कैननिकल पहनावा: Difference between revisions

Revision as of 15:32, 9 April 2023

सांख्यिकीय यांत्रिकी में एक सांख्यिकीय पहनावा गणितीय भौतिकी है जो एक निश्चित तापमान पर गर्मी स्नान के साथ थर्मल संतुलन में एक यांत्रिक प्रणाली के संभावित राज्यों का प्नितिनिधित्व करता है ^[1] प्रणाली उष्मा स्नान के साथ ऊर्जा का आदान-प्रदान कर सकता है जिससे प्रणाली की कुल ऊर्जा में भिन्न होगी

राज्यों के संभाव्यता वितरण का निर्धारण करने वाले पहनावे का प्रमुख जलमग्न चर पूर्ण तापमान है कैनिकल यांत्रिक चर पर भी निर्भर करता है जैसे प्रणाली में कणों की संख्या चिन्ह $N$ और प्रणाली की आवाज चिन्ह $V$ जिनमें से प्रत्येक प्रणाली की आंतरिक अवस्थाओं की प्रकृति को प्रभावित करता है इन तीन मापदंडों को एक पहनावा कहा जाता है।

विहित पहनावा एक संभावना प्रदान करता है $P$ निम्नलिखित घातीय द्वारा दिए गए प्रत्येक विशिष्ट सूक्ष्म अवस्था सांख्यिकीय यांत्रिकी के लिए इस प्रकार है

P=e^{(F-E)/(kT)},

जहाँ $E$ सूक्ष्म की कुल ऊर्जा है और $k$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है

जो नंबर $F$ मुक्त ऊर्जा है हेल्महोल्ट्ज मुक्त ऊर्जा और पहनावा के लिए एक स्थिरांक है जबकि संभावनाएँ और $F$ अलग चुने जाने पर अलग-अलग होंगे मुक्त ऊर्जा $F$ दो भूमिकाएँ निभाता है सबसे पहले यह प्रायिकता वितरण के लिए एक सामान्यीकरण कारक प्रदान करता है दूसरा कई महत्वपूर्ण पहनावा औसत सीधे कार्यक्रम से गणना करते हैं ${{{1}}}$ .

एक ही अवधारणा के लिए एक वैकल्पिक लेकिन समकक्ष सूत्रीकरण संभाव्यता को इस प्रकार लिखा जाता है

\textstyle P={\frac {1}{Z}}e^{-E/(kT)},

विभाजन समारोह सांख्यिकीय यांत्रिकी का उपयोग करना

\textstyle Z=e^{-F/(kT)}

मुक्त ऊर्जा के दिए गए समीकरणों मुक्त ऊर्जा के संदर्भ को सरल गणितीय जोड़-तोड़ द्वारा विहित विभाजन कार्य के संदर्भ में पुन: स्थापित किया जा सकता है

ऐतिहासिक रूप से 1884 में एक अपेक्षाकृत अज्ञात पेपर में लुडविग बोल्ट्जमैन द्वारा पहली बार विहित कलाकारों की टुकड़ी का वर्णन किया गया था ^[2] बाद में 1902 में योशिय्याह विलार्ड गिब्स द्वारा इसका पुनर्निर्माण और व्यापक जांच की गई ^[1]

विहित पहनावा एक प्रणाली की संभावित अवस्थाओं का वर्णन करता है जो ताप स्नान के साथ तापीय संतुलन में है

विहित पहनावा किसी भी आकार की प्रणाली पर लागू होता है जबकि यह मान लेना आवश्यक है कि ताप स्नान बहुत बड़ा है अर्थात मैक्रोस्कोपिक सीमा प्रणाली स्वयं छोटा या बड़ा हो सकता है

यह प्रणाली यांत्रिक रूप से पृथक है यह सुनिश्चित करने के लिए आवश्यक है कि यह गर्मी स्नान के अलावा किसी बाहरी वस्तु के साथ ऊर्जा का आदान-प्रदान न करे ^[1]सामान्य तौर पर उन प्रणालियों के लिए विहित पहनावा लागू करना वांछनीय है जो गर्मी स्नान के सीधे संपर्क में हैं क्योंकि यह वह संपर्क है जो संतुलन सुनिश्चित करता है व्यावहारिक स्थितियों में विहित पहनावा का उपयोग यांत्रिक रूप से कमजोर है या विश्लेषण के तहत प्रणाली में गर्म स्नान जोड़ का एक उपयुक्त हिस्सा सम्मिलित करके यांत्रिक प्रभाव प्रणाली पर प्रारूप तैयार की जाती है।

जब ऊर्जा स्थिर होती है तो प्रणाली की आंतरिक स्थिति अज्ञात होती है जिससे उपयुक्त विवरण विहित पहनावा बल्कि सूक्ष्म विहित पहनावा है यह उन प्रणालियों के लिए जहां कण संख्या परिवर्तनशील है सही विवरण भव्य विहित पहनावा है सांख्यिकीय भौतिकी पाठ्यपुस्तकों में परस्पर क्रिया करने वाले कण प्रणालियों के लिए तीन संकुलों को थर्मोडायनामिक सीमा माना जाता है उनके औसत मूल्य के आसपास सूक्ष्मकण मात्रा में उतार-चढ़ाव से छोटा हो जाता है और जैसे-जैसे कणों की संख्या अनंत होती जाती है वे गायब हो जाते हैं बाद की सीमा में थर्मोडायनामिक सीमा कहा जाता है औसत बाधाएँ प्रभावी रूप से कठिन बाधाएँ बन जाती हैं सांख्यिकीय समुच्चय गणितीय भौतिकी तुल्यता की धारणा जोशिया विलार्ड गिब्स के समय से चली आ रही है और भौतिक प्रणालियों के कुछ प्रारूप के लिए कम दूरी की बातचीत के साथ सत्यापित किया गया है और सूक्ष्मकण बाधाओं की एक छोटी संख्या के अधीन है इस तथ्य के बाद कि कई पाठ्यपुस्तकें अभी भी यह संदेश देती हैं कि समेकन समतुल्य सभी भौतिक प्रणालियों के लिए धारण करता है पिछले दशकों में भौतिक प्रणालियों के विभिन्न उदाहरण पाए गए हैं जिनके लिए समेकन समतुल्यता का अलग होना जरूरी होता है।^[3]^[4]^[5]^[6]^[7]^[8]

गुण

विहित समुच्चय दिए गए तापमान पर भौतिक तंत्र के लिए विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है और यह विकल्पों पर निर्भर नहीं करता है जैसे कि समन्वय प्रणाली शास्त्रीय यांत्रिकी या आधार प्रमात्रा यांत्रिकी या ऊर्जा के शून्य का N, V, और T के साथ विहित पहनावा एकमात्र पहनावा है जो मौलिक थर्मोडायनामिक संबंध को पुन: उत्पन्न करता है। [9]

सांख्यिकीय संतुलन के बाद भी अंतर्निहित प्रणाली निरंतर गति में है एक विहित पहनावा समय के साथ विकसित नहीं होता है ऐसा इसलिए है क्योंकि पहनावा केवल प्रणाली की संरक्षित मात्रा का एक कार्य है। [1]
अन्य प्रणालियों के साथ तापीय संतुलन की दो प्रणालियां प्रत्येक को समान तापमान के एक विहित एकीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है जो तापीय संपर्क में लाया जाता है संयुक्त प्रणाली को उसी तापमान के एक सूक्ष्मकण एकीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है।

अधिकतम एन्ट्रॉपी किसी दिए गए सूक्ष्मकण प्रणाली के लिए सूक्ष्मकण मूल औसत किसी भी औसतन का अधिकतम भार हो सकता है। [1]

न्यूनतम मुक्त ऊर्जा किसी दिए गए यांत्रिक प्रणाली का न्यूनतम मान है इस एन्ट्रॉपी को अधिकतम करने के लिए आसानी से देखा जाता है।

मुक्त ऊर्जा, पहनावा औसत और सटीक अंतर

समारोह का कुछ व्युत्पन्न F(N, V, T) महत्वपूर्ण विहित पहनावा औसत मात्रा है जहाँ
- औसत दबाव $\langle p\rangle =-{\frac {\partial F}{\partial V}},$
- गिब्स एंट्रॉपी $S=-k\langle \log P\rangle =-{\frac {\partial F}{\partial T}},$
- कुछ व्युत्पन्न रासायनिक क्षमता से संबंधित है जबकि रासायनिक संतुलन की अवधारणा छोटे प्रणाली के सूक्ष्मकण समेकन पर बिल्कुल लागू नहीं होती है जहाँ^{[note 1]}
- और औसत ऊर्जा ^[1] $\langle E\rangle =F+ST.$
सटीक अंतर उपरोक्त भावों से यह देखा जा सकता है कि समारोह $F (V, T)$ प्रदत्त के लिए $N$ सटीक अंतर है^[1] $dF=-S\,dT-\langle p\rangle \,dV.$
ऊष्मप्रवैगिकी का पहला नियम के लिए उपरोक्त संबंध को प्रतिस्थापित करना $⟨ E ⟩$ के सटीक अंतर में $F$ ऊष्मप्रवैगिकी के पहले नियम एक समीकरण पाया जाता है $d\langle E\rangle =T\,dS-\langle p\rangle \,dV.$
ऊष्मीय उतार-चढ़ाव: प्रणाली में ऊर्जा में विहित पहनावा में अनिश्चितता है $\langle E^{2}\rangle -\langle E\rangle ^{2}=kT^{2}{\frac {\partial \langle E\rangle }{\partial T}}.$

उदाहरण पहनावा

बोल्ट्जमैन वितरण (वियोज्य प्रणाली)

यदि एक विहित एकीकरण द्वारा वर्णित प्रणाली को स्वतंत्र भागों में अलग किया जा सकता है और इनमें से प्रत्येक भाग में एक निश्चित सामग्री संरचना होती है तो प्रत्येक भाग को स्वयं के लिए एक प्रणाली के रूप में देखा जा सकता है तथा समान तापमान वाले एक विहित पहनावे द्वारा इसे वर्णित किया जाता है।

इस तरह विहित एकीकरण कणों की संख्या किसी भी प्रणाली के लिए बोल्टजमान वितरण प्रदान करती है इसकी तुलना में सूक्ष्मकण विहित पहनावा से बोल्ट्जमैन वितरण का औचित्य केवल बड़ी संख्या में भागों वाली प्रणाली के लिए लागू होता है।

वास्तविक प्रणालियों में सांख्यिकीय यांत्रिकी को लागू करने के लिए बोल्ट्जमैन वितरण स्वयं सबसे महत्वपूर्ण उपकरणों में से एक है क्योंकि यह उन प्रणालियों के अध्ययन को व्यापक रूप से सरल करता है जिन्हें स्वतंत्र भागों में अलग किया जा सकता है जैसे मैक्सवेल गति वितरण, प्लैंक का नियम, बहुलक भौतिकी आदि।

आइसिंग निदर्श दृढ़ता से परस्पर क्रिया करने वाली प्रणाली

टुकड़ों से बनी एक प्रणाली में जो एक दूसरे के साथ प्रणाली को स्वतंत्र उप-प्रणालियों में अलग करने का तरीका खोजना संभव नहीं होता है जैसा कि बोल्ट्जमैन वितरण में किया गया है इन प्रणालियों में यह आवश्यक है कि प्रणाली के ऊष्मप्रवैगिकी का वर्णन करने के लिए विहित कलाकारों की टुकड़ी की पूर्ण अभिव्यक्ति का उपयोग किया जाए जब इसे ऊष्मा स्नान के लिए जलमग्न किया जाता है तो सांख्यिकीय यांत्रिकी के अध्ययन के लिए विहित पहनावा आम तौर पर सबसे सीधा ढांचा है और यहां तक कि कुछ रोचक गणनीय प्रणाली में सटीक समाधान प्राप्त करने की अनुमति देता है^[9]इसका एक उत्कृष्ट उदाहरण रोचक संज्ञा है जो लोह चुंबकत्व और स्व-इकट्ठे मोनोलेयर गठन की घटनाओं के लिए व्यापक रूप से चर्चा किया गया खिलौना प्रादर्श है और यह चरण संक्रमण को दर्शाने वाले सबसे सरल प्रादर्शों में से एक है लार्स ऑनसेगर ने विहित पहनावा में शून्य चुंबकीय क्षेत्र पर एक अनंत-आकार के सटीक रूप से मुक्त ऊर्जा की गणना की है।^[10]

कलाकारों की टुकड़ी के लिए सटीक भाव

एक सांख्यिकीय समुच्चय के लिए सटीक गणितीय अभिव्यक्ति विचाराधीन यांत्रिकी के प्रकार पर निर्भर करती है क्वांटम या शास्त्रीय क्योंकि इन दो स्थानों में एक सूक्ष्म राज्य की धारणा काफी भिन्न होती है क्वांटम यांत्रिकी में विहित पहनावा एक सरल विवरण देता है क्योंकि मैट्रिक्स एकीकरण विशिष्ट ऊर्जाओं के साथ सूक्ष्म राज्य सांख्यिकीय यांत्रिकी का असतत समूह प्रदान करता है शास्त्रीय यांत्रिक स्थान अधिक जटिल है क्योंकि इसमें इसकी जगह विहित चरण स्थान पर एक अभिन्न अंग सम्मिलित है और चरण स्थान में सूक्ष्म राज्य के आकार को कुछ हद तक मनमाने ढंग से चुना जा सकता है।

क्वांटम यांत्रिकी

Example of canonical ensemble for a quantum system consisting of one particle in a potential well.

Plot of all possible states of this system. The available stationary states displayed as horizontal bars of varying darkness according to

| ψ i (x)| 2

.

A canonical ensemble for this system, for the temperature shown. The states are weighted exponentially in energy.

The particle's Hamiltonian is Schrödinger-type,

Ĥ = U (x) + p 2 /2 m

(the potential

U (x)

is plotted as a red curve). Each panel shows an energy-position plot with the various stationary states, along with a side plot showing the distribution of states in energy.

क्वांटम यांत्रिकी में एक सांख्यिकीय पहनावा घनत्व मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जाता है जिसे ${\hat {\rho }}$ द्वारा निरूपित किया जाता है इसके आधार पर मुक्त संकेतन में विहित पहनावा घनत्व मैट्रिक्स है जो इस प्रकार है^{[citation needed]}

{\hat {\rho }}=\exp \left({\tfrac {1}{kT}}(F-{\hat {H}})\right),

जहाँ $Ĥ$ प्रणाली का कुल ऊर्जा के अनुरूप हैमिल्टनियन क्वांटम यांत्रिकी है और ${{{1}}}$ मैट्रिक्स घातीय के अनुरूप है मुक्त ऊर्जा $F$ संभाव्यता सामान्यीकरण की स्थिति से निर्धारित होता है कि घनत्व मैट्रिक्स में एक का निशान रैखिक बीजगणित में होता है :

e^{-{\frac {F}{kT}}}=\operatorname {Tr} \exp \left(-{\tfrac {1}{kT}}{\hat {H}}\right).

यदि प्रणाली की स्थिर स्थिति और ऊर्जा अभिलाछणिक मान ज्ञात हैं तो विहित पहनावा वैकल्पिक रूप से टिप्पणी का उपयोग करके एक सरल रूप में लिखा जा सकता है ऊर्जा इंजन राज्य का एक पूरा आधार $i$ द्वारा अनुक्रमित किया गया है।

जहाँ

{\hat {\rho }}=\sum _{i}e^{\frac {F-E_{i}}{kT}}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|

e^{-{\frac {F}{kT}}}=\sum _{i}e^{\frac {-E_{i}}{kT}}.

शास्त्रीय यांत्रिक

Example of canonical ensemble for a classical system consisting of one particle in a potential well.

Plot of all possible states of this system. The available physical states are evenly distributed in phase space, but with an uneven distribution in energy; the side-plot displays

dv / dE

.

A canonical ensemble for this system, for the temperature shown. The states are weighted exponentially in energy.

Each panel shows phase space (upper graph) and energy-position space (lower graph). The particle's Hamiltonian is

H = U (x) + p 2 /2 m

, with the potential

U (x)

shown as a red curve. The side plot shows the distribution of states in energy.

शास्त्रीय यांत्रिकी में एक सांख्यिकीय पहनावा चरण स्थान में एक संयुक्त संभाव्यता घनत्व समारोह द्वारा दर्शाया जाता है

 $ρ (p 1, \dots p n, q 1, \dots q n)$  जहां  $p 1, \dots p n$  और  $q 1, \dots q n$  प्रणाली की स्वतंत्रता की आंतरिक डिग्री के विहित निर्देशांक हैं।

कणों की एक प्रणाली में स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या $n$ कणों की संख्या पर निर्भर करता है $N$ एक तरह से जो भौतिक स्थिति पर निर्भर करता है मोनोआटम्स अणुओं की त्रि-आयामी गैस के लिए $n = 3 N$ . द्विपरमाणुक गैसों में स्वतंत्रता की घूर्णी कोटि भी होंगी।

विहित पहनावा के लिए प्रायिकता घनत्व कार्य है

\rho ={\frac {1}{h^{n}C}}e^{\frac {F-E}{kT}},

कहाँ

$E$ प्रणाली की ऊर्जा है जो चरण का एक कार्य है $(p 1, \dots q n)$ ,
$h$ की इकाइयों के साथ एक मनमाना निर्धारित स्थिरांक है
$C$ एक अतिगणना सुधार कारक है जो अधिकतर कण प्रणालियों के लिए उपयोग किया जाता है जहां समान कण एक दूसरे के साथ जगह बदलने में सक्षम होते हैं।^{[note 2]}
$F$ एक सामान्यीकरण कारक प्रदान करता है और यह विशिष्ट राज्य कार्यमुक्त ऊर्जा भी है।

दूसरे शब्दों में शास्त्रीय यांत्रिकी में एक सूक्ष्म राज्य एक चरण अंतरिक्ष क्षेत्र है और इस क्षेत्र में आयतन $h n C$ है इसका मतलब यह है कि प्रत्येक सूक्ष्म राज्य में ऊर्जा की एक सीमा होती है जबकि इस सीमा को चुनकर मनमाने ढंग से संकीर्ण बनाया जा सकता है।

↑ Since $N$ is an integer, this "derivative" actually refers to a finite difference expression such as $F (N) - F (N - 1)$ , or $F (N + 1) - F (N)$ , or $[F (N + 1) - F (N - 1)]/2$ . These finite difference expressions are equivalent only in the thermodynamic limit (very large $N$ ).
↑ In a system of $N$ identical particles, $C = N!$ (factorial of $N$ ). This factor corrects the overcounting in phase space due to identical physical states being found in multiple locations. See the statistical ensemble article for more information on this overcounting.

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 ^1.4 Gibbs, Josiah Willard (1902). सांख्यिकीय यांत्रिकी में प्राथमिक सिद्धांत. New York: Charles Scribner's Sons.
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[9] Since $N$ is an integer, this "derivative" actually refers to a finite difference expression such as $F (N) - F (N - 1)$ , or $F (N + 1) - F (N)$ , or $[F (N + 1) - F (N - 1)]/2$ . These finite difference expressions are equivalent only in the thermodynamic limit (very large $N$ ).

[12] In a system of $N$ identical particles, $C = N!$ (factorial of $N$ ). This factor corrects the overcounting in phase space due to identical physical states being found in multiple locations. See the statistical ensemble article for more information on this overcounting.

[gibbs-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 ^1.4 Gibbs, Josiah Willard (1902). सांख्यिकीय यांत्रिकी में प्राथमिक सिद्धांत. New York: Charles Scribner's Sons.

[2] Cercignani, Carlo (1998). Ludwig Boltzmann: The Man Who Trusted Atoms. Oxford University Press. ISBN 9780198501541.

[3] Roccaverde, Andrea (August 2018). "Is breaking of ensemble equivalence monotone in the number of constraints?". Indagationes Mathematicae. 30: 7–25. arXiv:1807.02791. doi:10.1016/j.indag.2018.08.001. ISSN 0019-3577. S2CID 119173928.

[4] Garlaschelli, Diego; den Hollander, Frank; Roccaverde, Andrea (November 25, 2016). "मॉड्यूलर संरचना के साथ यादृच्छिक रेखांकन में असमानता को सुनिश्चित करें". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 50 (1): 015001. arXiv:1603.08759. doi:10.1088/1751-8113/50/1/015001. ISSN 1751-8113. S2CID 53578783.

[5] Garlaschelli, Diego; den Hollander, Frank; Roccaverde, Andrea (July 13, 2018). "रैंडम ग्राफ़ में एन्सेम्बल समतुल्यता को तोड़ने के पीछे सहप्रसरण संरचना". Journal of Statistical Physics. 173 (3–4): 644–662. arXiv:1711.04273. Bibcode:2018JSP...173..644G. doi:10.1007/s10955-018-2114-x. ISSN 0022-4715. S2CID 52569377.

[6] Hollander, F. den; Mandjes, M.; Roccaverde, A.; Starreveld, N. J. (2018). "सघन रेखांकन के लिए समतुल्य समतुल्य बनाना". Electronic Journal of Probability. 23. arXiv:1703.08058. doi:10.1214/18-EJP135. ISSN 1083-6489. S2CID 53610196.

[7] Ellis, Richard S.; Haven, Kyle; Turkington, Bruce (2002). "सबसे संभावित प्रवाह के लिए कोई समकक्ष सांख्यिकीय संतुलन पहनावा और परिष्कृत स्थिरता प्रमेय". Nonlinearity. 15 (2): 239. arXiv:math-ph/0012022. Bibcode:2002Nonli..15..239E. doi:10.1088/0951-7715/15/2/302. ISSN 0951-7715. S2CID 18616132.

[8] Barré, Julien; Gonçalves, Bruno (December 2007). "यादृच्छिक रेखांकन में असमानता को सुनिश्चित करें". Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications. 386 (1): 212–218. arXiv:0705.2385. Bibcode:2007PhyA..386..212B. doi:10.1016/j.physa.2007.08.015. ISSN 0378-4371. S2CID 15399624.

[10] Baxter, Rodney J. (1982). सांख्यिकीय यांत्रिकी में सटीक रूप से हल किए गए मॉडल. Academic Press Inc. ISBN 9780120831807.

[11] Onsager, L. (1944). "क्रिस्टल सांख्यिकी। I. एक आदेश-विकार संक्रमण के साथ एक दो आयामी मॉडल". Physical Review. 65 (3–4): 117–149. Bibcode:1944PhRv...65..117O. doi:10.1103/PhysRev.65.117.

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 एक सांख्यिकीय समुच्चय के लिए सटीक गणितीय अभिव्यक्ति विचाराधीन यांत्रिकी के प्रकार पर निर्भर करती है क्वांटम या शास्त्रीय क्योंकि इन दो स्थानों में एक सूक्ष्म राज्य की धारणा काफी भिन्न होती है क्वांटम यांत्रिकी में विहित पहनावा एक सरल विवरण देता है क्योंकि [[मैट्रिक्स विकर्णकरण|मैट्रिक्स एकीकरण]] विशिष्ट ऊर्जाओं के साथ सूक्ष्म राज्य सांख्यिकीय यांत्रिकी का असतत समूह प्रदान करता है शास्त्रीय यांत्रिक स्थान अधिक जटिल है क्योंकि इसमें इसकी जगह विहित [[चरण स्थान]] पर एक अभिन्न अंग सम्मिलित है और चरण स्थान में सूक्ष्म राज्य के आकार को कुछ हद तक मनमाने ढंग से चुना जा सकता है।
-=== क्वांटम मैकेनिकल ===
+=== क्वांटम यांत्रिकी ===
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 {{details|topic=the representation of ensembles in quantum mechanics|Statistical ensemble (mathematical physics)}}
-क्वांटम यांत्रिकी में एक सांख्यिकीय पहनावा [[घनत्व मैट्रिक्स]] द्वारा दर्शाया जाता है, जिसे निरूपित किया जाता है <math>\hat \rho</math>. आधार-मुक्त संकेतन में, विहित पहनावा घनत्व मैट्रिक्स है{{citation needed|date=October 2013}}
+क्वांटम यांत्रिकी में एक सांख्यिकीय पहनावा [[घनत्व मैट्रिक्स]] द्वारा दर्शाया जाता है जिसे <math>\hat \rho</math> द्वारा निरूपित किया जाता है इसके आधार पर मुक्त संकेतन में विहित पहनावा घनत्व मैट्रिक्स है जो इस प्रकार है {{citation needed|date=October 2013}}
 :<math>\hat \rho = \exp\left(\tfrac{1}{kT}(F - \hat H)\right),</math>
-कहाँ {{math|''Ĥ''}} सिस्टम का कुल ऊर्जा ऑपरेटर ([[हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी)]]) है, और {{math|exp()}} [[ मैट्रिक्स घातीय ]] ऑपरेटर है। मुक्त ऊर्जा {{math|''F''}} संभाव्यता सामान्यीकरण की स्थिति से निर्धारित होता है कि घनत्व मैट्रिक्स में एक का निशान (रैखिक बीजगणित) होता है, <math>\operatorname{Tr} \hat \rho=1</math>:
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 :<math>e^{-\frac{F}{k T}} = \operatorname{Tr} \exp\left(-\tfrac{1}{kT} \hat H\right).</math>
-यदि सिस्टम की स्थिर स्थिति और ऊर्जा eigenvalues ज्ञात हैं, तो विहित पहनावा वैकल्पिक रूप से ब्रा-केट नोटेशन का उपयोग करके एक सरल रूप में लिखा जा सकता है। ऊर्जा eigenstates का एक पूरा आधार दिया {{math|{{!}}''ψ''<sub>''i''</sub>⟩}}, द्वारा अनुक्रमित {{math|''i''}}, विहित पहनावा है:
+यदि प्रणाली की स्थिर स्थिति और ऊर्जा अभिलाछणिक मान ज्ञात हैं तो विहित पहनावा वैकल्पिक रूप से टिप्पणी का उपयोग करके एक सरल रूप में लिखा जा सकता है ऊर्जा इंजन राज्य का एक पूरा आधार {{math|''i''}} द्वारा अनुक्रमित  किया गया है।
-:<math>\hat \rho = \sum_i e^{\frac{F - E_i}{k T}} |\psi_i\rangle \langle \psi_i | </math>
+:जहाँ <math>\hat \rho = \sum_i e^{\frac{F - E_i}{k T}} |\psi_i\rangle \langle \psi_i | </math>
 :<math>e^{-\frac{F}{k T}} = \sum_i e^{\frac{- E_i}{k T}}.</math>
-जहां {{math|''E''<sub>''i''</sub>}} द्वारा निर्धारित ऊर्जा eigenvalues हैं {{math|''Ĥ''{{!}}''ψ''<sub>''i''</sub>⟩ {{=}} ''E''<sub>''i''</sub>{{!}}''ψ''<sub>''i''</sub>⟩}}. दूसरे शब्दों में, क्वांटम यांत्रिकी में माइक्रोस्टेट्स का एक सेट स्थिर राज्यों के एक पूर्ण सेट द्वारा दिया जाता है। घनत्व मैट्रिक्स इस आधार पर विकर्ण है, विकर्ण प्रविष्टियों के साथ प्रत्येक सीधे संभावना दे रहा है।
 === शास्त्रीय यांत्रिक ===
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 {{details|topic=the representation of ensembles in classical mechanics|Statistical ensemble (mathematical physics)}}
-शास्त्रीय यांत्रिकी में, एक सांख्यिकीय पहनावा इसके बजाय सिस्टम के चरण स्थान में एक संयुक्त संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन द्वारा दर्शाया जाता है,
+शास्त्रीय यांत्रिकी में एक सांख्यिकीय पहनावा चरण स्थान में एक संयुक्त संभाव्यता घनत्व समारोह द्वारा दर्शाया जाता है
-  {{math|''ρ''(''p''<sub>1</sub>, … ''p''<sub>''n''</sub>, ''q''<sub>1</sub>, … ''q''<sub>''n''</sub>)}}, जहां {{math|''p''<sub>1</sub>, … ''p''<sub>''n''</sub>}} और {{math|''q''<sub>1</sub>, … ''q''<sub>''n''</sub>}} सिस्टम की स्वतंत्रता की आंतरिक डिग्री के [[विहित निर्देशांक]] (सामान्यीकृत संवेग और सामान्यीकृत निर्देशांक) हैं।
+  {{math|''ρ''(''p''<sub>1</sub>, … ''p''<sub>''n''</sub>, ''q''<sub>1</sub>, … ''q''<sub>''n''</sub>)}} जहां {{math|''p''<sub>1</sub>, … ''p''<sub>''n''</sub>}} और {{math|''q''<sub>1</sub>, … ''q''<sub>''n''</sub>}} प्रणाली की स्वतंत्रता की आंतरिक डिग्री के [[विहित निर्देशांक]] हैं।
-कणों की एक प्रणाली में, स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या {{math|''n''}} कणों की संख्या पर निर्भर करता है {{math|''N''}} एक तरह से जो भौतिक स्थिति पर निर्भर करता है। मोनोआटम्स (अणुओं नहीं) की त्रि-आयामी गैस के लिए, {{math|''n'' {{=}} 3''N''}}. द्विपरमाणुक गैसों में स्वतंत्रता की घूर्णी और कंपनिक कोटि भी होंगी।
+कणों की एक प्रणाली में स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या {{math|''n''}} कणों की संख्या पर निर्भर करता है {{math|''N''}} एक तरह से जो भौतिक स्थिति पर निर्भर करता है मोनोआटम्स अणुओं की त्रि-आयामी गैस के लिए {{math|''n'' {{=}} 3''N''}}. द्विपरमाणुक गैसों में स्वतंत्रता की घूर्णी कोटि भी होंगी।
-विहित पहनावा के लिए प्रायिकता घनत्व कार्य है:
+विहित पहनावा के लिए प्रायिकता घनत्व कार्य है
 :<math>\rho = \frac{1}{h^n C} e^{\frac{F - E}{k T}},</math>
 कहाँ
-* {{math|''E''}} प्रणाली की ऊर्जा है, चरण का एक कार्य है {{math|(''p''<sub>1</sub>, … ''q''<sub>''n''</sub>)}},
+* {{math|''E''}} प्रणाली की ऊर्जा है जो चरण का एक कार्य है {{math|(''p''<sub>1</sub>, … ''q''<sub>''n''</sub>)}},
-* {{math|''h''}} की इकाइयों के साथ एक मनमाना लेकिन पूर्व निर्धारित स्थिरांक है {{math|energy×time}}, एक माइक्रोस्टेट की सीमा निर्धारित करना और सही आयाम प्रदान करना {{math|''ρ''}}.<ref group=note>(Historical note) Gibbs' original ensemble effectively set {{math|''h'' {{=}} 1 [energy unit]×[time unit]}}, leading to unit-dependence in the values of some thermodynamic quantities like entropy and chemical potential. Since the advent of quantum mechanics, {{math|''h''}} is often taken to be equal to [[Planck's constant]] in order to obtain a semiclassical correspondence with quantum mechanics.</ref>
+* {{math|''h''}} की इकाइयों के साथ एक मनमाना निर्धारित स्थिरांक है
-* {{math|''C''}} एक अतिगणना सुधार कारक है, जो अक्सर कण प्रणालियों के लिए उपयोग किया जाता है जहां समान कण एक दूसरे के साथ जगह बदलने में सक्षम होते हैं।<ref group=note>In a system of {{math|''N''}} identical particles, {{math|''C'' {{=}} ''N''!}} ([[factorial]] of {{math|''N''}}). This factor corrects the overcounting in phase space due to identical physical states being found in multiple locations. See the [[Statistical ensemble (mathematical physics)#Correcting overcounting in phase space|statistical ensemble]] article for more information on this overcounting.</ref>
+* {{math|''C''}} एक अतिगणना सुधार कारक है जो अधिकतर कण प्रणालियों के लिए उपयोग किया जाता है जहां समान कण एक दूसरे के साथ जगह बदलने में सक्षम होते हैं।<ref group=note>In a system of {{math|''N''}} identical particles, {{math|''C'' {{=}} ''N''!}} ([[factorial]] of {{math|''N''}}). This factor corrects the overcounting in phase space due to identical physical states being found in multiple locations. See the [[Statistical ensemble (mathematical physics)#Correcting overcounting in phase space|statistical ensemble]] article for more information on this overcounting.</ref>
-* {{math|''F''}} एक सामान्यीकरण कारक प्रदान करता है और यह विशिष्ट राज्य कार्य, मुक्त ऊर्जा भी है।
+* {{math|''F''}} एक सामान्यीकरण कारक प्रदान करता है और यह विशिष्ट राज्य कार्यमुक्त ऊर्जा भी है।
-फिर से, का मूल्य {{math|''F''}} की मांग करके निर्धारित किया जाता है {{math|''ρ''}} एक सामान्यीकृत प्रायिकता घनत्व फलन है:
-:<math>e^{-\frac{F}{k T}} = \int \ldots \int \frac{1}{h^n C} e^{\frac{- E}{k T}} \, dp_1 \ldots dq_n </math>
-यह इंटीग्रल पूरे फेज स्पेस पर ले लिया जाता है।
-दूसरे शब्दों में, शास्त्रीय यांत्रिकी में एक माइक्रोस्टेट एक चरण अंतरिक्ष क्षेत्र है, और इस क्षेत्र में आयतन है {{math|''h<sup>n</sup>C''}}. इसका मतलब यह है कि प्रत्येक माइक्रोस्टेट में ऊर्जा की एक सीमा होती है, हालांकि इस सीमा को चुनकर मनमाने ढंग से संकीर्ण बनाया जा सकता है {{math|''h''}} बहुत छोटा होना। फेज स्पेस इंटीग्रल को माइक्रोस्टेट्स पर एक योग में परिवर्तित किया जा सकता है, एक बार फेज स्पेस को पर्याप्त मात्रा में बारीक रूप से विभाजित कर दिया गया है।
+दूसरे शब्दों में शास्त्रीय यांत्रिकी में एक सूक्ष्म राज्य एक चरण अंतरिक्ष क्षेत्र है और इस क्षेत्र में आयतन  {{math|''h<sup>n</sup>C''}} है इसका मतलब यह है कि प्रत्येक सूक्ष्म राज्य में ऊर्जा की एक सीमा होती है जबकि इस सीमा को चुनकर मनमाने ढंग से संकीर्ण बनाया जा सकता है।
 == टिप्पणियाँ ==

v t e Statistical mechanics
Theory	Principle of maximum entropy ergodic theory
Statistical thermodynamics	Ensembles partition functions equations of state thermodynamic potential: U H F G Maxwell relations
Models	Ferromagnetism models Ising Potts Heisenberg percolation Particles with force field depletion force Lennard-Jones potential
Mathematical approaches	Boltzmann equation H-theorem Vlasov equation BBGKY hierarchy stochastic process mean-field theory and conformal field theory
Critical phenomena	Phase transition Critical exponents correlation length size scaling
Entropy	Boltzmann Shannon Tsallis Rényi von Neumann
Applications	Statistical field theory elementary particle superfluidity Condensed matter physics Complex system chaos information theory Boltzmann machine

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मुक्त ऊर्जा, पहनावा औसत और सटीक अंतर

उदाहरण पहनावा

बोल्ट्जमैन वितरण (वियोज्य प्रणाली)

आइसिंग निदर्श दृढ़ता से परस्पर क्रिया करने वाली प्रणाली

कलाकारों की टुकड़ी के लिए सटीक भाव

क्वांटम यांत्रिकी

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