सरकना प्रतिबिंब: Difference between revisions
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[[File:Krok_6.png|300px|thumb|चूँकि इस पदचिह्न निशान में ग्लाइड परावर्तन समरूपता है, ग्लाइड प्रतिबिंब के संचालन को लागू करने से प्रत्येक बाएँ पदचिह्न को दाएँ पदचिह्न में और प्रत्येक दाएँ पदचिह्न को बाएँ पदचिह्न में मैप किया जाएगा, जिससे अंतिम विन्यास हो जाएगा जो मूल से अप्रभेद्य है।]]2-आयामी [[ज्यामिति]] में, ग्लाइड प्रतिबिंब (या परिवर्तन) [[समरूपता ऑपरेशन|समरूपता संचालन]] होता है जिसमें रेखा पर [[प्रतिबिंब (गणित)]] होता है और फिर उस रेखा के साथ [[अनुवाद (ज्यामिति)]] होता है, जो एक ही संचालन में संयुक्त होता है। प्रतिबिंब और अनुवाद के बीच का मध्यवर्ती चरण प्रारंभिक विन्यास से भिन्न दिख सकता है, इसलिए सरकना समरूपता वाली वस्तुएं सामान्य रूप से होती हैं, अकेले प्रतिबिंब के अनुसार सममित नहीं होती हैं। [[समूह सिद्धांत]] में, '[[ सरकना विमान ]]' को [[ यूक्लिडियन विमान ]] के विपरीत आइसोमेट्री के प्रकार के रूप में वर्गीकृत किया गया है। | [[File:Krok_6.png|300px|thumb|चूँकि इस पदचिह्न निशान में ग्लाइड परावर्तन समरूपता है, ग्लाइड प्रतिबिंब के संचालन को लागू करने से प्रत्येक बाएँ पदचिह्न को दाएँ पदचिह्न में और प्रत्येक दाएँ पदचिह्न को बाएँ पदचिह्न में मैप किया जाएगा, जिससे अंतिम विन्यास हो जाएगा जो मूल से अप्रभेद्य है।]]2-आयामी [[ज्यामिति]] में, ग्लाइड प्रतिबिंब (या परिवर्तन) [[समरूपता ऑपरेशन|समरूपता संचालन]] होता है जिसमें रेखा पर [[प्रतिबिंब (गणित)]] होता है और फिर उस रेखा के साथ [[अनुवाद (ज्यामिति)]] होता है, जो एक ही संचालन में संयुक्त होता है। प्रतिबिंब और अनुवाद के बीच का मध्यवर्ती चरण प्रारंभिक विन्यास से भिन्न दिख सकता है, इसलिए सरकना समरूपता वाली वस्तुएं सामान्य रूप से होती हैं, अकेले प्रतिबिंब के अनुसार सममित नहीं होती हैं। [[समूह सिद्धांत]] में, '[[ सरकना विमान ]]' को [[ यूक्लिडियन विमान |यूक्लिडियन विमान]] के विपरीत आइसोमेट्री के प्रकार के रूप में वर्गीकृत किया गया है। | ||
एकल सरकना चित्रवल्लरी समूह p11g के रूप में दर्शाया गया है। ग्लाइड प्रतिबिंब को सीमित [[rotoreflection|रोटरफ्लेक्शन]] के रूप में देखा जा सकता है, जहां रोटेशन अनुवाद बन जाता है। इसे S<sub>2∞</sub> के रूप में स्कोएनफ्लाइज़ संकेतन, [[कॉक्सेटर नोटेशन]] [∞<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>], और [[ऑर्बिफोल्ड नोटेशन]] ∞× के रूप में भी दिया जा सकता है। | एकल सरकना चित्रवल्लरी समूह p11g के रूप में दर्शाया गया है। ग्लाइड प्रतिबिंब को सीमित [[rotoreflection|रोटरफ्लेक्शन]] के रूप में देखा जा सकता है, जहां रोटेशन अनुवाद बन जाता है। इसे S<sub>2∞</sub> के रूप में स्कोएनफ्लाइज़ संकेतन, [[कॉक्सेटर नोटेशन]] [∞<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>], और [[ऑर्बिफोल्ड नोटेशन]] ∞× के रूप में भी दिया जा सकता है। | ||
== विवरण == | == विवरण == | ||
एक रेखा में प्रतिबिंब का संयोजन और लंबवत दिशा में अनुवाद समानांतर रेखा में प्रतिबिंब है। चूँकि, ग्लाइड प्रतिबिंब को इस तरह कम नहीं किया जा सकता है। इस प्रकार किसी भी अनुवाद के साथ संयुक्त प्रतिबिंब का प्रभाव सरकना प्रतिबिंब है, विशेष स्थिति के रूप में सिर्फ एक प्रतिबिंब। ये दो प्रकार के अप्रत्यक्ष यूक्लिडियन | एक रेखा में प्रतिबिंब का संयोजन और लंबवत दिशा में अनुवाद समानांतर रेखा में प्रतिबिंब है। चूँकि, ग्लाइड प्रतिबिंब को इस तरह कम नहीं किया जा सकता है। इस प्रकार किसी भी अनुवाद के साथ संयुक्त प्रतिबिंब का प्रभाव सरकना प्रतिबिंब है, विशेष स्थिति के रूप में सिर्फ एक प्रतिबिंब। ये दो प्रकार के अप्रत्यक्ष यूक्लिडियन या तीन आयामों तक आइसोमेट्री का अवलोकन समूह हैं। | ||
उदाहरण के लिए, आइसोमेट्री है जिसमें | उदाहरण के लिए, आइसोमेट्री है जिसमें x-अक्ष पर प्रतिबिंब होता है, इसके बाद यूनिट समानांतर का अनुवाद होता है। निर्देशांक में, यह लेता है | ||
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यह आइसोमेट्री | यह आइसोमेट्री x-अक्ष को खुद से मैप करती है; कोई अन्य रेखा जो x-अक्ष के समानांतर है, x-अक्ष में परिलक्षित होती है, इसलिए समानांतर रेखाओं की यह प्रणाली अपरिवर्तनीय है। | ||
केवल ग्लाइड प्रतिबिंब द्वारा उत्पन्न [[आइसोमेट्री समूह]] अनंत [[चक्रीय समूह]] है।<ref>{{cite book| title = Transformation Geometry: An Introduction to Symmetry|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]|first=George E.|last=Martin |publisher=Springer|year=1982| isbn = 9780387906362| page=64 | url = https://books.google.com/books?id=KW4EwONsQJgC&pg=PA64}}.</ref> | केवल ग्लाइड प्रतिबिंब द्वारा उत्पन्न [[आइसोमेट्री समूह]] अनंत [[चक्रीय समूह]] है।<ref>{{cite book| title = Transformation Geometry: An Introduction to Symmetry|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]|first=George E.|last=Martin |publisher=Springer|year=1982| isbn = 9780387906362| page=64 | url = https://books.google.com/books?id=KW4EwONsQJgC&pg=PA64}}.</ref> | ||
दो समान ग्लाइड प्रतिबिंबों का संयोजन अनुवाद वेक्टर के साथ शुद्ध अनुवाद देता है जो ग्लाइड प्रतिबिंब के दो बार होता है, इसलिए ग्लाइड प्रतिबिंब की भी शक्तियां अनुवाद समूह बनाती हैं। | दो समान ग्लाइड प्रतिबिंबों का संयोजन अनुवाद वेक्टर के साथ शुद्ध अनुवाद देता है जो ग्लाइड प्रतिबिंब के दो बार होता है, इसलिए ग्लाइड प्रतिबिंब की भी शक्तियां अनुवाद समूह बनाती हैं। | ||
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एक ही अनुवाद के साथ दो समांतर रेखाओं के संबंध में ग्लाइड प्रतिबिंब समरूपता का तात्पर्य है कि इन पंक्तियों के लंबवत दिशा में अनुवादिक समरूपता भी है, अनुवाद दूरी के साथ जो ग्लाइड प्रतिबिंब लाइनों के बीच की दूरी से दोगुनी है। यह [[वॉलपेपर समूह]] पीजी से मेल खाता है; अतिरिक्त समरूपता के साथ यह pmg, pgg और p4g में भी होता है। | एक ही अनुवाद के साथ दो समांतर रेखाओं के संबंध में ग्लाइड प्रतिबिंब समरूपता का तात्पर्य है कि इन पंक्तियों के लंबवत दिशा में अनुवादिक समरूपता भी है, अनुवाद दूरी के साथ जो ग्लाइड प्रतिबिंब लाइनों के बीच की दूरी से दोगुनी है। यह [[वॉलपेपर समूह]] पीजी से मेल खाता है; अतिरिक्त समरूपता के साथ यह pmg, pgg और p4g में भी होता है। | ||
यदि एक ही दिशा में वास्तविक परावर्तन रेखाएँ भी हैं तो वे ग्लाइड परावर्तन रेखाओं के बीच समान दूरी पर होती हैं। वास्तविक परावर्तन रेखा के समानांतर सरकती हुई परावर्तन रेखा पहले से ही इस स्थिति का संकेत देती है। यह वॉलपेपर समूह सेमी से मेल खाता है। [[अनुवादकीय समरूपता]] तिरछे ट्रांसलेशन वैक्टर द्वारा बिंदु से वास्तविक प्रतिबिंब रेखा पर अगले दो बिंदुओं पर दी जाती है, विकर्ण के रूप में वास्तविक प्रतिबिंब रेखा के साथ [[ विषमकोण ]] का समर्थन करती है। अतिरिक्त समरूपता के साथ यह cmm, p3m1, p31m, p4m और p6m में भी होता है। | यदि एक ही दिशा में वास्तविक परावर्तन रेखाएँ भी हैं तो वे ग्लाइड परावर्तन रेखाओं के बीच समान दूरी पर होती हैं। वास्तविक परावर्तन रेखा के समानांतर सरकती हुई परावर्तन रेखा पहले से ही इस स्थिति का संकेत देती है। यह वॉलपेपर समूह सेमी से मेल खाता है। [[अनुवादकीय समरूपता]] तिरछे ट्रांसलेशन वैक्टर द्वारा बिंदु से वास्तविक प्रतिबिंब रेखा पर अगले दो बिंदुओं पर दी जाती है, विकर्ण के रूप में वास्तविक प्रतिबिंब रेखा के साथ [[ विषमकोण |विषमकोण]] का समर्थन करती है। अतिरिक्त समरूपता के साथ यह cmm, p3m1, p31m, p4m और p6m में भी होता है। | ||
3डी में ग्लाइड प्रतिबिंब को ग्लाइड प्लेन कहा जाता है। यह विमान के समानांतर अनुवाद के साथ संयुक्त विमान में प्रतिबिंब है। | 3डी में ग्लाइड प्रतिबिंब को ग्लाइड प्लेन कहा जाता है। यह विमान के समानांतर अनुवाद के साथ संयुक्त विमान में प्रतिबिंब है। | ||
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== प्रकृति और खेलों में ग्लाइड प्रतिबिंब == | == प्रकृति और खेलों में ग्लाइड प्रतिबिंब == | ||
[[एडियाकारा बायोटा]] के कुछ जीवाश्मों के बीच ग्लाइड समरूपता प्रकृति में देखी जा सकती है; [[ माचेरिडिया (एनल्स) ]]; और कुछ [[ पैलेओस्कोलेसिड ]] कीड़े।<ref>{{Cite journal | last1 = Waggoner | first1 = B. M.| title = प्रीकैम्ब्रियन और कैम्ब्रियन समस्याग्रस्त जीवाश्म टैक्सा के लिए आर्थ्रोपोड्स के संबंधों की वंशावली परिकल्पना| jstor = 2413615| journal = Systematic Biology| volume = 45| issue = 2| pages = 190–222| year = 1996| doi = 10.2307/2413615| doi-access = free}}</ref> इसे [[ कलम हो | सी पेन]] के कई उपस्थित समूहों में भी देखा जा सकता है।<ref>{{cite web|last1=Zubi|first1=Teresa|title=Octocorals (Stoloniferans, soft corals, sea fans, gorgonians, sea pens) - Starfish Photos - Achtstrahlige Korallen (Röhrenkorallen, Weichkorallen, Hornkoralllen, Seefedern, Fächerkorallen)|url=http://www.starfish.ch/c-invertebrates/octocorallia.html#Pennatulacea|website=starfish.ch|access-date=2016-09-08|date=2016-01-02}}</ref> | [[एडियाकारा बायोटा]] के कुछ जीवाश्मों के बीच ग्लाइड समरूपता प्रकृति में देखी जा सकती है; [[ माचेरिडिया (एनल्स) |माचेरिडिया (एनल्स)]] ; और कुछ [[ पैलेओस्कोलेसिड |पैलेओस्कोलेसिड]] कीड़े।<ref>{{Cite journal | last1 = Waggoner | first1 = B. M.| title = प्रीकैम्ब्रियन और कैम्ब्रियन समस्याग्रस्त जीवाश्म टैक्सा के लिए आर्थ्रोपोड्स के संबंधों की वंशावली परिकल्पना| jstor = 2413615| journal = Systematic Biology| volume = 45| issue = 2| pages = 190–222| year = 1996| doi = 10.2307/2413615| doi-access = free}}</ref> इसे [[ कलम हो |सी पेन]] के कई उपस्थित समूहों में भी देखा जा सकता है।<ref>{{cite web|last1=Zubi|first1=Teresa|title=Octocorals (Stoloniferans, soft corals, sea fans, gorgonians, sea pens) - Starfish Photos - Achtstrahlige Korallen (Röhrenkorallen, Weichkorallen, Hornkoralllen, Seefedern, Fächerkorallen)|url=http://www.starfish.ch/c-invertebrates/octocorallia.html#Pennatulacea|website=starfish.ch|access-date=2016-09-08|date=2016-01-02}}</ref> | ||
कॉनवे के जीवन के खेल में, ग्लाइडर (कॉनवे का जीवन) नामक सामान्य रूप से होने वाले पैटर्न को इसलिए नाम दिया गया है क्योंकि यह ऑटोमेटन के दो चरणों के बाद, ग्लाइड प्रतिबिंब द्वारा स्थानांतरित कोशिकाओं की अपनी विन्यास को दोहराता है। चार चरणों और दो ग्लाइड प्रतिबिंबों के बाद, पैटर्न अपने मूल अभिविन्यास पर लौटता है, इकाई द्वारा तिरछे स्थानांतरित किया जाता है। इस तरह से जारी रखते हुए, यह खेल की सरणी में आगे बढ़ता है।<ref>{{cite conference | कॉनवे के जीवन के खेल में, ग्लाइडर (कॉनवे का जीवन) नामक सामान्य रूप से होने वाले पैटर्न को इसलिए नाम दिया गया है क्योंकि यह ऑटोमेटन के दो चरणों के बाद, ग्लाइड प्रतिबिंब द्वारा स्थानांतरित कोशिकाओं की अपनी विन्यास को दोहराता है। चार चरणों और दो ग्लाइड प्रतिबिंबों के बाद, पैटर्न अपने मूल अभिविन्यास पर लौटता है, इकाई द्वारा तिरछे स्थानांतरित किया जाता है। इस तरह से जारी रखते हुए, यह खेल की सरणी में आगे बढ़ता है।<ref>{{cite conference | ||
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Latest revision as of 16:35, 27 April 2023
2-आयामी ज्यामिति में, ग्लाइड प्रतिबिंब (या परिवर्तन) समरूपता संचालन होता है जिसमें रेखा पर प्रतिबिंब (गणित) होता है और फिर उस रेखा के साथ अनुवाद (ज्यामिति) होता है, जो एक ही संचालन में संयुक्त होता है। प्रतिबिंब और अनुवाद के बीच का मध्यवर्ती चरण प्रारंभिक विन्यास से भिन्न दिख सकता है, इसलिए सरकना समरूपता वाली वस्तुएं सामान्य रूप से होती हैं, अकेले प्रतिबिंब के अनुसार सममित नहीं होती हैं। समूह सिद्धांत में, 'सरकना विमान ' को यूक्लिडियन विमान के विपरीत आइसोमेट्री के प्रकार के रूप में वर्गीकृत किया गया है।
एकल सरकना चित्रवल्लरी समूह p11g के रूप में दर्शाया गया है। ग्लाइड प्रतिबिंब को सीमित रोटरफ्लेक्शन के रूप में देखा जा सकता है, जहां रोटेशन अनुवाद बन जाता है। इसे S2∞ के रूप में स्कोएनफ्लाइज़ संकेतन, कॉक्सेटर नोटेशन [∞+,2+], और ऑर्बिफोल्ड नोटेशन ∞× के रूप में भी दिया जा सकता है।
विवरण
एक रेखा में प्रतिबिंब का संयोजन और लंबवत दिशा में अनुवाद समानांतर रेखा में प्रतिबिंब है। चूँकि, ग्लाइड प्रतिबिंब को इस तरह कम नहीं किया जा सकता है। इस प्रकार किसी भी अनुवाद के साथ संयुक्त प्रतिबिंब का प्रभाव सरकना प्रतिबिंब है, विशेष स्थिति के रूप में सिर्फ एक प्रतिबिंब। ये दो प्रकार के अप्रत्यक्ष यूक्लिडियन या तीन आयामों तक आइसोमेट्री का अवलोकन समूह हैं।
उदाहरण के लिए, आइसोमेट्री है जिसमें x-अक्ष पर प्रतिबिंब होता है, इसके बाद यूनिट समानांतर का अनुवाद होता है। निर्देशांक में, यह लेता है
यह आइसोमेट्री x-अक्ष को खुद से मैप करती है; कोई अन्य रेखा जो x-अक्ष के समानांतर है, x-अक्ष में परिलक्षित होती है, इसलिए समानांतर रेखाओं की यह प्रणाली अपरिवर्तनीय है।
केवल ग्लाइड प्रतिबिंब द्वारा उत्पन्न आइसोमेट्री समूह अनंत चक्रीय समूह है।[1]
दो समान ग्लाइड प्रतिबिंबों का संयोजन अनुवाद वेक्टर के साथ शुद्ध अनुवाद देता है जो ग्लाइड प्रतिबिंब के दो बार होता है, इसलिए ग्लाइड प्रतिबिंब की भी शक्तियां अनुवाद समूह बनाती हैं।
सरकना प्रतिबिंब समरूपता की स्थिति में, किसी वस्तु के समरूपता समूह में सरकना प्रतिबिंब होता है, और इसलिए इसके द्वारा उत्पन्न समूह यदि इसमें इतना ही है, तो यह प्रकार फ्रिजी समूह p11g है।
इस समरूपता समूह के साथ उदाहरण पैटर्न: 
फ्रीज़ समूह nr। 6 (ग्लाइड-प्रतिबिंब, अनुवाद और घुमाव) ग्लाइड प्रतिबिंब और प्रतिबिंब की रेखा पर बिंदु के बारे में रोटेशन द्वारा उत्पन्न होता है। यह Z और C2 के अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद के लिए समरूप है।
इस समरूपता समूह के साथ उदाहरण पैटर्न: 
रोजमर्रा की जिंदगी में सरकना प्रतिबिंब का विशिष्ट उदाहरण समुद्र तट पर चलने वाले व्यक्ति द्वारा रेत में छोड़े गए पैरों के निशान होंगे।
किसी भी समरूपता समूह के लिए जिसमें कुछ ग्लाइड प्रतिबिंब समरूपता होती है, किसी ग्लाइड प्रतिबिंब का अनुवाद वेक्टर अनुवाद समूह के तत्व का आधा होता है। यदि ग्लाइड प्रतिबिंब का अनुवाद वेक्टर ही अनुवाद समूह का तत्व है, तो संबंधित ग्लाइड प्रतिबिंब समरूपता प्रतिबिंब समरूपता और अनुवाद संबंधी समरूपता के संयोजन को कम कर देता है।
एक ही अनुवाद के साथ दो समांतर रेखाओं के संबंध में ग्लाइड प्रतिबिंब समरूपता का तात्पर्य है कि इन पंक्तियों के लंबवत दिशा में अनुवादिक समरूपता भी है, अनुवाद दूरी के साथ जो ग्लाइड प्रतिबिंब लाइनों के बीच की दूरी से दोगुनी है। यह वॉलपेपर समूह पीजी से मेल खाता है; अतिरिक्त समरूपता के साथ यह pmg, pgg और p4g में भी होता है।
यदि एक ही दिशा में वास्तविक परावर्तन रेखाएँ भी हैं तो वे ग्लाइड परावर्तन रेखाओं के बीच समान दूरी पर होती हैं। वास्तविक परावर्तन रेखा के समानांतर सरकती हुई परावर्तन रेखा पहले से ही इस स्थिति का संकेत देती है। यह वॉलपेपर समूह सेमी से मेल खाता है। अनुवादकीय समरूपता तिरछे ट्रांसलेशन वैक्टर द्वारा बिंदु से वास्तविक प्रतिबिंब रेखा पर अगले दो बिंदुओं पर दी जाती है, विकर्ण के रूप में वास्तविक प्रतिबिंब रेखा के साथ विषमकोण का समर्थन करती है। अतिरिक्त समरूपता के साथ यह cmm, p3m1, p31m, p4m और p6m में भी होता है।
3डी में ग्लाइड प्रतिबिंब को ग्लाइड प्लेन कहा जाता है। यह विमान के समानांतर अनुवाद के साथ संयुक्त विमान में प्रतिबिंब है।
वॉलपेपर समूह
यूक्लिडियन प्लेन में 17 में से 3 वॉलपेपर समूहों को ग्लाइड प्रतिबिंब जेनरेटर की आवश्यकता होती है। p2gg में ऑर्थोगोनल ग्लाइड प्रतिबिंब और 2-गुना घुमाव हैं। cm में समानांतर दर्पण और ग्लाइड्स हैं, और pg में समानांतर ग्लाइड्स हैं। (ग्लाइड प्रतिबिंबों को धराशायी रेखाओं के रूप में नीचे दिखाया गया है)
| क्रिस्टलोग्राफिक नाम | pgg | cm | pg |
|---|---|---|---|
| कॉनवे नाम | 22× | *× | ×× |
| आरेख | 
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| उदाहरण | 
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प्रकृति और खेलों में ग्लाइड प्रतिबिंब
एडियाकारा बायोटा के कुछ जीवाश्मों के बीच ग्लाइड समरूपता प्रकृति में देखी जा सकती है; माचेरिडिया (एनल्स) ; और कुछ पैलेओस्कोलेसिड कीड़े।[2] इसे सी पेन के कई उपस्थित समूहों में भी देखा जा सकता है।[3]
कॉनवे के जीवन के खेल में, ग्लाइडर (कॉनवे का जीवन) नामक सामान्य रूप से होने वाले पैटर्न को इसलिए नाम दिया गया है क्योंकि यह ऑटोमेटन के दो चरणों के बाद, ग्लाइड प्रतिबिंब द्वारा स्थानांतरित कोशिकाओं की अपनी विन्यास को दोहराता है। चार चरणों और दो ग्लाइड प्रतिबिंबों के बाद, पैटर्न अपने मूल अभिविन्यास पर लौटता है, इकाई द्वारा तिरछे स्थानांतरित किया जाता है। इस तरह से जारी रखते हुए, यह खेल की सरणी में आगे बढ़ता है।[4]
यह भी देखें
इसी 3डी समरूपता संचालन के लिए
- पेंच अक्ष
- ग्लाइड विमान
संदर्भ
- ↑ Martin, George E. (1982). Transformation Geometry: An Introduction to Symmetry. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. p. 64. ISBN 9780387906362..
- ↑ Waggoner, B. M. (1996). "प्रीकैम्ब्रियन और कैम्ब्रियन समस्याग्रस्त जीवाश्म टैक्सा के लिए आर्थ्रोपोड्स के संबंधों की वंशावली परिकल्पना". Systematic Biology. 45 (2): 190–222. doi:10.2307/2413615. JSTOR 2413615.
- ↑ Zubi, Teresa (2016-01-02). "Octocorals (Stoloniferans, soft corals, sea fans, gorgonians, sea pens) - Starfish Photos - Achtstrahlige Korallen (Röhrenkorallen, Weichkorallen, Hornkoralllen, Seefedern, Fächerkorallen)". starfish.ch. Retrieved 2016-09-08.
- ↑ Wainwright, Robert T. (1974). "Life is universal!". Proceedings of the 7th conference on Winter simulation - WSC '74. ACM Press. doi:10.1145/800290.811303.
