समान कण: Difference between revisions
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[[क्वांटम यांत्रिकी|परिमाण यांत्रिकी]] [[मेसन|प्रक्रिया]], समान [[कण]] (जिन्हें अप्रभेद्य या अविवेकी कण भी कहा जाता है) ऐसे कण होते हैं, जिन्हें | [[क्वांटम यांत्रिकी|परिमाण यांत्रिकी]] [[मेसन|प्रक्रिया]], समान [[कण]] (जिन्हें अप्रभेद्य या अविवेकी कण भी कहा जाता है) ऐसे कण होते हैं, जिन्हें सिद्धांतिक रूप में भी एक दूसरे से अलग नहीं किया जा सकता है। समान कणों की प्रजातियों में [[प्राथमिक कण]] (जैसे [[इलेक्ट्रॉन|विद्युद अणु]]) एवं समग्र उप-परमाणु कण (जैसे [[परमाणु नाभिक]]) और साथ ही परमाणु और [[अणु]] सम्मिलित हैं, किन्तुयह इन तक ही सीमित नहीं हैं।अर्ध कण भी इसी प्रकार का व्यवहार करते हैं। चूंकि सभी ज्ञात अप्रभेद्य कण केवल परिमाण सीमा में उपस्थितहैं, कणों के सभी संभावित प्रकारों की कोई विस्तृत सूची नहीं है और न ही प्रयोज्यता की स्पष्ट सीमा है, जैसा कि कण सांख्यिकी परिमाण सांख्यिकी में पता लगाया गया है। | ||
समान कणों की दो मुख्य श्रेणियां हैं: बोसोन, जो परिमाण अवस्थाओं को साझा कर सकते हैं, और [[फर्मियन]], जो परिमाण अवस्थाओं को साझा नहीं कर सकते (जैसा कि [[पाउली अपवर्जन सिद्धांत]] द्वारा वर्णित है) है। फोटॉन, ग्लूऑन, [[फोनन]], [[हीलियम -4]] (गंधहीन वाष्प) और नाभिक यह सभी मेसॉन [[बोसॉन]] के उदाहरण हैं। विद्युदअणु, [[ न्युट्रीनो |न्युट्रीनो]] , [[क्वार्क]], [[प्रोटॉन]], [[न्यूट्रॉन]] और [[हीलियम -3]] (गंधहीन वाष्प) यह सभी नाभिक फ़र्मियन के उदाहरण हैं। | समान कणों की दो मुख्य श्रेणियां हैं: बोसोन, जो परिमाण अवस्थाओं को साझा कर सकते हैं, और [[फर्मियन]], जो परिमाण अवस्थाओं को साझा नहीं कर सकते (जैसा कि [[पाउली अपवर्जन सिद्धांत]] द्वारा वर्णित है) है। फोटॉन, ग्लूऑन, [[फोनन]], [[हीलियम -4]] (गंधहीन वाष्प) और नाभिक यह सभी मेसॉन [[बोसॉन]] के उदाहरण हैं। विद्युदअणु, [[ न्युट्रीनो |न्युट्रीनो]] , [[क्वार्क]], [[प्रोटॉन]], [[न्यूट्रॉन]] और [[हीलियम -3]] (गंधहीन वाष्प) यह सभी नाभिक फ़र्मियन के उदाहरण हैं। | ||
तथ्य यह है कि कण समान हो सकते हैं, [[सांख्यिकीय यांत्रिकी]] में महत्वपूर्ण परिणाम हैं, जहां गणना संभाव्यता | तथ्य यह है कि कण समान हो सकते हैं, [[सांख्यिकीय यांत्रिकी]] में महत्वपूर्ण परिणाम हैं, जहां गणना संभाव्यता सिद्धांतिक तर्कों पर निर्भर करती है, जो इस बात के प्रति संवेदनशील हैं कि अध्ययन की जा रही वस्तुएं समान हैं या नहीं। परिणाम स्वरुप , समान कण अलग-अलग कणों से स्पष्ट रूप से भिन्न सांख्यिकीय व्यवहार प्रदर्शित करते हैं। उदाहरण के लिए, गिब्स के गिब्स विरोधाभास एवं मिश्रण विरोधाभास के समाधान के रूप में कणों की अविभाज्यता को प्रस्तावित किया गया है। | ||
== कणों के बीच भेद == | == कणों के बीच भेद == | ||
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[[Image:Symmetricwave2.png|right|thumb|एक अनंत वर्ग कुएं की क्षमता में (बोसोनिक) 2-कण अवस्था के लिए सममित तरंग।]]परिमाण यांत्रिकी के गणितीय सूत्रीकरण पर लेख में विकसित औपचारिकता का उपयोग करते हुए उपरोक्त चर्चा को ठोस बनाने के लिए उदाहरण निम्नलिखित है। | [[Image:Symmetricwave2.png|right|thumb|एक अनंत वर्ग कुएं की क्षमता में (बोसोनिक) 2-कण अवस्था के लिए सममित तरंग।]]परिमाण यांत्रिकी के गणितीय सूत्रीकरण पर लेख में विकसित औपचारिकता का उपयोग करते हुए उपरोक्त चर्चा को ठोस बनाने के लिए उदाहरण निम्नलिखित है। | ||
चलो n एकल-कण अवस्थाओं को निर्दिष्ट करने के लिए (असतत) परिमाण संख्याओं के पूर्ण समुच्चय को निरूपित करते हैं (उदाहरण के लिए, एक वर्ग समस्या में कण के लिए, n को तरंग कार्य के परिमाणित तरंग संवाहक के रूप में लें।) सरलता के लिए, प्रणाली पर विचार करें। दो कणों की जो एक दूसरे के साथ संभाषण नहीं कर रहे हैं। मान लीजिए कि एक कण n | चलो n एकल-कण अवस्थाओं को निर्दिष्ट करने के लिए (असतत) परिमाण संख्याओं के पूर्ण समुच्चय को निरूपित करते हैं (उदाहरण के लिए, एक वर्ग समस्या में कण के लिए, n को तरंग कार्य के परिमाणित तरंग संवाहक के रूप में लें।) सरलता के लिए, प्रणाली पर विचार करें। दो कणों की जो एक दूसरे के साथ संभाषण नहीं कर रहे हैं। मान लीजिए कि एक कण n<sub>1</sub> अवस्था में है , और दूसरा कण n<sub>2</sub> में है . प्रणाली की परिमाण स्थिति को अभिव्यक्ति द्वारा निरूपित किया जाता है | ||
:<math> | n_1 \rang | n_2 \rang </math> | :<math> | n_1 \rang | n_2 \rang </math> | ||
जहां प्रदिश उत्पाद का क्रम मायने रखता है (यदि <math> | n_2 \rang | n_1 \rang </math>, तो कण | जहां प्रदिश उत्पाद का क्रम मायने रखता है (यदि <math> | n_2 \rang | n_1 \rang </math>, तो कण एक स्थिति n<sub>2</sub> पर अधिकृत कर लेता है जबकि कण दो स्थिति n<sub>1</sub> पर अधिकृत कर लेता है) व्यक्तिगत अंतरालक से संयुक्त प्रणाली का यह [[प्रदिश उत्पाद]] स्थान के लिए आधार बनाने का प्रामाणिक प्रणाली है <math>H \otimes H</math>। यह अभिव्यक्ति अलग-अलग कणों के लिए मान्य है, चूंकि, यह अप्रभेद्य कणों के लिए उपयुक्त नहीं है <math> |n_1\rang |n_2\rang</math> और <math>|n_2\rang |n_1\rang </math> कणों के आदान-प्रदान के परिणामस्वरूप सामान्यतः अलग-अलग अवस्थाएँ होती हैं। | ||
* कण | * कण एक n<sub>1</sub> पर अधिकृत कर लेता है स्थिति और कण दो n<sub>2</sub> पर अधिकृत कर लेता है। | ||
दो अवस्थाएँ शारीरिक रूप से केवल तभी समतुल्य होती हैं, जब वे जटिल चरण कारक द्वारा अधिक से अधिक भिन्न हों। दो अप्रभेद्य कणों के लिए, कण विनिमय से पहले की अवस्था विनिमय के बाद की अवस्था के भौतिक रूप से समतुल्य होनी चाहिए, इसलिए ये दोनों अवस्थाएँ जटिल चरण कारक द्वारा भिन्न होती हैं। यह तथ्य बताता है कि दो अप्रभेद्य (और गैर-अंतःक्रियात्मक) कणों के लिए एक स्थिति निम्नलिखित दो संभावनाओं द्वारा दी गई है: <ref>{{Cite web|url=http://www.tcm.phy.cam.ac.uk/~pdh1001/thesis/node14.html|title = 2.3 Identical particles}}</ref><ref>{{harvtxt|Tuckerman|2010|p=385}}</ref><ref>{{Cite book|title=परिचयात्मक क्वांटम यांत्रिकी|last=Liboff|first=Richard|publisher=Addison-Wesley|year=2003|isbn=978-0805387148|pages=597}}</ref> | दो अवस्थाएँ शारीरिक रूप से केवल तभी समतुल्य होती हैं, जब वे जटिल चरण कारक द्वारा अधिक से अधिक भिन्न हों। दो अप्रभेद्य कणों के लिए, कण विनिमय से पहले की अवस्था विनिमय के बाद की अवस्था के भौतिक रूप से समतुल्य होनी चाहिए, इसलिए ये दोनों अवस्थाएँ जटिल चरण कारक द्वारा भिन्न होती हैं। यह तथ्य बताता है कि दो अप्रभेद्य (और गैर-अंतःक्रियात्मक) कणों के लिए एक स्थिति निम्नलिखित दो संभावनाओं द्वारा दी गई है: <ref>{{Cite web|url=http://www.tcm.phy.cam.ac.uk/~pdh1001/thesis/node14.html|title = 2.3 Identical particles}}</ref><ref>{{harvtxt|Tuckerman|2010|p=385}}</ref><ref>{{Cite book|title=परिचयात्मक क्वांटम यांत्रिकी|last=Liboff|first=Richard|publisher=Addison-Wesley|year=2003|isbn=978-0805387148|pages=597}}</ref> | ||
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:<math> |n_1, n_2; ?\rang = \mbox{constant} \times \bigg( |n_1\rang |n_2\rang + i |n_2\rang |n_1\rang \bigg) </math> | :<math> |n_1, n_2; ?\rang = \mbox{constant} \times \bigg( |n_1\rang |n_2\rang + i |n_2\rang |n_1\rang \bigg) </math> | ||
वास्तव में इस नियम का एक अपवाद है, जिस पर बाद में चर्चा की जाएगी। दूसरी ओर, यह दिखाया जा सकता है कि सममित और प्रतिसममित | वास्तव में इस नियम का एक अपवाद है, जिस पर बाद में चर्चा की जाएगी। दूसरी ओर, यह दिखाया जा सकता है कि सममित और प्रतिसममित स्थिति अर्थ में विशेष हैं। बहु-कण स्थिति की विशेष समरूपता की जांच करके उन्हें विनिमय समरूपता के रूप में जाना जाता है। | ||
विनिमय संक्रियक कहे जाने वाले रैखिक संक्रियक ''p'' को परिभाषित करें। जब यह दो पद सदिश के प्रदिश उत्पाद पर कार्य करता है, तो यह | विनिमय संक्रियक कहे जाने वाले रैखिक संक्रियक ''p'' को परिभाषित करें। जब यह दो पद सदिश के प्रदिश उत्पाद पर कार्य करता है, तो यह स्थिति सदिश के मूल्यों का आदान-प्रदान करता है: | ||
:<math>P \bigg(|\psi\rang |\phi\rang \bigg) \equiv |\phi\rang |\psi\rang </math> | :<math>P \bigg(|\psi\rang |\phi\rang \bigg) \equiv |\phi\rang |\psi\rang </math> | ||
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:<math>P|n_1, n_2; S\rang = + |n_1, n_2; S\rang</math> | :<math>P|n_1, n_2; S\rang = + |n_1, n_2; S\rang</math> | ||
:<math>P|n_1, n_2; A\rang = - |n_1, n_2; A\rang</math> | :<math>P|n_1, n_2; A\rang = - |n_1, n_2; A\rang</math> | ||
दूसरे शब्दों में, सममित और प्रतिसममित | दूसरे शब्दों में, सममित और प्रतिसममित स्थिति अनिवार्य रूप से कण नामपत्र के आदान-प्रदान के अनुसार अपरिवर्तित होते हैं। हिल्बर्ट अंतराल में कहीं और घुमाए जाने के अतिरिक्त उन्हें केवल +1 या -1 के कारक से गुणा किया जाता है। यह इंगित करता है कि अप्रभेद्यता पर पहले की चर्चा के साथ कण नामपत्र का कोई भौतिक अर्थ नहीं है। | ||
यह याद किया जाएगा कि P हर्मिटियन है। परिणाम स्वरुप , इसे प्रणाली के अवलोकन के रूप में माना जा सकता है, जिसका अर्थ है कि, | यह याद किया जाएगा कि P हर्मिटियन है। परिणाम स्वरुप , इसे प्रणाली के अवलोकन के रूप में माना जा सकता है, जिसका अर्थ है कि, सिद्धांतिक रूप में, पता लगाने के लिए माप किया जा सकता है कि कोई पद सममित या विषम है या नहीं। इसके अतिरिक्त, कणों की समानता इंगित करती है कि [[हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी)|हैमिल्टनियन (परिमाण यांत्रिकी)]] को सममित रूप में लिखा जा सकता है, जैसे कि | ||
:<math>H = \frac{p_1^2}{2m} + \frac{p_2^2}{2m} + U(|x_1 - x_2|) + V(x_1) + V(x_2) </math> | :<math>H = \frac{p_1^2}{2m} + \frac{p_2^2}{2m} + U(|x_1 - x_2|) + V(x_1) + V(x_2) </math> | ||
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:<math>\left[P, H\right] = 0</math> | :<math>\left[P, H\right] = 0</math> | ||
[[हाइजेनबर्ग चित्र]] के अनुसार, इसका अर्थ है कि P का मान गति का स्थिरांक है। यदि परिमाण पद प्रारंभिक रूप से सममित ( प्रतिसममित) है, तो प्रणाली विकसित होने पर यह सममित ( प्रतिसममित) रहेगा। गणितीय रूप से, यह कहता है कि | [[हाइजेनबर्ग चित्र]] के अनुसार, इसका अर्थ है कि P का मान गति का स्थिरांक है। यदि परिमाण पद प्रारंभिक रूप से सममित ( प्रतिसममित) है, तो प्रणाली विकसित होने पर यह सममित ( प्रतिसममित) रहेगा। गणितीय रूप से, यह कहता है कि स्थितिसंवाहक p के दो अतिलक्षणिक अंतराल में से एक तक ही सीमित है, और पूरे हिल्बर्ट अंतराल में कार्यक्षेत्र करने की अनुमति नहीं है। इस प्रकार, उस अतिलक्षणिक अंतराल को प्रणाली के वास्तविक हिल्बर्ट अंतराल के रूप में भी माना जा सकता है। [[फॉक स्पेस|फॉक अंतराल]] की परिभाषा के पीछे यही विचार है। | ||
=== फर्मियंस (उप-परमाणु कण) और बोसोन === | === फर्मियंस (उप-परमाणु कण) और बोसोन === | ||
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=== एन (n) कण === | === एन (n) कण === | ||
उपरोक्त चर्चा n कणों के स्थितियों में आसानी से सामान्यीकृत होती है। मान लीजिए कि परिमाण संख्या n वाले | उपरोक्त चर्चा n कणों के स्थितियों में आसानी से सामान्यीकृत होती है। मान लीजिए कि परिमाण संख्या n वाले कण हैं n<sub>1</sub>, n<sub>2</sub>, ..., n<sub>N</sub>. यदि कण बोसोन हैं, तो वे पूरी तरह से सममित स्थिति पर अधिकृत कर लेते हैं, जो ''किसी भी दो'' कण नामपत्र के आदान-प्रदान के अनुसार सममित है: | ||
:<math>|n_1 n_2 \cdots n_N; S\rang = \sqrt{\frac{\prod_n m_n!}{N!}} \sum_p \left|n_{p(1)}\right\rang \left|n_{p(2)}\right\rang \cdots \left|n_{p(N)}\right\rang </math> | :<math>|n_1 n_2 \cdots n_N; S\rang = \sqrt{\frac{\prod_n m_n!}{N!}} \sum_p \left|n_{p(1)}\right\rang \left|n_{p(2)}\right\rang \cdots \left|n_{p(N)}\right\rang </math> | ||
यहां, n तत्वों पर अभिनय करने वाले क्रम [[परिवर्तन]] p के अनुसार सभी अलग-अलग | यहां, n तत्वों पर अभिनय करने वाले क्रम [[परिवर्तन]] p के अनुसार सभी अलग-अलग स्थिति में योग लिया जाता है। योग के लिए छोड़ा गया वर्गमूल [[सामान्यीकरण स्थिरांक]] है। मात्रा M<sub>n</sub> कण अवस्था में प्रत्येक एकल-कण अवस्था n प्रकट होने की संख्या के लिए खड़ा है। ध्यान दें कि Σ<sub>n</sub> m<sub>n</sub> = n। | ||
एक ही शैली में, 'पूरी तरह से प्रतिसममित क्षेत्रों' पर अधिकृत कर लेते हैं: | एक ही शैली में, 'पूरी तरह से प्रतिसममित क्षेत्रों' पर अधिकृत कर लेते हैं: | ||
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:<math>\sum_{m_1 \le m_2 \le \dots \le m_N} P_{S/A}(n_1, \ldots, n_N \rightarrow m_1, \ldots, m_N) = 1</math> | :<math>\sum_{m_1 \le m_2 \le \dots \le m_N} P_{S/A}(n_1, \ldots, n_N \rightarrow m_1, \ldots, m_N) = 1</math> | ||
जो सत्यापित करता है कि कुल प्रायिकता 1 है। योग को m | जो सत्यापित करता है कि कुल प्रायिकता 1 है। यह सुनिश्चित करने के लिए योग को m<sub>1</sub>, ..., m<sub>N</sub> के क्रमबद्ध मानों तक सीमित करना होगा ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि प्रत्येक बहु-कण स्थिति को एक से अधिक बार नहीं गिना जाता है। | ||
=== तरंग कार्य प्रतिनिधित्व === | === तरंग कार्य प्रतिनिधित्व === | ||
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-\Psi^{(A)}_{n_1 \cdots n_N} (\cdots x_j \cdots x_i \cdots) | -\Psi^{(A)}_{n_1 \cdots n_N} (\cdots x_j \cdots x_i \cdots) | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
बहु-निकाय तरंग कार्य का निम्नलिखित महत्व है: यदि प्रणाली प्रारंभ में परिमाण संख्या n<sub>1</sub> | बहु-निकाय तरंग कार्य का निम्नलिखित महत्व है: यदि प्रणाली प्रारंभ में परिमाण संख्या के साथ एकाकी अवस्था में है,n<sub>1</sub> ..., n<sub>N</sub>, और यह स्थिति मापन प्रक्रिया कि जाती है, x<sub>1</sub> के निकट अतिसूक्ष्म मात्रा में कणों को खोजने की संभावना ,x<sub>2</sub>, ..., x<sub>N</sub> है | ||
:<math> N! \; \left|\Psi^{(S/A)}_{n_1 n_2 \cdots n_N} (x_1, x_2, \ldots, x_N) \right|^2 \; d^{3N}\!x </math> | :<math> N! \; \left|\Psi^{(S/A)}_{n_1 n_2 \cdots n_N} (x_1, x_2, \ldots, x_N) \right|^2 \; d^{3N}\!x </math> | ||
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समग्र प्रणाली समय के साथ विकसित हो सकती है, और मुखर परिस्थिति के साथ बातचीत कर सकती है। क्योंकि <math>|0\rangle</math> और <math>|1\rangle</math> पद ऊर्जावान रूप से समतुल्य हैं, न तो पद का पक्ष लिया जाता है, इसलिए इस प्रक्रिया का प्रभाव पदों को यादृच्छिक बनाने का है। (परिमाण उलझाव पर लेख में इस पर चर्चा की गई है।) कुछ समय बाद, जब समग्र प्रणाली में इसके लिए उपलब्ध प्रत्येक पद पर अधिकृत करने की समान संभावना होगी तब कण पदों को मापा जाता है। | समग्र प्रणाली समय के साथ विकसित हो सकती है, और मुखर परिस्थिति के साथ बातचीत कर सकती है। क्योंकि <math>|0\rangle</math> और <math>|1\rangle</math> पद ऊर्जावान रूप से समतुल्य हैं, न तो पद का पक्ष लिया जाता है, इसलिए इस प्रक्रिया का प्रभाव पदों को यादृच्छिक बनाने का है। (परिमाण उलझाव पर लेख में इस पर चर्चा की गई है।) कुछ समय बाद, जब समग्र प्रणाली में इसके लिए उपलब्ध प्रत्येक पद पर अधिकृत करने की समान संभावना होगी तब कण पदों को मापा जाता है। | ||
यदि ए और बी अलग-अलग कण हैं, तो समग्र प्रणाली में चार अलग-अलग पद हैं: <math>|0\rangle|0\rangle</math>, <math>|1\rangle|1\rangle</math>, <math>|0\rangle|1\rangle</math>, और <math>|1\rangle|0\rangle</math>. में दो कण प्राप्त करने की प्रायिकता <math>|1\rangle</math> पद 0.25 है; और एक कण प्राप्त करने की संभावना <math>|0\rangle</math> | यदि ए और बी अलग-अलग कण हैं, तो समग्र प्रणाली में चार अलग-अलग पद हैं: <math>|0\rangle|0\rangle</math>, <math>|1\rangle|1\rangle</math>, <math>|0\rangle|1\rangle</math>, और <math>|1\rangle|0\rangle</math>. में दो कण प्राप्त करने की प्रायिकता <math>|1\rangle</math> पद 0.25 है; और एक कण प्राप्त करने की संभावना <math>|0\rangle</math> स्थिति में और दूसरा में <math>|1\rangle</math> स्थिति 0.5 है। | ||
यदि ए और बी समान बोसोन हैं, तो समग्र प्रणाली में केवल तीन अलग-अलग अवस्थाएँ हैं: <math>|0\rangle|0\rangle</math>, <math>|1\rangle|1\rangle</math>, और <math>\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle|1\rangle + |1\rangle|0\rangle)</math>. तब प्रयोग किया जाता है, तो दो कणों के प्राप्त होने की प्रायिकता <math>|0\rangle</math> पद अब 0.33 है; और एक कण प्राप्त करने की संभावना <math>|0\rangle</math> पद में और दूसरा में <math>|1\rangle</math> पद 0.33 है। ध्यान दें कि एक ही अवस्था में कणों को खोजने की संभावना अलग-अलग स्थितियों की तुलना में अपेक्षाकृत बड़ी है। यह बोसोन की क्लंप बनने की प्रवृत्ति को प्रदर्शित करता है। | यदि ए और बी समान बोसोन हैं, तो समग्र प्रणाली में केवल तीन अलग-अलग अवस्थाएँ हैं: <math>|0\rangle|0\rangle</math>, <math>|1\rangle|1\rangle</math>, और <math>\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle|1\rangle + |1\rangle|0\rangle)</math>. तब प्रयोग किया जाता है, तो दो कणों के प्राप्त होने की प्रायिकता <math>|0\rangle</math> पद अब 0.33 है; और एक कण प्राप्त करने की संभावना <math>|0\rangle</math> पद में और दूसरा में <math>|1\rangle</math> पद 0.33 है। ध्यान दें कि एक ही अवस्था में कणों को खोजने की संभावना अलग-अलग स्थितियों की तुलना में अपेक्षाकृत बड़ी है। यह बोसोन की क्लंप बनने की प्रवृत्ति को प्रदर्शित करता है। | ||
Revision as of 22:32, 19 April 2023
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परिमाण यांत्रिकी प्रक्रिया, समान कण (जिन्हें अप्रभेद्य या अविवेकी कण भी कहा जाता है) ऐसे कण होते हैं, जिन्हें सिद्धांतिक रूप में भी एक दूसरे से अलग नहीं किया जा सकता है। समान कणों की प्रजातियों में प्राथमिक कण (जैसे विद्युद अणु) एवं समग्र उप-परमाणु कण (जैसे परमाणु नाभिक) और साथ ही परमाणु और अणु सम्मिलित हैं, किन्तुयह इन तक ही सीमित नहीं हैं।अर्ध कण भी इसी प्रकार का व्यवहार करते हैं। चूंकि सभी ज्ञात अप्रभेद्य कण केवल परिमाण सीमा में उपस्थितहैं, कणों के सभी संभावित प्रकारों की कोई विस्तृत सूची नहीं है और न ही प्रयोज्यता की स्पष्ट सीमा है, जैसा कि कण सांख्यिकी परिमाण सांख्यिकी में पता लगाया गया है।
समान कणों की दो मुख्य श्रेणियां हैं: बोसोन, जो परिमाण अवस्थाओं को साझा कर सकते हैं, और फर्मियन, जो परिमाण अवस्थाओं को साझा नहीं कर सकते (जैसा कि पाउली अपवर्जन सिद्धांत द्वारा वर्णित है) है। फोटॉन, ग्लूऑन, फोनन, हीलियम -4 (गंधहीन वाष्प) और नाभिक यह सभी मेसॉन बोसॉन के उदाहरण हैं। विद्युदअणु, न्युट्रीनो , क्वार्क, प्रोटॉन, न्यूट्रॉन और हीलियम -3 (गंधहीन वाष्प) यह सभी नाभिक फ़र्मियन के उदाहरण हैं।
तथ्य यह है कि कण समान हो सकते हैं, सांख्यिकीय यांत्रिकी में महत्वपूर्ण परिणाम हैं, जहां गणना संभाव्यता सिद्धांतिक तर्कों पर निर्भर करती है, जो इस बात के प्रति संवेदनशील हैं कि अध्ययन की जा रही वस्तुएं समान हैं या नहीं। परिणाम स्वरुप , समान कण अलग-अलग कणों से स्पष्ट रूप से भिन्न सांख्यिकीय व्यवहार प्रदर्शित करते हैं। उदाहरण के लिए, गिब्स के गिब्स विरोधाभास एवं मिश्रण विरोधाभास के समाधान के रूप में कणों की अविभाज्यता को प्रस्तावित किया गया है।
कणों के बीच भेद
कणों के बीच भेद करने की दो विधियाँ हैं। पहली विधि कणों के आंतरिक भौतिक गुणों, जैसे द्रव्यमान, विद्युत आवेश और स्पिन (भौतिकी) (चक्रण) में अंतर पर निर्भर करती है। यदि मतभेद उपस्थित हैं, तो संबंधित गुणों को मापकर कणों के बीच अंतर करना संभव है। चूंकि, यह अनुभवजन्य तथ्य है कि एक ही प्रजाति के सूक्ष्म कणों में पूरी तरह से समान भौतिक गुण होते हैं। उदाहरण के लिए, ब्रह्माण्ड के प्रत्येक विद्युद अणु में बिल्कुल समान विद्युत आवेश होता है; यही कारण है कि प्राथमिक प्रभार जैसी किसी चीज के बारे में बात करना संभव है।
तथापि कणों के समान भौतिक गुण हों, कणों के बीच अंतर करने के लिए दूसरी विधि बनी रहती है, इसमे प्रत्येक कण के प्रक्षेपवक्र को मार्ग करना है। जब तक प्रत्येक कण की स्थिति को अनंतस्पष्ट के साथ मापा जा सकता है (यहां तक कि जब कण टकराते हैं), तब तक कोई अस्पष्टता नहीं होगी कि कौन सा कण है।
दूसरे दृष्टिकोण के साथ समस्या यह है, कि यह परिमाण यांत्रिकी के सिद्धांतों के विपरीत है। परिमाण सिद्धांत के अनुसार, माप के बीच की अवधि के समयकणों की निश्चित स्थिति नहीं होती है। इसके अतिरिक्त, वे तरंग क्रिया द्वारा नियंत्रित होते हैं जो प्रत्येक स्थिति में कण को खोजने की संभावना देते हैं। जैसे-जैसे समय बीतता है, तरंग के कार्य फैलते हैं और अधिव्यापन होते हैं। एक बार ऐसा हो जाने के बाद, माप में यह निर्धारित करना असंभव हो जाता है कि कौन से कण की स्थिति पहले मापी गई स्थिति के अनुरूप है। कणों को तब अप्रभेद्य कहा जाता है।
परिमाण यांत्रिक विवरण
सममित और विषम स्थिति
File:Symmetricwave2.png
एक अनंत वर्ग कुएं की क्षमता में (बोसोनिक) 2-कण अवस्था के लिए सममित तरंग।
परिमाण यांत्रिकी के गणितीय सूत्रीकरण पर लेख में विकसित औपचारिकता का उपयोग करते हुए उपरोक्त चर्चा को ठोस बनाने के लिए उदाहरण निम्नलिखित है।
चलो n एकल-कण अवस्थाओं को निर्दिष्ट करने के लिए (असतत) परिमाण संख्याओं के पूर्ण समुच्चय को निरूपित करते हैं (उदाहरण के लिए, एक वर्ग समस्या में कण के लिए, n को तरंग कार्य के परिमाणित तरंग संवाहक के रूप में लें।) सरलता के लिए, प्रणाली पर विचार करें। दो कणों की जो एक दूसरे के साथ संभाषण नहीं कर रहे हैं। मान लीजिए कि एक कण n1 अवस्था में है , और दूसरा कण n2 में है . प्रणाली की परिमाण स्थिति को अभिव्यक्ति द्वारा निरूपित किया जाता है