करता है

एक सामान्य पैरामीटर के आधार पर एक लोकस को दो संबद्ध वक्रों द्वारा भी परिभाषित किया जा सकता है। यदि पैरामीटर भिन्न होता है, तो संबंधित वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु लोकस का वर्णन करते हैं।

आकृति में, बिंदु K और L किसी दिए गए रेखा m पर स्थिर बिंदु हैं। रेखा k, K से होकर जाने वाली एक परिवर्तनशील रेखा है। L से होकर जाने वाली रेखा l, k के लंबवत है। कोना $\alpha$ k और m के मध्य का पैरामीटर है। सामान्य पैरामीटर के आधार पर k और l संबद्ध रेखाएँ हैं। k और l का चर चौराहा बिंदु S एक वृत्त का वर्णन करता है। यह वृत्त दो संबद्ध रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का स्थान है।

चतुर्थ उदाहरण

बिंदुओं का स्थान एक-आयामी (वृत्त, रेखा, आदि के रूप में) नहीं होना चाहिए। उदाहरण के लिए,^[1]असमता का लोकस $2 x + 3 y - 6 < 0$ समतल का वह भाग है जो समीकरण $2 x + 3 y - 6 = 0$ की रेखा के नीचे है|

यह भी देखें

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 James, Robert Clarke; James, Glenn (1992), Mathematics Dictionary, Springer, p. 255, ISBN 978-0-412-99041-0.
↑ Whitehead, Alfred North (1911), An Introduction to Mathematics, H. Holt, p. 121, ISBN 978-1-103-19784-2.
↑ Cooke, Roger L. (2012), "38.3 Topology", The History of Mathematics: A Brief Course (3rd ed.), John Wiley & Sons, ISBN 9781118460290, The word locus is one that we still use today to denote the path followed by a point moving subject to stated constraints, although, since the introduction of set theory, a locus is more often thought of statically as the set of points satisfying a given collection.
↑ Bourbaki, N. (2013), Elements of the History of Mathematics, translated by J. Meldrum, Springer, p. 26, ISBN 9783642616938, the classical mathematicians carefully avoided introducing into their reasoning the 'actual infinity'.
↑ ^5.0 ^5.1 Borovik, Alexandre (2010), "6.2.4 Can one live without actual infinity?", Mathematics Under the Microscope: Notes on Cognitive Aspects of Mathematical Practice, American Mathematical Society, p. 124, ISBN 9780821847619.
↑ Mayberry, John P. (2000), The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 82, Cambridge University Press, p. 7, ISBN 9780521770347, set theory provides the foundations for all mathematics.
↑ Ledermann, Walter; Vajda, S. (1985), Combinatorics and Geometry, Part 1, Handbook of Applicable Mathematics, vol. 5, Wiley, p. 32, ISBN 9780471900238, We begin by explaining a slightly old-fashioned term.
↑ George E. Martin, The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane, Springer-Verlag, 1975.
↑ Hamilton, Henry Parr (1834), An Analytical System of Conic Sections: Designed for the Use of Students, Springer.
↑ G. P. West, The new geometry: form 1.

[James-1] 1.0 ^1.1 James, Robert Clarke; James, Glenn (1992), Mathematics Dictionary, Springer, p. 255, ISBN 978-0-412-99041-0.

[2] Whitehead, Alfred North (1911), An Introduction to Mathematics, H. Holt, p. 121, ISBN 978-1-103-19784-2.

[3] Cooke, Roger L. (2012), "38.3 Topology", The History of Mathematics: A Brief Course (3rd ed.), John Wiley & Sons, ISBN 9781118460290, The word locus is one that we still use today to denote the path followed by a point moving subject to stated constraints, although, since the introduction of set theory, a locus is more often thought of statically as the set of points satisfying a given collection.

[4] Bourbaki, N. (2013), Elements of the History of Mathematics, translated by J. Meldrum, Springer, p. 26, ISBN 9783642616938, the classical mathematicians carefully avoided introducing into their reasoning the 'actual infinity'.

[microscope-5] 5.0 ^5.1 Borovik, Alexandre (2010), "6.2.4 Can one live without actual infinity?", Mathematics Under the Microscope: Notes on Cognitive Aspects of Mathematical Practice, American Mathematical Society, p. 124, ISBN 9780821847619.

[6] Mayberry, John P. (2000), The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 82, Cambridge University Press, p. 7, ISBN 9780521770347, set theory provides the foundations for all mathematics.

[7] Ledermann, Walter; Vajda, S. (1985), Combinatorics and Geometry, Part 1, Handbook of Applicable Mathematics, vol. 5, Wiley, p. 32, ISBN 9780471900238, We begin by explaining a slightly old-fashioned term.

[8] George E. Martin, The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane, Springer-Verlag, 1975.

[9] Hamilton, Henry Parr (1834), An Analytical System of Conic Sections: Designed for the Use of Students, Springer.

[10] G. P. West, The new geometry: form 1.

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[10]

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 ज्यामितीय आकृति साबित करने के लिए शर्तों के सेट के लिए सही स्थान है,
-एक आम तौर पर सबूत को दो चरणों में विभाजित करता है: सबूत है कि शर्तों को संतुष्ट करने वाले सभी बिंदु दिए गए आकार पर हैं, और प्रमाण है कि दिए गए आकार पर सभी बिंदु शर्तों को पूरा करते हैं।<ref>G. P. West, ''The new geometry: form 1''.</ref>
+सामान्यतः सबूत को दो चरणों में विभाजित करता है: सबूत है कि शर्तों को संतुष्ट करने वाले सभी बिंदु दिए गए आकार पर हैं, और प्रमाण है कि दिए गए आकार पर सभी बिंदु शर्तों को पूरा करते हैं।<ref>G. P. West, ''The new geometry: form 1''.</ref>
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 [[File:Locus apollonius.svg|thumb|(दूरी पीए) = 3. (दूरी पीबी)]]
-=== पहला उदाहरण ===
+=== प्रथम उदाहरण ===
 उस बिंदु P का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए जिसकी दूरियों का अनुपात k = d है<sub>1</sub>/डी<sub>2</sub> दो दिए गए बिंदुओं के लिए।
@@ Line 51: / Line 51: @@
 : <math>\Leftrightarrow 8(x^2 + y^2) - 2x - 36y + 35 = 0 </math>
 : <math>\Leftrightarrow \left(x - \frac18\right)^2 + \left(y - \frac94\right)^2 = \frac{45}{64}.</math>
-यह समीकरण केंद्र (1/8,9/4) और त्रिज्या के साथ एक वृत्त का प्रतिनिधित्व करता है <math>\tfrac{3}{8}\sqrt{5}</math>. यह अपोलोनियस # अपोलोनियस की परिभाषा है, जो के, ए, और बी के इन मूल्यों द्वारा परिभाषित सर्कल की परिभाषा है।
+यह समीकरण केंद्र (1/8,9/4) और त्रिज्या के साथ वृत्त का प्रतिनिधित्व करता है <math>\tfrac{3}{8}\sqrt{5}</math>. यह अपोलोनियस की परिभाषा है, जो के, ए, और बी के इन मूल्यों द्वारा परिभाषित वृत्त की परिभाषा है।
-=== दूसरा उदाहरण ===
+=== द्वितीय उदाहरण ===
 [[File:Locus3a.svg|thumb|बिंदु C का स्थान]]एक त्रिभुज ABC की लंबाई c के साथ एक निश्चित भुजा [AB] है।
 तीसरे [[वर्टेक्स (ज्यामिति)]] सी का स्थान निर्धारित करें जैसे कि
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 C(x,y) चर तीसरा शीर्ष है। [BC] का केंद्र M((2x+c)/4,y/2) है। C से माध्यिका का [[ढलान]] y/x है। माध्यिका AM का ढलान 2y/(2x+3c) है।
-[[File:Locus3.svg|thumb|ठिकाना एक वृत्त है]]:C(x,y) बिंदुपथ का एक बिंदु है
+[[File:Locus3.svg|thumb|ठिकाना वृत्त है]]:C(x,y) बिंदुपथ का एक बिंदु है
 :<math>\Leftrightarrow</math> A और C से माध्यिकाएँ ओर्थोगोनल हैं
 :<math>\Leftrightarrow \frac{y}{x} \cdot \frac{2y}{2x + 3c} = -1 </math> :<math>\Leftrightarrow 2 y^2 + 2x^2 + 3c x = 0 </math> :<math>\Leftrightarrow x^2 + y^2 + (3c/2) x = 0 </math> :<math>\Leftrightarrow (x +  3c/4)^2 + y^2 = 9c^2/16. </math>
 शीर्ष C का स्थान केंद्र (−3c/4,0) और त्रिज्या 3c/4 वाला एक वृत्त है।
-=== तीसरा उदाहरण ===
+=== तृतीय उदाहरण ===
 [[File:Geassocieerde rechten.svg|thumb|संबद्ध रेखाओं k और l का प्रतिच्छेदन बिंदु वृत्त का वर्णन करता है]]एक सामान्य [[पैरामीटर]] के आधार पर एक लोकस को दो संबद्ध वक्रों द्वारा भी परिभाषित किया जा सकता है। यदि पैरामीटर भिन्न होता है, तो संबंधित वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु लोकस का वर्णन करते हैं।
-आकृति में, बिंदु K और L किसी दिए गए रेखा m पर स्थिर बिंदु हैं। रेखा k, K से होकर जाने वाली एक परिवर्तनशील रेखा है। L से होकर जाने वाली रेखा l, k के लंबवत है। कोना <math>\alpha</math> k और m के बीच का पैरामीटर है।
+आकृति में, बिंदु K और L किसी दिए गए रेखा m पर स्थिर बिंदु हैं। रेखा k, K से होकर जाने वाली एक परिवर्तनशील रेखा है। L से होकर जाने वाली रेखा l, k के लंबवत है। कोना <math>\alpha</math> k और m के मध्य का पैरामीटर है।
 सामान्य पैरामीटर के आधार पर k और l संबद्ध रेखाएँ हैं। k और l का चर चौराहा बिंदु S एक वृत्त का वर्णन करता है। यह वृत्त दो संबद्ध रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का स्थान है।
-=== चौथा उदाहरण ===
+=== चतुर्थ उदाहरण ===
-बिंदुओं का स्थान एक-आयामी (एक वृत्त, रेखा, आदि के रूप में) होना आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए,<ref name=James/>असमानता का ठिकाना {{math|2''x'' + 3''y'' – 6 < 0}} समतल का वह भाग है जो समीकरण की रेखा के नीचे है {{math|1=2''x'' + 3''y'' – 6 = 0}}.
+बिंदुओं का स्थान एक-आयामी (वृत्त, रेखा, आदि के रूप में) नहीं होना चाहिए। उदाहरण के लिए,<ref name=James/>असमता का लोकस {{math|2''x'' + 3''y'' – 6 < 0}} समतल का वह भाग है जो समीकरण {{math|1=2''x'' + 3''y'' – 6 = 0}} की रेखा के नीचे है|
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