एन-वेक्टर मॉडल

सांख्यिकीय यांत्रिकी में, एन-वेक्टर मॉडल या ओ(एन) मॉडल एक क्रिस्टलीय जालक पर स्पिन (भौतिकी) को परस्पर क्रिया करने की एक सरल प्रणाली है। इसे एच। यूजीन स्टेनली द्वारा आइसिंग मॉडल, एक्सवाई मॉडल और शास्त्रीय हाइजेनबर्ग मॉडल के सामान्यीकरण के रूप में विकसित किया गया था। एन-वेक्टर मॉडल में, एन-घटक इकाई-लंबाई शास्त्रीय स्पिन (भौतिकी) $\mathbf {s} _{i}$ एक डी-आयामी जाली के शीर्ष पर रखा गया है। एन-वेक्टर मॉडल का हैमिल्टनियन यांत्रिकी द्वारा दिया गया है:

$H=-J{\sum }_{\langle i,j\rangle }\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}$

जहां योग पड़ोसी स्पिन के सभी जोड़े पर चलता है $\langle i,j\rangle$ और $\cdot$ मानक यूक्लिडियन आंतरिक उत्पाद को दर्शाता है। एन-वेक्टर मॉडल के विशेष मामले हैं:

$n=0$: आत्म परिहार चलना

$n=1$: ईज़िंग मॉडल

$n=2$: एक्सवाई मॉडल

$n=3$: शास्त्रीय हाइजेनबर्ग मॉडल

$n=4$: मानक मॉडल के हिग्स क्षेत्र के लिए खिलौना मॉडल

एन-वेक्टर मॉडल का वर्णन करने और हल करने के लिए उपयोग की जाने वाली सामान्य गणितीय औपचारिकता और पॉट्स मॉडल पर लेख में कुछ सामान्यीकरण विकसित किए गए हैं।

सातत्य सीमा

सातत्य सीमा को सिग्मा मॉडल समझा जा सकता है। इसे उत्पाद के संदर्भ में हैमिल्टनियन लिखकर आसानी से प्राप्त किया जा सकता है

$-{\tfrac {1}{2}}(\mathbf {s} _{i}-\mathbf {s} _{j})\cdot (\mathbf {s} _{i}-\mathbf {s} _{j})=\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}-1$

कहाँ $\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{i}=1$ बल्क मैग्नेटाइजेशन टर्म है। इस शब्द को ऊर्जा में जोड़े गए एक समग्र स्थिर कारक के रूप में छोड़ते हुए, न्यूटन के परिमित अंतर को परिभाषित करके सीमा प्राप्त की जाती है

$\delta _{h}[\mathbf {s} ](i,j)={\frac {\mathbf {s} _{i}-\mathbf {s} _{j}}{h}}$

पड़ोसी जाली स्थानों पर $i,j.$ तब $\delta _{h}[\mathbf {s} ]\to \nabla _{\mu }\mathbf {s}$ सीमा में $h\to 0$, कहाँ $\nabla _{\mu }$ में ढाल है $(i,j)\to \mu$ दिशा। इस प्रकार, सीमा में,

$-\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\to {\tfrac {1}{2}}\nabla _{\mu }\mathbf {s} \cdot \nabla _{\mu }\mathbf {s}$

जिसे क्षेत्र की गतिज ऊर्जा के रूप में पहचाना जा सकता है $\mathbf {s}$ सिग्मा मॉडल में। स्पिन के लिए अभी भी दो संभावनाएं हैं $\mathbf {s}$: इसे या तो घुमावों के असतत सेट (पॉट्स मॉडल) से लिया जाता है या इसे गोले पर एक बिंदु के रूप में लिया जाता है $S^{n-1}$; वह है, $\mathbf {s}$ इकाई लंबाई का एक सतत-मूल्यवान वेक्टर है। बाद के मामले में, इसे के रूप में जाना जाता है $O(n)$ गैर रेखीय सिग्मा मॉडल, रोटेशन समूह के रूप में $O(n)$ के isometric का समूह है $S^{n-1}$, और जाहिर है, $S^{n-1}$ फ्लैट नहीं है, यानी एक क्षेत्र (भौतिकी) नहीं है।