संरचना कारक: Difference between revisions
From Vigyanwiki
No edit summary |
No edit summary |
||
| Line 194: | Line 194: | ||
[[File:square lattice scattering.png|thumb|वर्गाकार (तलीय) जालक द्वारा प्रकीर्णन का आरेख। घटना और आउटगोइंग बीम को दिखाया गया है, साथ ही साथ उनके तरंग वैक्टर के बीच संबंध भी <math>\mathbf{k}_i</math>, <math>\mathbf{k}_o</math> और स्कैटरिंग वाला वेक्टर <math>\mathbf{q}</math>.]]चित्रा 2-D पारस्परिक लैटिस के एक वेक्टर के निर्माण और एक स्कैटरिंग वाले प्रयोग के संबंध को दर्शाता है। | [[File:square lattice scattering.png|thumb|वर्गाकार (तलीय) जालक द्वारा प्रकीर्णन का आरेख। घटना और आउटगोइंग बीम को दिखाया गया है, साथ ही साथ उनके तरंग वैक्टर के बीच संबंध भी <math>\mathbf{k}_i</math>, <math>\mathbf{k}_o</math> और स्कैटरिंग वाला वेक्टर <math>\mathbf{q}</math>.]]चित्रा 2-D पारस्परिक लैटिस के एक वेक्टर के निर्माण और एक स्कैटरिंग वाले प्रयोग के संबंध को दर्शाता है। | ||
तरंग वेक्टर <math>\mathbf{k}_i</math> के साथ एक समानांतर बीम पैरामीटर <math>a</math> के वर्गाकार जालक पर आपतित होता है. अवकीर्ण हुई तरंग का पता एक निश्चित कोण पर लगाया जाता है, जो निवर्तमान किरण के तरंग वेक्टर को परिभाषित करता है, <math>\mathbf{k}_o</math> (लोचदार स्कैटरिंग की धारणा के अनुसार , <math>|\mathbf{k}_o| = |\mathbf{k}_i|</math>). कोई समान रूप से स्कैटरिंग वाले वेक्टर <math>\mathbf{q}=\mathbf{k}_o - \mathbf{k}_i</math> | तरंग वेक्टर <math>\mathbf{k}_i</math> के साथ एक समानांतर बीम पैरामीटर <math>a</math> के वर्गाकार जालक पर आपतित होता है. अवकीर्ण हुई तरंग का पता एक निश्चित कोण पर लगाया जाता है, जो निवर्तमान किरण के तरंग वेक्टर को परिभाषित करता है, <math>\mathbf{k}_o</math> (लोचदार स्कैटरिंग की धारणा के अनुसार , <math>|\mathbf{k}_o| = |\mathbf{k}_i|</math>). कोई समान रूप से स्कैटरिंग वाले वेक्टर <math>\mathbf{q}=\mathbf{k}_o - \mathbf{k}_i</math>को परिभाषित कर सकता है और हार्मोनिक प्रतिरूप <math>\exp (i \mathbf{q}\mathbf{r})</math> का निर्माण कर सकता है दर्शाए गए उदाहरण में, इस प्रतिरूप का अंतर कण पंक्तियों के बीच की दूरी से मेल खाता है: <math>q = 2\pi /a</math>, जिससे सभी कणों से स्कैटरिंग में योगदान चरण (रचनात्मक हस्तक्षेप) में हो। इस प्रकार, दिशा में कुल संकेत <math>\mathbf{k}_o</math> शक्तिशाली है, और <math>\mathbf{q}</math> पारस्परिक लैटिस के अंतर्गत आता है। यह आसानी से दिखाया गया है कि यह विन्यास ब्रैग के नियम को पूरा करता है। | ||
[[File:Sq linear.svg|thumb|विभिन्न कण संख्याओं के लिए आवर्त श्रृंखला का संरचना कारक <math>N</math>.]] | [[File:Sq linear.svg|thumb|विभिन्न कण संख्याओं के लिए आवर्त श्रृंखला का संरचना कारक <math>N</math>.]] | ||
| Line 207: | Line 207: | ||
: <math>S(q) = \frac{1}{N} \left | \frac{1 - \mathrm{e}^{-i N q a}}{1 - \mathrm{e}^{-i q a}} \right |^2 = \frac{1}{N} \left [ \frac{\sin(N q a/2)}{\sin(q a/2)} \right ]^2. </math> | : <math>S(q) = \frac{1}{N} \left | \frac{1 - \mathrm{e}^{-i N q a}}{1 - \mathrm{e}^{-i q a}} \right |^2 = \frac{1}{N} \left [ \frac{\sin(N q a/2)}{\sin(q a/2)} \right ]^2. </math> | ||
यह | यह कार्य चित्र में विभिन्न मानों के लिए <math>N</math> दिखाया गया है जब प्रत्येक कण से प्रकीर्णन चरण में होता है, जो तब होता है जब प्रकीर्णन एक पारस्परिक लैटिस बिंदु पर होता है <math>q = 2 k \pi/a</math>, आयामों का योग होना चाहिए <math>\propto N</math> और इसलिए तीव्रता में अधिकतम हैं <math>\propto N^2</math>. उपरोक्त अभिव्यक्ति के लिए <math>S(q)</math> और सीमा का अनुमान <math>S(q \to 0)</math> उदाहरण के लिए, ल'हॉपिटल नियम का उपयोग करके) यह दर्शाता है <math>S(q = 2 k \pi/a) = N</math> जैसा कि चित्र में देखा गया है। मध्यबिंदु पर <math>S(q = (2 k +1) \pi/a) = 1/N</math> (प्रत्यक्ष मूल्यांकन द्वारा) और चोटी की चौड़ाई <math>1/N</math> घट जाती है . बड़े में <math>N</math> सीमा, चोटियाँ असीम रूप से तीक्ष्ण डायराक डेल्टा फ़ंक्शंस बन जाती हैं, पूर्ण 1-D लैटिस का पारस्परिक लैटिस का कार्य करता है। | ||
क्रिस्टलोग्राफी में जब <math>F_{hkl}</math> प्रयोग किया जाता है, <math>N</math> बड़ा है, और विवर्तन पर औपचारिक आकार के प्रभाव को लिया जाता है <math> \left [ \frac{\sin(N q a/2)}{(q a/2)} \right ]^2 </math>, जो कि अभिव्यक्ति के समान है <math>S(q)</math> ऊपर पारस्परिक लैटिस बिंदुओं के पास, <math>q \approx 2 k \pi/a</math>. दृढ़ संकल्प का उपयोग करके, हम परिमित वास्तविक क्रिस्टल संरचना का वर्णन [लैटिस ] के रूप में कर सकते हैं <math>\ast</math> [आधार]<math>\times</math> आयताकार फलन, जहां आयताकार | क्रिस्टलोग्राफी में जब <math>F_{hkl}</math> प्रयोग किया जाता है, <math>N</math> बड़ा है, और विवर्तन पर औपचारिक आकार के प्रभाव को लिया जाता है <math> \left [ \frac{\sin(N q a/2)}{(q a/2)} \right ]^2 </math>, जो कि अभिव्यक्ति के समान है <math>S(q)</math> ऊपर पारस्परिक लैटिस बिंदुओं के पास, <math>q \approx 2 k \pi/a</math>. दृढ़ संकल्प का उपयोग करके, हम परिमित वास्तविक क्रिस्टल संरचना का वर्णन [लैटिस ] के रूप में कर सकते हैं <math>\ast</math> [आधार]<math>\times</math> आयताकार फलन, जहां आयताकार कार्य का मान क्रिस्टल के अंदर 1 और उसके बाहर 0 होता है। तब <math>\mathcal{F}</math>[क्रिस्टल संरचना] = <math>\mathcal{F}</math>[लैटिस ] <math>\times \mathcal{F}</math>[आधार] <math>\ast {F}</math>[आयताकार समारोह]; अर्थात् बिखरना <math>\propto</math> [पारस्परिक लैटिस ] <math>\times</math> [संरचना कारक] <math>\ast</math> [[[ sinc ]] कार्य ]। इस प्रकार तीव्रता, जो पूर्ण क्रिस्टल के लिए स्थिति का एक डेल्टा कार्य है, बन जाती है <math display="inline">\operatorname{sinc}^2</math> अधिकतम के साथ हर बिंदु के आसपास कार्य करें <math>\propto N^2</math>, एक चौड़ाई <math>\propto 1/N</math>, क्षेत्र <math>\propto N</math>. | ||
===पहले प्रकार का विकार === | ===पहले प्रकार का विकार === | ||
| Line 215: | Line 215: | ||
: <math>S(q) = \frac{1}{N} \left [ \frac{\sin(N q a/2)}{\sin(q a/2)} \right ]^2 \exp\left(-q^2\langle \delta x^2\rangle\right) </math> | : <math>S(q) = \frac{1}{N} \left [ \frac{\sin(N q a/2)}{\sin(q a/2)} \right ]^2 \exp\left(-q^2\langle \delta x^2\rangle\right) </math> | ||
जहां विकार को एक पूर्ण एक-आयामी लैटिस में उनकी स्थिति से स्थितियों <math>x_j</math> के माध्य-वर्ग विस्थापन द्वारा मापा जाता है <math> a (j - (N-1)/2)</math>, अर्थात।, <math> x_j=a (j - (N-1)/2) +\delta x</math>, जहाँ <math>\delta x</math> एक छोटा है (a से बहुत कम) यादृच्छिक विस्थापन है। प्रथम प्रकार के विकार के लिए, प्रत्येक यादृच्छिक विस्थापन <math>\delta x</math> दूसरों से स्वतंत्र है, और एक पूर्ण लैटिस के संबंध में। इस प्रकार विस्थापन <math>\delta x</math> क्रिस्टल के अनुवाद क्रम को नष्ट न करें। इसका परिणाम यह है कि अनंत क्रिस्टल | जहां विकार को एक पूर्ण एक-आयामी लैटिस में उनकी स्थिति से स्थितियों <math>x_j</math> के माध्य-वर्ग विस्थापन द्वारा मापा जाता है <math> a (j - (N-1)/2)</math>, अर्थात।, <math> x_j=a (j - (N-1)/2) +\delta x</math>, जहाँ <math>\delta x</math> एक छोटा है (a से बहुत कम) यादृच्छिक विस्थापन है। प्रथम प्रकार के विकार के लिए, प्रत्येक यादृच्छिक विस्थापन <math>\delta x</math> दूसरों से स्वतंत्र है, और एक पूर्ण लैटिस के संबंध में। इस प्रकार विस्थापन <math>\delta x</math> क्रिस्टल के अनुवाद क्रम को नष्ट न करें। इसका परिणाम यह है कि अनंत क्रिस्टल (<math> N\to\infty</math>) के लिए संरचना कारक में अभी भी डेल्टा- कार्य ब्रैग चोटियाँ हैं - चोटी की चौड़ाई अभी भी <math> N\to\infty</math> शून्य हो जाती है , इस तरह के विकार के साथ। चूंकि , यह चोटियों के आयाम को कम करता है, और घातीय कारक में <math> q^2</math> के कारक के कारण, यह छोटे क्यू पर चोटियों की तुलना में बड़े <math> q</math> पर चोटियों को कम करता है। | ||
संरचना को केवल <math> q</math> और विकार पर निर्भर शब्द से कम किया जाता है क्योंकि पहली तरह के सभी विकार स्कैटरिंग वाले स्तरों को धुंधला कर देते हैं, प्रभावी रूप से फार्म कारक को कम करते हैं। | |||
तीन आयामों में प्रभाव समान होता है, संरचना फिर से गुणक कारक से कम हो जाती है, और इस कारक को अधिकांशतः डेबी-वॉलर कारक कहा जाता है। ध्यान दें कि डेबी-वालर कारक को अधिकांशतः तापीय गति के लिए उत्तरदायी ठहराया जाता है, अर्थात <math>\delta x</math> तापीय गति के कारण होते हैं, किन्तु एक आदर्श लैटिस के बारे में कोई भी यादृच्छिक विस्थापन, न केवल थर्मल वाले, डेबी-वालर कारक में योगदान करेंगे। | तीन आयामों में प्रभाव समान होता है, संरचना फिर से गुणक कारक से कम हो जाती है, और इस कारक को अधिकांशतः डेबी-वॉलर कारक कहा जाता है। ध्यान दें कि डेबी-वालर कारक को अधिकांशतः तापीय गति के लिए उत्तरदायी ठहराया जाता है, अर्थात <math>\delta x</math> तापीय गति के कारण होते हैं, किन्तु एक आदर्श लैटिस के बारे में कोई भी यादृच्छिक विस्थापन, न केवल थर्मल वाले, डेबी-वालर कारक में योगदान करेंगे। | ||
| Line 231: | Line 231: | ||
आरंभ करने के लिए हम सरलता के लिए एक अनंत क्रिस्टल पर विचार करेंगे, अर्थात, <math>N\to\infty</math>. हम नीचे दूसरे प्रकार के विकार वाले परिमित क्रिस्टल पर विचार करेंगे। | आरंभ करने के लिए हम सरलता के लिए एक अनंत क्रिस्टल पर विचार करेंगे, अर्थात, <math>N\to\infty</math>. हम नीचे दूसरे प्रकार के विकार वाले परिमित क्रिस्टल पर विचार करेंगे। | ||
हमारे अनंत क्रिस्टल के लिए, हम लैटिस स्थल के जोड़े पर विचार करना चाहते हैं। अनंत क्रिस्टल के बड़े प्रत्येक तल के लिए, दो निकटतम <math>m</math> स्तर दूर होते हैं , इसलिए उपरोक्त दोहरा योग एक परमाणु के दोनों ओर, स्थिति <math>-m</math> और <math>m</math> जालक दूरी पर <math>N</math> के समय में निकटतम के जोड़े पर एक एकल योग बन जाता है | हमारे अनंत क्रिस्टल के लिए, हम लैटिस स्थल के जोड़े पर विचार करना चाहते हैं। अनंत क्रिस्टल के बड़े प्रत्येक तल के लिए, दो निकटतम <math>m</math> स्तर दूर होते हैं , इसलिए उपरोक्त दोहरा योग एक परमाणु के दोनों ओर, स्थिति <math>-m</math> और <math>m</math> जालक दूरी पर <math>N</math> के समय में निकटतम के जोड़े पर एक एकल योग बन जाता है| तो फिर | ||
:<math>S(q) = 1+ 2 \sum_{m=1}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}{\rm d}(\Delta x)p_m(\Delta x)\cos\left(q\Delta x\right)</math> | :<math>S(q) = 1+ 2 \sum_{m=1}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}{\rm d}(\Delta x)p_m(\Delta x)\cos\left(q\Delta x\right)</math> | ||
जहाँ <math>p_m(\Delta x)</math> | जहाँ <math>p_m(\Delta x)</math> समतलों की एक जोड़ी <math>m</math> लैटिस रिक्ति के अलग <math>\Delta x</math> के लिए प्रायिकता घनत्व कार्य है। निकटतम स्तरों के पृथक्करण के लिए हम सरलता के लिए मान लेते हैं कि औसत निकटतम अंतराल के आसपास के उतार-चढ़ाव गाऊसी हैं, अर्थात, | ||
:<math>p_1(\Delta x)=\frac{1}{\left(2\pi\sigma_2^2\right)^{1/2}} | :<math>p_1(\Delta x)=\frac{1}{\left(2\pi\sigma_2^2\right)^{1/2}} | ||
\exp\left[-\left(\Delta x-a\right)^2/(2\sigma_2^2)\right]</math> | \exp\left[-\left(\Delta x-a\right)^2/(2\sigma_2^2)\right]</math> | ||
और हम यह भी मानते हैं कि एक तल और उसके निकटतम के बीच और इस निकटतम और अगले तल के बीच उतार-चढ़ाव स्वतंत्र हैं। तब <math>p_2(\Delta x)</math> | और हम यह भी मानते हैं कि एक तल और उसके निकटतम के बीच और इस निकटतम और अगले तल के बीच उतार-चढ़ाव स्वतंत्र हैं। तब <math>p_2(\Delta x)</math> केवल दो <math>p_1(\Delta x)</math> का दृढ़ संकल्प है| जैसा कि दो गॉसियन का दृढ़ संकल्प केवल एक और गॉसियन है, हमारे पास वह है | ||
:<math>p_m(\Delta x)=\frac{1}{\left(2\pi m\sigma_2^2\right)^{1/2}} | :<math>p_m(\Delta x)=\frac{1}{\left(2\pi m\sigma_2^2\right)^{1/2}} | ||
\exp\left[-\left(\Delta x-ma\right)^2/(2m\sigma_2^2)\right]</math> | \exp\left[-\left(\Delta x-ma\right)^2/(2m\sigma_2^2)\right]</math> | ||
:<math>S(q)</math> में योग तब गॉसियन के फूरियर रूपांतरणों का योग है, और इसी तरह | |||
:<math>S(q)=1+2\sum_{m=1}^{\infty}r^m | :<math>S(q)=1+2\sum_{m=1}^{\infty}r^m | ||
\cos\left(mqa\right)</math> | \cos\left(mqa\right)</math> | ||
<math>r=\exp[-q^2\sigma_2^2/2]</math>. के लिए योग योग का वास्तविक भाग है <math>\sum_{m=1}^{\infty} [r\exp(iqa)]^m</math> और इसलिए अनंत किन्तु अव्यवस्थित क्रिस्टल का संरचना कारक है | |||
:<math>S(q)=\frac{1-r^2}{1+r^2-2r\cos(qa)}</math> | :<math>S(q)=\frac{1-r^2}{1+r^2-2r\cos(qa)}</math> | ||
| Line 257: | Line 257: | ||
{1+\frac{r}{(1-r)^2}\frac{\Delta q^2a^2}{2}} | {1+\frac{r}{(1-r)^2}\frac{\Delta q^2a^2}{2}} | ||
\approx \frac{S(q_P)}{1+\frac{\Delta q^2}{[q_P^2\sigma_2^2/a]^2/2}}</math> | \approx \frac{S(q_P)}{1+\frac{\Delta q^2}{[q_P^2\sigma_2^2/a]^2/2}}</math> | ||
जो FWHM | जो FWHM <math>q_P^2\sigma_2^2/a=4\pi^2n^2(\sigma_2/a)^2/a</math>, अर्थात , FWHM चोटी के क्रम के वर्ग के रूप में बढ़ता है, और इसलिए तरंग वेक्टर <math>q</math> के वर्ग के रूप में में बढ़ता है। | ||
अंत में, चोटी की ऊंचाई और FWHM का गुणनफल स्थिर और | अंत में, चोटी की ऊंचाई और FWHM का गुणनफल स्थिर और <math>q\sigma_2\ll 1</math> की सीमा, में <math>q\sigma_2\ll 1</math> के बराबर है। पहले कुछ चोटियों के लिए जहाँ <math>n</math> बड़ा नहीं है, यह बस है <math>\sigma_2/a\ll 1</math> सीमा है । | ||
====दूसरी तरह के विकार के साथ परिमित क्रिस्टल ==== | ====दूसरी तरह के विकार के साथ परिमित क्रिस्टल ==== | ||
आकार | आकार <math>N</math> के एक आयामी क्रिस्टल के लिए | ||
:<math>S(q)=1+2\sum_{m=1}^N\left(1-\frac{m}{N}\right)r^m\cos\left(mqa\right) | :<math>S(q)=1+2\sum_{m=1}^N\left(1-\frac{m}{N}\right)r^m\cos\left(mqa\right) | ||
</math> | </math> | ||
जहां कोष्ठक में कारक इस तथ्य से आता है कि योग निकटतम-निकटतम जोड़े से अधिक है (<math>m=1</math>), अगले निकटतम-निकटतम (<math>m=2</math>), ... और एक क्रिस्टल के लिए <math>N</math> विमान, हैं <math>N-1</math> निकटतम पड़ोसियों के जोड़े, <math>N-2</math> अगले-निकटतम पड़ोसियों के जोड़े | जहां कोष्ठक में कारक इस तथ्य से आता है कि योग निकटतम-निकटतम जोड़े से अधिक है (<math>m=1</math>), अगले निकटतम-निकटतम (<math>m=2</math>), ... और एक क्रिस्टल के लिए <math>N</math> विमान, हैं <math>N-1</math> निकटतम पड़ोसियों के जोड़े, <math>N-2</math> अगले-निकटतम पड़ोसियों के जोड़े आदि। | ||
== तरल पदार्थ == | == तरल पदार्थ == | ||
| Line 273: | Line 273: | ||
{{NumBlk|:|<math>S(q) = 1 + \frac{1}{N} \left \langle \sum_{j \neq k} \mathrm{e}^{-i \mathbf{q} (\mathbf{R}_j - \mathbf{R}_k)} \right \rangle</math>.|{{EquationRef|9}}}} | {{NumBlk|:|<math>S(q) = 1 + \frac{1}{N} \left \langle \sum_{j \neq k} \mathrm{e}^{-i \mathbf{q} (\mathbf{R}_j - \mathbf{R}_k)} \right \rangle</math>.|{{EquationRef|9}}}} | ||
रेडियल [[रेडियल वितरण समारोह|वितरण]] कार्य <math>g(r)</math> के संदर्भ में कोई <math>S(q)</math> के लिए एक वैकल्पिक अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकता है:<ref>See Chandler, section 7.5.</ref> | |||
{{NumBlk|:| <math>S(q) = 1 + \rho \int_V \mathrm{d} \mathbf{r} \, \mathrm{e}^{-i \mathbf{q}\mathbf{r}} g(r)</math>.|{{EquationRef|10}}}} | {{NumBlk|:| <math>S(q) = 1 + \rho \int_V \mathrm{d} \mathbf{r} \, \mathrm{e}^{-i \mathbf{q}\mathbf{r}} g(r)</math>.|{{EquationRef|10}}}} | ||
===[[आदर्श गैस]]=== | ===[[आदर्श गैस]]=== | ||
किसी अन्योन्य संपर्क के सीमित स्थिति में, प्रणाली एक आदर्श गैस है और संरचना कारक पूरी तरह से सुविधा रहित है: <math>S(q) = 1</math>, क्योंकि पदों के बीच कोई संबंध नहीं है <math>\mathbf{R}_j</math> और <math>\mathbf{R}_k</math> विभिन्न कणों के (वे [[स्वतंत्र यादृच्छिक चर]] हैं), इसलिए समीकरण में ऑफ-विकर्ण शब्द ({{EquationNote|9}}) औसत से शून्य: | |||
<math>\langle \exp [-i \mathbf{q} (\mathbf{R}_j - \mathbf{R}_k)]\rangle = \langle \exp (-i \mathbf{q} \mathbf{R}_j) \rangle \langle \exp (i \mathbf{q} \mathbf{R}_k) \rangle = 0</math>. | |||
=== उच्च-{{math|''q''}} सीमा === | === उच्च-{{math|''q''}} सीमा === | ||
| Line 284: | Line 286: | ||
=== कम-{{math|''q''}} सीमा === | === कम-{{math|''q''}} सीमा === | ||
नीच में-<math>q</math> सीमा, क्योंकि प्रणाली की जांच बड़ी लंबाई के | नीच में -<math>q</math> सीमा, क्योंकि प्रणाली की जांच बड़ी लंबाई के मापदंड पर की जाती है, संरचना कारक में थर्मोडायनामिक जानकारी होती है, जो [[इज़ोटेर्माल संपीड्यता]] द्वारा तरल के [[इज़ोटेर्माल संपीड्यता]] <math>\chi _T</math> से संबंधित होती है: | ||
: <math>\lim _{q \rightarrow 0} S(q) = \rho \, k_\mathrm{B}T\, \chi _T = k_\mathrm{B}T \left(\frac{\partial \rho}{\partial p}\right)</math>. | : <math>\lim _{q \rightarrow 0} S(q) = \rho \, k_\mathrm{B}T\, \chi _T = k_\mathrm{B}T \left(\frac{\partial \rho}{\partial p}\right)</math>. | ||
=== हार्ड-गोला तरल पदार्थ === | === हार्ड-गोला तरल पदार्थ === | ||
[[File:HS structure factor PY.svg|thumb|वॉल्यूम अंशों के लिए पर्कस-येविक सन्निकटन का उपयोग करके गणना की गई हार्ड-स्फेयर तरल पदार्थ का संरचना कारक <math>\Phi</math> 1% से 40% तक।]][[कठिन क्षेत्र]] मॉडल में, कणों को त्रिज्या के साथ अभेद्य गोले के रूप में वर्णित किया गया है <math>R</math>; इस प्रकार, उनकी केंद्र से केंद्र की दूरी <math>r \geq 2R</math> और वे इस दूरी से परे किसी भी तरह की | [[File:HS structure factor PY.svg|thumb|वॉल्यूम अंशों के लिए पर्कस-येविक सन्निकटन का उपयोग करके गणना की गई हार्ड-स्फेयर तरल पदार्थ का संरचना कारक <math>\Phi</math> 1% से 40% तक।]][[कठिन क्षेत्र]] मॉडल में, कणों को त्रिज्या के साथ अभेद्य गोले के रूप में वर्णित किया गया है <math>R</math>; इस प्रकार, उनकी केंद्र से केंद्र की दूरी <math>r \geq 2R</math> और वे इस दूरी से परे किसी भी तरह की परस्पर क्रिया का अनुभव नहीं करते हैं। उनकी अंतःक्रियात्मक क्षमता को इस प्रकार लिखा जा सकता है: | ||
: <math> V(r) = \begin{cases} | : <math> V(r) = \begin{cases} | ||
\infty &\text{for } r < 2 R, \\ | \infty &\text{for } r < 2 R, \\ | ||
| Line 294: | Line 296: | ||
\end{cases} | \end{cases} | ||
</math> | </math> | ||
इस मॉडल का एक विश्लेषणात्मक समाधान है<ref>{{Cite journal | last1 = Wertheim | first1 = M. | title = कठिन क्षेत्रों के लिए पर्कस-येविक इंटीग्रल समीकरण का सटीक समाधान| doi = 10.1103/PhysRevLett.10.321 | journal = Physical Review Letters | volume = 10 | issue = 8 | pages = 321–323 | year = 1963 |bibcode = 1963PhRvL..10..321W }}</ref> | इस मॉडल का पर्कस-येविक सन्निकटन में एक विश्लेषणात्मक समाधान है<ref>{{Cite journal | last1 = Wertheim | first1 = M. | title = कठिन क्षेत्रों के लिए पर्कस-येविक इंटीग्रल समीकरण का सटीक समाधान| doi = 10.1103/PhysRevLett.10.321 | journal = Physical Review Letters | volume = 10 | issue = 8 | pages = 321–323 | year = 1963 |bibcode = 1963PhRvL..10..321W }}</ref> चूंकि अत्यधिक सरलीकृत, यह तरल धातुओं से लेकर प्रणालियों के लिए एक अच्छा विवरण प्रदान करता है<ref>{{Cite journal | last1 = Ashcroft | first1 = N. | last2 = Lekner | first2 = J. | doi = 10.1103/PhysRev.145.83 | title = तरल धातुओं की संरचना और प्रतिरोधकता| journal = Physical Review | volume = 145 | pages = 83–90 | year = 1966 | issue = 1 |bibcode = 1966PhRv..145...83A }}</ref> कोलाइडल निलंबन के लिए।<ref>{{Cite journal | last1 = Pusey | first1 = P. N. | last2 = Van Megen | first2 = W. | doi = 10.1038/320340a0 | title = लगभग कठोर कोलाइडल क्षेत्रों के केंद्रित निलंबन का चरण व्यवहार| journal = Nature | volume = 320 | issue = 6060 | pages = 340 | year = 1986 |bibcode = 1986Natur.320..340P | s2cid = 4366474 }}</ref> एक दृष्टान्त में, आयतन अंशों के लिए, एक कठोर-गोले द्रव के लिए संरचना कारक को <math>\Phi</math> 1% से 40% तक चित्र में दिखाया गया है | ||
== [[ पॉलीमर ]] == | == [[ पॉलीमर ]] == | ||
बहुलक प्रणालियों में, सामान्य परिभाषा ({{EquationNote|4}}) धारण करता है; प्राथमिक घटक अब चेन बनाने वाले [[मोनोमर]] | बहुलक प्रणालियों में, सामान्य परिभाषा ({{EquationNote|4}}) धारण करता है; प्राथमिक घटक अब चेन बनाने वाले [[मोनोमर]] हैं। चूंकि , संरचना कारक कण की स्थिति के बीच सहसंबंध का एक उपाय है, कोई भी उचित रूप से उम्मीद कर सकता है कि यह सहसंबंध एक ही श्रृंखला या विभिन्न श्रृंखलाओं से संबंधित मोनोमर्स के लिए अलग होगा। | ||
आइए मान लें कि वॉल्यूम <math>V</math> रोकना <math>N_c</math> समान अणु | आइए मान लें कि वॉल्यूम <math>V</math> रोकना <math>N_c</math> समान अणु होते हैं '''जिनमें से''' प्रत्येक '''बना है''' <math>N_p</math> मोनोमर्स, से बना होता है, जैसे कि <math>N_c N_p = N</math> (<math>N_p</math> पोलीमराइज़ेशन की डिग्री के रूप में भी जाना जाता है)। हम ({{EquationNote|4}}) फिर से लिख सकते हैं | ||
{{NumBlk|:|<math>S(\mathbf{q}) = \frac{1}{N_c N_p} \left \langle \sum_{\alpha \beta = 1}^{N_c} \sum_{jk = 1}^{N_p} \mathrm{e}^{-i \mathbf{q} (\mathbf{R}_{\alpha j} - \mathbf{R}_{\beta k})} \right \rangle = \frac{1}{N_c N_p} \left \langle \sum_{\alpha = 1}^{N_c} \sum_{jk = 1}^{N_p} \mathrm{e}^{-i \mathbf{q} (\mathbf{R}_{\alpha j} - \mathbf{R}_{\alpha k})} \right \rangle + \frac{1}{N_c N_p} \left \langle \sum_{\alpha \neq \beta = 1}^{N_c} \sum_{jk = 1}^{N_p} \mathrm{e}^{-i \mathbf{q} (\mathbf{R}_{\alpha j} - \mathbf{R}_{\beta k})} \right \rangle</math>,|{{EquationRef|11}}}} | {{NumBlk|:|<math>S(\mathbf{q}) = \frac{1}{N_c N_p} \left \langle \sum_{\alpha \beta = 1}^{N_c} \sum_{jk = 1}^{N_p} \mathrm{e}^{-i \mathbf{q} (\mathbf{R}_{\alpha j} - \mathbf{R}_{\beta k})} \right \rangle = \frac{1}{N_c N_p} \left \langle \sum_{\alpha = 1}^{N_c} \sum_{jk = 1}^{N_p} \mathrm{e}^{-i \mathbf{q} (\mathbf{R}_{\alpha j} - \mathbf{R}_{\alpha k})} \right \rangle + \frac{1}{N_c N_p} \left \langle \sum_{\alpha \neq \beta = 1}^{N_c} \sum_{jk = 1}^{N_p} \mathrm{e}^{-i \mathbf{q} (\mathbf{R}_{\alpha j} - \mathbf{R}_{\beta k})} \right \rangle</math>,|{{EquationRef|11}}}} | ||
जहां सूचकांक <math>\alpha , \beta</math> विभिन्न अणुओं को लेबल करें और <math>j, k</math> प्रत्येक अणु के साथ अलग-अलग मोनोमर्स। दाईं ओर हमने | जहां सूचकांक <math>\alpha , \beta</math> विभिन्न अणुओं को लेबल करें और <math>j, k</math> प्रत्येक अणु के साथ अलग-अलग मोनोमर्स। दाईं ओर हमने अंतरा-आणविक <math>\alpha = \beta</math> को अलग किया और अंतरा-आणविक (<math>\alpha \neq \beta</math>) शब्दों को अलग किया। जंजीरों ({{EquationNote|11}}) की समानता का प्रयोग करके,को सरल बनाया जा सकता है:<ref>See Teraoka, Section 2.4.4.</ref> | ||
{{NumBlk|:|<math>S(\mathbf{q}) = \underbrace{\frac{1}{N_p} \left \langle \sum_{jk = 1}^{N_p} \mathrm{e}^{-i \mathbf{q} (\mathbf{R}_{j} - \mathbf{R}_{k})} \right \rangle}_{S_1(q)} + \frac{N_c - 1}{N_p} \left \langle \sum_{jk = 1}^{N_p} \mathrm{e}^{-i \mathbf{q} (\mathbf{R}_{1 j} - \mathbf{R}_{2 k})} \right \rangle</math>,|{{EquationRef|12}}}} | {{NumBlk|:|<math>S(\mathbf{q}) = \underbrace{\frac{1}{N_p} \left \langle \sum_{jk = 1}^{N_p} \mathrm{e}^{-i \mathbf{q} (\mathbf{R}_{j} - \mathbf{R}_{k})} \right \rangle}_{S_1(q)} + \frac{N_c - 1}{N_p} \left \langle \sum_{jk = 1}^{N_p} \mathrm{e}^{-i \mathbf{q} (\mathbf{R}_{1 j} - \mathbf{R}_{2 k})} \right \rangle</math>,|{{EquationRef|12}}}} | ||
जहाँ <math>S_1 (q)</math> एकल-श्रृंखला संरचना कारक है। | जहाँ <math>S_1 (q)</math> एकल-श्रृंखला संरचना कारक है। | ||
Revision as of 15:52, 13 April 2023
संघनित पदार्थ भौतिकी और क्रिस्टलोग्राफी में, स्थैतिक संरचना कारक (या संक्षेप में संरचना कारक) एक गणितीय वर्णन है कि कैसे एक सामग्री स्कैटर घटना विकिरण है। एक्स-रे, इलेक्ट्रॉन विवर्तन और न्यूट्रॉन विवर्तन विवर्तन प्रयोगों में प्राप्त स्कैटरिंग प्रतिरूप (हस्तक्षेप प्रतिरूप ) की व्याख्या में संरचना कारक एक महत्वपूर्ण उपकरण है।
अस्पष्टतः रूप से, उपयोग में दो अलग-अलग गणितीय अभिव्यक्तियाँ हैं, दोनों को 'संरचना कारक' कहा जाता है। एक सामान्यतः लिखा जाता है ; यह अधिक सामान्यतः मान्य है, और एक स्कैटरिंग वाली इकाई द्वारा उत्पादित प्रति परमाणु विवर्तित तीव्रता से संबंधित है। दूसरा सामान्यतः या लिखा जाता है और केवल लंबी दूरी की स्थितीय व्यवस्था - क्रिस्टल वाले प्रणाली के लिए मान्य है। यह व्यंजक क्रिस्टल के तलों ( समतलों के मिलर सूचकांक हैं)द्वारा विवर्तित किरणपुंज के आयाम और कला को एक एकल द्वारा उत्पादित किरण से संबंधित करता है। आदिम इकाई सेल के शीर्ष पर प्रकीर्णन इकाई। ; की कोई विशेष स्थिति नहीं है, जो प्रकीर्णन तीव्रता देता है, किन्तु