द्विक लोलक

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एक डबल लंगर में दो लोलक होते हैं जो एक सिरे से दूसरे सिरे तक जुड़े होते हैं।

भौतिकी और गणित में, गतिकीय तन्त्र के क्षेत्र में, द्विक लोलक जिसे अस्तव्यस्तता लोलक के रूप में भी जाना जाता है, जिसके अंत में एक और लोलक जुड़ा होता है, जो सरल भौतिक प्रणाली बनाता है और प्रारंभिक स्थितियों के लिए मजबूत संवेदनशीलता के साथ समृद्ध गतिकीय तन्त्र को प्रदर्शित करता है। द्विक लोलक की गति युग्मित साधारण अंतर समीकरण के सेट द्वारा नियंत्रित होती है और अस्तव्यस्तता है।

विश्लेषण और व्याख्या

द्विक लोलक के कई रूपों पर विचार किया जा सकता है; दो फलक की लंबाई और द्रव्यमान समान या असमान हो सकते हैं, वे साधारण लोलक या पिंड लोलक (जिन्हें सरल लोलक भी कहा जाता है) हो सकते हैं और गति तीन आयामों में हो सकती है या ऊर्ध्वाधर तल तक सीमित हो सकती है। निम्नलिखित विश्लेषण में, फलक को लंबाई l और द्रव्यमान m के समान पिंड लोलक के रूप में लिया जाता है और गति दो आयामों तक सीमित है।

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डबल यौगिक लोलक

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दोहरे यौगिक लोलक की गति (गति के समीकरणों के संख्यात्मक एकीकरण से)

पिंड लोलक में, द्रव्यमान उसकी लंबाई के साथ वितरित होता है। यदि द्रव्यमान समान रूप से वितरित किया जाता है, तो प्रत्येक फलक के द्रव्यमान का केंद्र उसके मध्य बिंदु पर होता है, और फलक का जड़त्वाघूर्ण उस बिंदु पर I = 1/12ml² होता है।

प्रणाली के विन्यास स्थान (भौतिकी) को परिभाषित करने वाले सामान्यीकृत निर्देशांक के रूप में प्रत्येक फलक और ऊर्ध्वाधर के बीच के कोणों का उपयोग करना सुविधाजनक है। इन कोणों को θ₁ और θ₂ द्वारा निरूपित किया जाता है। प्रत्येक छड़ के द्रव्यमान केन्द्र की स्थिति को इन दो निर्देशांकों के पदों में लिखा जा सकता है। यदि कार्तीय निर्देशांक तंत्र का उद्गम प्रथम लोलक के निलंबन के बिंदु पर लिया जाता है, तो इस लोलक का द्रव्यमान केंद्र है:

${\begin{aligned}x_{1}&={\frac {l}{2}}\sin \theta _{1}\\y_{1}&=-{\frac {l}{2}}\cos \theta _{1}\end{aligned}}$

तथा दूसरे लोलक का द्रव्यमान केन्द्र पर है

${\begin{aligned}x_{2}&=l\left(\sin \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}\sin \theta _{2}\right)\\y_{2}&=-l\left(\cos \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}\cos \theta _{2}\right)\end{aligned}}$

लग्रंगियन को लिखने के लिए यह पर्याप्त जानकारी है।

लग्रंगियन

लग्रंगियन यांत्रिकी है

${\begin{aligned}L&={\text{kinetic energy}}-{\text{potential energy}}\\&={\tfrac {1}{2}}m\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}m\left({{\dot {x}}_{1}}^{2}+{{\dot {y}}_{1}}^{2}+{{\dot {x}}_{2}}^{2}+{{\dot {y}}_{2}}^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\end{aligned}}$

पहला शब्द पिंडों के द्रव्यमान केन्द्र की रैखिक गतिज ऊर्जा है और दूसरा शब्द प्रत्येक छड़ के द्रव्यमान केन्द्र के चारों ओर घूर्णी गतिज ऊर्जा है। अंतिम शब्द समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में पिंडों की संभावित ऊर्जा है। न्यूटन का डॉट-नोटेशन प्रश्न में चर के समय व्युत्पन्न को इंगित करता है।

उपरोक्त निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने और समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर प्राप्त होता है।

$L=\frac{1}{6}m{l}^2\left({{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}_2}^2+4{{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}_1}^2+3{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}_1{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}_2\cos <!--\; \; -->({\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_2)\right)+\frac{1}{2}mgl(3$