डायोफैंटाइन सन्निकटन: Difference between revisions

Revision as of 14:12, 26 April 2023

Best rational approximants for

π

(green circle), e (blue diamond), ϕ (pink oblong), (√3)/2 (grey hexagon), 1/√2 (red octagon) and 1/√3 (orange triangle) calculated from their continued fraction expansions, plotted as slopes y/x with errors from their true values (black dashes)

संख्या सिद्धांत में, डायोफैंटाइन सन्निकटन का अध्ययन परिमेय संख्याओं द्वारा वास्तविक संख्याओं के सन्निकटन से संबंधित है। इसका नाम अलेक्जेंड्रिया के डायोफैंटस के नाम पर रखा गया है।

पहली समस्या यह जानने की थी कि परिमेय संख्याओं द्वारा वास्तविक संख्या का कितना अच्छा अनुमान लगाया जा सकता है। इस समस्या के लिए, परिमेय संख्या a/b वास्तविक संख्या α का अच्छा सन्निकटन है यदि a/b और α के बीच के अंतर का निरपेक्ष मान कम नहीं हो सकता है यदि a/b को छोटे भाजक के साथ किसी अन्य परिमेय संख्या से बदल दिया जाए। ऐसी समस्या को 18वीं शताब्दी के समय निरंतर अंशों के माध्यम से समाधान किया गया था।

किसी दिए गए नंबर के सर्वश्रेष्ठ अनुमानों को जानने के बाद, क्षेत्र की मुख्य समस्या उपरोक्त अंतर की स्पष्ट ऊपरी और निचली सीमाओं को ढूंढना है, जो भाजक के कार्य के रूप में व्यक्त की जाती है। ऐसा प्रतीत होता है कि ये सीमाएं अनुमानित होने वाली वास्तविक संख्याओं की प्रकृति पर निर्भर करती हैं: किसी अन्य परिमेय संख्या द्वारा परिमेय संख्या के सन्निकटन के लिए निचली सीमा बीजगणितीय संख्याओं के लिए निचली सीमा से बड़ी होती है, जो स्वयं सभी वास्तविक संख्या के लिये निम्न सीमा से बड़ी होती है। इस प्रकार वास्तविक संख्या जो बीजगणितीय संख्याओं की सीमा से उत्तम अनुमानित हो सकती है, निश्चित रूप से ट्रान्सेंडैंटल संख्या है।

इस ज्ञान ने 1844 में जोसेफ लिउविल को पहली स्पष्ट ट्रान्सेंडैंटल संख्या का उत्पादन करने में सक्षम बनाया। बाद में $π$ और e (गणितीय स्थिरांक) के अनुभवातीत होने के प्रमाण इसी प्रकार की विधि से प्राप्त किए गए थे।

डायोफैंटाइन सन्निकटन और अनुवांशिक संख्या सिद्धांत बहुत निकटतम क्षेत्र हैं जो कई प्रमेयों और विधियों को साझा करते हैं। डायोफैंटाइन सन्निकटनों का भी डायोफैंटाइन समीकरणों के अध्ययन में महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं।

2022 फील्ड मेडल जेम्स मेनार्ड (गणितज्ञ) को डायोफैंटाइन सन्निकटन पर उनके कार्य के लिए प्रदान किया गया था।

वास्तविक संख्या का सर्वश्रेष्ठ डायोफैंटाइन सन्निकटन

एक वास्तविक संख्या $α$ को देखते हुए, $α$ के सर्वश्रेष्ठ डायोफैंटाइन सन्निकटन को परिभाषित करने के दो तरीके हैं। पहली परिभाषा के लिए,^[1] परिमेय संख्या $p / q$ $α$ का सबसे अच्छा डायोफैंटाइन सन्निकटन है यदि

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<\left|\alpha -{\frac {p'}{q'}}\right|,

$p / q$ से भिन्न प्रत्येक परिमेय संख्या $p' / q'$ के लिए जैसे कि $0 < q' \leq q$ ।

दूसरी परिभाषा के लिए,^[2]^[3] उपरोक्त असमानता द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है

\left|q\alpha -p\right|<\left|q^{\prime }\alpha -p^{\prime }\right|.

दूसरी परिभाषा के लिए सर्वश्रेष्ठ सन्निकटन भी पहले के लिए एक सर्वश्रेष्ठ सन्निकटन है, किन्तु इसका विलोम सामान्य रूप से सत्य नहीं है।^[4]

निरंतर अंशों का सिद्धांत हमें वास्तविक संख्या के सर्वश्रेष्ठ अनुमानों की गणना करने की अनुमति देता है: दूसरी परिभाषा के लिए, वे नियमित निरंतर अंश के रूप में इसकी अभिव्यक्ति के अभिसरण (निरंतर अंश) हैं।^[3]^[4]^[5] पहली परिभाषा के लिए, निरंतर भिन्न अर्धअभिसरण पर भी विचार करना होगा।^[1]

उदाहरण के लिए, स्थिरांक e = 2.718281828459045235... का (नियमित) निरंतर अंश प्रतिनिधित्व है

[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,\ldots \;].

दूसरी परिभाषा के लिए इसके सर्वश्रेष्ठ सन्निकटन हैं

3,{\tfrac {8}{3}},{\tfrac {11}{4}},{\tfrac {19}{7}},{\tfrac {87}{32}},\ldots \,,

जबकि, पहली परिभाषा के लिए, वे हैं

3,{\tfrac {5}{2}},{\tfrac {8}{3}},{\tfrac {11}{4}},{\tfrac {19}{7}},{\tfrac {49}{18}},{\tfrac {68}{25}},{\tfrac {87}{32}},{\tfrac {106}{39}},\ldots \,.

सन्निकटन की शुद्धता का माप

एक परिमेय संख्या $p / q$ द्वारा वास्तविक संख्या $α$ के डायोफैंटाइन सन्निकटन की शुद्धता का स्पष्ट माप ${\textstyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|}$ है, चूंकि, इस मात्रा को हमेशा $p$ और $q$ के निरपेक्ष मूल्यों को बढ़ाकर स्वैच्छिक विधि से छोटा किया जा सकता है; इस प्रकार सन्निकटन की शुद्धता का अनुमान सामान्यतः इस मात्रा की तुलना भाजक $q$ के कुछ फलन $φ$ से की जाती है, सामान्यतः इसकी एक ऋणात्मक धात होती है।

ऐसी तुलना के लिए, किसी को शुद्धता की ऊपरी सीमा या निचली सीमा की आवश्यकता हो सकती है। निचली सीमा को सामान्यतः प्रमेय द्वारा वर्णित किया जाता है जैसे प्रत्येक तत्व के लिए $α$ वास्तविक संख्याओं के कुछ सबसेट और प्रत्येक परिमेय संख्या का $p / q$ , अपने पास ${\textstyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>\phi (q)}$ है। कुछ स्थितियों में, प्रत्येक परिमेय संख्या को उनकी परिमित संख्या को छोड़कर सभी परिमेय संख्याओं द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जो $α$ पर निर्भर करते हुए $φ$ को किसी स्थिरांक से गुणा करने के बराबर है।

ऊपरी सीमा के लिए, किसी को यह ध्यान रखना होगा कि अभिसरण द्वारा प्रदान किए गए सभी सर्वश्रेष्ठ डायोफैंटाइन अनुमानों में वांछित शुद्धता नहीं हो सकती है। इसलिए, प्रमेय हर तत्व के लिए रूप लेते हैं $α$ वास्तविक संख्याओं के कुछ उपसमुच्चय में अपरिमित रूप से अनेक परिमेय संख्याएँ $p / q$ होती हैं $p / q$ जैसे कि ${\textstyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<\phi (q)}$ .

बुरी तरह अनुमानित संख्या

बुरी तरह अनुमानित संख्या x है जिसके लिए धनात्मक स्थिरांक c है जैसे कि सभी तर्कसंगत p/q के लिए हमारे पास है

\left|{x-{\frac {p}{q}}}\right|>{\frac {c}{q^{2}}}\ .

बुरी तरह अनुमानित संख्याएं ठीक वही हैं जो प्रतिबंधित आंशिक भागफल के साथ हैं।^[6]

समतुल्य रूप से, संख्या बुरी तरह से सन्निकट है यदि और केवल यदि उसका मार्कोव स्थिरांक परिबद्ध है।

डायोफैंटाइन सन्निकटन के लिए निचली सीमा

अन्य परिमेय द्वारा परिमेय का सन्निकटन

तर्कसंगत संख्या ${\textstyle \alpha ={\frac {a}{b}}}$ द्वारा स्पष्ट रूप से और पूरी तरह से अनुमानित ${\textstyle {\frac {p_{i}}{q_{i}}}={\frac {i\,a}{i\,b}}}$ किया जा सकता है प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक i के लिए.

यदि ${\textstyle {\frac {p}{q}}\not =\alpha ={\frac {a}{b}}\,,}$ अपने पास

\left|{\frac {a}{b}}-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {aq-bp}{bq}}\right|\geq {\frac {1}{bq}},

क्योंकि $|aq-bp|$ धनात्मक पूर्णांक है और इस प्रकार 1 से कम नहीं है। इस प्रकार सन्निकटन की शुद्धता अपरिमेय संख्याओं के सापेक्ष खराब है (अगले खंड देखें)।

यह टिप्पणी की जा सकती है कि पूर्ववर्ती प्रमाण कबूतर सिद्धांत के प्रकार का उपयोग करता है: गैर-ऋणात्मक पूर्णांक जो 0 नहीं है, वह 1 से छोटा नहीं है। यह स्पष्ट रूप से तुच्छ टिप्पणी डायोफैंटाइन सन्निकटन के लिए निचली सीमा के लगभग हर प्रमाण में उपयोग की जाती है, यहां तक कि सबसे परिष्कृत वाले भी होते है।

संक्षेप में, परिमेय संख्या अपने आप में पूरी तरह से अनुमानित है, किन्तु किसी अन्य परिमेय संख्या द्वारा बुरी तरह अनुमानित है।

बीजगणितीय संख्याओं का सन्निकटन, लिउविल का परिणाम

1840 के दशक में, जोसेफ लिउविल ने बीजगणितीय संख्याओं के सन्निकटन के लिए पहली निचली सीमा प्राप्त की: यदि x परिमेय संख्याओं पर घात n की अपरिमेय बीजगणितीय संख्या है, तो स्थिरांक उपस्थित होता है c(x) > 0 जैसे कि

\left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{q^{n}}}

सभी पूर्णांकों p और q के लिए है जहाँ q > 0.

इस परिणाम ने उन्हें ट्रान्सेंडैंटल संख्या, लिउविल स्थिरांक का पहला सिद्ध उदाहरण प्रस्तुत करने की अनुमति दी

\sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}=0.110001000000000000000001000\ldots \,,

जो लिउविल के प्रमेय को संतुष्ट नहीं करता है, जो भी डिग्री n चुना गया है।

डायोफैंटाइन सन्निकटन और अनुवांशिक संख्या सिद्धांत के बीच यह लिंक आज भी जारी है। कई प्रमाण विधियों को दो क्षेत्रों के बीच साझा किया जाता है।

बीजगणितीय संख्याओं का सन्निकटन, थू-सीगल-रोथ प्रमेय

शताब्दी से भी अधिक समय में, लिउविल के प्रमेय को उत्तम बनाने के लिए कई प्रयास किए गए: बाउंड का हर सुधार हमें यह साबित करने में सक्षम बनाता है कि अधिक संख्याएं ट्रान्सेंडैंटल हैं। मुख्य सुधार एक्सल थ्यू (1909), सीगल (1921), फ्रीमैन डायसन (1947), और क्लॉस रोथ (1955) के कारण हैं, जो अंत में थू-सीगल-रोथ प्रमेय के लिए अग्रणी है: यदि $x$ तर्कहीन बीजगणितीय संख्या है और $ε$ a (छोटा) धनात्मक वास्तविक संख्या, तो वहाँ एक धनात्मक स्थिरांक $c (x, ε)$ उपस्थित है जैसे कि

\left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x,\varepsilon )}{q^{2+\varepsilon }}}

प्रत्येक पूर्णांक $p$ और $q$ के लिए धारण करता है जैसे कि $q > 0$ .

कुछ अर्थों में, यह परिणाम इष्टतम है, क्योंकि प्रमेय ε = 0 के साथ गलत होगा। यह नीचे वर्णित ऊपरी सीमा का तत्काल परिणाम है।

बीजगणितीय संख्याओं का युगपत सन्निकटन

इसके बाद, वोल्फगैंग एम. श्मिट ने साथ सन्निकटन के मामले में इसे सामान्यीकृत किया, यह साबित करते हुए कि: यदि $x 1, ..., x n$ बीजगणितीय संख्याएँ हैं जैसे कि $1, x 1, ..., x n$ परिमेय संख्याओं पर रैखिक स्वतंत्रता हैं और $ε$ कोई भी दी हुई धनात्मक वास्तविक संख्या है, तो केवल परिमित संख्या में अनेक परिमेय $n$ -टुपल्स $(p 1 / q, ..., p n / q)$ संख्याएँ होती हैं जैसे कि

\left|x_{i}-{\frac {p_{i}}{q}}\right|<q^{-(1+1/n+\varepsilon )},\quad i=1,\ldots ,n.

फिर से यह परिणाम इस अर्थ में इष्टतम है कि कोई घातांक से $ε$ नहीं हटा सकता है।

प्रभावी सीमा

सभी पिछली निचली सीमाएँ संख्या सिद्धांत में प्रभावी परिणाम नहीं हैं, इस अर्थ में कि प्रमाण कथनों में निहित स्थिरांक की गणना करने का कोई तरीका प्रदान नहीं करते हैं। इसका मतलब यह है कि संबंधित डायोफैंटाइन समीकरणों के समाधान के आकार पर सीमा प्राप्त करने के लिए परिणाम या उनके प्रमाण का उपयोग नहीं किया जा सकता है। चूंकि, इन विधियों और परिणामों का उपयोग अक्सर ऐसे समीकरणों के समाधानों की संख्या को सीमित करने के लिए किया जा सकता है।

फिर भी, फेल्डमैन द्वारा बेकर के प्रमेय का परिशोधन प्रभावी सीमा प्रदान करता है: यदि x परिमेय संख्याओं पर डिग्री n की बीजगणितीय संख्या है, तो प्रभावी रूप से संगणनीय स्थिरांक c(x) > 0 और 0 < d(x) < n ऐसे उपस्थित हैं वह

\left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{|q|^{d(x)}}}

सभी परिमेय पूर्णांकों के लिए धारण करता है।

हालाँकि, बेकर के प्रमेय के प्रत्येक प्रभावी संस्करण के लिए, स्थिरांक d और 1/c इतने बड़े हैं कि इस प्रभावी परिणाम का व्यवहार में उपयोग नहीं किया जा सकता है।

डायोफैंटाइन सन्निकटन के लिए ऊपरी सीमा

सामान्य ऊपरी सीमा

डायोफैंटाइन सन्निकटन के लिए ऊपरी सीमा के बारे में पहला महत्वपूर्ण परिणाम डिरिचलेट का सन्निकटन प्रमेय है, जिसका अर्थ है कि, प्रत्येक अपरिमेय संख्या के लिए $α$ , अपरिमित रूप से अनेक भिन्न हैं ${\tfrac {p}{q}}\;$ जैसे कि

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}\,.

इसका तात्पर्य यह है कि कोई दमन नहीं कर सकता $ε$ थू-सीगल-रोथ प्रमेय के कथन में।

एडॉल्फ हर्विट्ज़ (1891)^[7] इस परिणाम को मजबूत किया, यह साबित करते हुए कि प्रत्येक अपरिमेय संख्या के लिए $α$ , अपरिमित रूप से अनेक भिन्न हैं ${\tfrac {p}{q}}\;$ जैसे कि

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}q^{2}}}\,.

इसलिए, ${\frac {1}{{\sqrt {5}}\,q^{2}}}$ किसी भी अपरिमेय संख्या के डायोफैंटाइन सन्निकटन के लिए ऊपरी सीमा है। कुछ अपरिमेय संख्याओं को छोड़े बिना इस परिणाम में स्थिरांक में और सुधार नहीं किया जा सकता है (नीचे देखें)।

एमिल बोरेल (1903)^[8] दिखाया कि, वास्तव में, कोई अपरिमेय संख्या दी गई है $α$ , और के लगातार तीन अभिसरण दिए हैं $α$ , कम से कम किसी को हर्विट्ज़ के प्रमेय में दी गई असमानता को पूरा करना चाहिए।

समतुल्य वास्तविक संख्या

परिभाषा: दो वास्तविक संख्याएँ $x,y$ समतुल्य कहलाते हैं^[9]^[10] यदि पूर्णांक हैं $a,b,c,d\;$ साथ $ad-bc=\pm 1\;$ जैसे कि:

y={\frac {ax+b}{cx+d}}\,.

तो समतुल्यता को वास्तविक संख्याओं पर पूर्णांक मोबियस परिवर्तन या मॉड्यूलर समूह के सदस्य द्वारा परिभाषित किया गया है ${\text{SL}}_{2}^{\pm }(\mathbb {Z} )$ , पूर्णांकों पर व्युत्क्रमणीय 2 × 2 आव्यूहों का समुच्चय। प्रत्येक परिमेय संख्या 0 के बराबर है; इस प्रकार परिमेय संख्याएँ इस संबंध के लिए तुल्यता वर्ग हैं।

तुल्यता को नियमित रूप से निरंतर अंश प्रतिनिधित्व पर पढ़ा जा सकता है, जैसा कि जोसेफ अल्फ्रेड सेरेट के निम्नलिखित प्रमेय द्वारा दिखाया गया है:

प्रमेय: दो अपरिमेय संख्याएँ x और y समतुल्य हैं यदि और केवल यदि दो धनात्मक पूर्णांक h और k उपस्थित हैं, जैसे कि x का नियमित निरंतर अंश निरूपण ' और 'वाई'

{\begin{aligned}x&=[u_{0};u_{1},u_{2},\ldots ]\,,\\y&=[v_{0};v_{1},v_{2},\ldots ]\,,\end{aligned}}

संतुष्ट करना

u_{h+i}=v_{k+i}

प्रत्येक गैर ऋणात्मक पूर्णांक के लिए i.^[11] इस प्रकार, परिमित प्रारंभिक अनुक्रम को छोड़कर, समतुल्य संख्याओं में ही निरंतर अंश का प्रतिनिधित्व होता है।

समतुल्य संख्याएं ही डिग्री के अनुमानित हैं, इस अर्थ में कि उनके पास समान मार्कोव स्थिरांक है।

लैग्रेंज स्पेक्ट्रम

जैसा कि ऊपर कहा गया है, बोरेल के प्रमेय में स्थिरांक में सुधार नहीं हो सकता है, जैसा कि 1891 में एडॉल्फ हर्विट्ज द्वारा दिखाया गया था।^[12] होने देना $\phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ सुनहरा अनुपात हो। फिर किसी भी वास्तविक स्थिरांक c के साथ $c>{\sqrt {5}}\;$ परिमेय संख्याओं की केवल परिमित संख्या होती है $p / q$ जैसे कि

\left|\phi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{c\,q^{2}}}.

इसलिए सुधार केवल तभी प्राप्त किया जा सकता है, यदि संख्याएँ जो इसके समतुल्य हों $\phi$ निष्कासित हैं। ज्यादा ठीक:^[13]^[14] प्रत्येक अपरिमेय संख्या के लिए $\alpha$ है, जो इसके समकक्ष नहीं है $\phi$ , अनंत अनेक भिन्न हैं ${\tfrac {p}{q}}\;$ जैसे कि

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {8}}q^{2}}}.

क्रमिक बहिष्करण द्वारा - अगले को समतुल्य संख्याओं को बाहर करना चाहिए ${\sqrt {2}}$ - तुल्यता के अधिक से अधिक वर्गों में, निचली सीमा को और बढ़ाया जा सकता है। इस तरह से उत्पन्न होने वाले मान लैग्रेंज संख्याएं हैं, जो मार्कोव स्पेक्ट्रम का हिस्सा हैं। वे संख्या 3 पर अभिसरण करते हैं और मार्कोव संख्या से संबंधित हैं।^[15]^[16]

मीट्रिक डायोफैंटाइन सन्निकटन और विस्तार पर खिनचिन की प्रमेय

होने देना $\psi$ धनात्मक पूर्णांकों (यानी, धनात्मक अनुक्रम) पर धनात्मक वास्तविक-मूल्यवान कार्य हो जैसे कि $q\psi (q)$ नहीं बढ़ रहा है। वास्तविक संख्या x (आवश्यक रूप से बीजगणितीय नहीं) कहलाती है $\psi$ -अनुमानित यदि वहाँ असीम रूप से कई परिमेय संख्याएँ p/q उपस्थित हैं जैसे कि

\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {\psi (q)}{|q|}}.

अलेक्सांद्र खींचीं ने 1926 में साबित कर दिया कि यदि श्रृंखला ${\textstyle \sum _{q}\psi (q)}$ विचलन करता है, तो लगभग हर वास्तविक संख्या (लेबेस्ग माप के अर्थ में) है $\psi$ -अनुमानित, और यदि श्रृंखला अभिसरण करती है, तो लगभग हर वास्तविक संख्या नहीं होती है $\psi$ -अनुमानित। इस प्रमेय और इसके संबंधियों के आसपास के विचारों के चक्र को मीट्रिक डायोफैंटाइन सन्निकटन या डायोफैंटाइन सन्निकटन के मीट्रिक सिद्धांत (डायोफैंटाइन ज्यामिति में ऊंचाई मैट्रिक्स के साथ भ्रमित नहीं होना) या मीट्रिक संख्या सिद्धांत के रूप में जाना जाता है।

Duffin & Schaeffer (1941) खिनचिन के परिणाम का सामान्यीकरण साबित हुआ, और जिसे अब डफिन-शेफ़र अनुमान के रूप में जाना जाता है, वह सामान्य रूप से खिनचिन के द्विभाजन के अनुरूप है, जरूरी नहीं कि कम हो, अनुक्रम $\psi$ . Beresnevich & Velani (2006) ने साबित किया कि डफिन-शेफ़र अनुमान का हॉसडॉर्फ माप एनालॉग मूल डफ़िन-शेफ़र अनुमान के बराबर है, जो प्राथमिक कमजोर है। जुलाई 2019 में, दिमित्रिस कौकुलोपोलोस और जेम्स मेनार्ड (गणितज्ञ) ने अनुमान के प्रमाण की घोषणा की।^[17]^[18]

असाधारण सेटों का हौसडॉर्फ आयाम

समारोह का महत्वपूर्ण उदाहरण $\psi$ जिस पर खिनचिन की प्रमेय लागू की जा सकती है वह फलन है $\psi _{c}(q)=q^{-c}$ , जहां c > 1 वास्तविक संख्या है। इस फलन के लिए, प्रासंगिक श्रृंखला अभिसरण करती है और इसलिए खिनचिन की प्रमेय हमें बताती है कि लगभग हर बिंदु नहीं है $\psi _{c}$ -अनुमानित। इस प्रकार, संख्याओं का समूह जो हैं $\psi _{c}$ -approximable Lebesgue माप शून्य की वास्तविक रेखा का सबसेट बनाता है। जर्निक-बेसिकोविच प्रमेय, वोजटेक जर्निक के कारण | वी। जार्निक और अब्राम समोइलोविच बेसिकोविच|ए. एस. बेसिकोविच, कहते हैं कि इस सेट का हॉसडॉर्फ आयाम बराबर है $1/c$ .^[19] विशेष रूप से, संख्याओं का समूह जो हैं $\psi _{c}$ -कुछ के लिए अनुमानित $c>1$ (बहुत अच्छी तरह से अनुमानित संख्याओं के सेट के रूप में जाना जाता है) हॉसडॉर्फ का आयाम है, जबकि संख्याओं का सेट जो हैं $\psi _{c}$ - सभी के लिए अनुमानित $c>1$ (लिउविल संख्या ओं के समुच्चय के रूप में जाना जाता है) का हौसडॉर्फ आयाम शून्य है।

अन्य महत्वपूर्ण उदाहरण कार्य है $\psi _{\varepsilon }(q)=\varepsilon q^{-1}$ , कहाँ पे $\varepsilon >0$ वास्तविक संख्या है। इस फलन के लिए, संबंधित श्रृंखला अलग-अलग होती है और इसलिए खिनचिन की प्रमेय हमें बताती है कि लगभग हर संख्या है $\psi _{\varepsilon }$ -अनुमानित। यह कहने के समान है कि ऐसी प्रत्येक संख्या अच्छी तरह से सन्निकट है, जहाँ संख्या को अच्छी तरह से सन्निकट कहा जाता है यदि यह बुरी तरह सन्निकट नहीं है। तो जार्निक-बेसिकोविच प्रमेय का उपयुक्त एनालॉग बुरी तरह अनुमानित संख्याओं के सेट के हौसडॉर्फ आयाम से संबंधित होना चाहिए। और वास्तव में, वी. जार्निक ने साबित किया कि इस सेट का हॉसडॉर्फ आयाम के बराबर है। इस परिणाम में वोल्फगैंग एम. श्मिट | डब्ल्यू द्वारा सुधार किया गया था। एम. श्मिट, जिन्होंने दिखाया कि बुरी तरह अनुमानित संख्याओं का सेट असम्पीडित है, जिसका अर्थ है कि यदि $f_{1},f_{2},\ldots$ Lipschitz continuity#Lipschitz manifolds|bi-Lipschitz मैप्स का क्रम है, फिर संख्याओं का सेट x जिसके लिए $f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots$ हॉसडॉर्फ आयाम के साथ सभी बुरी तरह से अनुमानित हैं। श्मिट ने जर्निक के प्रमेय को उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत किया, महत्वपूर्ण उपलब्धि क्योंकि जार्निक का तर्क अनिवार्य रूप से एक-आयामी है, जो निरंतर अंशों के उपकरण पर निर्भर करता है।

समान वितरण

अन्य विषय जिसने गहन विकास देखा है वह है समवितरित अनुक्रम का सिद्धांत। अनुक्रम लें ए₁, एक₂, ... वास्तविक संख्याओं का और उनके भिन्नात्मक भागों पर विचार करें। यही है, अधिक संक्षेप में, अनुक्रम को देखें $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ , जो वृत्त है। सर्कल पर किसी भी अंतराल I के लिए हम अनुक्रम के उन तत्वों के अनुपात को देखते हैं जो इसमें निहित हैं, कुछ पूर्णांक एन तक, और इसकी तुलना I द्वारा व्याप्त परिधि के अनुपात से करें। समान वितरण का अर्थ है कि सीमा में, N के रूप में बढ़ता है, अंतराल पर हिट का अनुपात 'अपेक्षित' मान की ओर जाता है। हरमन वेइल ने वेइल की कसौटी साबित की, जिसमें दिखाया गया है कि यह अनुक्रम से बनने वाली घातीय रकम के लिए सीमा के बराबर था। इससे पता चला कि डायोफैंटाइन सन्निकटन परिणाम घातीय योगों में रद्दीकरण की सामान्य समस्या से निकटता से संबंधित थे, जो कि त्रुटि शब्दों की सीमा में पूरे विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में होता है।

एकसमान वितरण से संबंधित वितरण की अनियमितताओं का विषय है, जो संयोजक प्रकृति का है।

अनसुलझी समस्याएं

डायोफैंटाइन सन्निकटन में अभी भी सरल रूप से बताई गई अनसुलझी समस्याएं शेष हैं, उदाहरण के लिए लिटिलवुड अनुमान और अकेला धावक अनुमान । यह भी अज्ञात है कि उनके निरंतर अंश विस्तार में असीमित गुणांक वाले बीजगणितीय संख्याएं हैं या नहीं।

हालिया घटनाक्रम

क्योटो (1990) में अंतर्राष्ट्रीय गणितीय कांग्रेस में अपने पूर्ण संबोधन में, ग्रिगोरी मार्गुलिस ने एर्गोडिक सिद्धांत में निहित व्यापक कार्यक्रम की रूपरेखा तैयार की, जो सेमीसिम्पल लाइ समूहों के उपसमूहों के कार्यों के गतिशील और एर्गोडिक गुणों का उपयोग करके संख्या-सिद्धांत संबंधी परिणामों को साबित करने की अनुमति देता है। डी. क्लेनबॉक, जी. मार्गुलिस और उनके सहयोगियों के काम ने डायोफैंटाइन सन्निकटन में शास्त्रीय समस्याओं के लिए इस उपन्यास दृष्टिकोण की धात का प्रदर्शन किया। इसकी उल्लेखनीय सफलताओं में मार्गुलिस द्वारा दशकों पुराने ओपेनहेम अनुमान का प्रमाण है, दानी और मार्गुलिस और एस्किन-मार्गुलिस-मोज़ेस द्वारा बाद के विस्तार के साथ, और क्लेनबॉक और मार्गुलिस द्वारा मैनिफोल्ड्स पर डायोफैंटाइन सन्निकटन में बेकर और स्प्रिंदज़ुक अनुमानों का प्रमाण। मीट्रिक डायोफैंटाइन सन्निकटन में अलेक्जेंडर खिनचिन के उपरोक्त परिणामों के विभिन्न सामान्यीकरण भी इस ढांचे के भीतर प्राप्त किए गए हैं।

यह भी देखें

डेवनपोर्ट-श्मिट प्रमेय
डफिन-शेफ़र अनुमान
हेइलब्रोन सेट
कम विसंगति अनुक्रम

↑ ^1.0 ^1.1 Khinchin 1997, p. 21
↑ Cassels 1957, p. 2
↑ ^3.0 ^3.1 Lang 1995, p. 9
↑ ^4.0 ^4.1 Khinchin 1997, p. 24
↑ Cassels 1957, pp. 5–8
↑ Bugeaud 2012, p. 245
↑ Hurwitz 1891, p. 279
↑ Perron 1913, Chapter 2, Theorem 15
↑ Hurwitz 1891, p. 284
↑ Hardy & Wright 1979, Chapter 10.11
↑ See Perron 1929, Chapter 2, Theorem 23, p. 63
↑ Hardy & Wright 1979, p. 164
↑ Cassels 1957, p. 11
↑ Hurwitz 1891
↑ Cassels 1957, p. 18
↑ See Michel Waldschmidt: Introduction to Diophantine methods irrationality and transcendence Archived 2012-02-09 at the Wayback Machine, pp 24–26.
↑ Koukoulopoulos, D.; Maynard, J. (2019). "On the Duffin–Schaeffer conjecture". arXiv:1907.04593 [math.NT].
↑ Sloman, Leila (2019). "New Proof Solves 80-Year-Old Irrational Number Problem". Scientific American.
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संदर्भ

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Hurwitz, A. (1891). "Ueber die angenäherte Darstellung der Irrationalzahlen durch rationale Brüche" [On the approximate representation of irrational numbers by rational fractions]. Mathematische Annalen (in Deutsch). 39 (2): 279–284. doi:10.1007/BF01206656. MR 1510702. S2CID 119535189.
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बाहरी कड़ियाँ

Diophantine Approximation: historical survey. From Introduction to Diophantine methods course by Michel Waldschmidt.
"Diophantine approximations", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[Khinchin_1997_p.21-1] 1.0 ^1.1 Khinchin 1997, p. 21

[2] Cassels 1957, p. 2

[Lang9-3] 3.0 ^3.1 Lang 1995, p. 9

[Khinchin24-4] 4.0 ^4.1 Khinchin 1997, p. 24

[5] Cassels 1957, pp. 5–8

[Bug245-6] Bugeaud 2012, p. 245

[7] Hurwitz 1891, p. 279

[8] Perron 1913, Chapter 2, Theorem 15

[9] Hurwitz 1891, p. 284

[10] Hardy & Wright 1979, Chapter 10.11

[11] See Perron 1929, Chapter 2, Theorem 23, p. 63

[12] Hardy & Wright 1979, p. 164

[13] Cassels 1957, p. 11

[14] Hurwitz 1891

[15] Cassels 1957, p. 18

[16] See Michel Waldschmidt: Introduction to Diophantine methods irrationality and transcendence Archived 2012-02-09 at the Wayback Machine, pp 24–26.

[17] Koukoulopoulos, D.; Maynard, J. (2019). "On the Duffin–Schaeffer conjecture". arXiv:1907.04593 [math.NT].

[18] Sloman, Leila (2019). "New Proof Solves 80-Year-Old Irrational Number Problem". Scientific American.

[19] Bernik et al. 2013, p. 24

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 इस ज्ञान ने 1844 में [[ जोसेफ लिउविल ]] को पहली स्पष्ट ट्रान्सेंडैंटल संख्या का उत्पादन करने में सक्षम बनाया। बाद में {{pi}} और [[ ई (गणितीय स्थिरांक) |e (गणितीय स्थिरांक)]] के अनुभवातीत होने के प्रमाण इसी प्रकार की विधि से प्राप्त किए गए थे।
-डायोफैंटाइन सन्निकटन और अनुवांशिक संख्या सिद्धांत बहुत करीबी क्षेत्र हैं जो कई प्रमेयों और विधियों को साझा करते हैं। डायोफैंटाइन सन्निकटनों का भी [[ डायोफैंटाइन समीकरण | डायोफैंटाइन समीकरणों]] के अध्ययन में महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं।
+डायोफैंटाइन सन्निकटन और अनुवांशिक संख्या सिद्धांत बहुत निकटतम क्षेत्र हैं जो कई प्रमेयों और विधियों को साझा करते हैं। डायोफैंटाइन सन्निकटनों का भी [[ डायोफैंटाइन समीकरण | डायोफैंटाइन समीकरणों]] के अध्ययन में महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं।
 [[ फील्ड मेडल ]] [[ जेम्स मेनार्ड (गणितज्ञ) ]] को डायोफैंटाइन सन्निकटन पर उनके कार्य के लिए प्रदान किया गया था।
 == वास्तविक संख्या का सर्वश्रेष्ठ डायोफैंटाइन सन्निकटन ==
-{{main|Continued fraction#Best rational approximations}}
+{{main|निरंतर अंश#सर्वश्रेष्ठ तर्कसंगत सन्निकटन}}
-वास्तविक संख्या दी गई है {{math|''α''}}, डायोफैंटाइन के सर्वश्रेष्ठ सन्निकटन को परिभाषित करने के दो तरीके हैं {{math|''α''}}. पहली परिभाषा के लिए,<ref name="Khinchin 1997 p.21">{{harvnb|Khinchin|1997|p=21}}</ref> तर्कसंगत संख्या {{math|''p''/''q''}} का सबसे अच्छा डायोफैंटाइन सन्निकटन है {{math|''α''}} यदि
+एक वास्तविक संख्या {{math|''α''}} को देखते हुए, {{math|''α''}} के सर्वश्रेष्ठ डायोफैंटाइन सन्निकटन को परिभाषित करने के दो तरीके हैं। पहली परिभाषा के लिए,<ref name="Khinchin 1997 p.21">{{harvnb|Khinchin|1997|p=21}}</ref> परिमेय संख्या{{math|''p''/''q''}} {{math|''α''}} का सबसे अच्छा डायोफैंटाइन सन्निकटन है यदि
 :<math>\left|\alpha -\frac{p}{q}\right | < \left|\alpha -\frac{p'}{q'}\right |,</math>
-प्रत्येक तर्कसंगत संख्या के लिए {{math|''p'''/''q' ''}} से अलग {{math|''p''/''q''}} ऐसा है कि {{math|0 < ''q''&prime;&nbsp;≤&nbsp;''q''}}.
+{{math|''p''/''q''}} से भिन्न प्रत्येक परिमेय संख्या {{math|''p'''/''q' ''}} के लिए जैसे कि {{math|0 < ''q''&prime;&nbsp;≤&nbsp;''q''}}।
 दूसरी परिभाषा के लिए,<ref>{{harvnb|Cassels|1957|p=2}}</ref><ref name=Lang9>{{harvnb|Lang|1995|p=9}}</ref> उपरोक्त असमानता द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है
 :<math>\left|q\alpha -p\right| < \left|q^\prime\alpha - p^\prime\right|.</math>
-दूसरी परिभाषा के लिए सर्वश्रेष्ठ सन्निकटन भी पहले के लिए सर्वश्रेष्ठ सन्निकटन है, लेकिन इसका विलोम सामान्य रूप से सत्य नहीं है।<ref name=Khinchin24>{{harvnb|Khinchin|1997|p=24}}</ref>
+दूसरी परिभाषा के लिए सर्वश्रेष्ठ सन्निकटन भी पहले के लिए एक सर्वश्रेष्ठ सन्निकटन है, किन्तु इसका विलोम सामान्य रूप से सत्य नहीं है।<ref name=Khinchin24>{{harvnb|Khinchin|1997|p=24}}</ref>
-निरंतर अंशों का सिद्धांत हमें वास्तविक संख्या के सर्वश्रेष्ठ अनुमानों की गणना करने की अनुमति देता है: दूसरी परिभाषा के लिए, वे नियमित निरंतर अंश के रूप में इसकी अभिव्यक्ति के [[ अभिसरण (निरंतर अंश) ]] हैं।<ref name=Lang9/><ref name=Khinchin24/><ref>{{harvnb|Cassels|1957|pp=5–8}}</ref> पहली परिभाषा के लिए, निरंतर भिन्न#अर्धअभिसरण पर भी विचार करना होगा।<ref name="Khinchin 1997 p.21"/>
+निरंतर अंशों का सिद्धांत हमें वास्तविक संख्या के सर्वश्रेष्ठ अनुमानों की गणना करने की अनुमति देता है: दूसरी परिभाषा के लिए, वे नियमित निरंतर अंश के रूप में इसकी अभिव्यक्ति के [[ अभिसरण (निरंतर अंश) | अभिसरण (निरंतर अंश)]] हैं।<ref name="Lang9" /><ref name="Khinchin24" /><ref>{{harvnb|Cassels|1957|pp=5–8}}</ref> पहली परिभाषा के लिए, निरंतर भिन्न अर्धअभिसरण पर भी विचार करना होगा।<ref name="Khinchin 1997 p.21" />
 उदाहरण के लिए, स्थिरांक e = 2.718281828459045235... का (नियमित) निरंतर अंश प्रतिनिधित्व है
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-== सन्निकटन की सटीकता का माप ==
+== सन्निकटन की शुद्धता का माप ==
-वास्तविक संख्या के डायोफैंटाइन सन्निकटन की सटीकता का स्पष्ट माप {{math|''α''}} परिमेय संख्या द्वारा {{math|''p''/''q''}} है <math display="inline">\left|\alpha - \frac{p}{q}\right|.</math> हालांकि, के पूर्ण मूल्यों को बढ़ाकर इस मात्रा को हमेशा मनमाने ढंग से छोटा किया जा सकता है {{math|''p''}} और {{math|''q''}}; इस प्रकार सन्निकटन की सटीकता का अनुमान आमतौर पर इस मात्रा को किसी फ़ंक्शन से तुलना करके लगाया जाता है {{math|''φ''}} भाजक का {{math|''q''}}, आमतौर पर इसकी नकारात्मक शक्ति।
+एक परिमेय संख्या {{math|''p''/''q''}} द्वारा वास्तविक संख्या {{math|''α''}} के डायोफैंटाइन सन्निकटन की शुद्धता का स्पष्ट माप <math display="inline">\left|\alpha - \frac{p}{q}\right|</math> है, चूंकि, इस मात्रा को हमेशा {{math|''p''}} और {{math|''q''}} के निरपेक्ष मूल्यों को बढ़ाकर स्वैच्छिक विधि से छोटा किया जा सकता है; इस प्रकार सन्निकटन की शुद्धता का अनुमान सामान्यतः इस मात्रा की तुलना भाजक {{math|''q''}} के कुछ फलन {{math|''φ''}} से की जाती है, सामान्यतः इसकी एक ऋणात्मक धात होती है।
-ऐसी तुलना के लिए, किसी को सटीकता की ऊपरी सीमा या निचली सीमा की आवश्यकता हो सकती है। निचली सीमा को आमतौर पर प्रमेय द्वारा वर्णित किया जाता है जैसे प्रत्येक तत्व के लिए {{math|''α''}} वास्तविक संख्याओं के कुछ सबसेट और प्रत्येक परिमेय संख्या का {{math|''p''/''q''}}, अपने पास <math display="inline">\left|\alpha - \frac{p}{q}\right|>\phi(q)</math> . कुछ मामलों में, प्रत्येक परिमेय संख्या को उनकी परिमित संख्या को छोड़कर सभी परिमेय संख्याओं द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जो गुणा करने के बराबर होती है {{math|''φ''}} कुछ निरंतर के आधार पर {{math|''α''}}.
+ऐसी तुलना के लिए, किसी को शुद्धता की ऊपरी सीमा या निचली सीमा की आवश्यकता हो सकती है। निचली सीमा को सामान्यतः प्रमेय द्वारा वर्णित किया जाता है जैसे प्रत्येक तत्व के लिए {{math|''α''}} वास्तविक संख्याओं के कुछ सबसेट और प्रत्येक परिमेय संख्या का {{math|''p''/''q''}}, अपने पास <math display="inline">\left|\alpha - \frac{p}{q}\right|>\phi(q)</math> है। कुछ स्थितियों में, प्रत्येक परिमेय संख्या को उनकी परिमित संख्या को छोड़कर सभी परिमेय संख्याओं द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जो {{math|''α''}} पर निर्भर करते हुए {{math|''φ''}} को किसी स्थिरांक से गुणा करने के बराबर है।
-ऊपरी सीमा के लिए, किसी को यह ध्यान रखना होगा कि अभिसरण द्वारा प्रदान किए गए सभी सर्वश्रेष्ठ डायोफैंटाइन अनुमानों में वांछित सटीकता नहीं हो सकती है। इसलिए, प्रमेय हर तत्व के लिए रूप लेते हैं {{math|''α''}} वास्तविक संख्याओं के कुछ उपसमुच्चय में अपरिमित रूप से अनेक परिमेय संख्याएँ होती हैं {{math|''p''/''q''}} ऐसा है कि <math display="inline">\left|\alpha - \frac{p}{q}\right|<\phi(q)</math> .
+ऊपरी सीमा के लिए, किसी को यह ध्यान रखना होगा कि अभिसरण द्वारा प्रदान किए गए सभी सर्वश्रेष्ठ डायोफैंटाइन अनुमानों में वांछित शुद्धता नहीं हो सकती है। इसलिए, प्रमेय हर तत्व के लिए रूप लेते हैं {{math|''α''}} वास्तविक संख्याओं के कुछ उपसमुच्चय में अपरिमित रूप से अनेक परिमेय संख्याएँ {{math|''p''/''q''}} होती हैं {{math|''p''/''q''}} जैसे कि <math display="inline">\left|\alpha - \frac{p}{q}\right|<\phi(q)</math> .
 === बुरी तरह अनुमानित संख्या ===
-बुरी तरह अनुमानित संख्या ''x'' है जिसके लिए सकारात्मक स्थिरांक ''c'' है जैसे कि सभी तर्कसंगत ''p''/''q'' के लिए हमारे पास है
+'''बुरी तरह अनुमानित संख्या''' ''x'' है जिसके लिए धनात्मक स्थिरांक ''c'' है जैसे कि सभी तर्कसंगत ''p''/''q'' के लिए हमारे पास है
 :<math>\left|{ x - \frac{p}{q} }\right| > \frac{c}{q^2} \ . </math>
 बुरी तरह अनुमानित संख्याएं ठीक वही हैं जो [[ प्रतिबंधित आंशिक भागफल ]] के साथ हैं।<ref name=Bug245>{{harvnb|Bugeaud|2012|p=245}}</ref>
-समतुल्य रूप से, संख्या बुरी तरह से सन्निकट है यदि और केवल यदि उसका [[ मार्कोव स्थिरांक ]] परिबद्ध है।
+समतुल्य रूप से, संख्या बुरी तरह से सन्निकट है यदि और केवल यदि उसका [[ मार्कोव स्थिरांक | मार्कोव स्थिरांक]] परिबद्ध है।
 == डायोफैंटाइन सन्निकटन के लिए निचली सीमा ==
 === अन्य परिमेय द्वारा परिमेय का सन्निकटन ===
-तर्कसंगत संख्या <math display="inline">\alpha =\frac{a}{b}</math> द्वारा स्पष्ट रूप से और पूरी तरह से अनुमानित किया जा सकता है <math display="inline">\frac{p_i}{q_i} = \frac{i\,a}{i \,b}</math> प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक के लिए i.
+तर्कसंगत संख्या <math display="inline">\alpha =\frac{a}{b}</math> द्वारा स्पष्ट रूप से और पूरी तरह से अनुमानित <math display="inline">\frac{p_i}{q_i} = \frac{i\,a}{i \,b}</math> किया जा सकता है प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक i के लिए.
 यदि <math display="inline">\frac{p}{q} \not= \alpha = \frac{a}{b}\,,</math> अपने पास
 :<math>\left|\frac{a}{b} - \frac{p}{q}\right| = \left|\frac{aq - bp}{bq}\right| \ge \frac{1}{bq},</math>
-क्योंकि <math>|aq - bp|</math> सकारात्मक पूर्णांक है और इस प्रकार 1 से कम नहीं है। इस प्रकार सन्निकटन की सटीकता अपरिमेय संख्याओं के सापेक्ष खराब है (अगले खंड देखें)।
+क्योंकि <math>|aq - bp|</math> धनात्मक पूर्णांक है और इस प्रकार 1 से कम नहीं है। इस प्रकार सन्निकटन की शुद्धता अपरिमेय संख्याओं के सापेक्ष खराब है (अगले खंड देखें)।
-यह टिप्पणी की जा सकती है कि पूर्ववर्ती सबूत कबूतर सिद्धांत के प्रकार का उपयोग करता है: गैर-नकारात्मक पूर्णांक जो 0 नहीं है, वह 1 से छोटा नहीं है। यह स्पष्ट रूप से तुच्छ टिप्पणी डायोफैंटाइन सन्निकटन के लिए निचली सीमा के लगभग हर प्रमाण में उपयोग की जाती है, यहां तक कि सबसे परिष्कृत।
+यह टिप्पणी की जा सकती है कि पूर्ववर्ती प्रमाण कबूतर सिद्धांत के प्रकार का उपयोग करता है: गैर-ऋणात्मक पूर्णांक जो 0 नहीं है, वह 1 से छोटा नहीं है। यह स्पष्ट रूप से तुच्छ टिप्पणी डायोफैंटाइन सन्निकटन के लिए निचली सीमा के लगभग हर प्रमाण में उपयोग की जाती है, यहां तक कि सबसे परिष्कृत वाले भी होते है।
-संक्षेप में, परिमेय संख्या अपने आप में पूरी तरह से अनुमानित है, लेकिन किसी अन्य परिमेय संख्या द्वारा बुरी तरह अनुमानित है।
+संक्षेप में, परिमेय संख्या अपने आप में पूरी तरह से अनुमानित है, किन्तु किसी अन्य परिमेय संख्या द्वारा बुरी तरह अनुमानित है।
 === बीजगणितीय संख्याओं का सन्निकटन, लिउविल का परिणाम ===
-{{main|Liouville number}}
+{{main|लिउविल संख्या}}
-के दशक में, जोसेफ लिउविल ने बीजगणितीय संख्याओं के सन्निकटन के लिए पहली निचली सीमा प्राप्त की: यदि x परिमेय संख्याओं पर घात n की अपरिमेय बीजगणितीय संख्या है, तो स्थिरांक मौजूद होता है {{nowrap|''c''(''x'') > 0}} ऐसा है कि
+के दशक में, जोसेफ लिउविल ने बीजगणितीय संख्याओं के सन्निकटन के लिए पहली निचली सीमा प्राप्त की: यदि x परिमेय संख्याओं पर घात n की अपरिमेय बीजगणितीय संख्या है, तो स्थिरांक उपस्थित होता है {{nowrap|''c''(''x'') > 0}} जैसे कि
 :<math> \left| x- \frac{p}{q} \right| > \frac{c(x)}{q^n}</math>
@@ Line 74: / Line 78: @@
 \sum_{j=1}^\infty 10^{-j!} = 0.110001000000000000000001000\ldots\,,
 </math>
-जो Liouville के प्रमेय को संतुष्ट नहीं करता है, जो भी डिग्री n चुना गया है।
+जो लिउविल के प्रमेय को संतुष्ट नहीं करता है, जो भी डिग्री n चुना गया है।
-डायोफैंटाइन सन्निकटन और अनुवांशिक संख्या सिद्धांत के बीच यह लिंक आज भी जारी है। कई सबूत तकनीकों को दो क्षेत्रों के बीच साझा किया जाता है।
+डायोफैंटाइन सन्निकटन और अनुवांशिक संख्या सिद्धांत के बीच यह लिंक आज भी जारी है। कई प्रमाण विधियों को दो क्षेत्रों के बीच साझा किया जाता है।
 === बीजगणितीय संख्याओं का सन्निकटन, थू-सीगल-रोथ प्रमेय ===
-{{main|Thue–Siegel–Roth theorem}}
+{{main|थू-सीगल-रोथ प्रमेय}}
-सदी से भी अधिक समय में, लिउविल के प्रमेय को उत्तम बनाने के लिए कई प्रयास किए गए: बाउंड का हर सुधार हमें यह साबित करने में सक्षम बनाता है कि अधिक संख्याएं ट्रान्सेंडैंटल हैं। मुख्य सुधार के कारण हैं {{harvs|first=Axel|last=Thue|authorlink=Axel Thue|year=1909|txt}}, {{harvs|frst=Carl Ludwig|last=Siegel|authorlink=Carl Ludwig Siegel|year=1921|txt}}, {{harvs|first=Freeman|last=Dyson|authorlink=Freeman Dyson|year=1947|txt}}, और {{harvs|first=Klaus|last=Roth|authorlink=Klaus Roth|year=1955|txt}}, अंत में थू-सीगल-रोथ प्रमेय के लिए अग्रणी: यदि {{math|''x''}} तर्कहीन बीजगणितीय संख्या है और {{math|''ε''}} a (छोटा) सकारात्मक वास्तविक संख्या, तो सकारात्मक स्थिरांक मौजूद है {{math|''c''(''x'', ''ε'')}} ऐसा है कि
+शताब्दी से भी अधिक समय में, लिउविल के प्रमेय को उत्तम बनाने के लिए कई प्रयास किए गए: बाउंड का हर सुधार हमें यह साबित करने में सक्षम बनाता है कि अधिक संख्याएं ट्रान्सेंडैंटल हैं। मुख्य सुधार {{harvs|first=एक्सल|last=थ्यू|authorlink=एक्सल थ्यू|year=1909|txt}}, {{harvs|frst=Carl Ludwig|last=सीगल|authorlink=Carl Ludwig Siegel|year=1921|txt}}, {{harvs|first=फ्रीमैन|last=डायसन|authorlink=फ्रीमैन डायसन|year=1947|txt}}, और {{harvs|first=क्लॉस|last=रोथ|authorlink=क्लॉस रोथ|year=1955|txt}} के कारण हैं, जो अंत में थू-सीगल-रोथ प्रमेय के लिए अग्रणी है: यदि {{math|''x''}} तर्कहीन बीजगणितीय संख्या है और {{math|''ε''}} a (छोटा) धनात्मक वास्तविक संख्या, तो वहाँ एक धनात्मक स्थिरांक {{math|''c''(''x'', ''ε'')}} उपस्थित है जैसे कि
 :<math>
      \left| x- \frac{p}{q} \right|>\frac{c(x, \varepsilon)}{q^{2+\varepsilon}}
 </math>
-प्रत्येक पूर्णांक के लिए धारण करता है {{math|''p''}} और {{math|''q''}} ऐसा है कि {{math|''q'' > 0}}.
+प्रत्येक पूर्णांक {{math|''p''}} और {{math|''q''}} के लिए धारण करता है जैसे कि {{math|''q'' > 0}}.
 कुछ अर्थों में, यह परिणाम इष्टतम है, क्योंकि प्रमेय ε = 0 के साथ गलत होगा। यह नीचे वर्णित ऊपरी सीमा का तत्काल परिणाम है।
 === बीजगणितीय संख्याओं का युगपत सन्निकटन ===
-{{main|Subspace theorem}}
+{{main|सबस्पेस प्रमेय}}
-इसके बाद, वोल्फगैंग एम. श्मिट ने साथ सन्निकटन के मामले में इसे सामान्यीकृत किया, यह साबित करते हुए कि: यदि {{math|''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>}} बीजगणितीय संख्याएँ हैं जैसे कि {{math|1, ''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>}} परिमेय संख्याओं पर [[ रैखिक स्वतंत्रता ]] हैं और {{math|''ε''}} कोई भी दी हुई धनात्मक वास्तविक संख्या है, तो केवल परिमित संख्या में अनेक परिमेय संख्याएँ होती हैं {{math|''n''}}-टुपल्स {{math|(''p''<sub>1</sub>/''q'', ..., ''p''<sub>''n''</sub>/''q'')}} ऐसा है कि
+इसके बाद, वोल्फगैंग एम. श्मिट ने साथ सन्निकटन के मामले में इसे सामान्यीकृत किया, यह साबित करते हुए कि: यदि {{math|''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>}} बीजगणितीय संख्याएँ हैं जैसे कि {{math|1, ''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>}} परिमेय संख्याओं पर [[ रैखिक स्वतंत्रता ]] हैं और {{math|''ε''}} कोई भी दी हुई धनात्मक वास्तविक संख्या है, तो केवल परिमित संख्या में अनेक परिमेय {{math|''n''}}-टुपल्स {{math|(''p''<sub>1</sub>/''q'', ..., ''p''<sub>''n''</sub>/''q'')}} संख्याएँ होती हैं जैसे कि
 :<math>\left|x_i - \frac{p_i}{q}\right| < q^{-(1 + 1/n + \varepsilon)},\quad i = 1, \ldots, n.</math>
-फिर से, यह परिणाम इस मायने में इष्टतम है कि कोई हटा नहीं सकता {{math|''ε''}} प्रतिपादक से।
+फिर से यह परिणाम इस अर्थ में इष्टतम है कि कोई घातांक से {{math|''ε''}} नहीं हटा सकता है।
 === प्रभावी सीमा ===
-सभी पिछली निचली सीमाएँ [[ संख्या सिद्धांत में प्रभावी परिणाम ]] नहीं हैं, इस अर्थ में कि प्रमाण कथनों में निहित स्थिरांक की गणना करने का कोई तरीका प्रदान नहीं करते हैं। इसका मतलब यह है कि संबंधित डायोफैंटाइन समीकरणों के समाधान के आकार पर सीमा प्राप्त करने के लिए परिणाम या उनके प्रमाण का उपयोग नहीं किया जा सकता है। हालांकि, इन तकनीकों और परिणामों का उपयोग अक्सर ऐसे समीकरणों के समाधानों की संख्या को सीमित करने के लिए किया जा सकता है।
+सभी पिछली निचली सीमाएँ [[ संख्या सिद्धांत में प्रभावी परिणाम ]] नहीं हैं, इस अर्थ में कि प्रमाण कथनों में निहित स्थिरांक की गणना करने का कोई तरीका प्रदान नहीं करते हैं। इसका मतलब यह है कि संबंधित डायोफैंटाइन समीकरणों के समाधान के आकार पर सीमा प्राप्त करने के लिए परिणाम या उनके प्रमाण का उपयोग नहीं किया जा सकता है। चूंकि, इन विधियों और परिणामों का उपयोग अक्सर ऐसे समीकरणों के समाधानों की संख्या को सीमित करने के लिए किया जा सकता है।
-फिर भी, फेल्डमैन द्वारा बेकर के प्रमेय का परिशोधन प्रभावी सीमा प्रदान करता है: यदि x परिमेय संख्याओं पर डिग्री n की बीजगणितीय संख्या है, तो प्रभावी रूप से संगणनीय स्थिरांक c(x) > 0 और 0 < d(x) < n ऐसे मौजूद हैं वह
+फिर भी, फेल्डमैन द्वारा बेकर के प्रमेय का परिशोधन प्रभावी सीमा प्रदान करता है: यदि x परिमेय संख्याओं पर डिग्री n की बीजगणितीय संख्या है, तो प्रभावी रूप से संगणनीय स्थिरांक c(x) > 0 और 0 < d(x) < n ऐसे उपस्थित हैं वह
 :<math>\left| x- \frac{p}{q} \right|>\frac{c(x)}{|q|^{d(x)}} </math>
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 === सामान्य ऊपरी सीमा ===
 {{main | Hurwitz's theorem (number theory)}}
-डायोफैंटाइन सन्निकटन के लिए ऊपरी सीमा के बारे में पहला महत्वपूर्ण परिणाम डिरिचलेट का सन्निकटन प्रमेय है, जिसका अर्थ है कि, प्रत्येक अपरिमेय संख्या के लिए {{math|''α''}}, अपरिमित रूप से अनेक भिन्न हैं <math>\tfrac{p}{q}\;</math> ऐसा है कि
+डायोफैंटाइन सन्निकटन के लिए ऊपरी सीमा के बारे में पहला महत्वपूर्ण परिणाम डिरिचलेट का सन्निकटन प्रमेय है, जिसका अर्थ है कि, प्रत्येक अपरिमेय संख्या के लिए {{math|''α''}}, अपरिमित रूप से अनेक भिन्न हैं <math>\tfrac{p}{q}\;</math> जैसे कि
 : <math>\left|\alpha-\frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^2}\,.</math>
 इसका तात्पर्य यह है कि कोई दमन नहीं कर सकता {{math|''ε''}} थू-सीगल-रोथ प्रमेय के कथन में।
-[[ एडॉल्फ हर्विट्ज़ ]] (1891)<ref>{{harvnb|Hurwitz|1891|p=279}}</ref> इस परिणाम को मजबूत किया, यह साबित करते हुए कि प्रत्येक अपरिमेय संख्या के लिए {{math|''α''}}, अपरिमित रूप से अनेक भिन्न हैं <math>\tfrac{p}{q}\;</math> ऐसा है कि
+[[ एडॉल्फ हर्विट्ज़ ]] (1891)<ref>{{harvnb|Hurwitz|1891|p=279}}</ref> इस परिणाम को मजबूत किया, यह साबित करते हुए कि प्रत्येक अपरिमेय संख्या के लिए {{math|''α''}}, अपरिमित रूप से अनेक भिन्न हैं <math>\tfrac{p}{q}\;</math> जैसे कि
 : <math>\left|\alpha-\frac{p}{q}\right| < \frac{1}{\sqrt{5}q^2}\,.</math>
 इसलिए, <math>\frac{1}{\sqrt{5}\, q^2}</math> किसी भी अपरिमेय संख्या के डायोफैंटाइन सन्निकटन के लिए ऊपरी सीमा है।
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 === समतुल्य वास्तविक संख्या ===
-परिभाषा: दो वास्तविक संख्याएँ <math>x,y</math> समतुल्य कहलाते हैं<ref>{{harvnb|Hurwitz|1891|p=284}}</ref><ref>{{harvnb|Hardy|Wright|1979|loc=Chapter 10.11}}</ref> यदि पूर्णांक हैं <math>a,b,c,d\;</math> साथ <math>ad-bc = \pm 1\;</math> ऐसा है कि:
+परिभाषा: दो वास्तविक संख्याएँ <math>x,y</math> समतुल्य कहलाते हैं<ref>{{harvnb|Hurwitz|1891|p=284}}</ref><ref>{{harvnb|Hardy|Wright|1979|loc=Chapter 10.11}}</ref> यदि पूर्णांक हैं <math>a,b,c,d\;</math> साथ <math>ad-bc = \pm 1\;</math> जैसे कि:
 :<math>y = \frac{ax+b}{cx+d}\, .</math>
 तो समतुल्यता को वास्तविक संख्याओं पर पूर्णांक मोबियस परिवर्तन या [[ मॉड्यूलर समूह ]] के सदस्य द्वारा परिभाषित किया गया है <math>\text{SL}_2^{\pm}(\Z)</math>, पूर्णांकों पर व्युत्क्रमणीय 2 × 2 आव्यूहों का समुच्चय। प्रत्येक परिमेय संख्या 0 के बराबर है; इस प्रकार परिमेय संख्याएँ इस संबंध के लिए [[ तुल्यता वर्ग ]] हैं।
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 तुल्यता को नियमित रूप से निरंतर अंश प्रतिनिधित्व पर पढ़ा जा सकता है, जैसा कि [[ जोसेफ अल्फ्रेड सेरेट ]] के निम्नलिखित प्रमेय द्वारा दिखाया गया है:
-प्रमेय: दो अपरिमेय संख्याएँ ''x'' और ''y'' समतुल्य हैं यदि और केवल यदि दो धनात्मक पूर्णांक ''h'' और ''k'' मौजूद हैं, जैसे कि ''x'' का नियमित निरंतर अंश निरूपण ' और 'वाई'
+प्रमेय: दो अपरिमेय संख्याएँ ''x'' और ''y'' समतुल्य हैं यदि और केवल यदि दो धनात्मक पूर्णांक ''h'' और ''k'' उपस्थित हैं, जैसे कि ''x'' का नियमित निरंतर अंश निरूपण ' और 'वाई'
 :<math>\begin{align}
    x &= [u_0; u_1, u_2, \ldots]\, , \\
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 जैसा कि ऊपर कहा गया है, बोरेल के प्रमेय में स्थिरांक में सुधार नहीं हो सकता है, जैसा कि 1891 में एडॉल्फ हर्विट्ज द्वारा दिखाया गया था।<ref>{{harvnb|Hardy|Wright|1979|p=164}}</ref>
 होने देना <math>\phi = \tfrac{1+\sqrt{5}}{2}</math> [[ सुनहरा अनुपात ]] हो।
-फिर किसी भी वास्तविक स्थिरांक c के साथ <math>c > \sqrt{5}\;</math> परिमेय संख्याओं की केवल परिमित संख्या होती है {{math|''p''/''q''}} ऐसा है कि
+फिर किसी भी वास्तविक स्थिरांक c के साथ <math>c > \sqrt{5}\;</math> परिमेय संख्याओं की केवल परिमित संख्या होती है {{math|''p''/''q''}} जैसे कि
 :<math>\left|\phi-\frac{p}{q}\right| < \frac{1}{c\, q^2}.</math>
 इसलिए सुधार केवल तभी प्राप्त किया जा सकता है, यदि संख्याएँ जो इसके समतुल्य हों <math>\phi</math> निष्कासित हैं। ज्यादा ठीक:<ref>{{harvnb|Cassels|1957|p=11}}</ref><ref>{{harvnb|Hurwitz|1891}}</ref>
-प्रत्येक अपरिमेय संख्या के लिए <math>\alpha</math>है, जो इसके समकक्ष नहीं है <math>\phi</math>, अनंत अनेक भिन्न हैं <math>\tfrac{p}{q}\;</math> ऐसा है कि
+प्रत्येक अपरिमेय संख्या के लिए <math>\alpha</math>है, जो इसके समकक्ष नहीं है <math>\phi</math>, अनंत अनेक भिन्न हैं <math>\tfrac{p}{q}\;</math> जैसे कि
 : <math>\left|\alpha-\frac{p}{q}\right| < \frac{1}{\sqrt{8} q^2}.</math>
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 == मीट्रिक डायोफैंटाइन सन्निकटन और विस्तार पर खिनचिन की प्रमेय == <!-- [[Khinchin's theorem on Diophantine approximations]] links here -->
-होने देना <math>\psi</math> सकारात्मक पूर्णांकों (यानी, सकारात्मक अनुक्रम) पर सकारात्मक वास्तविक-मूल्यवान कार्य हो जैसे कि <math>q \psi(q)</math> नहीं बढ़ रहा है। वास्तविक संख्या x (आवश्यक रूप से बीजगणितीय नहीं) कहलाती है <math>\psi</math>-अनुमानित यदि वहाँ असीम रूप से कई परिमेय संख्याएँ p/q मौजूद हैं जैसे कि
+होने देना <math>\psi</math> धनात्मक पूर्णांकों (यानी, धनात्मक अनुक्रम) पर धनात्मक वास्तविक-मूल्यवान कार्य हो जैसे कि <math>q \psi(q)</math> नहीं बढ़ रहा है। वास्तविक संख्या x (आवश्यक रूप से बीजगणितीय नहीं) कहलाती है <math>\psi</math>-अनुमानित यदि वहाँ असीम रूप से कई परिमेय संख्याएँ p/q उपस्थित हैं जैसे कि
 :<math>\left| x- \frac{p}{q} \right| < \frac{\psi(q)}{|q|}.</math>
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 == हालिया घटनाक्रम ==
-क्योटो (1990) में [[ अंतर्राष्ट्रीय गणितीय कांग्रेस ]] में अपने पूर्ण संबोधन में, [[ ग्रिगोरी मार्गुलिस ]] ने [[ एर्गोडिक सिद्धांत ]] में निहित व्यापक कार्यक्रम की रूपरेखा तैयार की, जो सेमीसिम्पल लाइ समूहों के उपसमूहों के कार्यों के गतिशील और एर्गोडिक गुणों का उपयोग करके संख्या-सिद्धांत संबंधी परिणामों को साबित करने की अनुमति देता है। डी. क्लेनबॉक, जी. मार्गुलिस और उनके सहयोगियों के काम ने डायोफैंटाइन सन्निकटन में शास्त्रीय समस्याओं के लिए इस उपन्यास दृष्टिकोण की शक्ति का प्रदर्शन किया। इसकी उल्लेखनीय सफलताओं में मार्गुलिस द्वारा दशकों पुराने [[ ओपेनहेम अनुमान ]] का प्रमाण है, दानी और मार्गुलिस और एस्किन-मार्गुलिस-मोज़ेस द्वारा बाद के विस्तार के साथ, और क्लेनबॉक और मार्गुलिस द्वारा मैनिफोल्ड्स पर डायोफैंटाइन सन्निकटन में बेकर और स्प्रिंदज़ुक अनुमानों का प्रमाण। मीट्रिक डायोफैंटाइन सन्निकटन में अलेक्जेंडर खिनचिन के उपरोक्त परिणामों के विभिन्न सामान्यीकरण भी इस ढांचे के भीतर प्राप्त किए गए हैं।
+क्योटो (1990) में [[ अंतर्राष्ट्रीय गणितीय कांग्रेस ]] में अपने पूर्ण संबोधन में, [[ ग्रिगोरी मार्गुलिस ]] ने [[ एर्गोडिक सिद्धांत ]] में निहित व्यापक कार्यक्रम की रूपरेखा तैयार की, जो सेमीसिम्पल लाइ समूहों के उपसमूहों के कार्यों के गतिशील और एर्गोडिक गुणों का उपयोग करके संख्या-सिद्धांत संबंधी परिणामों को साबित करने की अनुमति देता है। डी. क्लेनबॉक, जी. मार्गुलिस और उनके सहयोगियों के काम ने डायोफैंटाइन सन्निकटन में शास्त्रीय समस्याओं के लिए इस उपन्यास दृष्टिकोण की धात का प्रदर्शन किया। इसकी उल्लेखनीय सफलताओं में मार्गुलिस द्वारा दशकों पुराने [[ ओपेनहेम अनुमान ]] का प्रमाण है, दानी और मार्गुलिस और एस्किन-मार्गुलिस-मोज़ेस द्वारा बाद के विस्तार के साथ, और क्लेनबॉक और मार्गुलिस द्वारा मैनिफोल्ड्स पर डायोफैंटाइन सन्निकटन में बेकर और स्प्रिंदज़ुक अनुमानों का प्रमाण। मीट्रिक डायोफैंटाइन सन्निकटन में अलेक्जेंडर खिनचिन के उपरोक्त परिणामों के विभिन्न सामान्यीकरण भी इस ढांचे के भीतर प्राप्त किए गए हैं।
 == यह भी देखें ==

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डायोफैंटाइन सन्निकटन: Difference between revisions

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वास्तविक संख्या का सर्वश्रेष्ठ डायोफैंटाइन सन्निकटन