क्वांटाइल फलन

प्रोबिट सामान्य वितरण का मात्रात्मक कार्य है।

संभाव्यता और सांख्यिकी में एच्छिक चर के संभाव्यता वितरण से जुड़ा एक मात्र फलन स्वतंत्र चर के मान को निर्दिष्ट करता है जैसे चर के उस मान में सम्भाव्यता कम या उसके बराबर होने की संभावना के बराबर होती है। मात्रात्मक और कार्यात्मक संभाव्यता इनपुट के नीचे एक सीमा के साथ संबद्ध होता है कुछ संभाव्यता वितरण के लिए उस सीमा में एक स्वतंत्र चर का अनुभव होता है इसे फलन, प्रतिशत-बिंदु फलन या व्युत्क्रम संचयी बंटन फलन भी कहा जाता है।

परिभाषा

एक स्वर वितरण समारोह

सतत और सख्ती से एक स्वर संचयी वितरण समारोह के संदर्भ में $F_{X}\colon \mathbb {R} \to [0,1]$ एक स्वर चर एक्स स्वतंत्र कार्यक्रम $Q\colon [0,1]\to \mathbb {R}$ एक आरम्भिक वैल्यू एक्स देता है जिसके नीचे दिए गए सीडीएफ से याद्रच्छिक निष्कासन होता है जिसमें 100 प्रतिशत समय गिर जाता है वितरण कार्यक्रम एफ में स्वतंत्र कार्यक्रम वैल्यू एक्स को इस तरह लौटाता है।

$F_{X}(x):=\Pr(X\leq x)=p\,,$

जिसे सीडीएफ के व्युत्क्रम के रूप में लिखा जा सकता है।

$Q(p)=F_{X}^{-1}(p)\,.$

संचयी बंटन फलन (F(x) के रूप में दिखाया गया है) q मानों के फलन के रूप में p मान देता है। क्वांटाइल फ़ंक्शन विपरीत करता है: यह p मानों के फ़ंक्शन के रूप में q मान देता है। ध्यान दें कि लाल रंग में F(x) का भाग एक क्षैतिज रेखा खंड है।

सामान्य वितरण समारोह

वितरण कार्यों की सामान्य स्थित में जो एक स्वर नहीं हैं इसलिए यह एक व्युत्क्रम सीडीएफ की अनुमति नहीं देते हैं एक स्वर संभावित रूप से एक वितरण समारोह एफ का निर्धारित मूल्य है जो अंतराल द्वारा दिया गया है।

$Q(p)\,=\,\left[\sup \left\{x\colon F(x)<p\right\},\sup \left\{x\colon F(x)\leq p\right\}\right]$

निम्नतम मान को चुनना अधिकतर मानक होता है एफ के दांये निरंतरता का उपयोग करके जिसे समान रूप से इस प्रकार लिखा जा सकता है

$Q(p)\,=\,\inf \left\{x\in \mathbb {R} :p\leq F(x)\right\}\,.$

जैसे कि स्वतंत्र कार्यक्रम उन सभी मानों में से एक्स का न्यूनतम मान लौटाता है जिनका सीडीएफ मान पी से अधिक है जो विशेष जगहों में पिछले संभाव्यता कथन के बराबर है कि वितरण निरंतर है ध्यान दें कि निम्नतम और उच्चतम को न्यूनतम कार्यक्रम द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है क्योंकि वितरण कार्यक्रम निरंतर और कमजोर नीरस रूप से बढ़ रहा है।

गाल्वा जोड़ को संतुष्ट करने वाला एच्छिक अद्वितीय कार्य यह है-

$Q(p)\leq x$ और $p\leq F(x)$

यदि फलन एफ निरंतर है और यह नीरस रूप से बढ़ रहा है तो असमानताओं को समानता से बदला जा सकता है

$Q=F^{-1}$

कुछ वितरण कार्यक्रम एफ एक व्युत्क्रम कार्यक्रम एच्छिक कार्यक्रम में क्यू कार्यक्रम के लिए लगभग सुनिश्चित बाएं व्युत्क्रम के रूप में व्यवहार करता है

$Q(F(X))=X$

सरल उदाहरण

उदाहरण के लिए घातीय वितरण तीव्रता λ और अपेक्षित मान माध्य1/λ का संचयी वितरण कार्यक्रम है

$F(x;\lambda )={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}$

घातीय λ के लिए स्वतंत्र कार्यक्रम क्यू के मान को ढूंढकर प्राप्त किया जाता है $1-e^{-\lambda Q}=p$:

$Q(p;\lambda )={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }},\!$

0 ≤ p < 1

पहला चतुर्थक (पी = 1/4)

$-\ln(3/4)/\lambda \,$

मंझला (पी = 2/4)

$-\ln(1/2)/\lambda \,$

तीसरा चतुर्थक (पी = 3/4)

$-\ln(1/4)/\lambda .\,$

अनुप्रयोग

मात्रात्मक कार्यों का उपयोग सांख्यिकीय अनुप्रयोगों दोनों में किया जाता है।

ऐच्छिक कार्यक्रम प्रायिकता वितरण निर्धारित करने का एक तरीका है और यह प्रायिकता घनत्व कार्यक्रम पीडीएफ या प्रायिकता द्रव्यमान कार्यक्रम संचयी वितरण कार्यक्रम सीडीएफ और विशेषता कार्यक्रम संभाव्यता सिद्धांत का एक विकल्प है प्रायिकता वितरण का ऐच्छिक कार्यक्रम क्यू संचयी वितरण कार्यक्रम एफ का व्युत्क्रम कार्यक्रम है ऐच्छिक कार्यक्रम का व्युत्पन्न स्वतंत्र घनत्व कार्यक्रम प्रायिकता वितरण निर्धारित करने का एक और तरीका है यह ऐच्छिक कार्यक्रम से बनी पीडीएफ का व्युत्क्रम है।

सांख्यिकीय अनुप्रयोगों के लिए उपयोगकर्ताओं को प्रमुख प्रतिशत अंक जानने की आवश्यकता होती है किसी दिए गए वितरण की माध्यिका 25 प्रतिशत और 75 प्रतिशत चतुर्थक की आवश्यकता होती है जैसा कि ऊपर दिए गए उदाहरण में है यह अन्य अनुप्रयोगों के लिए 5 प्रतिशत 95 प्रतिशत 2.5 प्रतिशत 97.5 प्रतिशत स्तर जैसे किसी अवलोकन में सांख्यिकीय के महत्व का आकलन करना जिसका वितरण ज्ञात है कंप्यूटरों के लोकप्रिय होने से पहले पुस्तकों के लिए सांख्यिकीय तालिकाओं के साथ परिशिष्ट होना असामान्य नहीं था जो ऐच्छिक कार्यक्रम का नमूना लेते थे गिलक्रिस्ट द्वारा मात्रात्मक कार्यों के सांख्यिकीय अनुप्रयोगों पर व्यापक रूप से चर्चा की गई है मोंटे-कार्लो के अनुरूप विभिन्न प्रकार की गणनाओं में उपयोग के लिए गैर-समान यादृच्छिक या छद्म यादृच्छिक संख्या उत्पन्न करने के लिए मात्रात्मक कार्यों को नियोजित करते हैं यदि किसी दिए गए वितरण से एक नमूना एक समान वितरण से अपने ऐच्छिक कार्यक्रम को लागू करके सैद्धांतिक रूप से प्राप्त किया जा सकता है अनुरूप विधियों की मांग आधुनिक वित्त में मात्रात्मक कार्यों के आधार पर विधियों में ध्यान केंद्रित कर रहे हैं क्योंकि वे सांख्यिकी या अर्ध-मोंटे-कार्लो विधियों के आधार पर बहुभिन्नरूपी विश्लेषण तकनीकों के साथ अच्छी तरह से काम करते हैं।

गणना

मात्रात्मक कार्यों के मूल्यांकन में अधिकतर संख्यात्मक तरीके सम्मिलित होते हैं जैसे ऊपर घातीय वितरण जो उन वितरणों में से एक है जहां एक बंद-रूप अभिव्यक्ति पाई जा सकती है तथा समान वितरण वीबुल वितरण तुकी लैम्ब्डाभी सम्मिलित हैं जब सीडीएफ के पास एक बंद अभिव्यक्ति होती है तो सीडीएफ को उलटने के लिए द्विभाजन विधि जैसे संख्यात्मक रूट-खोज प्रारूप का हमेशा उपयोग किया जा सकता है मात्रात्मक कार्यों का मूल्यांकन करने के लिए अन्य पुस्तकों की संख्यात्मक व्यंजनों के प्रारूप श्रृंखला में दिए गए हैं सामान्य वितरण के लिए प्रारूप कई सांख्यिकीय सॉफ्टवेयर पैकेजों में निर्मित होते हैं।

मात्रात्मक कार्यों को गैर-रैखिक सामान्य और कुछ अंतर समीकरण के समाधान के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है सामान्य वितरण छात्र टी-वितरण, बीटा वितरण और गामा वितरण वितरण की स्थिति लिए साधारण अंतर समीकरण दिए गए हैं और हल किए गए हैं।

सामान्य वितरण

Main article: Normal distribution § Quantile function

सामान्य वितरण शायद सबसे महत्वपूर्ण मामला है। क्योंकि सामान्य वितरण एक स्थान-स्तरीय परिवार है, मनमाना मापदंडों के लिए इसका क्वांटाइल फ़ंक्शन मानक सामान्य वितरण के क्वांटाइल फ़ंक्शन के सरल परिवर्तन से प्राप्त किया जा सकता है, जिसे प्रोबिट फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है। दुर्भाग्य से, इस फ़ंक्शन में बुनियादी बीजगणितीय कार्यों का उपयोग करके कोई बंद-रूप प्रतिनिधित्व नहीं है; नतीजतन, अनुमानित प्रतिनिधित्व आमतौर पर उपयोग किए जाते हैं। विचुरा द्वारा पूरी तरह से समग्र तर्कसंगत और बहुपद सन्निकटन दिए गए हैं और एकलम। शॉ द्वारा गैर-समग्र तर्कसंगत सन्निकटन विकसित किए गए हैं।

सामान्य क्वांटाइल के लिए साधारण अंतर समीकरण

सामान्य मात्रा, डब्ल्यू (पी) के लिए एक गैर-रैखिक सामान्य अंतर समीकरण दिया जा सकता है। यह है

${\frac {d^{2}w}{dp^{2}}}=w\left({\frac {dw}{dp}}\right)^{2}$

केंद्र (प्रारंभिक) शर्तों के साथ

$w\left(1/2\right)=0,\,$

$w'\left(1/2\right)={\sqrt {2\pi }}.\,$

इस समीकरण को शास्त्रीय शक्ति श्रृंखला दृष्टिकोण सहित कई तरीकों से हल किया जा सकता है। इससे मनमाने ढंग से उच्च सटीकता के समाधान विकसित किए जा सकते हैं (स्टाइनब्रेचर और शॉ, 2008 देखें)।

छात्र का टी-वितरण

Further information: Student's t-distribution

यह ऐतिहासिक रूप से अधिक जटिल मामलों में से एक रहा है, क्योंकि एक पैरामीटर, ν, स्वतंत्रता की डिग्री की उपस्थिति, तर्कसंगत और अन्य अनुमानों के उपयोग को अजीब बनाती है। सरल सूत्र मौजूद होते हैं जब ν = 1, 2, 4 और ν सम होने पर समस्या को बहुपद के समाधान में कम किया जा सकता है। अन्य मामलों में मात्रात्मक कार्यों को शक्ति श्रृंखला के रूप में विकसित किया जा सकता है। साधारण मामले इस प्रकार हैं:

ν = 1 (कॉची बंटन)

Main article: Cauchy distribution

$Q(p)=\tan(\pi (p-1/2))\!$

एन = 2

$Q(p)=2(p-1/2){\sqrt {\frac {2}{\alpha }}}\!$

एन = 4

$Q(p)=\operatorname {sign} (p-1/2)\,2\,{\sqrt {q-1}}\!$

कहाँ

$q={\frac {\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left({\sqrt {\alpha }}\,\right)\right)}{\sqrt {\alpha }}}\!$

और

$\alpha =4p(1-p).\!$

उपरोक्त में साइन फ़ंक्शन सकारात्मक तर्कों के लिए +1, नकारात्मक तर्कों के लिए -1 और शून्य पर शून्य है। इसे त्रिकोणमितीय साइन फ़ंक्शन के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए।

क्वांटाइल मिश्रण

मिश्रण वितरण के अनुरूप वितरण को मात्रात्मक मिश्रण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

$Q(p)=\sum _{i=1}^{m}a_{i}Q_{i}(p)$,

कहाँ $Q_{i}(p)$, $i=1,\ldots ,m$ मात्रात्मक कार्य हैं और $a_{i}$, $i=1,\ldots ,m$ मॉडल पैरामीटर हैं। पैरामीटर $a_{i}$ चुना जाना चाहिए ताकि $Q(p)$ एक मात्रात्मक कार्य है। दो चार-पैरामीट्रिक क्वांटाइल मिश्रण, सामान्य-बहुपद क्वांटाइल मिश्रण और कॉची-बहुपद क्वांटाइल मिश्रण, कारवानन द्वारा प्रस्तुत किए जाते हैं।

मात्रात्मक कार्यों के लिए गैर-रैखिक अंतर समीकरण

सामान्य वितरण के लिए दिया गया गैर-रैखिक साधारण अंतर समीकरण किसी भी क्वांटाइल फ़ंक्शन के लिए उपलब्ध एक विशेष मामला है जिसका दूसरा व्युत्पन्न मौजूद है। सामान्य रूप से क्वांटाइल, क्यू(पी) के लिए समीकरण दिया जा सकता है। यह है

${\frac {d^{2}Q}{dp^{2}}}=H(Q)\left({\frac {dQ}{dp}}\right)^{2}$

उपयुक्त सीमा स्थितियों द्वारा संवर्धित, जहाँ

$H(x)=-{\frac {f'(x)}{f(x)}}=-{\frac {d}{dx}}\ln f(x)$

और ƒ(x) प्रायिकता घनत्व फलन है। इस समीकरण के रूप, और सामान्य, छात्र, गामा और बीटा वितरण के मामलों के लिए श्रृंखला और स्पर्शोन्मुख समाधानों द्वारा इसका शास्त्रीय विश्लेषण स्टाइनब्रेचर और शॉ (2008) द्वारा स्पष्ट किया गया है। इस तरह के समाधान सटीक बेंचमार्क प्रदान करते हैं, और छात्र के मामले में, मोंटे कार्लो के लाइव उपयोग के लिए उपयुक्त श्रृंखला।

यह भी देखें

• उलटा नमूना बदलना
• फ़ीसदी
• संभाव्यता अभिन्न परिवर्तन
• क्वांटाइल
• रैंक-आकार वितरण

अग्रिम पठन

• Abernathy, Roger W. and Smith, Robert P. (1993) *"Applying series expansion to the inverse beta distribution to find percentiles of the F-distribution", ACM Trans. Math. Softw., 9 (4), 478–480 doi:10.1145/168173.168387
• Refinement of the Normal Quantile
• New Methods for Managing "Student's" T Distribution
• ACM Algorithm 396: Student's t-Quantiles