मोलर बिखराव

Feynman diagrams
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मोलर प्रकीर्णन, क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन प्रकीर्णन को दिया गया नाम है, जिसका नाम डेनिश भौतिक विज्ञानी क्रिश्चियन मोलर के नाम पर रखा गया है। मोलर प्रकीर्णन में आदर्शीकृत इलेक्ट्रॉन अन्योन्यक्रिया हीलियम परमाणु में इलेक्ट्रॉनों के प्रतिकर्षण जैसी कई परिचित परिघटनाओं का सैद्धांतिक आधार बनाती है। जबकि पूर्व में कई कण कोलाइडर विशेष रूप से इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन टक्करों के लिए डिज़ाइन किए गए थे, हाल ही में इलेक्ट्रॉन-पॉज़िट्रॉन कोलाइडर अधिक सामान्य हो गए हैं। फिर भी, मॉलर स्कैटरिंग कण अंतःक्रियाओं के सिद्धांत के भीतर एक प्रतिमानात्मक प्रक्रिया बनी हुई है।

हम इस प्रक्रिया को सामान्य अंकन में व्यक्त कर सकते हैं, जो अधिकांशतः कण भौतिकी में प्रयोग किया जाता है:

$$e^{-}e^{-}\longrightarrow e^{-}e^{-},$$

क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स में, प्रक्रिया का वर्णन करने वाले दो ट्री-लेवल फेनमैन आरेख हैं: एक मैंडेलस्टैम चर | टी-चैनल आरेख जिसमें इलेक्ट्रॉन एक फोटॉन और एक समान यू-चैनल आरेख का आदान-प्रदान करते हैं। क्रॉसिंग समरूपता, अधिकांशतः फेनमैन आरेखों का मूल्यांकन करने के लिए उपयोग की जाने वाली चालों में से एक है, इस स्थिति में इसका तात्पर्य है कि मॉलर स्कैटरिंग में भाभा बिखर गए (इलेक्ट्रॉन-पॉज़िट्रॉन स्कैटरिंग) के समान क्रॉस सेक्शन होना चाहिए। इलेक्ट्रोवीक सिद्धांत में प्रक्रिया को इसके अतिरिक्त चार पेड़-स्तरीय आरेखों द्वारा वर्णित किया गया है: क्यूईडी से दो और एक समान जोड़ी जिसमें एक फोटॉन के अतिरिक्त जेड बोसोन का आदान-प्रदान होता है। कमजोर बल विशुद्ध रूप से बाएं हाथ का होता है, लेकिन कमजोर और विद्युत चुम्बकीय बल हमारे द्वारा देखे जाने वाले कणों में मिल जाते हैं। फोटॉन निर्माण से सममित है, लेकिन Z बोसोन बाएं हाथ के कणों को दाएं हाथ के कणों के लिए पसंद करता है। इस प्रकार बाएं हाथ के इलेक्ट्रॉनों और दाएं हाथ के इलेक्ट्रॉनों के लिए क्रॉस सेक्शन अलग-अलग होते हैं। अंतर पहली बार 1959 में रूसी भौतिक विज्ञानी याकोव ज़ेल्डोविच द्वारा देखा गया था, लेकिन उस समय उनका मानना ​​​​था कि समता (भौतिकी) विषमता का उल्लंघन करती है (कुछ सौ भाग प्रति बिलियन) मनाया जाना बहुत छोटा था। विषमता का उल्लंघन करने वाली इस समता को एक अध्रुवीकृत इलेक्ट्रॉन लक्ष्य (उदाहरण के लिए तरल हाइड्रोजन) के माध्यम से इलेक्ट्रॉनों के ध्रुवीकृत बीम को फायर करके मापा जा सकता है, जैसा कि स्टैनफोर्ड रैखिक त्वरक केंद्र, SLAC-E158 में एक प्रयोग द्वारा किया गया था। मोलर प्रकीर्णन में विषमता है

$$A_{\rm {PV}}=-m_{e}E{\frac {G_{\rm {F}}}{{\sqrt {2}}\pi \alpha }}{\frac {16\sin ^{2}\Theta _{\text{cm}}}{\left(3+\cos ^{2}\Theta _{\text{cm}}\right)^{2}}}\left({\frac {1}{4}}-\sin ^{2}\theta _{\rm {W}}\right),$$

जहां एम_eइलेक्ट्रॉन द्रव्यमान है, ई आने वाले इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा (दूसरे इलेक्ट्रॉन के संदर्भ फ्रेम में), $G_{\rm {F}}$ फर्मी का इंटरेक्शन है | फर्मी का स्थिरांक, $\alpha$ ठीक संरचना स्थिर है, $\Theta _{\text{cm}}$ द्रव्यमान फ्रेम के केंद्र में प्रकीर्णन कोण है, और $\theta _{\rm {W}}$ कमजोर मिश्रण कोण है, जिसे वेनबर्ग कोण भी कहा जाता है।

क्यूईडी गणना

इस पृष्ठ पर दिखाए गए दो आरेखों की सहायता से मोलर प्रकीर्णन की गणना ट्री-स्तर पर QED के दृष्टिकोण से की जा सकती है। ये दो चित्र QED के दृष्टिकोण से अग्रणी क्रम में योगदान दे रहे हैं। यदि हम कमजोर बल को ध्यान में रखते हैं, जो उच्च ऊर्जा पर विद्युत चुम्बकीय बल के साथ एकीकृत होता है, तो हमें एक के आदान-प्रदान के लिए दो वृक्ष-स्तरीय आरेख जोड़ना होगा। $Z^{0}$ बोसोन। यहां हम क्रॉस सेक्शन के एक सख्त ट्री-लेवल QED गणना पर अपना ध्यान केंद्रित करेंगे, जो शिक्षाप्रद है, लेकिन संभवतः भौतिक दृष्टिकोण से सबसे यथार्थ विवरण नहीं है।

व्युत्पत्ति से पहले, हम 4-आघूर्ण को इस प्रकार लिखते हैं ($p_{1}$और $p_{2}$आने वाले इलेक्ट्रॉनों के लिए, $p_{3}$और $p_{4}$बाहर जाने वाले इलेक्ट्रॉनों के लिए, और $m=m_{e}$):

$$p_{1}=(E,0,0,p),~p_{2}=(E,0,0,-p),$$

$$p_{3}=(E,p\sin \theta ,0,p\cos \theta ),~p_{4}=(E,-p\sin \theta ,0,-p\cos \theta ).$$

मंडेलस्टम चर हैं:

$$s=(p_{1}+p_{2})^{2}=(p_{3}+p_{4})^{2}$$

$$t=(p_{1}-p_{3})^{2}=(p_{4}-p_{2})^{2}$$

$$u=(p_{1}-p_{4})^{2}=(p_{3}-p_{2})^{2}$$

ये मैंडेलस्टैम चर पहचान को संतुष्ट करते हैं: $s+t+u\equiv \sum m_{j}^{2}=4m^{2}$.

इस पृष्ठ पर दो आरेखों के अनुसार, टी-चैनल का मैट्रिक्स तत्व है

$$i{\mathcal {M}}_{t}=(-ie)^{2}{\bar {u}}(p_{3})\gamma ^{\mu }u(p_{1}){\frac {-i}{t}}{\bar {u}}(p_{4})\gamma _{\mu }u(p_{2}),$$

यू-चैनल का मैट्रिक्स तत्व है

$$i{\mathcal {M}}_{u}=(-ie)^{2}{\bar {u}}(p_{3})\gamma ^{\mu }u(p_{2}){\frac {-i}{u}}{\bar {u}}(p_{4})\gamma _{\mu }u(p_{1}).$$

तो योग है

$${\begin{aligned}i{\mathcal {M}}&=i({\mathcal {M}}_{t}-{\mathcal {M}}_{u})\\&=-i(-ie)^{2}\left[{\frac {1}{t}}{\bar {u}}(p_{3})\gamma ^{\mu }u(p_{1}){\bar {u}}(p_{4})\gamma _{\mu }u(p_{2})-{\frac {1}{u}}{\bar {u}}(p_{3})\gamma ^{\mu }u(p_{2}){\bar {u}}(p_{4})\gamma _{\mu }u(p_{1})\right].\end{aligned}}$$

इसलिए,

अध्रुवीकृत क्रॉस सेक्शन की गणना करने के लिए, हम प्रारंभिक स्पिनों पर औसत और अंतिम स्पिनों पर योग करते हैं, कारक 1/4 (प्रत्येक आने वाले इलेक्ट्रॉन के लिए 1/2) के साथ:

$${\begin{aligned}{\frac {1}{4}}\sum _{\text{spins}}|{\mathcal {M}}|^{2}&={\frac {e^{4}}{4}}\{{\frac {1}{t^{2}}}\mathrm {Tr} [\gamma ^{\mu }(\not p_{1}+m)\gamma ^{\nu }(\not p_{3}+m)]\mathrm {Tr} [\gamma _{\mu }(\not p_{2}+m)\gamma _{\nu }(\not p_{4}+m)]\\&~~+{\frac {1}{u^{2}}}\mathrm {Tr} [\gamma ^{\mu }(\not p_{2}+m)\gamma ^{\nu }(\not p_{3}+m)]\mathrm {Tr} [\gamma _{\mu }(\not p_{1}+m)\gamma _{\nu }(\not p_{4}+m)]\\&~~-{\frac {2}{tu}}\mathrm {Tr} [(\not p_{3}+m)\gamma ^{\mu }(\not p_{1}+m)\gamma ^{\nu }(\not p_{4}+m)\gamma _{\mu }(\not p_{2}+m)\gamma _{\nu }]\}\end{aligned}}$$

जहां हमने संबंध का उपयोग किया है $\sum _{s}u^{s}(p){\bar {u}}^{s}(p)=\not p+m=\gamma ^{\mu }p_{\mu }+m$. हम अगली बार निशानों की गणना करेंगे।

कोष्ठकों में पहला पद है

यहाँ $p_{ij}\equiv p_{i}\cdot p_{j}$, और हमने इसका उपयोग किया है $\gamma$-मैट्रिक्स पहचान

$$\mathrm {Tr} [\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }]=4\left(\eta ^{\mu \nu }\eta ^{\rho \sigma }-\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }+\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }\right)$$

और विषम संख्या के किसी उत्पाद का वह निशान $\gamma ^{\mu }$ शून्य है।

इसी प्रकार दूसरा पद है

$${\begin{aligned}&~~{\frac {1}{u^{2}}}\mathrm {Tr} [\gamma ^{\mu }(\not p_{2}+m)\gamma ^{\nu }(\not p_{3}+m)]\mathrm {Tr} [\gamma _{\mu }(\not p_{1}+m)\gamma _{\nu }(\not p_{4}+m)]\\&={\frac {32}{u^{2}}}{\big (}p_{12}p_{34}+p_{13}p_{24}-m^{2}p_{23}-m^{2}p_{14}+2m^{4}{\big )}\\&={\frac {8}{u^{2}}}(s^{2}+t^{2}-8m^{2}(s+t)+24m^{4})\end{aligned}}$$

का उपयोग $\gamma$-मैट्रिक्स पहचान

$$\mathrm {Tr} [\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }]=-32,$$

$$\mathrm {Tr} [\gamma ^{\rho }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }]=\mathrm {Tr} [\gamma ^{\rho }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }]=16g^{\rho \sigma },$$

$$\mathrm {Tr} [\gamma ^{\rho }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\lambda }\gamma _{\mu }\gamma ^{\tau }\gamma _{\nu }]=-32g^{\rho \lambda }g^{\sigma \tau },$$

और मैंडेलस्टैम चर की पहचान: $s+t+u\equiv \sum m_{j}^{2}$, हमें तीसरा कार्यकाल मिलता है

$${\begin{aligned}&-{\frac {2}{tu}}\mathrm {Tr} \left[(\not p_{3}+m)\gamma ^{\mu }(\not p_{1}+m)\gamma ^{\nu }(\not p_{4}+m)\gamma _{\mu }(\not p_{2}+m)\gamma _{\nu }\right]\\={}&-{\frac {32}{tu}}\left(-2p_{12}p_{34}+2m^{2}(p_{12}+p_{13}+p_{14})-2m^{4}\right)\\={}&{\frac {16}{tu}}\left(s^{2}-8m^{2}s+12m^{4}\right)\end{aligned}}$$

इसलिए,

$${\begin{aligned}{\overline {|{\mathcal {M}}|^{2}}}&\equiv {\frac {1}{4}}\sum _{\text{spins}}|{\mathcal {M}}|^{2}\\&=2e^{4}{\Big \{}{\frac {1}{t^{2}}}{\big (}s^{2}+u^{2}-8m^{2}(s+u)+24m^{4}{\big )}\\&~~+{\frac {1}{u^{2}}}{\big (}s^{2}+t^{2}-8m^{2}(s+t)+24m^{4}{\big )}\\&~~+{\frac {2}{tu}}{\big (}s^{2}-8m^{2}s+12m^{4}{\big )}{\Big \}}\end{aligned}}.$$

उन क्षणों में स्थानापन्न करें जो हम वहां गए हैं, जो हैं

$$s=4E^{2}=E_{CM}^{2},$$

$$t=2p^{2}(\cos \theta -1),$$

$$u=2p^{2}(-\cos \theta -1).$$

अंत में हमें अध्रुवीकृत क्रॉस सेक्शन मिलता है

$${\begin{aligned}{\frac {d\sigma }{d\Omega }}&={\frac {1}{64\pi ^{2}E_{CM}^{2}}}{\frac {|{\vec {p}}_{f}|}{|{\vec {p}}_{i}|}}{\overline {|{\mathcal {M}}|^{2}}}\\&={\frac {\alpha ^{2}}{2E_{CM}^{2}}}{\Big \{}{\frac {1}{t^{2}}}{\big (}s^{2}+u^{2}-8m^{2}(s+u)+24m^{4}{\big )}\\&~~+{\frac {1}{u^{2}}}{\big (}s^{2}+t^{2}-8m^{2}(s+t)+24m^{4}{\big )}\\&~~+{\frac {2}{tu}}{\big (}s^{2}-8m^{2}s+12m^{4}{\big )}{\Big \}}\\&={\frac {\alpha ^{2}}{E_{CM}^{2}p^{4}\sin ^{4}\theta }}{\Big [}4(m^{2}+2p^{2})^{2}+{\big (}4p^{4}-3(m^{2}+2p^{2})^{2}{\big )}\sin ^{2}\theta +p^{4}\sin ^{4}\theta {\Big ]}.\end{aligned}}$$

साथ $E^{2}=m^{2}+p^{2}$ और $E_{CM}=2E$.

असापेक्षतावादी सीमा में, $m\gg p$,

$${\begin{aligned}{\frac {d\sigma }{d\Omega }}&={\frac {m^{4}\alpha ^{2}}{E_{CM}^{2}p^{4}\sin ^{4}\theta }}{\Big (}4-3\sin ^{2}\theta {\Big )}\\&={\frac {m^{4}\alpha ^{2}}{E_{CM}^{2}p^{4}\sin ^{4}\theta }}{\Big (}1+3\cos ^{2}\theta {\Big )}.\end{aligned}}$$

अति सापेक्षतावादी सीमा में, $m\ll p$,

$${\begin{aligned}{\frac {d\sigma }{d\Omega }}&={\frac {\alpha ^{2}}{E_{CM}^{2}p^{4}\sin ^{4}\theta }}{\Big (}16p^{4}-8p^{4}\sin ^{2}\theta +p^{4}\sin ^{4}\theta {\Big )}\\&={\frac {\alpha ^{2}}{E_{CM}^{2}\sin ^{4}\theta }}{\Big (}3+\cos ^{2}\theta {\Big )}^{2}.\end{aligned}}$$

संदर्भ

बाहरी संबंध

• SLAC E158: Measuring the Electron's WEAK Charge