लोकस (गणित): Difference between revisions

Revision as of 19:57, 22 April 2023

इस उदाहरण में प्रत्येक वक्र बिंदुपथ है जिसे बिंदु

P

और रेखा

l

के शंकुवृक्ष के रूप में परिभाषित किया गया है। इस उदाहरण में,

P

,

l

से 8 सेमी की दूरी पर स्थित है|

ज्यामिति में, लोकस (बहुवचन: लोकी) (स्थान के लिए लैटिन शब्द) सभी बिंदुओं (ज्यामिति) का सेट (गणित) है (सामान्यतः, रेखा (ज्यामिति), रेखा खंड, वक्र ( गणित) या सतह (टोपोलॉजी)), जिसका स्थान संतुष्ट करता है अथवा अधिक निर्दिष्ट स्थितियों द्वारा निर्धारित किया जाता है।^[1]^[2]

कुछ संपत्ति को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं के समुच्चय को अधिकांशतः इस संपत्ति को संतुष्ट करने वाले बिंदु का स्थान कहा जाता है। इस सूत्रीकरण में एकवचन का प्रयोग इस तथ्य का साक्षी है कि 19वीं शताब्दी के अंत में गणितज्ञ अनंत समुच्चयों पर विचार नहीं किया करते थे। रेखाओं और वक्रों को बिंदुओं के समुच्चय के रूप में अवलोकित करने के अतिरिक्त, उन्हें ऐसे स्थानों के रूप में अवलोकित किया जहाँ बिंदु स्थित हो सकता है या स्थानांतरित हो सकता है।

इतिहास और दर्शन

20वीं शताब्दी के प्रारम्भ में, ज्यामितीय आकृति (उदाहरण के लिए वक्र) को बिंदुओं के अनंत समुच्चय के रूप में स्वीकार नहीं किया जाता था, किंतु, इसे इकाई के रूप में स्वीकार किया जाता था, जिस पर बिंदु स्थित हो सकता है अथवा जिस पर वह गमन करता है। इस प्रकार यूक्लिडियन विमान में वृत्त (गणित) को बिंदु के स्थान के रूप में परिभाषित किया गया था जो निश्चित बिंदु, वृत्त के केंद्र की दूरी पर स्थित है। आधुनिक गणित में, आकृतियों को समुच्चय के रूप में वर्णित करके समान अवधारणाओं की अधिक पुनरावृत्ति की जाता है; उदाहरण के लिए, वृत्त उन बिंदुओं का समुच्चय है जो केंद्र से निश्चित दूरी पर हैं।^[3]

सेट-सैद्धांतिक दृष्टिकोण के विपरीत, पुराना सूत्रीकरण अनंत संग्रहों पर विचार करने से बचता है, क्योंकि वास्तविक अनंतता से बचना पूर्व के गणितज्ञों की महत्वपूर्ण दार्शनिक स्थिति थी।^[4]^[5]

एक बार तय किया गया सिद्धांत सार्वभौमिक आधार बन गया जिस पर पूरा गणित बना है,^[6] ठिकाने का शब्द पुराने जमाने का हो गया।^[7] फिर भी, शब्द अभी भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, मुख्यतः संक्षिप्त सूत्रीकरण के लिए, उदाहरण के लिए:

महत्वपूर्ण ठिकाना , अलग करने योग्य समारोह के महत्वपूर्ण बिंदु (गणित)गणित) का सेट।
ज़ीरो लोकस या वैनिशिंग लोकस, उन पॉइंट्स का सेट जहां फ़ंक्शन गायब हो जाता है, जिसमें यह मान (गणित) शून्य लेता है।
एकवचन स्थान, बीजगणितीय किस्म के एकवचन बिंदुओं का समुच्चय।
जुड़ाव स्थान , तर्कसंगत कार्यों के एक परिवार के पैरामीटर सेट का सबसेट जिसके लिए फ़ंक्शन का जूलिया सेट जुड़ा हुआ है।

हाल ही में, योजना के सिद्धांत (गणित) जैसी तकनीकें, और गणित को आधार देने के लिए सेट सिद्धांत के अतिरिक्त श्रेणी सिद्धांत का उपयोग, धारणाओं पर वापस आ गया है, जैसे कि लोकस की मूल परिभाषा वस्तु के अतिरिक्त अपने आप में। बिंदुओं के समूह के रूप में।^[5]

विमान ज्यामिति में उदाहरण

समतल ज्यामिति के उदाहरणों में शामिल हैं:

दो बिंदुओं से समदूरस्थ बिंदुओं का समुच्चय दो बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड का लम्ब समद्विभाजक होता है।^[8]
दो रेखाओं से समदूरस्थ बिंदुओं का समुच्चय जो एक दूसरे को काटते हैं, कोण समद्विभाजक होता है।
सभी शांकव खंड लोकी हैं:^[9]
- वृत्त: बिंदुओं का समूह जिसके लिए एक बिंदु से दूरी स्थिर (त्रिज्या) है।
- परवलय: निश्चित बिंदु (फोकस (ज्यामिति)) और एक रेखा (डायरेक्ट्रिक्स (शंक्वाकार खंड)) से समदूरस्थ बिंदुओं का समूह।
- अतिशयोक्ति : बिंदुओं का समूह जिनमें से प्रत्येक के लिए दो दिए गए नाभियों की दूरियों के बीच अंतर का निरपेक्ष मान स्थिरांक होता है।
- दीर्घवृत्त: बिंदुओं का समुच्चय जिसमें से प्रत्येक के लिए दो दिए गए नाभियों की दूरियों का योग एक स्थिरांक होता है

लोकी के अन्य उदाहरण गणित के विभिन्न क्षेत्रों में दिखाई देते हैं। उदाहरण के लिए, जटिल गतिकी में, मैंडलब्रॉट सेट#औपचारिक परिभाषा जटिल तल का उपसमुच्चय है जिसे बहुपद मानचित्रों के परिवार के जुड़ाव स्थान के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

लोकस का प्रमाण

एक ज्यामितीय आकार साबित करने के लिए शर्तों के एक सेट के लिए सही स्थान है, एक आम तौर पर सबूत को दो चरणों में विभाजित करता है: सबूत है कि शर्तों को संतुष्ट करने वाले सभी बिंदु दिए गए आकार पर हैं, और प्रमाण है कि दिए गए आकार पर सभी बिंदु शर्तों को पूरा करते हैं।^[10]

उदाहरण

File:Locus apollonius.svg

(दूरी पीए) = 3. (दूरी पीबी)

पहला उदाहरण

उस बिंदु P का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए जिसकी दूरियों का अनुपात k = d है₁/डी₂ दो दिए गए बिंदुओं के लिए।

इस उदाहरण में k = 3, A(−1,0) और B(0,2) को निश्चित बिंदुओं के रूप में चुना गया है।

P(x,y) बिंदुपथ का एक बिंदु है

\Leftrightarrow |PA|=3|PB|

\Leftrightarrow |PA|^{2}=9|PB|^{2}

\Leftrightarrow (x+1)^{2}+(y-0)^{2}=9(x-0)^{2}+9(y-2)^{2}

\Leftrightarrow 8(x^{2}+y^{2})-2x-36y+35=0

\Leftrightarrow \left(x-{\frac {1}{8}}\right)^{2}+\left(y-{\frac {9}{4}}\right)^{2}={\frac {45}{64}}.

यह समीकरण केंद्र (1/8,9/4) और त्रिज्या के साथ एक वृत्त का प्रतिनिधित्व करता है ${\tfrac {3}{8}}{\sqrt {5}}$ . यह अपोलोनियस # अपोलोनियस की परिभाषा है, जो के, ए, और बी के इन मूल्यों द्वारा परिभाषित सर्कल की परिभाषा है।

दूसरा उदाहरण

File:Locus3a.svg

बिंदु C का स्थान

एक त्रिभुज ABC की लंबाई c के साथ एक निश्चित भुजा [AB] है।

तीसरे वर्टेक्स (ज्यामिति) सी का स्थान निर्धारित करें जैसे कि ए और सी से मेडियन (ज्यामिति) ओर्थोगोनल हैं।

एक असामान्य निर्देशांक प्रणाली चुनें जैसे कि A(−c/2,0), B(c/2,0)। C(x,y) चर तीसरा शीर्ष है। [BC] का केंद्र M((2x+c)/4,y/2) है। C से माध्यिका का ढलान y/x है। माध्यिका AM का ढलान 2y/(2x+3c) है।

File:Locus3.svg

ठिकाना एक वृत्त है

:C(x,y) बिंदुपथ का एक बिंदु है

\Leftrightarrow

A और C से माध्यिकाएँ ओर्थोगोनल हैं

\Leftrightarrow {\frac {y}{x}}\cdot {\frac {2y}{2x+3c}}=-1

:

\Leftrightarrow 2y^{2}+2x^{2}+3cx=0

:

\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+(3c/2)x=0

:

\Leftrightarrow (x+3c/4)^{2}+y^{2}=9c^{2}/16.

शीर्ष C का स्थान केंद्र (−3c/4,0) और त्रिज्या 3c/4 वाला एक वृत्त है।

तीसरा उदाहरण

File:Geassocieerde rechten.svg

संबद्ध रेखाओं k और l का प्रतिच्छेदन बिंदु वृत्त का वर्णन करता है

एक सामान्य पैरामीटर के आधार पर एक लोकस को दो संबद्ध वक्रों द्वारा भी परिभाषित किया जा सकता है। यदि पैरामीटर भिन्न होता है, तो संबंधित वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु लोकस का वर्णन करते हैं।

आकृति में, बिंदु K और L किसी दिए गए रेखा m पर स्थिर बिंदु हैं। रेखा k, K से होकर जाने वाली एक परिवर्तनशील रेखा है। L से होकर जाने वाली रेखा l, k के लंबवत है। कोना $\alpha$ k और m के बीच का पैरामीटर है। सामान्य पैरामीटर के आधार पर k और l संबद्ध रेखाएँ हैं। k और l का चर चौराहा बिंदु S एक वृत्त का वर्णन करता है। यह वृत्त दो संबद्ध रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का स्थान है।

चौथा उदाहरण

बिंदुओं का स्थान एक-आयामी (एक वृत्त, रेखा, आदि के रूप में) होना आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए,^[1]असमानता का ठिकाना $2 x + 3 y - 6 < 0$ समतल का वह भाग है जो समीकरण की रेखा के नीचे है $2 x + 3 y - 6 = 0$ .

यह भी देखें

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 James, Robert Clarke; James, Glenn (1992), Mathematics Dictionary, Springer, p. 255, ISBN 978-0-412-99041-0.
↑ Whitehead, Alfred North (1911), An Introduction to Mathematics, H. Holt, p. 121, ISBN 978-1-103-19784-2.
↑ Cooke, Roger L. (2012), "38.3 Topology", The History of Mathematics: A Brief Course (3rd ed.), John Wiley & Sons, ISBN 9781118460290, The word locus is one that we still use today to denote the path followed by a point moving subject to stated constraints, although, since the introduction of set theory, a locus is more often thought of statically as the set of points satisfying a given collection.
↑ Bourbaki, N. (2013), Elements of the History of Mathematics, translated by J. Meldrum, Springer, p. 26, ISBN 9783642616938, the classical mathematicians carefully avoided introducing into their reasoning the 'actual infinity'.
↑ ^5.0 ^5.1 Borovik, Alexandre (2010), "6.2.4 Can one live without actual infinity?", Mathematics Under the Microscope: Notes on Cognitive Aspects of Mathematical Practice, American Mathematical Society, p. 124, ISBN 9780821847619.
↑ Mayberry, John P. (2000), The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 82, Cambridge University Press, p. 7, ISBN 9780521770347, set theory provides the foundations for all mathematics.
↑ Ledermann, Walter; Vajda, S. (1985), Combinatorics and Geometry, Part 1, Handbook of Applicable Mathematics, vol. 5, Wiley, p. 32, ISBN 9780471900238, We begin by explaining a slightly old-fashioned term.
↑ George E. Martin, The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane, Springer-Verlag, 1975.
↑ Hamilton, Henry Parr (1834), An Analytical System of Conic Sections: Designed for the Use of Students, Springer.
↑ G. P. West, The new geometry: form 1.

[James-1] 1.0 ^1.1 James, Robert Clarke; James, Glenn (1992), Mathematics Dictionary, Springer, p. 255, ISBN 978-0-412-99041-0.

[2] Whitehead, Alfred North (1911), An Introduction to Mathematics, H. Holt, p. 121, ISBN 978-1-103-19784-2.

[3] Cooke, Roger L. (2012), "38.3 Topology", The History of Mathematics: A Brief Course (3rd ed.), John Wiley & Sons, ISBN 9781118460290, The word locus is one that we still use today to denote the path followed by a point moving subject to stated constraints, although, since the introduction of set theory, a locus is more often thought of statically as the set of points satisfying a given collection.

[4] Bourbaki, N. (2013), Elements of the History of Mathematics, translated by J. Meldrum, Springer, p. 26, ISBN 9783642616938, the classical mathematicians carefully avoided introducing into their reasoning the 'actual infinity'.

[microscope-5] 5.0 ^5.1 Borovik, Alexandre (2010), "6.2.4 Can one live without actual infinity?", Mathematics Under the Microscope: Notes on Cognitive Aspects of Mathematical Practice, American Mathematical Society, p. 124, ISBN 9780821847619.

[6] Mayberry, John P. (2000), The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 82, Cambridge University Press, p. 7, ISBN 9780521770347, set theory provides the foundations for all mathematics.

[7] Ledermann, Walter; Vajda, S. (1985), Combinatorics and Geometry, Part 1, Handbook of Applicable Mathematics, vol. 5, Wiley, p. 32, ISBN 9780471900238, We begin by explaining a slightly old-fashioned term.

[8] George E. Martin, The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane, Springer-Verlag, 1975.

[9] Hamilton, Henry Parr (1834), An Analytical System of Conic Sections: Designed for the Use of Students, Springer.

[10] G. P. West, The new geometry: form 1.

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 {{other uses| Locus (disambiguation)}}
-[[File:Locus Curve.svg|thumb|right|upright=1.35|इस उदाहरण में प्रत्येक वक्र बिंदुपथ है जिसे बिंदु {{math|''P''}} और रेखा {{math|''l''}} के शंकुवृक्ष के रूप में परिभाषित किया गया है। इस उदाहरण में, {{math|''P''}}, {{math|''l''}}<nowiki> से 8 सेमी की दूरी पर है|</nowiki>]][[ज्यामिति]] में, लोकस (बहुवचन: ''लोकी'') (स्थान के लिए लैटिन शब्द) सभी बिंदुओं (ज्यामिति) का [[सेट (गणित)]] है (सामान्यतः, [[रेखा (ज्यामिति)]], [[रेखा खंड]], वक्र ( गणित) या [[सतह (टोपोलॉजी)]]), जिसका स्थान संतुष्ट करता है या अधिक निर्दिष्ट स्थितियों द्वारा निर्धारित किया जाता है।<ref name=James>{{citation |first1=Robert Clarke |last1=James |first2=Glenn |last2=James |title=Mathematics Dictionary|publisher=Springer |year=1992 |isbn=978-0-412-99041-0 |page=255 |url=https://books.google.com/books?id=UyIfgBIwLMQC&pg=PA255}}.</ref><ref>{{citation |first=Alfred North |last=Whitehead |author-link=Alfred North Whitehead |title=An Introduction to Mathematics |publisher=H. Holt |year=1911 |isbn=978-1-103-19784-2 |page=121 |url=https://books.google.com/books?id=0Ko-AAAAYAAJ&pg=PA121}}.</ref>
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 कुछ संपत्ति को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं के समुच्चय को अधिकांशतः इस संपत्ति को संतुष्ट करने वाले बिंदु का स्थान कहा जाता है। इस सूत्रीकरण में एकवचन का प्रयोग इस तथ्य का साक्षी है कि 19वीं शताब्दी के अंत में गणितज्ञ अनंत समुच्चयों पर विचार नहीं किया करते थे। रेखाओं और वक्रों को बिंदुओं के समुच्चय के रूप में अवलोकित करने के अतिरिक्त, उन्हें ऐसे स्थानों के रूप में अवलोकित किया जहाँ बिंदु स्थित हो सकता है या स्थानांतरित हो सकता है।
 == इतिहास और दर्शन ==
-वीं शताब्दी के प्रारम्भ में, ज्यामितीय आकार (उदाहरण के लिए वक्र) को बिंदुओं के अनंत सेट के रूप में नहीं माना जाता था; बल्कि, इसे एक इकाई के रूप में माना जाता था जिस पर एक बिंदु स्थित हो सकता है या जिस पर वह चलता है। इस प्रकार [[यूक्लिडियन विमान]] में एक [[वृत्त (गणित)]] को एक बिंदु के बिंदुपथ के रूप में परिभाषित किया गया था जो एक निश्चित बिंदु, वृत्त के केंद्र की दी गई दूरी पर है। आधुनिक गणित में, आकृतियों को समुच्चय के रूप में वर्णित करके समान अवधारणाओं को अधिक बार दोहराया जाता है; उदाहरण के लिए, एक कहता है कि वृत्त उन बिंदुओं का समुच्चय है जो केंद्र से एक निश्चित दूरी पर हैं।<ref>{{citation |title=The History of Mathematics: A Brief Course |first=Roger L. |last=Cooke |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2012 |isbn=9781118460290 |url=https://books.google.com/books?id=CFDaj0WUvM8C&pg=PT534 |contribution=38.3 Topology |quote=The word locus is one that we still use today to denote the path followed by a point moving subject to stated constraints, although, since the introduction of set theory, a locus is more often thought of statically as the set of points satisfying a given collection.}}</ref>
+वीं शताब्दी के प्रारम्भ में, ज्यामितीय आकृति (उदाहरण के लिए वक्र) को बिंदुओं के अनंत समुच्चय के रूप में स्वीकार नहीं किया जाता था, किंतु, इसे इकाई के रूप में स्वीकार किया जाता था, जिस पर बिंदु स्थित हो सकता है अथवा जिस पर वह गमन करता है। इस प्रकार [[यूक्लिडियन विमान]] में [[वृत्त (गणित)]] को बिंदु के स्थान के रूप में परिभाषित किया गया था जो निश्चित बिंदु, वृत्त के केंद्र की दूरी पर स्थित है। आधुनिक गणित में, आकृतियों को समुच्चय के रूप में वर्णित करके समान अवधारणाओं की अधिक पुनरावृत्ति की जाता है; उदाहरण के लिए, वृत्त उन बिंदुओं का समुच्चय है जो केंद्र से निश्चित दूरी पर हैं।<ref>{{citation |title=The History of Mathematics: A Brief Course |first=Roger L. |last=Cooke |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2012 |isbn=9781118460290 |url=https://books.google.com/books?id=CFDaj0WUvM8C&pg=PT534 |contribution=38.3 Topology |quote=The word locus is one that we still use today to denote the path followed by a point moving subject to stated constraints, although, since the introduction of set theory, a locus is more often thought of statically as the set of points satisfying a given collection.}}</ref>
-सेट-सैद्धांतिक दृष्टिकोण के विपरीत, पुराना सूत्रीकरण अनंत संग्रहों पर विचार करने से बचता है, क्योंकि [[वास्तविक अनंत]]ता से बचना पहले के गणितज्ञों की एक महत्वपूर्ण दार्शनिक स्थिति थी।<ref>{{citation |title=Elements of the History of Mathematics |first=N. |last=Bourbaki |author-link=Nicolas Bourbaki |translator=J. Meldrum |publisher=Springer |year=2013 |isbn=9783642616938 |page=26 |url=https://books.google.com/books?id=4JprCQAAQBAJ&pg=PA26 |quote=the classical mathematicians carefully avoided introducing into their reasoning the 'actual infinity'}}.</ref><ref name="microscope"/>
+सेट-सैद्धांतिक दृष्टिकोण के विपरीत, पुराना सूत्रीकरण अनंत संग्रहों पर विचार करने से बचता है, क्योंकि [[वास्तविक अनंत]]ता से बचना पूर्व के गणितज्ञों की महत्वपूर्ण दार्शनिक स्थिति थी।<ref>{{citation |title=Elements of the History of Mathematics |first=N. |last=Bourbaki |author-link=Nicolas Bourbaki |translator=J. Meldrum |publisher=Springer |year=2013 |isbn=9783642616938 |page=26 |url=https://books.google.com/books?id=4JprCQAAQBAJ&pg=PA26 |quote=the classical mathematicians carefully avoided introducing into their reasoning the 'actual infinity'}}.</ref><ref name="microscope" />
 एक बार तय किया गया सिद्धांत सार्वभौमिक आधार बन गया जिस पर पूरा गणित बना है,<ref>{{citation |title=The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets |volume=82 |series=Encyclopedia of Mathematics and its Applications |first=John P. |last=Mayberry |publisher=Cambridge University Press |year=2000 |isbn=9780521770347 |url=https://books.google.com/books?id=mP1ofko7p6IC&pg=PA7 |page=7 |quote=set theory provides the foundations for all mathematics}}.</ref> ठिकाने का शब्द पुराने जमाने का हो गया।<ref>{{citation |title=Combinatorics and Geometry, Part 1 |volume=5 |series=Handbook of Applicable Mathematics |first1=Walter |last1=Ledermann |first2=S. |last2=Vajda |publisher=Wiley |year=1985 |isbn=9780471900238 |page=32 |quote=We begin by explaining a slightly old-fashioned term}}.</ref> फिर भी, शब्द अभी भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, मुख्यतः संक्षिप्त सूत्रीकरण के लिए, उदाहरण के लिए:
 * [[ महत्वपूर्ण ठिकाना ]], [[अलग करने योग्य समारोह]] के [[महत्वपूर्ण बिंदु (गणित)]]गणित) का सेट।
-* ज़ीरो लोकस या वैनिशिंग लोकस, उन पॉइंट्स का सेट जहां एक फ़ंक्शन गायब हो जाता है, जिसमें यह मान (गणित) शून्य लेता है।
+* ज़ीरो लोकस या वैनिशिंग लोकस, उन पॉइंट्स का सेट जहां फ़ंक्शन गायब हो जाता है, जिसमें यह मान (गणित) शून्य लेता है।
-* एकवचन स्थान, [[एक बीजगणितीय किस्म के एकवचन बिंदु]]ओं का समुच्चय।
+* एकवचन स्थान,  [[एक बीजगणितीय किस्म के एकवचन बिंदु|बीजगणितीय किस्म के एकवचन बिंदु]]ओं का समुच्चय।
 * [[ जुड़ाव स्थान ]], [[तर्कसंगत कार्य]]ों के एक परिवार के पैरामीटर सेट का सबसेट जिसके लिए फ़ंक्शन का [[जूलिया सेट]] जुड़ा हुआ है।
-हाल ही में, योजना के सिद्धांत (गणित) जैसी तकनीकें, और गणित को आधार देने के लिए सेट सिद्धांत के बजाय [[श्रेणी सिद्धांत]] का उपयोग, धारणाओं पर वापस आ गया है, जैसे कि लोकस की मूल परिभाषा एक वस्तु के बजाय अपने आप में। बिंदुओं के समूह के रूप में।<ref name="microscope">{{citation |title=Mathematics Under the Microscope: Notes on Cognitive Aspects of Mathematical Practice |first=Alexandre |last=Borovik |publisher=American Mathematical Society |year=2010 |isbn=9780821847619 |contribution=6.2.4 Can one live without actual infinity? |url=https://books.google.com/books?id=hEPSAwAAQBAJ&pg=PA124 |page=124}}.</ref>
+हाल ही में, योजना के सिद्धांत (गणित) जैसी तकनीकें, और गणित को आधार देने के लिए सेट सिद्धांत के अतिरिक्त [[श्रेणी सिद्धांत]] का उपयोग, धारणाओं पर वापस आ गया है, जैसे कि लोकस की मूल परिभाषा वस्तु के अतिरिक्त अपने आप में। बिंदुओं के समूह के रूप में।<ref name="microscope">{{citation |title=Mathematics Under the Microscope: Notes on Cognitive Aspects of Mathematical Practice |first=Alexandre |last=Borovik |publisher=American Mathematical Society |year=2010 |isbn=9780821847619 |contribution=6.2.4 Can one live without actual infinity? |url=https://books.google.com/books?id=hEPSAwAAQBAJ&pg=PA124 |page=124}}.</ref>
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 * सभी शांकव खंड लोकी हैं:<ref>{{citation |first1=Henry Parr |last1=Hamilton |title=An Analytical System of Conic Sections: Designed for the Use of Students |publisher=Springer |year=1834}}.</ref>
 ** वृत्त: बिंदुओं का समूह जिसके लिए एक बिंदु से दूरी स्थिर (त्रिज्या) है।
-** [[परवलय]]: एक निश्चित बिंदु ([[फोकस (ज्यामिति)]]) और एक रेखा ([[डायरेक्ट्रिक्स (शंक्वाकार खंड)]]) से समदूरस्थ बिंदुओं का समूह।
+** [[परवलय]]: निश्चित बिंदु ([[फोकस (ज्यामिति)]]) और एक रेखा ([[डायरेक्ट्रिक्स (शंक्वाकार खंड)]]) से समदूरस्थ बिंदुओं का समूह।
-** [[ अतिशयोक्ति ]]: बिंदुओं का समूह जिनमें से प्रत्येक के लिए दो दिए गए नाभियों की दूरियों के बीच अंतर का निरपेक्ष मान एक स्थिरांक होता है।
+** [[ अतिशयोक्ति ]]: बिंदुओं का समूह जिनमें से प्रत्येक के लिए दो दिए गए नाभियों की दूरियों के बीच अंतर का निरपेक्ष मान स्थिरांक होता है।
 ** दीर्घवृत्त: बिंदुओं का समुच्चय जिसमें से प्रत्येक के लिए दो दिए गए नाभियों की दूरियों का योग एक स्थिरांक होता है
-लोकी के अन्य उदाहरण गणित के विभिन्न क्षेत्रों में दिखाई देते हैं। उदाहरण के लिए, [[जटिल गतिकी]] में, मैंडलब्रॉट सेट#औपचारिक परिभाषा जटिल तल का एक उपसमुच्चय है जिसे बहुपद मानचित्रों के एक परिवार के जुड़ाव स्थान के रूप में वर्णित किया जा सकता है।
+लोकी के अन्य उदाहरण गणित के विभिन्न क्षेत्रों में दिखाई देते हैं। उदाहरण के लिए, [[जटिल गतिकी]] में, मैंडलब्रॉट सेट#औपचारिक परिभाषा जटिल तल का उपसमुच्चय है जिसे बहुपद मानचित्रों के परिवार के जुड़ाव स्थान के रूप में वर्णित किया जा सकता है।
 == लोकस का प्रमाण ==

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