टाइट बाइंडिंग: Difference between revisions
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{{Short description|Model of electronic band structures of solids}} | {{Short description|Model of electronic band structures of solids}} | ||
{{Electronic structure methods}} | {{Electronic structure methods}} | ||
ठोस स्थिति भौतिकी में, '''तंग बाध्यकारी प्रतिरूप''' (या टीबी मॉडल) इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना की गणना के लिए एक दृष्टिकोण है जो प्रत्येक परमाणु स्थल पर स्थित पृथक परमाणुओं के लिए तरंग कार्यों के अध्यारोपण के आधार पर तरंग कार्यों के अनुमानित सेट का उपयोग करते हैं। विधि रसायन विज्ञान में प्रयुक्त एलसीएओ (LCAO) विधि (परमाणु कक्षा विधि का रैखिक संयोजन) से निकटता से संबंधित है। तंग बाध्यकारी प्रतिरूप विभिन्न प्रकार के ठोस पदार्थों पर लागू होते हैं। प्रतिरूप कई मामलों में अच्छे गुणात्मक परिणाम देता है और इसे अन्य मॉडलों के साथ जोड़ा जा सकता है जो बेहतर परिणाम देते हैं जहां तंग बाध्यकारी प्रतिरूप फेल हो जाता है। हालांकि तंग बंधन प्रतिरूप एक इलेक्ट्रॉन मॉडल है, यह मॉडल अधिक उन्नत गणनाओं के लिए एक आधार भी प्रदान करता है जैसे सतह की स्थिति की गणना और शरीर की कई समस्याओं और अर्ध-कण गणनाओं के लिए आवेदन। | ठोस स्थिति भौतिकी में, '''तंग बाध्यकारी प्रतिरूप''' (या टीबी मॉडल) इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना की गणना के लिए एक दृष्टिकोण है जो प्रत्येक परमाणु स्थल पर स्थित पृथक परमाणुओं के लिए तरंग कार्यों के अध्यारोपण के आधार पर तरंग कार्यों के अनुमानित सेट का उपयोग करते हैं। विधि रसायन विज्ञान में प्रयुक्त एलसीएओ (LCAO) विधि (परमाणु कक्षा विधि का रैखिक संयोजन) से निकटता से संबंधित है। तंग बाध्यकारी प्रतिरूप विभिन्न प्रकार के ठोस पदार्थों पर लागू होते हैं। प्रतिरूप कई मामलों में अच्छे गुणात्मक परिणाम देता है और इसे अन्य मॉडलों के साथ जोड़ा जा सकता है जो बेहतर परिणाम देते हैं जहां तंग बाध्यकारी प्रतिरूप फेल हो जाता है। हालांकि तंग बंधन प्रतिरूप एक इलेक्ट्रॉन मॉडल है, यह मॉडल अधिक उन्नत गणनाओं के लिए एक आधार भी प्रदान करता है जैसे सतह की स्थिति की गणना और शरीर की कई समस्याओं और अर्ध-कण गणनाओं के लिए आवेदन। | ||
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|bibcode = 1954PhRv...94.1498S }}</ref> हैमिल्टनियन पहली नज़र में जटिल लग सकता है, मॉडल बिल्कुल भी जटिल नहीं है और इसे सहज रूप से काफी आसानी से समझा जा सकता है। केवल तीन प्रकार के आव्यूह (मैट्रिक्स) तत्व हैं जो सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। उन तीन प्रकार के तत्वों में से दो को शून्य के करीब होना चाहिए और अक्सर उपेक्षित किया जा सकता है। मॉडल में सबसे महत्वपूर्ण तत्व इंटरटॉमिक आव्यूह (मैट्रिक्स) तत्व हैं, जिसे केवल एक रसायनज्ञ द्वारा बंध ऊर्जा कहा जाएगा। | |bibcode = 1954PhRv...94.1498S }}</ref> हैमिल्टनियन पहली नज़र में जटिल लग सकता है, मॉडल बिल्कुल भी जटिल नहीं है और इसे सहज रूप से काफी आसानी से समझा जा सकता है। केवल तीन प्रकार के आव्यूह (मैट्रिक्स) तत्व हैं जो सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। उन तीन प्रकार के तत्वों में से दो को शून्य के करीब होना चाहिए और अक्सर उपेक्षित किया जा सकता है। मॉडल में सबसे महत्वपूर्ण तत्व इंटरटॉमिक आव्यूह (मैट्रिक्स) तत्व हैं, जिसे केवल एक रसायनज्ञ द्वारा बंध ऊर्जा कहा जाएगा। | ||
सामान्य तौर पर कई परमाणु ऊर्जा स्तर होते हैं और मॉडल में शामिल परमाणु ऑर्बिटल्स। इससे जटिल बैंड संरचनाएं हो सकती हैं क्योंकि ऑर्बिटल्स विभिन्न बिंदु-समूह अभ्यावेदन से संबंधित हैं। पारस्परिक जाली और ब्रिलॉइन क्षेत्र अक्सर ठोस के क्रिस्टल की तुलना में एक अलग अंतरिक्ष समूह से संबंधित होते हैं। ब्रिलॉइन ज़ोन में उच्च-समरूपता बिंदु विभिन्न बिंदु-समूह अभ्यावेदन से संबंधित हैं। जब तत्वों या सरल यौगिकों की जाली जैसी सरल प्रणालियों का अध्ययन किया जाता है विश्लेषणात्मक रूप से उच्च-समरूपता बिंदुओं में eigenstates की गणना करना अक्सर बहुत मुश्किल नहीं होता है। इसलिए | सामान्य तौर पर कई परमाणु ऊर्जा स्तर होते हैं और मॉडल में शामिल परमाणु ऑर्बिटल्स। इससे जटिल बैंड संरचनाएं हो सकती हैं क्योंकि ऑर्बिटल्स विभिन्न बिंदु-समूह अभ्यावेदन से संबंधित हैं। पारस्परिक जाली और ब्रिलॉइन क्षेत्र अक्सर ठोस के क्रिस्टल की तुलना में एक अलग अंतरिक्ष समूह से संबंधित होते हैं। ब्रिलॉइन ज़ोन में उच्च-समरूपता बिंदु विभिन्न बिंदु-समूह अभ्यावेदन से संबंधित हैं। जब तत्वों या सरल यौगिकों की जाली जैसी सरल प्रणालियों का अध्ययन किया जाता है विश्लेषणात्मक रूप से उच्च-समरूपता बिंदुओं में eigenstates की गणना करना अक्सर बहुत मुश्किल नहीं होता है। इसलिए तंग बाध्यकारी प्रतिरूप उन लोगों के लिए अच्छे उदाहरण प्रदान कर सकता है जो समूह सिद्धांत के बारे में अधिक जानना चाहते हैं। | ||
तंग-बाध्यकारी | तंग-बाध्यकारी प्रतिरूप का एक लंबा इतिहास रहा है और कई तरीकों से और कई अलग-अलग उद्देश्यों और विभिन्न परिणामों के साथ लागू किया गया है। मॉडल अपने आप खड़ा नहीं होता है। मॉडल के कुछ हिस्सों को अन्य प्रकार की गणनाओं और मॉडलों द्वारा भरा या बढ़ाया जा सकता है लगभग मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल की तरह। मॉडल ही, या इसके कुछ भाग, अन्य गणनाओं के आधार के रूप में काम कर सकते हैं।<ref name="Harrison"> | ||
{{cite book |author=Walter Ashley Harrison |title=Electronic Structure and the Properties of Solids |year= 1989 | {{cite book |author=Walter Ashley Harrison |title=Electronic Structure and the Properties of Solids |year= 1989 | ||
|publisher=Dover Publications |url=https://books.google.com/books?id=R2VqQgAACAAJ |isbn=0-486-66021-4 }} | |publisher=Dover Publications |url=https://books.google.com/books?id=R2VqQgAACAAJ |isbn=0-486-66021-4 }} | ||
</ref> प्रवाहकीय पॉलिमर, कार्बनिक अर्धचालक और आणविक इलेक्ट्रॉनिक्स के अध्ययन में, उदाहरण के लिए, | </ref> प्रवाहकीय पॉलिमर, कार्बनिक अर्धचालक और आणविक इलेक्ट्रॉनिक्स के अध्ययन में, उदाहरण के लिए, तंग-बाध्यकारी-जैसे मॉडल लागू होते हैं जिसमें मूल अवधारणा में परमाणुओं की भूमिका को संयुग्मित प्रणालियों के आणविक ऑर्बिटल्स द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। और जहां अंतर-परमाणु आव्यूह (मैट्रिक्स) तत्वों को अंतर- या अंतरणु होपिंग और सुरंगन मापदंडों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इन सुचालकों में लगभग सभी में बहुत विषमदैशिक गुण होते हैं और कभी-कभी लगभग पूरी तरह से एक-आयामी होते हैं। | ||
== ऐतिहासिक पृष्ठभूमि == | == ऐतिहासिक पृष्ठभूमि == | ||
1928 तक, आणविक कक्षीय के विचार को रॉबर्ट मुल्लिकेन द्वारा उन्नत किया गया था, जो फ्रेडरिक हुंड के काम से काफी प्रभावित थे। आणविक कक्षा के सन्निकटन के लिए LCAO विधि 1928 में | 1928 तक, आणविक कक्षीय के विचार को रॉबर्ट मुल्लिकेन द्वारा उन्नत किया गया था, जो फ्रेडरिक हुंड के काम से काफी प्रभावित थे। आणविक कक्षा के सन्निकटन के लिए LCAO विधि 1928 में बी. एन. फिंकलेस्टेइन और जी. ई. होरोविट्ज द्वारा पेश की गई थी, जबकि ठोस पदार्थों के लिए एलसीएओ (LCAO) पद्धति फेलिक्स बलोच द्वारा विकसित की गई थी, 1928 में अपने डॉक्टरेट शोध प्रबंध के हिस्से के रूप में, जो समवर्ती रूप से एलसीएओ-एमओ (LCAO-MO) दृष्टिकोण के साथ और स्वतंत्र है। इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना का अनुमान लगाने के लिए एक बहुत ही सरल प्रक्षेप योजना, विशेष रूप से संक्रमण धातुओं के डी-बैंड के लिए, जॉन क्लार्क स्लेटर और जॉर्ज फ्रेड कोस्टर द्वारा 1954 में परिकल्पित पैरामीटरयुक्त तंग-बाध्यकारी मॉडल विधि है,<ref name=SlaterKoster /> कभी-कभी एसके तंग-बाध्यकारी विधि के रूप में जाना जाता है। SK टाइट-बाइंडिंग विधि के साथ, एक ठोस आवश्यकता पर इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना की गणना मूल बलोच के प्रमेय की तरह पूरी कठोरता के साथ नहीं की जाती है। लेकिन, बल्कि, पहले-सिद्धांतों की गणना केवल उच्च-समरूपता बिंदुओं पर की जाती है और बैंड संरचना इन बिंदुओं के बीच शेष ब्रिलौइन क्षेत्र में प्रक्षेपित होती है। | ||
इस दृष्टिकोण में, विभिन्न परमाणु साइटों के बीच बातचीत को गड़बड़ी माना जाता है। कई प्रकार के | इस दृष्टिकोण में, विभिन्न परमाणु साइटों के बीच बातचीत को गड़बड़ी माना जाता है। कई प्रकार के पारस्परिक क्रिया मौजूद हैं जिन पर हमें विचार करना चाहिए। क्रिस्टल हैमिल्टनियन केवल विभिन्न स्थलों पर स्थित परमाणु हैमिल्टन का योग है और परमाणु तरंग फलन क्रिस्टल में आसन्न परमाणु साइटों को अधिव्यापन करते हैं, और इसलिए सटीक तरंग फलन का सटीक प्रतिनिधित्व नहीं है। कुछ गणितीय व्यंजकों के साथ अगले भाग में और स्पष्टीकरण दिए गए हैं। | ||
हाल के शोध में दृढ़ता से सहसंबद्ध सामग्री के बारे में तंग बाध्यकारी दृष्टिकोण मूल सन्निकटन है क्योंकि अत्यधिक स्थानीयकृत इलेक्ट्रॉन जैसे 3-डी संक्रमण धातु इलेक्ट्रॉन कभी-कभी दृढ़ता से सहसंबद्ध व्यवहार प्रदर्शित करते हैं। इस मामले में, कई-शरीर भौतिकी विवरण का उपयोग करके इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन संपर्क की भूमिका पर विचार किया जाना चाहिए। | हाल के शोध में दृढ़ता से सहसंबद्ध सामग्री के बारे में तंग बाध्यकारी दृष्टिकोण मूल सन्निकटन है क्योंकि अत्यधिक स्थानीयकृत इलेक्ट्रॉन जैसे 3-डी संक्रमण धातु इलेक्ट्रॉन कभी-कभी दृढ़ता से सहसंबद्ध व्यवहार प्रदर्शित करते हैं। इस मामले में, कई-शरीर भौतिकी विवरण का उपयोग करके इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन संपर्क की भूमिका पर विचार किया जाना चाहिए। | ||
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== गणितीय सूत्रीकरण == | == गणितीय सूत्रीकरण == | ||
हम | हम परमाणविक कक्षा का परिचय देते हैं <math>\varphi_m( \mathbf{r} )</math>, जो एक पृथक परमाणु के हैमिल्टनियन <math>H_{\rm at}</math> के आइजनफंक्शन हैं। जब परमाणु को क्रिस्टल में रखा जाता है, तो यह परमाणु तरंग कार्य आसन्न परमाणु स्थलों को अधिव्यापन करता है, और इसलिए क्रिस्टल हैमिल्टनियन के सच्चे प्रतिजन कार्य नहीं हैं। जब इलेक्ट्रॉन कसकर बंधे होते हैं तो अधिव्यापन कम होता है, जो वर्णनकर्ता "तंग-बाध्यकारी" का स्रोत है। परमाणु क्षमता में कोई भी सुधार <math>\Delta U</math> को सिस्टम के वास्तविक हैमिल्टनियन <math>H</math> को प्राप्त करने के लिए आवश्यक है, को छोटा माना जाता है: | ||
:<math>H (\mathbf{r}) = H_{\mathrm{at}}(\mathbf{r}) + \sum_{\mathbf{R_n} \neq \mathbf{0}} V(\mathbf{r} - \mathbf{R_n}) = H_{\mathrm{at}}(\mathbf{r}) + \Delta U (\mathbf{r}) \ , </math> | :<math>H (\mathbf{r}) = H_{\mathrm{at}}(\mathbf{r}) + \sum_{\mathbf{R_n} \neq \mathbf{0}} V(\mathbf{r} - \mathbf{R_n}) = H_{\mathrm{at}}(\mathbf{r}) + \Delta U (\mathbf{r}) \ , </math> | ||
यहाँ पर <math>V(\mathbf{r} - \mathbf{R_n})</math> साइट पर स्थित एक परमाणु की परमाणु क्षमता को <math>\mathbf{R}_n</math> दर्शाया गया है, क्रिस्टल जाली में एक समाधान <math>\psi_m</math> समय-स्वतंत्र एकल इलेक्ट्रॉन श्रोडिंगर समीकरण को परमाणु | यहाँ पर <math>V(\mathbf{r} - \mathbf{R_n})</math> साइट पर स्थित एक परमाणु की परमाणु क्षमता को <math>\mathbf{R}_n</math> दर्शाया गया है, क्रिस्टल जाली में एक समाधान <math>\psi_m</math> समय-स्वतंत्र एकल इलेक्ट्रॉन श्रोडिंगर समीकरण को परमाणु कक्षा के एक रैखिक संयोजन के रूप में अनुमानित किया गया है <math>\varphi_m(\mathbf{r- R_n})</math>: | ||
:<math>\psi_m(\mathbf{r}) = \sum_{\mathbf{R_n}} b_m (\mathbf{R_n}) \ \varphi_m (\mathbf{r-R_n})</math>, | :<math>\psi_m(\mathbf{r}) = \sum_{\mathbf{R_n}} b_m (\mathbf{R_n}) \ \varphi_m (\mathbf{r-R_n})</math>, | ||
| Line 43: | Line 42: | ||
यहाँ पर <math>m</math> एम-टी परमाणु ऊर्जा स्तर को संदर्भित करता है। | यहाँ पर <math>m</math> एम-टी परमाणु ऊर्जा स्तर को संदर्भित करता है। | ||
=== | === अनुवादकीय समरूपता और सामान्यीकरण === | ||
बलोच प्रमेय के अनुसार एक क्रिस्टल में तरंग | बलोच प्रमेय के अनुसार एक क्रिस्टल में तरंग फलन केवल एक चरण कारक द्वारा अनुवाद के तहत बदल सकता है: | ||
:<math>\psi(\mathbf{r+R_{\ell}}) = e^{i\mathbf{k \cdot R_{\ell}}}\psi(\mathbf{r}) \ , </math> | :<math>\psi(\mathbf{r+R_{\ell}}) = e^{i\mathbf{k \cdot R_{\ell}}}\psi(\mathbf{r}) \ , </math> | ||
यहाँ पर <math>\mathbf{k}</math> तरंग | यहाँ पर <math>\mathbf{k}</math> तरंग फलन का वेव सदिश (वेक्टर) है। परिणामस्वरूप, गुणांक संतुष्ट करते हैं | ||
:<math>\sum_{\mathbf{R_n}} b_m (\mathbf{R_n}) \ \varphi_m (\mathbf{r-R_n+R_{\ell}})=e^{i\mathbf{k \cdot R_{\ell}}}\sum_{\mathbf{R_n}} b_m ( \mathbf{R_n}) \ \varphi_m (\mathbf{r-R_n})\ .</math> | :<math>\sum_{\mathbf{R_n}} b_m (\mathbf{R_n}) \ \varphi_m (\mathbf{r-R_n+R_{\ell}})=e^{i\mathbf{k \cdot R_{\ell}}}\sum_{\mathbf{R_n}} b_m ( \mathbf{R_n}) \ \varphi_m (\mathbf{r-R_n})\ .</math> | ||
| Line 57: | Line 56: | ||
:<math> b_m (\mathbf{R_l}) = e^{i\mathbf{k \cdot R_{l}}} b_m (\mathbf{0}) \ . </math> | :<math> b_m (\mathbf{R_l}) = e^{i\mathbf{k \cdot R_{l}}} b_m (\mathbf{0}) \ . </math> | ||
एकीकृत तरंग | एकीकृत तरंग फलन को सामान्य करने के लिए: | ||
:<math> \int d^3 r \ \psi_m^* (\mathbf{r}) \psi_m (\mathbf{r}) = 1 </math> | :<math> \int d^3 r \ \psi_m^* (\mathbf{r}) \psi_m (\mathbf{r}) = 1 </math> | ||
| Line 67: | Line 66: | ||
:<math> b_m^*(0)b_m(0) = \frac {1} {N}\ \cdot \ \frac {1}{1 + \sum_{\mathbf{R_p \neq 0}} e^{i \mathbf{k \cdot R_p}} \alpha_m (\mathbf{R_p})} \ , </math> | :<math> b_m^*(0)b_m(0) = \frac {1} {N}\ \cdot \ \frac {1}{1 + \sum_{\mathbf{R_p \neq 0}} e^{i \mathbf{k \cdot R_p}} \alpha_m (\mathbf{R_p})} \ , </math> | ||
जहां α<sub>m</sub>('आर'<sub>p</sub> ) परमाणु | जहां α<sub>m</sub>('आर'<sub>p</sub> ) परमाणु अधिव्यापन समाकलित हैं, जो अक्सर उपेक्षित होते हैं इसके परिणामस्वरूप<ref name=Lowdin>As an alternative to neglecting overlap, one may choose as a basis instead of atomic orbitals a set of orbitals based upon atomic orbitals but arranged to be orthogonal to orbitals on other atomic sites, the so-called [[Löwdin orbitals]]. See {{cite book |title=Fundamentals of Semiconductors |author=PY Yu & M Cardona |chapter-url=https://books.google.com/books?id=W9pdJZoAeyEC&pg=PA87 |page=87 |chapter=Tight-binding or LCAO approach to the band structure of semiconductors |isbn=3-540-25470-6 |edition=3 |year=2005 |publisher=Springrer}}</ref> | ||
:<math> b_m (0) \approx \frac {1} {\sqrt{N}} \ , </math> | :<math> b_m (0) \approx \frac {1} {\sqrt{N}} \ , </math> | ||
तथा | तथा | ||
::<math>\psi_m (\mathbf{r}) \approx \frac {1} {\sqrt{N}} \sum_{\mathbf{R_n}} e^{i \mathbf{k \cdot R_n}} \ \varphi_m (\mathbf{r-R_n}) \ .</math> | ::<math>\psi_m (\mathbf{r}) \approx \frac {1} {\sqrt{N}} \sum_{\mathbf{R_n}} e^{i \mathbf{k \cdot R_n}} \ \varphi_m (\mathbf{r-R_n}) \ .</math> | ||
=== तंग बंधन हैमिल्टनियन === | === तंग बंधन हैमिल्टनियन === | ||
तरंग | तरंग फलन के लिए तंग बाध्यकारी रूप का उपयोग किया जाता है, और केवल एम-टीएच (M-TH) परमाणु ऊर्जा स्तर मान लेना एम-टी (M-T) ऊर्जा बैंड, बलोच ऊर्जा के लिए महत्वपूर्ण है <math>\varepsilon_m</math> रूप के हैं तो इस प्रकार | ||
:<math> \varepsilon_m = \int d^3 r \ \psi^*_m (\mathbf{r})H(\mathbf{r}) \psi (\mathbf{r}) </math> | :<math> \varepsilon_m = \int d^3 r \ \psi^*_m (\mathbf{r})H(\mathbf{r}) \psi (\mathbf{r}) </math> | ||
| Line 82: | Line 81: | ||
:<math>\varepsilon_m(\mathbf{k}) = E_m - N\ |b (0)|^2 \left(\beta_m + \sum_{\mathbf{R_n}\neq 0}\sum_l \gamma_{m,l}(\mathbf{R_n}) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{R_n}}\right) \ ,</math> | :<math>\varepsilon_m(\mathbf{k}) = E_m - N\ |b (0)|^2 \left(\beta_m + \sum_{\mathbf{R_n}\neq 0}\sum_l \gamma_{m,l}(\mathbf{R_n}) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{R_n}}\right) \ ,</math> | ||
:::<math>= E_m - \ \frac {\beta_m + \sum_{\mathbf{R_n}\neq 0}\sum_l e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{R_n}} \gamma_{m,l}(\mathbf{R_n})}{\ \ 1 + \sum_{\mathbf{R_n \neq 0}}\sum_l e^{i \mathbf{k \cdot R_n}} \alpha_{m,l} (\mathbf{R_n})} \ , </math> | :::<math>= E_m - \ \frac {\beta_m + \sum_{\mathbf{R_n}\neq 0}\sum_l e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{R_n}} \gamma_{m,l}(\mathbf{R_n})}{\ \ 1 + \sum_{\mathbf{R_n \neq 0}}\sum_l e^{i \mathbf{k \cdot R_n}} \alpha_{m,l} (\mathbf{R_n})} \ , </math> | ||
जहां ई<sub>m</sub> एम-वें परमाणु स्तर की ऊर्जा है, और <math>\alpha_{m,l}</math>, <math>\beta_m</math> तथा <math>\gamma_{m,l}</math> तंग बाइंडिंग आव्यूह (मैट्रिक्स) तत्व है जिसकी नीचे चर्चा की गई हैं। | जहां ई<sub>m</sub> एम-वें परमाणु स्तर की ऊर्जा है, और <math>\alpha_{m,l}</math>, <math>\beta_m</math> तथा <math>\gamma_{m,l}</math> '''तंग बाइंडिंग आव्यूह (मैट्रिक्स)''' तत्व है जिसकी नीचे चर्चा की गई हैं। | ||
=== तंग बाइंडिंग आव्यूह (मैट्रिक्स) तत्व === | === तंग बाइंडिंग आव्यूह (मैट्रिक्स) तत्व === | ||
अवयव <math display=block>\beta_m = -\int{ \varphi_m^*(\mathbf{r}) \Delta U(\mathbf{r}) \varphi_m(\mathbf{r}) \,d^3r} \text{,}</math> पड़ोसी परमाणुओं पर क्षमता के कारण परमाणु ऊर्जा में बदलाव होता हैं। यह शब्द ज्यादातर मामलों में अपेक्षाकृत छोटा है। पर यदि इसकी अधिकता पाई जाती है तो इसका मतलब होता है कि पड़ोसी परमाणुओं पर क्षमता केंद्रीय परमाणु की ऊर्जा पर एक बड़ा प्रभाव पड़ा है। | अवयव <math display=block>\beta_m = -\int{ \varphi_m^*(\mathbf{r}) \Delta U(\mathbf{r}) \varphi_m(\mathbf{r}) \,d^3r} \text{,}</math> पड़ोसी परमाणुओं पर क्षमता के कारण परमाणु ऊर्जा में बदलाव होता हैं। यह शब्द ज्यादातर मामलों में अपेक्षाकृत छोटा है। पर यदि इसकी अधिकता पाई जाती है तो इसका मतलब होता है कि पड़ोसी परमाणुओं पर क्षमता केंद्रीय परमाणु की ऊर्जा पर एक बड़ा प्रभाव पड़ा है। | ||
शर्तों का अगला वर्ग<math display="block">\gamma_{m,l}(\mathbf{R_n}) = -\int{ \varphi_m^*(\mathbf{r}) \Delta U(\mathbf{r}) \varphi_l(\mathbf{r} - \mathbf{R_n}) \,d^3r} \text{,}</math> | शर्तों का अगला वर्ग<math display="block">\gamma_{m,l}(\mathbf{R_n}) = -\int{ \varphi_m^*(\mathbf{r}) \Delta U(\mathbf{r}) \varphi_l(\mathbf{r} - \mathbf{R_n}) \,d^3r} \text{,}</math>अंतरपरमाण्विक आव्यूह (मैट्रिक्स) तत्वों की तालिका कुछ इस प्रकार है। इसे बॉन्ड एनर्जी या दो सेंटर इंटीग्रल भी कहा जाता है और यह तंग बाध्यकारी मॉडल में प्रमुख शब्द है। | ||
शर्तों का अंतिम वर्ग<math display="block">\alpha_{m,l}(\mathbf{R_n}) = \int{ \varphi_m^*(\mathbf{r}) \varphi_l(\mathbf{r - R_n}) \,d^3r} \text{,}</math>आसन्न परमाणुओं पर परमाणु कक्षा M और L के बीच अधिव्यापन समाकलित को निरूपित करते हैं। ये आमतौर पर छोटे होते हैं और ऐसा न होने पर, पाउली प्रतिकर्षण का केंद्रीय परमाणु की ऊर्जा पर एक गैर-नगण्य प्रभाव पड़ता है। | |||
शर्तों का अंतिम वर्ग<math display="block">\alpha_{m,l}(\mathbf{R_n}) = \int{ \varphi_m^*(\mathbf{r}) \varphi_l(\mathbf{r - R_n}) \,d^3r} \text{,}</math>आसन्न परमाणुओं पर परमाणु | |||
== आव्यूह (मैट्रिक्स) तत्वों का मूल्यांकन == | == आव्यूह (मैट्रिक्स) तत्वों का मूल्यांकन == | ||
जैसा कि मूल्यों की जानकारी से पहले यहाँ उल्लेख किया गया है कि <math>\beta_m</math>- | जैसा कि मूल्यों की जानकारी से पहले यहाँ उल्लेख किया गया है कि <math>\beta_m</math>-आव्यहु (मैट्रिक्स) तत्व आयनीकरण ऊर्जा की तुलना में इतने बड़े नहीं हैं ऐसा इसलिए हैं क्योंकि केंद्रीय परमाणु पर पड़ोसी परमाणुओं की संभावनाएं सीमित हैं। यदि <math>\beta_m</math> अपेक्षाकृत छोटा न हों तो इसका मतलब यह होगा कि केंद्रीय परमाणु पर पड़ोसी परमाणु की क्षमता भी छोटी नहीं है। ऐसी स्थिति में यह एक संकेत है कि तंग बाइंडिंग मॉडल किसी कारण से बैंड संरचना के विवरण के लिए बहुत अच्छा मॉडल नहीं है। अंतरापरमाणुक दूरी बहुत छोटी हो सकती है तथा जाली में परमाणुओं या आयनों पर शुल्क उदाहरण के लिए गलत है। | ||
अंतरापरमाणुक आव्यूह (मैट्रिक्स) तत्व <math>\gamma_{m,l}</math> यदि परमाणु तरंग कार्यों और क्षमता को विस्तार से जाना जाता है, तो सीधे गणना की जा सकती है। बार बार ऐसा नहीं होता है। इन आव्यूह (मैट्रिक्स) तत्वों के लिए पैरामीटर प्राप्त करने के कई तरीके होते हैं। पैरामीटर रासायनिक बंधन ऊर्जा डेटा से प्राप्त किए जा सकते हैं। ब्रिलोइन ज़ोन में कुछ उच्च समरूपता बिंदुओं पर ऊर्जा और आइजन स्थिति का मूल्यांकन किया जा सकता है और आव्यूह (मैट्रिक्स) तत्वों में अभिन्न मान अन्य स्रोतों से बैंड संरचना डेटा के साथ मिलाये जा सकते है। | अंतरापरमाणुक आव्यूह (मैट्रिक्स) तत्व <math>\gamma_{m,l}</math> यदि परमाणु तरंग कार्यों और क्षमता को विस्तार से जाना जाता है, तो सीधे गणना की जा सकती है। बार बार ऐसा नहीं होता है। इन आव्यूह (मैट्रिक्स) तत्वों के लिए पैरामीटर प्राप्त करने के कई तरीके होते हैं। पैरामीटर रासायनिक बंधन ऊर्जा डेटा से प्राप्त किए जा सकते हैं। ब्रिलोइन ज़ोन में कुछ उच्च समरूपता बिंदुओं पर ऊर्जा और आइजन स्थिति का मूल्यांकन किया जा सकता है और आव्यूह (मैट्रिक्स) तत्वों में अभिन्न मान अन्य स्रोतों से बैंड संरचना डेटा के साथ मिलाये जा सकते है। | ||
अंतरापरमाणुक अधिव्यापन आव्यूह (मैट्रिक्स) तत्व <math>\alpha_{m,l}</math> बल्कि छोटा या उपेक्षित होना चाहिए। यदि वे बड़े हैं तो यह फिर से एक संकेत है कि तंग बाध्यकारी मॉडल कुछ उद्देश्यों के लिए सीमित मूल्य का है। बड़े अधिव्यापन उदाहरण के लिए बहुत कम अंतरापरमाणुक दूरी के लिए एक संकेत की तरह होते हैं। धातुओं और संक्रमण धातुओं में व्यापक एस-बैंड या एसपी-बैंड को एक मौजूदा बैंड संरचना गणना के लिए बेहतर तरीके से फिट किया जा सकता है, जो अगली-निकट-पड़ोसी आव्यूह (मैट्रिक्स) तत्वों की शुरूआत और अधिव्यापन समाकलन द्वारा किया जा सकता है, लेकिन इस तरह से यह एक धातु के इलेक्ट्रॉनिक तरंग | अंतरापरमाणुक अधिव्यापन आव्यूह (मैट्रिक्स) तत्व <math>\alpha_{m,l}</math> बल्कि छोटा या उपेक्षित होना चाहिए। यदि वे बड़े हैं तो यह फिर से एक संकेत है कि तंग बाध्यकारी मॉडल कुछ उद्देश्यों के लिए सीमित मूल्य का है। बड़े अधिव्यापन उदाहरण के लिए बहुत कम अंतरापरमाणुक दूरी के लिए एक संकेत की तरह होते हैं। धातुओं और संक्रमण धातुओं में व्यापक एस-बैंड या एसपी-बैंड को एक मौजूदा बैंड संरचना गणना के लिए बेहतर तरीके से फिट किया जा सकता है, जो अगली-निकट-पड़ोसी आव्यूह (मैट्रिक्स) तत्वों की शुरूआत और अधिव्यापन समाकलन द्वारा किया जा सकता है, लेकिन इस तरह से यह एक धातु के इलेक्ट्रॉनिक तरंग फलन के लिए फिट बैठता है। घने सामग्रियों में व्यापक बैंड लगभग एक मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल द्वारा बेहतर वर्णित होते हैं। | ||
तंग बाइंडिंग मॉडल विशेष रूप से उन मामलों में अच्छी तरह से काम करता है जहां बैंड की चौड़ाई छोटी होती है और इलेक्ट्रॉनों को दृढ़ता से स्थानीयकृत किया जाता है, जैसे कि डी-बैंड और एफ-बैंड में। मॉडल भी डायमंड या सिलिकॉन जैसे खुले क्रिस्टल संरचनाओं के मामले में अच्छे परिणाम देता है, जहां पड़ोसियों की संख्या छोटी होती है। मॉडल को आसानी से एक हाइब्रिड एनएफई-टीबी मॉडल में लगभग मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल के साथ जोड़ा जा सकता है।<ref name="Harrison" /> | तंग बाइंडिंग मॉडल विशेष रूप से उन मामलों में अच्छी तरह से काम करता है जहां बैंड की चौड़ाई छोटी होती है और इलेक्ट्रॉनों को दृढ़ता से स्थानीयकृत किया जाता है, जैसे कि डी-बैंड (D-Band) और एफ-बैंड (F-Band) में। मॉडल भी डायमंड या सिलिकॉन जैसे खुले क्रिस्टल संरचनाओं के मामले में अच्छे परिणाम देता है, जहां पड़ोसियों की संख्या छोटी होती है। मॉडल को आसानी से एक हाइब्रिड एनएफई-टीबी (NFE-TB) मॉडल में लगभग मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल के साथ जोड़ा जा सकता है।<ref name="Harrison" /> | ||
== वानियर कार्यों के लिए कनेक्शन == | == वानियर कार्यों के लिए कनेक्शन == | ||
बलोच के प्रमेय के अनुसार बलोच | बलोच के प्रमेय के अनुसार बलोच फलन एक आवधिक क्रिस्टल जाली में इलेक्ट्रॉनिक राज्यों का वर्णन करते हैं। बलोच कार्यों को एक फूरियर श्रृंखला के रूप में दर्शाया जा सकता है<ref>Orfried Madelung, ''Introduction to Solid-State Theory'' (Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1978).</ref> | ||
:<math>\psi_m\mathbf{(k,r)}=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{n}{a_m\mathbf{(R_n,r)}} e^{\mathbf{ik\cdot R_n}}\ ,</math> | :<math>\psi_m\mathbf{(k,r)}=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{n}{a_m\mathbf{(R_n,r)}} e^{\mathbf{ik\cdot R_n}}\ ,</math> | ||
जहाँ '' r ''<sub>n</sub> एक आवधिक क्रिस्टल जाली में एक परमाणु साइट को दर्शाता है, '' के '' बलोच के | जहाँ '' r ''<sub>n</sub> एक आवधिक क्रिस्टल जाली में एक परमाणु साइट को दर्शाता है, ''के '' बलोच के फलन का वेव सदिश (वेक्टर) है,'' आर '' इलेक्ट्रॉन स्थिति है, '' एम '' बैंड इंडेक्स है, और योग सब खत्म हो गया है'' एन '' परमाणु साइटें।बलोच का कार्य एक ऊर्जा '' ई '' के अनुरूप एक आवधिक क्रिस्टल क्षमता में एक इलेक्ट्रॉन के तरंग फलन के लिए एक सटीक प्रतिजन समाधान है।<sub>m</sub> ('' k ''), और पूरे क्रिस्टल वॉल्यूम में फैलता है। | ||
फूरियर ट्रांसफॉर्म विश्लेषण का उपयोग करते हुए,'' एम '' के लिए एक स्थानिक रूप से स्थानीयकृत तरंग | फूरियर ट्रांसफॉर्म विश्लेषण का उपयोग करते हुए,'' एम '' के लिए एक स्थानिक रूप से स्थानीयकृत तरंग फलन-TH ऊर्जा बैंड का निर्माण कई बलोच के कार्यों से किया जा सकता है: | ||
:<math>a_m\mathbf{(R_n,r)}=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{\mathbf{k}}{e^{\mathbf{-ik\cdot R_n}}\psi_m\mathbf{(k,r)}}=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{\mathbf{k}}{e^{\mathbf{ik\cdot (r-R_n)}}u_m\mathbf{(k,r)}}.</math> | :<math>a_m\mathbf{(R_n,r)}=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{\mathbf{k}}{e^{\mathbf{-ik\cdot R_n}}\psi_m\mathbf{(k,r)}}=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{\mathbf{k}}{e^{\mathbf{ik\cdot (r-R_n)}}u_m\mathbf{(k,r)}}.</math> | ||
ये वास्तविक अंतरिक्ष तरंग कार्य <math>{a_m\mathbf{(R_n,r)}}</math> वानियर फलन कहा जाता है, और परमाणु साइट '' R '' के लिए काफी निकटता से स्थानीयकृत हैं<sub>n</sub>। यदि हमारे पास सटीक वानियर फलन हैं, तो सटीक बलोच फ़ंक्शंस को उलटा फूरियर ट्रांसफॉर्म का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। | ये वास्तविक अंतरिक्ष तरंग कार्य <math>{a_m\mathbf{(R_n,r)}}</math> वानियर फलन कहा जाता है, और परमाणु साइट '' R '' के लिए काफी निकटता से स्थानीयकृत हैं<sub>n</sub>। यदि हमारे पास सटीक वानियर फलन हैं, तो सटीक बलोच फ़ंक्शंस को उलटा फूरियर ट्रांसफॉर्म का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। | ||
हालाँकि, सीधे बलोच के प्रमेय की गणना करना आसान नहीं है। बलोच | हालाँकि, सीधे बलोच के प्रमेय की गणना करना आसान नहीं है। बलोच फलन या वानियर फलन ठोस पदार्थों की इलेक्ट्रॉनिक संरचनाओं की गणना में एक अनुमानित दृष्टिकोण आवश्यक है। यदि हम पृथक परमाणुओं के चरम मामले पर विचार करते हैं, तो वानियर फलन एक पृथक परमाणु कक्षीय बन जाएगा। यह सीमा एक परमाणु तरंग फलन की पसंद का सुझाव देती है, जो कि वानियर फलन के लिए एक अनुमानित रूप के रूप में, तथाकथित तंग बाध्यकारी सन्निकटन है। | ||
== दूसरा परिमाणीकरण == | == दूसरा परिमाणीकरण == | ||
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यहाँ, अभिन्न अंग <math>\displaystyle t</math> हस्तांतरण अभिन्न अंग के अनुरूप है <math>\displaystyle\gamma</math> तंग बाध्यकारी मॉडल में।के चरम मामलों को ध्यान में रखते हुए <math>t\rightarrow 0</math>, एक इलेक्ट्रॉन के लिए पड़ोसी साइटों में आशा करना असंभव है।यह मामला पृथक परमाणु प्रणाली है।यदि होपिंग टर्म चालू है (<math>\displaystyle t>0</math>) इलेक्ट्रॉन अपनी गतिज ऊर्जा को कम करने वाली दोनों साइटों में रह सकते हैं। | यहाँ, अभिन्न अंग <math>\displaystyle t</math> हस्तांतरण अभिन्न अंग के अनुरूप है <math>\displaystyle\gamma</math> तंग बाध्यकारी मॉडल में।के चरम मामलों को ध्यान में रखते हुए <math>t\rightarrow 0</math>, एक इलेक्ट्रॉन के लिए पड़ोसी साइटों में आशा करना असंभव है।यह मामला पृथक परमाणु प्रणाली है।यदि होपिंग टर्म चालू है (<math>\displaystyle t>0</math>) इलेक्ट्रॉन अपनी गतिज ऊर्जा को कम करने वाली दोनों साइटों में रह सकते हैं। | ||
दृढ़ता से सहसंबद्ध इलेक्ट्रॉन प्रणाली में, इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन | दृढ़ता से '''सहसंबद्ध इलेक्ट्रॉन प्रणाली''' में, इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन पारस्परिक क्रिया पर विचार करना आवश्यक है।यह शब्द में लिखा जा सकता है | ||
:<math>\displaystyle H_{ee}=\frac{1}{2}\sum_{n,m,\sigma}\langle n_1 m_1, n_2 m_2|\frac{e^2}{|r_1-r_2|}|n_3 m_3, n_4 m_4\rangle c^\dagger_{n_1 m_1 \sigma_1}c^\dagger_{n_2 m_2 \sigma_2}c_{n_4 m_4 \sigma_2} c_{n_3 m_3 \sigma_1}</math> | :<math>\displaystyle H_{ee}=\frac{1}{2}\sum_{n,m,\sigma}\langle n_1 m_1, n_2 m_2|\frac{e^2}{|r_1-r_2|}|n_3 m_3, n_4 m_4\rangle c^\dagger_{n_1 m_1 \sigma_1}c^\dagger_{n_2 m_2 \sigma_2}c_{n_4 m_4 \sigma_2} c_{n_3 m_3 \sigma_1}</math> | ||
इस पारस्परिक क्रिया के परिणामस्वरूप हैमिल्टन में प्रत्यक्ष कूलम्ब का नियम शामिल है। इलेक्ट्रॉनों के बीच कूलम्ब पारस्परिक ऊर्जा और विनिमय पारस्परिक ऊर्जा।इस इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन पारस्परिक ऊर्जा से प्रेरित कई उपन्यास भौतिकी हैं, जैसे कि मेटल-विसंवाहक ट्रांज़िशन (MIT), उच्च-तापमान उच्च चालकता और कई क्वांटम चरण संक्रमण। | इस पारस्परिक क्रिया के परिणामस्वरूप हैमिल्टन में प्रत्यक्ष कूलम्ब का नियम शामिल है। इलेक्ट्रॉनों के बीच कूलम्ब पारस्परिक ऊर्जा और विनिमय पारस्परिक ऊर्जा।इस इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन पारस्परिक ऊर्जा से प्रेरित कई उपन्यास भौतिकी हैं, जैसे कि मेटल-विसंवाहक ट्रांज़ि | ||