विभेदक (गणित): Difference between revisions
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{{about|अति सूक्ष्म अंतर की ऐतिहासिक अवधारणा से प्राप्त गणितीय धारणा|अधिक सामान्य उपयोग|विभेदक (बहुविकल्पी)}} | {{about|अति सूक्ष्म अंतर की ऐतिहासिक अवधारणा से प्राप्त गणितीय धारणा|अधिक सामान्य उपयोग|विभेदक (बहुविकल्पी)}} | ||
गणित में, विभेदक [[ गणना |गणना]] के आरम्भिक दिनों से प्राप्त कई संबंधित धारणाओं को संदर्भित | गणित में, विभेदक [[ गणना |गणना]] के आरम्भिक दिनों से प्राप्त कई संबंधित धारणाओं को संदर्भित करते है,<ref>{{cite web | ||
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</ref> एक परिशुद्ध आधार पर रखें, जैसे कि अत्यणु विभेदक और फलानो के व्युत्पन्न को संदर्भित | </ref> एक परिशुद्ध आधार पर रखें, जैसे कि अत्यणु विभेदक और फलानो के व्युत्पन्न को संदर्भित करते है।<ref>{{cite web|url=http://www.oxforddictionaries.com/us/definition/american_english/differential|archive-url=https://web.archive.org/web/20140103051034/http://www.oxforddictionaries.com/us/definition/american_english/differential|url-status=dead|archive-date=January 3, 2014|title=अंतर - ऑक्सफोर्ड डिक्शनरी द्वारा यूएस अंग्रेजी में अंतर की परिभाषा|website=Oxford Dictionaries - English|access-date=13 April 2018}}</ref> | ||
इस शब्द का प्रयोग गणित की विभिन्न शाखाओं जैसे गणना,[[ अंतर ज्यामिति | विभेदक ज्यामिति]], [[बीजगणितीय ज्यामिति]] और [[बीजगणितीय टोपोलॉजी|बीजगणितीय सांस्थिति]] में किया जाता है। | इस शब्द का प्रयोग गणित की विभिन्न शाखाओं जैसे गणना,[[ अंतर ज्यामिति | विभेदक ज्यामिति]], [[बीजगणितीय ज्यामिति]] और [[बीजगणितीय टोपोलॉजी|बीजगणितीय सांस्थिति]] में किया जाता है। | ||
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== परिचय == | == परिचय == | ||
अवकलन शब्द का प्रयोग गणना में गैर- | अवकलन शब्द का प्रयोग गणना में गैर-परिशुद्ध रूप से कुछ परिवर्ती मात्रा में एक अतिसूक्ष्म (अनंततः छोटा) परिवर्तन को संदर्भित करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि ''x'' एक चर है, तो ''x'' के मान में परिवर्तन को प्रायः Δ''x'' (उच्चारण ''[[डेल्टा (ग्रीक)|डेल्टा]] x'') कहा जाता है। विभेदक ''dx'' चर ''x'' में अनंततः छोटे परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। अनंततः छोटे या अनंततः धीमे परिवर्तन का विचार सहज रूप से अत्यंत उपयोगी है, और इस धारणा को गणितीय रूप से सटीक बनाने के कई प्रकार हैं। | ||
गणना का उपयोग करके, व्युत्पन्न का उपयोग | गणना का उपयोग करके, व्युत्पन्न का उपयोग गणितीय रूप से विभिन्न चरों के अनंततः छोटे परिवर्तनों को एक दूसरे से संबंधित करना संभव है। यदि ''y,'' ''x'' का एक फलन है, तो ''y'' का विभेदक ''dy'' सूत्र द्वारा ''dx'' से संबंधित है | ||
<math display=block>dy = \frac{dy}{dx} \,dx,</math> | <math display=block>dy = \frac{dy}{dx} \,dx,</math> | ||
जहां <math>\frac{dy}{dx} \,</math>x के संबंध में y के व्युत्पन्न को दर्शाता है। यह सूत्र सहज विचार को सारांशित करता है कि x के संबंध में y का व्युत्पन्न विभेदक Δy/Δx के अनुपात की सीमा है क्योंकि Δx अत्यल्प हो जाता है। | |||
=== मूलभूत धारणाएं === | === मूलभूत धारणाएं === | ||
* गणना में, विभेदक किसी फलन के रैखिकीकरण में परिवर्तन को | * गणना में, विभेदक किसी फलन के रैखिकीकरण में परिवर्तन को दर्शाते है। | ||
** [[कुल अंतर|कुल विभेदक]] कई चर के फलानो के लिए इसका सामान्यीकरण है। | ** [[कुल अंतर|कुल विभेदक]] कई चर के फलानो के लिए इसका सामान्यीकरण है। | ||
* गणना के पारंपरिक दृष्टिकोण में, विभेदक (जैसे ''dx'', ''dy'', ''dt'', आदि) की व्याख्या अतिसूक्ष्म के रूप में की जाती है। अतिसूक्ष्म को परिशुद्ध से परिभाषित करने के कई प्रकार हैं, लेकिन यह कहना पर्याप्त है कि एक अपरिमेय संख्या किसी भी धनात्मक वास्तविक संख्या की तुलना में निरपेक्ष मान में छोटी होती है, पूर्णतः वैसे ही जैसे एक | * गणना के पारंपरिक दृष्टिकोण में, विभेदक (जैसे ''dx'', ''dy'', ''dt'', आदि) की व्याख्या अतिसूक्ष्म के रूप में की जाती है। | ||
*अतिसूक्ष्म को परिशुद्ध से परिभाषित करने के कई प्रकार हैं, लेकिन यह कहना पर्याप्त है कि एक अपरिमेय संख्या किसी भी धनात्मक वास्तविक संख्या की तुलना में निरपेक्ष मान में छोटी होती है, पूर्णतः वैसे ही जैसे एक अनंततः बड़ी संख्या किसी भी वास्तविक संख्या से बड़ी होती है। | |||
* [[ कुल व्युत्पन्न |विभेदक]] '''R'''<sup>''n''</sup> से '''R'''<sup>''m''</sup> तक एक फलन के आंशिक व्युत्पन्न के[[ जैकबियन मैट्रिक्स | जैकबियन आव्यूह]] का दूसरा नाम है (विशेष रूप से जब इस [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह]] को एक रैखिक मानचित्र के रूप में देखा जाता है)। | * [[ कुल व्युत्पन्न |विभेदक]] '''R'''<sup>''n''</sup> से '''R'''<sup>''m''</sup> तक एक फलन के आंशिक व्युत्पन्न के[[ जैकबियन मैट्रिक्स | जैकबियन आव्यूह]] का दूसरा नाम है (विशेष रूप से जब इस [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह]] को एक रैखिक मानचित्र के रूप में देखा जाता है)। | ||
* अधिक सामान्यतः, विभेदक या पुशफॉरवर्ड, [[चिकना कई गुना|सुचारू बहुरूपता]] और इसे परिभाषित पुशफॉरवर्ड संचालन के मध्य मानचित्र के व्युत्पन्न को संदर्भित | * अधिक सामान्यतः, विभेदक या पुशफॉरवर्ड, [[चिकना कई गुना|सुचारू बहुरूपता]] और इसे परिभाषित पुशफॉरवर्ड संचालन के मध्य मानचित्र के व्युत्पन्न को संदर्भित करते है। [[पुलबैक (अंतर ज्यामिति)|पुलबैक]] की दोहरी अवधारणा को परिभाषित करने के लिए विभेदक का भी उपयोग किया जाता है। | ||
* [[स्टोचैस्टिक कैलकुलस|प्रसंभाव्य गणना]] [[स्टोचैस्टिक अंतर|प्रसंभाव्य विभेदक]] की धारणा और प्रसंभाव्य प्रक्रियाओं के लिए संबंधित गणना प्रदान करता है। | * [[स्टोचैस्टिक कैलकुलस|प्रसंभाव्य गणना]] [[स्टोचैस्टिक अंतर|प्रसंभाव्य विभेदक]] की धारणा और प्रसंभाव्य प्रक्रियाओं के लिए संबंधित गणना प्रदान करता है। | ||
* [[स्टिल्ट्स अभिन्न|स्टील्जे समाकल]] में समाकलक को एक फलन के विभेदक के रूप में दर्शाया गया है। औपचारिक रूप से, समाकल के अंतर्गत दिखाई देने वाला विभेदक | * [[स्टिल्ट्स अभिन्न|स्टील्जे समाकल]] में समाकलक को एक फलन के विभेदक के रूप में दर्शाया गया है। औपचारिक रूप से, समाकल के अंतर्गत दिखाई देने वाला विभेदक यथार्थत: एक विभेदक के रूप में व्यवहार करता है: इस प्रकार, स्टेल्टजेस समाकल के लिए भागों के सूत्रों द्वारा प्रतिस्थापन और एकीकरण द्वारा एकीकरण, क्रमशः [[श्रृंखला नियम]] और विभेदक के लिए [[प्रॉडक्ट नियम|उत्पाद नियम]] के अनुरूप होता है। | ||
== इतिहास और उपयोग == | == इतिहास और उपयोग == | ||
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लीबनिज के संकेतन में, यदि x एक चर मात्रा है, तो dx चर x में एक अतिसूक्ष्म परिवर्तन को दर्शाता है। इस प्रकार, यदि y, x का एक फलन है, तो x के संबंध में y के व्युत्पन्न को प्रायः dy/dx के रूप में निरूपित किया जाता है, जिसे अन्यथा (न्यूटन या [[जोसेफ-लुई लाग्रेंज|लाग्रेंज]] के संकेतन में) ẏ या y{{′}} के रूप में निरूपित किया जाएगा। इस रूप में विभेदक के उपयोग ने बहुत आलोचना को आकर्षित किया, उदाहरण के लिए बिशप बर्कले द्वारा प्रसिद्ध पैम्फलेट [[विश्लेषक]] में है। फिर भी, संकेतन लोकप्रिय बना हुआ है क्योंकि यह दृढ़ता से इस विचार का सुझाव देता है कि x पर y का व्युत्पन्न [[परिवर्तन की तात्कालिक दर]] है (लेखाचित्र की [[स्पर्श रेखा]] का [[ढलान (गणित)|ढलान]]), जो अनुपात Δy/Δx की [[सीमा (गणित)|सीमा]] लेकर प्राप्त किया जा सकता है क्योंकि Δx स्वेच्छतः छोटा हो जाता है। विभेदक भी [[आयामी विश्लेषण]] के साथ संगत होते हैं, जहां एक विभेदक जैसे dx के चर x के समान आयाम होते हैं। | लीबनिज के संकेतन में, यदि x एक चर मात्रा है, तो dx चर x में एक अतिसूक्ष्म परिवर्तन को दर्शाता है। इस प्रकार, यदि y, x का एक फलन है, तो x के संबंध में y के व्युत्पन्न को प्रायः dy/dx के रूप में निरूपित किया जाता है, जिसे अन्यथा (न्यूटन या [[जोसेफ-लुई लाग्रेंज|लाग्रेंज]] के संकेतन में) ẏ या y{{′}} के रूप में निरूपित किया जाएगा। इस रूप में विभेदक के उपयोग ने बहुत आलोचना को आकर्षित किया, उदाहरण के लिए बिशप बर्कले द्वारा प्रसिद्ध पैम्फलेट [[विश्लेषक]] में है। फिर भी, संकेतन लोकप्रिय बना हुआ है क्योंकि यह दृढ़ता से इस विचार का सुझाव देता है कि x पर y का व्युत्पन्न [[परिवर्तन की तात्कालिक दर]] है (लेखाचित्र की [[स्पर्श रेखा]] का [[ढलान (गणित)|ढलान]]), जो अनुपात Δy/Δx की [[सीमा (गणित)|सीमा]] लेकर प्राप्त किया जा सकता है क्योंकि Δx स्वेच्छतः छोटा हो जाता है। विभेदक भी [[आयामी विश्लेषण]] के साथ संगत होते हैं, जहां एक विभेदक जैसे dx के चर x के समान आयाम होते हैं। | ||
17वीं शताब्दी CE के | 17वीं शताब्दी CE के समय गणना गणित की एक अलग शाखा के रूप में विकसित हुआ, हालांकि प्राचीन काल में वापस जाने वाले पूर्ववर्ती थे। उदाहरण के लिए, न्यूटन, लीबनिज की प्रस्तुतियों को विभेदक, [[धाराप्रवाह (गणित)|धाराप्रवाह]] और <nowiki>''</nowiki>अनंततः छोटे<nowiki>''</nowiki> जैसे शब्दों की गैर-कठोर परिभाषाओं द्वारा चिह्नित किया गया था। जबकि [[जॉर्ज बर्कले|बिशप बर्कले]] के 1734 विश्लेषक में कई तर्क प्रकृति में धर्मशास्त्रीय हैं, आधुनिक गणितज्ञ विश्लेषक <nowiki>''</nowiki>आवांछित प्रतिबिम्ब के दिवंगत मात्रा<nowiki>''</nowiki> के प्रतिकूल उनके तर्क की वैधता को स्वीकार करते हैं; हालाँकि, आधुनिक दृष्टिकोणों में समान तकनीकी समस्याएँ नहीं हैं। कठोरता की कमी के बावजूद 17वीं और 18वीं शताब्दी में असीम प्रगति हुई हैं।19वीं शताब्दी में, कॉची और अन्य ने धीरे-धीरे एप्सिलॉन, निरंतरता, सीमा और व्युत्पन्न के लिए डेल्टा दृष्टिकोण विकसित किया, जिससे कलन के लिए एक ठोस वैचारिक आधार मिला हैं। | ||
20वीं शताब्दी में, कई नई अवधारणाएँ, जैसे, बहुभिन्नरूपी गणना, विभेदक ज्यामिति, पुराने शब्दों के आशय को समाहित करती प्रतीत हुईं, विशेष रूप से विभेदक; विभेदक और अतिसूक्ष्म दोनों का उपयोग नए, अधिक कठोर, अर्थों के साथ किया जाता है। | 20वीं शताब्दी में, कई नई अवधारणाएँ, जैसे, बहुभिन्नरूपी गणना, विभेदक ज्यामिति, पुराने शब्दों के आशय को समाहित करती प्रतीत हुईं, विशेष रूप से विभेदक; विभेदक और अतिसूक्ष्म दोनों का उपयोग नए, अधिक कठोर, अर्थों के साथ किया जाता है। | ||
विभेदक का उपयोग[[ अभिन्न ]]के लिए संकेतन में भी किया जाता है क्योंकि एक समाकल को अनंत मात्रा के अनंत योग के रूप में माना जा सकता है: एक लेखाचित्र के अंतर्गत क्षेत्र लेखाचित्र को | विभेदक का उपयोग[[ अभिन्न ]]के लिए संकेतन में भी किया जाता है क्योंकि एक समाकल को अनंत मात्रा के अनंत योग के रूप में माना जा सकता है: एक लेखाचित्र के अंतर्गत क्षेत्र लेखाचित्र को अनंततः पतली पट्टियों में उप-विभाजित करके और उनके क्षेत्रों का योग करके प्राप्त किया जाता है। एक अभिव्यक्ति में जैसे | ||
<math display=block>\int f(x) \,dx,</math> | <math display=block>\int f(x) \,dx,</math> | ||
अभिन्न चिह्न (जो एक संशोधित लंबा s है) अनंत योग को दर्शाता है, f(x) एक पतली पट्टी की <nowiki>''ऊंचाई''</nowiki> को दर्शाता है, और विभेदक dx इसकी | अभिन्न चिह्न (जो एक संशोधित लंबा s है) अनंत योग को दर्शाता है, f(x) एक पतली पट्टी की <nowiki>''ऊंचाई''</nowiki> को दर्शाता है, और विभेदक dx इसकी अनंततः पतली चौड़ाई को दर्शाता है। | ||
== दृष्टिकोण == | == दृष्टिकोण == | ||
{{Calculus |Differential}} | {{Calculus |Differential}} | ||
गणितीय रूप से | गणितीय रूप से विभेदक की धारणा को सटीक बनाने के लिए कई दृष्टिकोण हैं। | ||
# रेखीय | # रेखीय मानचित्र के रूप में विभेदक यह दृष्टिकोण विभेदक ज्यामिति में कुल व्युत्पन्न और [[बाहरी व्युत्पन्न]] की परिभाषा को रेखांकित करता है।<ref>{{Harvnb|Darling|1994}}.</ref> | ||
# क्रमविनिमेय वलयों के [[ nilpotent ]] तत्वों के रूप में | # क्रमविनिमेय वलयों के[[ nilpotent | निलपोटेंट]] तत्वों के रूप में अवकलन है। यह दृष्टिकोण बीजगणितीय ज्यामिति में लोकप्रिय है।<ref name="Harris1998">{{Harvnb|Eisenbud|Harris|1998}}.</ref> | ||
# | # समुच्चय सिद्धांत के सुचारू प्रतिरूप में विभेदक है। इस दृष्टिकोण को[[ सिंथेटिक अंतर ज्यामिति | संश्लिष्ट विभेदक ज्यामिति]] या [[चिकना अत्यल्प विश्लेषण|सुचारू अत्यल्प विश्लेषण]] के रूप में जाना जाता है और यह बीजगणितीय ज्यामितीय दृष्टिकोण से निकटता से संबंधित है, अतिरिक्त इसके कि[[ टोपोस सिद्धांत ]]के विचारों का उपयोग उस तंत्र को छिपाने के लिए किया जाता है जिसके द्वारा निलपोटेंट अतिसूक्ष्म प्रस्तावित किए जाते हैं।<ref>See {{Harvnb|Kock|2006}} and {{Harvnb|Moerdijk|Reyes|1991}}.</ref> | ||
# [[अति वास्तविक संख्या]] | # [[अति वास्तविक संख्या]] पद्धति में अतिसूक्ष्म के रूप में विभेदक, जो वास्तविक संख्याओं के विस्तार होते हैं जिनमें प्रतिलोम अतिसूक्ष्म और अनंततः बड़ी संख्याएं होती हैं। यह [[अब्राहम रॉबिन्सन]] द्वारा प्रतिपादित अमानक विश्लेषण का दृष्टिकोण है।<ref name="nonstd">See {{Harvnb|Robinson|1996}} and {{Harvnb|Keisler|1986}}.</ref> | ||
ये दृष्टिकोण एक-दूसरे से बहुत अलग हैं, लेकिन उनके पास मात्रात्मक होने का विचार | ये दृष्टिकोण एक-दूसरे से बहुत अलग हैं, लेकिन उनके पास मात्रात्मक होने का विचार सामान्य है, अर्थात् यह नहीं कह रहा है कि एक विभेदक अनंततः छोटा है, लेकिन यह कितना छोटा है। | ||
=== रेखीय | === रेखीय मानचित्र के रूप में विभेदक === | ||
भिन्नताओं की सटीक समझ बनाने का एक सरल | भिन्नताओं की सटीक समझ बनाने का एक सरल प्रकार है, पहले वास्तविक रेखा पर उन्हें रैखिक मानचित्रों के रूप में उपयोग किया जाता है। इसका उपयोग <math>\mathbb{R}</math>, <math>\mathbb{R}^n</math>, एक[[ हिल्बर्ट अंतरिक्ष | हिल्बर्ट समष्टि]], एक [[बनच स्थान|बनच]] [[ हिल्बर्ट अंतरिक्ष |समष्टि]], या अधिक सामान्यतः, एक [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|सांस्थितिक सदिश समष्टि]] पर किया जा सकता है। वास्तविक रेखा के प्रकरण की व्याख्या करना सबसे आसान है। संदर्भ के आधार पर इस प्रकार के विभेदक को सहपरिवर्ती सदिश या कोटिस्पर्श सदिश के रूप में भी जाना जाता है। | ||
==== | ==== R पर रैखिक मानचित्र के रूप में विभेदक ==== | ||
कल्पना करना <math>f(x)</math> <math>\mathbb{R}</math> पर एक वास्तविक मूल्यवान फलन है। हम चर <math>x</math> को <math>f(x)</math> में एक संख्या के बदले एक फलन के रूप में पुनर्व्याख्या कर सकते हैं, अर्थात् वास्तविक रेखा पर [[पहचान मानचित्र|तत्समक मानचित्र]], जो वास्तविक संख्या <math>p</math> को अपने पास ले जाता है: <math>x(p)=p</math>। तब <math>f(x)</math> <math>x</math> के साथ <math>f</math> का सम्मिश्र है, जिसका <math>p</math> पर मूल्य <math>f(x(p))=f(p)</math> है। विभेदक <math>\operatorname{d}f</math> (जो निश्चित रूप से <math>f</math> पर निर्भर करता है) तब एक फलन है जिसका <math>p</math> पर मान (प्रायः पर <math>df_p</math>) एक संख्या नहीं है, लेकिन <math>\mathbb{R}</math> से <math>\mathbb{R}</math> तक एक रेखीय मानचित्र है। क्योंकि <math>\mathbb{R}</math> से <math>\mathbb{R}</math> तक एक रेखीय मानचित्र <math>1\times 1</math> आव्यूह द्वारा दिया जाता है, यह अनिवार्य रूप से एक संख्या के समान है, लेकिन दृष्टिकोण में परिवर्तन हमें <math>df_p</math> को एक अतिसूक्ष्म के रूप में सोचने और मानक अत्यल्प <math>dx_p</math> के साथ तुलना करने की अनुमति देता है, जो पुनः <math>\mathbb{R}</math> से <math>\mathbb{R}</math> तक केवल सर्वसमिका मानचित्र (प्रविष्टि <math>1</math> के साथ <math>1\times 1</math> आव्यूह) है। सर्वसमिका यह गुण है कि यदि <math>\varepsilon</math> बहुत छोटा है, तो <math>dx_p(\varepsilon)</math> बहुत छोटा है, जो हमें इसे अतिसूक्ष्म मानने में सक्षम बनाता है। विभेदक <math>df_p</math>में समान गुण होते हैं, क्योंकि यह <math>dx_p</math> का एक गुणक है, और यह गुणक परिभाषा के अनुसार <math>f'(p)</math> है। इसलिए हम इसे प्राप्त करते हैं कि <math>df_p=f'(p)\,dx_p</math>, और इसलिए <math>df=f'\,dx</math> है। इस प्रकार हम इस विचार को पुनः प्राप्त करते हैं कि <math>f'</math>विभेदक <math>df</math> और <math>dx</math> का अनुपात है। | |||
यह सिर्फ एक ट्रिक होगी यदि यह इस तथ्य के लिए नहीं है कि: | |||
# यह <math>p</math> पर <math>f</math> के व्युत्पन्न के विचार को <math>p</math> पर <math>f</math> के लिए सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन के रूप में पकड़ता है; | |||
# इसके कई सामान्यीकरण हैं। | |||
==== R<sup>n</sup> पर रेखीय मानचित्र के रूप में विभेदक ==== | |||
अगर <math>f</math> <math>\mathbb{R}^n</math>से <math>\mathbb{R}</math> तक एक फलन है, तो हम कहते हैं कि <math>p\in\mathbb{R}^n</math>पर <math>f</math> अवकलनीय है<ref>See, for instance, {{Harvnb|Apostol|1967}}.</ref> यदि <math>\mathbb{R}^n</math>से <math>\mathbb{R}</math> तक एक रेखीय मानचित्र <math>df_p</math> है जैसे कि किसी भी <math>\varepsilon>0</math> के लिए, <math>p</math> का एक प्रतिवेश <math>N</math> है जैसे कि <math>x\in N</math>, | |||
<math display="block">\left|f(x) - f(p) - df_p(x-p)\right| < \varepsilon \left|x-p\right| .</math> | |||
अब हम एक आयामी प्रकरण में उसी ट्रिक का उपयोग कर सकते हैं और अभिव्यक्ति <math>f(x_1, x_2, \ldots, x_n)</math> को <math>\mathbb{R}^n</math> मानक निर्देशांक <math>x_1, x_2, \ldots, x_n</math> के साथ <math>f</math> के सम्मिश्र के रूप में सोच सकते हैं (ताकि <math>x_j(p)</math> <math>p\in\mathbb{R}^n</math>का <math>j</math>-वाँ घटक है )। फिर भेद <math>\left(dx_1\right)_p, \left(dx_2\right)_p, \ldots, \left(dx_n\right)_p</math> एक बिंदु <math>p</math> पर <math>\mathbb{R}^n</math>से <math>\mathbb{R}</math> तक रैखिक मानचित्रों के [[सदिश स्थल|सदिश समष्टि]] के लिए एक [[आधार (रैखिक बीजगणित)|आधार]] बनाते हैं और इसलिए, यदि <math>f</math> <math>p</math> पर अवकलनीय है, तो हम <math>\operatorname{d}f_p</math> लिख सकते हैं इन आधार तत्वों के [[रैखिक संयोजन]] के रूप में:<math display="block">df_p = \sum_{j=1}^n D_j f(p) \,(dx_j)_p.</math> | |||
गुणांक <math>D_j f(p)</math> <math>x_1, x_2, \ldots, x_n</math> के संबंध में <math>p</math> पर <math>f</math> के आंशिक व्युत्पन्न (परिभाषा के अनुसार) है। इसलिए, यदि <math>f</math> सभी <math>\mathbb{R}^n</math> पर अवकलनीय है, तो हम अधिक संक्षेप में लिख सकते हैं: | |||
<math display="block">\operatorname{d}f = \frac{\partial f}{\partial x_1} \,dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2} \,dx_2 + \cdots +\frac{\partial f}{\partial x_n} \,dx_n.</math> | |||
एक आयामी प्रकरण में | |||
<math display="block">df = \frac{df}{dx}dx</math> | |||
यह पहले जैसा हो जाता है। | |||
यह विचार सीधी तरह से <math>\mathbb{R}^n</math> से <math>\mathbb{R}^m</math> | |||
तक के फलानो के लिए सामान्यीकरण करता है। इसके अलावा, व्युत्पन्न की अन्य परिभाषाओं पर इसका निर्णायक लाभ है कि यह निर्देशांक के परिवर्तन के अंतर्गत [[अपरिवर्तनीय (गणित)]] है। इसका अर्थ यह है कि एक ही विचार का उपयोग सुचारू बहुरूपता के मध्य सुचारू मानचित्र के अंतर को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है। | |||
एक तरफ: ध्यान दें कि | एक तरफ: ध्यान दें कि <math>x</math> पर <math>f(x)</math> के सभी आंशिक व्युत्पन्न का अस्तित्व <math>x</math> पर विभेदक के अस्तित्व के लिए एक [[आवश्यक शर्त|आवश्यक प्रतिबंध]] है। हालांकि यह पर्याप्त प्रतिबंध नहीं है। प्रतिउदाहरणों के लिए, [[ व्युत्पन्न केक |गेटॉक्स व्युत्पन्न]] देखें। | ||
==== सदिश | ==== सदिश समष्टि पर रेखीय मानचित्र के रूप में विभेदक ==== | ||
निरंतरता के बारे में उचित रूप से बात करने के लिए एक ही प्रक्रिया एक पर्याप्त अतिरिक्त संरचना के साथ | निरंतरता के बारे में उचित रूप से बात करने के लिए एक ही प्रक्रिया एक पर्याप्त अतिरिक्त संरचना के साथ सदिश समष्टि पर काम करती है। सबसे स्थूल प्रकरण एक हिल्बर्ट समष्टि है, जिसे [[पूर्ण मीट्रिक स्थान|पूर्ण आंतरिक समष्टि]] के रूप में भी जाना जाता है, जहां आंतरिक उत्पाद और उससे जुड़े मानदंड दूरी की उपयुक्त अवधारणा को परिभाषित करते हैं। यही प्रक्रिया एक बनच समष्टि के लिए काम करती है, जिसे पूर्ण[[ नॉर्मड वेक्टर स्पेस | नॉर्मड सदिश समष्टि]] के रूप में भी जाना जाता है। हालांकि, अधिक सामान्य सांस्थितिक सदिश समष्टि के लिए, कुछ विवरण अधिक अमूर्त हैं क्योंकि दूरी की कोई अवधारणा नहीं है। | ||
परिमित आयाम के महत्वपूर्ण | परिमित आयाम के महत्वपूर्ण प्रकरण के लिए, कोई भी [[आंतरिक उत्पाद स्थान|आंतरिक उत्पाद समष्टि]] एक हिल्बर्ट समष्टि है, कोई भी मानक सदिश समष्टि एक बैनाच समष्टि है और कोई भी सामयिक सदिश समष्टि पूर्ण है। नतीजतन, आप स्वेच्छाचारी आधार से एक समन्वय प्रणाली को परिभाषित कर सकते हैं और उसी तकनीक का उपयोग कर सकते हैं जो <math>\mathbb{R}^n</math>के लिए है। | ||
=== फलानो के | === फलानो के रोगाणु के रूप में विभेदक === | ||
यह दृष्टिकोण किसी भी | यह दृष्टिकोण किसी भी विभेदक बहुरूपता पर काम करता है। अगर | ||
# {{var|U}} और {{var|V}} | # {{var|U}} और {{var|V}} विवृत समुच्चय हैं जिनमें {{var|p}} सम्मलित है | ||
# <math>f\colon U\to \mathbb{R}</math> निरंतर है | # <math>f\colon U\to \mathbb{R}</math> निरंतर है | ||
# <math>g\colon V\to \mathbb{R}</math> निरंतर है | # <math>g\colon V\to \mathbb{R}</math> निरंतर है | ||
तब {{var|f}} | |||