दूरी ज्यामिति: Difference between revisions
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=== पहली समस्या: [[अतिशयोक्तिपूर्ण नेविगेशन]] === | === पहली समस्या: [[अतिशयोक्तिपूर्ण नेविगेशन]] === | ||
तीन ग्राउंड रेडियो स्टेशनों ए, बी, सी पर विचार करें, जिनके स्थान ज्ञात हैं। एक रेडियो रिसीवर अज्ञात स्थान पर है। स्टेशनों से रिसीवर तक रेडियो सिग्नल की यात्रा करने में लगने वाला समय, <math> t_A,t_B,t_C </math>, अज्ञात हैं, | तीन ग्राउंड रेडियो स्टेशनों ए, बी, सी पर विचार करें, जिनके स्थान ज्ञात हैं। एक रेडियो रिसीवर अज्ञात स्थान पर है। स्टेशनों से रिसीवर तक रेडियो सिग्नल की यात्रा करने में लगने वाला समय, <math> t_A,t_B,t_C </math>, अज्ञात हैं, किन्तु समय के अंतर, <math>t_A-t_B </math> और <math>t_A-t_C </math>, ज्ञात हैं। उनसे दूरी के अंतर को जाना जा सकता है <math>c(t_A-t_B) </math> और <math>c(t_A-t_C) </math>जिससे रिसीवर की स्थिति का पता लगाया जा सकता है। | ||
=== दूसरी समस्या: [[आयामीता में कमी]] === | === दूसरी समस्या: [[आयामीता में कमी]] === | ||
[[डेटा विश्लेषण]] में, किसी को | [[डेटा विश्लेषण]] में, किसी को अधिकांशतः वेक्टर के रूप में दर्शाए गए डेटा की एक सूची दी जाती है <math>\mathbf{v} = (x_1, \ldots, x_n)\in \mathbb{R}^n</math>, और किसी को यह पता लगाने की जरूरत है कि क्या वे कम-आयामी एफ़िन सबस्पेस के भीतर हैं। डेटा के निम्न-आयामी प्रतिनिधित्व के कई फायदे हैं, जैसे भंडारण स्थान की बचत, गणना समय, और डेटा में उत्तम अंतर्दृष्टि प्रदान करना। | ||
=== परिभाषाएँ === | === परिभाषाएँ === | ||
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स्पष्ट रूप से, हम एक अर्धमितीय स्थान को एक गैर-खाली सेट के रूप में परिभाषित करते हैं <math>R</math> एक सेमीमेट्रिक से लैस <math>d: R\times R \to [0, \infty)</math> ऐसा कि, सभी के लिए <math>x, y\in R</math>, | स्पष्ट रूप से, हम एक अर्धमितीय स्थान को एक गैर-खाली सेट के रूप में परिभाषित करते हैं <math>R</math> एक सेमीमेट्रिक से लैस <math>d: R\times R \to [0, \infty)</math> ऐसा कि, सभी के लिए <math>x, y\in R</math>, | ||
#सकारात्मकता: <math>d(x, y) = 0</math> | #सकारात्मकता: <math>d(x, y) = 0</math> यदि और केवल यदि<math>x = y</math>. | ||
# समरूपता: <math>d(x, y) = d(y, x)</math>. | # समरूपता: <math>d(x, y) = d(y, x)</math>. | ||
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==== स्वाधीनता ==== | ==== स्वाधीनता ==== | ||
बिन्दुओं को देखते हुए <math display="inline">A_0, A_1,\ldots, A_n \in \mathbb R^k</math>, उन्हें Affineस्वतंत्रता के रूप में परिभाषित किया गया है, | बिन्दुओं को देखते हुए <math display="inline">A_0, A_1,\ldots, A_n \in \mathbb R^k</math>, उन्हें Affineस्वतंत्रता के रूप में परिभाषित किया गया है, यदि वे एक के भीतर फिट नहीं हो सकते हैं <math> | ||
l</math>-आयामी संबंध उप-स्थान <math> \mathbb{R}^k</math>, किसी के लिए <math> \ell < n</math>, | l</math>-आयामी संबंध उप-स्थान <math> \mathbb{R}^k</math>, किसी के लिए <math> \ell < n</math>, यदि <math>n</math>[[संकेतन]] वे फैले हुए हैं, <math>v_n</math>, सकारात्मक है <math>n</math>- मात्रा, यानी <math>\operatorname{Vol}_n(v_n) > 0</math>. | ||
सामान्यतः, जब <math>k\ge n </math>, वे घनिष्ठ रूप से स्वतंत्र हैं, क्योंकि एक [[सामान्य संपत्ति]] n-simplex nondegenerate है। उदाहरण के लिए, समतल में 3 बिंदु, सामान्य रूप से, समरेख नहीं होते हैं, क्योंकि जिस त्रिभुज पर वे फैले हैं, वह एक रेखा खंड में पतित नहीं होता है। इसी तरह, अंतरिक्ष में 4 बिंदु, सामान्य रूप से समतलीय नहीं होते हैं, क्योंकि जिस चतुष्फलक का वे विस्तार करते हैं वह समतल त्रिभुज में पतित नहीं होता है। | |||
कब <math> n > k</math>, उन्हें आत्मीयता से निर्भर होना चाहिए। यह ध्यान देने से देखा जा सकता है कि कोई भी <math>n</math>-सिम्प्लेक्स जो अंदर फिट हो सकता है <math>\mathbb{R}^k</math> समतल होना चाहिए। | कब <math> n > k</math>, उन्हें आत्मीयता से निर्भर होना चाहिए। यह ध्यान देने से देखा जा सकता है कि कोई भी <math>n</math>-सिम्प्लेक्स जो अंदर फिट हो सकता है <math>\mathbb{R}^k</math> समतल होना चाहिए। | ||
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1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 0 | 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 0 | ||
\end{vmatrix}</math> | \end{vmatrix}</math> | ||
यदि <math display="inline"> A_0, A_1,\ldots, A_n \in \mathbb R^k</math>, फिर वे संभवतः डीजेनेरेसी (गणित) एन-सिम्प्लेक्स के शिखर बनाते हैं <math>v_n</math> में <math>\mathbb{R}^k</math>. यह दिखाया जा सकता है<ref>{{Cite web|url=https://www.mathpages.com/home/kmath664/kmath664.htm|title=Simplex Volumes and the Cayley–Menger Determinant|website=www.mathpages.com|archive-url=https://web.archive.org/web/20190516033847/https://www.mathpages.com/home/kmath664/kmath664.htm|archive-date=16 May 2019|access-date=2019-06-08}}</ref> सिम्प्लेक्स का एन-डायमेंशनल वॉल्यूम <math>v_n</math> संतुष्ट | |||
: <math> \operatorname{Vol}_n(v_n)^2 = \frac{(-1)^{n+1}}{(n!)^2 2^n} \operatorname{CM}(A_0, \ldots, A_n). </math> | : <math> \operatorname{Vol}_n(v_n)^2 = \frac{(-1)^{n+1}}{(n!)^2 2^n} \operatorname{CM}(A_0, \ldots, A_n). </math> | ||
ध्यान दें कि, के | ध्यान दें कि, के स्थितियोंके लिए <math>n=0</math>, अपने पास <math>\operatorname{Vol}_0(v_0) = 1</math>, जिसका अर्थ है कि 0-सिंप्लेक्स का 0-आयामी आयतन 1 है, अर्थात 0-सिंप्लेक्स में 1 बिंदु है। | ||
<math display="inline">A_0, A_1,\ldots, A_n</math> आत्मीयता से स्वतंत्र iff हैं <math>\operatorname{Vol}_n(v_n) > 0</math>, वह है, <math> (-1)^{n+1} \operatorname{CM}(A_0, \ldots, A_n) > 0</math>. इस प्रकार केली-मेंजर निर्धारक आत्मीय स्वतंत्रता को | <math display="inline">A_0, A_1,\ldots, A_n</math> आत्मीयता से स्वतंत्र iff हैं <math>\operatorname{Vol}_n(v_n) > 0</math>, वह है, <math> (-1)^{n+1} \operatorname{CM}(A_0, \ldots, A_n) > 0</math>. इस प्रकार केली-मेंजर निर्धारक आत्मीय स्वतंत्रता को सिद्ध करने के लिए एक कम्प्यूटेशनल विधि देते हैं। | ||
यदि <math> | |||
k < n</math>, तो बिंदुओं को निश्चित रूप से निर्भर होना चाहिए, इस प्रकार <math> | k < n</math>, तो बिंदुओं को निश्चित रूप से निर्भर होना चाहिए, इस प्रकार <math> | ||
\operatorname{CM}(A_0, \ldots, A_n) = 0</math>. केली के 1841 के पेपर ने विशेष | \operatorname{CM}(A_0, \ldots, A_n) = 0</math>. केली के 1841 के पेपर ने विशेष स्थितियोंका अध्ययन किया <math> | ||
k = 3, n = 4</math>, यानी कोई पाँच बिंदु <math> | k = 3, n = 4</math>, यानी कोई पाँच बिंदु <math> | ||
A_0, \ldots, A_4</math> 3-आयामी अंतरिक्ष में होना चाहिए <math> | A_0, \ldots, A_4</math> 3-आयामी अंतरिक्ष में होना चाहिए <math> | ||
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दूरी ज्यामिति में पहला परिणाम हेरॉन का सूत्र है, जो पहली शताब्दी ईस्वी से है, जो त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके 3 शीर्षों के बीच की दूरी से देता है। ब्रह्मगुप्त का सूत्र, 7वीं शताब्दी ईस्वी से, इसे [[चक्रीय चतुर्भुज]]ों के लिए सामान्यीकृत करता है। निकोलो फोंटाना टार्टाग्लिया, 16वीं शताब्दी ईस्वी से, इसे निकोलो फोंटाना टार्टाग्लिया#वॉल्यूम ऑफ़ टेट्राहेड्रॉन को इसके 4 शीर्षों के बीच की दूरी से देने के लिए सामान्यीकृत किया। | दूरी ज्यामिति में पहला परिणाम हेरॉन का सूत्र है, जो पहली शताब्दी ईस्वी से है, जो त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके 3 शीर्षों के बीच की दूरी से देता है। ब्रह्मगुप्त का सूत्र, 7वीं शताब्दी ईस्वी से, इसे [[चक्रीय चतुर्भुज]]ों के लिए सामान्यीकृत करता है। निकोलो फोंटाना टार्टाग्लिया, 16वीं शताब्दी ईस्वी से, इसे निकोलो फोंटाना टार्टाग्लिया#वॉल्यूम ऑफ़ टेट्राहेड्रॉन को इसके 4 शीर्षों के बीच की दूरी से देने के लिए सामान्यीकृत किया। | ||
दूरी ज्यामिति का आधुनिक सिद्धांत आर्थर केली और कार्ल मेन्जर के साथ | दूरी ज्यामिति का आधुनिक सिद्धांत आर्थर केली और कार्ल मेन्जर के साथ प्रारंभ हुआ।<ref>{{Cite journal|last1=Liberti|first1=Leo|last2=Lavor|first2=Carlile|date=2016|title=दूरी ज्यामिति के इतिहास से छह गणितीय रत्न|journal=International Transactions in Operational Research|language=en|volume=23|issue=5|pages=897–920|doi=10.1111/itor.12170|issn=1475-3995|arxiv=1502.02816|s2cid=17299562 }}</ref> केली ने 1841 में केली निर्धारक प्रकाशित किया,<ref>{{Cite journal|last=Cayley|first=Arthur|date=1841|title=स्थिति की ज्यामिति में एक प्रमेय पर|journal=Cambridge Mathematical Journal|volume=2|pages=267–271}}</ref> जो सामान्य केली-मेंजर निर्धारक का एक विशेष मामला है। मेन्जर ने 1928 में सिद्ध किया कि सभी अर्धमितीय स्थानों का एक लक्षण वर्णन प्रमेय है जो कि एन-डायमेंशनल यूक्लिडियन स्पेस में आइसोमेट्रिक रूप से एम्बेड करने योग्य है। <math>\mathbb{R}^n</math>.<ref>{{Cite journal|last=Menger|first=Karl|date=1928-12-01|title=Untersuchungen über allgemeine Metrik|journal=Mathematische Annalen|language=de|volume=100|issue=1|pages=75–163|doi=10.1007/BF01448840|s2cid=179178149 |issn=1432-1807}}</ref><ref name=":0">{{Cite journal|last1=Blumenthal|first1=L. M.|last2=Gillam|first2=B. E.|date=1943|title=''एन''-स्पेस में अंकों का वितरण|url=https://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.1080/00029890.1943.11991349|journal=The American Mathematical Monthly|language=en|volume=50|issue=3|pages=181|doi=10.2307/2302400|jstor=2302400}}</ref> 1931 में, मेन्जर ने यूक्लिडियन ज्यामिति का एक स्वयंसिद्ध उपचार देनेनियत के लिए दूरस्थ संबंधों का उपयोग किया।<ref>{{Cite journal|last=Menger|first=Karl|date=1931|title=यूक्लिडियन ज्यामिति का नया फाउंडेशन|journal=American Journal of Mathematics|volume=53|issue=4|pages=721–745|doi=10.2307/2371222|issn=0002-9327|jstor=2371222}}</ref> | ||
[[लियोनार्ड ब्लूमेंथल]] की किताब<ref name="blumenthal" />स्नातक स्तर पर दूरी ज्यामिति के लिए एक सामान्य अवलोकन देता है, जिसका एक बड़ा हिस्सा पहली बार प्रकाशित होने पर अंग्रेजी में व्यवहार किया जाता है। | [[लियोनार्ड ब्लूमेंथल]] की किताब<ref name="blumenthal" />स्नातक स्तर पर दूरी ज्यामिति के लिए एक सामान्य अवलोकन देता है, जिसका एक बड़ा हिस्सा पहली बार प्रकाशित होने पर अंग्रेजी में व्यवहार किया जाता है। | ||
== मेन्जर लक्षण वर्णन | == मेन्जर लक्षण वर्णन प्रमेयचूँकि == | ||
मेन्जर ने सेमीमेट्रिक रिक्त स्थान के निम्नलिखित लक्षण वर्णन (गणित) को सिद्ध किया:<ref name="siam" /><blockquote>एक सेमीमेट्रिक स्पेस <math>(R, d)</math> isometrically में एम्बेड करने योग्य है <math>n</math>-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष <math>\mathbb{R}^n</math>, | मेन्जर ने सेमीमेट्रिक रिक्त स्थान के निम्नलिखित लक्षण वर्णन (गणित) को सिद्ध किया:<ref name="siam" /><blockquote>एक सेमीमेट्रिक स्पेस <math>(R, d)</math> isometrically में एम्बेड करने योग्य है <math>n</math>-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष <math>\mathbb{R}^n</math>, किन्तु अंदर नहीं <math>\mathbb{R}^m</math> किसी के लिए <math>0 \le m < n</math>, यदि और केवल यदि: | ||
# <math>R</math> एक | # <math>R</math> एक सम्मिलित है <math>(n+1)</math>-बिंदु सबसेट <math>S</math> जो एक आत्मीयता से स्वतंत्र के साथ सममितीय है <math>(n+1)</math>-बिंदु का सबसेट <math>\mathbb{R}^n</math>; | ||
# कोई <math>(n+3)</math>-बिंदु सबसेट <math>S'</math>, के किन्हीं दो अतिरिक्त बिंदुओं को जोड़कर प्राप्त किया गया <math>R</math> को <math>S</math>, एक के अनुरूप है <math>(n+3)</math>-बिंदु का सबसेट <math>\mathbb{R}^n</math>. | # कोई <math>(n+3)</math>-बिंदु सबसेट <math>S'</math>, के किन्हीं दो अतिरिक्त बिंदुओं को जोड़कर प्राप्त किया गया <math>R</math> को <math>S</math>, एक के अनुरूप है <math>(n+3)</math>-बिंदु का सबसेट <math>\mathbb{R}^n</math>. | ||
</blockquote>इस प्रमेय का एक प्रमाण थोड़ा कमजोर रूप में (सेमीमेट्रिक रिक्त स्थान के | </blockquote>इस प्रमेय का एक प्रमाण थोड़ा कमजोर रूप में (सेमीमेट्रिक रिक्त स्थान के अतिरिक्त मीट्रिक रिक्त स्थान के लिए) में है।<ref>{{Cite journal|last1=Bowers|first1=John C.|last2=Bowers|first2=Philip L.|s2cid=50040864|date=2017-12-13|title=A Menger Redux: Embedding Metric Spaces Isometrically in Euclidean Space|journal=The American Mathematical Monthly|volume=124|issue=7|pages=621|language=en|doi=10.4169/amer.math.monthly.124.7.621}}</ref> | ||
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(S,d)</math> , साथ <math>S = \{P_0, \ldots, P_n\}</math>, और <math>d(P_i, P_j) = d_{ij}\ge 0</math>, <math>0 \le i < j \le n</math>, का एक आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग <math>(S, d)</math> में <math>\mathbb{R}^n</math> द्वारा परिभाषित किया गया है <math display="inline">A_0, A_1,\ldots, A_n \in \mathbb R^n</math>, ऐसा है कि <math>d(A_i, A_j) = d_{ij}</math> सभी के लिए <math>0 \le i < j \le n</math>. | (S,d)</math> , साथ <math>S = \{P_0, \ldots, P_n\}</math>, और <math>d(P_i, P_j) = d_{ij}\ge 0</math>, <math>0 \le i < j \le n</math>, का एक आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग <math>(S, d)</math> में <math>\mathbb{R}^n</math> द्वारा परिभाषित किया गया है <math display="inline">A_0, A_1,\ldots, A_n \in \mathbb R^n</math>, ऐसा है कि <math>d(A_i, A_j) = d_{ij}</math> सभी के लिए <math>0 \le i < j \le n</math>. | ||
दोबारा, कोई पूछता है कि क्या ऐसा आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग | दोबारा, कोई पूछता है कि क्या ऐसा आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग उपस्तिथ है <math>(S,d)</math>. | ||
एक आवश्यक शर्त को देखना आसान है: सभी के लिए <math>k = 1, \ldots, n</math>, होने देना <math>v_k</math> द्वारा गठित के-सिम्प्लेक्स बनें <math display="inline">A_0, A_1,\ldots, A_k</math>, तब | एक आवश्यक शर्त को देखना आसान है: सभी के लिए <math>k = 1, \ldots, n</math>, होने देना <math>v_k</math> द्वारा गठित के-सिम्प्लेक्स बनें <math display="inline">A_0, A_1,\ldots, A_k</math>, तब | ||
:<math>(-1)^{k+1} \operatorname{CM}(P_0, \ldots, P_k) = (-1)^{k+1} \operatorname{CM}(A_0, \ldots, A_k) = 2^k (k!)^k \operatorname{Vol}_k(v_k)^2 \ge 0</math> | :<math>(-1)^{k+1} \operatorname{CM}(P_0, \ldots, P_k) = (-1)^{k+1} \operatorname{CM}(A_0, \ldots, A_k) = 2^k (k!)^k \operatorname{Vol}_k(v_k)^2 \ge 0</math> | ||
बातचीत भी रखती है। यानी | बातचीत भी रखती है। यानी यदि सभी के लिए <math>k = 1, \ldots, n</math>, | ||
:<math>(-1)^{k+1}\operatorname{CM}(P_0, \ldots, P_k) \ge 0,</math> | :<math>(-1)^{k+1}\operatorname{CM}(P_0, \ldots, P_k) \ge 0,</math> | ||
तो ऐसी एम्बेडिंग | तो ऐसी एम्बेडिंग उपस्तिथ है। | ||
इसके | इसके अतिरिक्त, इस तरह की एम्बेडिंग आइसोमेट्री तक अद्वितीय है <math>\mathbb{R}^n</math>. यही है, किसी भी दो आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग द्वारा परिभाषित किया गया है <math display="inline">A_0, A_1,\ldots, A_n</math>, और <math display="inline">A'_0, A'_1,\ldots, A'_n</math>, एक (आवश्यक रूप से अद्वितीय नहीं) आइसोमेट्री उपस्तिथ है <math>T : \mathbb R^n \to \mathbb R^n</math>, ऐसा है कि <math>T(A_k) = A'_k</math> सभी के लिए <math>k = 0, \ldots, n</math>. ऐसा <math>T</math> अद्वितीय है यदि और केवल यदि <math>\operatorname{CM}(P_0, \ldots, P_n) \neq 0</math>, वह है, <math display="inline">A_0, A_1,\ldots, A_n</math> आत्मीयता से स्वतंत्र हैं। | ||
=== एम्बेडिंग <math>n+2</math> और <math>n+3</math> अंक === | === एम्बेडिंग <math>n+2</math> और <math>n+3</math> अंक === | ||
यदि <math>n+2</math> अंक <math>P_0, \ldots, P_{n+1}</math> में एम्बेड किया जा सकता है <math>\mathbb{R}^n</math> जैसा <math>A_0, \ldots, A_{n+1}</math>, तो उपरोक्त शर्तों के अतिरिक्त एक अतिरिक्त आवश्यक शर्त यह है कि <math>(n+1)</math>-सिम्प्लेक्स द्वारा गठित <math display="inline">A_0, A_1,\ldots, A_{n+1}</math>, नहीं होना चाहिए <math>(n+1)</math>-आयामी मात्रा। वह है, <math>\operatorname{CM}(P_0, \ldots, P_n, P_{n+1}) = 0</math>. | |||
बातचीत भी रखती है। यानी | बातचीत भी रखती है। यानी यदि सभी के लिए <math>k = 1, \ldots, n</math>, | ||
: <math>(-1)^{k+1} \operatorname{CM}(P_0, \ldots, P_k) \ge 0,</math> | : <math>(-1)^{k+1} \operatorname{CM}(P_0, \ldots, P_k) \ge 0,</math> | ||
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: <math> \operatorname{CM}(P_0, \ldots, P_n, P_{n+1}) = 0, </math> | : <math> \operatorname{CM}(P_0, \ldots, P_n, P_{n+1}) = 0, </math> | ||
तो ऐसी एम्बेडिंग | तो ऐसी एम्बेडिंग उपस्तिथ है। | ||
लगाने के लिए <math>n+3</math> में इंगित करता है <math>\mathbb{R}^n</math>, आवश्यक और पर्याप्त शर्तें समान हैं: | लगाने के लिए <math>n+3</math> में इंगित करता है <math>\mathbb{R}^n</math>, आवश्यक और पर्याप्त शर्तें समान हैं: | ||
| Line 129: | Line 129: | ||
=== मनमाने ढंग से कई बिंदुओं को एम्बेड करना === <math>n+3</math> h> मामला सामान्य रूप से पर्याप्त निकला। | === मनमाने ढंग से कई बिंदुओं को एम्बेड करना === <math>n+3</math> h> मामला सामान्य रूप से पर्याप्त निकला। | ||
सामान्यतः, एक अर्धमितीय स्थान दिया जाता है <math>(R, d)</math>, इसे आइसोमेट्रिक रूप से एम्बेड किया जा सकता है <math>\mathbb{R}^n</math> यदि और केवल यदि उपस्तिथ है <math>P_0, \ldots, P_n\in R</math>, ऐसा कि, सभी के लिए <math>k = 1, \ldots, n</math>, <math>(-1)^{k+1} \operatorname{CM}(P_0, \ldots, P_k) \ge 0</math>, और किसी के लिए <math>P_{n+1}, P_{n+2} \in R</math>, | |||
#<math>\operatorname{CM}(P_0, \ldots, P_n, P_{n+1}) = 0;</math> | #<math>\operatorname{CM}(P_0, \ldots, P_n, P_{n+1}) = 0;</math> | ||
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और इस तरह की एम्बेडिंग आइसोमेट्री तक अद्वितीय है <math>\mathbb{R}^n</math>. | और इस तरह की एम्बेडिंग आइसोमेट्री तक अद्वितीय है <math>\mathbb{R}^n</math>. | ||
आगे, | आगे, यदि <math>\operatorname{CM}(P_0, \ldots, P_n) \neq 0</math>, तो इसे किसी में भी सममित रूप से एम्बेड नहीं किया जा सकता है <math>\mathbb{R}^m, m < n</math>. और इस तरह की एम्बेडिंग अद्वितीय आइसोमेट्री तक अद्वितीय है <math>\mathbb{R}^n</math>. | ||
इस प्रकार, केली-मेंजर निर्धारक यह गणना करने का एक ठोस | इस प्रकार, केली-मेंजर निर्धारक यह गणना करने का एक ठोस विधि देते हैं कि क्या एक अर्धमितीय स्थान को एम्बेड किया जा सकता है <math>\mathbb{R}^n</math>, कुछ परिमित के लिए <math>n</math>, और यदि हां, तो न्यूनतम क्या है <math>n</math>. | ||
== अनुप्रयोग == | == अनुप्रयोग == | ||
Revision as of 19:44, 27 April 2023
दूरी ज्यामिति गणित की वह शाखा है जो अंक के जोड़े के बीच की दूरी के दिए गए मानों पर 'केवल' आधारित बिंदुओं के लक्षण वर्णन (गणित) और अध्ययन सेट (गणित) से संबंधित है।[1][2][3]अधिक संक्षेप में, यह अर्धमितीय स्थान स्थान और उनके बीच आइसोमेट्री का अध्ययन है। इस दृष्टि से, इसे सामान्य टोपोलॉजी के अंतर्गत एक विषय के रूप में माना जा सकता है।[4]
ऐतिहासिक रूप से, दूरी ज्यामिति में पहला परिणाम पहली शताब्दी ईस्वी में हीरोन का सूत्र है। आधुनिक सिद्धांत की शुरुआत 19वीं सदी में आर्थर केली के काम से हुई, इसके बाद 20वीं सदी में कार्ल मेन्जर और अन्य लोगों ने और अधिक व्यापक विकास किए।
दूरी ज्यामिति की समस्याएँ तब उत्पन्न होती हैं जब किसी को उनके बीच की दूरियों से बिंदुओं के विन्यास (सापेक्ष स्थिति) के आकार का अनुमान लगाने की आवश्यकता होती है, जैसे जीव विज्ञान में,[4]सेंसर नेटवर्क,[5]सर्वेक्षण, मार्गदर्शन , नक्शानवीसी और भौतिकी।
परिचय और परिभाषाएँ
The concepts of distance geometry will first be explained by describing two particular problems.
पहली समस्या: अतिशयोक्तिपूर्ण नेविगेशन
तीन ग्राउंड रेडियो स्टेशनों ए, बी, सी पर विचार करें, जिनके स्थान ज्ञात हैं। एक रेडियो रिसीवर अज्ञात स्थान पर है। स्टेशनों से रिसीवर तक रेडियो सिग्नल की यात्रा करने में लगने वाला समय, , अज्ञात हैं, किन्तु समय के अंतर, और , ज्ञात हैं। उनसे दूरी के अंतर को जाना जा सकता है और जिससे रिसीवर की स्थिति का पता लगाया जा सकता है।
दूसरी समस्या: आयामीता में कमी
डेटा विश्लेषण में, किसी को अधिकांशतः वेक्टर के रूप में दर्शाए गए डेटा की एक सूची दी जाती है , और किसी को यह पता लगाने की जरूरत है कि क्या वे कम-आयामी एफ़िन सबस्पेस के भीतर हैं। डेटा के निम्न-आयामी प्रतिनिधित्व के कई फायदे हैं, जैसे भंडारण स्थान की बचत, गणना समय, और डेटा में उत्तम अ