विभेदक (गणित): Difference between revisions
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=== बीजगणितीय ज्यामिति === | === बीजगणितीय ज्यामिति === | ||
बीजगणितीय ज्यामिति में, विभेदक और अन्य अतिसूक्ष्म धारणाओं को एक बहुत ही स्पष्ट प्रकार से नियंत्रित किया जाता है, यह स्वीकार करते हुए कि एक | बीजगणितीय ज्यामिति में, विभेदक और अन्य अतिसूक्ष्म धारणाओं को एक बहुत ही स्पष्ट प्रकार से नियंत्रित किया जाता है, यह स्वीकार करते हुए कि एक समष्टि के समन्वय वलय या [[संरचना शीफ]] में [[शून्य तत्व]] सम्मलित हो सकते हैं। सबसे सरल उदाहरण [[दोहरी संख्या]] R[''ε''] का वलय है, जहां ''ε''<sup>2</sup> = 0 हैं। | ||
यह एक बिंदु | यह एक बिंदु ''p'' पर '<nowiki/>'''R''' ' से ''''R'''<nowiki/>' तक फलन ''f'' के व्युत्पन्न पर बीजगणित-ज्यामितीय दृष्टिकोण से प्रेरित हो सकता है। इसके लिए, पहले ध्यान दें कि f − f(p) '''R''' पर फलन के आदर्श ''I<sub>p</sub>'' से संबंधित है जो ''p'' पर लुप्त हो जाता है। यदि व्युत्पन्न ''f'' ''p'' पर लुप्त हो जाता है, तो ''f'' − ''f''(''p'') इस गुणजावली के वर्ग ''I<sub>p</sub><sup>2</sup>'' से संबंधित है। इसलिए p पर f का व्युत्पन्न तुल्यता वर्ग [''f'' − ''f''(''p'')] द्वारा भागफल समष्टि ''I<sub>p</sub>''/''I<sub>p</sub>''<sup>2</sup> में ग्रहण किया जा सकता है, और f का 1-जेट (जो इसके मूल्य और इसके पहले व्युत्पन्न को कूटबद्ध करता है) सभी फलान सापेक्ष ''I<sub>p</sub>''<sup>2</sup> के समष्टि में ''f'' का समतुल्य वर्ग है। बीजगणितीय ज्यामितिज्ञ इस तुल्यता वर्ग को बिंदु p के मोटे संस्करण के लिए f के प्रतिबंध के रूप में मानते हैं, जिसका समन्वय वलय '''R''' नहीं है (जो कि '''R''' सापेक्ष ''I<sub>p</sub>'' पर फलन का भागफल समष्टि है) लेकिन '''R'''[''ε''] जो कि '''R''' सापेक्ष ''I<sub>p</sub>''<sup>2</sup> पर फलन का भागफल समष्टि है। ऐसा स्थूल बिंदु एक योजना का एक सरल उदाहरण है। | ||
==== बीजगणितीय ज्यामिति धारणाएं ==== | ==== बीजगणितीय ज्यामिति धारणाएं ==== | ||
बीजगणितीय ज्यामिति में विभेदक भी महत्वपूर्ण हैं, और कई महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं। | |||
बीजगणितीय ज्यामिति में | * एबेलियन विभेदक का अर्थ सामान्यतः एक [[बीजगणितीय वक्र]] या [[रीमैन सतह]] पर विभेदक एक रूप होता है। | ||
* एबेलियन विभेदक का अर्थ | * रीमैन सतहों के सिद्धांत में [[द्विघात अंतर|द्विघात विभेदक]] (जो [[एबेलियन अंतर|एबेलियन विभेदक]] के <nowiki>''वर्गों''</nowiki> की तरह व्यवहार करते हैं) भी महत्वपूर्ण हैं। | ||
* रीमैन सतहों के सिद्धांत में [[द्विघात अंतर|द्विघात विभेदक]] (जो [[एबेलियन अंतर|एबेलियन विभेदक]] के वर्गों की तरह व्यवहार करते हैं) भी महत्वपूर्ण हैं। | * काहलर अवकलन बीजगणितीय ज्यामिति में विभेदक की एक सामान्य धारणा प्रदान करते हैं। | ||
* काहलर अवकलन बीजगणितीय ज्यामिति में | |||
=== संश्लिष्ट विभेदक ज्यामिति === | === संश्लिष्ट विभेदक ज्यामिति === | ||
अतिसूक्ष्म के लिए पाँचवाँ दृष्टिकोण संश्लिष्ट विभेदक ज्यामिति | अतिसूक्ष्म के लिए पाँचवाँ दृष्टिकोण संश्लिष्ट विभेदक ज्यामिति<ref>See {{Harvnb|Kock|2006}} and {{Harvnb|Lawvere|1968}}.</ref> या सहज अतिसूक्ष्म विश्लेषण की विधि है।<ref>See {{Harvnb|Moerdijk|Reyes|1991}} and {{Harvnb|Bell|1998}}.</ref> यह बीजगणितीय-ज्यामितीय दृष्टिकोण से निकटता से संबंधित है, अतिरिक्त इसके कि अतिसूक्ष्म अधिक निहित और सहज हैं। इस दृष्टिकोण का मुख्य विचार [[सेट की श्रेणी|समुच्चय की श्रेणी]] को आसानी से अलग-अलग समुच्चयों की दूसरी [[श्रेणी (गणित)]] के साथ बदलना है जो एक टॉपोज़ है। इस श्रेणी में, कोई भी वास्तविक संख्या, सहज फलन आदि को परिभाषित कर सकता है, लेकिन वास्तविक संख्या में स्वचालित रूप से नीलपोटेंट अतिसूक्ष्म होते हैं, इसलिए इन्हें बीजगणितीय ज्यामितीय दृष्टिकोण के रूप में हाथ से प्रस्तावित करने की आवश्यकता नहीं है। हालांकि इस नई श्रेणी में [[तर्क]] समुच्चय की श्रेणी के परिचित तर्क के समान नहीं है: विशेष रूप से, [[बहिष्कृत मध्य का कानून]] पकड़ में नहीं आता है। इसका अर्थ यह है कि समुच्चय-सैद्धांतिक गणितीय तर्क केवल [[रचनात्मक गणित|रचनात्मक]] होने पर ही असीम विश्लेषण तक विस्तारित होते हैं (उदाहरण के लिए, विरोधाभास द्वारा प्रमाण का उपयोग न करें)। कुछ{{who|date=November 2012}} इस नुकसान को एक धनात्मक पदार्थ के रूप में मानते हैं, क्योंकि यह किसी को भी रचनात्मक तर्क खोजने के लिए मजबूर करता है, जहां भी वे उपलब्ध हैं। | ||
=== अमानक विश्लेषण === | === अमानक विश्लेषण === | ||
अतिसूक्ष्म के अंतिम दृष्टिकोण में फिर से वास्तविक संख्याओं का विस्तार करना | अतिसूक्ष्म के अंतिम दृष्टिकोण में फिर से वास्तविक संख्याओं का विस्तार करना सम्मलित है, लेकिन कम कठोर प्रकार से है। गैर-मानक विश्लेषण दृष्टिकोण में कोई निलपोटेंट अतिसूक्ष्म नहीं होते हैं, केवल प्रतिलोम होते हैं, जिन्हें असीम रूप से बड़ी संख्या के गुणात्मक व्युत्क्रम के रूप में देखा जा सकता है।<ref name="nonstd"/> [[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओं]] के ऐसे विस्तार स्पष्ट रूप से वास्तविक संख्याओं के अनुक्रमों के तुल्यता वर्गों का उपयोग करके निर्मित किए जा सकते हैं, ताकि, उदाहरण के लिए, अनुक्रम (1, 1/2, 1/3, ..., 1/n, ...) एक अपरिमेय का प्रतिनिधित्व करता है। हाइपररियल संख्याओ के इस नए समुच्चय का प्रथम-क्रम तर्क सामान्य वास्तविक संख्याओं के तर्क के समान है, लेकिन [[पूर्णता स्वयंसिद्ध]] (जिसमें द्वितीय-क्रम तर्क सम्मलित है) पकड़ में नहीं आता है। फिर भी, यह अतिसूक्ष्म का उपयोग करके कलन के लिए एक प्रारंभिक और पूर्णतया सहज दृष्टिकोण विकसित करने के लिए पर्याप्त है, [[स्थानांतरण सिद्धांत|स्थानान्तरण सिद्धांत]] देखें। | ||
== विभेदक ज्यामिति == | == विभेदक ज्यामिति == | ||
विभेदक की धारणा विभेदक ज्यामिति (और [[ अंतर टोपोलॉजी | विभेदक सांस्थिति]] ) में कई अवधारणाओं को प्रेरित करती है। | विभेदक की धारणा विभेदक ज्यामिति (और [[ अंतर टोपोलॉजी | विभेदक सांस्थिति]]) में कई अवधारणाओं को प्रेरित करती है। | ||
* | *बहुरूपता के मध्य एक मानचित्र का विभेदक (पुशफॉरवर्ड)। | ||
*[[ विभेदक रूप ]] एक ऐसा | *[[ विभेदक रूप |विभेदक रूप]] एक ऐसा रूपरेखा प्रदान करते हैं जो विभेदक के गुणन और विभेदन को समायोजित करते है। | ||
* | *बाहरी व्युत्पन्न अंतर रूपों के विभेदन की धारणा है जो किसी फलन को सामान्य करता है (जो कि अवकलन 1-रूप है)। | ||
* पुलबैक | * पुलबैक, विशेष रूप से, लक्ष्य बहुरूपता पर [[अंतर 1-रूप|विभेदक रूप]] के साथ बहुरूपता के मध्य मानचित्र बनाने के लिए श्रृंखला नियम के लिए एक ज्यामितीय नाम है। | ||
*[[सहपरिवर्ती व्युत्पन्न]] [[ | *[[सहपरिवर्ती व्युत्पन्न]] या [[टेंसर क्षेत्र|अवकलन सदिश क्षेत्रों]] और प्रदिश क्षेत्रों के बहुरूपता, या अधिक सामान्यतः, [[वेक्टर बंडल|सदिश बंडल]] के वर्गों के विभेदन के लिए एक सामान्य धारणा प्रदान करते हैं: [[कनेक्शन (गणित)|संबंधन]] [[वेक्टर बंडल|सदिश बंडल]] देखें। यह अंततः एक संबंधन की सामान्य अवधारणा की ओर ले जाता है। | ||
== अन्य अर्थ == | == अन्य अर्थ == | ||
अनुरूपता बीजगणित और बीजगणितीय सांस्थिति में विभेदक शब्द को भी स्वीकृत किया गया है, क्योंकि डे रम कोहोलॉजी में बाहरी व्युत्पन्न भूमिका निभाता है: एक [[कोचेन कॉम्प्लेक्स]] <math>(C_\bullet, d_\bullet)</math> में, मानचित्र (या सह-सीमा संचालक) ''d<sub>i</sub>'' को प्रायः विभेदक कहा जाता है। दोहरे रूप से, एक श्रृंखला परिसर में सीमा संचालकों को कभी-कभी सहविभेदक कहा जाता है। | |||
विभेदक के गुण एक [[व्युत्पत्ति (सार बीजगणित)]] और एक [[अंतर बीजगणित|विभेदक बीजगणित]] | विभेदक के गुण एक [[व्युत्पत्ति (सार बीजगणित)|व्युत्पत्ति]] और एक [[अंतर बीजगणित|विभेदक बीजगणित]] की बीजगणितीय विचारों को भी प्रेरित करते हैं। | ||
== यह भी देखें == | == यह भी देखें == | ||
* [[अंतर समीकरण|विभेदक समीकरण]] | * [[अंतर समीकरण|विभेदक समीकरण]] | ||
* विभेदक रूप | * [[विभेदक रूप]] | ||
* एक फलन का विभेदक | * [[एक फलन का विभेदक]] | ||
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Revision as of 16:27, 24 April 2023
गणित में, विभेदक गणना के आरम्भिक दिनों से प्राप्त कई संबंधित धारणाओं को संदर्भित करता है,[1] एक परिशुद्ध आधार पर रखें, जैसे कि अत्यणु विभेदक और फलानो के व्युत्पन्न को संदर्भित करता है।[2]
इस शब्द का प्रयोग गणित की विभिन्न शाखाओं जैसे गणना, विभेदक ज्यामिति, बीजगणितीय ज्यामिति और बीजगणितीय सांस्थिति में किया जाता है।
परिचय
अवकलन शब्द का प्रयोग गणना में गैर-कठोर रूप से कुछ परिवर्ती मात्रा में एक अतिसूक्ष्म (असीम रूप से छोटा) परिवर्तन को संदर्भित करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि x एक चर है, तो x के मान में परिवर्तन को प्रायः Δx (उच्चारण डेल्टा x) कहा जाता है। विभेदक dx चर x में असीम रूप से छोटे परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। असीम रूप से छोटे या असीम रूप से धीमे परिवर्तन का विचार सहज रूप से अत्यंत उपयोगी है, और इस धारणा को गणितीय रूप से सटीक बनाने के कई प्रकार हैं।
गणना का उपयोग करके, व्युत्पन्न का उपयोग करके गणितीय रूप से विभिन्न चरों के असीम रूप से छोटे परिवर्तनों को एक दूसरे से संबंधित करना संभव है। यदि y, x का एक फलन है, तो y का विभेदक dy सूत्र द्वारा dx से संबंधित है
मूलभूत धारणाएं
- गणना में, विभेदक किसी फलन के रैखिकीकरण में परिवर्तन को दर्शाता है।
- कुल विभेदक कई चर के फलानो के लिए इसका सामान्यीकरण है।
- गणना के पारंपरिक दृष्टिकोण में, विभेदक (जैसे dx, dy, dt, आदि) की व्याख्या अतिसूक्ष्म के रूप में की जाती है। अतिसूक्ष्म को परिशुद्ध से परिभाषित करने के कई प्रकार हैं, लेकिन यह कहना पर्याप्त है कि एक अपरिमेय संख्या किसी भी धनात्मक वास्तविक संख्या की तुलना में निरपेक्ष मान में छोटी होती है, पूर्णतः वैसे ही जैसे एक असीम रूप से बड़ी संख्या किसी भी वास्तविक संख्या से बड़ी होती है।
- विभेदक Rn से Rm तक एक फलन के आंशिक व्युत्पन्न के जैकबियन आव्यूह का दूसरा नाम है (विशेष रूप से जब इस आव्यूह को एक रैखिक मानचित्र के रूप में देखा जाता है)।
- अधिक सामान्यतः, विभेदक या पुशफॉरवर्ड, सुचारू बहुरूपता और इसे परिभाषित पुशफॉरवर्ड संचालन के मध्य मानचित्र के व्युत्पन्न को संदर्भित करता है। पुलबैक की दोहरी अवधारणा को परिभाषित करने के लिए विभेदक का भी उपयोग किया जाता है।
- प्रसंभाव्य गणना प्रसंभाव्य विभेदक की धारणा और प्रसंभाव्य प्रक्रियाओं के लिए संबंधित गणना प्रदान करता है।
- स्टील्जे समाकल में समाकलक को एक फलन के विभेदक के रूप में दर्शाया गया है। औपचारिक रूप से, समाकल के अंतर्गत दिखाई देने वाला विभेदक यथार्थत: एक विभेदक के रूप में व्यवहार करता है: इस प्रकार, स्टेल्टजेस समाकल के लिए भागों के सूत्रों द्वारा प्रतिस्थापन और एकीकरण द्वारा एकीकरण, क्रमशः श्रृंखला नियम और विभेदक के लिए उत्पाद नियम के अनुरूप होता है।
इतिहास और उपयोग
गणना के विकास में अतिसूक्ष्म मात्रा ने महत्वपूर्ण भूमिका निभाई है। आर्किमिडीज ने उनका उपयोग किया, यद्यपि वह यह नहीं मानता था कि अतिसूक्ष्म से जुड़े तर्क कठोर थे।[3] आइजैक न्यूटन ने उन्हें प्रवाह के रूप में संदर्भित किया। हालाँकि, यह गॉटफ्रीड लीबनिज थे जिन्होंने अतिसूक्ष्म मात्राओं के लिए विभेदक शब्द सृष्ट और उनके लिए संकेतन प्रस्तावित किया जो आज भी उपयोग किया जाता है।
लीबनिज के संकेतन में, यदि x एक चर मात्रा है, तो dx चर x में एक अतिसूक्ष्म परिवर्तन को दर्शाता है। इस प्रकार, यदि y, x का एक फलन है, तो x के संबंध में y के व्युत्पन्न को प्रायः dy/dx के रूप में निरूपित किया जाता है, जिसे अन्यथा (न्यूटन या लाग्रेंज के संकेतन में) ẏ या y′ के रूप में निरूपित किया जाएगा। इस रूप में विभेदक के उपयोग ने बहुत आलोचना को आकर्षित किया, उदाहरण के लिए बिशप बर्कले द्वारा प्रसिद्ध पैम्फलेट विश्लेषक में है। फिर भी, संकेतन लोकप्रिय बना हुआ है क्योंकि यह दृढ़ता से इस विचार का सुझाव देता है कि x पर y का व्युत्पन्न परिवर्तन की तात्कालिक दर है (लेखाचित्र की स्पर्श रेखा का ढलान), जो अनुपात Δy/Δx की सीमा लेकर प्राप्त किया जा सकता है क्योंकि Δx स्वेच्छतः छोटा हो जाता है। विभेदक भी आयामी विश्लेषण के साथ संगत होते हैं, जहां एक विभेदक जैसे dx के चर x के समान आयाम होते हैं।
17वीं शताब्दी CE के दौरान गणना गणित की एक अलग शाखा के रूप में विकसित हुआ, हालांकि प्राचीन काल में वापस जाने वाले पूर्ववर्ती थे। उदाहरण के लिए, न्यूटन, लीबनिज की प्रस्तुतियों को विभेदक, धाराप्रवाह और ''असीम रूप से छोटे'' जैसे शब्दों की गैर-कठोर परिभाषाओं द्वारा चिह्नित किया गया था। जबकि बिशप बर्कले के 1734 विश्लेषक में कई तर्क प्रकृति में धर्मशास्त्रीय हैं, आधुनिक गणितज्ञ विश्लेषक ''आवांछित प्रतिबिम्ब के दिवंगत मात्रा'' के प्रतिकूल उनके तर्क की वैधता को स्वीकार करते हैं; हालाँकि, आधुनिक दृष्टिकोणों में समान तकनीकी समस्याएँ नहीं हैं। कठोरता की कमी के बावजूद 17वीं और 18वीं शताब्दी में असीम प्रगति हुई।19वीं शताब्दी में, कॉची और अन्य ने धीरे-धीरे एप्सिलॉन, निरंतरता, सीमा और व्युत्पन्न के लिए डेल्टा दृष्टिकोण विकसित किया, जिससे कलन के लिए एक ठोस वैचारिक आधार मिला हैं।
20वीं शताब्दी में, कई नई अवधारणाएँ, जैसे, बहुभिन्नरूपी गणना, विभेदक ज्यामिति, पुराने शब्दों के आशय को समाहित करती प्रतीत हुईं, विशेष रूप से विभेदक; विभेदक और अतिसूक्ष्म दोनों का उपयोग नए, अधिक कठोर, अर्थों के साथ किया जाता है।
विभेदक का उपयोगअभिन्न के लिए संकेतन में भी किया जाता है क्योंकि एक समाकल को अनंत मात्रा के अनंत योग के रूप में माना जा सकता है: एक लेखाचित्र के अंतर्गत क्षेत्र लेखाचित्र को असीम रूप से पतली पट्टियों में उप-विभाजित करके और उनके क्षेत्रों का योग करके प्राप्त किया जाता है। एक अभिव्यक्ति में जैसे
दृष्टिकोण
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