विभेदक (गणित): Difference between revisions

गणित में, विभेदक [[ गणना |गणना]] के आरम्भिक दिनों से प्राप्त कई संबंधित धारणाओं को संदर्भित करता है,<ref>{{cite web

</ref> एक परिशुद्ध आधार पर रखें, जैसे कि अत्यणु विभेदक और फलानो के व्युत्पन्न को संदर्भित करता है।<ref>{{cite web|url=http://www.oxforddictionaries.com/us/definition/american_english/differential|archive-url=https://web.archive.org/web/20140103051034/http://www.oxforddictionaries.com/us/definition/american_english/differential|url-status=dead|archive-date=January 3, 2014|title=अंतर - ऑक्सफोर्ड डिक्शनरी द्वारा यूएस अंग्रेजी में अंतर की परिभाषा|website=Oxford Dictionaries - English|access-date=13 April 2018}}</ref>

अवकलन शब्द का प्रयोग गणना में गैर-परिशुद्ध रूप से कुछ परिवर्ती मात्रा में एक अतिसूक्ष्म (असीम रूप से छोटा) परिवर्तन को संदर्भित करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि ''x'' एक चर है, तो ''x'' के मान में परिवर्तन को प्रायः Δ''x'' (उच्चारण ''[[डेल्टा (ग्रीक)|डेल्टा]] x'') कहा जाता है। विभेदक ''dx'' चर ''x'' में असीम रूप से छोटे परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। असीम रूप से छोटे या असीम रूप से धीमे परिवर्तन का विचार सहज रूप से अत्यंत उपयोगी है, और इस धारणा को गणितीय रूप से सटीक बनाने के कई प्रकार हैं।

गणना का उपयोग करके, व्युत्पन्न का उपयोग गणितीय रूप से विभिन्न चरों के असीम रूप से छोटे परिवर्तनों को एक दूसरे से संबंधित करना संभव है। यदि ''y,'' ''x'' का एक फलन है, तो ''y'' का विभेदक ''dy'' सूत्र द्वारा ''dx'' से संबंधित है

कहाँ <math>\frac{dy}{dx} \,</math>x के संबंध में y के व्युत्पन्न को दर्शाता है। यह सूत्र सहज विचार को सारांशित करता है कि x के संबंध में y का व्युत्पन्न विभेदक Δy/Δx के अनुपात की सीमा है क्योंकि Δx अत्यल्प हो जाता है।

* गणना में, विभेदक किसी फलन के रैखिकीकरण में परिवर्तन को दर्शाता है।

* गणना के पारंपरिक दृष्टिकोण में, विभेदक (जैसे ''dx'', ''dy'', ''dt'', आदि) की व्याख्या अतिसूक्ष्म के रूप में की जाती है। अतिसूक्ष्म को परिशुद्ध से परिभाषित करने के कई प्रकार हैं, लेकिन यह कहना पर्याप्त है कि एक अपरिमेय संख्या किसी भी धनात्मक वास्तविक संख्या की तुलना में निरपेक्ष मान में छोटी होती है, पूर्णतः वैसे ही जैसे एक असीम रूप से बड़ी संख्या किसी भी वास्तविक संख्या से बड़ी होती है।

* अधिक सामान्यतः, विभेदक या पुशफॉरवर्ड, [[चिकना कई गुना|सुचारू बहुरूपता]] और इसे परिभाषित पुशफॉरवर्ड संचालन के मध्य मानचित्र के व्युत्पन्न को संदर्भित करता है। [[पुलबैक (अंतर ज्यामिति)|पुलबैक]] की दोहरी अवधारणा को परिभाषित करने के लिए विभेदक का भी उपयोग किया जाता है।

17वीं शताब्दी CE के दौरान गणना गणित की एक अलग शाखा के रूप में विकसित हुआ, हालांकि प्राचीन काल में वापस जाने वाले पूर्ववर्ती थे। उदाहरण के लिए, न्यूटन, लीबनिज की प्रस्तुतियों को विभेदक, [[धाराप्रवाह (गणित)|धाराप्रवाह]] और <nowiki>''</nowiki>असीम रूप से छोटे<nowiki>''</nowiki> जैसे शब्दों की गैर-कठोर परिभाषाओं द्वारा चिह्नित किया गया था। जबकि [[जॉर्ज बर्कले|बिशप बर्कले]] के 1734 विश्लेषक में कई तर्क प्रकृति में धर्मशास्त्रीय हैं, आधुनिक गणितज्ञ विश्लेषक <nowiki>''</nowiki>आवांछित प्रतिबिम्ब के दिवंगत मात्रा<nowiki>''</nowiki> के प्रतिकूल उनके तर्क की वैधता को स्वीकार करते हैं; हालाँकि, आधुनिक दृष्टिकोणों में समान तकनीकी समस्याएँ नहीं हैं। कठोरता की कमी के बावजूद 17वीं और 18वीं शताब्दी में असीम प्रगति हुई।19वीं शताब्दी में, कॉची और अन्य ने धीरे-धीरे एप्सिलॉन, निरंतरता, सीमा और व्युत्पन्न के लिए डेल्टा दृष्टिकोण विकसित किया, जिससे कलन के लिए एक ठोस वैचारिक आधार मिला हैं।

विभेदक का उपयोग[[ अभिन्न ]]के लिए संकेतन में भी किया जाता है क्योंकि एक समाकल को अनंत मात्रा के अनंत योग के रूप में माना जा सकता है: एक लेखाचित्र के अंतर्गत क्षेत्र लेखाचित्र को असीम रूप से पतली पट्टियों में उप-विभाजित करके और उनके क्षेत्रों का योग करके प्राप्त किया जाता है। एक अभिव्यक्ति में जैसे

अभिन्न चिह्न (जो एक संशोधित लंबा s है) अनंत योग को दर्शाता है, f(x) एक पतली पट्टी की <nowiki>''ऊंचाई''</nowiki> को दर्शाता है, और विभेदक dx इसकी असीम रूप से पतली चौड़ाई को दर्शाता है।

# रेखीय मानचित्र के रूप में विभेदक। यह दृष्टिकोण विभेदक ज्यामिति में कुल व्युत्पन्न और [[बाहरी व्युत्पन्न]] की परिभाषा को रेखांकित करता है।<ref>{{Harvnb|Darling|1994}}.</ref>

# [[अति वास्तविक संख्या]] पद्धति में अतिसूक्ष्म के रूप में विभेदक, जो वास्तविक संख्याओं के विस्तार होते हैं जिनमें प्रतिलोम अतिसूक्ष्म और असीम रूप से बड़ी संख्याएं होती हैं। यह [[अब्राहम रॉबिन्सन]] द्वारा प्रतिपादित अमानक विश्लेषण का दृष्टिकोण है।<ref name="nonstd">See {{Harvnb|Robinson|1996}} and {{Harvnb|Keisler|1986}}.</ref>

ये दृष्टिकोण एक-दूसरे से बहुत अलग हैं, लेकिन उनके पास मात्रात्मक होने का विचार सामान्य है, अर्थात् यह नहीं कह रहा है कि एक विभेदक असीम रूप से छोटा है, लेकिन यह कितना छोटा है।

कल्पना करना <math>f(x)</math> <math>\mathbb{R}</math> पर एक वास्तविक मूल्यवान फलन है। हम चर <math>x</math> को <math>f(x)</math> में  एक संख्या के बदले एक फलन के रूप में पुनर्व्याख्या कर सकते हैं, अर्थात् वास्तविक रेखा पर [[पहचान मानचित्र|तत्समक मानचित्र]], जो वास्तविक संख्या <math>p</math> को अपने पास ले जाता है: <math>x(p)=p</math>। तब <math>f(x)</math> <math>x</math> के साथ <math>f</math> का सम्मिश्र है, जिसका <math>p</math> पर मूल्य <math>f(x(p))=f(p)</math> है। विभेदक <math>\operatorname{d}f</math> (जो निश्चित रूप से <math>f</math> पर निर्भर करता है) तब एक फलन है जिसका <math>p</math> पर मान (प्रायः पर <math>df_p</math>) एक संख्या नहीं है, लेकिन <math>\mathbb{R}</math> से <math>\mathbb{R}</math> तक एक रेखीय मानचित्र है। क्योंकि <math>\mathbb{R}</math> से <math>\mathbb{R}</math> तक एक रेखीय मानचित्र <math>1\times 1</math> आव्यूह द्वारा दिया जाता है, यह अनिवार्य रूप से एक संख्या के समान है, लेकिन दृष्टिकोण में परिवर्तन हमें <math>df_p</math> को एक अतिसूक्ष्म के रूप में सोचने और मानक अत्यल्प <math>dx_p</math> के साथ तुलना करने की अनुमति देता है, जो पुनः <math>\mathbb{R}</math> से <math>\mathbb{R}</math> तक केवल सर्वसमिका मानचित्र (प्रविष्टि <math>1</math> के साथ <math>1\times 1</math> आव्यूह) है। सर्वसमिका यह गुण है कि यदि <math>\varepsilon</math> बहुत छोटा है, तो <math>dx_p(\varepsilon)</math> बहुत छोटा है, जो हमें इसे अतिसूक्ष्म मानने में सक्षम बनाता है। विभेदक <math>df_p</math>में समान गुण होते हैं, क्योंकि यह <math>dx_p</math> का एक गुणक है, और यह गुणक परिभाषा के अनुसार <math>f'(p)</math> है। इसलिए हम इसे प्राप्त करते हैं कि <math>df_p=f'(p)\,dx_p</math>, और इसलिए <math>df=f'\,dx</math> है। इस प्रकार हम इस विचार को पुनः प्राप्त करते हैं कि <math>f'</math>विभेदकों  <math>df</math> और <math>dx</math> का अनुपात है।

अब हम एक आयामी प्रकरण में उसी तरकीब का उपयोग कर सकते हैं और अभिव्यक्ति <math>f(x_1, x_2, \ldots, x_n)</math> को <math>\mathbb{R}^n</math> मानक निर्देशांक <math>x_1, x_2, \ldots, x_n</math> के साथ <math>f</math>  के सम्मिश्र के रूप में सोच सकते हैं (ताकि <math>x_j(p)</math> <math>p\in\mathbb{R}^n</math>का <math>j</math>-वाँ घटक है )। फिर भेद <math>\left(dx_1\right)_p, \left(dx_2\right)_p, \ldots, \left(dx_n\right)_p</math> एक बिंदु  <math>p</math> पर <math>\mathbb{R}^n</math> से <math>\mathbb{R}</math> तक रैखिक मानचित्रों के [[सदिश स्थल|सदिश समष्टि]] के लिए एक [[आधार (रैखिक बीजगणित)|आधार]] बनाते हैं और इसलिए, यदि <math>f</math> <math>p</math> पर अवकलनीय है, तो हम <math>\operatorname{d}f_p</math> लिख सकते हैं इन आधार तत्वों के [[रैखिक संयोजन]] के रूप में:<math display="block">df_p = \sum_{j=1}^n D_j f(p) \,(dx_j)_p.</math>

यह विचार सीधी तरह से  <math>\mathbb{R}^n</math> से <math>\mathbb{R}^m</math> तक के फलानो के लिए सामान्यीकरण करता है। इसके अलावा, व्युत्पन्न की अन्य परिभाषाओं पर इसका निर्णायक लाभ है कि यह निर्देशांक के परिवर्तन के अंतर्गत [[अपरिवर्तनीय (गणित)]] है। इसका अर्थ यह है कि एक ही विचार का उपयोग सुचारू बहुरूपता के मध्य सुचारू मानचित्र के अंतर को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है।

=== फलानो के कीटाणुओं के रूप में विभेदक ===

तब {{var|f}} {{var|p}} पर {{var|g}} के समतुल्य है, जिसे <math>f \sim_p g</math> के रूप में दर्शाया गया है, यदि और केवल यदि कोई विवृत <math>W \subseteq U \cap V</math> है जिसमें {{var|p}} ऐसा है कि {{var|W}} में प्रत्येक {{var|x}} के लिए <math>f(x) = g(x)</math> है। {{var|p}} पर {{var|f}} का रोगाणु, जिसे <math>[f]_p</math> निरूपित किया जाता है, {{var|p}} पर {{var|f}} के समतुल्य सभी वास्तविक सतत फलनों का समुच्चय है; य {{var|f}} {{var|p}} पर सुचारू है तब <math>[f]_p</math> एक सुचारू रोगाणु है। अगर

[[ आदर्श (अंगूठी सिद्धांत) |आदर्श]] <math>\mathcal{I}_p \mathcal{I}_p</math> के उत्पाद होने के लिए {{var|p}} और <math>\mathcal{I}_p^2</math> पर लुप्त होने वाले सभी सुचारू कीटाणुओं का समुच्चय के रूप में <math>\mathcal{I}_p</math> को परिभाषित करें। तब {{var|p}} पर एक विभेदक ({{var|p}} पर स्पर्शज्या सदिश) <math>\mathcal{I}_p/\mathcal{I}_p^2</math> का एक अवयव होता है। {{var|p}} पर एक सुचारू फलन {{var|f}} का विभेदक, जिसे <math>\mathrm d f_p</math> के रूप में दर्शाया गया है, <math>[f-f(p)]_p/\mathcal{I}_p^2</math> है।

यह एक बिंदु ''p'' पर '<nowiki/>'''R''' ' से ''''R'''<nowiki/>' तक फलन ''f'' के व्युत्पन्न पर बीजगणित-ज्यामितीय दृष्टिकोण से प्रेरित हो सकता है। इसके लिए, पहले ध्यान दें कि f − f(p) '''R''' पर फलन के आदर्श ''I_p'' से संबंधित है जो ''p'' पर लुप्त हो जाता है। यदि व्युत्पन्न ''f'' ''p'' पर लुप्त हो जाता है, तो ''f'' − ''f''(''p'') इस गुणजावली के वर्ग ''I_p²'' से संबंधित है। इसलिए p पर f का व्युत्पन्न तुल्यता वर्ग [''f'' − ''f''(''p'')] द्वारा भागफल समष्टि ''I_p''/''I_p''² में ग्रहण किया जा सकता है, और f का 1-जेट (जो इसके मूल्य और इसके पहले व्युत्पन्न को कूटबद्ध करता है) सभी फलान सापेक्ष ''I_p''² के समष्टि में ''f'' का समतुल्य वर्ग है। बीजगणितीय ज्यामितिज्ञ इस तुल्यता वर्ग को बिंदु p के मोटे संस्करण के लिए f के प्रतिबंध के रूप में मानते हैं, जिसका समन्वय वलय '''R''' नहीं है (जो कि '''R''' सापेक्ष ''I_p'' पर फलन का भागफल समष्टि है) लेकिन '''R'''[''ε''] जो कि '''R''' सापेक्ष ''I_p''² पर फलन का भागफल समष्टि है। ऐसा स्थूल बिंदु एक योजना का एक सरल उदाहरण है।

अतिसूक्ष्म के अंतिम दृष्टिकोण में फिर से वास्तविक संख्याओं का विस्तार करना सम्मलित है, लेकिन कम कठोर प्रकार से है। गैर-मानक विश्लेषण दृष्टिकोण में कोई निलपोटेंट अतिसूक्ष्म नहीं होते हैं, केवल प्रतिलोम होते हैं, जिन्हें असीम रूप से बड़ी संख्या के गुणात्मक व्युत्क्रम के रूप में देखा जा सकता है।<ref name="nonstd"/> [[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओं]] के ऐसे विस्तार स्पष्ट रूप से वास्तविक संख्याओं के अनुक्रमों के तुल्यता वर्गों का उपयोग करके निर्मित किए जा सकते हैं, ताकि, उदाहरण के लिए, अनुक्रम (1, 1/2, 1/3, ..., 1/n, ...) एक अपरिमेय का प्रतिनिधित्व करता है। हाइपररियल संख्याओ के इस नए समुच्चय का प्रथम-क्रम तर्क सामान्य वास्तविक संख्याओं के तर्क के समान है, लेकिन [[पूर्णता स्वयंसिद्ध]] (जिसमें द्वितीय-क्रम तर्क सम्मलित है) पकड़ में नहीं आता है। फिर भी, यह अतिसूक्ष्म का उपयोग करके कलन के लिए एक प्रारंभिक और पूर्णतया सहज दृष्टिकोण विकसित करने के लिए पर्याप्त है, [[स्थानांतरण सिद्धांत|स्थानान्तरण सिद्धांत]] देखें।

विभेदक की धारणा विभेदक ज्यामिति (और [[ अंतर टोपोलॉजी | विभेदक सांस्थिति]]) में कई अवधारणाओं को प्रेरित करती है।