समानुपात (गणित)

For other uses, see आनुपातिकता.

चर y, चर x के समानुपाती स्थिरांक ~0.6 के साथ सीधे आनुपातिक है।

चर y, चर x के व्युत्क्रमानुपाती होता है जिसमें समानुपात स्थिरांक 1 होता है।

गणित में संख्याओं के दो अनुक्रम, अधिकांशतः प्रयोगात्मक डेटा , आनुपातिक या सीधे आनुपातिक होते हैं। यदि उनके संगत तत्वों में एक स्थिर (गणित) अनुपात होता है। जिसे समानुपात या समानुपात स्थिरांक का गुणांक कहा जाता है। दो अनुक्रम व्युत्क्रमानुपाती होते हैं। यदि संबंधित तत्वों का एक स्थिर उत्पाद होता है। जिसे सामानुपात का गुणांक भी कहा जाता है।

यह परिभाषा सामान्यतः संबंधित भिन्न मात्राओं तक विस्तारित होती है। जिन्हें अधिकांशतः चर कहा जाता है। चर का यह अर्थ गणित में इस शब्द का सामान्य अर्थ नहीं है (देखें चर (गणित) )। ये दो अलग-अलग अवधारणाएं ऐतिहासिक कारणों से एक ही नाम साझा करती हैं।

दो फलन (गणित) $f(x)$ तथा $g(x)$ आनुपातिक हैं। यदि उनका अनुपात ${\textstyle {\frac {f(x)}{g(x)}}}$ एक निरंतर कार्य है।

यदि चर के कई जोड़े समान प्रत्यक्ष समानुपात स्थिरांक साझा करते हैं, तो इन अनुपातों की समानता को व्यक्त करने वाले समीकरण को अनुपात कहा जाता है, उदाहरण के लिए, a/b = x/y = ⋯ = k (विवरण के लिए अनुपात देखें)। समानुपात रैखिकता से निकटता से संबंधित है।

प्रत्यक्ष समानुपात

See also: बराबर का चिन्ह

दो चर (गणित) x और y दिये गये हैं और चर y, चर x के लिए 'सीधे आनुपातिक' है यदि कोई शून्येतर स्थिरांक k इस प्रका है कि

$y=kx.$

संबंध को अधिकांशतः प्रतीकों ∝ (ग्रीक अक्षर अल्फा के साथ भ्रमित नहीं होने के लिए) या ~ का उपयोग करके प्रदर्शित किया जाता है।

$y\propto x,$ या $y\sim x.$

के लिये $x\neq 0$ समानुपात स्थिरांक को अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

$k={\frac {y}{x}}.$

इसे भिन्नता का स्थिरांक या समानुपात का स्थिरांक भी कहते है।

एक प्रत्यक्ष समानुपात को एक y-अवरोधन के साथ दो चरों में रैखिक समीकरण के रूप में भी देखा जा सकता है| y-प्रतिच्छेद 0 और प्रदर्शित k का ढाल है। यह रैखिक विकास से मिलती है।

उदाहरण

• यदि कोई वस्तु स्थिर गति से गति करती है। तो तय की गई दूरी यात्रा में व्यतीत समय के सीधे आनुपातिक होती है। जिसमें गति समानुपात की स्थिर होती है।
• एक वृत्त की परिधि उसके व्यास के समानुपाती होती है। जिसमें समानुपाती नियतांक π के बराबर होता है।
• एक पर्याप्त रूप से छोटे भौगोलिक क्षेत्र के मानचित्र पर मापदंड दूरी के लिए तैयार मानचित्र पर किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरी उन बिंदुओं द्वारा दर्शाए गए दो स्थानों के बीच की दूरी के सीधे आनुपातिक है। समानुपात का स्थिरांक मानचित्र के मापदंड को प्रदर्शित करता है।
• गुरुत्वाकर्षण के कारण पास के बड़े विस्तारित द्रव्यमान द्वारा छोटे द्रव्यमान वाली छोटी वस्तु पर कार्य करने वाला बल (भौतिकी) , वस्तु के द्रव्यमान के सीधे आनुपातिक होता है। बल और द्रव्यमान के बीच समानुपात के स्थिरांक को गुरुत्वाकर्षण त्वरण के रूप में जानते हैं।
• किसी वस्तु पर कार्य करने वाला शुद्ध बल संदर्भ के जड़त्वीय फ्रेम के संबंध में उस वस्तु के त्वरण के समानुपाती होता है। इसमें समानुपात का स्थिरांक, न्यूटन का दूसरा नियम, वस्तु का मौलिक द्रव्यमान है।

कंप्यूटर एन्कोडिंग

यूनिकोड वर्ण

U+221D ∝ PROPORTIONAL TO (∝, ∝, ∝, ∝, ∝) U+007E ~ TILDE U+223C ∼ TILDE OPERATOR (∼, ∼, ∼, ∼) U+223A ∺ GEOMETRIC PROPORTION (∺)

व्युत्क्रम समानुपात

y = 1/x के फलन के साथ व्युत्क्रमानुपाती

व्युत्क्रम समानुपात की अवधारणा को प्रत्यक्ष समानुपात के साथ विपरीत किया जा सकता है। एक दूसरे के व्युत्क्रमानुपाती कहे जाने वाले दो चरों पर विचार करें। सेटरिस पैरिबस एक व्युत्क्रमानुपाती चर का परिमाण या निरपेक्ष मान घट जाता है। यदि दूसरा चर बढ़ता है। लेकिन उनका उत्पाद (समानुपात k का स्थिरांक) सदैव समान होता है। एक उदाहरण के रूप में यात्रा के लिए लिया गया समय यात्रा की गति के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

औपचारिक रूप से दो चर 'व्युत्क्रमानुपाती' होते हैं (जिन्हें 'व्युत्क्रमानुपाती' भी कहा जाता है, 'प्रतिलोम भिन्नता' में, 'प्रतिलोम अनुपात' में)। यदि प्रत्येक चर दूसरे के गुणनात्मक व्युत्क्रम (पारस्परिक) के सीधे आनुपातिक है या समकक्ष रूप से, यदि उनका उत्पाद (गणित) एक स्थिर है। यह इस प्रकार है कि चर y चर x के व्युत्क्रमानुपाती होता है। यदि कोई गैर-शून्य स्थिरांक k उपस्थित हो। जैसे कि-

$y={\frac {k}{x}},$

या समकक्ष, $xy=k.$ अत: अचर k, x और y का गुणनफल है।

कार्तीय निर्देशांक तल पर दो चरों का व्युत्क्रमानुपाती ग्राफ़ एक आयताकार अतिपरवलय है। वक्र पर प्रत्येक बिंदु के x और y मानों का गुणनफल समानुपात (k) के स्थिरांक के बराबर होता है। चूँकि न तो x और न ही y शून्य के बराबर हो सकते हैं (क्योंकि k गैर-शून्य है) और ग्राफ कभी भी अक्ष को पार नहीं करता है।

हाइपरबोलिक निर्देशांक

Main article: हाइपरबोलिक निर्देशांक

प्रत्यक्ष और प्रतिलोम अनुपात की अवधारणा अतिपरवलयिक निर्देशांकों द्वारा कार्तीय तल में बिंदुओं के स्थान की ओर ले जाती है। दो निर्देशांक प्रत्यक्ष समानुपात के स्थिरांक के अनुरूप होते हैं। जो एक बिंदु को एक विशेष रेखा (गणित) पर होने के रूप में निर्दिष्ट करता है और प्रतिलोम समानुपात का स्थिरांक, जो एक बिंदु को एक विशेष अतिपरवलय पर होने के रूप में निर्दिष्ट करता है।

यह भी देखें

• रैखिक मानचित्र
• सह-संबंध
• सिनिडस का यूडोक्सस
• गोल्डन अनुपात
• व्युत्क्रम वर्ग नियम
• आनुपातिक फ़ॉन्ट
• अनुपात
• तीन का नियम (गणित)
• सैम्पल का आकार
• समानता (ज्यामिति)
• मूल समानुपात प्रमेय
• गणितीय संचालिका (यूनिकोड ब्लॉक) ब्लॉक

विकास

• रैखिक वृद्धि
• हाइपरबोलिक वृद्धि

संदर्भ

• Ya. B. Zeldovich, I. M. Yaglom: Higher math for beginners, p. 34–35.
• Brian Burrell: Merriam-Webster's Guide to Everyday Math: A Home and Business Reference. Merriam-Webster, 1998, ISBN 9780877796213, p. 85–101.
• Lanius, Cynthia S.; Williams Susan E.: PROPORTIONALITY: A Unifying Theme for the Middle Grades. Mathematics Teaching in the Middle School 8.8 (2003), p. 392–396.
• Seeley, Cathy; Schielack Jane F.: A Look at the Development of Ratios, Rates, and Proportionality. Mathematics Teaching in the Middle School, 13.3, 2007, p. 140–142.
• Van Dooren, Wim; De Bock Dirk; Evers Marleen; Verschaffel Lieven : Students' Overuse of Proportionality on Missing-Value Problems: How Numbers May Change Solutions. Journal for Research in Mathematics Education, 40.2, 2009, p. 187–211.

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