अति सूक्ष्म: Difference between revisions

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{{short description|Extremely small quantity in calculus; thing so small that there is no way to measure it}}
{{short description|Extremely small quantity in calculus; thing so small that there is no way to measure it}}
[[File:Números hiperreales.png|450px|thumb|हाइपररियल नंबर लाइन (ε = 1/ω) पर इनफिनिटिमल्स (ε) और इन्फिनिटीज़ (ω)]]गणित में, एक अतिसूक्ष्म संख्या एक मात्रा है जो किसी भी मानक [[वास्तविक संख्या]] की तुलना में [[0]] के करीब है, लेकिन वह शून्य नहीं है। शब्द ''[[अनंतता]]'' 17वीं सदी के [[न्यू लैटिन]] सिक्के ''इन्फिनिटसिमस'' से आया है, जो मूल रूप से [[अनुक्रम]] में अनंत-क्रमिक संख्या (भाषाविज्ञान) आइटम को संदर्भित करता है।
[[File:Números hiperreales.png|450px|thumb|हाइपररियल नंबर लाइन (ε = 1/ω) पर इनफिनिटिमल्स (ε) और इन्फिनिटीज़ (ω)]]गणित में, '''अतिसूक्ष्म''' संख्या वह मात्रा है जो किसी भी मानक की [[वास्तविक संख्या]] की तुलना में [[0]] के समीप रहती है, किन्तु शून्य नहीं होती है। इस शब्द के अनुसार ''[[अनंतता]]'' 17वीं सदी के [[न्यू लैटिन]] ''इन्फिनिटसिमस'' से आया है, जो मूल रूप से [[अनुक्रम]] में अनंत-क्रमिक संख्या (भाषाविज्ञान) आइटम को संदर्भित करता है।


मानक वास्तविक संख्या प्रणाली में अपरिमेय मौजूद नहीं होते हैं, लेकिन वे अन्य संख्या प्रणालियों में मौजूद होते हैं, जैसे कि वास्तविक संख्या और अतिवास्तविक संख्या, जिसे वास्तविक संख्या के रूप में माना जा सकता है, जो कि असीम और अनंत मात्रा दोनों के साथ संवर्धित होती है; संवर्द्धन एक दूसरे के गुणात्मक व्युत्क्रम हैं।
मानक वास्तविक संख्या प्रणाली में अपरिमेय सम्मिलित नहीं होते हैं, किन्तु वे अन्य संख्या प्रणालियों में सम्मिलित होते हैं, जैसे कि वास्तविक संख्या और अतिवास्तविक संख्या, जिसे वास्तविक संख्या के रूप में माना जा सकता है, जो कि मुख्य रूप से इसकी अनंत मात्रा को दोनों के साथ संवर्धित करती है, इस संवर्द्धन में दूसरे के गुणात्मक व्युत्क्रम प्रदर्शित होते हैं।


कैलकुलस के इतिहास में अपरिमेय संख्याओं का परिचय दिया गया, जिसमें अवकलज की कल्पना सबसे पहले दो अतिसूक्ष्म राशियों के अनुपात के रूप में की गई थी। यह परिभाषा कठोर#गणितीय कठोरता नहीं थी। जैसे-जैसे कैलकुलस का और विकास हुआ, इनफिनिटिमल्स को लिमिट (गणित) से बदल दिया गया, जिसकी गणना मानक वास्तविक संख्याओं का उपयोग करके की जा सकती है।
कैलकुलस के इतिहास में अपरिमेय संख्याओं का परिचय दिया गया, जिसमें अवकलन की कल्पना सबसे पहले दो अतिसूक्ष्म राशियों के अनुपात के रूप में की गई थी। इस प्रकार यह परिभाषा कठोर गणितीय कठोरता नहीं थी। इस प्रकार जैसे-जैसे कैलकुलस का और विकास हुआ, इनफिनिटिमल्स को लिमिट (गणित) से बदल दिया गया, जिसकी गणना मानक वास्तविक संख्याओं का उपयोग करके की जा सकती है।


[[अब्राहम रॉबिन्सन]] के गैर-मानक विश्लेषण और अतिवास्तविक संख्याओं के विकास के साथ 20वीं शताब्दी में इन्फिनिटिमल्स ने फिर से लोकप्रियता हासिल की, जिसने सदियों के विवाद के बाद दिखाया कि इन्फिनिटिमल कैलकुलस का एक औपचारिक उपचार संभव था। इसके बाद, गणितज्ञों ने अतियथार्थवादी संख्याएँ विकसित कीं, जो अनंत और अतिसूक्ष्म संख्याओं से संबंधित एक औपचारिकता है जिसमें अतिवास्तविक कार्डिनल संख्या और [[क्रमसूचक संख्या]] दोनों शामिल हैं, जो कि सबसे बड़ा क्रमित क्षेत्र है।
[[अब्राहम रॉबिन्सन]] के गैर-मानक विश्लेषण और अतिवास्तविक संख्याओं के विकास के साथ 20वीं शताब्दी में इन्फिनिटिमल्स ने फिर से लोकप्रियता हासिल की, जिसने सदियों के विवाद के बाद दिखाया कि इन्फिनिटिमल कैलकुलस का औपचारिक उपचार संभव था। इसके बाद, गणितज्ञों ने अतियथार्थवादी संख्याएँ विकसित कीं हैं, जो अनंत और अतिसूक्ष्म संख्याओं से संबंधित औपचारिकता है जिसमें अतिवास्तविक कार्डिनल संख्या और [[क्रमसूचक संख्या]] दोनों सम्मिलित हैं, जो कि सबसे बड़ा क्रमित क्षेत्र है।


[[व्लादिमीर अर्नोल्ड]] ने 1990 में लिखा था:
[[व्लादिमीर अर्नोल्ड]] ने 1990 में लिखा था:


{{quote|Nowadays, when teaching analysis, it is not very popular to talk about infinitesimal quantities. Consequently, present-day students are not fully in command of this language. Nevertheless, it is still necessary to have command of it.<ref>Arnolʹd, V. I. ''Huygens and Barrow, Newton and Hooke. Pioneers in mathematical analysis and catastrophe theory from evolvents to quasicrystals''. Translated from the Russian by Eric J. F. Primrose. Birkhäuser Verlag, Basel, 1990. p.&nbsp;27</ref>}}
{{quote|आजकल, विश्लेषण पढ़ाते समय, अतिसूक्ष्म मात्राओं के बारे में बात करना बहुत लोकप्रिय नहीं है। परिणामस्वरूप, वर्तमान समय के छात्र पूर्ण रूप से इस भाषा के कमांड में नहीं हैं। फिर भी, इसकी आज्ञा होना अभी भी आवश्यक है।<ref>Arnolʹd, V. I. ''Huygens and Barrow, Newton and Hooke. Pioneers in mathematical analysis and catastrophe theory from evolvents to quasicrystals''. Translated from the Russian by Eric J. F. Primrose. Birkhäuser Verlag, Basel, 1990. p.&nbsp;27</ref>}}


महत्वपूर्ण अंतर्दृष्टि{{whose|date=October 2021}} इनफिनिटिमल्स को व्यवहार्य गणितीय संस्थाओं के लिए यह था कि वे अभी भी कुछ गुणों जैसे कि [[कोण]] या [[ढलान]] को बनाए रख सकते हैं, भले ही ये इकाइयां असीम रूप से छोटी हों।<ref>{{cite web | url = https://plato.stanford.edu/entries/continuity/#1 | title = निरंतरता और अनंतता| last = Bell | first = John L. | date = 6 September 2013 | website = [[Stanford Encyclopedia of Philosophy]]}}</ref>
महत्वपूर्ण अंतर्दृष्टि{{whose|date=October 2021}} इनफिनिटिमल्स को व्यवहारिक गणितीय संस्थाओं के लिए यह था कि वे अभी भी कुछ गुणों जैसे कि [[कोण]] या [[ढलान|प्रवणता]] को बनाए रख सकते हैं, भले ही ये इकाइयां मुख्य रूप से छोटी हों।<ref>{{cite web | url = https://plato.stanford.edu/entries/continuity/#1 | title = निरंतरता और अनंतता| last = Bell | first = John L. | date = 6 September 2013 | website = [[Stanford Encyclopedia of Philosophy]]}}</ref>[[गॉटफ्रीड लीबनिज]] द्वारा विकसित कैलकुलस में इनफिनिटिमल्स मौलिक घटक हैं, जिसमें निरंतरता का नियम और एकरूपता का अनुवांशिक नियम सम्मिलित होता है। इस प्रकार सामान्य भाषा में अतिसूक्ष्म वस्तु ऐसी वस्तु है जो किसी भी व्यवहारिक माप से छोटी है, किन्तु आकार में शून्य नहीं है - या इतनी छोटी है कि इसे किसी भी उपलब्ध माध्यम से शून्य से पृथक नहीं किया जा सकता है। इसलिए जब गणित में विशेषण के रूप में प्रयोग किया जाता है, तो अत्यल्प अतिसूक्ष्म का अर्थ होता है, इसके मुख्य रूप को छोटा करके किसी भी मानक वास्तविक संख्या से छोटा कर सकते हैं। इस प्रकार इनफिनिटिमल्स की तुलना अधिकांशतः समान आकार के अन्य इनफिनिटिमल्स से की जाती है, जैसा कि किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की जांच करने में होता है। इस प्रकार समाकलन की [[गणना]] करने के लिए अपरिमित संख्या में अपरिमित संख्याओं का योग किया जाता है।
[[गॉटफ्रीड लीबनिज]] द्वारा विकसित कैलकुलस में इनफिनिटिमल्स एक बुनियादी घटक हैं, जिसमें निरंतरता का कानून और एकरूपता का अनुवांशिक कानून शामिल है। सामान्य भाषण में, एक अतिसूक्ष्म वस्तु एक ऐसी वस्तु है जो किसी भी व्यवहार्य माप से छोटी है, लेकिन आकार में शून्य नहीं है - या इतनी छोटी है कि इसे किसी भी उपलब्ध माध्यम से शून्य से अलग नहीं किया जा सकता है। इसलिए, जब गणित में एक विशेषण के रूप में प्रयोग किया जाता है, तो अत्यल्प अतिसूक्ष्म का अर्थ होता है असीम रूप से छोटा, किसी भी मानक वास्तविक संख्या से छोटा। इनफिनिटिमल्स की तुलना अक्सर समान आकार के अन्य इनफिनिटिमल्स से की जाती है, जैसा कि किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की जांच करने में होता है। समाकलन की [[गणना]] करने के लिए अपरिमित संख्या में अपरिमित संख्याओं का योग किया जाता है।


इनफिनिटिमल्स की अवधारणा मूल रूप से 1670 के आसपास या तो [[निकोलस मर्केटर]] या [[गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज]] द्वारा पेश की गई थी।<ref>{{citation
इनफिनिटिमल्स की अवधारणा मूल रूप से 1670 के आसपास या तो [[निकोलस मर्केटर]] या [[गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज]] द्वारा प्रस्तुत की गई थी।<ref>{{citation
  | last1  = Katz  | first1 = Mikhail G. | author1-link=Mikhail Katz
  | last1  = Katz  | first1 = Mikhail G. | author1-link=Mikhail Katz
  | last2  = Sherry | first2 = David
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  | volume  = 78 | issue = 3 | pages = 571–625 | year = 2012
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  | arxiv  = 1205.0174 | doi = 10.1007/s10670-012-9370-y
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| s2cid = 119329569 }}</ref> [[आर्किमिडीज]] ने अपने कार्य [[यांत्रिक प्रमेयों की विधि]] में क्षेत्रों के क्षेत्रों और ठोस पदार्थों के आयतन को खोजने के लिए अंततः [[अविभाज्य की विधि]] के रूप में जाना जाने वाला उपयोग किया।<ref>{{Cite journal  | last1 = Reviel | first1 = Netz | last2 = Saito | first2 = Ken | last3 = Tchernetska | first3 = Natalie | date = 2001 | title = A New Reading of Method Proposition 14: Preliminary Evidence from the Archimedes Palimpsest (Part 1) | journal = Sciamvs | volume = 2 | pages = 9–29 }}</ref> अपने औपचारिक प्रकाशित ग्रंथों में, आर्किमिडीज़ ने [[थकावट की विधि]] का उपयोग करके उसी समस्या को हल किया। 15वीं शताब्दी में क्यूसा के निकोलस के काम को देखा गया, जो 17वीं शताब्दी में [[जोहान्स केप्लर]] द्वारा विकसित किया गया था, विशेष रूप से, बाद वाले को एक अनंत-पक्षीय बहुभुज के रूप में प्रस्तुत करके एक वृत्त के क्षेत्रफल की गणना। सोलहवीं शताब्दी में सभी संख्याओं के दशमलव निरूपण पर [[साइमन स्टीवन]] के कार्य ने वास्तविक सातत्य के लिए आधार तैयार किया। [[बोनवेंट्योर कैवलियरी]] की अविभाज्यता की पद्धति ने शास्त्रीय लेखकों के परिणामों के विस्तार का नेतृत्व किया। ज्यामितीय आकृतियों से संबंधित अविभाज्यता की विधि को [[ codimension ]] 1 की संस्थाओं से बना है।{{clarify|date=June 2021}} [[जॉन वालिस]] के इनफिनिटिमल्स अविभाज्य से भिन्न थे कि वह ज्यामितीय आकृतियों को उसी आयाम के असीम रूप से पतले बिल्डिंग ब्लॉक्स में विघटित कर देगा, जो इंटीग्रल कैलकुलस के सामान्य तरीकों के लिए जमीन तैयार करता है। उन्होंने क्षेत्रफल की गणना में 1/∞ को इंगित करने वाले एक अतिसूक्ष्म का उपयोग किया।
| s2cid = 119329569 }}</ref> [[आर्किमिडीज]] ने अपने कार्य [[यांत्रिक प्रमेयों की विधि]] में क्षेत्रों के क्षेत्रों और ठोस पदार्थों के आयतन को खोजने के लिए अंततः [[अविभाज्य की विधि]] के रूप में जाना जाने वाला उपयोग किया था।<ref>{{Cite journal  | last1 = Reviel | first1 = Netz | last2 = Saito | first2 = Ken | last3 = Tchernetska | first3 = Natalie | date = 2001 | title = A New Reading of Method Proposition 14: Preliminary Evidence from the Archimedes Palimpsest (Part 1) | journal = Sciamvs | volume = 2 | pages = 9–29 }}</ref> अपने औपचारिक प्रकाशित ग्रंथों में, आर्किमिडीज़ ने [[थकावट की विधि]] का उपयोग करके उसी समस्या को हल किया गया था। इस प्रकार 15वीं शताब्दी में क्यूसा के निकोलस के कार्य को देखा गया, जो 17वीं शताब्दी में [[जोहान्स केप्लर]] द्वारा विकसित किया गया था, इस प्रकार विशेष रूप से इसके बाद वाले रूप को अनंत-पक्षीय बहुभुज के रूप में प्रस्तुत करके वृत्त के क्षेत्रफल की गणना की गयी थी। इसके सोलहवीं शताब्दी में सभी संख्याओं के दशमलव निरूपण पर [[साइमन स्टीवन]] के कार्य ने वास्तविक सातत्य के लिए आधार तैयार किया गया था। [[बोनवेंट्योर कैवलियरी]] की अविभाज्यता की पद्धति ने मौलिक लेखकों के परिणामों के विस्तार का नेतृत्व किया गया था। ज्यामितीय आकृतियों से संबंधित अविभाज्यता की विधि को [[ codimension |कोडिमेंशन]] 1 की संस्थाओं से बना है।{{clarify|date=June 2021}} [[जॉन वालिस]] के इनफिनिटिमल्स अविभाज्य से भिन्न थे कि वह ज्यामितीय आकृतियों को उसी आयाम के मुख्य रूप से पतले बिल्डिंग ब्लॉक्स में विघटित कर देता हैं, जो इंटीग्रल कैलकुलस के सामान्य तरीकों के लिए जमीन तैयार करता है। उन्होंने क्षेत्रफल की गणना में 1/∞ को इंगित करने वाले अतिसूक्ष्म का उपयोग किया गया था।


लीबनिज द्वारा इनफिनिटिमल्स का उपयोग हेयुरिस्टिक सिद्धांतों पर निर्भर करता है, जैसे कि निरंतरता का नियम: परिमित संख्याओं के लिए जो सफल होता है वह अनंत संख्याओं के लिए भी सफल होता है और इसके विपरीत; और एकरूपता का अनुभवातीत नियम जो अनिर्दिष्ट मात्राओं वाले व्यंजकों को केवल आबंटित करने योग्य व्यंजकों से बदलने की प्रक्रियाओं को निर्दिष्ट करता है। 18वीं शताब्दी में [[लियोनहार्ड यूलर]] और [[जोसेफ-लुई लाग्रेंज]] जैसे गणितज्ञों द्वारा इनफिनिटिमल्स का नियमित उपयोग देखा गया। [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] ने अपने कोर्ट्स डी'एनालिसिस में [[निरंतर कार्य]] को परिभाषित करने और [[डिराक डेल्टा समारोह]] के प्रारंभिक रूप को परिभाषित करने के लिए इनफिनिटिमल्स का शोषण किया। जैसा कि कैंटर और [[रिचर्ड डेडेकिंड]] स्टीविन के सातत्य के अधिक सार संस्करण विकसित कर रहे थे, [[पॉल डु बोइस-रेमंड]] ने कार्यों की विकास दर के आधार पर अत्यल्प-समृद्ध महाद्वीप पर कई पत्र लिखे। डु बोइस-रेमंड के काम ने एमिल बोरेल और [[थोराल्फ़ स्कोलेम]] दोनों को प्रेरित किया। बोरेल ने स्पष्ट रूप से डु बोइस-रेमंड के काम को कॉची के काम से जोड़ा, जो कि इनफिनिटिमल्स की वृद्धि दर पर है। स्कोलेम ने 1934 में अंकगणित के पहले गैर-मानक मॉडल विकसित किए। 1961 में अब्राहम रॉबिन्सन द्वारा निरंतरता और अत्यल्पता के नियम दोनों का गणितीय कार्यान्वयन हासिल किया गया, जिन्होंने 1948 में [[एडविन हेविट]] और 1955 में जेरज़ी लोश के पहले के काम के आधार पर गैर-मानक विश्लेषण विकसित किया। अति वास्तविक संख्या एक अतिसूक्ष्म-समृद्ध सातत्य को लागू करती है और [[स्थानांतरण सिद्धांत]] लीबनिज के निरंतरता के नियम को लागू करता है। मानक भाग फ़ंक्शन फ़र्मेट की [[पर्याप्तता]] को लागू करता है।
लीबनिज द्वारा इनफिनिटिमल्स का उपयोग हेयुरिस्टिक सिद्धांतों पर निर्भर करता है, जैसे कि निरंतरता का नियम: परिमित संख्याओं के लिए जो सफल होता है वह अनंत संख्याओं के लिए भी सफल होता है और इसके विपरीत और एकरूपता का अनुभवातीत नियम जो अनिर्दिष्ट मात्राओं वाले व्यंजकों को केवल आबंटित करने योग्य व्यंजकों से परिवर्तित करने की प्रक्रियाओं को निर्दिष्ट करता है। 18वीं शताब्दी में [[लियोनहार्ड यूलर]] और [[जोसेफ-लुई लाग्रेंज]] जैसे गणितज्ञों द्वारा इनफिनिटिमल्स का नियमित उपयोग देखा गया था। इस प्रकार [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] ने अपने कोर्ट्स डी'एनालिसिस में [[निरंतर कार्य]] को परिभाषित करने और [[डिराक डेल्टा समारोह|डिराक डेल्टा फलन]] के प्रारंभिक रूप को परिभाषित करने के लिए इनफिनिटिमल्स का शोषण किया था। जैसा कि कैंटर और [[रिचर्ड डेडेकिंड]] स्टीविन के सातत्य के अधिक सार संस्करण विकसित कर रहे थे, [[पॉल डु बोइस-रेमंड]] ने कार्यों की विकास दर के आधार पर अत्यल्प-समृद्ध महाद्वीप पर कई पत्र लिखे गए थे। इस प्रकार डुबोइस-रेमंड के कार्य ने एमिल बोरेल और [[थोराल्फ़ स्कोलेम]] दोनों को प्रेरित किया था। बोरेल ने स्पष्ट रूप से डु बोइस-रेमंड के कार्य को कॉची के कार्य से संयोजित किया था, जो कि इनफिनिटिमल्स की वृद्धि दर पर है। स्कोलेम ने 1934 में अंकगणित के पहले गैर-मानक मॉडल विकसित किए थे। 1961 में अब्राहम रॉबिन्सन द्वारा निरंतरता और अत्यल्पता के नियम दोनों का गणितीय कार्यान्वयन प्राप्त किया गया था, जिन्होंने 1948 में [[एडविन हेविट]] और 1955 में जेरज़ी लोश के पहले के कार्य के आधार पर गैर-मानक विश्लेषण विकसित किया गया था। अति वास्तविक संख्या अतिसूक्ष्म-समृद्ध सातत्य को लागू करती है और [[स्थानांतरण सिद्धांत]] लीबनिज के निरंतरता के नियम को लागू करता है। मानक भाग फ़ंक्शन फ़र्मेट की [[पर्याप्तता]] को लागू करता है।


== अनंत का इतिहास ==
== अनंत का इतिहास ==
[[इलियटिक स्कूल]] द्वारा असीम रूप से छोटी मात्राओं की धारणा पर चर्चा की गई थी। [[ग्रीक गणित]] गणितज्ञ आर्किमिडीज़ (सी. 287 ईसा पूर्व – सी. 212 ई.पू.), द मेथड ऑफ़ मैकेनिकल थ्योरम्स में, सबसे पहले इन्फिनिटिमल्स की तार्किक रूप से कठोर परिभाषा प्रस्तावित करने वाले थे।<ref>Archimedes, ''The Method of Mechanical Theorems''; see [[Archimedes Palimpsest]]</ref> उनकी आर्किमिडीयन संपत्ति एक संख्या x को अनंत के रूप में परिभाषित करती है यदि यह शर्तों को पूरा करती है |x|>1, |x|>1+1, |x|>1+1+1, ..., और अनंत है यदि x≠0 और a शर्तों का समान सेट x और धनात्मक पूर्णांकों के व्युत्क्रमों के लिए लागू होता है। एक संख्या प्रणाली को आर्किमिडीयन कहा जाता है यदि इसमें कोई अनंत या अपरिमेय सदस्य नहीं होते हैं।
[[इलियटिक स्कूल]] द्वारा मुख्य रूप से छोटी मात्राओं की धारणा पर चर्चा की गई थी। [[ग्रीक गणित]] गणितज्ञ आर्किमिडीज़ (सी. 287 ईसा पूर्व – सी. 212 ई.पू.), द मेथड ऑफ़ मैकेनिकल थ्योरम्स में, सबसे पहले इन्फिनिटिमल्स की तार्किक रूप से कठोर परिभाषा प्रस्तावित करने वाले थे।<ref>Archimedes, ''The Method of Mechanical Theorems''; see [[Archimedes Palimpsest]]</ref> उनकी आर्किमिडीयन संपत्ति संख्या x को अनंत के रूप में परिभाषित करती है, इस प्रकार यदि यह शर्तों को पूरा करती है, इस प्रकार |x|>1, |x|>1+1, |x|>1+1+1, ..., और अनंत है, इस कारण यदि x≠0 और a शर्तों का समान समूह x और धनात्मक पूर्णांकों के व्युत्क्रमों के लिए लागू होता है। इस संख्या प्रणाली को आर्किमिडीयन कहा जाता है यदि इसमें कोई अनंत या अपरिमेय सदस्य नहीं होते हैं।


अंग्रेजी गणितज्ञ जॉन वालिस ने अपनी 1655 की पुस्तक ट्रीटिस ऑन द कॉनिक सेक्शन में अभिव्यक्ति 1/∞ की शुरुआत की। प्रतीक, जो ∞ के व्युत्क्रम, या व्युत्क्रम को दर्शाता है, एक अतिसूक्ष्म की गणितीय अवधारणा का प्रतीकात्मक प्रतिनिधित्व है। शांकव अनुभागों पर अपने ग्रंथ में, वालिस ने अत्यल्प 1/∞ के प्रतीकात्मक प्रतिनिधित्व के बीच संबंध की अवधारणा पर भी चर्चा की जिसे उन्होंने पेश किया और अनंत की अवधारणा जिसके लिए उन्होंने प्रतीक ∞ की शुरुआत की। अवधारणा एक परिमित क्षेत्र बनाने के लिए असीम चौड़ाई के समानांतर [[चतुर्भुज]]ों की अनंत संख्या को जोड़ने का एक विचार प्रयोग सुझाती है। यह अवधारणा [[ समाकलन गणित ]] में उपयोग की जाने वाली एकीकरण की आधुनिक पद्धति की पूर्ववर्ती थी। अतिसूक्ष्म 1/∞ की अवधारणा के वैचारिक उद्गम का पता एलिया के ग्रीक दार्शनिक ज़ेनो के रूप में लगाया जा सकता है, जिसका ज़ेनो का द्विभाजन विरोधाभास एक परिमित अंतराल और एक अंतराल के बीच के संबंध पर विचार करने वाली पहली गणितीय अवधारणा थी। अतिसूक्ष्म आकार का अंतराल।
अंग्रेजी गणितज्ञ जॉन वालिस ने अपनी 1655 की पुस्तक ट्रीटिस ऑन द कॉनिक सेक्शन में अभिव्यक्ति 1/∞ को प्रारंभ किया था। इसका प्रतीक ∞ के व्युत्क्रम, या व्युत्क्रम को दर्शाता है, अतिसूक्ष्म की गणितीय अवधारणा का प्रतीकात्मक प्रतिनिधित्व है। शांकव अनुभागों पर अपने ग्रंथ में, वालिस ने अत्यल्प 1/∞ के प्रतीकात्मक प्रतिनिधित्व के बीच संबंध की अवधारणा पर भी चर्चा की जिसे उन्होंने प्रस्तुत किया और इस प्रकार अनंत की अवधारणा जिसके लिए उन्होंने प्रतीक ∞ का प्रारंभ किया था। अवधारणा परिमित क्षेत्र बनाने के लिए मुख्य चौड़ाई के समानांतर [[चतुर्भुज|चतुर्भुजों]] की अनंत संख्या के संयोजन का विचार प्रयोग सुझाती है। यह अवधारणा [[ समाकलन गणित |समाकलन गणित]] में उपयोग की जाने वाली एकीकरण की आधुनिक पद्धति की पूर्ववर्ती थी। इस प्रकार अतिसूक्ष्म 1/∞ की अवधारणा के वैचारिक उद्गम का पता एलिया के ग्रीक दार्शनिक ज़ेनो के रूप में लगाया जा सकता है, जिसका ज़ेनो का द्विभाजन विरोधाभास परिमित अंतराल और अंतराल के बीच के संबंध पर विचार करने वाली पहली गणितीय अवधारणा थी। जिसके लिए अतिसूक्ष्म आकार का अंतराल उपयोग में लिया जाता हैं।


17 वीं शताब्दी के यूरोप में इन्फिनिटिमल्स राजनीतिक और धार्मिक विवादों का विषय थे, जिसमें 1632 में रोम में मौलवियों द्वारा जारी किए गए इनफिनिटिमल्स पर प्रतिबंध भी शामिल था।<ref>{{cite book|title=Infinitesimal: How a Dangerous Mathematical Theory Shaped the Modern World|last=Alexander|first=Amir|publisher=Scientific American / Farrar, Straus and Giroux|year=2014|isbn=978-0-374-17681-5|author-link=Amir Alexander}}</ref>
17 वीं शताब्दी के यूरोप में इन्फिनिटिमल्स राजनीतिक और धार्मिक विवादों का विषय थे, जिसमें 1632 में रोम में मौलवियों द्वारा प्रस्तुत किए गए इनफिनिटिमल्स पर प्रतिबंध भी सम्मिलित था।<ref>{{cite book|title=Infinitesimal: How a Dangerous Mathematical Theory Shaped the Modern World|last=Alexander|first=Amir|publisher=Scientific American / Farrar, Straus and Giroux|year=2014|isbn=978-0-374-17681-5|author-link=Amir Alexander}}</ref> कलन के आविष्कार से पहले गणितज्ञ [[पियरे डी फर्मेट]] की पर्याप्तता की विधि और रेने डेसकार्टेस की सामान्य पद्धति का उपयोग करके स्पर्श रेखाओं की गणना करने में सक्षम थे। विद्वानों के बीच इस बात को लेकर यह विवाद है कि क्या यह विधि अतिसूक्ष्म थी या प्रकृति में बीजगणितीय थी। इस प्रकार जब [[आइजैक न्यूटन]] और गॉटफ्राइड लीबनिज ने [[इनफिनिटिमल कैलकुलस]] का आविष्कार किया गया था, तो उन्होंने इनफिनिटिमल्स, न्यूटन के फ्लक्सन (गणित) और लीबनिज के अंतर (इनफिनिटिमल) का उपयोग किया था। इस प्रकार [[जॉर्ज बर्कले]] ने अपने कार्य [[विश्लेषक]] में इनफिनिटिमल्स के उपयोग पर गलत के रूप में हमला किया था।<ref>{{Cite book|url=https://archive.org/details/theanalystoradis00berkuoft/page/n4|title=The Analyst: A Discourse Addressed to an Infidel Mathematician.|last=Berkeley|first=George|year=1734|location=London|author-link=George Berkeley}}</ref> इन गणितज्ञों, वैज्ञानिकों और इंजीनियरों ने सही परिणाम प्राप्त करने के लिए इनफिनिटिमल्स का उपयोग करना प्रस्तुत किया गया था। इस प्रकार उन्नीसवीं शताब्दी के उत्तरार्ध में, ऑगस्टिन-लुई कॉची, [[बर्नार्ड बोलजानो]], [[कार्ल वीयरस्ट्रास]], [[जॉर्ज कैंटर]], रिचर्ड डेडेकिंड और अन्य लोगों द्वारा (ε, δ) - सीमा और समुच्चय सिद्धांत की परिभाषा का उपयोग करके कैलकुलस में सुधार किया गया था।
कलन के आविष्कार से पहले गणितज्ञ [[पियरे डी फर्मेट]] की पर्याप्तता की विधि और रेने डेसकार्टेस की सामान्य पद्धति का उपयोग करके स्पर्श रेखाओं की गणना करने में सक्षम थे। विद्वानों के बीच इस बात को लेकर बहस है कि क्या यह विधि अतिसूक्ष्म थी या प्रकृति में बीजगणितीय थी। जब [[आइजैक न्यूटन]] और गॉटफ्राइड लीबनिज ने [[इनफिनिटिमल कैलकुलस]] का आविष्कार किया, तो उन्होंने इनफिनिटिमल्स, न्यूटन के फ्लक्सन (गणित) और लीबनिज के अंतर (इनफिनिटिमल) का उपयोग किया। [[जॉर्ज बर्कले]] ने अपने कार्य [[विश्लेषक]] में इनफिनिटिमल्स के उपयोग पर गलत के रूप में हमला किया था।<ref>{{Cite book|url=https://archive.org/details/theanalystoradis00berkuoft/page/n4|title=The Analyst: A Discourse Addressed to an Infidel Mathematician.|last=Berkeley|first=George|year=1734|location=London|author-link=George Berkeley}}</ref> गणितज्ञों, वैज्ञानिकों और इंजीनियरों ने सही परिणाम प्राप्त करने के लिए इनफिनिटिमल्स का उपयोग करना जारी रखा। उन्नीसवीं शताब्दी के उत्तरार्ध में, ऑगस्टिन-लुई कॉची, [[बर्नार्ड बोलजानो]], [[कार्ल वीयरस्ट्रास]], [[जॉर्ज कैंटर]], रिचर्ड डेडेकिंड और अन्य लोगों द्वारा (ε, δ) - सीमा और सेट सिद्धांत की परिभाषा का उपयोग करके कैलकुलस में सुधार किया गया था।
 
जबकि कैंटर, डेडेकिंड और वेइरस्ट्रास के अनुयायियों ने इनफिनिटिमल्स के विश्लेषण से छुटकारा पाने की मांग की, और [[बर्ट्रेंड रसेल]] और [[रुडोल्फ कार्नाप]] जैसे उनके दार्शनिक सहयोगियों ने घोषणा की कि इनफिनिटिमल्स स्यूडोकॉन्सेप्ट्स हैं, [[ हरमन कोहेन ]] और उनके नव-कांतियनवाद के [[मारबर्ग स्कूल]] ने एक कामकाजी तर्क विकसित करने की मांग की। infinimals.<ref>{{Cite journal|last1=Mormann|first1=Thomas|author-link=Thomas Mormann|last2=Katz|first2=Mikhail|author-link2=Mikhail Katz|date=Fall 2013|title=विज्ञान के नव-कांतियन दर्शन के एक मुद्दे के रूप में इन्फिनिटिमल्स|journal=[[HOPOS|HOPOS: The Journal of the International Society for the History of Philosophy of Science]]|volume=3|issue=2|pages=236–280|arxiv=1304.1027|doi=10.1086/671348|jstor=10.1086/671348|s2cid=119128707}}</ref> फ़िलिप एर्लिच (2006) द्वारा प्रलेखित, उन्नीसवीं और बीसवीं शताब्दी के दौरान [[टुल्लियो लेवी-सिविता]] | लेवी-सिविता, ग्यूसेप वेरोनीज़, पॉल डू बोइस-रेमंड और अन्य के