टॉर्क: Difference between revisions
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{{Classical mechanics|cTopic=Fundamental concepts}} | {{Classical mechanics|cTopic=Fundamental concepts}} | ||
[[ भौतिकी | भौतिकी]] और [[ यांत्रिकी |यांत्रिकी]] में, | [[ भौतिकी |भौतिकी]] और [[ यांत्रिकी |यांत्रिकी]] में, टॉर्क रैखिक [[ बल |बल]] के घूर्णी समकक्ष है<ref>सेरवे, आर.ए. और ज्वेट, जूनियर जे.डब्ल्यू. (2003)। ''वैज्ञानिकों और इंजीनियरों के लिए भौतिकी''। 6 वां एड। ब्रूक्स कोल। {{ISBN|0-534-40842-7}}</ref> इसे अध्ययन के क्षेत्र के आधार पर क्षण,बल का क्षण,घूर्णन बल या मोड़ प्रअभिव्यक्ति के रूप में भी जाना जाता है। यह बॉडी की घूर्णी गति में परिवर्तन उत्पन्न करने के लिए एक बल की क्षमता का प्रतिनिधित्व करता है। अवधारणा की उत्पत्ति [[ आर्किमिडीज |आर्किमिडीज]] द्वारा [[ लीवर |लीवर]] एस के उपयोग के अध्ययन के साथ हुई। जिस तरह एक रैखिक बल एक धक्का या एक खिंचाव है, उसी तरह एक टॉर्क को एक विशिष्ट अक्ष के चारों ओर एक वस्तु के लिए एक मोड़ के रूप में माना जा सकता है। टॉर्क को बल के परिमाण के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है और [[ लाइन ऑफ एक्शन |लाइन ऑफ एक्शन]] की लंबवत दूरी को [[ रोटेशन से एक निश्चित अक्ष |रोटेशन]] अक्ष के चारों ओर घुमाया जाता है। टॉर्क के लिए <math>\boldsymbol\tau</math> प्रतीक सामान्यतः है, लोअरकेस [[ ग्रीक वर्णमाला |ग्रीक अक्षर]] [[ ताऊ |ताऊ]] । जब [[ पल (भौतिकी) |पल]] बल के रूप में संदर्भित किया जाता है,तो इसे सामान्यतः {{mvar|M}} द्वारा दर्शाया जाता है। | ||
तीन आयामों में, टॉर्क [[ स्यूडोवेक्टर |स्यूडोवेक्टर]] है; [[ बिंदु कण |बिंदु कण]] के लिए, यह स्थिति वेक्टर के [[ क्रॉस उत्पाद |क्रॉस | तीन आयामों में, टॉर्क [[ स्यूडोवेक्टर |स्यूडोवेक्टर]] है; [[ बिंदु कण |बिंदु कण]] के लिए, यह स्थिति वेक्टर के [[ क्रॉस उत्पाद |क्रॉस गुणांक]] ( [[ यूक्लिडियन वेक्टर |दूरी वेक्टर]] ) और बल वेक्टर द्वारा दिया गया है। [[ कठोर शरीर |कठोर बॉडी]] के बल आघूर्ण का परिमाण तीन मात्राओं पर निर्भर करता है: प्रयुक्त बल, लीवर आर्म वेक्टर<ref>{{cite book|author=Tipler, Paul|title=Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (5th ed.)|publisher=W. H. Freeman|year=2004|isbn=0-7167-0809-4}}</ref> उस बिंदु को जोड़ना जिसके बारे में बल के अनुप्रयोग के बिंदु पर टॉर्क को मापा जा रहा है, और बल और लीवर आर्म सदिश के बीच का कोण। प्रतीकों में: | ||
:<math qid=Q104177819>\boldsymbol \tau = \mathbf{r}\times \mathbf{F}\,\!</math><math>\tau = \|\mathbf{r}\|\,\|\mathbf{F}\|\sin \theta\,\!</math> | :<math qid=Q104177819>\boldsymbol \tau = \mathbf{r}\times \mathbf{F}\,\!</math><math>\tau = \|\mathbf{r}\|\,\|\mathbf{F}\|\sin \theta\,\!</math> | ||
जहाँ पर, <math>\boldsymbol\tau</math> टॉर्क सदिश है और <math>\tau</math> टॉर्क का परिमाण है, <math> \mathbf{r} </math> स्थिति वेक्टर है (उस बिंदु से एक वेक्टर जिसके बारे में टॉर्क को उस बिंदु तक मापा जा रहा है जहां बल लगाया जाता है),<math> \mathbf{F} </math> बल वेक्टर है,<math> \times </math> [[ क्रॉस उत्पाद |क्रॉस | जहाँ पर, <math>\boldsymbol\tau</math> टॉर्क सदिश है और <math>\tau</math> टॉर्क का परिमाण है, <math> \mathbf{r} </math> स्थिति वेक्टर है (उस बिंदु से एक वेक्टर जिसके बारे में टॉर्क को उस बिंदु तक मापा जा रहा है जहां बल लगाया जाता है), <math> \mathbf{F} </math> बल वेक्टर है, <math> \times </math> [[ क्रॉस उत्पाद |क्रॉस गुणांक]] को दर्शाता है, जो एक वेक्टर उत्पन्न करता है जो दोनों के लिए [[ लंबवत |लंबवत]] है {{mvar|r}} और {{mvar|F}} [[ दाहिने हाथ के नियम |दाहिने हाथ के नियम]] का पालन करते हुए, <math> \theta</math> बल वेक्टर और लीवर आर्म वेक्टर के बीच का कोण है। | ||
टॉर्क के लिए [[ एसआई यूनिट |एसआई यूनिट]] [[ न्यूटन-मीटर |न्यूटन-मीटर]] (N⋅m) है। टॉर्क की इकाइयों के बारे में अधिक जानकारी के लिए देखें {{slink||Units}}. | टॉर्क के लिए [[ एसआई यूनिट |एसआई यूनिट]] [[ न्यूटन-मीटर |न्यूटन-मीटर]] (N⋅m) है। टॉर्क की इकाइयों के बारे में अधिक जानकारी के लिए देखें {{slink||Units}}. | ||
== शब्दावली परिभाषित करना == | == शब्दावली परिभाषित करना == | ||
{{See also| | {{See also|युगल (यांत्रिकी)}} | ||
कहा जाता है कि ''टॉर्क'' ( [[ लैटिन |लैटिन]] | कहा जाता है कि ''टॉर्क'' ( [[ लैटिन |लैटिन]] [[ विक्ट: टॉर्के#लैटिन |टोरक्यूर]] टू ट्विस्ट) शब्द का सुझाव [[ जेम्स थॉमसन (इंजीनियर) |जेम्स थॉमसन]] द्वारा दिया गया था और प्रिंट में दिखाई दिया अप्रैल, 1884<ref>{{cite book | ||
|url= https://archive.org/details/collectedpapers00larmgoog/page/n110 | |url= https://archive.org/details/collectedpapers00larmgoog/page/n110 | ||
|title= Collected Papers in Physics and Engineering | |title= Collected Papers in Physics and Engineering | ||
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|text="जिस तरह ''[[बल]]'' की न्यूटोनियन परिभाषा वह है जो [[गति]] (एक रेखा के साथ) उत्पन्न करती है या उत्पन्न करती है, इसलिए टॉर्क को उस रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो उत्पन्न करता है या झुकता है ''[[मरोड़ (यांत्रिकी)| मरोड़]]'' (एक धुरी के चारों ओर) उत्पन्न करने के लिए। ऐसे शब्द का उपयोग करना बेहतर है जो इस क्रिया को एक निश्चित इकाई के रूप में मानता है, | |text="जिस तरह ''[[बल]]'' की न्यूटोनियन परिभाषा वह है जो [[गति]] (एक रेखा के साथ) उत्पन्न करती है या उत्पन्न करती है, इसलिए टॉर्क को उस रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो उत्पन्न करता है या झुकता है ''[[मरोड़ (यांत्रिकी)| मरोड़]]'' (एक धुरी के चारों ओर) उत्पन्न करने के लिए। ऐसे शब्द का उपयोग करना बेहतर है जो इस क्रिया को एक निश्चित इकाई के रूप में मानता है, अतिरिक्त इसके कि "[[युग्म (यांत्रिकी)" जैसे शब्दों का उपयोग किया जाए। |युग्म]]" और "[[क्षण (भौतिकी)|क्षण]]," जो अधिक जटिल विचारों का सुझाव देते हैं। शाफ्ट को घुमाने के लिए लगाए गए मोड़ की एकल धारणा रैखिक बल लगाने की अधिक जटिल धारणा से उत्तम है (या बलों की एक जोड़ी) एक निश्चित उत्तोलन के साथ।" | ||
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आज, भौगोलिक स्थिति और अध्ययन के क्षेत्र के आधार पर विभिन्न शब्दावली का उपयोग करने के लिए टॉर्क को संदर्भित किया जाता है। यह लेख 'टॉर्क' शब्द के उपयोग में अमेरिकी भौतिकी में प्रयुक्त परिभाषा का अनुसरण करता है।<ref name=Hendricks>हेंड्रिक्स, सुब्रमनी, और वैन ब्लर्क द्वारा ''फिजिक्स फॉर इंजीनियरिंग'', चिनप्पी पृष्ठ 148, [https://books.google.com/books?id=8Kp-UwV4o0gC&pg=PA148 वेब लिंक</ref> यूके और यूएस में [[ मैकेनिकल इंजीनियरिंग |मैकेनिकल इंजीनियरिंग]] में, टॉर्क को | आज, भौगोलिक स्थिति और अध्ययन के क्षेत्र के आधार पर विभिन्न शब्दावली का उपयोग करने के लिए टॉर्क को संदर्भित किया जाता है। यह लेख 'टॉर्क' शब्द के उपयोग में अमेरिकी भौतिकी में प्रयुक्त परिभाषा का अनुसरण करता है।<ref name=Hendricks>हेंड्रिक्स, सुब्रमनी, और वैन ब्लर्क द्वारा ''फिजिक्स फॉर इंजीनियरिंग'', चिनप्पी पृष्ठ 148, [https://books.google.com/books?id=8Kp-UwV4o0gC&pg=PA148 वेब लिंक</ref> | ||
यूके और यूएस में [[ मैकेनिकल इंजीनियरिंग |मैकेनिकल इंजीनियरिंग]] में, टॉर्क को बल के क्षण के रूप में संदर्भित किया जाता है, जिसे सामान्यतः पल तक छोटा किया जाता है।<ref name="Kane" /> ये शब्द यूएस भौतिकी में विनिमेय हैं<ref name="Hendricks" /> और यूके भौतिकी शब्दावली, यूएस मैकेनिकल इंजीनियरिंग के विपरीत, जहां 'टॉर्क' शब्द का प्रयोग [[ जोड़े (यांत्रिकी) |जोड़े]] के निकट से संबंधित परिणामी क्षण के लिए किया जाता है।<ref name="Kane" /> | |||
=== यूएस मैकेनिकल इंजीनियरिंग शब्दावली में टॉर्क और क्षण === | === यूएस मैकेनिकल इंजीनियरिंग शब्दावली में टॉर्क और क्षण === | ||
यूएस मैकेनिकल इंजीनियरिंग में, टॉर्क को गणितीय रूप से एक वस्तु के [[ कोणीय गति |कोणीय गति]] के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है (भौतिकी में इसे नेट टॉर्क कहा जाता है)। टॉर्क की परिभाषा में कहा गया है कि किसी वस्तु के [[ कोणीय वेग |कोणीय वेग]] या [[ जड़ता |जड़ता]] में से एक या दोनों बदल रहे हैं। क्षण एक सामान्य शब्द है जिसका प्रयोग एक या एक से अधिक [[ बल |बल]] एस की प्रवृत्ति के लिए किया जाता है जो किसी वस्तु को एक अक्ष के चारों ओर घुमाता है, लेकिन आवश्यक नहीं कि वस्तु के कोणीय गति को बदलने के लिए (अवधारणा जिसे टॉर्क कहा जाता है'') '' | यूएस मैकेनिकल इंजीनियरिंग में, टॉर्क को गणितीय रूप से एक वस्तु के [[ कोणीय गति |कोणीय गति]] के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है (भौतिकी में इसे नेट टॉर्क कहा जाता है)। टॉर्क की परिभाषा में कहा गया है कि किसी वस्तु के [[ कोणीय वेग |कोणीय वेग]] या [[ जड़ता |जड़ता]] में से एक या दोनों बदल रहे हैं। क्षण एक सामान्य शब्द है जिसका प्रयोग एक या एक से अधिक [[ बल |बल]] एस की प्रवृत्ति के लिए किया जाता है जो किसी वस्तु को एक अक्ष के चारों ओर घुमाता है, लेकिन आवश्यक नहीं कि वस्तु के कोणीय गति को बदलने के लिए (अवधारणा जिसे टॉर्क कहा जाता है'')''घूमता है।<ref name=Kane>केन, टी.आर. केन और डी.ए. लेविंसन (1985)। ''गतिकी, सिद्धांत और अनुप्रयोग'' पीपी. 90-99: [http://ecommons.library.cornell.edu/handle/1813/638 मुफ्त डाउनलोड]</ref> | ||
उदाहरण के लिए, शाफ्ट पर लगाया गया एक घूर्णी बल त्वरण का कारण बनता है, जैसे कि एक ड्रिल बिट आराम से तेज हो रहा है, जिसके परिणामस्वरूप एक पल में ''टॉर्क'' कहा जाता है। इसके विपरीत, बीम पर एक पार्श्व बल एक क्षण उत्पन्न करता है (जिसे [[ झुकने वाला क्षण |झुकने वाला क्षण]] कहा जाता है), लेकिन चूंकि बीम की कोणीय गति नहीं बदल रही है, इसलिए इस झुकने वाले क्षण को टॉर्क' नहीं कहा जाता है। इसी प्रकार किसी वस्तु पर कोई बल युग्म जिसके कोणीय संवेग में कोई परिवर्तन नहीं होता है, ऐसे क्षण को भी टॉर्क नहीं कहा जाता है। | उदाहरण के लिए, शाफ्ट पर लगाया गया एक घूर्णी बल त्वरण का कारण बनता है, जैसे कि एक ड्रिल बिट आराम से तेज हो रहा है, जिसके परिणामस्वरूप एक पल में ''टॉर्क'' कहा जाता है। इसके विपरीत, बीम पर एक पार्श्व बल एक क्षण उत्पन्न करता है (जिसे [[ झुकने वाला क्षण |झुकने वाला क्षण]] कहा जाता है), लेकिन चूंकि बीम की कोणीय गति नहीं बदल रही है, इसलिए इस झुकने वाले क्षण को टॉर्क' नहीं कहा जाता है। इसी प्रकार किसी वस्तु पर कोई बल युग्म जिसके कोणीय संवेग में कोई परिवर्तन नहीं होता है, ऐसे क्षण को भी टॉर्क नहीं कहा जाता है। | ||
== परिभाषा और कोणीय गति से संबंध == | == परिभाषा और कोणीय गति से संबंध == | ||
[[File:Torque, position, and force.svg|thumb|right|एक कण अपने घूर्णन अक्ष के सापेक्ष '''r''' स्थिति में स्थित होता है। जब एक बल '''F''' कण पर लगाया जाता है, तो केवल लंबवत घटक '''F'''<sub>⊥</sub> टॉर्क | [[File:Torque, position, and force.svg|thumb|right|एक कण अपने घूर्णन अक्ष के सापेक्ष '''r''' स्थिति में स्थित होता है। जब एक बल '''F''' कण पर लगाया जाता है, तो केवल लंबवत घटक '''F'''<sub>⊥</sub> टॉर्क उत्पन्न करता है। यह टॉर्क {{math|1='''τ''' = '''r''' × '''F'''}} परिमाण है {{math|1=''τ'' = <nowiki>|</nowiki>'''r'''<nowiki>| |</nowiki>'''F'''<sub>⊥</sub><nowiki>|</nowiki> = <nowiki>|</nowiki>'''r'''<nowiki>| |</nowiki>'''F'''<nowiki>|</nowiki> sin ''θ''}} और पृष्ठ से बाहर की ओर निर्देशित है। ]] | ||
[[ लीवर |लीवर के फुलक्रम]] ([[ लीवर आर्म |लीवर आर्म]] की लंबाई) से इसकी दूरी से गुणा करके लीवर पर लंबवत रूप से लगाया गया बल इसका टॉर्क है। तीन [[ न्यूटन (इकाई) |न्यूटन]] के बल ने फुलक्रम से दो [[ मीटर |मीटर]] सेकेंड लगाए, उदाहरण के लिए, एक न्यूटन के बल के रूप में एक ही टॉर्क को फुलक्रम से छह मीटर की दूरी पर लगाया जाता है। टॉर्क की दिशा [[ राइट हैंड ग्रिप नियम |राइट हैंड ग्रिप नियम]] का उपयोग करके निर्धारित की जा सकती है: यदि दाहिने हाथ की उंगलियों को लीवर आर्म की दिशा से बल की दिशा में घुमाया जाता है, तो अंगूठा किस दिशा में इंगित करता है टॉर्कः<ref>{{cite web|url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/tord.html|title=Right Hand Rule for Torque|access-date=2007-09-08}}</ref> | [[ लीवर |लीवर के फुलक्रम]] ([[ लीवर आर्म |लीवर आर्म]] की लंबाई) से इसकी दूरी से गुणा करके लीवर पर लंबवत रूप से लगाया गया बल इसका टॉर्क है। तीन [[ न्यूटन (इकाई) |न्यूटन]] के बल ने फुलक्रम से दो [[ मीटर |मीटर]] सेकेंड लगाए, उदाहरण के लिए, एक न्यूटन के बल के रूप में एक ही टॉर्क को फुलक्रम से छह मीटर की दूरी पर लगाया जाता है। टॉर्क की दिशा [[ राइट हैंड ग्रिप नियम |राइट हैंड ग्रिप नियम]] का उपयोग करके निर्धारित की जा सकती है: यदि दाहिने हाथ की उंगलियों को लीवर आर्म की दिशा से बल की दिशा में घुमाया जाता है, तो अंगूठा किस दिशा में इंगित करता है टॉर्कः<ref>{{cite web|url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/tord.html|title=Right Hand Rule for Torque|access-date=2007-09-08}}</ref> | ||
सामान्यतः, एक बिंदु कण पर टॉर्क (जिसकी स्थिति '''r''' कुछ संदर्भ फ्रेम में होती है) को [[ क्रॉस उत्पाद |क्रॉस गुणांक]] <math>\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F},</math> के रूप में परिभाषित किया जा सकता है: | |||
जहाँ '''F''' कण पर लगने वाला बल है। टॉर्क का परिमाण ''τ'' द्वारा दिया जाता है<math>\tau = rF\sin\theta,</math | |||
जहाँ '''F''' कण पर लगने वाला बल है। टॉर्क का परिमाण ''τ'' द्वारा दिया जाता है | |||
<math>\tau = rF\sin\theta,</math> | |||
यह क्रॉस | जहां ''F'' प्रयुक्त बल का परिमाण है, और ''θ'' स्थिति और बल सदिशों के बीच का कोण है। वैकल्पिक रूप से, <math>\tau = rF_{\perp},</math> | ||
जहाँ ''F''<sub>⊥</sub> कण की स्थिति के लिए लंबवत निर्देशित बल की मात्रा है। कण की स्थिति वेक्टर के समानांतर निर्देशित कोई भी बल टॉर्क उत्पन्न नहीं करता है<ref name="halliday_184-85{{cite book| last1=Halliday| first1=David|last2=Resnick|first2=Robert|title=Fundamentals of Physics|publisher=John Wiley & Sons, Inc.|year=1970|pages=184–85}}</ref"></ref><ref>{{Cite book|title=College Physics: A Strategic Approach|last1=Knight|first1=Randall|last2=Jones|first2=Brian| last3=Field|first3=Stuart| publisher=Pearson|others=Jones, Brian, 1960-, Field, Stuart, 1958-|year=2016|isbn=9780134143323| edition=Third edition, technology update|location=Boston|pages=199|oclc=922464227}}</ref> | |||
यह क्रॉस गुणांक के गुणों से इस प्रकार है कि टॉर्क वेक्टर स्थिति और बल दोनों सदिशों के लंबवत है। इसके विपरीत, टॉर्क वेक्टर उस विमान को परिभाषित करता है जिसमें स्थिति और बल वेक्टर झूठ बोलते हैं। परिणामी टॉर्क वेक्टर दिशा दाहिने हाथ के नियम द्वारा निर्धारित होती है<ref name="halliday_184-85" /> | |||
एक बॉडी पर शुद्ध टॉर्क बॉडी के [[ कोणीय गति |कोणीय गति]] के परिवर्तन की दर <math>\boldsymbol{\tau} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}</math> निर्धारित करता है, | |||
जहां '''L''' कोणीय संवेग सदिश है और ''t'' समय है। | जहां '''L''' कोणीय संवेग सदिश है और ''t'' समय है। | ||
एक बिंदु कण की गति के लिए,<math>\mathbf{L} = I\boldsymbol{\omega},</math> | एक बिंदु कण की गति के लिए, | ||
<math>\mathbf{L} = I\boldsymbol{\omega},</math> | |||
जहाँ पर {{math|''I''}} जड़ता का [[ क्षण है |क्षण है]] और '''ω''' कक्षीय [[ कोणीय वेग |कोणीय वेग]] स्यूडोवेक्टर है। यह इस प्रकार है कि<math>\boldsymbol{\tau}_{\mathrm{net}} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}(I\boldsymbol{\omega})}{\mathrm{d}t} = I\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\omega}}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{\omega} = I\boldsymbol{\alpha} + \frac{\mathrm{d}(mr^2)}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{\omega} = I\boldsymbol{\alpha} + 2rp_{||}\boldsymbol{\omega},</math> | जहाँ पर {{math|''I''}} जड़ता का [[ क्षण है |क्षण है]] और '''ω''' कक्षीय [[ कोणीय वेग |कोणीय वेग]] स्यूडोवेक्टर है। यह इस प्रकार है कि<math>\boldsymbol{\tau}_{\mathrm{net}} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}(I\boldsymbol{\omega})}{\mathrm{d}t} = I\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\omega}}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{\omega} = I\boldsymbol{\alpha} + \frac{\mathrm{d}(mr^2)}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{\omega} = I\boldsymbol{\alpha} + 2rp_{||}\boldsymbol{\omega},</math> | ||
जहां '''α''' कण का [[ कोणीय त्वरण |कोणीय त्वरण]] है, और ''p''<sub> | |</sub> इसके [[ रैखिक संवेग |रैखिक संवेग]] का रेडियल घटक है। यह समीकरण घूर्णन हैबिंदु कणों के लिए [[ न्यूटन के दूसरे नियम |न्यूटन के दूसरे नियम]] का सामान्य एनालॉग, और किसी भी प्रकार के प्रक्षेपवक्र के लिए मान्य है। ध्यान दें कि यद्यपि बल और त्वरण हमेशा समानांतर और सीधे आनुपातिक होते हैं, टॉर्क '''τ''' को कोणीय त्वरण '''α''' के समानांतर या सीधे आनुपातिक होने की आवश्यकता नहीं है। यह इस तथ्य से उत्पन्न होता है कि यद्यपि द्रव्यमान हमेशा संरक्षित होता है, सामान्य रूप से जड़ता का क्षण नहीं होता है। | जहां '''α''' कण का [[ कोणीय त्वरण |कोणीय त्वरण]] है, और ''p''<sub> | |</sub> इसके [[ रैखिक संवेग |रैखिक संवेग]] का रेडियल घटक है। यह समीकरण घूर्णन हैबिंदु कणों के लिए [[ न्यूटन के दूसरे नियम |न्यूटन के दूसरे नियम]] का सामान्य एनालॉग, और किसी भी प्रकार के प्रक्षेपवक्र के लिए मान्य है। ध्यान दें कि यद्यपि बल और त्वरण हमेशा समानांतर और सीधे आनुपातिक होते हैं, टॉर्क '''τ''' को कोणीय त्वरण '''α''' के समानांतर या सीधे आनुपातिक होने की आवश्यकता नहीं है। यह इस तथ्य से उत्पन्न होता है कि यद्यपि द्रव्यमान हमेशा संरक्षित होता है, सामान्य रूप से जड़ता का क्षण नहीं होता है। | ||
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एकल बिंदु कण के लिए कोणीय गति की परिभाषा है: | एकल बिंदु कण के लिए कोणीय गति की परिभाषा है: | ||
<गणित प्रदर्शन = ब्लॉक>\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}<nowiki></math></nowiki> | <गणित प्रदर्शन = ब्लॉक>\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}<nowiki></math></nowiki> | ||
जहाँ '''p''' कण का [[ रैखिक संवेग |रैखिक संवेग]] है और '''r''' मूल बिन्दु से स्थिति सदिश है। इसका समय-व्युत्पन्न है: | जहाँ '''p''' कण का [[ रैखिक संवेग |रैखिक संवेग]] है और '''r''' मूल बिन्दु से स्थिति सदिश है। इसका समय-व्युत्पन्न है: | ||
<गणित प्रदर्शन = ब्लॉक> \ फ्रैक {\ गणित {डी} \ गणित एफ {एल}} {\ गणित {डी} टी} = \ गणित एफ {आर} \ गुना \ फ्रैक {\ गणित {डी} \ गणितबफ {पी}} {\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} \times \mathbf{p}.<nowiki></math></nowiki> | |||
संवेग का क्रॉस | यह परिणाम सदिश को घटकों में विभाजित करके और [[ उत्पाद नियम |गुणांक नियम]]<nowiki> को प्रयुक्त करके आसानी से सिद्ध किया जा सकता है। अब बल की परिभाषा का उपयोग करते हुए <mathbf{F} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}</nowiki><nowiki></math></nowiki><nowiki> (द्रव्यमान है या नहीं) स्थिर) और वेग की परिभाषा <गणित प्रदर्शन = इनलाइन >\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{v}</nowiki><nowiki></math></nowiki> | ||
<nowiki><गणित प्रदर्शन = ब्लॉक> \ फ्रैक {\ गणित {डी} \ गणित {एल}} {\ गणित {डी} टी} = \ गणित {आर} \ गुना \ गणित एफ {एफ} + \ गणित {वी} \ बार \ गणितबीएफ {पी}। </गणित></nowiki> | |||
संवेग का क्रॉस गुणांक <math>\mathbf{p}</math> with its associated velocity <math>\mathbf{v}</math> शून्य है क्योंकि वेग और संवेग समानांतर हैं, इसलिए दूसरा पद लुप्त हो जाता है। | |||
परिभाषा के अनुसार, टॉर्क '''τ''' = '''r''' × '''F'''। इसलिए, एक कण पर टॉर्क के बराबर होता है | परिभाषा के अनुसार, टॉर्क '''τ''' = '''r''' × '''F'''। इसलिए, एक कण पर टॉर्क के बराबर होता है | ||
[[ अवकलज#अवकलन के लिए अंकन | समय के संबंध में इसके कोणीय संवेग का प्रथम अवकलज]] । | [[ अवकलज#अवकलन के लिए अंकन | समय के संबंध में इसके कोणीय संवेग का प्रथम अवकलज]] । | ||
यदि कई बल लगाए जाते हैं, तो इसके | यदि कई बल लगाए जाते हैं, तो इसके अतिरिक्त न्यूटन का दूसरा नियम पढ़ता है {{nowrap|1='''F'''<sub>net</sub> = ''m'''''a'''}}, और यह इस प्रकार है | ||
<गणित प्रदर्शन = ब्लॉक> \ फ्रैक {\ गणित {डी} \ गणित {एल}} {\ गणित {डी} टी} = \ गणित {आर} \ बार \ गणित {एफ} _ {\ गणित {नेट}} = \boldsymbol{\tau}_{\mathrm{net}}.</math> | <गणित प्रदर्शन = ब्लॉक> \ फ्रैक {\ गणित {डी} \ गणित {एल}} {\ गणित {डी} टी} = \ गणित {आर} \ बार \ गणित {एफ} _ {\ गणित {नेट}} = \boldsymbol{\tau}_{\mathrm{net}}.</math> | ||
यह बिंदु कणों के लिए एक सामान्य प्रमाण है। | यह बिंदु कणों के लिए एक सामान्य प्रमाण है। | ||
उपरोक्त प्रमाण को प्रत्येक बिंदु कणों पर प्रयुक्त करके और फिर सभी बिंदु कणों को जोड़कर | उपरोक्त प्रमाण को प्रत्येक बिंदु कणों पर प्रयुक्त करके और फिर सभी बिंदु कणों को जोड़कर प्रमाण को बिंदु कणों की एक प्रणाली के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। इसी तरह, द्रव्यमान के भीतर प्रत्येक बिंदु पर उपरोक्त प्रमाण को प्रयुक्त करके प्रमाण को निरंतर द्रव्यमान के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, और फिर [[ इंटीग्रल कैलकुस |पूरे द्रव्यमान पर]] को एकीकृत कर सकता है। | ||
== इकाइयां == | == इकाइयां == | ||
टॉर्क में [[ आयाम (भौतिकी) |आयाम]] बल समय [[ दूरी |दूरी]] , प्रतीकात्मक रूप से है {{dimanalysis|length=2|mass=1|time=−2}}. हालांकि वे मौलिक आयाम [[ ऊर्जा |ऊर्जा]] या [[ यांत्रिक कार्य |कार्य]] के लिए समान हैं, आधिकारिक [[ एसआई |एसआई]] साहित्य इकाई | टॉर्क में [[ आयाम (भौतिकी) |आयाम]] बल समय [[ दूरी |दूरी]] , प्रतीकात्मक रूप से है {{dimanalysis|length=2|mass=1|time=−2}}. हालांकि वे मौलिक आयाम [[ ऊर्जा |ऊर्जा]] या [[ यांत्रिक कार्य |कार्य]] के लिए समान हैं, आधिकारिक [[ एसआई |एसआई]] साहित्य इकाई [[ न्यूटन मीटर |न्यूटन मीटर]] (N⋅m) का उपयोग करने का सुझाव देता है और [[ जूल |जूल]] कभी नहीं<ref name=BIPM222>[https://www.bipm.org/en/publications/si-brochure/ आधिकारिक एसआई वेबसाइट] से, द इंटरनेशनल सिस्टम ऑफ यूनिट्स - 9वां संस्करण - अंग्रेजी में टेक्स्ट सेक्शन 2.3.4: ...के लिए | ||
उदाहरण के लिए, मात्रा टोक़ स्थिति वेक्टर और बल वेक्टर का क्रॉस उत्पाद है। | उदाहरण के लिए, मात्रा टोक़ स्थिति वेक्टर और बल वेक्टर का क्रॉस उत्पाद है। | ||
SI मात्रक न्यूटन मीटर है। यद्यपि बलाघूर्ण का आयाम ऊर्जा के समान है (SI मात्रक .) | SI मात्रक न्यूटन मीटर है। यद्यपि बलाघूर्ण का आयाम ऊर्जा के समान है (SI मात्रक .) | ||
जूल), टोक़ को व्यक्त करने के लिए जूल का उपयोग कभी नहीं किया जाता है।</ref><ref name="BIPM 5.1" /> इकाई | जूल), टोक़ को व्यक्त करने के लिए जूल का उपयोग कभी नहीं किया जाता है।</ref><ref name="BIPM 5.1" /> इकाई न्यूटन मीटर को सही ढंग से N⋅m निरूपित किया जाता है।<ref name="BIPM 5.1">{{cite web |title=SI brochure Ed. 9, Section 2.3.4 |publisher=Bureau International des Poids et Mesures |year=2019 |url=https://www.bipm.org/utils/common/pdf/si-brochure/SI-Brochure-9-EN.pdf|access-date=2020-05-29}}</ref> | ||
टॉर्क के लिए पारंपरिक इंपीरियल और यू.एस. प्रथागत इकाइयां [[ पाउंड-फुट (टॉर्क) |पाउंड फुट]] (एलबीएफ-फीट), या छोटे मूल्यों के लिए पाउंड इंच (एलबीएफ-इन) हैं। अमेरिका में, टॉर्क को सामान्यतः | टॉर्क के लिए पारंपरिक इंपीरियल और यू.एस. प्रथागत इकाइयां [[ पाउंड-फुट (टॉर्क) |पाउंड फुट]] (एलबीएफ-फीट), या छोटे मूल्यों के लिए पाउंड इंच (एलबीएफ-इन) हैं। अमेरिका में, टॉर्क को सामान्यतः फुट-पाउंड (एलबी-फीट या फीट-एलबी के रूप में चिह्नित) और '''इंच-पाउंड''' (इन-एलबी के रूप में चिह्नित) के रूप में जाना जाता है।<ref name=GRAINGER>{{cite web | title=Dial Torque Wrenches from Grainger | publisher=Grainger| year=2020 | url=https://www.grainger.com/category/tools/hand-tools/wrenches/torque-wrenches-accessories/dial-torque-wrenches}} प्रदर्शन है कि, जैसा कि अधिकांश अमेरिकी औद्योगिक सेटिंग्स में, टोक़ पर्वतमाला lbf-ft के बजाय ft-lb में दी जाती है</ref><ref>{{cite book | last1 = Erjavec | first1 = Jack | title = Manual Transmissions & Transaxles: Classroom manual | date = 22 January 2010 | pages = 38 | isbn = 978-1-4354-3933-7 }}</ref> प्रैक्टिशनर यह जानने के लिए संदर्भ और संक्षिप्त नाम में हाइफ़न पर निर्भर करते हैं कि ये टॉर्क को संदर्भित करते हैं न कि ऊर्जा या द्रव्यमान के क्षण को (जैसा कि प्रतीकवाद ft-lb ठीक से इंगित करेगा)। | ||
== विशेष मामले और अन्य तथ्य == | == विशेष मामले और अन्य तथ्य == | ||
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एक बहुत ही उपयोगी विशेष मामला, जिसे अक्सर भौतिकी के अलावा अन्य क्षेत्रों में टॉर्क की परिभाषा के रूप में दिया जाता है, इस प्रकार है:<math>\tau = (\text{moment arm}) (\text{force}).</math> | एक बहुत ही उपयोगी विशेष मामला, जिसे अक्सर भौतिकी के अलावा अन्य क्षेत्रों में टॉर्क की परिभाषा के रूप में दिया जाता है, इस प्रकार है:<math>\tau = (\text{moment arm}) (\text{force}).</math> | ||
आघूर्ण भुजा का निर्माण ऊपर उल्लिखित सदिश '''r''' और '''F''' के साथ दाईं ओर की आकृति में दिखाया गया है। इस परिभाषा के साथ समस्या यह है कि यह टॉर्क की दिशा नहीं बल्कि केवल परिमाण देता है, और इसलिए त्रि-आयामी मामलों में इसका उपयोग करना मुश्किल है। यदि बल विस्थापन सदिश '''r''' के लंबवत है, तो आघूर्ण भुजा केंद्र से दूरी के बराबर होगी, और दिए गए बल के लिए बल आघूर्ण अधिकतम होगा। एक लंबवत बल से उत्पन्न होने वाले टॉर्क के परिमाण के लिए समीकरण:<math>\tau = (\text{distance to centre}) (\text{force}).</math> | आघूर्ण भुजा का निर्माण ऊपर उल्लिखित सदिश '''r''' और '''F''' के साथ दाईं ओर की आकृति में दिखाया गया है। इस परिभाषा के साथ समस्या यह है कि यह टॉर्क की दिशा नहीं बल्कि केवल परिमाण देता है, और इसलिए त्रि-आयामी मामलों में इसका उपयोग करना मुश्किल है। यदि बल विस्थापन सदिश '''r''' के लंबवत है, तो आघूर्ण भुजा केंद्र से दूरी के बराबर होगी, और दिए गए बल के लिए बल आघूर्ण अधिकतम होगा। एक लंबवत बल से उत्पन्न होने वाले टॉर्क के परिमाण के लिए समीकरण: | ||
<math>\tau = (\text{distance to centre}) (\text{force}).</math> | |||
उदाहरण के लिए, यदि कोई व्यक्ति 0.5 मीटर लंबे रिंच के अंतिम छोर पर 10 एन का बल लगाता है (या किसी भी लंबाई के रिंच के मोड़ बिंदु से ठीक 0.5 मीटर की दूरी पर 10 एन का बल), तो टॉर्क होगा 5 N⋅m - यह मानते हुए कि व्यक्ति गति के विमान में बल लगाकर और रिंच के लंबवत होकर रिंच को हिलाता है। | उदाहरण के लिए, यदि कोई व्यक्ति 0.5 मीटर लंबे रिंच के अंतिम छोर पर 10 एन का बल लगाता है (या किसी भी लंबाई के रिंच के मोड़ बिंदु से ठीक 0.5 मीटर की दूरी पर 10 एन का बल), तो टॉर्क होगा 5 N⋅m - यह मानते हुए कि व्यक्ति गति के विमान में बल लगाकर और रिंच के लंबवत होकर रिंच को हिलाता है। | ||
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किसी वस्तु के [[ स्थिर संतुलन |स्थिर संतुलन]] में होने के लिए, न केवल बलों का योग शून्य होना चाहिए, बल्कि किसी भी बिंदु के बारे में टॉर्क (क्षण) का योग भी होना चाहिए। क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर बलों के साथ द्वि-आयामी स्थिति के लिए, बलों की आवश्यकता का योग दो समीकरण है: ''H'' = 0 और Σ''V'' = 0, और टॉर्क एक तीसरा समीकरण: Σ = 0. अर्थात्, [[ को स्थिर रूप से निर्धारित |को स्थिर रूप से निर्धारित]] संतुलन समस्याओं को दो आयामों में हल करने के लिए, तीन समीकरणों का उपयोग किया जाता है। | किसी वस्तु के [[ स्थिर संतुलन |स्थिर संतुलन]] में होने के लिए, न केवल बलों का योग शून्य होना चाहिए, बल्कि किसी भी बिंदु के बारे में टॉर्क (क्षण) का योग भी होना चाहिए। क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर बलों के साथ द्वि-आयामी स्थिति के लिए, बलों की आवश्यकता का योग दो समीकरण है: ''H'' = 0 और Σ''V'' = 0, और टॉर्क एक तीसरा समीकरण: Σ = 0. अर्थात्, [[ को स्थिर रूप से निर्धारित |को स्थिर रूप से निर्धारित]] संतुलन समस्याओं को दो आयामों में हल करने के लिए, तीन समीकरणों का उपयोग किया जाता है। | ||
=== शुद्ध बल | === शुद्ध बल के विपरीत बलाघूर्ण === | ||
जब तंत्र पर कुल बल शून्य होता है, तो अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु से मापा गया बल आघूर्ण समान होता है। उदाहरण के लिए, एक समान चुंबकीय क्षेत्र में वर्तमान-वाहक लूप पर टॉर्क संदर्भ के बिंदु की परवाह किए बिना समान है। यदि शुद्ध बल <math>\mathbf{F}</math> | जब तंत्र पर कुल बल शून्य होता है, तो अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु से मापा गया बल आघूर्ण समान होता है। उदाहरण के लिए, एक समान चुंबकीय क्षेत्र में वर्तमान-वाहक लूप पर टॉर्क संदर्भ के बिंदु की परवाह किए बिना समान है। यदि शुद्ध बल <math>\mathbf{F}</math> शून्य नहीं है, और <math>\boldsymbol{\tau}_1</math>, <math>\mathbf{r}_1</math> टॉर्क से मापा जाता है, तब <math>\mathbf{r}_2</math>से टॉर्क मापा जाता है | ||
<गणित प्रदर्शन = ब्लॉक>\boldsymbol{\tau}_2 = \boldsymbol{\tau}_1 + (\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2) \times \mathbf{F}</math> | |||
<गणित प्रदर्शन = ब्लॉक>\boldsymbol{\tau}_2 = \boldsymbol{\tau}_1 + (\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2) \times \mathbf{F}<nowiki></math></nowiki> | |||
== मशीन टॉर्क == | |||