बहुपद: Difference between revisions
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{{Short description|Type of mathematical expressions}} | {{Short description|Type of mathematical expressions}} | ||
{{for| | {{for|विषय के कम प्राथमिक पहलू|बहुपद वलय}} | ||
[[:hi:गणित|गणित]] में | '''बहुपद,''' [[:hi:गणित|गणित]] में वह [[:hi:व्यंजक|व्यंजक]] है जिसमें [[:hi:अनिश्चित (चर)|अनिश्चित पद]] और [[:hi:गुणक|गुणांक]] होते हैं, जिसमें केवल [[:hi:जोड़|जोड़]], [[:hi:घटाना|घटाव]], [[:hi:गुणा|गुणा]], और पद के गैर-ऋणात्मक [[:hi:पूर्णांक|पूर्णांक]] [[:hi:घातांक|घातांक]] के संचालन सम्मिलित होते हैं। अनिश्चित {{Math|''x''}} के बहुपद का एक उदाहरण: {{Math|''x''<sup>2</sup> − 4''x'' + 7}} है। तीन चरों में एक उदाहरण: {{Math|''x''<sup>3</sup> + 2''xyz''<sup>2</sup> − ''yz'' + 1}} है। | ||
गणित और विज्ञान के कई क्षेत्रों में बहुपद उपस्थित होता है। '''उदाहरण''': उनका उपयोग [[बहुपद समीकरण]] बनाने के लिए किया जाता है, जो प्राथमिक शब्द समस्याओं से लेकर जटिल वैज्ञानिक समस्याओं तक, समस्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला को एन्कोड करते हैं;उनका उपयोग बहुपद | गणित और विज्ञान के कई क्षेत्रों में बहुपद उपस्थित होता है। '''उदाहरण''': उनका उपयोग [[बहुपद समीकरण]] बनाने के लिए किया जाता है, जो प्राथमिक शब्द समस्याओं से लेकर जटिल वैज्ञानिक समस्याओं तक, समस्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला को एन्कोड करते हैं;उनका उपयोग बहुपद फलनको परिभाषित करने के लिए किया जाता है, जो बुनियादी रसायन विज्ञान और भौतिकी से लेकर अर्थशास्त्र और सामाजिक विज्ञान तक की सेटिंग्स में दिखाई देते हैं;वे अन्य फलनको अनुमानित करने के लिए कैलकुलस और संख्यात्मक विश्लेषण में उपयोग किए जाते हैं। उन्नत गणित में, बहुपद का उपयोग बहुपद के वलय और बीजगणितीय विविधता के निर्माण के लिए किया जाता है, जो बीजगणित और बीजगणितीय ज्यामिति में केंद्रीय अवधारणाएं हैं। | ||
== व्युत्पत्ति == | == व्युत्पत्ति == | ||
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== संकेतन और शब्दावली == | == संकेतन और शब्दावली == | ||
[[File:Polynomialdeg3.svg|thumb|ग्राफ 3 के बहुपद फलन का आलेख]] | [[File:Polynomialdeg3.svg|thumb|ग्राफ 3 के बहुपद फलन का आलेख]] | ||
बहुपद में होने वाले x को आमतौर पर एक चर या अनिश्चित कहा जाता है। जब बहुपद को व्यंजक के रूप में माना जाता है, तो x एक निश्चित प्रतीक है जिसका कोई मान नहीं है (इसका मान "अनिश्चित" है)। हालांकि, जब कोई बहुपद द्वारा परिभाषित | बहुपद में होने वाले x को आमतौर पर एक चर या अनिश्चित कहा जाता है। जब बहुपद को व्यंजक के रूप में माना जाता है, तो x एक निश्चित प्रतीक है जिसका कोई मान नहीं है (इसका मान "अनिश्चित" है)। हालांकि, जब कोई बहुपद द्वारा परिभाषित फलन पर विचार करता है, तो x फलन के तर्क का प्रतिनिधित्व करता है, और इसलिए इसे "चर" कहा जाता है। कई लेखक इन दोनों शब्दों का परस्पर प्रयोग करते हैं। | ||
अनिश्चित (इंडेटरमिनते) ''x'' में एक बहुपद ''P'' को आमतौर पर या तो ''P'' या ''P'' (''x'') के रूप में दर्शाया जाता है। औपचारिक रूप से, बहुपद का नाम ''P'' है, न कि ''P'' (''x''), लेकिन [[:hi:फलन|कार्यात्मक संकेतन]] ''P'' (''x'') का उपयोग उस समय से होता है जब बहुपद और संबंधित | अनिश्चित (इंडेटरमिनते) ''x'' में एक बहुपद ''P'' को आमतौर पर या तो ''P'' या ''P'' (''x'') के रूप में दर्शाया जाता है। औपचारिक रूप से, बहुपद का नाम ''P'' है, न कि ''P'' (''x''), लेकिन [[:hi:फलन|कार्यात्मक संकेतन]] ''P'' (''x'') का उपयोग उस समय से होता है जब बहुपद और संबंधित फलन के बीच का अंतर स्पष्ट नहीं था। इसके अलावा, कार्यात्मक संकेतन अक्सर एक वाक्यांश, एक बहुपद और उसके अनिश्चित में निर्दिष्ट करने के लिए उपयोगी होता है। उदाहरण के लिए, "मान लीजिए P (x) एक बहुपद है" के लिए एक आशुलिपि है" "मान लीजिए ''P'' अनिश्चित ''x'' में एक बहुपद है" के लिए एक आशुलिपि है। दूसरी ओर, जब अनिश्चित के नाम पर जोर देना आवश्यक नहीं है, तो कई सूत्र बहुत सरल और पढ़ने में आसान होते हैं यदि बहुपद की प्रत्येक घटना में अनिश्चित के नाम प्रकट नहीं होते हैं। | ||
गणितीय वस्तु के लिए दो अंकन होने की अस्पष्टता को बहुपद के लिए कार्यात्मक संकेतन के सामान्य अर्थ पर विचार करके औपचारिक रूप से हल किया जा सकता है। यदि a एक संख्या, एक चर, एक अन्य बहुपद, या, अधिक सामान्य रूप से, किसी भी अभिव्यक्ति को दर्शाता है, तो P(a) परंपरा द्वारा, P में x के लिए a को प्रतिस्थापित करने के परिणाम को दर्शाता है। इस प्रकार, बहुपद P | गणितीय वस्तु के लिए दो अंकन होने की अस्पष्टता को बहुपद के लिए कार्यात्मक संकेतन के सामान्य अर्थ पर विचार करके औपचारिक रूप से हल किया जा सकता है। यदि a एक संख्या, एक चर, एक अन्य बहुपद, या, अधिक सामान्य रूप से, किसी भी अभिव्यक्ति को दर्शाता है, तो P(a) परंपरा द्वारा, P में x के लिए a को प्रतिस्थापित करने के परिणाम को दर्शाता है। इस प्रकार, बहुपद P फलन को परिभाषित करता है। | ||
<math>a\mapsto P(a),</math> | <math>a\mapsto P(a),</math> | ||
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जो कि P से जुड़ा एक बहुपद फलन है। अक्सर, इस संकेतन का उपयोग करते समय, कोई यह मान लेता है कि a एक संख्या है। हालाँकि, कोई भी इसका उपयोग किसी भी डोमेन में कर सकता है जहाँ जोड़ और गुणा परिभाषित हैं (अर्थात कोई भी रिंग)। विशेष रूप से, यदि a एक बहुपद है तो P(a) भी एक बहुपद है। | जो कि P से जुड़ा एक बहुपद फलन है। अक्सर, इस संकेतन का उपयोग करते समय, कोई यह मान लेता है कि a एक संख्या है। हालाँकि, कोई भी इसका उपयोग किसी भी डोमेन में कर सकता है जहाँ जोड़ और गुणा परिभाषित हैं (अर्थात कोई भी रिंग)। विशेष रूप से, यदि a एक बहुपद है तो P(a) भी एक बहुपद है। | ||
अधिक विशेष रूप से, जब ''a'' अनिश्चित ''x'' है, तो इस | अधिक विशेष रूप से, जब ''a'' अनिश्चित ''x'' है, तो इस फलन द्वारा ''x'' की [[:hi:छवि (गणित)|छवि]] बहुपद ''P'' ही है (''x'' के लिए ''x'' को प्रतिस्थापित करने से कुछ भी नहीं बदलता है)। | ||
दूसरे शब्दों में, | दूसरे शब्दों में, | ||
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<math>a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dotsb + a_2 x^2 + a_1 x + a_0,</math> | <math>a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dotsb + a_2 x^2 + a_1 x + a_0,</math> | ||
जहाँ पे <math>a_0, \ldots, a_n</math> अचर हैं जो बहुपद के ''गुणांक'' कहलाते हैं, और <math>x</math> अनिश्चित है। <ref name=":12">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Polynomial|url=https://mathworld.wolfram.com/Polynomial.html|access-date=2020-08-28|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> "अनिश्चित" शब्द का अर्थ है कि <math>x</math> किसी विशेष मूल्य का प्रतिनिधित्व नहीं करता है, हालांकि इसके लिए किसी भी मूल्य को प्रतिस्थापित किया जा सकता है। मैपिंग जो इस प्रतिस्थापन के परिणाम को प्रतिस्थापित मान से जोड़ता है वह एक [[:hi:फलन| | जहाँ पे <math>a_0, \ldots, a_n</math> अचर हैं जो बहुपद के ''गुणांक'' कहलाते हैं, और <math>x</math> अनिश्चित है। <ref name=":12">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Polynomial|url=https://mathworld.wolfram.com/Polynomial.html|access-date=2020-08-28|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> "अनिश्चित" शब्द का अर्थ है कि <math>x</math> किसी विशेष मूल्य का प्रतिनिधित्व नहीं करता है, हालांकि इसके लिए किसी भी मूल्य को प्रतिस्थापित किया जा सकता है। मैपिंग जो इस प्रतिस्थापन के परिणाम को प्रतिस्थापित मान से जोड़ता है वह एक [[:hi:फलन|फलन है]], जिसे ''बहुपद फलन'' कहा जाता है। | ||
इसे और अधिक संक्षिप्त रूप से [[:hi:संकलन|योग संकेतन]] का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है: | इसे और अधिक संक्षिप्त रूप से [[:hi:संकलन|योग संकेतन]] का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है: | ||
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== '''वर्गीकरण''' == | == '''वर्गीकरण''' == | ||
{{Further| | {{Further|बहुपद की घात}} | ||
किसी पद में अनिश्चित काल के घातांक को उस पद में अनिश्चित काल की घात कहते हैं। किसी पद की घात उस पद की अनिश्चितताओं की घातों का योग है, और बहुपद की घात अशून्य गुणांक वाले पद की सबसे बड़ी घात है। क्योंकि {{Math|''x'' {{=}} ''x''<sup>1</sup>}}, एक लिखित घातांक के बिना एक अनिश्चित की डिग्री एक है। | किसी पद में अनिश्चित काल के घातांक को उस पद में अनिश्चित काल की घात कहते हैं। किसी पद की घात उस पद की अनिश्चितताओं की घातों का योग है, और बहुपद की घात अशून्य गुणांक वाले पद की सबसे बड़ी घात है। क्योंकि {{Math|''x'' {{=}} ''x''<sup>1</sup>}}, एक लिखित घातांक के बिना एक अनिश्चित की डिग्री एक है। | ||
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<math> -5x^2y </math> | <math> -5x^2y </math> | ||
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यह एक पद है। गुणांक -5 है, अनिश्चित x और y हैं, x की डिग्री दो है, जबकि y की डिग्री एक है। संपूर्ण पद की घात इसमें प्रत्येक अनिश्चित की घातों का योग है, इसलिए इस उदाहरण में घात {{Math|2 + 1 {{=}} 3}} है। | यह एक पद है। गुणांक -5 है, अनिश्चित x और y हैं, x की डिग्री दो है, जबकि y की डिग्री एक है। संपूर्ण पद की घात इसमें प्रत्येक अनिश्चित की घातों का योग है, इसलिए इस उदाहरण में घात {{Math|2 + 1 {{=}} 3}} है। | ||
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<math>\underbrace{_\,3x^2}_{\begin{smallmatrix}\mathrm{term}\\\mathrm{1}\end{smallmatrix}} \underbrace{-_\,5x}_{\begin{smallmatrix}\mathrm{term}\\\mathrm{2}\end{smallmatrix}} \underbrace{+_\,4}_{\begin{smallmatrix}\mathrm{term}\\\mathrm{3}\end{smallmatrix}}. </math> | <math>\underbrace{_\,3x^2}_{\begin{smallmatrix}\mathrm{term}\\\mathrm{1}\end{smallmatrix}} \underbrace{-_\,5x}_{\begin{smallmatrix}\mathrm{term}\\\mathrm{2}\end{smallmatrix}} \underbrace{+_\,4}_{\begin{smallmatrix}\mathrm{term}\\\mathrm{3}\end{smallmatrix}}. </math> | ||
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इसके तीन पद हैं: पहली डिग्री दो है, दूसरी डिग्री एक है, और तीसरी डिग्री शून्य है। | |||
छोटे | छोटे भिन्नों के बहुपदों को विशेष नाम दिए गए हैं। शून्य घात वाला बहुपद एक अचर बहुपद या केवल एक अचर होता है। एक, दो या तीन घात वाले बहुपद क्रमशः ''रैखिक बहुपद,'' ''[[:hi:द्विघात फलन|द्विघात बहुपद]]'' और ''घन बहुपद'' होते हैं।<ref name=":2">{{Cite web|title=Polynomials {{!}} Brilliant Math & Science Wiki|url=https://brilliant.org/wiki/polynomials/|access-date=2020-08-28|website=brilliant.org|language=en-us}}</ref> उच्च डिग्री के लिए, विशिष्ट नामों का आमतौर पर उपयोग नहीं किया जाता है, हालांकि कभी-कभी ''क्वार्टिक बहुपद'' (डिग्री चार के लिए) और ''क्विंटिक बहुपद'' (डिग्री पांच के लिए) का उपयोग किया जाता है। डिग्री के नाम बहुपद या इसकी शर्तों पर लागू हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, {{Math|''x''<sup>2</sup> + 2''x'' + 1}} में पद {{Math|2''x''}} एक द्विघात बहुपद में एक रैखिक पद है। | ||
बहुपद 0, जिसे एक पद के रूप में नहीं माना जा सकता है, इसे शून्य बहुपद कहा जाता है। अन्य अचर बहुपदों के विपरीत, इसका घात शून्य नहीं होती है। बल्कि, शून्य बहुपद की डिग्री को या तो स्पष्ट रूप से अपरिभाषित छोड़ दिया जाता है, या ऋणात्मक (या तो -1 या −∞) के रूप में परिभाषित किया जाता है।<ref>{{MathWorld |urlname=ZeroPolynomial |title=Zero Polynomial}}</ref> शून्य बहुपद इस मायने में भी अद्वितीय है कि यह एक अनिश्चित में एकमात्र बहुपद है और साथ में जिसमें अनंत संख्या की | बहुपद 0, जिसे एक पद के रूप में नहीं माना जा सकता है, इसे शून्य बहुपद कहा जाता है। अन्य अचर बहुपदों के विपरीत, इसका घात शून्य नहीं होती है। बल्कि, शून्य बहुपद की डिग्री को या तो स्पष्ट रूप से अपरिभाषित छोड़ दिया जाता है, या ऋणात्मक (या तो -1 या −∞) के रूप में परिभाषित किया जाता है।<ref>{{MathWorld |urlname=ZeroPolynomial |title=Zero Polynomial}}</ref> शून्य बहुपद इस मायने में भी अद्वितीय है कि यह एक अनिश्चित में एकमात्र बहुपद है और साथ में जिसमें अनंत संख्या की मूलें होती हैं। शून्य बहुपद का ग्राफ, {{math|''f''(''x'') {{=}} 0}}, ''x'' -अक्ष (एक्सिस) है। | ||
एक से अधिक अनिश्चित बहुपदों के मामले में, एक बहुपद को {{Nowrap|degree {{math|''n''}}}} का ''समघात'' (होमोजेनियस) कहा जाता है, यदि इसके ''सभी'' गैर-शून्य पदों में {{Nowrap|degree {{math|''n''}}}} है। शून्य बहुपद ''समघात'' (होमोजेनियस पोलयनोमिअल) है, और एक सजातीय बहुपद के रूप में, इसकी डिग्री अपरिभाषित है।{{efn|In fact, as a [[homogeneous function]], it is homogeneous of ''every'' degree.{{citation needed|date=July 2020}}}} उदाहरण के लिए, {{math|''x''<sup>3</sup>''y''<sup>2</sup> + 7''x''<sup>2</sup>''y''<sup>3</sup> − 3''x''<sup>5</sup>}} डिग्री 5 का ''समघात'' है। अधिक जानकारी के लिए, ''समघात'' बहुपद देखें। | एक से अधिक अनिश्चित बहुपदों के मामले में, एक बहुपद को {{Nowrap|degree {{math|''n''}}}} का ''समघात'' (होमोजेनियस) कहा जाता है, यदि इसके ''सभी'' गैर-शून्य पदों में {{Nowrap|degree {{math|''n''}}}} है। शून्य बहुपद ''समघात'' (होमोजेनियस पोलयनोमिअल) है, और एक सजातीय बहुपद के रूप में, इसकी डिग्री अपरिभाषित है।{{efn|In fact, as a [[homogeneous function]], it is homogeneous of ''every'' degree.{{citation needed|date=July 2020}}}} उदाहरण के लिए, {{math|''x''<sup>3</sup>''y''<sup>2</sup> + 7''x''<sup>2</sup>''y''<sup>3</sup> − 3''x''<sup>5</sup>}} डिग्री 5 का ''समघात'' है। अधिक जानकारी के लिए, ''समघात'' बहुपद देखें। | ||
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जोड़ के क्रमविनिमेयता [[:hi:क्रमविनिमेयता|कम्यूटेटिव कानून]] का प्रयोग किसी भी पसंदीदा क्रम में शब्दों को पुनर्व्यवस्थित करने के लिए किया जा सकता है। एक अनिश्चित के साथ बहुपदों में, शर्तों को आमतौर पर डिग्री के अनुसार आदेश दिया जाता है, या तो " {{Math|''x''}} की अवरोही शक्तियों" में, पहले सबसे बड़ी डिग्री की अवधि के साथ, या " {{Math|''x''}} की आरोही शक्तियों" में। बहुपद {{Math|3''x''<sup>2</sup> - 5''x'' + 4}} को {{Math|''x''}} के अवरोही घातों में लिखा जाता है। पहले पद का गुणांक {{Math|3}}, अनिश्चित {{Math|''x''}}, और घातांक {{Math|2}} है। दूसरे पद में, गुणांक {{Nowrap|is {{math|−5}}}} । तीसरा पद एक स्थिरांक है। चूँकि गैर-शून्य ''बहुपद'' की घात किसी एक पद की सबसे बड़ी घात होती है, इसलिए इस बहुपद की घात दो होती है।<ref>{{harvnb|Edwards|1995|p=[https://books.google.com/books?id=ylFR4h5BIDEC&pg=PA78 78]}}</ref> समान अनिश्चितता वाले दो शब्दों को समान शक्तियों के लिए उठाया जाता है, उन्हें "समान चर " या "सदृश चर" कहा जाता है, और उन्हें वितरण नियम का उपयोग करके एक एकल पद में संयोजित किया जा सकता है जिसका गुणांक पदों के गुणांकों का योग है। ऐसा हो सकता है कि यह गुणांक 0 बनाता है।<ref name="Edwards-1995-p47" />बहुपदों को अशून्य गुणांक वाले पदों की संख्या के आधार पर वर्गीकृत किया जा सकता है ताकि एक पद वाले बहुपद को एकपदी कहा जा सके,,{{efn|Some authors use "monomial" to mean "[[monic polynomial|monic]] monomial". See {{cite book |first=Anthony W. |last=Knapp |title=Advanced Algebra: Along with a Companion Volume Basic Algebra |page=457 |year=2007 |publisher=Springer |isbn=978-0-8176-4522-9}}}} दो-पद वाले बहुपद को द्विपद कहा जाता है, और तीन-पद वाले बहुपद को त्रिपद कहा जाता है। शब्द "चतुर्भुज" का प्रयोग कभी-कभी चार-पद के बहुपद के लिए किया जाता है। | जोड़ के क्रमविनिमेयता [[:hi:क्रमविनिमेयता|कम्यूटेटिव कानून]] का प्रयोग किसी भी पसंदीदा क्रम में शब्दों को पुनर्व्यवस्थित करने के लिए किया जा सकता है। एक अनिश्चित के साथ बहुपदों में, शर्तों को आमतौर पर डिग्री के अनुसार आदेश दिया जाता है, या तो " {{Math|''x''}} की अवरोही शक्तियों" में, पहले सबसे बड़ी डिग्री की अवधि के साथ, या " {{Math|''x''}} की आरोही शक्तियों" में। बहुपद {{Math|3''x''<sup>2</sup> - 5''x'' + 4}} को {{Math|''x''}} के अवरोही घातों में लिखा जाता है। पहले पद का गुणांक {{Math|3}}, अनिश्चित {{Math|''x''}}, और घातांक {{Math|2}} है। दूसरे पद में, गुणांक {{Nowrap|is {{math|−5}}}} । तीसरा पद एक स्थिरांक है। चूँकि गैर-शून्य ''बहुपद'' की घात किसी एक पद की सबसे बड़ी घात होती है, इसलिए इस बहुपद की घात दो होती है।<ref>{{harvnb|Edwards|1995|p=[https://books.google.com/books?id=ylFR4h5BIDEC&pg=PA78 78]}}</ref> समान अनिश्चितता वाले दो शब्दों को समान शक्तियों के लिए उठाया जाता है, उन्हें "समान चर " या "सदृश चर" कहा जाता है, और उन्हें वितरण नियम का उपयोग करके एक एकल पद में संयोजित किया जा सकता है जिसका गुणांक पदों के गुणांकों का योग है। ऐसा हो सकता है कि यह गुणांक 0 बनाता है।<ref name="Edwards-1995-p47" />बहुपदों को अशून्य गुणांक वाले पदों की संख्या के आधार पर वर्गीकृत किया जा सकता है ताकि एक पद वाले बहुपद को एकपदी कहा जा सके,,{{efn|Some authors use "monomial" to mean "[[monic polynomial|monic]] monomial". See {{cite book |first=Anthony W. |last=Knapp |title=Advanced Algebra: Along with a Companion Volume Basic Algebra |page=457 |year=2007 |publisher=Springer |isbn=978-0-8176-4522-9}}}} दो-पद वाले बहुपद को द्विपद कहा जाता है, और तीन-पद वाले बहुपद को त्रिपद कहा जाता है। शब्द "चतुर्भुज" का प्रयोग कभी-कभी चार-पद के बहुपद के लिए किया जाता है। | ||
एक | एक वास्तविक बहुपद [[:hi:वास्तविक संख्या|वास्तविक]] गुणांक वाला बहुपद है। जब किसी [[:hi:फलन|फलन]] को परिभाषित करने के लिए इसका उपयोग किया जाता है, तो [[:hi:फलन का प्रभावक्षेत्र|डोमेन]] इतना प्रतिबंधित नहीं होता है। हालाँकि, एक वास्तविक बहुपद फलन वास्तविक से वास्तविक तक का एक फलन है जिसे वास्तविक बहुपद द्वारा परिभाषित किया जाता है। इसी तरह, एक पूर्णांक बहुपद [[:hi:पूर्णांक|पूर्णांक]] गुणांक वाला बहुपद है, और एक जटिल बहुपद [[:hi:समिश्र संख्या|जटिल]] गुणांक वाला बहुपद है। | ||
एक अनिश्चित बहुपद को एक अविभाज्य बहुपद कहा जाता है, और एक से अधिक अनिश्चित बहुपद को "बहुभिन्नरूपी बहुपद" कहा जाता है। दो अनिश्चितों वाले बहुपद को द्विपद बहुपद कहते हैं।<ref name=":1">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Polynomial|url=https://mathworld.wolfram.com/Polynomial.html|access-date=2020-08-28|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> ये धारणाएं आम तौर पर उन बहुपदों के प्रकारों को संदर्भित करती हैं जो अलग-अलग बहुपदों की तुलना में उन पर काम करती हैं; उदाहरण के लिए, जब अविभाज्य बहुपदों (univariate polynomials) के साथ काम करते हैं, तो कोई निरंतर बहुपद (जो गैर-स्थिर बहुपदों के घटाव के परिणामस्वरूप हो सकता है) को बाहर नहीं करता है, हालांकि कड़ाई से बोलते हुए, निरंतर बहुपद में कोई भी अनिश्चित नहीं होता है। अनुमत अनिश्चितताओं की अधिकतम संख्या के अनुसार, बहुभिन्नरूपी बहुपदों को ''द्विपद'', ''त्रिपद'', आदि के रूप में वर्गीकृत करना संभव है। फिर से, ताकि विचाराधीन वस्तुओं के सेट को घटाव के तहत बंद किया जा सके, ट्रिवेरिएट बहुपदों का एक अध्ययन आमतौर पर द्विचर बहुपदों की अनुमति देता है, और इसी तरह। यह कहना भी आम है कि " {{Math|''x'', ''y''}}, और {{Math|''z''}} में बहुपद ", अनुमत अनिश्चितों को सूचीबद्ध करते हैं। | एक अनिश्चित बहुपद को एक अविभाज्य बहुपद कहा जाता है, और एक से अधिक अनिश्चित बहुपद को "बहुभिन्नरूपी बहुपद" कहा जाता है। दो अनिश्चितों वाले बहुपद को द्विपद बहुपद कहते हैं।<ref name=":1">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Polynomial|url=https://mathworld.wolfram.com/Polynomial.html|access-date=2020-08-28|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> ये धारणाएं आम तौर पर उन बहुपदों के प्रकारों को संदर्भित करती हैं जो अलग-अलग बहुपदों की तुलना में उन पर काम करती हैं; उदाहरण के लिए, जब अविभाज्य बहुपदों (univariate polynomials) के साथ काम करते हैं, तो कोई निरंतर बहुपद (जो गैर-स्थिर बहुपदों के घटाव के परिणामस्वरूप हो सकता है) को बाहर नहीं करता है, हालांकि कड़ाई से बोलते हुए, निरंतर बहुपद में कोई भी अनिश्चित नहीं होता है। अनुमत अनिश्चितताओं की अधिकतम संख्या के अनुसार, बहुभिन्नरूपी बहुपदों को ''द्विपद'', ''त्रिपद'', आदि के रूप में वर्गीकृत करना संभव है। फिर से, ताकि विचाराधीन वस्तुओं के सेट को घटाव के तहत बंद किया जा सके, ट्रिवेरिएट बहुपदों का एक अध्ययन आमतौर पर द्विचर बहुपदों की अनुमति देता है, और इसी तरह। यह कहना भी आम है कि " {{Math|''x'', ''y''}}, और {{Math|''z''}} में बहुपद ", अनुमत अनिश्चितों को सूचीबद्ध करते हैं। | ||
बहुपद के मूल्यांकन में प्रत्येक अनिश्चित के लिए एक संख्यात्मक मान को प्रतिस्थापित करना और संकेतित गुणन और परिवर्धन करना शामिल है। अनिश्चित बहुपद के लिए, हॉर्नर की विधि ( | बहुपद के मूल्यांकन में प्रत्येक अनिश्चित के लिए एक संख्यात्मक मान को प्रतिस्थापित करना और संकेतित गुणन और परिवर्धन करना शामिल है। अनिश्चित बहुपद के लिए, [[हॉर्नर की विधि]] का उपयोग करके मूल्यांकन आम तौर पर अधिक कुशल होता है (प्रदर्शन करने के लिए अंकगणितीय संचालन की कम संख्या): | ||
एक अनिश्चित बहुपद के लिए, मूल्यांकन आमतौर पर हॉर्नर की विधि का उपयोग करके अधिक कुशल होता है | एक अनिश्चित बहुपद के लिए, मूल्यांकन आमतौर पर हॉर्नर की विधि का उपयोग करके अधिक कुशल होता है | ||
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=== जोड़ और घटाव === | === जोड़ और घटाव === | ||
जोड़ के साहचर्य नियम का उपयोग करके (उनके सभी पदों को एक साथ योग में समूहित करना) | जोड़ के साहचर्य नियम का उपयोग करकेबहुपदों को जोड़ के साहचर्य नियम का उपयोग करके जोड़ा जा सकता है (उनके सभी पदों को एक साथ योग में समूहित करना),संभवतः इसके बाद समान पदों (कम्यूटिव कानून का उपयोग करते हुए) का पुनर्क्रमण और संयोजन '''किया जाता है।''' | ||
<ref name="Edwards-1995-p47">{{cite book |last=Edwards |first=Harold M. |title=Linear Algebra |publisher=Springer |year=1995 |isbn=978-0-8176-3731-6 |page=47 |url=https://books.google.com/books?id=ylFR4h5BIDEC&pg=PA47}}</ref><ref>{{cite book |last=Salomon |first=David |title=Coding for Data and Computer Communications |publisher=Springer |year=2006 |isbn=978-0-387-23804-3 |page=459 |url=https://books.google.com/books?id=Zr9bjEpXKnIC&pg=PA459}}</ref> | <ref name="Edwards-1995-p47">{{cite book |last=Edwards |first=Harold M. |title=Linear Algebra |publisher=Springer |year=1995 |isbn=978-0-8176-3731-6 |page=47 |url=https://books.google.com/books?id=ylFR4h5BIDEC&pg=PA47}}</ref><ref>{{cite book |last=Salomon |first=David |title=Coding for Data and Computer Communications |publisher=Springer |year=2006 |isbn=978-0-387-23804-3 |page=459 |url=https://books.google.com/books?id=Zr9bjEpXKnIC&pg=PA459}}</ref> | ||
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उदाहरण के रूप में, बहुपद का उत्पाद हमेशा एक बहुपद '''होता''' है।<ref name=":0" /><ref name=Barbeau-2003-pp1-2/> | उदाहरण के रूप में, बहुपद का उत्पाद हमेशा एक बहुपद '''होता''' है।<ref name=":0" /><ref name=Barbeau-2003-pp1-2/> | ||
=== | === संयोजन === | ||
एक चर के एक बहुपद <math>f</math> और किसी भी संख्या में चर के एक अन्य बहुपद {{mvar|g}} को देखते हुए, पहले बहुपद के चर की प्रत्येक प्रति को दूसरे बहुपद द्वारा प्रतिस्थापित करके रचना <math>f \circ g</math> प्राप्त की जाती है।<ref name="Barbeau-2003-pp1-2" /> उदाहरण के लिए, यदि <math>f(x) = x^2 + 2x</math> तथा <math>g(x) = 3x + 2</math> फिर | |||
=== | <math display="block"> (f\circ g)(x) = f(g(x)) = (3x + 2)^2 + 2(3x + 2).</math> | ||
<math display="block"> (f\circ g)(x) = f(g(x)) = (3x + 2)^2 + 2(3x + 2).</math> | |||
गुणन और बहुपदों के विभाजन के नियमों का उपयोग करके एक निर्माण को पदों के योग तक बढ़ाया जा सकता है। दो बहुपदों का संघटन एक अन्य बहुपद है।<ref>{{Cite book|last=Kriete|first=Hartje|url=https://books.google.com/books?id=HwqjxJOLLOoC&q=The+composition+of+two+polynomials+is+always+another+polynomial.&pg=PA159|title=Progress in Holomorphic Dynamics|date=1998-05-20|publisher=CRC Press|isbn=978-0-582-32388-9|pages=159|language=en|quote=This class of endomorphisms is closed under composition,}}</ref> | |||
=== विभाजन === | |||
एक | एक बहुपद का दूसरे से विभाजन आमतौर पर बहुपद नहीं होता है। इसके बजाय, ऐसे अनुपात वस्तुओं का एक अधिक सामान्य परिवार हैं, जिन्हें संदर्भ के आधार पर तर्कसंगत अंश, तर्कसंगत अभिव्यक्ति या तर्कसंगत कार्य कहा जाता है।<ref>{{cite book|last1 = Marecek | first1 = Lynn | last2 = Mathis | first2 = Andrea Honeycutt | title = Intermediate Algebra 2e | date = 6 May 2020 | publisher = [[OpenStax]] <!-- | location = Houston, Texas -->| url = https://openstax.org/details/books/intermediate-algebra-2e | at = §7.1}}</ref> यह इस तथ्य के अनुरूप है कि दो पूर्णांक का अनुपात एक तर्कसंगत संख्या है, जरूरी नहीं कि एक पूर्णांक हो।<ref>{{Cite book|last1=Haylock|first1=Derek|url=https://books.google.com/books?id=hgAr3maZeQUC&q=division+integers+not+closed&pg=PA49|title=Understanding Mathematics for Young Children: A Guide for Foundation Stage and Lower Primary Teachers|last2=Cockburn|first2=Anne D.|date=2008-10-14|publisher=SAGE|isbn=978-1-4462-0497-9|pages=49|language=en|quote=We find that the set of integers is not closed under this operation of division.}}</ref><ref name="openstax">{{harvnb|Marecek|Mathis|2020|loc=§5.4]}}</ref> उदाहरण के लिए, अंभिन्न 1/(x2 + 1) एक बहुपद नहीं है, और इसे चर x की घातों के परिमित योग के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। | ||
एक चर में बहुपद के लिए, बहुपदों के यूक्लिडियन विभाजन की एक धारणा है, जो पूर्णांकों के यूक्लिडियन विभाजन को सामान्यीकृत करता है।{{efn|This paragraph assumes that the polynomials have coefficients in a [[field (mathematics)|field]].}} विभाजन की यह धारणा {{math|''a''(''x'')/''b''(''x'')}} दो बहुपदों में परिणाम, एक भागफल {{math|''q''(''x'')}} और एक शेष {{math|''r''(''x'')}}, ऐसा है कि {{math|''a'' {{=}} ''b'' ''q'' + ''r''}} तथा {{math|degree(''r'') < degree(''b'')}}।भागफल और शेष की गणना कई एल्गोरिदम में से किसी द्वारा की जा सकती है, जिसमें बहुपद लॉन्ग डिवीजन और सिंथेटिक डिवीजन शामिल हैं।<ref>{{cite book |first1=Peter H. |last1=Selby |first2=Steve |last2=Slavin |title=Practical Algebra: A Self-Teaching Guide |date=1991 |publisher=Wiley |isbn=978-0-471-53012-1 |edition=2nd}}</ref> | |||
जब हर {{math|''b''(''x'')}} मोनिक और रैखिक है, अर्थात्, {{math|1=''b''(''x'') = ''x'' − ''c''}} कुछ स्थिर के लिए {{mvar|c}}, फिर बहुपद शेष प्रमेय का दावा है कि शेष विभाजन के शेष {{math|''a''(''x'')}} द्वारा {{math|''b''(''x'')}} मूल्यांकन है {{math|''a''(''c'')}}.<ref name="openstax" /> इस मामले में, भागफल की गणना रफिनी के नियम द्वारा की जा सकती है, जो सिंथेटिक डिवीजन का एक विशेष मामला है।<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Ruffini's Rule|url=https://mathworld.wolfram.com/RuffinisRule.html|access-date=2020-07-25|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> | |||
=== फैक्टरिंग === | === फैक्टरिंग === | ||
एक अद्वितीय | एक अद्वितीय फैक्टरिंग डोमेन (उदाहरण के लिए, पूर्णांक या एक फ़ील्ड) में गुणांक वाले सभी बहुपदों का एक कारक रूप भी होता है जिसमें बहुपद को अघुलनशील बहुपद और एक स्थिरांक के गुणनफल के रूप में लिखा जाता है। यह गुणनखंड रूप में अद्वितीय है, कारकों का क्रम और व्युत्क्रम स्थिरांक से उनका गुणन है। सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र के मामले में, अपूरणीय कारक रैखिक होते हैं। उनके पास एक या दो डिग्री है, जो वास्तविक संख्या से अधिक है। पूर्णांकों और परिमेय संख्याओं के ऊपर, अपरिमेय कारकों की कोई भी डिग्री हो सकती है।<ref name=Barbeau-2003-pp80-82>{{harvnb|Barbeau|2003|pp=[https://books.google.com/books?id=CynRMm5qTmQC&pg=PA80 80]–2}}</ref> उदाहरण के लिए, भाज्य रूप पूर्णांकों | ||
:<math> 5x^3-5</math> | :<math> 5x^3-5</math> | ||
और | |||
:<math>5(x - 1)\left(x^2 + x + 1\right)</math> | :<math>5(x - 1)\left(x^2 + x + 1\right)</math> | ||
वास्तविक और | |||
:<math> 5(x - 1)\left(x + \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}\right)\left(x + \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}\right)</math> | :<math> 5(x - 1)\left(x + \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}\right)\left(x + \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}\right)</math> | ||
सम्मिश्र संख्याओं से बड़ा होता है। | |||
गुणनखंड की गणना, जिसे फ़ैक्टराइज़ेशन कहा जाता है, सामान्य रूप से हस्तलिखित गणनाओं द्वारा किया जाना बहुत मुश्किल है। हालांकि, अधि | |||