आइवरसन ब्रैकेट: Difference between revisions

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{{Short description|Mathematical notation for the set of values satisfying a property}}
{{Short description|Mathematical notation for the set of values satisfying a property}}
गणित में, आइवरसन कोष्ठक, केनेथ ई. इवरसन के नाम पर रखा गया, एक संकेतन है जो [[क्रोनकर डेल्टा]] का सामान्यीकरण करता है, जो कथन {{math|1=''x'' = ''y''}} का आइवरसन कोष्ठक है। यह किसी भी [[कथन (तर्क)]] को उस कथन में [[मुक्त चर|स्वतंत्र चर]] के फ़ंक्शन (गणित) में मापता है। इस फ़ंक्शन को उन चरों के मानों के लिए मान 1 लेने के लिए परिभाषित किया गया है जिनके लिए कथन सत्य है, और अन्यथा 0 मान लेता है। इसे सामान्यतौर पर वर्गाकार कोष्ठकों के अंदर कथन लगाकर दर्शाया जाता है:
गणित में, आइवरसन कोष्ठक, केनेथ ई. इवरसन के नाम पर रखा गया, एक संकेतन है जो [[क्रोनकर डेल्टा]] का सामान्यीकरण करता है, जो कथन {{math|1=''x'' = ''y''}} का आइवरसन कोष्ठक है। यह किसी भी [[कथन (तर्क)]] को उस कथन के [[मुक्त चर|स्वतंत्र चर]] के फलन (गणित) में मापता है। इस फलन को उन चरों के मानों के लिए 1 मान लेने के लिए परिभाषित किया गया है जिनके लिए कथन सत्य है, और अन्यथा 0 मान लेता है। इसे सामान्यतौर पर वर्गाकार कोष्ठकों के अंदर कथन लगाकर दर्शाया जाता है:
<math display="block">[P] = \begin{cases}
<math display="block">[P] = \begin{cases}
1 & \text{if } P \text{ is true;} \\
1 & \text{if } P \text{ is true;} \\
0 & \text{otherwise.}
0 & \text{otherwise.}
\end{cases}</math>
\end{cases}</math>
दूसरे शब्दों में, किसी कथन का आइवरसन कोष्ठक मानों के उस समुच्चय का सूचक फंक्शन है जिसके लिए कथन सत्य है।
दूसरे शब्दों में, किसी कथन का आइवरसन कोष्ठक मानों के उस समुच्चय का सूचक फलन है जिसके लिए कथन सत्य है।
 
इन्वर्सन कोष्ठक समन इंडेक्स पर प्रतिबंध के बिना [[ पूंजी-सिग्मा संकेतन |पूंजी-सिग्मा संकेतन]] का उपयोग करने की अनुमति देता है। अर्थात किसी गुण के लिए <math>P(k)</math> पूर्णांक का <math>k</math>, कोई प्रतिबंधित योग को <math>\sum_{k : P(k)}f(k)</math> अप्रतिबंधित रूप में <math>\sum_k f(k) \cdot[P(k)]</math>फिर से लिख सकता है। इस सम्मेलन के साथ, <math>f(k)</math> के मूल्यों के लिए परिभाषित करने की आवश्यकता नहीं है {{mvar|k}} जिसके लिए आइवरसन कोष्ठक {{math|0}} के बराबर है; वह <math>f(k)[\textbf{false}]</math> का योग है, भले ही 0 का मूल्यांकन करना चाहिए <math>f(k)</math> परिभाषित किया गया है।
 
अंकन मूल रूप से केनेथ ई. इवरसन द्वारा अपनी प्रोग्रामिंग भाषा [[एपीएल (प्रोग्रामिंग भाषा)]] में प्रस्तुत किया गया था,<ref name=APL>{{cite book|author=Kenneth E. Iverson|date=1962|title=एक प्रोग्रामिंग भाषा|page=11 | publisher=Wiley |url=http://www.jsoftware.com/papers/APL.htm|access-date=7 April 2016}}</ref><ref>[[Ronald Graham]], [[Donald Knuth]], and [[Oren Patashnik]]. ''[[Concrete Mathematics]]'', Section 2.2: Sums and Recurrences.</ref> चूँकि कोष्ठकों में संलग्न एकल संबंधपरक संचालकों तक सीमित है, जबकि अपने अंतर्गत बयानों के सामान्यीकरण, वर्गाकार कोष्ठकों के लिए नोटेशनल प्रतिबंध, और योग के लिए आवेदन, कोष्ठक में तार्किक अभिव्यक्तियों में अस्पष्टता से बचने के लिए [[डोनाल्ड नुथ]] द्वारा वकालत की गई थी।<ref name=TNN>Donald Knuth, "Two Notes on Notation", ''[[American Mathematical Monthly]]'', Volume 99, Number 5, May 1992, pp.&nbsp;403–422. ([http://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/papers/tnn.tex.gz TeX], {{arxiv|math/9205211}}).</ref>


इन्वर्सन कोष्ठक समन इंडेक्स पर प्रतिबंध के बिना [[Index.php?title=कैपिटल-सिग्मा संकेतन|कैपिटल-सिग्मा संकेतन]] का उपयोग करने की अनुमति देता है। अर्थात किसी गुण के लिए <math>P(k)</math> पूर्णांक का <math>k</math>, कोई प्रतिबंधित योग को <math>\sum_{k : P(k)}f(k)</math> अप्रतिबंधित रूप में <math>\sum_k f(k) \cdot[P(k)]</math>फिर से लिखा जा सकता है। इस फलन के साथ, <math>f(k)</math> के मूल्यों के लिए परिभाषित करने की आवश्यकता नहीं है {{mvar|k}} जिसके लिए आइवरसन कोष्ठक {{math|0}} के बराबर है; वह ''f(k) [ गलत ]'' का योग है, 0 का मूल्यांकन करना चाहिए भले ही <math>f(k)</math> को परिभाषित किया गया है।


अंकन मूल रूप से केनेथ ई. इवरसन द्वारा अपनी प्रोग्रामिंग भाषा [[एपीएल (प्रोग्रामिंग भाषा)]] में प्रस्तुत किया गया था,<ref name=APL>{{cite book|author=Kenneth E. Iverson|date=1962|title=एक प्रोग्रामिंग भाषा|page=11 | publisher=Wiley |url=http://www.jsoftware.com/papers/APL.htm|access-date=7 April 2016}}</ref><ref>[[Ronald Graham]], [[Donald Knuth]], and [[Oren Patashnik]]. ''[[Concrete Mathematics]]'', Section 2.2: Sums and Recurrences.</ref> चूँकि कोष्ठकों में संलग्न एकल संबंधपरक संचालकों तक सीमित है, जबकि अपने अंतर्गत कथनो के सामान्यीकरण, वर्गाकार कोष्ठकों के लिए नोटेशनल प्रतिबंध, और योग के लिए आवेदन, कोष्ठक में तार्किक अभिव्यक्तियों में अस्पष्टता को कम करने के लिए [[डोनाल्ड नुथ]] द्वारा सिद्ध किया गया हैं।<ref name=TNN>Donald Knuth, "Two Notes on Notation", ''[[American Mathematical Monthly]]'', Volume 99, Number 5, May 1992, pp.&nbsp;403–422. ([http://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/papers/tnn.tex.gz TeX], {{arxiv|math/9205211}}).</ref>
== गुण ==
== गुण ==
आइवरसन कोष्ठक, लॉजिक और समूह संचालन पर अंकगणित के बीच सीधा समानता है। उदाहरण के लिए, A और B को सेट होने दें और <math>P(k_1,\dots)</math> पूर्णांकों की कोई गुण; तो हमारे पास हैं
आइवरसन कोष्ठक, लॉजिक और समूह संचालन पर अंकगणित के बीच सीधा समानता है। उदाहरण के लिए, ''A'' और ''B'' को सेट होने दें और <math>P(k_1,\dots)</math> पूर्णांकों की कोई गुण; तो हमारे पास हैं
<math display="block">\begin{align}[]
<math display="block">\begin{align}[]
                       [\,P \land Q\,] ~ &= ~ [\,P\,]\,[\,Q\,]~~; \\[1em]
                       [\,P \land Q\,] ~ &= ~ [\,P\,]\,[\,Q\,]~~; \\[1em]
Line 25: Line 23:
\#\Bigl\{\; m \,\Big| \, P(k, m)\;\Bigr\} ~ &= ~ \sum_m \, [\,P(k, m)\,]~~.
\#\Bigl\{\; m \,\Big| \, P(k, m)\;\Bigr\} ~ &= ~ \sum_m \, [\,P(k, m)\,]~~.
\end{align}</math>
\end{align}</math>
== उदाहरण ==
== उदाहरण ==
संकेतन योग में अलग कारक के रूप में योग (या इंटीग्रल) की सीमा स्थितियों को स्थानांतरित करने की अनुमति देता है, योग संचालिका के चारों तरफ जगह खाली करता है, परन्तु अत्यधिक महत्वपूर्ण रूप से इसे बीजगणितीय रूप से परिवर्तन करने की अनुमति देता है।
संकेतन योग में अलग कारक के रूप में योग (या इंटीग्रल) की सीमा स्थितियों को स्थानांतरित करने की अनुमति देता है, योग संचालिका के चारों तरफ जगह खाली करता है, परन्तु अत्यधिक महत्वपूर्ण रूप से इसे बीजगणितीय रूप से परिवर्तन करने की अनुमति देता है।
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B}f(k)\ +\sum_{k\in A\cap B}f(k).
B}f(k)\ +\sum_{k\in A\cap B}f(k).
\end{align}</math>
\end{align}</math>
=== योग इंटरचेंज ===
=== योग इंटरचेंज ===
बहुत प्रसिद्ध नियम <math display="inline">\sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^j f(j,k) = \sum_{k=1}^n \sum_{j=k}^n f(j,k)</math> वैसे ही सरलता से प्राप्त होता है:
बहुत प्रसिद्ध नियम <math display="inline">\sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^j f(j,k) = \sum_{k=1}^n \sum_{j=k}^n f(j,k)</math> वैसे ही सरलता से प्राप्त होता है:
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\\&=\sum_{k=1}^n\,\sum_{j=k}^n f(j,k).
\\&=\sum_{k=1}^n\,\sum_{j=k}^n f(j,k).
\end{align}</math>
\end{align}</math>
=== गिनती ===
=== गिनती ===
उदाहरण के लिए, [[यूलर फाई समारोह|यूलर फाई फंक्शन]] जो n तक धनात्मक पूर्णांकों की संख्या की गणना करता है जो कि n के लिए [[सह अभाज्य]] हैं, द्वारा व्यक्त किया जा सकता है
उदाहरण के लिए, [[यूलर फाई समारोह|यूलर फाई फलन]] जो n तक धनात्मक पूर्णांकों की संख्या की गणना करता है जो कि ''n'' के लिए [[सह अभाज्य]] हैं, द्वारा व्यक्त किया जा सकता है
<math display="block"> \varphi(n)=\sum_{i=1}^{n}[\gcd(i,n)=1],\qquad\text{for } n\in\N^+.</math>
<math display="block"> \varphi(n)=\sum_{i=1}^{n}[\gcd(i,n)=1],\qquad\text{for } n\in\N^+.</math>
=== विशेष मामलों का सरलीकरण ===
=== विशेष मामलों का सरलीकरण ===
आइवरसन कोष्ठक का अन्य उपयोग विशेष कथनों के साथ समीकरणों को सरल बनाना है। उदाहरण के लिए, सूत्र
आइवरसन कोष्ठक का अन्य उपयोग विशेष कथनों के साथ समीकरणों को सरल बनाना है। उदाहरण के लिए, सूत्र
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के लिए मान्य है {{math|''n'' &gt; 1}} परन्तु {{math|1=''n'' = 1}}के लिए {{sfrac|1|2}} द्वारा बंद है। सभी धनात्मक पूर्णांकों के लिए मान्य पहचान प्राप्त करने के लिए {{mvar|n}} (अर्थात, वे सभी मान जिनके लिए <math>\phi(n)</math> परिभाषित किया गया है), आइवरसन कोष्ठक से जुड़े सुधार अवधि को जोड़ा जा सकता है:
के लिए मान्य है {{math|''n'' &gt; 1}} परन्तु {{math|1=''n'' = 1}}के लिए {{sfrac|1|2}} द्वारा बंद है। सभी धनात्मक पूर्णांकों के लिए मान्य पहचान प्राप्त करने के लिए {{mvar|n}} (अर्थात, वे सभी मान जिनके लिए <math>\phi(n)</math> परिभाषित किया गया है), आइवरसन कोष्ठक से जुड़े सुधार अवधि को जोड़ा जा सकता है:
<math display="block">\sum_{1\le k\le n \atop \gcd(k,n)=1}\!\!k = \frac{1}{2}n(\varphi(n)+[n=1])</math>
<math display="block">\sum_{1\le k\le n \atop \gcd(k,n)=1}\!\!k = \frac{1}{2}n(\varphi(n)+[n=1])</math>
=== सामान्य कार्य ===
=== सामान्य कार्य ===


कई सामान्य फंक्शन, विशेष प्रकार से सामान्य खंड के अनुसार परिभाषा वाले, आइवरसन कोष्ठक के संदर्भ में व्यक्त किए जा सकते हैं। क्रोनेकर डेल्टा संकेतन आइवरसन संकेतन का विशिष्ट कथन है जब स्थिति समानता होती है। वह है,
कई सामान्य फलन, विशेष प्रकार से सामान्य खंड के अनुसार परिभाषा वाले, आइवरसन कोष्ठक के संदर्भ में व्यक्त किए जा सकते हैं। क्रोनेकर डेल्टा संकेतन आइवरसन संकेतन का विशिष्ट कथन है जब स्थिति समानता होती है। वह है,
<math display="block">\delta_{ij} = [i=j].</math>
<math display="block">\delta_{ij} = [i=j].</math>
सूचक फंक्शन, अधिकांशतः निरूपित <math>\mathbf{1}_A(x)</math>, <math>\mathbf{I}_A(x)</math> या <math>\chi_A(x)</math>, आइवरसन कोष्ठक है जिसकी स्थिति के रूप में समूह सदस्यता है:
सूचक फलन, अधिकांशतः निरूपित <math>\mathbf{1}_A(x)</math>, <math>\mathbf{I}_A(x)</math> या <math>\chi_A(x)</math>, आइवरसन कोष्ठक है जिसकी स्थिति के रूप में समूह सदस्यता है:
<math display="block">\mathbf{I}_A(x) = [x\in A].</math>
<math display="block">\mathbf{I}_A(x) = [x\in A].</math>
[[हैवीसाइड स्टेप फंक्शन]], [[साइन समारोह|साइन फंक्शन]],<ref name=APL/>और निरपेक्ष मान फ़ंक्शन भी इस संकेतन में सरलता से व्यक्त किए जाते हैं:
[[हैवीसाइड स्टेप फंक्शन|हैवीसाइड स्टेप फलन]], [[साइन समारोह|साइन फलन]],<ref name=APL/>और निरपेक्ष मान फलन भी इस संकेतन में सरलता से व्यक्त किए जाते हैं:
<math display="block">\begin{align}
<math display="block">\begin{align}
     H(x) &= [x > 0], \\
     H(x) &= [x > 0], \\
Line 84: Line 72:
       &= x \cdot \sgn(x).
       &= x \cdot \sgn(x).
\end{align}</math>
\end{align}</math>
तुलनात्मक फंक्शन अधिकतम और न्यूनतम (दो तर्कों में से बड़ा या छोटा लौटाना) के रूप में लिखा जा सकता है
तुलनात्मक फलन अधिकतम और न्यूनतम (दो तर्कों में से बड़ा या छोटा लौटाना) के रूप में लिखा जा सकता है
<math display="block">\max(x, y) = x[x > y] + y[x \leq y]</math> और
<math display="block">\max(x, y) = x[x > y] + y[x \leq y]</math> और
<math display="block">\min(x, y) = x[x \leq y] + y[x > y].</math>
<math display="block">\min(x, y) = x[x \leq y] + y[x > y].</math>
फ्लोर तथा सेलिंग फंक्शन को इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है
फ्लोर तथा सेलिंग फलन को इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है
<math display="block">\lfloor x \rfloor = \sum_n n \cdot [n \le x < n + 1]</math>
<math display="block">\lfloor x \rfloor = \sum_n n \cdot [n \le x < n + 1]</math>
और
और
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जहां सूचकांक <math>n</math> योग की संख्या को सभी पूर्णांकों की श्रेणी में समझा जाता है।
जहां सूचकांक <math>n</math> योग की संख्या को सभी पूर्णांकों की श्रेणी में समझा जाता है।


[[रैंप समारोह|रैंप फंक्शन]] व्यक्त किया जा सकता है
[[रैंप समारोह|रैंप फलन]] व्यक्त किया जा सकता है
<math display="block">R(x) = x \cdot [x \geq 0].</math>
<math display="block">R(x) = x \cdot [x \geq 0].</math>
वास्तविक का [[ट्राइकोटॉमी (गणित)]] निम्नलिखित पहचान के बराबर है:
वास्तविक का [[ट्राइकोटॉमी (गणित)]] निम्नलिखित पहचान के बराबर है:
<math display="block">[a < b] + [a = b] + [a > b] = 1. </math>
<math display="block">[a < b] + [a = b] + [a > b] = 1. </math>
मोबियस फ़ंक्शन में गुण है (और इसे पुनरावृत्ति द्वारा परिभाषित किया जा सकता है<ref>[[Ronald Graham]], [[Donald Knuth]], and [[Oren Patashnik]]. ''[[Concrete Mathematics]]'', Section 4.9: Phi and Mu.</ref>)
मोबियस फलन में गुण है (और इसे पुनरावृत्ति द्वारा परिभाषित किया जा सकता है<ref>[[Ronald Graham]], [[Donald Knuth]], and [[Oren Patashnik]]. ''[[Concrete Mathematics]]'', Section 4.9: Phi and Mu.</ref>)
<math display="block">\sum_{d|n} \mu(d) \ =\  [n=1].</math>
<math display="block">\sum_{d|n} \mu(d) \ =\  [n=1].</math>
== सामान्य कार्यों के संदर्भ में सूत्रीकरण ==
== सामान्य कार्यों के संदर्भ में सूत्रीकरण ==
1830 के दशक में, गुलिएम्लो डल्ला सोमाजा ने व्यंजक <math>0^{0^x}</math>इस्तेमाल किया, अब जो लिखा जाएगा उसका प्रदर्शित करने के लिए <math>[x > 0]</math> है; उन्होंने भिन्न का भी  उपयोग किया, जैसे <math>\left(1 - 0^{0^{-x}}\right) \left(1 - 0^{0^{x-a}}\right)</math>के लिए <math>[0 \leq x \leq a]</math> है।<ref name=TNN/>शून्य की घात के एक शून्य के बाद, वे मात्राएँ बराबर होती हैं जहाँ परिभाषित किया गया है: <math>0^{0^x}</math>1 है यदि  {{math|''x'' > 0}}, 0 है यदि  {{math|1=''x'' = 0}},अन्यथा अपरिभाषित है।
1830 के दशक में, गुलिएम्लो डल्ला सोमाजा ने व्यंजक <math>0^{0^x}</math>उपयोग किया, अब जो लिखा जाएगा उसका प्रदर्शित करने के लिए <math>[x > 0]</math> है; उन्होंने भिन्न का भी  उपयोग किया, जैसे <math>\left(1 - 0^{0^{-x}}\right) \left(1 - 0^{0^{x-a}}\right)</math>के लिए <math>[0 \leq x \leq a]</math> है।<ref name=TNN/>शून्य की घात के एक शून्य के बाद, वे मात्राएँ बराबर होती हैं जहाँ परिभाषित किया गया है: <math>0^{0^x}</math>1 है यदि  {{math|''x'' > 0}}, 0 है यदि  {{math|1=''x'' = 0}},अन्यथा अपरिभाषित है।


== सांकेतिक रूपांतर ==
== सांकेतिक रूपांतर ==
अब मानक वर्ग {{nobr| [ · ] }} कोष्ठक के अतिरिक्त और {{nobr| [ · ] }} मूल कोष्ठक [[ब्लैकबोर्ड बोल्ड]](गहरे काले) कोष्ठकों का भी प्रयोग किया गया है, उदा.{{nobr| {{math| ⟦ · ⟧ }} }}साथ ही प्रकाशक के टाइपफेस (अक्षराकृति) में उपलब्ध ब्रैकेटिंग चिह्नों के अन्य असामान्य रूपों के साथ पार्श्व टिप्पणी है।
अब मानक वर्ग {{nobr| [ · ] }} कोष्ठक के अतिरिक्त और {{nobr| [ · ] }} मूल कोष्ठक [[ब्लैकबोर्ड बोल्ड]](गहरे काले) कोष्ठकों का भी प्रयोग किया गया है, उदा.{{nobr| {{math| ⟦ · ⟧ }} }}साथ ही प्रकाशक के टाइपफेस (अक्षराकृति) में उपलब्ध कोष्ठक चिह्नों के अन्य असामान्य रूपों के साथ पार्श्व टिप्पणी है।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
* [[बूलियन समारोह]]
* [[बूलियन समारोह]]
[[सूचक (कंप्यूटर प्रोग्रामिंग)]] में टाइप रूपांतरण: कई[[ प्रोग्रामिंग भाषा ]]संख्यात्मक या सूचक (कंप्यूटर प्रोग्रामिंग) मात्राओं को [[बूलियन डेटा प्रकार]] के रूप में उपयोग करने की अनुमति देती हैं|
[[सूचक (कंप्यूटर प्रोग्रामिंग)]] में टाइप रूपांतरण: कई[[ प्रोग्रामिंग भाषा ]]संख्यात्मक या सूचक (कंप्यूटर प्रोग्रामिंग) मात्राओं को [[बूलियन डेटा प्रकार]] के रूप में उपयोग करने की अनुमति देती हैं|
* संकेतक फंक्शन
* संकेतक फलन


==संदर्भ==
==संदर्भ==
{{reflist}}
{{reflist}}
[[Category: गणितीय अंकन]]


[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 21/03/2023]]
[[Category:Created On 21/03/2023]]
[[Category:Lua-based templates]]
[[Category:Machine Translated Page]]
[[Category:Pages with script errors]]
[[Category:Short description with empty Wikidata description]]
[[Category:Templates Vigyan Ready]]
[[Category:Templates that add a tracking category]]
[[Category:Templates that generate short descriptions]]
[[Category:Templates using TemplateData]]
[[Category:गणितीय अंकन]]

Latest revision as of 21:04, 17 April 2023

गणित में, आइवरसन कोष्ठक, केनेथ ई. इवरसन के नाम पर रखा गया, एक संकेतन है जो क्रोनकर डेल्टा का सामान्यीकरण करता है, जो कथन x = y का आइवरसन कोष्ठक है। यह किसी भी कथन (तर्क) को उस कथन के स्वतंत्र चर के फलन (गणित) में मापता है। इस फलन को उन चरों के मानों के लिए 1 मान लेने के लिए परिभाषित किया गया है जिनके लिए कथन सत्य है, और अन्यथा 0 मान लेता है। इसे सामान्यतौर पर वर्गाकार कोष्ठकों के अंदर कथन लगाकर दर्शाया जाता है:

दूसरे शब्दों में, किसी कथन का आइवरसन कोष्ठक मानों के उस समुच्चय का सूचक फलन है जिसके लिए कथन सत्य है।

इन्वर्सन कोष्ठक समन इंडेक्स पर प्रतिबंध के बिना कैपिटल-सिग्मा संकेतन का उपयोग करने की अनुमति देता है। अर्थात किसी गुण के लिए पूर्णांक का , कोई प्रतिबंधित योग को अप्रतिबंधित रूप में फिर से लिखा जा सकता है। इस फलन के साथ, के मूल्यों के लिए परिभाषित करने की आवश्यकता नहीं है k जिसके लिए आइवरसन कोष्ठक 0 के बराबर है; वह f(k) [ गलत ] का योग है, 0 का मूल्यांकन करना चाहिए भले ही को परिभाषित किया गया है।

अंकन मूल रूप से केनेथ ई. इवरसन द्वारा अपनी प्रोग्रामिंग भाषा एपीएल (प्रोग्रामिंग भाषा) में प्रस्तुत किया गया था,[1][2] चूँकि कोष्ठकों में संलग्न एकल संबंधपरक संचालकों तक सीमित है, जबकि अपने अंतर्गत कथनो के सामान्यीकरण, वर्गाकार कोष्ठकों के लिए नोटेशनल प्रतिबंध, और योग के लिए आवेदन, कोष्ठक में तार्किक अभिव्यक्तियों में अस्पष्टता को कम करने के लिए डोनाल्ड नुथ द्वारा सिद्ध किया गया हैं।[3]

गुण

आइवरसन कोष्ठक, लॉजिक और समूह संचालन पर अंकगणित के बीच सीधा समानता है। उदाहरण के लिए, A और B को सेट होने दें और पूर्णांकों की कोई गुण; तो हमारे पास हैं