एकल इंटीग्रल: Difference between revisions
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संपत्ति 1 यह सुनिश्चित करने के लिए आवश्यक है कि, कनवल्शन ({{EquationNote|1}}) वितरण के साथ टेम्पर्ड वितरण और फूरियर ट्रांसफॉर्म p.v. ''K'' [[कॉची प्रिंसिपल वैल्यू]] द्वारा दिया गया है:- | संपत्ति 1 यह सुनिश्चित करने के लिए आवश्यक है कि, कनवल्शन ({{EquationNote|1}}) वितरण के साथ टेम्पर्ड वितरण और फूरियर ट्रांसफॉर्म p.v. ''K'' [[कॉची प्रिंसिपल वैल्यू]] द्वारा दिया गया है:- | ||
:<math>\operatorname{p.v.}\,\, K[\phi] = \lim_{\epsilon\to 0^+} \int_{|x|>\epsilon}\phi(x)K(x)\,dx</math> | :<math>\operatorname{p.v.}\,\, K[\phi] = \lim_{\epsilon\to 0^+} \int_{|x|>\epsilon}\phi(x)K(x)\,dx</math> | ||
''L''<sup>2</sup> पर उत्तम प्रकार से परिभाषित [[फूरियर गुणक]] है I गुणों में से कोई भी 1 या 2 आवश्यक रूप से सत्यापित करना सरल नहीं है, और विभिन्न प्रकार की पर्याप्त स्थितियाँ | ''L''<sup>2</sup> पर उत्तम प्रकार से परिभाषित [[फूरियर गुणक]] है I गुणों में से कोई भी 1 या 2 आवश्यक रूप से सत्यापित करना सरल नहीं है, और विभिन्न प्रकार की पर्याप्त स्थितियाँ उपस्थित होती हैं। सामान्यतः अनुप्रयोगों में, रद्द करने की स्थिति भी होती है I | ||
: <math>\int_{R_1<|x|<R_2} K(x) \, dx = 0 ,\ \forall R_1,R_2 > 0</math> | : <math>\int_{R_1<|x|<R_2} K(x) \, dx = 0 ,\ \forall R_1,R_2 > 0</math> | ||
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* <math>K\in C^1(\mathbf{R}^n\setminus\{0\})</math> | * <math>K\in C^1(\mathbf{R}^n\setminus\{0\})</math> | ||
* <math>|\nabla K(x)|\le\frac{C}{|x|^{n+1}}</math> | * <math>|\nabla K(x)|\le\frac{C}{|x|^{n+1}}</math> | ||
ध्यान दें कि ये स्थिति हिल्बर्ट और रिज़ रूपांतरण के लिए पूर्ण होती हैं, इसलिए यह परिणाम उन परिणामों का विस्तार है।<ref name = grafakos>{{Citation | last = Grafakos | first = Loukas | title = Classical and Modern Fourier Analysis | chapter = 7 | publisher = Pearson Education, Inc. | place = New Jersey| year = 2004 }}</ref> | ध्यान दें कि ये स्थिति हिल्बर्ट और रिज़ रूपांतरण के लिए पूर्ण होती हैं, इसलिए यह परिणाम उन परिणामों का विस्तार होता है।<ref name = grafakos>{{Citation | last = Grafakos | first = Loukas | title = Classical and Modern Fourier Analysis | chapter = 7 | publisher = Pearson Education, Inc. | place = New Jersey| year = 2004 }}</ref> | ||
== अन्य-संकल्प प्ररूप के एकवचन अभिन्न == | |||
== | ये सामान्य ऑपरेटर होते हैं। चूँकि, धारणाएं इतनी अशक्त हैं, इसलिए यह जरूरी नहीं है कि, ये ऑपरेटर ''L<sup>p</sup>'' पर बंधे हों I | ||
ये | |||
=== काल्डेरन-ज़िगमंड गुठली === | === काल्डेरन-ज़िगमंड गुठली === | ||
फंक्शन {{nowrap|''K'' : '''R'''<sup>''n''</sup>×'''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''}} को अल्बर्टो काल्डेरोन-[[एंटोनी ज़िगमंड]] कर्नेल कहा जाता है I यदि यह कुछ स्थिरांक C > 0 और δ > के लिए निम्नलिखित स्थितियों ''C'' > 0 और ''δ'' > 0 को पूर्ण करते है I<ref name=grafakos/> | |||
:<math>|K(x,y)| \leq \frac{C}{|x - y|^n} </math> | :<math>|K(x,y)| \leq \frac{C}{|x - y|^n} </math> | ||
:<math>|K(x,y) - K(x',y)| \leq \frac{C|x-x'|^\delta}{\bigl(|x-y|+|x'-y|\bigr)^{n+\delta}}\text{ whenever }|x-x'| \leq \frac{1}{2}\max\bigl(|x-y|,|x'-y|\bigr)</math> | :<math>|K(x,y) - K(x',y)| \leq \frac{C|x-x'|^\delta}{\bigl(|x-y|+|x'-y|\bigr)^{n+\delta}}\text{ whenever }|x-x'| \leq \frac{1}{2}\max\bigl(|x-y|,|x'-y|\bigr)</math> | ||
:<math>|K(x,y) - K(x,y')| \leq \frac{C |y-y'|^\delta}{\bigl(|x-y| + |x-y'| \bigr)^{n+\delta}}\text{ whenever }|y-y'| \leq \frac{1}{2}\max\bigl(|x-y'|,|x-y|\bigr)</math> | :<math>|K(x,y) - K(x,y')| \leq \frac{C |y-y'|^\delta}{\bigl(|x-y| + |x-y'| \bigr)^{n+\delta}}\text{ whenever }|y-y'| \leq \frac{1}{2}\max\bigl(|x-y'|,|x-y|\bigr)</math> | ||
=== अन्य-संक्रमण प्ररूप के एकवचन अभिन्न === | |||
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T को | T को काल्डेरन-ज़िगमंड कर्नेल K से संबंधित अन्य-कनवल्शन प्ररूप का एकवचन अभिन्न ऑपरेटर कहा जाता है I यदि, | ||
: <math>\int g(x) T(f)(x) \, dx = \iint g(x) K(x,y) f(y) \, dy \, dx,</math> | : <math>\int g(x) T(f)(x) \, dx = \iint g(x) K(x,y) f(y) \, dy \, dx,</math> | ||
जब भी f और g | जब भी f और g समतल होते हैं, तब उनका समर्थन भिन्न होता है।<ref name=grafakos/> ऐसे ऑपरेटरों को ''L<sup>p</sup>'' पर बाध्य होने की आवश्यकता नहीं होती है I | ||
=== काल्डेरन-ज़िगमंड ऑपरेटर्स === | === काल्डेरन-ज़िगमंड ऑपरेटर्स === | ||
Revision as of 14:07, 24 March 2023
गणित में, एकवचन अभिन्न हार्मोनिक विश्लेषण के लिए केंद्रीय होते हैं, और आंशिक अंतर समीकरणों के अध्ययन से घनिष्ठ रूप से जुड़े हुए होते हैं। सामान्यतः एकवचन अभिन्न प्राकृतिक संकारक होते है I
जिसका कर्नेल कार्य K : Rn×Rn → R विकर्ण x = y के साथ गणितीय विलक्षणता है। विशेष रूप से, विलक्षणता ऐसी है कि |K(x, y)| आकार का है I |x − y|−n असमान रूप से |x − y| के रूप में → 0 होते है I चूंकि इस प्रकार के अभिन्न सामान्य रूप से पूर्णरूपेण समाकलनीय नहीं हो सकते हैं, इसलिए कठोर परिभाषा को उन्हें |y − x| पर अभिन्न की सीमा के रूप में परिभाषित करना चाहिए। > ε ε → 0 के रूप में, लेकिन व्यवहार में यह तकनीकी है। सामान्यतः Lp(Rn) पर उनकी बाध्यता से परिणाम प्राप्त करने के लिए आगे की धारणाओं की आवश्यकता होती है I
हिल्बर्ट रूपांतरण
मूलप्ररूपी एकवचन अभिन्न संचालिका का हिल्बर्ट रूपांतरण H है। यह 'R' में x के लिए कर्नेल K(x) = 1/(πx) के विरुद्ध कनवल्शन द्वारा दिया गया है।
इनमें से सीधा उच्च आयाम एनालॉग्स रिज्ज़ ट्रांसफॉर्म हैं, जो K(x) = 1/x को प्रतिस्थापित करते हैं:-
जहां i = 1, …, n और 'Rn' में x का i-वाँ घटक है I ये सभी ऑपरेटर Lp पर बंधे होते हैं, और (1, 1) अनुमानों को संतुष्ट करते हैं।[1]
कनवल्शन प्ररूप का एकवचन अभिन्न
कनवल्शन प्ररूप का एकवचन अभिन्न ऑपरेटर T है, जिसे कर्नेल K के साथ कनवल्शन द्वारा परिभाषित किया गया है, जो कि Rn\{0} पर स्थानीय रूप से एकीकृत फंक्शन है। इस प्रकार