असीम तर्क: Difference between revisions

Latest revision as of 10:39, 17 April 2023

असीम तर्क एक ऐसा तर्क है जो एक असीम रूप से लंबे कथनों या असीम रूप से लंबे प्रमाणों की अनुमति देता है ^[1] कुछ असीम तर्क में स्तर प्रथम-क्रम तर्क में भिन्न हो सकते हैं कुछ असीमित तर्क सम्पूर्णता या पूर्ण होने में विफल भी हो सकते हैं इसमें दृढ़ता और पूर्णता की धारणाएं जो कभी-कभी परिमित तर्क में समान होती हैं तथा जो अनंत तर्क में नहीं होती हैं इसलिए असीमित तर्क के लिए मजबूत दृढ़ता और मजबूत पूर्णता की धारणाएं परिभाषित की गई हैं यह हिल्बर्ट प्रणाली असीम तर्क को संबोधित करता है क्योंकि इनका बड़े पैमाने पर अध्ययन किया जाता है और यह अंतिम तर्क के सबसे सीधे विस्तार का गठन करता है जबकि ये असीम तर्क नहीं हैं जिनका अध्ययन आसानी से किया जा सकता है।

असीम तर्क में विचार करते हुए कहा गया कि तर्क नामक एक निश्चित असीमित तर्क पूर्ण कथन है^[2] तथा इसमें निरंतर परिकल्पना पर प्रकाश डाला जाता है।

अंकन पर एक शब्द और पसंद की स्वयंसिद्ध

इसमें अनंत रूप से लंबे सूत्रों वाली भाषा प्रस्तुत की जा रही है ऐसे सूत्रों को स्पष्ट रूप से लिखना संभव नहीं है क्योंकि इस समस्या को हल करने के लिए कई सांकेतिक सुविधाएं जो वास्तव में नियमानुसार भाषा का हिस्सा नहीं है तथा इसका उपयोग किया जा सकता है एक अभिव्यक्ति को संकेत करने के लिए असीम तर्क का प्रयोग किया जाता है जो असीम रूप से लंबा है जबकि यह स्पष्ट नहीं है की अनुक्रम में लंबाई की टिप्पणी नहीं दी जाती यह संकेतन अस्पष्ट हो जाता है यदि प्रत्यय जैसे $\bigvee _{\gamma <\delta }{A_{\gamma }}$ का उपयोग गणनांक $\delta$ के सूत्रों के एक सेट पर अनंत तार्किक संयोजन को संकेत करने के लिए उपयोग किया जाता है उदाहरण के लिए मात्रात्मक पर एक ही संकेतन लागू किया जा सकता है $\forall _{\gamma <\delta }{V_{\gamma }:}$ . यह मात्रात्मक के अनंत अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करने के लिए है जब प्रत्येक के लिए मात्रात्मक $V_{\gamma }$ तथा $\gamma <\delta$ . है।

प्रत्यय के सभी उपयोग असीम तर्क नहीं हैं तथा औपचारिक क्रिया के साधारण भाषाओं का हिस्सा है।

चयन को स्वयंसिद्ध माना जाता है क्योंकि उचित वितरण नियम के लिए यह आवश्यक है।

हिल्बर्ट-प्रकार असीमित तर्क की परिभाषा

एक प्रथम-क्रम अनंत भाषा L_α_,β, α नियमित β = 0 या ω ≤ β ≤ α में अंतिम तर्क के प्रतीकों का एक ही समूह होता है तथा असीम तर्क कुछ अतिरिक्त नियमों के साथ अंतिम तर्क के सूत्रों का निर्माण करने के लिए सभी नियमों का उपयोग कर सकता है।

सूत्रों $A=\{A_{\gamma }|\gamma <\delta <\alpha \}$ के एक समूह को देखते हुए सूत्र $(A_{0}\lor A_{1}\lor \cdots )$ और $(A_{0}\land A_{1}\land \cdots )$ हैं प्रत्येक जगहों में अनुक्रम की लंबाई $\delta$ है।
चर और $A_{0}$ के एक समूह को देखते हुए सूत्र $\forall V_{0}:\forall V_{1}\cdots (A_{0})$ और $\exists V_{0}:\exists V_{1}\cdots (A_{0})$ हैं तथा प्रत्येक जगहों में परिमाणकों के अनुक्रम की लंबाई $\delta$ है।

असीम तर्क में मुक्त और परिबद्ध चरों की संकल्पनाएँ उसी प्रकार से अनंत सूत्रों पर लागू होती हैं जैसे परिमित तर्क में एक सूत्र जिसके सभी चर बंधे होते हैं उसे वाक्य कहा जाता है।

अनंत भाषा में एक सिद्धांत गणितीय तर्क T $L_{\alpha ,\beta }$ में वाक्यों का एक समूह है एक सिद्धांत T में असीम तर्क जो एक प्रमाण के कथनो का अनुक्रम है जो निम्नलिखित शर्तों का पालन करता है तथा प्रत्येक कथन या तो तार्किक स्वयंसिद्ध है या T का एक तत्व है इसके नियम का उपयोग करके पिछले कथनो से यह ज्ञात होता है कि पहले की तरह परिमित तर्क के परिणाम सभी नियमों का उपयोग करके एक अतिरिक्त तर्क को धारण करता है।

कथनो का एक समूह इस प्रकार दिया गया है कि $A=\{A_{\gamma }|\gamma <\delta <\alpha \}$ जो पहले प्रमाण में हुआ हो इस कथन से $\land _{\gamma <\delta }{A_{\gamma }}$ यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है।^[3]

अंतिम दो स्‍वयंसिद्ध प्रयोजन को स्‍वयंसिद्ध की आवश्यकता होती है क्योंकि कुछ समूह अच्छी तरह से व्यवस्थित होने चाहिए तथा अंतिम स्वयंसिद्ध के आकार अनावश्यक कथन है जो कि चांग के वितरण के नियम पर आधारित है^[4] जबकि इस तर्क को प्राकृतिक शिथिलन की अनुमति देने के प्राकृतिक तरीके के रूप में सम्मिलित किया गया है।

पूर्णता, सम्पूर्णता, और मजबूत पूर्णता

एक सिद्धांत वाक्यों का कोई समूह है तथा इसमें प्रादर्शों के कथनों का प्रतिवर्तन परिभाषित किया जाता है तथा अंतिम तर्क के लिए वाक्य का सिद्धांत T के लिए मान्य होता है यदि T के सभी प्रारूपों में सीवीएस सत्य है

तथा भाषा में एक असीम तर्क $L_{\alpha ,\beta }$ यदि प्रारूप में मान्य प्रत्येक वाक्य S के लिए S का प्रमाण एकत्रित है तो यह पूर्ण होगा।

जब प्रत्येक सिद्धांत T के लिए $L_{\kappa ,\kappa }$ अधिक से अधिक उपयुक्त कई सूत्र यदि प्रत्येक S $\subseteq$ गणनांक T का एक प्रारूप है तो दृढ़ता से सघन हिंज प्रत्येक सिद्धांत T के लिए $L_{\kappa ,\kappa }$ , आकार पर प्रतिबंध के बिना प्रत्येक S $\subseteq$ गणनांक T का एक प्रारूप है।

असीम तर्क में अभिव्यक्ति अवधारणाएँ

सिद्धांत की भाषा में निम्नलिखित कथन नींव व्यक्त करता है

\forall _{\gamma <\omega }{V_{\gamma }:}\neg \land _{\gamma <\omega }{V_{\gamma +}\in V_{\gamma }}.\,

स्वयंसिद्ध के विपरीत यह कथन गैर-मानक व्याख्याओं को स्वीकार नहीं करता है यह अच्छी तरह से स्थापित होने की अवधारणा को एक तर्क में व्यक्त किया जा सकता है जो एक व्यक्तिगत असीम तर्क के रूप से मात्रात्मकता को अनुमति देता है एक परिणाम के रूप में अंकगणित के कई सिद्धांत जो अंतिम तर्क में ठीक से स्‍वयंसिद्ध नहीं हो सकते तथा एक उपयुक्त अनंत तर्क में हो सकते हैं अन्य उदाहरणों में गैर-आर्किमिडीयन क्षेत्रों और मरोड़-मुक्त समूहों के सिद्धांत सम्मिलित हैं ^[5]^{[better source needed]} इन तीन सिद्धांतों को अनंत परिमाणीकरण के उपयोग के बिना परिभाषित किया जा सकता है ।

पूर्णअसीमित तर्क

दो असीमित तर्क अपनी संपूर्णता में स्पष्ट हैं ये असीम तर्क के पहलू हैं यह पूर्व मानक अंतिम प्रथम-क्रम तर्क हैं और बाद वाला एक असीम तर्क है जो केवल गणनीय आकार के कथनो की अनुमति देता है।

$L_{\omega ,\omega }$ का तर्क भी दृढ़ता से पूर्ण सघन और दृढ़ता से सघन है

$L_{\omega _{1},\omega }$ का तर्क सघन होने में विफल रहता है लेकिन यह पूर्ण है तथा इसके अलावा यह उपजाऊ प्रक्षेपण गुण को संतुष्ट करता है।

संदर्भ

↑ Moore, Gregory (1997). "The Prehistory of Infinitary Logic: 1885–1955". pp. 105–123. doi:10.1007/978-94-017-0538-7_7. ISBN 978-90-481-4787-8. {{cite book}}: |journal= ignored (help); Missing or empty |title= (help)
↑ Woodin, W. Hugh (2009). "The Continuum Hypothesis, the generic-multiverse of sets, and the Ω Conjecture" (PDF). Harvard University Logic Colloquium.
↑ Karp, Carol (1964). "Chapter 5 Infinitary Propositional Logic". अनंत लंबाई की अभिव्यक्तियों वाली भाषाएँ. pp. 39–54. doi:10.1016/S0049-237X(08)70423-3. ISBN 9780444534019. {{cite book}}: |journal= ignored (help)
↑ Chang, Chen-Chung (1955). "बीजगणित और संख्या का सिद्धांत" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. 61: 325–326.
↑ Rosinger, Elemer (2010). "गणित और भौतिकी में चार विभाग". arXiv:1003.0360. CiteSeerX 10.1.1.760.6726. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)

Karp, Carol R. (1964), Languages with expressions of infinite length, Amsterdam: North-Holland Publishing Co., MR 0176910
Barwise, Kenneth Jon (1969), "Infinitary logic and admissible sets", Journal of Symbolic Logic, 34 (2): 226–252, doi:10.2307/2271099, JSTOR 2271099, MR 0406760, S2CID 38740720

[1] Moore, Gregory (1997). "The Prehistory of Infinitary Logic: 1885–1955". pp. 105–123. doi:10.1007/978-94-017-0538-7_7. ISBN 978-90-481-4787-8. {{cite book}}: |journal= ignored (help); Missing or empty |title= (help)

[2] Woodin, W. Hugh (2009). "The Continuum Hypothesis, the generic-multiverse of sets, and the Ω Conjecture" (PDF). Harvard University Logic Colloquium.

[3] Karp, Carol (1964). "Chapter 5 Infinitary Propositional Logic". अनंत लंबाई की अभिव्यक्तियों वाली भाषाएँ. pp. 39–54. doi:10.1016/S0049-237X(08)70423-3. ISBN 9780444534019. {{cite book}}: |journal= ignored (help)

[4] Chang, Chen-Chung (1955). "बीजगणित और संख्या का सिद्धांत" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. 61: 325–326.

[5] Rosinger, Elemer (2010). "गणित और भौतिकी में चार विभाग". arXiv:1003.0360. CiteSeerX 10.1.1.760.6726. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)

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-एक '''असीम तर्क''' एक ऐसा [[तर्क]] है जो एक असीम रूप से लंबे [[कथनो]] या असीम रूप से लंबे [[प्रमाणों]] की अनुमति देता है <ref>{{cite book| journal=Structures and Norms in Science| last=Moore| first=Gregory| chapter=The Prehistory of Infinitary Logic: 1885–1955| pages=105–123| year=1997| doi=10.1007/978-94-017-0538-7_7| isbn=978-90-481-4787-8}}</ref> कुछ[[ अंतिम तर्क | असीम तर्क]] में स्तर [[प्रथम-क्रम तर्क]] में भिन्न गुण हो सकते हैं कुछ असीमित तर्क [[कॉम्पैक्टनेस (तर्क)|सम्पूर्णता]] या [[पूर्णता (तर्क)|पूर्ण]] होने में विफल हो सकते हैं दृढ़ता और पूर्णता की धारणाएं जो कभी-कभी परिमित तर्क में समान होती हैं जो [[अनंत तर्कशास्त्र|अनंत तर्क]] में नहीं होती हैं इसलिए असीमित तर्क के लिए मजबूत दृढ़ता और मजबूत पूर्णता की धारणाएं परिभाषित की गई हैं यह [[ हिल्बर्ट प्रणाली |हिल्बर्ट प्रणाली]] असीम तर्क को संबोधित करता है क्योंकि इनका बड़े पैमाने पर अध्ययन किया जाता है और यह अंतिम तर्क के सबसे सीधे विस्तार का गठन करता है जबकि ये असीम तर्क नहीं हैं जिनका अध्ययन किया जा सकता है।
+'''असीम तर्क''' एक ऐसा [[तर्क]] है जो एक असीम रूप से लंबे [[कथनो|कथनों]] या असीम रूप से लंबे [[प्रमाणों]] की अनुमति देता है <ref>{{cite book| journal=Structures and Norms in Science| last=Moore| first=Gregory| chapter=The Prehistory of Infinitary Logic: 1885–1955| pages=105–123| year=1997| doi=10.1007/978-94-017-0538-7_7| isbn=978-90-481-4787-8}}</ref> कुछ[[ अंतिम तर्क | असीम तर्क]] में स्तर [[प्रथम-क्रम तर्क]] में भिन्न हो सकते हैं कुछ असीमित तर्क [[कॉम्पैक्टनेस (तर्क)|सम्पूर्णता]] या [[पूर्णता (तर्क)|पूर्ण]] होने में विफल भी हो सकते हैं इसमें दृढ़ता और पूर्णता की धारणाएं जो कभी-कभी परिमित तर्क में समान होती हैं तथा जो [[अनंत तर्कशास्त्र|अनंत तर्क]] में नहीं होती हैं इसलिए असीमित तर्क के लिए मजबूत दृढ़ता और मजबूत पूर्णता की धारणाएं परिभाषित की गई हैं यह [[ हिल्बर्ट प्रणाली |हिल्बर्ट प्रणाली]] असीम तर्क को संबोधित करता है क्योंकि इनका बड़े पैमाने पर अध्ययन किया जाता है और यह अंतिम तर्क के सबसे सीधे विस्तार का गठन करता है जबकि ये असीम तर्क नहीं हैं जिनका अध्ययन आसानी से किया जा सकता है।
 असीम तर्क में विचार करते हुए कहा गया कि तर्क नामक एक निश्चित असीमित तर्क पूर्ण कथन है<ref>{{cite web| last=Woodin| first=W. Hugh|authorlink = W. Hugh Woodin| title=The Continuum Hypothesis, the generic-multiverse of sets, and the Ω Conjecture| publisher=Harvard University Logic Colloquium| year=2009| url=http://logic.harvard.edu/EFI_Woodin_TheContinuumHypothesis.pdf}}</ref> तथा इसमें निरंतर परिकल्पना पर प्रकाश डाला जाता है।
 == अंकन पर एक शब्द और पसंद की स्वयंसिद्ध ==
-इसमें अनंत रूप से लंबे सूत्रों वाली भाषा प्रस्तुत की जा रही है ऐसे सूत्रों को स्पष्ट रूप से लिखना संभव नहीं है क्योंकि इस समस्या को हल करने के लिए कई सांकेतिक सुविधाएं जो वास्तव में नियमानुसार भाषा का हिस्सा नहीं है तथा इसका उपयोग किया जाता है <math>\cdots</math> एक अभिव्यक्ति को संकेत करने के लिए असीम तर्क का प्रयोग किया जाता है जो असीम रूप से लंबा है जबकि यह स्पष्ट नहीं है की अनुक्रम में लंबाई की टिप्पणी नहीं दी जाती यह संकेतन अस्पष्ट हो जाता है यदि प्रत्यय जैसे <math>\bigvee_{\gamma < \delta}{A_{\gamma}}</math> का उपयोग [[प्रमुखता|गणनांक]] <math>\delta</math> के सूत्रों के एक सेट पर अनंत तार्किक [[संयोजन]] को संकेत करने के लिए उपयोग किया जाता है उदाहरण के लिए 	मात्रात्मक पर एक ही संकेतन लागू किया जा सकता है <math>\forall_{\gamma < \delta}{V_{\gamma}:}</math>. यह	मात्रात्मक के अनंत अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करने के लिए है जब प्रत्येक के लिए	मात्रात्मक <math>V_{\gamma}</math>तथा <math>\gamma < \delta</math>. है।
+इसमें अनंत रूप से लंबे सूत्रों वाली भाषा प्रस्तुत की जा रही है ऐसे सूत्रों को स्पष्ट रूप से लिखना संभव नहीं है क्योंकि इस समस्या को हल करने के लिए कई सांकेतिक सुविधाएं जो वास्तव में नियमानुसार भाषा का हिस्सा नहीं है तथा इसका उपयोग किया जा सकता है एक अभिव्यक्ति को संकेत करने के लिए असीम तर्क का प्रयोग किया जाता है जो असीम रूप से लंबा है जबकि यह स्पष्ट नहीं है की अनुक्रम में लंबाई की टिप्पणी नहीं दी जाती यह संकेतन अस्पष्ट हो जाता है यदि प्रत्यय जैसे <math>\bigvee_{\gamma < \delta}{A_{\gamma}}</math> का उपयोग [[प्रमुखता|गणनांक]] <math>\delta</math> के सूत्रों के एक सेट पर अनंत तार्किक [[संयोजन]] को संकेत करने के लिए उपयोग किया जाता है उदाहरण के लिए 	मात्रात्मक पर एक ही संकेतन लागू किया जा सकता है <math>\forall_{\gamma < \delta}{V_{\gamma}:}</math>. यह	मात्रात्मक के अनंत अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करने के लिए है जब प्रत्येक के लिए	मात्रात्मक <math>V_{\gamma}</math>तथा <math>\gamma < \delta</math>. है।
-प्रत्यय के सभी उपयोग असीम तर्क नहीं हैं तथा <math>\cdots</math> औपचारिक क्रिया के साधारण भाषाओं का हिस्सा है
+प्रत्यय के सभी उपयोग असीम तर्क नहीं हैं तथा औपचारिक क्रिया के साधारण भाषाओं का हिस्सा है।
 [[पसंद का स्वयंसिद्ध|चयन को स्वयंसिद्ध]] माना जाता है क्योंकि उचित वितरण नियम के लिए यह आवश्यक है।
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 == पूर्णता, सम्पूर्णता, और मजबूत पूर्णता ==
-एक सिद्धांत वाक्यों का कोई सेट है। मॉडलों में कथनो की सच्चाई प्रतिवर्तन द्वारा परिभाषित की जाती है और अंतिम तर्क के लिए परिभाषा से सहमत होगी जहां दोनों परिभाषित हैं। सिद्धांत T को देखते हुए, एक वाक्य को सिद्धांत T के लिए मान्य कहा जाता है यदि यह T के सभी मॉडलों में सत्य है। cvs
+एक सिद्धांत वाक्यों का कोई समूह है तथा इसमें प्रादर्शों के कथनों का प्रतिवर्तन परिभाषित किया जाता है तथा अंतिम तर्क के लिए वाक्य का सिद्धांत T के लिए मान्य होता है यदि T के सभी प्रारूपों में सीवीएस सत्य है
-भाषा में एक तर्क <math>L_{\alpha , \beta}</math> यदि प्रत्येक मॉडल में मान्य प्रत्येक वाक्य S के लिए S का प्रमाण मौजूद है तो यह पूर्ण है। यह पूरी तरह से पूर्ण है यदि किसी भी सिद्धांत के लिए T में मान्य प्रत्येक वाक्य S के लिए T से S का प्रमाण है। दृढ़ता से पूर्ण हुए बिना एक असीम तर्क पूर्ण हो सकता है।
+तथा भाषा में एक असीम तर्क <math>L_{\alpha , \beta}</math> यदि प्रारूप में मान्य प्रत्येक वाक्य S के लिए S का प्रमाण एकत्रित है तो यह पूर्ण होगा।
-एक हिंज <math>\kappa \neq \omega</math> [[कमजोर रूप से कॉम्पैक्ट कार्डिनल|कमजोर रूप से सघन हिंज]] है जब प्रत्येक सिद्धांत T के लिए <math>L_{\kappa , \kappa}</math> अधिक से अधिक युक्त <math>\kappa</math> कई सूत्र, यदि प्रत्येक S <math>\subseteq</math> गणनांक T का T से कम <math>\kappa</math> एक मॉडल है, तो T का एक मॉडल है। एक हिंज <math>\kappa \neq \omega</math> [[दृढ़ता से कॉम्पैक्ट कार्डिनल|दृढ़ता से सघन हिंज]] है जब प्रत्येक सिद्धांत T के लिए <math>L_{\kappa , \kappa}</math>, आकार पर प्रतिबंध के बिना, यदि प्रत्येक S <math>\subseteq</math> गणनांक T का T से कम <math>\kappa</math> एक मॉडल है, तो T का एक मॉडल है।
+जब प्रत्येक सिद्धांत T के लिए <math>L_{\kappa , \kappa}</math> अधिक से अधिक उपयुक्त कई सूत्र यदि प्रत्येक S <math>\subseteq</math> गणनांक T का एक प्रारूप है तो [[दृढ़ता से कॉम्पैक्ट कार्डिनल|दृढ़ता से सघन हिंज]] प्रत्येक सिद्धांत T के लिए <math>L_{\kappa , \kappa}</math>, आकार पर प्रतिबंध के बिना प्रत्येक S <math>\subseteq</math> गणनांक T का एक प्रारूप है।
-[[असीम तर्क में अभिव्यक्त अवधारणाएँ]]
+[[असीम तर्क में अभिव्यक्त अवधारणाएँ|असीम तर्क में अभिव्यक्ति अवधारणाएँ]]
-सिद्धांत की भाषा में निम्नलिखित कथन नींव व्यक्त करता है।
+सिद्धांत की भाषा में निम्नलिखित कथन नींव व्यक्त करता है
 :<math>\forall_{\gamma < \omega}{V_{\gamma}:} \neg \land_{\gamma < \omega}{V_{\gamma +} \in V_{\gamma}}.\,</math>
-नींव के स्वयंसिद्ध के विपरीत, यह कथन गैर-मानक व्याख्याओं को स्वीकार नहीं करता है। [[अच्छी तरह से स्थापित]] होने की अवधारणा को केवल एक तर्क में व्यक्त किया जा सकता है।जो एक व्यक्तिगत बयान में असीम रूप से कई	मात्रात्मक की अनुमति देता है। एक परिणाम के रूप में पीनो अंकगणित सहित कई सिद्धांत, जो अंतिम तर्क में ठीक से स्‍वयंसिद्ध नहीं हो सकते, एक उपयुक्त अनंत तर्क में हो सकते हैं। अन्य उदाहरणों में गैर-आर्किमिडीयन क्षेत्रों और मरोड़-मुक्त समूहों के सिद्धांत शामिल हैं।<ref>{{cite journal| last=Rosinger| first=Elemer| title=गणित और भौतिकी में चार विभाग| year=2010| arxiv=1003.0360| citeseerx=10.1.1.760.6726}}</ref>{{better source|date=January 2021}} इन तीन सिद्धांतों को अनंत परिमाणीकरण के उपयोग के बिना परिभाषित किया जा सकता है; केवल अनंत संगम<ref>{{cite journal| journal=Notre Dame Journal of Formal Logic| volume=XXI| number=1| pages=111–118| last=Bennett| first=David| title=जंक्शनों| year=1980| url=https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.ndjfl/1093882943| doi=10.1305/ndjfl/1093882943| doi-access=free}}</ref> जरूरत है।
+स्वयंसिद्ध के विपरीत यह कथन गैर-मानक व्याख्याओं को स्वीकार नहीं करता है यह [[अच्छी तरह से स्थापित]] होने की अवधारणा को एक तर्क में व्यक्त किया जा सकता है जो एक व्यक्तिगत असीम तर्क के रूप से मात्रात्मकता को अनुमति देता है एक परिणाम के रूप में अंकगणित के  कई सिद्धांत जो अंतिम तर्क में ठीक से स्‍वयंसिद्ध नहीं हो सकते तथा एक उपयुक्त अनंत तर्क में हो सकते हैं अन्य उदाहरणों में गैर-आर्किमिडीयन क्षेत्रों और मरोड़-मुक्त समूहों के सिद्धांत सम्मिलित हैं <ref>{{cite journal| last=Rosinger| first=Elemer| title=गणित और भौतिकी में चार विभाग| year=2010| arxiv=1003.0360| citeseerx=10.1.1.760.6726}}</ref>{{better source|date=January 2021}} इन तीन सिद्धांतों को अनंत परिमाणीकरण के उपयोग के बिना परिभाषित किया जा सकता है ।
 == पूर्णअसीमित तर्क ==
-दो असीमित तर्क अपनी संपूर्णता में स्पष्ट हैं। ये <math>L_{\omega , \omega}</math> और <math>L_{\omega_1 , \omega}</math> के तर्क हैं। पूर्व मानक अंतिम प्रथम-क्रम तर्क है और बाद वाला एक असीम तर्क है जो केवल गणनीय आकार के कथनो की अनुमति देता है।
+दो असीमित तर्क अपनी संपूर्णता में स्पष्ट हैं ये असीम तर्क के पहलू हैं यह पूर्व मानक अंतिम प्रथम-क्रम तर्क हैं और बाद वाला एक असीम तर्क है जो केवल गणनीय आकार के कथनो की अनुमति देता है।
-<math>L_{\omega , \omega}</math> का तर्क भी दृढ़ता से पूर्ण, सघन और दृढ़ता से सघन है।
+<math>L_{\omega , \omega}</math> का तर्क भी दृढ़ता से पूर्ण सघन और दृढ़ता से सघन है
-<math>L_{\omega_1, \omega}</math> का तर्क सघन होने में विफल रहता है, लेकिन यह पूर्ण है (ऊपर दिए गए सिद्धांतों के तहत)। इसके अलावा, यह [[ क्रेग प्रक्षेप |क्रेग प्रक्षेप]] गुण के एक प्रकार को संतुष्ट करता है।
+<math>L_{\omega_1, \omega}</math> का तर्क सघन होने में विफल रहता है लेकिन यह पूर्ण है तथा इसके अलावा यह उपजाऊ [[ क्रेग प्रक्षेप |प्रक्षेपण]] गुण को संतुष्ट करता है।
-अगर तर्क <math>L_{\alpha, \alpha}</math> दृढ़ता से पूर्ण है (ऊपर दिए गए स्वयंसिद्धों के तहत) तब <math>\alpha</math> दृढ़ता से सघन है (क्योंकि इन तर्क में प्रमाण का उपयोग नहीं किया जा सकता है <math>\alpha</math> या दिए गए स्वयंसिद्धों में से अधिक)।
 ==संदर्भ==
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 *{{citation |last=Karp |first=Carol R. |author-link=Carol Karp |date=1964 |title=Languages with expressions of infinite length |publisher=North-Holland Publishing Co. |location=Amsterdam |mr=0176910}}
 *{{citation |last=Barwise |first=Kenneth Jon |author-link=Jon Barwise |date=1969 |title=Infinitary logic and admissible sets |journal=[[Journal of Symbolic Logic]] |doi=10.2307/2271099 |jstor=2271099 |mr=0406760 |volume=34 |issue=2 |pages=226–252|s2cid=38740720 }}
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