विभेदक (गणित): Difference between revisions
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गणितीय रूप से | गणितीय रूप से विभेदक की धारणा को सटीक बनाने के लिए कई दृष्टिकोण हैं। | ||
# रेखीय | # रेखीय मानचित्र के रूप में विभेदक। यह दृष्टिकोण विभेदक ज्यामिति में कुल व्युत्पन्न और [[बाहरी व्युत्पन्न]] की परिभाषा को रेखांकित करता है।<ref>{{Harvnb|Darling|1994}}.</ref> | ||
# क्रमविनिमेय वलयों के [[ nilpotent ]] तत्वों के रूप में | # क्रमविनिमेय वलयों के[[ nilpotent | निलपोटेंट]] तत्वों के रूप में अवकलन है। यह दृष्टिकोण बीजगणितीय ज्यामिति में लोकप्रिय है।<ref name="Harris1998">{{Harvnb|Eisenbud|Harris|1998}}.</ref> | ||
# | # समुच्चय सिद्धांत के सुचारू प्रतिरूप में विभेदक है। इस दृष्टिकोण को[[ सिंथेटिक अंतर ज्यामिति | संश्लिष्ट विभेदक ज्यामिति]] या [[चिकना अत्यल्प विश्लेषण|सुचारू अत्यल्प विश्लेषण]] के रूप में जाना जाता है और यह बीजगणितीय ज्यामितीय दृष्टिकोण से निकटता से संबंधित है, अतिरिक्त इसके कि[[ टोपोस सिद्धांत ]]के विचारों का उपयोग उस तंत्र को छिपाने के लिए किया जाता है जिसके द्वारा निलपोटेंट अतिसूक्ष्म प्रस्तावित किए जाते हैं।<ref>See {{Harvnb|Kock|2006}} and {{Harvnb|Moerdijk|Reyes|1991}}.</ref> | ||
# [[अति वास्तविक संख्या]] | # [[अति वास्तविक संख्या]] पद्धति में अतिसूक्ष्म के रूप में विभेदक, जो वास्तविक संख्याओं के विस्तार होते हैं जिनमें प्रतिलोम अतिसूक्ष्म और असीम रूप से बड़ी संख्याएं होती हैं। यह [[अब्राहम रॉबिन्सन]] द्वारा प्रतिपादित अमानक विश्लेषण का दृष्टिकोण है।<ref name="nonstd">See {{Harvnb|Robinson|1996}} and {{Harvnb|Keisler|1986}}.</ref> | ||
ये दृष्टिकोण एक-दूसरे से बहुत अलग हैं, लेकिन उनके पास मात्रात्मक होने का विचार | ये दृष्टिकोण एक-दूसरे से बहुत अलग हैं, लेकिन उनके पास मात्रात्मक होने का विचार सामान्य है, अर्थात् यह नहीं कह रहा है कि एक विभेदक असीम रूप से छोटा है, लेकिन यह कितना छोटा है। | ||
=== रेखीय | === रेखीय मानचित्र के रूप में विभेदक === | ||
भिन्नताओं की सटीक समझ बनाने का एक सरल | भिन्नताओं की सटीक समझ बनाने का एक सरल प्रकार है, पहले वास्तविक रेखा पर उन्हें रैखिक मानचित्रों के रूप में उपयोग किया जाता है। इसका उपयोग <math>\mathbb{R}</math>, <math>\mathbb{R}^n</math>, एक [[ हिल्बर्ट अंतरिक्ष | हिल्बर्ट समष्टि]], एक [[बनच स्थान|बनच]] [[ हिल्बर्ट अंतरिक्ष |समष्टि]], या अधिक सामान्यतः, एक [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|सांस्थितिक सदिश समष्टि]] पर किया जा सकता है। वास्तविक रेखा के प्रकरण की व्याख्या करना सबसे आसान है। संदर्भ के आधार पर इस प्रकार के विभेदक को सहपरिवर्ती सदिश या कोटिस्पर्श सदिश के रूप में भी जाना जाता है। | ||
==== | ==== R पर रैखिक मानचित्र के रूप में विभेदक ==== | ||
कल्पना करना <math>f(x)</math> <math>\mathbb{R}</math> पर एक वास्तविक मूल्यवान फलन है। हम चर <math>x</math> को <math>f(x)</math> में एक संख्या के बदले एक फलन के रूप में पुनर्व्याख्या कर सकते हैं, अर्थात् वास्तविक रेखा पर [[पहचान मानचित्र|तत्समक मानचित्र]], जो वास्तविक संख्या <math>p</math> को अपने पास ले जाता है: <math>x(p)=p</math>। तब <math>f(x)</math> <math>x</math> के साथ <math>f</math> का सम्मिश्र है, जिसका <math>p</math> पर मूल्य <math>f(x(p))=f(p)</math> है। विभेदक <math>\operatorname{d}f</math> (जो निश्चित रूप से <math>f</math> पर निर्भर करता है) तब एक फलन है जिसका <math>p</math> पर मान (प्रायः पर <math>df_p</math>) एक संख्या नहीं है, लेकिन <math>\mathbb{R}</math> से <math>\mathbb{R}</math> तक एक रेखीय मानचित्र है। क्योंकि <math>\mathbb{R}</math> से <math>\mathbb{R}</math> तक एक रेखीय मानचित्र <math>1\times 1</math> आव्यूह द्वारा दिया जाता है, यह अनिवार्य रूप से एक संख्या के समान है, लेकिन दृष्टिकोण में परिवर्तन हमें <math>df_p</math> को एक अतिसूक्ष्म के रूप में सोचने और मानक अत्यल्प <math>dx_p</math> के साथ तुलना करने की अनुमति देता है, जो पुनः <math>\mathbb{R}</math> से <math>\mathbb{R}</math> तक केवल सर्वसमिका मानचित्र (प्रविष्टि <math>1</math> के साथ <math>1\times 1</math> आव्यूह) है। सर्वसमिका यह गुण है कि यदि <math>\varepsilon</math> बहुत छोटा है, तो <math>dx_p(\varepsilon)</math> बहुत छोटा है, जो हमें इसे अतिसूक्ष्म मानने में सक्षम बनाता है। विभेदक <math>df_p</math>में समान गुण होते हैं, क्योंकि यह <math>dx_p</math> का एक गुणक है, और यह गुणक परिभाषा के अनुसार <math>f'(p)</math> है। इसलिए हम इसे प्राप्त करते हैं कि <math>df_p=f'(p)\,dx_p</math>, और इसलिए <math>df=f'\,dx</math> है। इस प्रकार हम इस विचार को पुनः प्राप्त करते हैं कि <math>f'</math>विभेदकों <math>df</math> और <math>dx</math> का अनुपात है। | |||
यह सिर्फ एक ट्रिक होगी यदि यह इस तथ्य के लिए नहीं है कि: | |||
# यह <math>p</math> पर <math>f</math> के व्युत्पन्न के विचार को <math>p</math> पर <math>f</math> के लिए सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन के रूप में पकड़ता है; | |||
# इसके कई सामान्यीकरण हैं। | |||
==== R<sup>n</sup> पर रेखीय मानचित्र के रूप में विभेदक ==== | |||
अगर <math>f</math> <math>\mathbb{R}^n</math>से <math>\mathbb{R}</math> तक एक फलन है, तो हम कहते हैं कि <math>p\in\mathbb{R}^n</math>पर <math>f</math> अवकलनीय है<ref>See, for instance, {{Harvnb|Apostol|1967}}.</ref> यदि <math>\mathbb{R}^n</math>से <math>\mathbb{R}</math> तक एक रेखीय मानचित्र <math>df_p</math> है जैसे कि किसी भी <math>\varepsilon>0</math> के लिए, <math>p</math> का एक प्रतिवेश <math>N</math> है जैसे कि <math>x\in N</math>, | |||
<math display="block">\left|f(x) - f(p) - df_p(x-p)\right| < \varepsilon \left|x-p\right| .</math> | |||
अब हम एक आयामी प्रकरण में उसी तरकीब का उपयोग कर सकते हैं और अभिव्यक्ति <math>f(x_1, x_2, \ldots, x_n)</math> को <math>\mathbb{R}^n</math> मानक निर्देशांक <math>x_1, x_2, \ldots, x_n</math> के साथ <math>f</math> के सम्मिश्र के रूप में सोच सकते हैं (ताकि <math>x_j(p)</math> <math>p\in\mathbb{R}^n</math>का <math>j</math>-वाँ घटक है )। फिर भेद <math>\left(dx_1\right)_p, \left(dx_2\right)_p, \ldots, \left(dx_n\right)_p</math> एक बिंदु <math>p</math> पर <math>\mathbb{R}^n</math> से <math>\mathbb{R}</math> तक रैखिक मानचित्रों के [[सदिश स्थल|सदिश समष्टि]] के लिए एक [[आधार (रैखिक बीजगणित)|आधार]] बनाते हैं और इसलिए, यदि <math>f</math> <math>p</math> पर अवकलनीय है, तो हम <math>\operatorname{d}f_p</math> लिख सकते हैं इन आधार तत्वों के [[रैखिक संयोजन]] के रूप में:<math display="block">df_p = \sum_{j=1}^n D_j f(p) \,(dx_j)_p.</math> | |||
गुणांक <math>D_j f(p)</math> <math>x_1, x_2, \ldots, x_n</math> के संबंध में <math>p</math> पर <math>f</math> के आंशिक व्युत्पन्न (परिभाषा के अनुसार) है। इसलिए, यदि <math>f</math> सभी <math>\mathbb{R}^n</math> पर अवकलनीय है, तो हम अधिक संक्षेप में लिख सकते हैं: | |||
<math display="block">\operatorname{d}f = \frac{\partial f}{\partial x_1} \,dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2} \,dx_2 + \cdots +\frac{\partial f}{\partial x_n} \,dx_n.</math> | |||
एक आयामी प्रकरण में | |||
<math display="block">df = \frac{df}{dx}dx</math> | |||
यह पहले जैसा हो जाता है। | |||
<math display=block>\operatorname{d}f = \frac{\partial f}{\partial x_1} \,dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2} \,dx_2 + \cdots +\frac{\partial f}{\partial x_n} \,dx_n.</math> | |||
एक आयामी | |||
<math display=block>df = \frac{df}{dx}dx</math> | |||
पहले | |||
यह विचार | यह विचार सीधी तरह से <math>\mathbb{R}^n</math> से <math>\mathbb{R}^m</math> तक के फलानो के लिए सामान्यीकरण करता है। इसके अलावा, व्युत्पन्न की अन्य परिभाषाओं पर इसका निर्णायक लाभ है कि यह निर्देशांक के परिवर्तन के अंतर्गत [[अपरिवर्तनीय (गणित)]] है। इसका अर्थ यह है कि एक ही विचार का उपयोग सुचारू बहुरूपता के मध्य सुचारू मानचित्र के अंतर को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है। | ||
एक तरफ: ध्यान दें कि | एक तरफ: ध्यान दें कि <math>x</math> पर <math>f(x)</math> के सभी आंशिक व्युत्पन्न का अस्तित्व <math>x</math> पर विभेदक के अस्तित्व के लिए एक [[आवश्यक शर्त|आवश्यक प्रतिबंध]] है। हालांकि यह पर्याप्त प्रतिबंध नहीं है। प्रतिउदाहरणों के लिए, [[ व्युत्पन्न केक |गेटॉक्स व्युत्पन्न]] देखें। | ||
==== सदिश | ==== सदिश समष्टि पर रेखीय मानचित्र के रूप में विभेदक ==== | ||
निरंतरता के बारे में उचित रूप से बात करने के लिए एक ही प्रक्रिया एक पर्याप्त अतिरिक्त संरचना के साथ | निरंतरता के बारे में उचित रूप से बात करने के लिए एक ही प्रक्रिया एक पर्याप्त अतिरिक्त संरचना के साथ सदिश समष्टि पर काम करती है। सबसे स्थूल प्रकरण एक हिल्बर्ट समष्टि है, जिसे [[पूर्ण मीट्रिक स्थान|पूर्ण आंतरिक समष्टि]] के रूप में भी जाना जाता है, जहां आंतरिक उत्पाद और उससे जुड़े मानदंड दूरी की उपयुक्त अवधारणा को परिभाषित करते हैं। यही प्रक्रिया एक बनच समष्टि के लिए काम करती है, जिसे पूर्ण[[ नॉर्मड वेक्टर स्पेस | नॉर्मड सदिश समष्टि]] के रूप में भी जाना जाता है। हालांकि, अधिक सामान्य सांस्थितिक सदिश समष्टि के लिए, कुछ विवरण अधिक अमूर्त हैं क्योंकि दूरी की कोई अवधारणा नहीं है। | ||
परिमित आयाम के महत्वपूर्ण | परिमित आयाम के महत्वपूर्ण प्रकरण के लिए, कोई भी [[आंतरिक उत्पाद स्थान|आंतरिक उत्पाद समष्टि]] एक हिल्बर्ट समष्टि है, कोई भी मानक सदिश समष्टि एक बैनाच समष्टि है और कोई भी सामयिक सदिश समष्टि पूर्ण है। नतीजतन, आप स्वेच्छाचारी आधार से एक समन्वय प्रणाली को परिभाषित कर सकते हैं और उसी तकनीक का उपयोग कर सकते हैं जो <math>\mathbb{R}^n</math>के लिए है। | ||
=== फलानो के कीटाणुओं के रूप में विभेदक === | === फलानो के कीटाणुओं के रूप में विभेदक === | ||
यह दृष्टिकोण किसी भी | यह दृष्टिकोण किसी भी विभेदक बहुरूपता पर काम करता है। अगर | ||
# {{var|U}} और {{var|V}} | # {{var|U}} और {{var|V}} विवृत समुच्चय हैं जिनमें {{var|p}} सम्मलित है | ||
# <math>f\colon U\to \mathbb{R}</math> निरंतर है | # <math>f\colon U\to \mathbb{R}</math> निरंतर है | ||
# <math>g\colon V\to \mathbb{R}</math> निरंतर है | # <math>g\colon V\to \mathbb{R}</math> निरंतर है | ||
तब {{var|f}} | तब {{var|f}} {{var|p}} पर {{var|g}} के समतुल्य है, जिसे <math>f \sim_p g</math> के रूप में दर्शाया गया है, यदि और केवल यदि कोई विवृत <math>W \subseteq U \cap V</math> है जिसमें {{var|p}} ऐसा है कि {{var|W}} में प्रत्येक {{var|x}} के लिए <math>f(x) = g(x)</math> है। {{var|p}} पर {{var|f}} का रोगाणु, जिसे <math>[f]_p</math> निरूपित किया जाता है, {{var|p}} पर {{var|f}} के समतुल्य सभी वास्तविक सतत फलनों का समुच्चय है; य {{var|f}} {{var|p}} पर सुचारू है तब <math>[f]_p</math> एक सुचारू रोगाणु है। अगर | ||
#<math>U_1</math>, <math>U_2</math> <math>V_1</math> और <math>V_2</math> {{var|p}} विवृत समुच्चय हैं | |||
का | #<math>f_1\colon U_1\to \mathbb{R}</math>, <math>f_2\colon U_2\to \mathbb{R}</math>, <math>g_1\colon V_1\to \mathbb{R}</math> और <math>g_2\colon V_2\to \mathbb{R}</math> सुचारू फलन हैं | ||
अगर | |||
#<math>U_1</math>, <math>U_2</math> <math>V_1</math> और <math>V_2</math> | |||
#<math>f_1\colon U_1\to \mathbb{R}</math>, <math>f_2\colon U_2\to \mathbb{R}</math>, <math>g_1\colon V_1\to \mathbb{R}</math> और <math>g_2\colon V_2\to \mathbb{R}</math> | |||
#<math>f_1 \sim_p g_1</math> | #<math>f_1 \sim_p g_1</math> | ||
#<math>f_2 \sim_p g_2</math> | #<math>f_2 \sim_p g_2</math> | ||
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#<math>f_1+f_2\colon U_1 \cap U_2\to \mathbb{R} \sim_p g_1+g_2\colon V_1 \cap V_2\to \mathbb{R}</math> | #<math>f_1+f_2\colon U_1 \cap U_2\to \mathbb{R} \sim_p g_1+g_2\colon V_1 \cap V_2\to \mathbb{R}</math> | ||
#<math>f_1*f_2\colon U_1 \cap U_2\to \mathbb{R} \sim_p g_1*g_2\colon V_1 \cap V_2\to \mathbb{R}</math> | #<math>f_1*f_2\colon U_1 \cap U_2\to \mathbb{R} \sim_p g_1*g_2\colon V_1 \cap V_2\to \mathbb{R}</math> | ||
इससे पता चलता है कि | इससे पता चलता है कि p पर रोगाणु एक बीजगणित बनाते हैं। | ||
[[ आदर्श (अंगूठी सिद्धांत) |आदर्श]] <math>\mathcal{I}_p \mathcal{I}_p</math> के उत्पाद होने के लिए {{var|p}} और <math>\mathcal{I}_p^2</math> पर लुप्त होने वाले सभी सुचारू कीटाणुओं का समुच्चय के रूप में <math>\mathcal{I}_p</math> को परिभाषित करें। तब {{var|p}} पर एक विभेदक ({{var|p}} पर स्पर्शज्या सदिश) <math>\mathcal{I}_p/\mathcal{I}_p^2</math> का एक अवयव होता है। {{var|p}} पर एक सुचारू फलन {{var|f}} का विभेदक, जिसे <math>\mathrm d f_p</math> के रूप में दर्शाया गया है, <math>[f-f(p)]_p/\mathcal{I}_p^2</math> है। | |||
<math>\mathcal{I}_p^2</math> | |||
एक समान दृष्टिकोण एक | एक समान दृष्टिकोण एक स्वेच्छाचारी समन्वय पैच में व्युत्पन्न के संदर्भ में पहले क्रम के विभेदक तुल्यता को परिभाषित करना है। तब {{var|p}} पर {{var|f}} का विभेदक सभी फलानो का समुच्चय है जो {{var|p}} पर <math>f-f(p)</math> के समतुल्य है। | ||
=== बीजगणितीय ज्यामिति === | === बीजगणितीय ज्यामिति === | ||
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बीजगणितीय ज्यामिति में, विभेदक और अन्य अतिसूक्ष्म धारणाओं को एक बहुत ही स्पष्ट प्रकार से नियंत्रित किया जाता है, यह स्वीकार करते हुए कि एक विभेदकिक्ष के समन्वय अंगूठी या [[संरचना शीफ]] में [[शून्य तत्व]] शामिल हो सकते हैं। सबसे सरल उदाहरण [[दोहरी संख्या]] R[''ε''] का वलय है, जहां ''ε''<sup>2</सुप> = 0। | बीजगणितीय ज्यामिति में, विभेदक और अन्य अतिसूक्ष्म धारणाओं को एक बहुत ही स्पष्ट प्रकार से नियंत्रित किया जाता है, यह स्वीकार करते हुए कि एक विभेदकिक्ष के समन्वय अंगूठी या [[संरचना शीफ]] में [[शून्य तत्व]] शामिल हो सकते हैं। सबसे सरल उदाहरण [[दोहरी संख्या]] R[''ε''] का वलय है, जहां ''ε''<sup>2</सुप> = 0। | ||
यह एक बिंदु पी पर 'आर' से 'आर' तक फलन एफ के व्युत्पन्न पर बीजगणित-ज्यामितीय दृष्टिकोण से प्रेरित हो सकता है। इसके लिए, पहले ध्यान दें कि f − f(p) आदर्श (रिंग थ्योरी) I से संबंधित है<sub>''p''</sub> आर पर फलानो की संख्या जो 'पी' पर गायब हो जाती है। यदि व्युत्पन्न ''f'' ''p'' पर गायब हो जाता है, तो ''f'' − ''f''(''p'') वर्ग ''I'' से संबंधित है<sub>''p''</sub><sup>2 इस आदर्श का। अतः p पर f का व्युत्पन्न समतुल्य वर्ग [f − f(p)] द्वारा [[भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित)]] I में ग्रहण किया जा सकता है<sub>''p''</sub>/मैं<sub>''p''</sub><sup>2</sup>, और [[जेट (गणित)]] | f का 1-जेट (जो इसके मूल्य और इसके पहले व्युत्पन्न को कूटबद्ध करता है) सभी फलानो के | यह एक बिंदु पी पर 'आर' से 'आर' तक फलन एफ के व्युत्पन्न पर बीजगणित-ज्यामितीय दृष्टिकोण से प्रेरित हो सकता है। इसके लिए, पहले ध्यान दें कि f − f(p) आदर्श (रिंग थ्योरी) I से संबंधित है<sub>''p''</sub> आर पर फलानो की संख्या जो 'पी' पर गायब हो जाती है। यदि व्युत्पन्न ''f'' ''p'' पर गायब हो जाता है, तो ''f'' − ''f''(''p'') वर्ग ''I'' से संबंधित है<sub>''p''</sub><sup>2 इस आदर्श का। अतः p पर f का व्युत्पन्न समतुल्य वर्ग [f − f(p)] द्वारा [[भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित)|भागफल समष्टि (रैखिक बीजगणित)]] I में ग्रहण किया जा सकता है<sub>''p''</sub>/मैं<sub>''p''</sub><sup>2</sup>, और [[जेट (गणित)]] | f का 1-जेट (जो इसके मूल्य और इसके पहले व्युत्पन्न को कूटबद्ध करता है) सभी फलानो के समष्टि में f का समतुल्य वर्ग है।<sub>''p''</sub><sup>2</उप>। बीजगणितीय जियोमीटर इस तुल्यता वर्ग को बिंदु p के गाढ़े संस्करण के लिए f के प्रतिबंध के रूप में मानते हैं, जिसका समन्वय वलय 'R' नहीं है (जो 'R' मॉड्यूलो I पर फलानो का भागफल समष्टि है।<sub>''p''</sub>) लेकिन R[''ε''] जो R modulo ''I'' पर फलानो का भागफल समष्टि है<sub>''p''</sub><sup>2</उप>। ऐसा मोटा बिंदु एक [[योजना (गणित)]] का एक सरल उदाहरण है।<ref name="Harris1998" /> | ||
==== बीजगणितीय ज्यामिति धारणाएं ==== | ==== बीजगणितीय ज्यामिति धारणाएं ==== | ||
<!-- Integrate text. --> | <!-- Integrate text. --> | ||
बीजगणितीय ज्यामिति में अवकलन भी महत्वपूर्ण हैं, और कई महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं। | बीजगणितीय ज्यामिति में अवकलन भी महत्वपूर्ण हैं, और कई महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं। | ||
* एबेलियन विभेदक का | * एबेलियन विभेदक का अर्थ सामान्यतौर पर एक [[बीजगणितीय वक्र]] या [[रीमैन सतह]] पर विभेदक वन-फॉर्म होता है। | ||
* रीमैन सतहों के सिद्धांत में [[द्विघात अंतर|द्विघात विभेदक]] (जो [[एबेलियन अंतर|एबेलियन विभेदक]] के वर्गों की तरह व्यवहार करते हैं) भी महत्वपूर्ण हैं। | * रीमैन सतहों के सिद्धांत में [[द्विघात अंतर|द्विघात विभेदक]] (जो [[एबेलियन अंतर|एबेलियन विभेदक]] के वर्गों की तरह व्यवहार करते हैं) भी महत्वपूर्ण हैं। | ||
* काहलर अवकलन बीजगणितीय ज्यामिति में अवकलन की एक सामान्य धारणा प्रदान करते हैं। | * काहलर अवकलन बीजगणितीय ज्यामिति में अवकलन की एक सामान्य धारणा प्रदान करते हैं। | ||
=== | === संश्लिष्ट विभेदक ज्यामिति === | ||
अतिसूक्ष्म के लिए पाँचवाँ दृष्टिकोण | अतिसूक्ष्म के लिए पाँचवाँ दृष्टिकोण संश्लिष्ट विभेदक ज्यामिति की विधि है<ref>See {{Harvnb|Kock|2006}} and {{Harvnb|Lawvere|1968}}.</ref> या सहज अतिसूक्ष्म विश्लेषण।<ref>See {{Harvnb|Moerdijk|Reyes|1991}} and {{Harvnb|Bell|1998}}.</ref> यह बीजगणितीय-ज्यामितीय दृष्टिकोण से निकटता से संबंधित है, अतिरिक्त इसके कि अतिसूक्ष्म अधिक निहित और सहज हैं। इस दृष्टिकोण का मुख्य विचार [[सेट की श्रेणी|समुच्चय की श्रेणी]] को आसानी से अलग-अलग समुच्चयों की दूसरी [[श्रेणी (गणित)]] के साथ बदलना है जो एक टॉपोज़ है। इस श्रेणी में, कोई भी वास्तविक संख्या, सहज फलन आदि को परिभाषित कर सकता है, लेकिन वास्तविक संख्या में स्वचालित रूप से नीलपोटेंट अतिसूक्ष्म होते हैं, इसलिए इन्हें बीजगणितीय ज्यामितीय दृष्टिकोण के रूप में हाथ से प्रस्तावित करने की आवश्यकता नहीं है। हालांकि इस नई श्रेणी में [[तर्क]] समुच्चय की श्रेणी के परिचित तर्क के समान नहीं है: विशेष रूप से, [[बहिष्कृत मध्य का कानून]] पकड़ में नहीं आता है। इसका अर्थ यह है कि समुच्चय-सैद्धांतिक गणितीय तर्क केवल [[रचनात्मक गणित]] होने पर ही असीम विश्लेषण तक विस्तारित होते हैं (उदाहरण के लिए, विरोधाभास द्वारा सबूत का उपयोग न करें)। कुछ{{who|date=November 2012}} इस नुकसान को एक धनात्मक चीज के रूप में मानते हैं, क्योंकि यह जहां कहीं भी उपलब्ध हो वहां रचनात्मक तर्क खोजने के लिए मजबूर करता है। | ||
=== अमानक विश्लेषण === | === अमानक विश्लेषण === | ||
अतिसूक्ष्म के अंतिम दृष्टिकोण में फिर से वास्तविक संख्याओं का विस्तार करना शामिल है, लेकिन कम कठोर प्रकार से। गैर-मानक विश्लेषण दृष्टिकोण में कोई निलपोटेंट अतिसूक्ष्म नहीं होते हैं, केवल इन्वर्टिबल होते हैं, जिन्हें असीम रूप से बड़ी संख्या के गुणात्मक व्युत्क्रम के रूप में देखा जा सकता है।<ref name="nonstd"/>[[वास्तविक संख्या]]ओं के ऐसे विस्तार स्पष्ट रूप से वास्तविक संख्याओं के अनुक्रमों के तुल्यता वर्गों का उपयोग करके बनाए जा सकते हैं, ताकि, उदाहरण के लिए, अनुक्रम (1, 1/2, 1/3, ..., 1/n, ...) एक अपरिमेय का प्रतिनिधित्व करता है। हाइपररियल नंबरों के इस नए | अतिसूक्ष्म के अंतिम दृष्टिकोण में फिर से वास्तविक संख्याओं का विस्तार करना शामिल है, लेकिन कम कठोर प्रकार से। गैर-मानक विश्लेषण दृष्टिकोण में कोई निलपोटेंट अतिसूक्ष्म नहीं होते हैं, केवल इन्वर्टिबल होते हैं, जिन्हें असीम रूप से बड़ी संख्या के गुणात्मक व्युत्क्रम के रूप में देखा जा सकता है।<ref name="nonstd"/>[[वास्तविक संख्या]]ओं के ऐसे विस्तार स्पष्ट रूप से वास्तविक संख्याओं के अनुक्रमों के तुल्यता वर्गों का उपयोग करके बनाए जा सकते हैं, ताकि, उदाहरण के लिए, अनुक्रम (1, 1/2, 1/3, ..., 1/n, ...) एक अपरिमेय का प्रतिनिधित्व करता है। हाइपररियल नंबरों के इस नए समुच्चय का प्रथम-क्रम तर्क सामान्य वास्तविक संख्याओं के तर्क के समान है, लेकिन [[पूर्णता स्वयंसिद्ध]] (जिसमें द्वितीय-क्रम तर्क शामिल है) पकड़ में नहीं आता है। फिर भी, यह अतिसूक्ष्म का उपयोग करके कलन के लिए एक प्रारंभिक और काफी सहज दृष्टिकोण विकसित करने के लिए पर्याप्त है, [[स्थानांतरण सिद्धांत|समष्टिांतरण सिद्धांत]] देखें। | ||
== विभेदक ज्यामिति == | == विभेदक ज्यामिति == | ||
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*[[ विभेदक रूप ]] एक ऐसा ढांचा प्रदान करते हैं जो विभेदक के गुणन और विभेदन को समायोजित करता है। | *[[ विभेदक रूप ]] एक ऐसा ढांचा प्रदान करते हैं जो विभेदक के गुणन और विभेदन को समायोजित करता है। | ||
*बाह्य अवकलज अवकल रूपों के विभेदन की धारणा है जो किसी फलन के कुल अवकलज का | |||