अक्ष विचलन: Difference between revisions

Revision as of 10:54, 10 April 2023

रोटेशन, प्रसरण, और किसी ग्रह की वक्रता में पोषण

विदोलन (from Latin nūtātiō 'nodding, swaying') बड़े मापदंड पर अक्षीय रूप से सममित वस्तु, जैसे जाइरोस्कोप, ग्रह, या गोली बाहरी प्राक्षेपिकी, या एक तंत्र के एक इच्छित व्यवहार के रूप में घुमाव की धुरी में एक रॉकिंग, लहराता या हिलता हुआ गति है। संदर्भ के उपयुक्त फ्रेम में इसे दूसरे यूलर कोण या यूलर घूर्णन में परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। यदि यह शरीर के बाहरी बलों के कारण नहीं होता है, तो इसे मुक्त पोषण या लियोनहार्ड यूलर पोषण कहा जाता है।^[1] एक शुद्ध पोषण एक घूर्णी अक्ष की गति है जैसे कि पहला यूलर कोण स्थिर है। इसलिए यह देखा जा सकता है कि आरेख में गोलाकार लाल तीर पुरस्सरण और पोषण के संयुक्त प्रभावों को इंगित करता है, जबकि पुरस्सरण के अभाव में पोषण केवल ऊर्ध्वाधर (दूसरा यूलर कोण) से झुकाव को बदल देगा। चूंकि , अंतरिक्ष यान की गतिशीलता में, पुरस्सरण (पहले यूलर कोण में परिवर्तन) को कभी-कभी पोषण के रूप में संदर्भित किया जाता है।^[2]

स्थूल शरीर में

यदि एक शीर्ष को एक क्षैतिज सतह पर एक झुकाव पर स्थित किया जाता है और तेजी से घूमता है, तो इसकी घूर्णी धुरी ऊर्ध्वाधर के बारे में आगे बढ़ने लगती है। एक छोटे से अंतराल के बाद, शीर्ष एक गति में स्थिर हो जाता है जिसमें इसके घूर्णन अक्ष पर प्रत्येक बिंदु एक वृत्ताकार पथ का अनुसरण करता है। गुरुत्वाकर्षण का ऊर्ध्वाधर बल सतह के साथ संपर्क के बिंदु के बारे में एक क्षैतिज टोक़ $τ$ उत्पन्न करता है शीर्ष इस टोक़ की दिशा में कोणीय वेग $Ω$ से घूमता है ऐसा कि किसी भी क्षण

{\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {\Omega } \times \mathbf {L} ,

(वेक्टर क्रॉस उत्पाद)

जहाँ $L$ शिखर का तात्कालिक कोणीय संवेग है।^[3]

प्रारंभ में, चूंकि , कोई पुरस्सरण नहीं होता है, और शीर्ष का ऊपरी हिस्सा बग़ल में और नीचे की ओर गिरता है, जिससे झुकाव होता है। यह टॉर्क में असंतुलन को जन्म देता है जो कि प्रीसेशन प्रारंभ करता है। गिरने में, शीर्ष उस झुकाव की मात्रा को पार कर जाता है जिस पर वह लगातार आगे बढ़ता है और फिर इस स्तर के बारे में दोलन करता है। इस दोलन को विदोलन कहते हैं। यदि गति अवमंदित हो जाती है, तो दोलन तब तक मरेंगे जब तक कि गति एक स्थिर पुरस्सरण न हो जाए।^[3]^[4]

एक भारी सममित शीर्ष के मॉडल का उपयोग करके इसकी नोक के साथ शीर्ष और जाइरोस्कोप में विदोलन की भौतिकी का पता लगाया जा सकता है। (एक सममित शीर्ष घूर्णी समरूपता के साथ एक है, या अधिक सामान्यतः एक जिसमें जड़ता के तीन प्रमुख क्षणों में से दो समान हैं।) प्रारंभ में, घर्षण के प्रभाव को नजरअंदाज कर दिया जाता है। शीर्ष की गति को तीन यूलर कोणों द्वारा वर्णित किया जा सकता है: शीर्ष और ऊर्ध्वाधर (द्वितीय यूलर कोण) की समरूपता अक्ष के बीच झुकाव कोण $θ$ ;ऊर्ध्वाधर (प्रथम यूलर कोण) के बारे में शीर्ष का दिगंश $θ$ और अपने स्वयं के अक्ष के बारे में शीर्ष का घूर्णन कोण $ψ$ (तीसरा यूलर कोण)। इस प्रकार पुरस्सरण $θ$ में परिवर्तन है और पोषण $θ$ परिवर्तन है .^[5]

यदि शीर्ष में द्रव्यमान है $M$ और इसका द्रव्यमान केंद्र धुरी बिंदु से दूरी $l$ पर है तो समर्थन के तल के सापेक्ष इसकी गुरुत्वाकर्षण क्षमता है

V=Mgl\cos(\theta ).

एक समन्वय प्रणाली में जहां $z$ अक्ष समरूपता का अक्ष है, शीर्ष में कोणीय वेग $ω 1, ω 2, ω 3$ और जड़ता के क्षण $I 1, I 2, I 3$ $x, y$ , और $z$ अक्ष के बारे में हैं| चूंकि हम एक सममित शीर्ष ले रहे हैं, हमारे पास है $I 1$ = $I 2$ . गतिज ऊर्जा है

E_{\text{r}}={\frac {1}{2}}I_{1}\left(\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}I_{3}\omega _{3}^{2}.

यूलर कोणों के संदर्भ में, यह है

E_{\text{r}}={\frac {1}{2}}I_{1}\left({\dot {\theta }}^{2}+{\dot {\phi }}^{2}\sin ^{2}(\theta )\right)+{\frac {1}{2}}I_{3}\left({\dot {\psi }}+{\dot {\phi }}\cos(\theta )\right)^{2}.

यदि इस प्रणाली के लिए यूलर-लैग्रेंज समीकरणों को हल किया जाता है, तो यह पाया जाता है कि गति दो स्थिरांकों $a$ और $b$ पर निर्भर करती है (प्रत्येक गति के एक स्थिरांक से संबंधित है)। पुरस्सरण की दर झुकाव से संबंधित है

{\dot {\phi }}={\frac {b-a\cos(\theta )}{\sin ^{2}(\theta )}}.

झुकाव के लिए एक अंतर समीकरण द्वारा निर्धारित किया जाता है $u = cos(θ)$ फॉर्म का

{\dot {u}}^{2}=f(u)

जहाँ $f$ एक घन समारोह है जो पैरामीटर पर निर्भर करता है $a$ और $b$ साथ ही स्थिरांक जो ऊर्जा और गुरुत्वाकर्षण बलाघूर्ण से संबंधित हैं। की जड़ें $f$ कोणों के कोज्या हैं जिस पर समय का व्युत्पन्न होता है $θ$ शून्य है। इनमें से एक भौतिक कोण से संबंधित नहीं है; अन्य दो झुकाव कोण पर ऊपरी और निचली सीमा निर्धारित करते हैं, जिसके बीच जाइरोस्कोप दोलन करता है।^[6]

खगोल विज्ञान

एक ग्रह का नटेशन इसलिए होता है क्योंकि अन्य पिंडों के गुरुत्वाकर्षण प्रभाव के कारण समय के साथ इसकी अक्षीय पुरस्सरण गति अलग-अलग हो जाती है, जिससे गति स्थिर नहीं रहती है। अंग्रेजी खगोलशास्त्री जेम्स ब्रैडली ने 1728 में पृथ्वी के घूर्णन |पृथ्वी की धुरी के पोषण की खोज की।

पृथ्वी

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मेक्सिको में एक राजमार्ग के पास कर्क रेखा के स्थान में वार्षिक परिवर्तन

विदोलन क्रांतिवृत्त तल के संबंध में पृथ्वी के अक्षीय झुकाव को सूक्ष्मता से बदलता है, अक्षांश के वृत्त को स्थानांतरित करता है या अक्षांश के प्रमुख वृत्त जो पृथ्वी के झुकाव (उष्णकटिबंधीय वृत्त और ध्रुवीय वृत्त) द्वारा परिभाषित होते हैं।

पृथ्वी के मामले में, ज्वारीय बल के प्रमुख स्रोत सूर्य और चंद्रमा हैं, जो लगातार एक दूसरे के सापेक्ष स्थान बदलते रहते हैं और इस प्रकार पृथ्वी की धुरी में पोषण का कारण बनते हैं। पृथ्वी के पोषण के सबसे बड़े घटक की अवधि 18.6 वर्ष है, जो कि चंद्र आसंधि|चंद्रमा की कक्षीय संधियों के पुरस्सरण के समान है।^[1] चूंकि , अन्य महत्वपूर्ण आवधिक शर्तें हैं जिनका परिणाम की वांछित सटीकता के आधार पर हिसाब लगाया जाना चाहिए। एक गणितीय विवरण (समीकरणों का समुच्चय) जो पोषण का प्रतिनिधित्व करता है, कहलाता हैTemplate:By who पोषण का सिद्धांत। सिद्धांत में, डेटा के लिए सबसे अच्छा फिट प्राप्त करने के लिए मापदंडों को अधिक या कम तदर्थ विधि में समायोजित किया जाता है। सरल कठोर शरीर गतिकी सर्वश्रेष्ठ सिद्धांत नहीं देते हैं; किसी को पृथ्वी की विकृतियों के लिए हिसाब देना होगा, जिसमें एस्थेनोस्फीयर और कोर-मेंटल सीमा में परिवर्तन शामिल हैं।^[7] पोषण की मुख्य अवधि चंद्रमा की नोडल रेखा के प्रतिगमन के कारण होती है और इसकी अवधि 6798 दिन (18.61 वर्ष) होती है। यह देशांतर में प्लस या माइनस 17″ और अक्षीय झुकाव में 9.2″ तक पहुंचता है।^[8] अन्य सभी शर्तें बहुत छोटी हैं; अगले सबसे बड़े, 183 दिनों (0.5 वर्ष) की अवधि के साथ, क्रमशः 1.3″ और 0.6″ आयाम हैं। 0.0001″ से बड़े सभी शब्दों की अवधि (लगभग उतनी ही सटीक रूप से जितनी उपलब्ध तकनीक माप सकती है) 5.5 और 6798 दिनों के बीच होती है; किसी कारण से (समुद्री ज्वार की अवधि के साथ) वे 34.8 से 91 दिनों की सीमा से बचने लगते हैं, इसलिए यह प्रथागत है पोषण को लंबी अवधि और छोटी अवधि की शर्तों में विभाजित करने के लिए। लंबी अवधि की शर्तों की गणना और पंचांगों में उल्लेख किया जाता है, जबकि छोटी अवधि की शर्तों के कारण अतिरिक्त सुधार आमतौर पर एक तालिका से लिया जाता है। IAU 2000B पद्धति के अनुसार उनकी गणना जूलियन दिवस से भी की जा सकती है।^[9]

यह भी देखें

मुक्ति
अधिक चिढ़ाना

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संदर्भ

The Feynman Lectures on Physics Vol. I Ch. 20: Rotation in space
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[Lowrie-1] 1.0 ^1.1 Lua error: Internal error: The interpreter exited with status 1.

[2] Lua error: Internal error: The interpreter exited with status 1.

[Feynman-3] 3.0 ^3.1 Lua error: Internal error: The interpreter exited with status 1.

[Goldstein220-4] Lua error: Internal error: The interpreter exited with status 1.

[Goldstein217-5] Lua error: Internal error: The interpreter exited with status 1.

[6] Lua error: Internal error: The interpreter exited with status 1.

[7] Lua error: Internal error: The interpreter exited with status 1.

[8] Lua error: Internal error: The interpreter exited with status 1.

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[1]

[2]

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[4]

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[8]

[9]

@@ Line 22: / Line 22: @@
 यूलर कोणों के संदर्भ में, यह है
 :<math>E_\text{r} = \frac{1}{2}I_1\left(\dot{\theta}^2 + \dot{\phi}^2\sin^2(\theta)\right) + \frac{1}{2}I_3\left(\dot{\psi} + \dot{\phi}\cos(\theta)\right)^2.</math>
-यदि Lagrangian Mechanics|Euler-Lagrange समीकरणों को इस प्रणाली के लिए हल किया जाता है, तो यह पाया जाता है कि गति दो स्थिरांकों पर निर्भर करती है {{math|''a''}} और {{math|''b''}} (प्रत्येक गति के एक स्थिरांक से संबंधित है)। पुरस्सरण की दर झुकाव से संबंधित है
+यदि इस प्रणाली के लिए यूलर-लैग्रेंज समीकरणों को हल किया जाता है, तो यह पाया जाता है कि गति दो स्थिरांकों  {{math|''a''}} और {{math|''b''}}  पर निर्भर करती है (प्रत्येक गति के एक स्थिरांक से संबंधित है)। पुरस्सरण की दर झुकाव से संबंधित है
 :<math>\dot{\phi} = \frac{b - a\cos(\theta)}{\sin^2(\theta)}.</math>

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