एकल इंटीग्रल

गणित में, एकवचन अभिन्न हार्मोनिक विश्लेषण के लिए केंद्रीय होते हैं, और आंशिक अंतर समीकरणों के अध्ययन से घनिष्ठ रूप से जुड़े हुए होते हैं। सामान्यतः एकवचन अभिन्न प्राकृतिक संकारक होते है I

$T(f)(x)=\int K(x,y)f(y)\,dy,$

जिसका कर्नेल कार्य K : Rⁿ×Rⁿ → R विकर्ण x = y के साथ गणितीय विलक्षणता है। विशेष रूप से, विलक्षणता ऐसी है कि |K(x, y)| आकार का है |x − y|⁻ⁿ असमान रूप से |x − y| के रूप में → 0. चूंकि इस तरह के इंटीग्रल सामान्य रूप से पूरी तरह से इंटेग्रेबल नहीं हो सकते हैं, इसलिए एक कठोर परिभाषा को उन्हें |y − x| पर इंटीग्रल की सीमा के रूप में परिभाषित करना चाहिए। > ε ε → 0 के रूप में, लेकिन व्यवहार में यह एक तकनीकी है। आम तौर पर एल पर उनकी बाध्यता जैसे परिणाम प्राप्त करने के लिए आगे की धारणाओं की आवश्यकता होती है^पी('आर'^एन).

हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म

Main article: Hilbert transform

मूलप्ररूपी एकवचन अभिन्न संचालिका हिल्बर्ट रूपांतरण एच है। यह 'R' में x के लिए कर्नेल K(x) = 1/(πx) के विरुद्ध कनवल्शन द्वारा दिया गया है। ज्यादा ठीक,

$H(f)(x)={\frac {1}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|x-y|>\varepsilon }{\frac {1}{x-y}}f(y)\,dy.$

इनमें से सबसे सीधा उच्च आयाम एनालॉग्स रिज्ज़ ट्रांसफॉर्म हैं, जो K(x) = 1/x को प्रतिस्थापित करते हैं

$K_{i}(x)={\frac {x_{i}}{|x|^{n+1}}}$

जहां मैं = 1, …, एन और $x_{i}$ 'R' में x का i-वाँ घटक है^एन. ये सभी ऑपरेटर L पर बंधे हैं^p और कमजोर-प्रकार (1, 1) अनुमानों को संतुष्ट करें।

कनवल्शन टाइप का एकवचन इंटीग्रल

Main article: Singular integral operators of convolution type

कनवल्शन टाइप का एक सिंगुलर इंटीग्रल एक ऑपरेटर T है जिसे कर्नेल K के साथ कनवल्शन द्वारा परिभाषित किया गया है जो कि 'R' पर स्थानीय रूप स्थानीय रूप से एकीकृत समारोह है।ⁿ\{0}, इस अर्थ में कि

$T(f)(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|y-x|>\varepsilon }K(x-y)f(y)\,dy.$

(1)

मान लीजिए कि कर्नेल संतुष्ट करता है:

1. K के फूरियर रूपांतरण पर आकार की स्थिति