ब्रिंग रेडिकल्स: Difference between revisions

From Vigyanwiki
No edit summary
No edit summary
 
(15 intermediate revisions by 4 users not shown)
Line 1: Line 1:
{{short description|Real root of the polynomial x^5+x+a}}
{{short description|Real root of the polynomial x^5+x+a}}
[[File:Bring radical plot.svg|thumb|वास्तविक तर्क के लिए रेडिकल लाओ का प्लॉट]][[बीजगणित]] में, [[वास्तविक संख्या]] a का रेडिकल या अल्ट्रारेडिकल '''लाओ''', [[बहुपद]] का अद्वितीय वास्तविक मूल है<math display="block">x^5 + x + a.</math>एक सम्मिश्र संख्या a का लाओ रेडिकल या तो उपरोक्त बहुपद की पाँच जड़ों में से कोई है (यह इस प्रकार बहु-मूल्यवान है), या एक विशिष्ट रूट, जिसे सामान्यतः इस तरह चुना जाता है कि लाओ रेडिकल वास्तविक a के लिए वास्तविक-मूल्यवान होता है और वास्तविक रेखा के निकटतम में एक [[विश्लेषणात्मक कार्य]] होता है। चार [[शाखा बिंदु]]ओं के अस्तित्व के कारण, रेडिकल को एक ऐसे फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित नहीं किया जा सकता है जो पूरे [[जटिल विमान]] पर निरंतर है, और इसकी निरंतरता के डोमेन को चार शाखा कटौती को बाहर करना चाहिए।
[[File:Bring radical plot.svg|thumb|वास्तविक तर्क के लिए विलक्षण ब्रिंग का प्लॉट]][[बीजगणित]] में, [[वास्तविक संख्या]] a विलक्षण, [[बहुपद]] का अद्वितीय वास्तविक मूल होता है।<math display="block">x^5 + x + a.</math>एक सम्मिश्र संख्या a का विलक्षण या तो उपरोक्त बहुपद की पाँच संख्याओं में से कोई भी हो सकता है (यह इस प्रकार बहु-मूल्यवान है), या एक विशिष्ट संख्या, जिसे सामान्यतः इस तरह चुना जाता है कि विलक्षण वास्तविक a के लिए वास्तविक-मूल्यवान होता है और वास्तविक रेखा के निकटतम में एक [[विश्लेषणात्मक कार्य]] होता है। चार [[शाखा बिंदु|शाखा बिंदुओं]] के अस्तित्व के कारण, विलक्षण को एक ऐसे फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित नहीं किया जा सकता है, और इसकी निरंतरता के डोमेन को चार शाखा कटौती को बाहर करता है।




[[जॉर्ज जेरार्ड]] ने दिखाया कि कुछ पंचक समीकरण नौवे रूट और लाओ रेडिकल्स का उपयोग करके [[बंद रूप अभिव्यक्ति]] हो सकते हैं, जिसे [[एरलैंड सैमुअल ब्रिंग|एरलैंड सैमुअल लाओ]] द्वारा प्रस्तुत किया गया था।


इस लेख में, लाओ रेडिकल ऑफ ए को निरूपित किया गया है <math>\operatorname{BR}(a).</math> वास्तविक तर्क के लिए, यह स्पर्शोन्मुख व्यवहार के साथ विषम, नीरस रूप से घटता हुआ और असीम है <math>\operatorname{BR}(a) \sim -a^{1/5}</math> बड़े के लिए <math>a</math>.
[[जॉर्ज जेरार्ड]] ने दिखाया कि कुछ पांच स्वतंत्र गुणांक समीकरण नौवे संख्या और विलक्षण्स का उपयोग करके [[बंद रूप अभिव्यक्ति]] हो सकते है, जिसे [[एरलैंड सैमुअल ब्रिंग]] द्वारा प्रस्तुत किया गया था।
 
इस लेख में, विलक्षण ऑफ ए को निरूपित किया गया है <math>\operatorname{BR}(a).</math> वास्तविक तर्क के लिए, यह स्पर्शोन्मुख व्यवहार के साथ विषम, नीरस रूप से घटता हुआ और असीम है <math>\operatorname{BR}(a) \sim -a^{1/5}</math> बड़े के लिए <math>a</math>.


== सामान्य रूप ==
== सामान्य रूप ==
पांच स्वतंत्र गुणांकों के साथ अपने सबसे सामान्य रूप में सीधे समाधान प्राप्त करने के लिए पंचक समीकरण जबकि मुश्किल है:
पांच स्वतंत्र गुणांकों के साथ अपने सबसे सामान्य रूप में सीधे समाधान प्राप्त करने के लिए पांच स्वतंत्र गुणांक समीकरण जबकि कठिन है:
<math display="block">x^5 + a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0.</math>
<math display="block">x^5 + a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0.</math>
पंचक को हल करने के लिए विकसित किए गए विभिन्न विधियाँ सामान्यतः स्वतंत्र गुणांकों की संख्या को कम करने के लिए [[चिरनहॉस परिवर्तन]] का उपयोग करके पंचक को सरल बनाने का प्रयास करते हैं।
पांच स्वतंत्र गुणांक को हल करने के लिए विकसित किए गए विभिन्न विधियाँ सामान्यतः स्वतंत्र गुणांकों की संख्या को कम करने के लिए [[चिरनहॉस परिवर्तन]] का उपयोग करके पांच स्वतंत्र गुणांक को सरल बनाने का प्रयास करते है।


=== मूल पंचक रूप ===
=== मूल पांच स्वतंत्र गुणांक रूप ===
क्वार्टिक और क्यूबिक शर्तों को हटाकर सामान्य पंचक को प्रिंसिपल पंचक फॉर्म के रूप में जाना जाता है:
क्वार्टिक और क्यूबिक शर्तों को हटाकर सामान्य पांच स्वतंत्र गुणांक को प्रिंसिपल पांच स्वतंत्र गुणांक फॉर्म के रूप में जाना जाता है:
<math display="block">y^5 + c_2y^2 + c_1y + c_0 = 0 \,</math>
<math display="block">y^5 + c_2y^2 + c_1y + c_0 = 0 \,</math>
यदि एक सामान्य पंचक और एक प्रमुख पंचक की जड़ें द्विघात चिरनहॉस परिवर्तन से संबंधित हैं
यदि एक सामान्य पांच स्वतंत्र गुणांक और एक प्रमुख पांच स्वतंत्र गुणांक की संख्यायें द्विघात चिरनहॉस परिवर्तन से संबंधित है
<math display="block">y_k = x_k^2 + \alpha x_k + \beta \, ,</math>
<math display="block">y_k = x_k^2 + \alpha x_k + \beta \, ,</math>
गुणांक α और β [[परिणामी]] का उपयोग करके, या [[शक्ति योग सममित बहुपद]] और न्यूटन की पहचान के माध्यम से निर्धारित किया जा सकता है। यह α और β में समीकरणों की एक प्रणाली की ओर जाता है जिसमें एक द्विघात और एक रेखीय समीकरण होता है, और समाधान के दो सेटों में से किसी एक का उपयोग प्रिंसिपल पंचक फॉर्म के संबंधित तीन गुणांक प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है।<ref name=Adamchik-2003>
गुणांक α और β [[परिणामी]] का उपयोग करके, या [[शक्ति योग सममित बहुपद]] और न्यूटन की पहचान के माध्यम से निर्धारित किया जा सकता है। यह α और β में समीकरणों की एक प्रणाली की ओर जाता है जिसमें एक द्विघात और एक रेखीय समीकरण होता है, और समाधान के दो सेटों में से किसी एक का उपयोग प्रिंसिपल पांच स्वतंत्र गुणांक फॉर्म के संबंधित तीन गुणांक प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है।<ref name=Adamchik-2003>
{{cite journal
{{cite journal
  |last=Adamchik  |first=Victor  
  |last=Adamchik  |first=Victor  
Line 32: Line 33:
</ref>
</ref>


[[फेलिक्स क्लेन]] के पंचक के समाधान द्वारा इस फॉर्म का उपयोग किया जाता है।<ref name="klein">
[[फेलिक्स क्लेन]] के पांच स्वतंत्र गुणांक के समाधान द्वारा इस फॉर्म का उपयोग किया जाता है।<ref name="klein">
{{cite book
{{cite book
  | last = Klein | first = Felix | author-link=Felix Klein
  | last = Klein | first = Felix | author-link=Felix Klein
Line 42: Line 43:
}}
}}
</ref>
</ref>
=== लाओ-जेरार्ड सामान्य रूप===
=== जेरार्ड सामान्य रूप===
लाओ-जेरार्ड सामान्य रूप का निर्माण करते हुए, पंचक को और भी सरल बनाना और द्विघात शब्द को समाप्त करना संभव है:
जेरार्ड सामान्य रूप का निर्माण करते हुए, पांच स्वतंत्र गुणांक को और भी सरल बनाना और द्विघात शब्द को समाप्त करना संभव है:
<math display="block">v^5 + d_1v + d_0 = 0.</math>
<math display="block">v^5 + d_1v + d_0 = 0.</math>
क्यूबिक परिवर्तन के साथ फिर से शक्ति-योग सूत्रों का उपयोग करना, जैसा कि [[Ehrenfried Walther von Tschirnhaus|चिरनहॉस]] ने कोशिश की, काम नहीं करता है, क्योंकि समीकरणों की परिणामी प्रणाली के परिणामस्वरूप छठी-डिग्री समीकरण होती है। लेकिन 1796 में ब्रिंग ने ब्रिंग-जेरार्ड पंचक के मूल पंचक की जड़ों से संबंधित करने के लिए एक क्वार्टिक [[Ehrenfried Walther von Tschirnhaus|चिरनहॉस]] परिवर्तन का उपयोग करके इसके चारों ओर एक रास्ता खोजा:
क्यूबिक परिवर्तन के साथ फिर से शक्ति-योग सूत्रों का उपयोग करना, जैसा कि [[Ehrenfried Walther von Tschirnhaus|चिरनहॉस]] ने कोशिश की, काम नहीं करता है, क्योंकि समीकरणों की परिणामी प्रणाली के परिणामस्वरूप छठी-डिग्री समीकरण होती है। लेकिन 1796 में ब्रिंग ने जेरार्ड पांच स्वतंत्र गुणांक के मूल पांच स्वतंत्र गुणांक की संख्याओं से संबंधित करने के लिए एक क्वार्टिक [[Ehrenfried Walther von Tschirnhaus|चिरनहॉस]] परिवर्तन का उपयोग करके इसके चारों ओर एक रास्ता खोजा:
<math display="block">v_k = y^4_k + \alpha y^3_k + \beta y^2_k + \gamma y_k + \delta\, .</math>
<math display="block">v_k = y^4_k + \alpha y^3_k + \beta y^2_k + \gamma y_k + \delta\, .</math>
इस चौथे क्रम के परिवर्तन द्वारा प्रदान किया गया अतिरिक्त पैरामीटर अन्य मापदंडों की डिग्री को कम करने के लिए लाओ को अनुमति देता है। यह छह अज्ञात में पाँच समीकरणों की एक प्रणाली की ओर जाता है, जिसके लिए एक घन और एक द्विघात समीकरण के समाधान की आवश्यकता होती है। इस पद्धति की खोज भी जॉर्ज जेरार्ड ने 1852 में की थी।<ref>
इसे चौथे क्रम के परिवर्तन द्वारा प्रदान किया गया अतिरिक्त पैरामीटर अन्य मापदंडों की डिग्री को कम करने के लिए ब्रिंग को अनुमति देता है। यह छह अज्ञात में पाँच समीकरणों की एक प्रणाली की ओर जाता है, जिसके लिए एक घन और एक द्विघात समीकरण के समाधान की आवश्यकता होती है। इस पद्धति की खोज भी जॉर्ज जेरार्ड ने 1852 में की थी।<ref>
{{cite book
{{cite book
  | last = Jerrard | first = George Birch  |author-link=George Jerrard
  | last = Jerrard | first = George Birch  |author-link=George Jerrard
Line 56: Line 57:
  | url = https://archive.org/details/essayonresolutio00jerrrich
  | url = https://archive.org/details/essayonresolutio00jerrrich
}}
}}
</ref> लेकिन यह संभावना है कि वह इस क्षेत्र में लाओ के पिछले काम से अनजान थे।<ref name=Adamchik-2003/>{{rp|style=ama|pp=92&ndash;93}} गणित जैसे [[कंप्यूटर बीजगणित]] पैकेज का उपयोग करके पूर्ण परिवर्तन आसानी से पूरा किया जा सकता है<ref name="qmathematica">
</ref> लेकिन यह संभावना है कि वह इस क्षेत्र में ब्रिंग के पिछले काम से अनजान थे।<ref name=Adamchik-2003/>{{rp|style=ama|pp=92&ndash;93}} गणित जैसे [[कंप्यूटर बीजगणित]] पैकेज का उपयोग करके पूर्ण परिवर्तन आसानी से पूरा किया जा सकता है<ref name="qmathematica">
{{cite web
{{cite web
  |title=Solving the Quintic with Mathematica
  |title=Solving the Quintic with Mathematica
Line 72: Line 73:
  | eprint = math.GM/0005026
  | eprint = math.GM/0005026
}}
}}
</ref> जैसा कि इन परिवर्तनों की जटिलता से उम्मीद की जा सकती है, परिणामी भाव बहुत अधिक हो सकते हैं, खासकर जब कम डिग्री समीकरणों के लिए रेडिकल में समाधान की तुलना में, प्रतीकात्मक गुणांक के साथ एक सामान्य पंचक के लिए कई मेगाबाइट भंडारण लेते हैं।<ref name="qmathematica"/>
</ref> जैसा कि इन परिवर्तनों की कठिनता से उम्मीद की जा सकती है, परिणामी भाव बहुत अधिक हो सकते है, खासकर जब कम डिग्री समीकरणों के लिए विलक्षण में समाधान की तुलना में, प्रतीकात्मक गुणांक के साथ एक सामान्य पांच स्वतंत्र गुणांक के लिए कई मेगाबाइट भंडारण लेते है।<ref name="qmathematica"/>


इसे एक बीजगणितीय कार्य के रूप में माना जाता है, इसके समाधान हैं
इसे एक बीजगणितीय कार्य के रूप में माना जाता है, इसके समाधान है
<math display="block">v^5+d_1v+d_0 = 0</math>
<math display="block">v^5+d_1v+d_0 = 0</math>
दो चर सम्मलित हैं, डी<sub>1</sub> और डी<sub>0,</sub> चूँकि, कमी वास्तव में एक चर के बीजगणितीय कार्य के लिए है, जो रेडिकल में एक समाधान के समान है, क्योंकि हम लाओ-जेरार्ड फॉर्म को और कम कर सकते हैं। यदि हम उदाहरण के लिए सेट करते हैं
इसमें दो चर सम्मलित है, डी<sub>1</sub> और डी<sub>0,</sub> चूँकि, कमी वास्तव में एक चर के बीजगणितीय कार्य के लिए है, जो विलक्षण में एक समाधान के समान है, क्योंकि हम जेरार्ड फॉर्म को और कम कर सकते है। यदि हम उदाहरण के लिए सेट करते है
<math display="block">z = {v \over \sqrt[4]{-d_1}}</math>
<math display="block">z = {v \over \sqrt[4]{-d_1}}</math>
फिर हम समीकरण को रूप में कम करते हैं
फिर हम समीकरण को रूप में कम करते है
<math display="block">z^5 - z + a = 0\, ,</math>
<math display="block">z^5 - z + a = 0\, ,</math>
जिसमें एक एकल चर के बीजगणितीय कार्य के रूप में z सम्मलित है <math>a</math>, जहाँ <math>a=d_0(-d_1)^{-5/4}</math>. इस फॉर्म की आवश्यकता हरमाइट-क्रोनेकर-ब्रियोस्ची विधि, ग्लासर की विधि और नीचे वर्णित डिफरेंशियल रिज़ॉल्वेंट की कॉकल-हार्ले विधि द्वारा आवश्यक है।
जिसमें एक एकल चर के बीजगणितीय कार्य के रूप में z सम्मलित है <math>a</math>, जहाँ <math>a=d_0(-d_1)^{-5/4}</math>. इस फॉर्म की आवश्यकता हरमाइट-क्रोनेकर-ब्रियोस्ची विधि, ग्लासर की विधि और नीचे वर्णित अंतर समाधान की कॉकल-हार्ले विधि द्वारा आवश्यक है।


सेट करके एक वैकल्पिक रूप प्राप्त किया जाता है <math>u = {v \over \sqrt[4]{d_1}}</math> ताकि <math>u^5 + u + b = 0\, ,</math> जहाँ <math>b=d_0(d_1)^{-5/4}</math>. इस फॉर्म का इस्तेमाल नीचे लाओ रेडिकल को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।
सेट करके एक वैकल्पिक रूप प्राप्त किया जाता है <math>u = {v \over \sqrt[4]{d_1}}</math> ताकि <math>u^5 + u + b = 0\, ,</math> जहाँ <math>b=d_0(d_1)^{-5/4}</math>. इस फॉर्म का इस्तेमाल नीचे विलक्षण को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।


=== ब्रियोस्ची सामान्य रूप ===
=== ब्रियोस्ची सामान्य रूप ===
पंचक समीकरण के लिए एक और एक-पैरामीटर सामान्य रूप है, जिसे ब्रियोस्ची सामान्य रूप के रूप में जाना जाता है
पांच स्वतंत्र गुणांक समीकरण के लिए एक और एक-पैरामीटर सामान्य रूप है, जिसे ब्रियोस्ची सामान्य रूप के रूप में जाना जाता है
<math display="block">w^5 - 10Cw^3 + 45C^2w - C^2 = 0,</math>
<math display="block">w^5 - 10Cw^3 + 45C^2w - C^2 = 0,</math>
जिसे तर्कसंगत चिरनहॉस रूपांतरण का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है
जिसे तर्कसंगत चिरनहॉस रूपांतरण का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है
<math display="block">w_k = \frac{\lambda + \mu x_k}{\frac{x_k^2}{C}-3}</math>
<math display="block">w_k = \frac{\lambda + \mu x_k}{\frac{x_k^2}{C}-3}</math>
एक ब्रियोस्की पंचक के लिए एक सामान्य पंचक की जड़ों से संबंधित करता है। मापदंडों का मान <math>\lambda</math> और <math>\mu</math> [[रीमैन क्षेत्र]] पर [[बहुफलकीय समारोह]] का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, और आईकोसाहेड्रल समरूपता के एक वस्तु के विभाजन से संबंधित होता है जो [[टेट्राहेड्रल समरूपता]] की पांच वस्तुओं में होता है।<ref name="king">{{cite book
एक ब्रियोस्की पांच स्वतंत्र गुणांक के लिए एक सामान्य पांच स्वतंत्र गुणांक की संख्याओं से संबंधित करता है। मापदंडों का मान <math>\lambda</math> और <math>\mu</math> [[रीमैन क्षेत्र]] पर [[बहुफलकीय समारोह]] का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, और आईकोसाहेड्रल समरूपता के एक वस्तु के विभाजन से संबंधित होता है जो [[टेट्राहेड्रल समरूपता]] की पांच वस्तुओं में होता है।<ref name="king">{{cite book
  | last = King | first = R. Bruce
  | last = King | first = R. Bruce
  | year = 1996
  | year = 1996
Line 99: Line 100:
  | pages = [https://archive.org/details/beyondquarticequ00king_290/page/n68 131]
  | pages = [https://archive.org/details/beyondquarticequ00king_290/page/n68 131]
}}
}}
</ref> यह चिरनहॉस परिवर्तन एक प्रमुख पंचक को लाओ-जेरार्ड रूप में बदलने के लिए उपयोग किए जाने वाले कठिन की तुलना में सरल होती है। इस सामान्य रूप का उपयोग डॉयल-मैकमुलेन पुनरावृति विधि और कीपर्ट विधि द्वारा किया जाता है।
</ref> यह चिरनहॉस परिवर्तन एक प्रमुख पांच स्वतंत्र गुणांक को जेरार्ड रूप में बदलने के लिए उपयोग किए जाने वाले कठिन की तुलना में सरल होती है। इस सामान्य रूप का उपयोग डॉयल-मैकमुलेन पुनरावृति विधि और कीपर्ट विधि द्वारा किया जाता है।


== श्रृंखला प्रतिनिधित्व ==
== श्रृंखला प्रतिनिधित्व ==
लाओ रेडिकल्स के लिए एक [[टेलर श्रृंखला]], साथ ही सामान्यीकृत हाइपरज्यामितीय कार्यों के संदर्भ में एक प्रतिनिधित्व निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है। समीकरण <math>x^5+x+a=0</math> के रूप में पुनः लिखा जा सकता है <math>x^5+x=-a.</math> व्यवस्थित करके <math>f(x)=x^5+x,</math> वांछित समाधान है <math>x = f^{-1}(-a) = -f^{-1}(a)</math> तब से <math>f(x)</math> अजीब होता है।
विलक्षण्स के लिए एक [[टेलर श्रृंखला]], साथ ही सामान्यीकृत हाइपरज्यामितीय कार्यों के संदर्भ में एक प्रतिनिधित्व निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है। समीकरण <math>x^5+x+a=0</math> के रूप में पुनः लिखा जा सकता है <math>x^5+x=-a.</math> व्यवस्थित करके <math>f(x)=x^5+x,</math> वांछित समाधान है <math>x = f^{-1}(-a) = -f^{-1}(a)</math> तब से <math>f(x)</math> होता है।


के लिए श्रृंखला <math>f^{-1}</math> इसके बाद टेलर श्रृंखला के [[लैग्रेंज उलटा प्रमेय]] द्वारा प्राप्त किया जा सकता है <math>f(x)</math> (जो सरल है <math>x+x^5</math>), देता है
के लिए श्रृंखला <math>f^{-1}</math> इसके बाद टेलर श्रृंखला के [[लैग्रेंज उलटा प्रमेय]] द्वारा प्राप्त किया जा सकता है <math>f(x)</math> (जो सरल है <math>x+x^5</math>), देता है
<math display="block">\operatorname{BR}(a) = -f^{-1}(a) = \sum_{k=0}^\infty \binom{5k}{k} \frac{(-1)^{k+1} a^{4k+1}}{4k+1} = -a + a^5 - 5 a^9 + 35 a^{13} - 285 a^{17} + \cdots,</math>
<math display="block">\operatorname{BR}(a) = -f^{-1}(a) = \sum_{k=0}^\infty \binom{5k}{k} \frac{(-1)^{k+1} a^{4k+1}}{4k+1} = -a + a^5 - 5 a^9 + 35 a^{13} - 285 a^{17} + \cdots,</math>
जहां पूर्णांक अनुक्रमों के ऑन-लाइन विश्वकोश में गुणांकों के निरपेक्ष मान अनुक्रम OEIS:A002294 बनाते हैं। श्रृंखला के [[अभिसरण की त्रिज्या]] है <math> 4/(5 \cdot \sqrt[4]{5}) \approx 0.53499. </math>  
जहां पूर्णांक अनुक्रमों के ऑन-लाइन विश्वकोश में गुणांकों के निरपेक्ष मान अनुक्रम OEIS:A002294 बनाते है। श्रृंखला के [[अभिसरण की त्रिज्या]] है <math> 4/(5 \cdot \sqrt[4]{5}) \approx 0.53499. </math>  


[[ हाइपरज्यामितीय समारोह |हाइपरज्यामितीय समारोह]] फॉर्म में, लाओ रेडिकल को इस रूप में लिखा जा सकता है<ref name="qmathematica" />
[[ हाइपरज्यामितीय समारोह |हाइपरज्यामितीय समारोह]] फॉर्म में, विलक्षण को इस रूप में लिखा जा सकता है<ref name="qmathematica" />
<math display="block">\operatorname{BR}(a) = -a \,\,_4F_3\left(\frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{4}{5};\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{5}{4};-5\left(\frac{5a}{4}\right)^4\right).</math>
<math display="block">\operatorname{BR}(a) = -a \,\,_4F_3\left(\frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{4}{5};\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{5}{4};-5\left(\frac{5a}{4}\right)^4\right).</math>
ग्लासर की व्युत्पत्ति और डिफरेंशियल रिज़ॉल्वेंट की विधि में नीचे उत्पन्न होने वाले हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शंस के साथ तुलना करना रोचक हो सकता है।
ग्लासर की व्युत्पत्ति और अंतर समाधान की विधि में नीचे उत्पन्न होने वाले हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शंस के साथ तुलना करना रोचक हो सकता है।


== सामान्य पंचक का समाधान ==
== सामान्य पांच स्वतंत्र गुणांक का समाधान ==
बहुपद की जड़ें
बहुपद की संख्यायें
<math display="block">x^5 + px +q</math>
<math display="block">x^5 + px +q</math>
लाओ रेडिकल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
विलक्षण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
<math display="block">\sqrt[4]{p}\,\operatorname{BR}\left(p^{-\frac{5}{4}}q\right)</math>
<math display="block">\sqrt[4]{p}\,\operatorname{BR}\left(p^{-\frac{5}{4}}q\right)</math>
और इसके चार जटिल संयुग्म है। हल करने योग्य बहुपद समीकरणों के संदर्भ में अब समस्या को लाओ-जेरार्ड रूप में कम कर दिया गया है, और जड़ों में बहुपद अभिव्यक्तियों को सम्मलित करने वाले परिवर्तनों का उपयोग केवल चौथी डिग्री तक किया जाता है, जिसका अर्थ है कि बहुपद की जड़ों को खोजने के द्वारा परिवर्तन को उलटा किया जा सकता है। यह प्रक्रिया बाहरी समाधान देती है, लेकिन जब संख्यात्मक विधियों से सही पाया जाता है, तो पंचक की जड़ों को वर्गमूल, घनमूल और लाओ रेडिकल के रूप में लिखा जा सकता है, जो कि बीजगणितीय के संदर्भ में एक बीजगणितीय समाधान है। एकल चर के कार्य (मोटे तौर पर रेडिकल्स को सम्मलित करने के लिए परिभाषित) सामान्य पंचक का एक बीजगणितीय समाधान है।
और इसके चार कठिन संयुग्म है। हल करने योग्य बहुपद समीकरणों के संदर्भ में अब समस्या को जेरार्ड रूप में कम कर दिया गया है, और संख्याओं में बहुपद अभिव्यक्तियों को सम्मलित करने वाले परिवर्तनों का उपयोग केवल चौथी डिग्री तक किया जाता है, जिसका अर्थ है कि बहुपद की संख्याओं को खोजने के द्वारा परिवर्तन को उलटा किया जा सकता है। यह प्रक्रिया बाहरी समाधान देती है, लेकिन जब संख्यात्मक विधियों से सही पाया जाता है, तो पांच स्वतंत्र गुणांक की संख्याओं को वर्गमूल, घनमूल और विलक्षण के रूप में लिखा जा सकता है, जो कि बीजगणितीय के संदर्भ में एक बीजगणितीय समाधान है। एकल चर के कार्य (मोटे तौर पर विलक्षण्स को सम्मलित करने के लिए परिभाषित) सामान्य पांच स्वतंत्र गुणांक का एक बीजगणितीय समाधान है।


== अन्य लक्षण वर्णन ==
== अन्य लक्षण वर्णन ==
लाओ रैडिकल के कई अन्य लक्षण विकसित किए गए हैं, जिनमें से पहला 1858 में [[चार्ल्स हर्मिट]] द्वारा अण्डाकार ट्रांसेंडेंट ([[अण्डाकार समारोह|अण्डाकार]] और मॉड्यूलर कार्यों से संबंधित) के संदर्भ में है, और बाद में अन्य गणितज्ञों द्वारा विकसित किए गए विधियाँ है।
ब्रिंग रैडिकल के कई अन्य लक्षण विकसित किए गए है, जिनमें से पहला 1858 में [[चार्ल्स हर्मिट]] द्वारा गोलाकार ट्रांसेंडेंट ([[अण्डाकार समारोह|गोलाकार]] और मॉड्यूलर कार्यों से संबंधित) के संदर्भ में है, और बाद में अन्य गणितज्ञों द्वारा विकसित किए गए विधियाँ है।


=== हर्मिट-क्रोनेकर-ब्रियोस्ची लक्षण वर्णन ===
=== हर्मिट-क्रोनेकर-ब्रियोस्ची लक्षण वर्णन ===
Line 131: Line 132:
  | volume = XLVI | issue = I | pages = 508–515
  | volume = XLVI | issue = I | pages = 508–515
}}
}}
</ref> ने "एलिप्टिक ट्रांसेंडेंट्स" के संदर्भ में सामान्य पंचक समीकरण का पहला ज्ञात समाधान प्रकाशित किया, और लगभग उसी समय [[ फ्रांसेस्को ब्रियोस्की |फ्रांसेस्को ब्रियोस्की]]<ref>
</ref> ने "एलिप्टिक ट्रांसेंडेंट्स" के संदर्भ में सामान्य पांच स्वतंत्र गुणांक समीकरण का पहला ज्ञात समाधान प्रकाशित किया, और लगभग उसी समय [[ फ्रांसेस्को ब्रियोस्की |फ्रांसेस्को ब्रियोस्की]]<ref>
{{cite journal
{{cite journal
  | last = Brioschi | first = Francesco
  | last = Brioschi | first = Francesco
Line 147: Line 148:
  | volume = XLVI | issue = I | pages = 1150–1152
  | volume = XLVI | issue = I | pages = 1150–1152
}}
}}
</ref> समकक्ष समाधानों पर आए। हर्मिट त्रिकोणमितीय कार्यों के संदर्भ में क्यूबिक समीकरण के प्रसिद्ध समाधान को सामान्यीकृत करके इस समाधान पर पहुंचे और ब्रिंग-जेरार्ड रूप में पंचक का समाधान ढूंढते हैं:
</ref> समकक्ष समाधानों पर आए। हर्मिट त्रिकोणमितीय कार्यों के संदर्भ में क्यूबिक समीकरण के प्रसिद्ध समाधान को सामान्यीकृत करके इस समाधान पर पहुंचे और जेरार्ड रूप में पांच स्वतंत्र गुणांक का समाधान खोजते है:
<math display="block">x^5 - x + a = 0</math>
<math display="block">x^5 - x + a = 0</math>
जिसमें दिखाया गया है कि चिरनहॉस परिवर्तनों के माध्यम से किसी भी पंचक समीकरण को कम किया जा सकता है। उन्होंने देखा कि अण्डाकार कार्यों की लाओ-जेरार्ड पंचक के समाधान में खेलने के लिए एक समान भूमिका थी क्योंकि क्यूबिक के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों के पास था। इसके लिए <math>K</math> और <math>K',</math> उन्हें अण्डाकार अभिन्न के रूप में लिखें # पहली तरह का पूर्ण अण्डाकार अभिन्न:
जिसमें दिखाया गया है कि चिरनहॉस परिवर्तनों के माध्यम से किसी भी पांच स्वतंत्र गुणांक समीकरण को कम किया जा सकता है। उन्होंने देखा कि गोलाकार कार्यों की जेरार्ड पांच स्वतंत्र गुणांक के समाधान में खेलने के लिए एक समान भूमिका थी क्योंकि क्यूबिक के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों के पास था। इसके लिए <math>K</math> और <math>K',</math> उन्हें गोलाकार अभिन्न के रूप में लिखें पहली तरह का पूर्ण गोलाकार अभिन्न:
<math display="block">K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\varphi}}</math>
<math display="block">K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\varphi}}</math>
<math display="block">K'(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\varphi}{\sqrt{1-k'^2 \sin^2\varphi}}</math>
<math display="block">K'(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\varphi}{\sqrt{1-k'^2 \sin^2\varphi}}</math>
जहाँ
जहाँ
<math display="block">k^2 + k'^2 = 1.</math>
<math display="block">k^2 + k'^2 = 1.</math>
दो अण्डाकार पारलौकिक को परिभाषित करें:<ref group="note"><math>\varphi^8(\tau)+\psi^8(\tau)=1</math> and <math>\psi(\tau)=\varphi(-1/\tau).</math> These functions are related to the [[Theta function|Jacobi theta functions]] by <math>\varphi^2(\tau)=\vartheta_{10}(0;\tau)/\vartheta_{00}(0;\tau)</math> and <math>\psi^2(\tau)=\vartheta_{01}(0;\tau)/\vartheta_{00}(0;\tau).</math></ref>
दो गोलाकार पारलौकिक को परिभाषित करता है:<ref group="note"><math>\varphi^8(\tau)+\psi^8(\tau)=1</math> and <math>\psi(\tau)=\varphi(-1/\tau).</math> These functions are related to the [[Theta function|Jacobi theta functions]] by <math>\varphi^2(\tau)=\vartheta_{10}(0;\tau)/\vartheta_{00}(0;\tau)</math> and <math>\psi^2(\tau)=\vartheta_{01}(0;\tau)/\vartheta_{00}(0;\tau).</math></ref>
<math display="block">\varphi(\tau) = \prod_{j=1}^\infty \tanh \frac{(2j-1)\pi i}{2\tau}=\sqrt{2}e^{\pi i\tau/8}\prod_{j=1}^\infty \frac{1+e^{2j\pi i\tau}}{1+e^{(2j-1)\pi i\tau}},\quad \operatorname{Im}\tau>0</math>
<math display="block">\varphi(\tau) = \prod_{j=1}^\infty \tanh \frac{(2j-1)\pi i}{2\tau}=\sqrt{2}e^{\pi i\tau/8}\prod_{j=1}^\infty \frac{1+e^{2j\pi i\tau}}{1+e^{(2j-1)\pi i\tau}},\quad \operatorname{Im}\tau>0</math>
<math display="block">\psi(\tau) = \prod_{j=1}^\infty \tanh \frac{(1-2j)\pi i\tau}{2},\quad\operatorname{Im}\tau>0</math>
<math display="block">\psi(\tau) = \prod_{j=1}^\infty \tanh \frac{(1-2j)\pi i\tau}{2},\quad\operatorname{Im}\tau>0</math>
Line 160: Line 161:
<math display="block">\varphi(\tau)=\sqrt{2}e^{\pi i\tau/8}\frac{\sum_{j\in\mathbb{Z}}e^{(2j^2+j)\pi i\tau}}{\sum_{j\in\mathbb{Z}}e^{j^2\pi i\tau}},\quad \operatorname{Im}\tau >0</math>
<math display="block">\varphi(\tau)=\sqrt{2}e^{\pi i\tau/8}\frac{\sum_{j\in\mathbb{Z}}e^{(2j^2+j)\pi i\tau}}{\sum_{j\in\mathbb{Z}}e^{j^2\pi i\tau}},\quad \operatorname{Im}\tau >0</math>
<math display="block">\psi(\tau)=\frac{\sum_{j\in\mathbb{Z}}(-1)^j e^{2j^2\pi i\tau}}{\sum_{j\in\mathbb{Z}}e^{j^2\pi i\tau}},\quad\operatorname{Im}\tau >0</math>
<math display="block">\psi(\tau)=\frac{\sum_{j\in\mathbb{Z}}(-1)^j e^{2j^2\pi i\tau}}{\sum_{j\in\mathbb{Z}}e^{j^2\pi i\tau}},\quad\operatorname{Im}\tau >0</math>
यदि n एक [[अभाज्य संख्या]] है, तो हम दो मानों को परिभाषित कर सकते हैं <math>u</math> और <math>v</math> निम्नलिखित नुसार:
यदि n एक [[अभाज्य संख्या]] है, तो हम दो मानों को परिभाषित कर सकते है <math>u</math> और <math>v</math> निम्नलिखित अनुसार है:
<math display="block">u = \varphi(n\tau)</math>
<math display="block">u = \varphi(n\tau)</math>
और
और
<math display="block">v = \varphi(\tau)</math>
<math display="block">v = \varphi(\tau)</math>
जब n एक विषम अभाज्य संख्या है, तो पैरामीटर <math>u</math> और <math>v</math> डिग्री n + 1 इंच के समीकरण से जुड़े हुए हैं <math>u</math>,<ref group="note">When ''n'' = 2, the parameters are linked by an equation of degree 8 in <math>u</math>.</ref> <math>\Omega_n(u,v)=0</math>, [[मॉड्यूलर समीकरण]] के रूप में जाना जाता है, जिसका n+1 मूल है <math>u</math> द्वारा दिया गया है:<ref>{{Cite book |last1=Borwein |first1=Jonathan M. |last2=Borwein| first2=Peter B. |title=Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity |publisher=Wiley-Interscience |year=1987 |edition=First |isbn=0-471-83138-7}} p. 126. Note that <math>\Omega_p(u,v)=\Omega_p(v,u)</math> if <math>p\equiv\pm 1\pmod 8</math>, and <math>\Omega_p(u,v) = -\Omega_p(v,-u)</math> if <math>p\equiv\pm 3\pmod 8</math>. There is a typo on the page: <math>k=0,2,\ldots, p-1</math> should be <math>k=0,1,2\ldots,p-1</math> instead.</ref><ref group="note">Some references define <math>u = \varphi(\tau)</math> and <math>v=\varphi(n\tau).</math> Then the modular equation is solved in <math>v</math> instead and has the roots <math>v = \varepsilon (n)\varphi(n\tau)</math> and <math>v = \varphi[(\tau+16m)/n].</math></ref>
जब n एक विषम अभाज्य संख्या है, तो पैरामीटर <math>u</math> और <math>v</math> डिग्री n + 1 इंच के समीकरण से जुड़े हुए है <math>u</math>,<ref group="note">When ''n'' = 2, the parameters are linked by an equation of degree 8 in <math>u</math>.</ref> <math>\Omega_n(u,v)=0</math>, [[मॉड्यूलर समीकरण]] के रूप में जाना जाता है, जिसका n+1 मूल है <math>u</math> द्वारा दिया गया है:<ref>{{Cite book |last1=Borwein |first1=Jonathan M. |last2=Borwein| first2=Peter B. |title=Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity |publisher=Wiley-Interscience |year=1987 |edition=First |isbn=0-471-83138-7}} p. 126. Note that <math>\Omega_p(u,v)=\Omega_p(v,u)</math> if <math>p\equiv\pm 1\pmod 8</math>, and <math>\Omega_p(u,v) = -\Omega_p(v,-u)</math> if <math>p\equiv\pm 3\pmod 8</math>. There is a typo on the page: <math>k=0,2,\ldots, p-1</math> should be <math>k=0,1,2\ldots,p-1</math> instead.</ref><ref group="note">Some references define <math>u = \varphi(\tau)</math> and <math>v=\varphi(n\tau).</math> Then the modular equation is solved in <math>v</math> instead and has the roots <math>v = \varepsilon (n)\varphi(n\tau)</math> and <math>v = \varphi[(\tau+16m)/n].</math></ref>
<math display="block">u=\varphi(n\tau)</math>
<math display="block">u=\varphi(n\tau)</math>
और
और
<math display="block">u=\varepsilon (n)\varphi\left(\frac{\tau + 16m}{n}\right)</math>
<math display="block">u=\varepsilon (n)\varphi\left(\frac{\tau + 16m}{n}\right)</math>
जहाँ <math>\varepsilon (n)</math> 1 या -1 है जो इस बात पर निर्भर करता है कि 2 एक द्विघात अवशेष है या नहीं, क्रमशः,<ref group="note">Equivalently, <math>\varepsilon (n) = (-1)^{(n^2-1)/8}</math> (by the [[Quadratic reciprocity|law of quadratic reciprocity]]).</ref> और <math>m\in\{0,1,\ldots,n-1\}</math>. n = 5 के लिए, हमारे पास मॉड्यूलर समीकरण है:<ref>{{Cite book |last1=Borwein |first1=Jonathan M. |last2=Borwein| first2=Peter B. |title=Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity |publisher=Wiley-Interscience |year=1987 |edition=First |isbn=0-471-83138-7 | page = 127}} The table gives <math>\begin{align}\Omega_5(u,v)=&-u^6+4u^5v^5-5u^4v^2+5u^2v^4\\&-4uv+v^6.\end{align}</math> Setting it equal to zero and multiplying by <math>-1</math> gives the equation in this article.</ref>
जहाँ <math>\varepsilon (n)</math> 1 या -1 है जो इस बात पर निर्भर करता है कि 2 एक द्विघात अवशेष है या नहीं है, क्रमशः,<ref group="note">Equivalently, <math>\varepsilon (n) = (-1)^{(n^2-1)/8}</math> (by the [[Quadratic reciprocity|law of quadratic reciprocity]]).</ref> और <math>m\in\{0,1,\ldots,n-1\}</math>. n = 5 के लिए, हमारे पास मॉड्यूलर समीकरण है:<ref>{{Cite book |last1=Borwein |first1=Jonathan M. |last2=Borwein| first2=Peter B. |title=Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity |publisher=Wiley-Interscience |year=1987 |edition=First |isbn=0-471-83138-7 | page = 127}} The table gives <math>\begin{align}\Omega_5(u,v)=&-u^6+4u^5v^5-5u^4v^2+5u^2v^4\\&-4uv+v^6.\end{align}</math> Setting it equal to zero and multiplying by <math>-1</math> gives the equation in this article.</ref>
<math display="block">\Omega_5(u,v) = 0 \iff u^6 - v^6 + 5u^2v^2(u^2-v^2)+4uv(1-u^4v^4)=0</math>
<math display="block">\Omega_5(u,v) = 0 \iff u^6 - v^6 + 5u^2v^2(u^2-v^2)+4uv(1-u^4v^4)=0</math>
छह जड़ों के साथ <math>u</math> जैसा कि उपर दिखाया गया है।
छह संख्याओं के साथ <math>u</math> जैसा कि उपर दिखाया गया है।


n = 5 के साथ मॉड्यूलर समीकरण मॉड्यूलर समीकरण की छह जड़ों के निम्नलिखित कार्य द्वारा लाओ-जेरार्ड पंचक से संबंधित हो सकता है (हर्माइट के सुर ला थ्योरी डेस इक्वेशन मॉड्यूलेयर्स एट ला रेज़ोल्यूशन डे ल'एक्वेशन डु सिन्क्विमे डिग्रे, पहला कारक गलत विधियाँ से दिया गया है <math>[\varphi(5\tau)+\varphi(\tau/5)]</math>):<ref>{{Cite book |last1=Borwein |first1=Jonathan M. |last2=Borwein| first2=Peter B. |title=Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity |publisher=Wiley-Interscience |year=1987 |edition=First |isbn=0-471-83138-7}} p. 135</ref>
n = 5 के साथ मॉड्यूलर समीकरण मॉड्यूलर समीकरण की छह संख्याओं के निम्नलिखित कार्य द्वारा जेरार्ड पांच स्वतंत्र गुणांक से संबंधित हो सकता है, पहला कारक गलत विधियाँ से दिया गया है <math>[\varphi(5\tau)+\varphi(\tau/5)]</math>:<ref>{{Cite book |last1=Borwein |first1=Jonathan M. |last2=Borwein| first2=Peter B. |title=Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity |publisher=Wiley-Interscience |year=1987 |edition=First |isbn=0-471-83138-7}} p. 135</ref>


<math display="block">\Phi(\tau) = \left[-\varphi(5\tau) - \varphi\left(\frac{\tau}{5}\right)\right]\left[\varphi\left(\frac{\tau+16}{5}\right) - \varphi\left(\frac{\tau + 64}{5}\right)\right]\left[\varphi\left(\frac{\tau+32}{5}\right) - \varphi\left(\frac{\tau + 48}{5}\right)\right]</math>
<math display="block">\Phi(\tau) = \left[-\varphi(5\tau) - \varphi\left(\frac{\tau}{5}\right)\right]\left[\varphi\left(\frac{\tau+16}{5}\right) - \varphi\left(\frac{\tau + 64}{5}\right)\right]\left[\varphi\left(\frac{\tau+32}{5}\right) - \varphi\left(\frac{\tau + 48}{5}\right)\right]</math>
Line 187: Line 188:
<math display="block">\Phi (\tau)=2\sqrt{10}e^{3\pi i\tau/40}(1+e^{\pi i\tau/5}-e^{2\pi i\tau/5}+e^{3\pi i\tau/5}-8e^{\pi i\tau}-9e^{6\pi i\tau/5}+8e^{7\pi i\tau/5}-9e^{8\pi i\tau/5}+\cdots)</math>
<math display="block">\Phi (\tau)=2\sqrt{10}e^{3\pi i\tau/40}(1+e^{\pi i\tau/5}-e^{2\pi i\tau/5}+e^{3\pi i\tau/5}-8e^{\pi i\tau}-9e^{6\pi i\tau/5}+8e^{7\pi i\tau/5}-9e^{8\pi i\tau/5}+\cdots)</math>
के संख्यात्मक मूल्यांकन के लिए उपयोगी है <math>\Phi (\tau)</math>. हर्मिट के अनुसार, का गुणांक <math>e^{n\pi i\tau/5}</math> विस्तार में प्रत्येक के लिए शून्य है <math>n\equiv 4\,(\operatorname{mod}5)</math>.<ref>Hermite's ''Sur la théorie des équations modulaires et la résolution de l'équation du cinquième degré'' (1859), p. 7</ref>
के संख्यात्मक मूल्यांकन के लिए उपयोगी है <math>\Phi (\tau)</math>. हर्मिट के अनुसार, का गुणांक <math>e^{n\pi i\tau/5}</math> विस्तार में प्रत्येक के लिए शून्य है <math>n\equiv 4\,(\operatorname{mod}5)</math>.<ref>Hermite's ''Sur la théorie des équations modulaires et la résolution de l'équation du cinquième degré'' (1859), p. 7</ref>
पाँच मात्राएँ <math>\Phi(\tau)</math>, <math>\Phi(\tau+16)</math>, <math>\Phi(\tau+32)</math>, <math>\Phi(\tau+48)</math>, <math>\Phi(\tau+64)</math> परिमेय गुणांक वाले पंचक समीकरण की जड़ें हैं <math>\varphi(\tau)</math>:<ref>{{Cite book |last1=Borwein |first1=Jonathan M. |last2=Borwein| first2=Peter B. |title=Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity |publisher=Wiley-Interscience |year=1987 |edition=First |isbn=0-471-83138-7}} p. 136</ref>
पाँच मात्राएँ <math>\Phi(\tau)</math>, <math>\Phi(\tau+16)</math>, <math>\Phi(\tau+32)</math>, <math>\Phi(\tau+48)</math>, <math>\Phi(\tau+64)</math> परिमेय गुणांक वाले पांच स्वतंत्र गुणांक समीकरण की संख्यायें है <math>\varphi(\tau)</math>:<ref>{{Cite book |last1=Borwein |first1=Jonathan M. |last2=Borwein| first2=Peter B. |title=Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity |publisher=Wiley-Interscience |year=1987 |edition=First |isbn=0-471-83138-7}} p. 136</ref>
<math display="block">\Phi^5 - 2000\varphi^4(\tau)\psi^{16}(\tau)\Phi - 64\sqrt{5^5}\varphi^3(\tau)\psi^{16}(\tau) \left[1 + \varphi^8(\tau)\right] = 0</math>
<math display="block">\Phi^5 - 2000\varphi^4(\tau)\psi^{16}(\tau)\Phi - 64\sqrt{5^5}\varphi^3(\tau)\psi^{16}(\tau) \left[1 + \varphi^8(\tau)\right] = 0</math>
जिसे प्रतिस्थापन द्वारा आसानी से लाओ-जेरार्ड रूप में परिवर्तित किया जा सकता है:
जिसे प्रतिस्थापन द्वारा आसानी से जेरार्ड रूप में परिवर्तित किया जा सकता है:
<math display="block">\Phi = 2\sqrt[4]{125}\varphi(\tau)\psi^4(\tau)x</math>
<math display="block">\Phi = 2\sqrt[4]{125}\varphi(\tau)\psi^4(\tau)x</math>
लाओ-जेरार्ड पंचक के लिए अग्रणी:
जेरार्ड पांच स्वतंत्र गुणांक के लिए अग्रणी है:
<math display="block">x^5 - x + a = 0</math>
<math display="block">x^5 - x + a = 0</math>
जहाँ
जहाँ
{{NumBlk||<math display="block">a = -\frac{2[1 + \varphi^8(\tau)]}{\sqrt[4]{5^5}\varphi^2(\tau)\psi^4(\tau)}</math>|{{EquationRef|<nowiki>*</nowiki>}}}}
{{NumBlk||<math display="block">a = -\frac{2[1 + \varphi^8(\tau)]}{\sqrt[4]{5^5}\varphi^2(\tau)\psi^4(\tau)}</math>|{{EquationRef|<nowiki>*</nowiki>}}}}


हर्मिट-क्रोनेकर-ब्रियोस्ची विधि तब के लिए एक मूल्य खोजने के बराबर है <math>\tau</math> जो के मान से मेल खाता है <math>a</math>, और फिर उस मान का उपयोग करना <math>\tau</math> इसी मॉड्यूलर समीकरण की जड़ें प्राप्त करने के लिए होता है। हम खोजने के लिए [[रूट-फाइंडिंग एल्गोरिदम]] का उपयोग कर सकते हैं <math>\tau</math> समीकरण से {{EquationNote|*|(*)}} (अर्थात एक व्युत्क्रम फलन सामान्यीकरण की गणना करता है <math>a</math>).
हर्मिट-क्रोनेकर-ब्रियोस्ची विधि तब के लिए एक मूल्य खोजने के बराबर है <math>\tau</math> जो के मान से मेल खाता है <math>a</math>, और फिर उस मान का उपयोग करना <math>\tau</math> इसी मॉड्यूलर समीकरण की संख्यायें प्राप्त करने के लिए होता है। हम खोजने के लिए [[रूट-फाइंडिंग एल्गोरिदम|संख्या-फाइंडिंग एल्गोरिदम]] का उपयोग कर सकते है <math>\tau</math> समीकरण से {{EquationNote|*|(*)}} (अर्थात एक व्युत्क्रम फलन सामान्यीकरण की गणना करता है <math>a</math>).


फिर लाओ-जेरार्ड पंचक की जड़ें इस प्रकार दी गई हैं:
फिर जेरार्ड पांच स्वतंत्र गुणांक की संख्यायें इस प्रकार दी गई है:
<math display="block">x_r = \frac{\Phi(\tau + 16r)}{2\sqrt[4]{125}\varphi(\tau)\psi^4(\tau)}</math>
<math display="block">x_r = \frac{\Phi(\tau + 16r)}{2\sqrt[4]{125}\varphi(\tau)\psi^4(\tau)}</math>
के लिए <math>r = 0, \ldots, 4</math>.
के लिए <math>r = 0, \ldots, 4</math>.
Line 215: Line 216:
{{NumBlk||<math display="block">k^4 + A^2k^3 + 2k^2 - A^2k + 1 = 0,</math>|{{EquationRef|<nowiki>**</nowiki>}}}}
{{NumBlk||<math display="block">k^4 + A^2k^3 + 2k^2 - A^2k + 1 = 0,</math>|{{EquationRef|<nowiki>**</nowiki>}}}}
<math display="block">A = \frac{a\sqrt[4]{5^5}}{2}.</math>
<math display="block">A = \frac{a\sqrt[4]{5^5}}{2}.</math>
समीकरण की जड़ें {{EquationNote|**|(**)}} हैं:
समीकरण की संख्यायें {{EquationNote|**|(**)}} है:
<math display="block">k = \tan \frac{\alpha}{4}, \tan \frac{\alpha+2\pi}{4}, \tan \frac{\pi - \alpha}{4}, \tan \frac{3\pi - \alpha}{4} </math>
<math display="block">k = \tan \frac{\alpha}{4}, \tan \frac{\alpha+2\pi}{4}, \tan \frac{\pi - \alpha}{4}, \tan \frac{3\pi - \alpha}{4} </math>
जहाँ <math>\sin \alpha = 4/A^2</math><ref name="Davis"/>(ध्यान दें कि कुछ महत्वपूर्ण संदर्भ गलत विधियाँ से इसे देते हैं <math>\sin \alpha = 1/(4A^2)</math><ref name="king"/><ref name="hermite"/>). इन जड़ों में से एक को अण्डाकार मापांक के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है <math>k</math>.
जहाँ <math>\sin \alpha = 4/A^2</math><ref name="Davis"/>(ध्यान दें कि कुछ महत्वपूर्ण संदर्भ गलत विधियाँ से इसे देते है <math>\sin \alpha = 1/(4A^2)</math><ref name="king"/><ref name="hermite"/>). इन संख्याओं में से एक को गोलाकार मापांक के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है <math>k</math>.


फिर लाओ-जेरार्ड पंचक की जड़ें इस प्रकार दी गई हैं:
फिर जेरार्ड पांच स्वतंत्र गुणांक की संख्यायें इस प्रकार दी गई है:
<math display="block">x_r = -s\frac{\Phi(\tau + 16r)}{2\sqrt[4]{125}\varphi(\tau)\psi^4(\tau)}</math>
<math display="block">x_r = -s\frac{\Phi(\tau + 16r)}{2\sqrt[4]{125}\varphi(\tau)\psi^4(\tau)}</math>
के लिए <math>r = 0, \ldots, 4</math>.
के लिए <math>r = 0, \ldots, 4</math>.


यह देखा जा सकता है कि यह प्रक्रिया नौवे रूट के सामान्यीकरण का उपयोग करती है, जिसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
यह देखा जा सकता है कि यह प्रक्रिया नौवे संख्या के सामान्यीकरण का उपयोग करता है, जिसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
<math display="block">\sqrt[n]{x} = \exp \left( {\frac{1}{n}\ln x} \right)</math>
<math display="block">\sqrt[n]{x} = \exp \left( {\frac{1}{n}\ln x} \right)</math>
या अधिक बिंदु तक, जैसा
या अधिक बिंदु तक है, जैसे
<math display="block">\sqrt[n]{x} = \exp \left(\frac{1}{n}\int^x_1\frac{dt}{t}\right)=\exp\left(\frac{1}{n} \exp^{-1} x\right). </math>
<math display="block">\sqrt[n]{x} = \exp \left(\frac{1}{n}\int^x_1\frac{dt}{t}\right)=\exp\left(\frac{1}{n} \exp^{-1} x\right). </math>
हर्मिट-क्रोनेकर-ब्रियोस्ची विधि अनिवार्य रूप से एक अण्डाकार पारलौकिक द्वारा घातांक को प्रतिस्थापित करती है, और अभिन्न <math display="inline">\int^x_1 dt/t</math> (या इसका उलटा <math>\exp</math> वास्तविक रेखा पर) एक दीर्घवृत्तीय समाकलन द्वारा (या दीर्घवृत्तीय पारलौकिक के आंशिक व्युत्क्रम द्वारा)। क्रोनेकर ने सोचा कि यह सामान्यीकरण और भी अधिक सामान्य प्रमेय का एक विशेष स्थिति थी। यह प्रमेय, जिसे थोमे के सूत्र के रूप में जाना जाता है, पूरी तरह से हिरोशी उमेमुरा द्वारा व्यक्त किया गया था<ref>
हर्मिट-क्रोनेकर-ब्रियोस्ची विधि अनिवार्य रूप से एक गोलाकार पारलौकिक द्वारा घातांक को प्रतिस्थापित करती है, और अभिन्न <math display="inline">\int^x_1 dt/t</math> (या इसका उलटा <math>\exp</math> वास्तविक रेखा पर) एक दीर्घवृत्तीय समाकलन द्वारा (या दीर्घवृत्तीय पारलौकिक के आंशिक व्युत्क्रम द्वारा)। क्रोनेकर ने सोचा कि यह सामान्यीकरण और भी अधिक सामान्य प्रमेय का एक विशेष स्थिति थी। यह प्रमेय, जिसे थोमे के सूत्र के रूप में जाना जाता है, पूरी तरह से हिरोशी उमेमुरा द्वारा व्यक्त किया गया था<ref>
{{cite book
{{cite book
  |last=Umemura |first=Hiroshi
  |last=Umemura |first=Hiroshi
Line 252: Line 253:
</ref> प्रपत्र के किसी भी त्रिपदीय समीकरण का हल खोजने के लिए इस लेख में पहले प्रस्तुत श्रृंखला पद्धति का सामान्यीकरण करता है:
</ref> प्रपत्र के किसी भी त्रिपदीय समीकरण का हल खोजने के लिए इस लेख में पहले प्रस्तुत श्रृंखला पद्धति का सामान्यीकरण करता है:
<math display="block">x^N - x + t=0 </math>
<math display="block">x^N - x + t=0 </math>
विशेष रूप से, जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, चिरनहॉस परिवर्तनों के उपयोग से पंचक समीकरण को इस रूप में कम किया जा सकता है। <math>x = \zeta^{-\frac{1}{N-1}}\,</math>, सामान्य रूप बन जाता है:
विशेष रूप से, जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, चिरनहॉस परिवर्तनों के उपयोग से पांच स्वतंत्र गुणांक समीकरण को इस रूप में कम किया जा सकता है। <math>x = \zeta^{-\frac{1}{N-1}}\,</math>, सामान्य रूप बन जाता है:
<math display="block">\zeta = e^{2\pi i} + t\phi(\zeta) </math>
<math display="block">\zeta = e^{2\pi i} + t\phi(\zeta) </math>
जहाँ
जहाँ
<math display="block">\phi(\zeta) = \zeta^{\frac{N}{N-1}} </math>
<math display="block">\phi(\zeta) = \zeta^{\frac{N}{N-1}} </math>
[[जोसेफ लुइस लाग्रेंज]] के कारण एक सूत्र में कहा गया है कि किसी भी विश्लेषणात्मक कार्य के लिए <math>f \,</math>के संदर्भ में रूपांतरित सामान्य समीकरण की जड़ के निकटतम में <math>\zeta \,</math>, ऊपर एक [[अनंत श्रृंखला]] के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
[[जोसेफ लुइस लाग्रेंज]] के कारण एक सूत्र में कहा गया है कि किसी भी विश्लेषणात्मक कार्य के लिए <math>f \,</math>के संदर्भ में रूपांतरित सामान्य समीकरण की संख्या के निकटतम में <math>\zeta \,</math>, ऊपर एक [[अनंत श्रृंखला]] के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
<math display="block">
<math display="block">
f(\zeta) = f(e^{2\pi i}) + \sum^\infty_{n=1} \frac{t^n}{n!}\frac{d^{n-1}}{da^{n-1}}[f'(a)|\phi(a)|^n]_{a = e^{2\pi i}}
f(\zeta) = f(e^{2\pi i}) + \sum^\infty_{n=1} \frac{t^n}{n!}\frac{d^{n-1}}{da^{n-1}}[f'(a)|\phi(a)|^n]_{a = e^{2\pi i}}
</math>
</math>
अगर हम जाने दें <math>f(\zeta) = \zeta^{-\frac{1}{N-1}}\,</math> इस सूत्र में, हम जड़ के साथ आ सकते हैं:
अगर हम जाने दें <math>f(\zeta) = \zeta^{-\frac{1}{N-1}}\,</math> इस सूत्र में, हम संख्या के साथ आ सकते है:
<math display="block">
<math display="block">
x_k = e^{-\frac{2k\pi i}{N -1}} - \frac{t}{N-1}\sum^\infty_{n=0}\frac{(te^{\frac{2k\pi i}{N-1}})^n}{\Gamma(n + 2)}\cdot \frac{\Gamma\left(\frac{Nn}{N-1} + 1\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{N-1} + 1\right)} </math>
x_k = e^{-\frac{2k\pi i}{N -1}} - \frac{t}{N-1}\sum^\infty_{n=0}\frac{(te^{\frac{2k\pi i}{N-1}})^n}{\Gamma(n + 2)}\cdot \frac{\Gamma\left(\frac{Nn}{N-1} + 1\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{N-1} + 1\right)} </math>
Line 288: Line 289:
\left(\frac{te^{\frac{2m\pi i}{N-1}} }{N-1}\right)^{N-1}N^N
\left(\frac{te^{\frac{2m\pi i}{N-1}} }{N-1}\right)^{N-1}N^N
\end{bmatrix}</math>
\end{bmatrix}</math>
और रूप के त्रिपद की जड़ें हैं
और रूप के त्रिपद की संख्यायें है
<math display="block">ax^N+bx^2 + c=0,N\equiv 1\pmod{2}</math>
<math display="block">ax^N+bx^2 + c=0,N\equiv 1\pmod{2}</math>
<math display="block">
<math display="block">
Line 340: Line 341:
\end{bmatrix},n=1,2,\cdots,N-2
\end{bmatrix},n=1,2,\cdots,N-2
\end{align}</math>
\end{align}</math>
इस प्रकार समीकरण के मूल को अधिकतम N − 1 अतिज्यामितीय कार्यों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इस विधि को कम किए गए लाओ-जेरार्ड पंचक पर लागू करते हुए, निम्नलिखित कार्यों को परिभाषित करा है:
इस प्रकार समीकरण के मूल को अधिकतम N − 1 अतिज्यामितीय कार्यों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इस विधि को कम किए गए जेरार्ड पांच स्वतंत्र गुणांक पर लागू करते हुए, निम्नलिखित कार्यों को परिभाषित करा है:
<math display="block">\begin{align}
<math display="block">\begin{align}
F_1(t) & = \,_4F_3\left(-\frac{1}{20}, \frac{3}{20}, \frac{7}{20}, \frac{11}{20}; \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}; \frac{3125t^4}{256}\right) \\[6pt]
F_1(t) & = \,_4F_3\left(-\frac{1}{20}, \frac{3}{20}, \frac{7}{20}, \frac{11}{20}; \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}; \frac{3125t^4}{256}\right) \\[6pt]
Line 347: Line 348:
F_4(t) & = \,_4F_3\left(\frac{7}{10}, \frac{9}{10}, \frac{11}{10}, \frac{13}{10}; \frac{5}{4}, \frac{3}{2}, \frac{7}{4}; \frac{3125t^4}{256}\right)
F_4(t) & = \,_4F_3\left(\frac{7}{10}, \frac{9}{10}, \frac{11}{10}, \frac{13}{10}; \frac{5}{4}, \frac{3}{2}, \frac{7}{4}; \frac{3125t^4}{256}\right)
\end{align}</math>
\end{align}</math>
जो अतिज्यामितीय कार्य हैं जो उपरोक्त श्रृंखला सूत्र में दिखाई देते हैं। पंचक की जड़ें इस प्रकार हैं:
जो अतिज्यामितीय कार्य है जो उपरोक्त श्रृंखला सूत्र में दिखाई देते है। पांच स्वतंत्र गुणांक की संख्यायें इस प्रकार है:
<math display="block">\begin{array}{rcrcccccc}
<math display="block">\begin{array}{rcrcccccc}
x_1 & = & {} -tF_2(t) \\[1ex]
x_1 & = & {} -tF_2(t) \\[1ex]
Line 376: Line 377:
  | volume = 5 | pages = 337–361
  | volume = 5 | pages = 337–361
}}
}}
</ref> 1860 में डिफरेंशियल इक्वेशन के माध्यम से पंचक को हल करने के लिए एक विधि विकसित की गई थी। वे जड़ों को गुणांकों के कार्य के रूप में मानते हैं, और इन समीकरणों के आधार पर एक विभेदक विलायक की गणना करते हैं। लाओ-जेरार्ड पंचक को एक समारोह के रूप में व्यक्त किया गया है:
</ref> 1860 में डिफरेंशियल इक्वेशन के माध्यम से पांच स्वतंत्र गुणांक को हल करने के लिए एक विधि विकसित की गई थी। वे संख्याओं को गुणांकों के कार्य के रूप में मानते है, और इन समीकरणों के आधार पर एक विभेदक विलायक की गणना करते है। जेरार्ड पांच स्वतंत्र गुणांक को एक समारोह के रूप में व्यक्त किया गया है:
<math display="block">f(x) = x^5 - x + a</math>
<math display="block">f(x) = x^5 - x + a</math>
और एक समारोह <math>\,\phi(a)\,</math> इस प्रकार निर्धारित किया जाना है कि:
और एक समारोह <math>\,\phi(a)\,</math> इस प्रकार निर्धारित किया जाना है कि:
<math display="block">f[\phi(a)] = 0</math>
<math display="block">f[\phi(a)] = 0</math>
कार्यक्रम <math>\phi</math> निम्नलिखित चार अंतर समीकरणों को भी पूरा करना चाहिए:
कार्यक्रम <math>\phi</math> निम्नलिखित चार अंतर समीकरणों को भी पूरा करता है:
<math display="block">\begin{align}
<math display="block">\begin{align}
\frac{d f[\phi(a)]}{da} = 0 \\[6pt]
\frac{d f[\phi(a)]}{da} = 0 \\[6pt]
Line 387: Line 388:
\frac{d^4 f[\phi(a)]}{da^4} = 0
\frac{d^4 f[\phi(a)]}{da^4} = 0
\end{align}</math>
\end{align}</math>
इनका विस्तार करना और उन्हें एक साथ मिलाने से डिफरेंशियल रिज़ॉल्वेंट प्राप्त होता है:
इनका विस्तार करना और उन्हें एक साथ मिलाने से अंतर समाधान प्राप्त होता है:
<math display="block">
<math display="block">
\frac{(256 - 3125a^4)}{1155}\frac{d^4\phi}{da^4} - \frac{6250a^3}{231}\frac{d^3\phi}{da^3} - \frac{4875a^2}{77} \frac{d^2\phi}{da^2} - \frac{2125a}{77}\frac{d\phi}{da} + \phi = 0
\frac{(256 - 3125a^4)}{1155}\frac{d^4\phi}{da^4} - \frac{6250a^3}{231}\frac{d^3\phi}{da^3} - \frac{4875a^2}{77} \frac{d^2\phi}{da^2} - \frac{2125a}{77}\frac{d\phi}{da} + \phi = 0
</math>
</math>
विभेदक विलायक का समाधान, चौथा क्रम साधारण अंतर समीकरण होने के कारण, एकीकरण के चार स्थिरांक पर निर्भर करता है, जिसे चुना जाना चाहिए ताकि मूल पंचक को संतुष्ट किया जा सके। यह अतिज्यामितीय प्रकार का फुकशियन साधारण अवकल समीकरण होता है,<ref>
विभेदक विलायक का समाधान, चौथा क्रम साधारण अंतर समीकरण होने के कारण, एकीकरण के चार स्थिरांक पर निर्भर करता है, जिसे चुना जाना चाहिए ताकि मूल पांच स्वतंत्र गुणांक को संतुष्ट किया सकता है। यह अतिज्यामितीय प्रकार का फुकशियन साधारण अवकल समीकरण होता है,<ref>
{{cite book
{{cite book
  | last = Slater | first = Lucy Joan
  | last = Slater | first = Lucy Joan
Line 404: Line 405:
</ref> जिसका समाधान ऊपर ग्लासर की व्युत्पत्ति में उत्पन्न हाइपरज्यामितीय कार्यों की श्रृंखला के समान होता है।<ref name="drociuk"/>
</ref> जिसका समाधान ऊपर ग्लासर की व्युत्पत्ति में उत्पन्न हाइपरज्यामितीय कार्यों की श्रृंखला के समान होता है।<ref name="drociuk"/>


इस विधि को मनमाने ढंग से उच्च डिग्री के समीकरणों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, विभेदक रिज़ॉल्वेंट के साथ जो आंशिक अंतर समीकरण हैं, जिनके समाधान में कई चर के हाइपरज्यामितीय कार्य सम्मलित हैं।<ref>
इस विधि को मनमाने ढंग से उच्च डिग्री के समीकरणों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, विभेदक समाधान के साथ जो आंशिक अंतर समीकरण है, जिनके समाधान में कई चर के हाइपरज्यामितीय कार्य सम्मलित है।<ref>
{{cite journal
{{cite journal
  | last = Birkeland | first = Richard
  | last = Birkeland | first = Richard
Line 457: Line 458:
  | url = http://www.math.harvard.edu/~ctm/papers/home/text/papers/icos/icos.pdf
  | url = http://www.math.harvard.edu/~ctm/papers/home/text/papers/icos/icos.pdf
}}
}}
</ref> जो ब्रियोस्की सामान्य रूप में एक पंचक को हल करता है:
</ref> जो ब्रियोस्की सामान्य रूप में एक पांच स्वतंत्र गुणांक को हल करता है:
<math display="block">x^5 - 10Cx^3 + 45C^2x - C^2 = 0.</math>
<math display="block">x^5 - 10Cx^3 + 45C^2x - C^2 = 0.</math>
पुनरावृत्ति एल्गोरिथ्म निम्नानुसार आगे बढ़ता है:
पुनरावृत्ति एल्गोरिथ्म निम्नानुसार आगे बढ़ता है:
Line 463: Line 464:
# तय करना <math>Z = 1 - 1728C</math>
# तय करना <math>Z = 1 - 1728C</math>
# तर्कसंगत कार्य की गणना करें <math display="block">T_Z(w) = w - 12\frac{g(Z,w)}{g'(Z,w)}</math> जहाँ <math>g(Z,w)</math> नीचे दिया गया एक बहुपद फलन है, और <math>g'</math> का व्युत्पन्न है <math>g(Z,w)</math> इसके संबंध में <math>w</math>
# तर्कसंगत कार्य की गणना करें <math display="block">T_Z(w) = w - 12\frac{g(Z,w)}{g'(Z,w)}</math> जहाँ <math>g(Z,w)</math> नीचे दिया गया एक बहुपद फलन है, और <math>g'</math> का व्युत्पन्न है <math>g(Z,w)</math> इसके संबंध में <math>w</math>
# पुनरावृति <math>T_Z[T_Z(w)]</math> एक यादृच्छिक प्रारंभिक अनुमान पर जब तक यह अभिसरण नहीं हो जाता है। [[अनुक्रम की सीमा]] को बुलाओ <math>w_1</math> और जाने <math>w_2 = T_Z(w_1)\,</math>.
# पुनरावृति <math>T_Z[T_Z(w)]</math> एक यादृच्छिक प्रारंभिक अनुमान पर जब तक यह अभिसरण नहीं हो जाता है। [[अनुक्रम की सीमा]] को बुब्रिंग <math>w_1</math> और जाने <math>w_2 = T_Z(w_1)\,</math>.
# गणना करें <math display="block">\mu_i = \frac{100Z(Z-1)h(Z,w_i)}{g(Z, w_i)}</math> जहाँ <math>h(Z,w)</math> नीचे दिया गया एक बहुपद फलन है। यह दोनों के लिए करें <math>w_1\,</math> और <math>w_2 = T_Z(w_1)\,</math>.
# गणना करें <math display="block">\mu_i = \frac{100Z(Z-1)h(Z,w_i)}{g(Z, w_i)}</math> जहाँ <math>h(Z,w)</math> नीचे दिया गया एक बहुपद फलन है। यह दोनों के लिए करें <math>w_1\,</math> और <math>w_2 = T_Z(w_1)\,</math>.
# अंत में, गणना करें <math display="block">x_i = \frac{(9 + \sqrt{15}i) \mu_i + (9 - \sqrt{15}i)\mu_{3-i}}{90}</math> के लिए {{math|1=''i'' = 1, 2}}. ये ब्रियोस्की क्विंटिक की दो जड़ें हैं।
# अंत में, गणना करें <math display="block">x_i = \frac{(9 + \sqrt{15}i) \mu_i + (9 - \sqrt{15}i)\mu_{3-i}}{90}</math> के लिए {{math|1=''i'' = 1, 2}}. ये ब्रियोस्की क्विंटिक की दो संख्यायें है।


दो बहुपद कार्य <math>g(Z,w)\,</math> और <math>h(Z,w)\,</math> निम्नानुसार हैं:
दो बहुपद कार्य <math>g(Z,w)\,</math> और <math>h(Z,w)\,</math> निम्नानुसार है:
<math display="block">\begin{align}
<math display="block">\begin{align}
g(Z,w) = {} & 91125Z^6 \\
g(Z,w) = {} & 91125Z^6 \\
Line 482: Line 483:
& {} + w^9
& {} + w^9
\end{align}</math>
\end{align}</math>
यह पुनरावृति विधि पंचक की दो जड़ें उत्पन्न करती है। दो जड़ों को विभाजित करने के लिए [[सिंथेटिक विभाजन]] का उपयोग करके शेष तीन जड़ें प्राप्त की जा सकती हैं, जिससे एक घन समीकरण का निर्माण होता है। जिस तरह से पुनरावृति तैयार की जाती है, उसके कारण यह विधि हमेशा पंचक की दो जटिल संयुग्मी जड़ें ढूंढती है, भले ही सभी पंचक गुणांक वास्तविक हों और शुरुआती अनुमान वास्तविक हो, यह पुनरावृति विधि [[विंशतिफलक]] की समरूपता से ली गई है और फेलिक्स क्लेन ने अपनी पुस्तक में वर्णित विधि निकटता से संबंधित है।<ref name="klein"/>
यह पुनरावृति विधि पांच स्वतंत्र गुणांक की दो संख्यायें उत्पन्न करती है। दो संख्याओं को विभाजित करने के लिए [[सिंथेटिक विभाजन]] का उपयोग करके शेष तीन संख्यायें प्राप्त की जा सकती है, जिससे एक घन समीकरण का निर्माण होता है। जिस तरह से पुनरावृति तैयार की जाती है, उसके कारण यह विधि हमेशा पांच स्वतंत्र गुणांक की दो कठिन संयुग्मी संख्यायें खोजती है, भले ही सभी पांच स्वतंत्र गुणांक गुणांक वास्तविक हों और प्रारंभिक अनुमान वास्तविक हो, यह पुनरावृति विधि [[विंशतिफलक]] की समरूपता से ली गई है और फेलिक्स क्लेन ने अपनी पुस्तक में वर्णित विधि को निकटता से संबंधित किया है।<ref name="klein"/>
== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
*[[समीकरणों का सिद्धांत]]
*[[समीकरणों का सिद्धांत]]
Line 537: Line 538:
*{{MathWorld |urlname=Ultraradical |title=Ultraradical}}
*{{MathWorld |urlname=Ultraradical |title=Ultraradical}}


{{DEFAULTSORT:Bring Radical}}[[Category: समीकरण]] [[Category: बहुपदों]] [[Category: विशेष कार्य]]
{{DEFAULTSORT:Bring Radical}}
 
 


[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:All articles with dead external links]]
[[Category:Created On 03/03/2023]]
[[Category:Articles with dead external links from July 2017]]
[[Category:Articles with permanently dead external links]]
[[Category:CS1 Deutsch-language sources (de)]]
[[Category:CS1 English-language sources (en)]]
[[Category:CS1 maint]]
[[Category:Created On 03/03/2023|Bring Radical]]
[[Category:Lua-based templates|Bring Radical]]
[[Category:Machine Translated Page|Bring Radical]]
[[Category:Multi-column templates|Bring Radical]]
[[Category:Pages using div col with small parameter|Bring Radical]]
[[Category:Pages with script errors|Bring Radical]]
[[Category:Short description with empty Wikidata description|Bring Radical]]
[[Category:Templates Vigyan Ready|Bring Radical]]
[[Category:Templates that add a tracking category|Bring Radical]]
[[Category:Templates that generate short descriptions|Bring Radical]]
[[Category:Templates using TemplateData|Bring Radical]]
[[Category:Templates using under-protected Lua modules|Bring Radical]]
[[Category:Wikipedia fully protected templates|Div col]]
[[Category:बहुपदों|Bring Radical]]
[[Category:विशेष कार्य|Bring Radical]]
[[Category:समीकरण|Bring Radical]]

Latest revision as of 10:54, 11 April 2023

वास्तविक तर्क के लिए विलक्षण ब्रिंग का प्लॉट

बीजगणित में, वास्तविक संख्या a विलक्षण, बहुपद का अद्वितीय वास्तविक मूल होता है।

एक सम्मिश्र संख्या a का विलक्षण या तो उपरोक्त बहुपद की पाँच संख्याओं में से कोई भी हो सकता है (यह इस प्रकार बहु-मूल्यवान है), या एक विशिष्ट संख्या, जिसे सामान्यतः इस तरह चुना जाता है कि विलक्षण वास्तविक a के लिए वास्तविक-मूल्यवान होता है और वास्तविक रेखा के निकटतम में एक विश्लेषणात्मक कार्य होता है। चार शाखा बिंदुओं के अस्तित्व के कारण, विलक्षण को एक ऐसे फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित नहीं किया जा सकता है, और इसकी निरंतरता के डोमेन को चार शाखा कटौती को बाहर करता है।


जॉर्ज जेरार्ड ने दिखाया कि कुछ पांच स्वतंत्र गुणांक समीकरण नौवे संख्या और विलक्षण्स का उपयोग करके बंद रूप अभिव्यक्ति हो सकते है, जिसे एरलैंड सैमुअल ब्रिंग द्वारा प्रस्तुत किया गया था।

इस लेख में, विलक्षण ऑफ ए को निरूपित किया गया है वास्तविक तर्क के लिए, यह स्पर्शोन्मुख व्यवहार के साथ विषम, नीरस रूप से घटता हुआ और असीम है बड़े के लिए .

सामान्य रूप

पांच स्वतंत्र गुणांकों के साथ अपने सबसे सामान्य रूप में सीधे समाधान प्राप्त करने के लिए पांच स्वतंत्र गुणांक समीकरण जबकि कठिन है:

पांच स्वतंत्र गुणांक को हल करने के लिए विकसित किए गए विभिन्न विधियाँ सामान्यतः स्वतंत्र गुणांकों की संख्या को कम करने के लिए चिरनहॉस परिवर्तन का उपयोग करके पांच स्वतंत्र गुणांक को सरल बनाने का प्रयास करते है।

मूल पांच स्वतंत्र गुणांक रूप

क्वार्टिक और क्यूबिक शर्तों को हटाकर सामान्य पांच स्वतंत्र गुणांक को प्रिंसिपल पांच स्वतंत्र गुणांक फॉर्म के रूप में जाना जाता है:

यदि एक सामान्य पांच स्वतंत्र गुणांक और एक प्रमुख पांच स्वतंत्र गुणांक की संख्यायें द्विघात चिरनहॉस परिवर्तन से संबंधित है
गुणांक α और β परिणामी का उपयोग करके, या शक्ति योग सममित बहुपद और न्यूटन की पहचान के माध्यम से निर्धारित किया जा सकता है। यह α और β में समीकरणों की एक प्रणाली की ओर जाता है जिसमें एक द्विघात और एक रेखीय समीकरण होता है, और समाधान के दो सेटों में से किसी एक का उपयोग प्रिंसिपल पांच स्वतंत्र गुणांक फॉर्म के संबंधित तीन गुणांक प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है।[1]

फेलिक्स क्लेन के पांच स्वतंत्र गुणांक के समाधान द्वारा इस फॉर्म का उपयोग किया जाता है।[2]

जेरार्ड सामान्य रूप

जेरार्ड सामान्य रूप का निर्माण करते हुए, पांच स्वतंत्र गुणांक को और भी सरल बनाना और द्विघात शब्द को समाप्त करना संभव है:

क्यूबिक परिवर्तन के साथ फिर से शक्ति-योग सूत्रों का उपयोग करना, जैसा कि चिरनहॉस ने कोशिश की, काम नहीं करता है, क्योंकि समीकरणों की परिणामी प्रणाली के परिणामस्वरूप छठी-डिग्री समीकरण होती है। लेकिन 1796 में ब्रिंग ने जेरार्ड पांच स्वतंत्र गुणांक के मूल पांच स्वतंत्र गुणांक की संख्याओं से संबंधित करने के लिए एक क्वार्टिक चिरनहॉस परिवर्तन का उपयोग करके इसके चारों ओर एक रास्ता खोजा:
इसे चौथे क्रम के परिवर्तन द्वारा प्रदान किया गया अतिरिक्त पैरामीटर अन्य मापदंडों की डिग्री को कम करने के लिए ब्रिंग को अनुमति देता है। यह छह अज्ञात में पाँच समीकरणों की एक प्रणाली की ओर जाता है, जिसके लिए एक घन और एक द्विघात समीकरण के समाधान की आवश्यकता होती है। इस पद्धति की खोज भी जॉर्ज जेरार्ड ने 1852 में की थी।[3] लेकिन यह संभावना है कि वह इस क्षेत्र में ब्रिंग के पिछले काम से अनजान थे।[1](pp92–93) गणित जैसे कंप्यूटर बीजगणित पैकेज का उपयोग करके पूर्ण परिवर्तन आसानी से पूरा किया जा सकता है[4] या मेपल (सॉफ्टवेयर)[5] जैसा कि इन परिवर्तनों की कठिनता से उम्मीद की जा सकती है, परिणामी भाव बहुत अधिक हो सकते है, खासकर जब कम डिग्री समीकरणों के लिए विलक्षण में समाधान की तुलना में, प्रतीकात्मक गुणांक के साथ एक सामान्य पांच स्वतंत्र गुणांक के लिए कई मेगाबाइट भंडारण लेते है।[4]

इसे एक बीजगणितीय कार्य के रूप में माना जाता है, इसके समाधान है

इसमें दो चर सम्मलित है, डी1 और डी0, चूँकि, कमी वास्तव में एक चर के बीजगणितीय कार्य के लिए है, जो विलक्षण में एक समाधान के समान है, क्योंकि हम जेरार्ड फॉर्म को और कम कर सकते है। यदि हम उदाहरण के लिए सेट करते है
फिर हम समीकरण को रूप में कम करते है
जिसमें एक एकल चर के बीजगणितीय कार्य के रूप में z सम्मलित है , जहाँ . इस फॉर्म की आवश्यकता हरमाइट-क्रोनेकर-ब्रियोस्ची विधि, ग्लासर की विधि और नीचे वर्णित अंतर समाधान की कॉकल-हार्ले विधि द्वारा आवश्यक है।

सेट करके एक वैकल्पिक रूप प्राप्त किया जाता है ताकि जहाँ . इस फॉर्म का इस्तेमाल नीचे विलक्षण को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।

ब्रियोस्ची सामान्य रूप

पांच स्वतंत्र गुणांक समीकरण के लिए एक और एक-पैरामीटर सामान्य रूप है, जिसे ब्रियोस्ची सामान्य रूप के रूप में जाना जाता है

जिसे तर्कसंगत चिरनहॉस रूपांतरण का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है
एक ब्रियोस्की पांच स्वतंत्र गुणांक के लिए एक सामान्य पांच स्वतंत्र गुणांक की संख्याओं से संबंधित करता है। मापदंडों का मान और रीमैन क्षेत्र पर बहुफलकीय समारोह का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, और आईकोसाहेड्रल समरूपता के एक वस्तु के विभाजन से संबंधित होता है जो टेट्राहेड्रल समरूपता की पांच वस्तुओं में होता है।[6] यह चिरनहॉस परिवर्तन एक प्रमुख पांच स्वतंत्र गुणांक को जेरार्ड रूप में बदलने के लिए उपयोग किए जाने वाले कठिन की तुलना में सरल होती है। इस सामान्य रूप का उपयोग डॉयल-मैकमुलेन पुनरावृति विधि और कीपर्ट विधि द्वारा किया जाता है।

श्रृंखला प्रतिनिधित्व

विलक्षण्स के लिए एक टेलर श्रृंखला, साथ ही सामान्यीकृत हाइपरज्यामितीय कार्यों के संदर्भ में एक प्रतिनिधित्व निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है। समीकरण के रूप में पुनः लिखा जा सकता है व्यवस्थित करके वांछित समाधान है तब से होता है।

के लिए श्रृंखला इसके बाद टेलर श्रृंखला के लैग्रेंज उलटा प्रमेय द्वारा प्राप्त किया जा सकता है (जो सरल है ), देता है

जहां पूर्णांक अनुक्रमों के ऑन-लाइन विश्वकोश में गुणांकों के निरपेक्ष मान अनुक्रम OEIS:A002294 बनाते है। श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या है

हाइपरज्यामितीय समारोह फॉर्म में, विलक्षण को इस रूप में लिखा जा सकता है[4]

ग्लासर की व्युत्पत्ति और अंतर समाधान की विधि में नीचे उत्पन्न होने वाले हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शंस के साथ तुलना करना रोचक हो सकता है।

सामान्य पांच स्वतंत्र गुणांक का समाधान

बहुपद की संख्यायें

विलक्षण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
और इसके चार कठिन संयुग्म है। हल करने योग्य बहुपद समीकरणों के संदर्भ में अब समस्या को जेरार्ड रूप में कम कर दिया गया है, और संख्याओं में बहुपद अभिव्यक्तियों को सम्मलित करने वाले परिवर्तनों का उपयोग केवल चौथी डिग्री तक किया जाता है, जिसका अर्थ है कि बहुपद की संख्याओं को खोजने के द्वारा परिवर्तन को उलटा किया जा सकता है। यह प्रक्रिया बाहरी समाधान देती है, लेकिन जब संख्यात्मक विधियों से सही पाया जाता है, तो पांच स्वतंत्र गुणांक की संख्याओं को वर्गमूल, घनमूल और विलक्षण के रूप में लिखा जा सकता है, जो कि बीजगणितीय के संदर्भ में एक बीजगणितीय समाधान है। एकल चर के कार्य (मोटे तौर पर विलक्षण्स को सम्मलित करने के लिए परिभाषित) सामान्य पांच स्वतंत्र गुणांक का एक बीजगणितीय समाधान है।

अन्य लक्षण वर्णन

ब्रिंग रैडिकल के कई अन्य लक्षण विकसित किए गए है, जिनमें से पहला 1858 में चार्ल्स हर्मिट द्वारा गोलाकार ट्रांसेंडेंट (गोलाकार और मॉड्यूलर कार्यों से संबंधित) के संदर्भ में है, और बाद में अन्य गणितज्ञों द्वारा विकसित किए गए विधियाँ है।

हर्मिट-क्रोनेकर-ब्रियोस्ची लक्षण वर्णन

1858 में, चार्ल्स हर्मिट[7] ने "एलिप्टिक ट्रांसेंडेंट्स" के संदर्भ में सामान्य पांच स्वतंत्र गुणांक समीकरण का पहला ज्ञात समाधान प्रकाशित किया, और लगभग उसी समय फ्रांसेस्को ब्रियोस्की[8] और लियोपोल्ड क्रोनकर[9] समकक्ष समाधानों पर आए। हर्मिट त्रिकोणमितीय कार्यों के संदर्भ में क्यूबिक समीकरण के प्रसिद्ध समाधान को सामान्यीकृत करके इस समाधान पर पहुंचे और जेरार्ड रूप में पांच स्वतंत्र गुणांक का समाधान खोजते है:

जिसमें दिखाया गया है कि चिरनहॉस परिवर्तनों के माध्यम से किसी भी पांच स्वतंत्र गुणांक समीकरण को कम किया जा सकता है। उन्होंने देखा कि गोलाकार कार्यों की जेरार्ड पांच स्वतंत्र गुणांक के समाधान में खेलने के लिए एक समान भूमिका थी क्योंकि क्यूबिक के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों के पास था। इसके लिए और उन्हें गोलाकार अभिन्न के रूप में लिखें पहली तरह का पूर्ण गोलाकार अभिन्न:
जहाँ
दो गोलाकार पारलौकिक को परिभाषित करता है:[note 1]
उन्हें समान रूप से अनंत श्रृंखला द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:
यदि n एक अभाज्य संख्या है, तो हम दो मानों को परिभाषित कर सकते है और निम्नलिखित अनुसार है:
और
जब n एक विषम अभाज्य संख्या है, तो पैरामीटर और डिग्री n + 1 इंच के समीकरण से जुड़े हुए है ,[note 2] , मॉड्यूलर समीकरण के रूप में जाना जाता है, जिसका n+1 मूल है द्वारा दिया गया है:[10][note 3]
और
जहाँ 1 या -1 है जो इस बात पर निर्भर करता है कि 2 एक द्विघात अवशेष है या नहीं है, क्रमशः,[note 4] और . n = 5 के लिए, हमारे पास मॉड्यूलर समीकरण है:[11]
छह संख्याओं के साथ जैसा कि उपर दिखाया गया है।

n = 5 के साथ मॉड्यूलर समीकरण मॉड्यूलर समीकरण की छह संख्याओं के निम्नलिखित कार्य द्वारा जेरार्ड पांच स्वतंत्र गुणांक से संबंधित हो सकता है, पहला कारक गलत विधियाँ से दिया गया है :[12]

वैकल्पिक रूप से, सूत्र[13]
के संख्यात्मक मूल्यांकन के लिए उपयोगी है . हर्मिट के अनुसार, का गुणांक विस्तार में प्रत्येक के लिए शून्य है .[14] पाँच मात्राएँ , , , , परिमेय गुणांक वाले पांच स्वतंत्र गुणांक समीकरण की संख्यायें है :[15]
जिसे प्रतिस्थापन द्वारा आसानी से जेरार्ड रूप में परिवर्तित किया जा सकता है:
जेरार्ड पांच स्वतंत्र गुणांक के लिए अग्रणी है:
जहाँ

 

 

 

 

(*)

हर्मिट-क्रोनेकर-ब्रियोस्ची विधि तब के लिए एक मूल्य खोजने के बराबर है जो के मान से मेल खाता है , और फिर उस मान का उपयोग करना इसी मॉड्यूलर समीकरण की संख्यायें प्राप्त करने के लिए होता है। हम खोजने के लिए संख्या-फाइंडिंग एल्गोरिदम का उपयोग कर सकते है समीकरण से (*) (अर्थात एक व्युत्क्रम फलन सामान्यीकरण की गणना करता है ).

फिर जेरार्ड पांच स्वतंत्र गुणांक की संख्यायें इस प्रकार दी गई है:

के लिए .

एक वैकल्पिक, अभिन्न, दृष्टिकोण निम्नलिखित है:

विचार करना जहाँ तब

का समाधान है
जहाँ

 

 

 

 

(**)

समीकरण की संख्यायें (**) है:
जहाँ [13](ध्यान दें कि कुछ महत्वपूर्ण संदर्भ गलत विधियाँ से इसे देते है [6][7]). इन संख्याओं में से एक को गोलाकार मापांक के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है .

फिर जेरार्ड पांच स्वतंत्र गुणांक की संख्यायें इस प्रकार दी गई है:

के लिए .

यह देखा जा सकता है कि यह प्रक्रिया नौवे संख्या के सामान्यीकरण का उपयोग करता है, जिसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

या अधिक बिंदु तक है, जैसे
हर्मिट-क्रोनेकर-ब्रियोस्ची विधि अनिवार्य रूप से एक गोलाकार पारलौकिक द्वारा घातांक को प्रतिस्थापित करती है, और अभिन्न (या इसका उलटा वास्तविक रेखा पर) एक दीर्घवृत्तीय समाकलन द्वारा (या दीर्घवृत्तीय पारलौकिक के आंशिक व्युत्क्रम द्वारा)। क्रोनेकर ने सोचा कि यह सामान्यीकरण और भी अधिक सामान्य प्रमेय का एक विशेष स्थिति थी। यह प्रमेय, जिसे थोमे के सूत्र के रूप में जाना जाता है, पूरी तरह से हिरोशी उमेमुरा द्वारा व्यक्त किया गया था[16] 1984 में, जिन्होंने एक्सपोनेंशियल/एलिप्टिक ट्रांसेंडेंट के स्थान पर सील मॉड्यूलर रूप का इस्तेमाल किया और इंटीग्रल को हाइपरेलिप्टिक इंटीग्रल से बदल दिया था।

ग्लासर की व्युत्पत्ति

एम एल ग्लासर के कारण यह व्युत्पत्ति[17] प्रपत्र के किसी भी त्रिपदीय समीकरण का हल खोजने के लिए इस लेख में पहले प्रस्तुत श्रृंखला पद्धति का सामान्यीकरण करता है:

विशेष रूप से, जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, चिरनहॉस परिवर्तनों के उपयोग से पांच स्वतंत्र गुणांक समीकरण को इस रूप में कम किया जा सकता है। , सामान्य रूप बन जाता है:
जहाँ
जोसेफ लुइस लाग्रेंज के कारण एक सूत्र में कहा गया है कि किसी भी विश्लेषणात्मक कार्य के लिए के संदर्भ में रूपांतरित सामान्य समीकरण की संख्या के निकटतम में , ऊपर एक अनंत श्रृंखला के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
अगर हम जाने दें इस सूत्र में, हम संख्या के साथ आ सकते है:
गॉस गुणन प्रमेय के उपयोग से ऊपर की अनंत श्रृंखला को अतिज्यामितीय कार्यों की एक परिमित श्रृंखला में तोड़ा जा सकता है:

और रूप के त्रिपद की संख्यायें है