4-मैनिफोल्ड: Difference between revisions

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गणित में, 4-मनिफोल्ड एक 4-आयामी [[टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड|सामयिक मनिफोल्ड]] है। एक सुचारु 4-मनिफोल्ड एक [[चिकनी संरचना|सुचारु संरचना]] के साथ 4-मनिफोल्ड है। आयाम चार में, निचले आयामों के साथ स्पष्ट विपरीतता में, सामयिक और सुचारु मनिफोल्ड  अत्यधिक अलग हैं। कुछ सामयिक 4-मनिफोल्ड  स्थित हैं जो कोई सुचारु संरचना स्वीकार नहीं करते हैं, और यहां तक ​​​​कि यदि कोई सुचारु संरचना स्थित है, तो यह अद्वितीय नहीं होना चाहिए (अर्थात सुचारु 4-मनिफोल्ड हैं जो [[होमियोमॉर्फिक]] हैं परन्तु [[ डिफियोमॉर्फिक ]] नहीं हैं)।
गणित में, 4-मैनिफोल्ड एक 4-आयामी [[टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड|सामयिक मैनिफोल्ड]] है। एक सुचारु 4-मैनिफोल्ड एक [[चिकनी संरचना|सुचारु संरचना]] के साथ 4-मैनिफोल्ड है। आयाम चार में, निम्नआयामों के साथ स्पष्ट विपरीतता में, सामयिक और सुचारु मैनिफोल्ड अत्यधिक अलग हैं। कुछ सामयिक 4-मैनिफोल्ड स्थित हैं जो कोई सुचारु संरचना स्वीकार नहीं करते हैं, और यहां तक ​​​​कि यदि कोई सुचारु संरचना स्थित है, तो यह अद्वितीय नहीं होना चाहिए(अर्थात सुचारु 4-मैनिफोल्ड हैं जो [[होमियोमॉर्फिक]] हैं परन्तु [[ डिफियोमॉर्फिक |डिफियोमॉर्फिक]] नहीं हैं)।


भौतिकी में 4-मनिफोल्ड महत्वपूर्ण हैं क्योंकि [[सामान्य सापेक्षता]] में, अंतरिक्ष-समय को [[छद्म-रीमैनियन]] 4-मनिफोल्ड के रूप में प्रतिरूपित किया जाता है।
भौतिकी में 4-मैनिफोल्ड महत्वपूर्ण हैं क्योंकि [[सामान्य सापेक्षता]] में, अंतरिक्ष-समय को [[छद्म-रीमैनियन]] 4-मैनिफोल्ड के रूप में प्रतिरूपित किया जाता है।


== सामयिक 4-मनिफोल्ड ==
== सामयिक 4-मैनिफोल्ड ==
मात्र संयोजित सुसम्बद्ध 4-मनिफोल्ड का [[होमोटॉपी प्रकार]] मात्र मध्य आयामी समरूपता पर प्रतिच्छेदन के रूप (4-मनिफोल्ड ) पर निर्भर करता है। {{harvs|txt=yes|first=माइकल|last=फ्रीडमैन|authorlink=Michael Freedman|year=1982}} के एक प्रसिद्ध प्रमेय का तात्पर्य है कि [[होमियोमोर्फिज्म]] प्रकार का मनिफोल्ड  मात्र इस प्रतिच्छेदन के रूप पर निर्भर करता है, और एक <math>\Z/2\Z</math> निश्चर पर जिसे किर्बी-सीबेनमैन निश्चर कहा जाता है, और इसके अतिरिक्त [[यूनिमॉड्यूलर जाली]] और किर्बी-सीबेनमैन निश्चर का प्रत्येक संयोजन उत्पन्न हो सकता है, अतिरिक्त इसके कि यदि रूप सम है, तो किर्बी-सीबेनमैन निश्चर को हस्ताक्षर/8 (मॉड 2) होना चाहिए।
मात्र संयोजित सुसम्बद्ध 4-मैनिफोल्ड का [[होमोटॉपी प्रकार]] मात्र मध्य आयामी समरूपता पर प्रतिच्छेदन के रूप(4-मैनिफोल्ड) पर निर्भर करता है। {{harvs|txt=yes|first=माइकल|last=फ्रीडमैन|authorlink=Michael Freedman|year=1982}} की एक प्रसिद्ध प्रमेय का तात्पर्य है कि [[होमियोमोर्फिज्म]] प्रकार का मैनिफोल्ड मात्र इस प्रतिच्छेदन के रूप पर निर्भर करता है, और एक <math>\Z/2\Z</math> अपरिवर्तनीय पर जिसे किर्बी-सीबेनमैन अपरिवर्तनीय कहा जाता है, और इसके अतिरिक्त [[यूनिमॉड्यूलर जाली]] और किर्बी-सीबेनमैन अपरिवर्तनीय का प्रत्येक संयोजन उत्पन्न हो सकता है, अतिरिक्त इसके कि यदि रूप सम है, तो किर्बी-सीबेनमैन अपरिवर्तनीय को हस्ताक्षर/8(मॉड 2) होना चाहिए।


उदाहरण:
उदाहरण:
* विशेष स्थिति में जब रूप 0 होता है, तो इसका तात्पर्य 4-आयामी स्थलीय पोंकारे अनुमान से है।
* विशेष स्थिति में जब रूप 0 होता है, तो इसका तात्पर्य 4-आयामी स्थलीय पोंकारे अनुमान से है।
*यदि रूप E8 जाली है, तो यह मनिफोल्ड देता है जिसे E8 मनिफोल्ड कहा जाता है, किसी भी साधारण परिसर के लिए मनिफोल्ड होमियोमॉर्फिक नहीं।
*यदि रूप E8 जाली है, तो यह मैनिफोल्ड देता है जिसे E8 मैनिफोल्ड कहा जाता है, किसी भी साधारण परिसर के लिए मैनिफोल्ड होमियोमॉर्फिक नहीं।
*यदि रूप <math>\Z</math> है , किर्बी-सीबेनमैन निश्चर के आधार पर दो मनिफोल्ड हैं: एक 2-आयामी जटिल प्रक्षेपीय स्थान है, और दूसरा काल्पनिक प्रक्षेपीय स्थान है, जिसमें एक ही समस्थेयता प्रकार है परन्तु होमोमोर्फिक नहीं है (और कोई सुचारु संरचना नहीं है)।
*यदि रूप <math>\Z</math> है, किर्बी-सीबेनमैन अपरिवर्तनीय के आधार पर दो मैनिफोल्ड हैं: एक 2-आयामी जटिल प्रक्षेपीय समष्टि है, और दूसरा काल्पनिक प्रक्षेपीय समष्टि है, जिसमें एक ही समस्थेयता प्रकार है परन्तु होमोमोर्फिक नहीं है(और कोई सुचारु संरचना नहीं है)।
*जब रूप का पद लगभग 28 से अधिक होता है, तो यूनिमॉड्यूलर जाली वर्गीकरण पद के साथ बहुत तीव्रता से बढ़ना प्रारम्भ हो जाता है, इसलिए बड़ी संख्या में मात्र जुड़े हुए सामयिक 4-मनिफोल्ड होते हैं (जिनमें से अधिकांश में लगभग कोई रुचि नहीं प्रतीत होती है)।
*जब रूप का पद लगभग 28 से अधिक होता है, तो यूनिमॉड्यूलर जाली वर्गीकरण पद के साथ बहुत तीव्रता से बढ़ना प्रारम्भ हो जाता है, इसलिए बड़ी संख्या में मात्र संयोजित सामयिक 4-मैनिफोल्ड होते हैं(जिनमें से अधिकांश में लगभग कोई रुचि नहीं प्रतीत होती है)।


फ्रीडमैन के वर्गीकरण को कुछ विषयों में विस्तारित किया जा सकता है जब मौलिक समूह बहुत जटिल नहीं है; उदाहरण के लिए, जब यह <math>\Z</math> होता है, <math>\Z</math> के समूह वलय पर हर्मिटियन रूपों का उपयोग करते हुए उपरोक्त के समान एक वर्गीकरण होता है। यदि मौलिक समूह बहुत बड़ा है (उदाहरण के लिए, 2 उत्पादक पर एक मुक्त समूह), तो फ्रीडमैन की तकनीकें विफल होने लगती हैं और इस प्रकारके मनिफोल्ड के विषय में बहुत कम जानकारी है।
फ्रीडमैन के वर्गीकरण को कुछ विषयों में विस्तारित किया जा सकता है जब मौलिक समूह बहुत जटिल नहीं है; उदाहरण के लिए, जब यह <math>\Z</math> होता है, <math>\Z</math> के समूह वलय पर हर्मिटियन रूपों का उपयोग करते हुए उपरोक्त के समान एक वर्गीकरण होता है। यदि मौलिक समूह बहुत बड़ा है(उदाहरण के लिए, 2 उत्पादक पर एक मुक्त समूह), तो फ्रीडमैन की तकनीकें विफल होने लगती हैं और इस प्रकारके मैनिफोल्ड के विषय में बहुत कम जानकारी है।


किसी भी सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत समूह के लिए इसके मूलभूत समूह के रूप में एक (सुचारु) सुसम्बद्ध 4-मनिफोल्ड बनाना सरल है। जैसा कि यह बताने के लिए कोई एल्गोरिथम नहीं है कि क्या दो सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत किए गए समूह समरूप हैं (यद्यपि एक को नगण्य माना जाता है) यह बताने के लिए कोई एल्गोरिथम नहीं है कि क्या दो 4-मनिफोल्ड  में एक ही मौलिक समूह है। यह एक कारण है कि क्यों 4-मनिफोल्ड  पर अधिकतर काम मात्र जुड़े हुए विषय पर विचार करता है: कई समस्याओं का सामान्य विषय पूर्व से ही अशिष्ट होने के लिए जाना जाता है।
किसी भी सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत समूह के लिए इसके मूलभूत समूह के रूप में एक(सुचारु) सुसम्बद्ध 4-मैनिफोल्ड बनाना सरल है। जैसा कि यह बताने के लिए कोई कलन विधि नहीं है कि क्या दो सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत किए गए समूह समरूप हैं(यद्यपि एक को नगण्य माना जाता है) यह बताने के लिए कोई कलन विधि नहीं है कि क्या दो 4-मैनिफोल्ड में एक ही मौलिक समूह है। यह एक कारण है कि क्यों 4-मैनिफोल्ड पर अधिकतर काम मात्र संयोजित विषय पर विचार करता है: कई समस्याओं का सामान्य विषय पूर्व से ही अशिष्ट होने के लिए जाना जाता है।


== सुचारु 4-मनिफोल्ड ==
== सुचारु 4-मैनिफोल्ड ==
अधिकतम 6 आयामों के मनिफोल्ड के लिए, किसी भी भाग की रैखिक (पीएल) संरचना को अनिवार्य रूप से अद्वितीय विधि से सुचारु किया जा सकता है,<ref>{{citation
अधिकतम 6 आयामों के मैनिफोल्ड के लिए, किसी भी भाग की रैखिक(पीएल) संरचना को अनिवार्य रूप से अद्वितीय विधि से सुचारु किया जा सकता है,<ref>{{citation
  | last = Milnor | first = John | authorlink = John Milnor
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  | year = 2011}}.</ref> इसलिए विशेष रूप से 4 आयामी [[ पीएल कई गुना | पीएल मनिफोल्ड]]   का सिद्धांत 4 आयामी सुचारु मनिफोल्ड  के सिद्धांत के समान है।
  | year = 2011}}.</ref> इसलिए विशेष रूप से 4 आयामी [[ पीएल कई गुना |पीएल मैनिफोल्ड]] का सिद्धांत 4 आयामी सुचारु मैनिफोल्ड के सिद्धांत के समान है।


सुचारु 4-मनिफोल्ड के सिद्धांत में एक बड़ी खुली समस्या है, मात्र जुड़े हुए सुसम्बद्ध वाले को वर्गीकृत करना। जैसा कि सामयिक ज्ञात हैं, यह दो भागों में विभाजित है:
सुचारु 4-मैनिफोल्ड के सिद्धांत में एक बड़ी खुली समस्या है, मात्र संयोजित सुसम्बद्ध वाले को वर्गीकृत करना। जैसा कि सामयिक ज्ञात हैं, यह दो भागों में विभाजित है:
# कौन से सामयिक मनिफोल्ड  सुचारु हैं?
# कौन से सामयिक मैनिफोल्ड सुचारु हैं?
# विभिन्न सुचारु संरचनाओं को एक सुगम मनिफोल्ड  पर वर्गीकृत करें।
# विभिन्न सुचारु संरचनाओं को एक सुगम मैनिफोल्ड पर वर्गीकृत करें।


प्रथम समस्या का लगभग पूर्ण उत्तर है, जिसमें मात्र सुसम्बद्ध 4-मनिफोल्ड  से जुड़ी सुचारु संरचनाएं हैं। सबसे पूर्व, किर्बी-सीबेनमैन वर्ग को अंतर्धान होना चाहिए।
प्रथम समस्या का लगभग पूर्ण उत्तर है, जिसमें मात्र सुसम्बद्ध 4-मैनिफोल्ड से संयोजित सुचारु संरचनाएं हैं। सबसे पूर्व, किर्बी-सीबेनमैन वर्ग को अंतर्धान होना चाहिए।
*यदि प्रतिच्छेदन रूप निश्चित है डोनाल्डसन का प्रमेय {{harv|डोनाल्डसन|1983}} एक पूर्ण उत्तर देता है: एक सुचारु संरचना होती है यदि और मात्र यदि रूप विकर्णीय है।
*यदि प्रतिच्छेदन रूप निश्चित है डोनाल्डसन का प्रमेय {{harv|डोनाल्डसन|1983}} एक पूर्ण उत्तर देता है: एक सुचारु संरचना होती है यदि और मात्र यदि रूप विकर्णीय है।
*यदि रूप अनिश्चित और विषम है तो एक सुचारु संरचना होती है।
*यदि रूप अनिश्चित और विषम है तो एक सुचारु संरचना होती है।
*यदि रूप अनिश्चित है और यहां तक ​​कि हम यह भी मान सकते हैं कि यदि आवश्यक हो तो निर्देशन बदलकर यह गैर-सकारात्मक हस्ताक्षर का है, जिस स्थिति में यह कुछ m और n के लिए E8(−1) की II1,1 और 2n प्रतियों की m प्रतियों के योग के लिए समरूपी है। यदि m ≥ 3n (ताकि आयाम कम से कम 11/8 गुना |हस्ताक्षर| ) तो एक सुचारु संरचना है, जो n [[K3 सतह]]ों और S की m − 3n प्रतियों का एक जुड़ा हुआ योग लेकर दी गई है<sup>2</sup>×एस<sup>2</उप>। यदि m ≤ 2n (तो आयाम अधिक से अधिक 10/8 गुना है | हस्ताक्षर |) तो फुरुता ने साबित किया कि कोई सुचारु संरचना स्थित नहीं है {{harv|Furuta|2001}}। यह 10/8 और 11/8 के बीच एक छोटा सा अंतर छोड़ देता है जहां उत्तर अधिकतर अज्ञात होता है। (सबसे छोटे विषय में ऊपर कवर नहीं किया गया है n=2 और m=5, परन्तु इसे भी खारिज कर दिया गया है, इसलिए सबसे छोटा जाली जिसके लिए वर्तमान में उत्तर ज्ञात नहीं है, जाली II है<sub>7,55</sub> पद 62 की n=3 और m=7 के साथ। देखना <ref>{{cite arXiv  | last1 = Hopkins | first1 = Michael J. | authorlink = Michael J. Hopkins  | last2 = Lin | first2 = Jianfeng  | last3 = Shi | first3 = XiaoLin  | last4 = Xu | first4 = Zhouli  | title = Intersection Forms of Spin 4-Manifolds and the Pin(2)-Equivariant Mahowald Invariant  | year = 2019  | class = math.AT | eprint = 1812.04052  | mode=cs2 }}.</ref> इस क्षेत्र में हाल ही में (2019 तक) प्रगति के लिए।) 11/8 अनुमान बताता है कि यदि आयाम 11/8 गुना से कम है तो सुचारु संरचनाएं स्थित नहीं हैं।
*यदि रूप अनिश्चित है और यहां तक ​​कि हम यह भी मान सकते हैं कि यदि आवश्यक हो तो निर्देशन बदलकर यह गैर-सकारात्मक हस्ताक्षर का है, जिस स्थिति में यह कुछ m और n के लिए E8(−1) की II1,1 और 2n प्रतियों की m प्रतियों के योग के लिए समरूपी है। यदि m ≥ 3n(ताकि आयाम कम से कम 11/8 गुना |हस्ताक्षर|) तो एक सुचारु संरचना है, जो n [[K3 सतह|K3 सतहों]] और m − 3n ''S''<sup>2</sup>×''S''<sup>2</sup> की प्रतियों का एक संयोजित योग लेकर दिया गया है। यदि m ≤ 2n(तो आयाम अधिक से अधिक 10/8 गुना है | हस्ताक्षर |) तो फुरुता ने सिद्ध किया कि कोई सुचारु सरंचना स्थित नहीं है । यह 10/8 और 11/8 के बीच एक छोटा सा अंतर छोड़ देता है जहां उत्तर अधिकतर ज्ञात होता है।(उपर्युक्त सबसे छोटी स्थित में n = 2 और m = 5 है, परन्तु बाहर कर दिया जाता है, इसलिए सबसे छोटी जाली जिसके लिए उत्तर वर्तमान में ज्ञात नहीं है, वह जाली II<sub>7,55</sub> पद 62 का n = 3 और m = 7 है। इस क्षेत्र में वर्त्तमान की(2019 तक) प्रगति के लिए देखें।<ref>{{cite arXiv  | last1 = Hopkins | first1 = Michael J. | authorlink = Michael J. Hopkins  | last2 = Lin | first2 = Jianfeng  | last3 = Shi | first3 = XiaoLin  | last4 = Xu | first4 = Zhouli  | title = Intersection Forms of Spin 4-Manifolds and the Pin(2)-Equivariant Mahowald Invariant  | year = 2019  | class = math.AT | eprint = 1812.04052  | mode=cs2 }}.</ref>) "11/8 अनुमान" बताता है कि यदि आयाम 11/8 गुना से कम है तो सुचारु संरचनाएं स्थित नहीं हैं।


इसके विपरीत, सुचारु 4-मनिफोल्ड पर सुचारु संरचनाओं को वर्गीकृत करने के दूसरे प्रश्न के विषय में बहुत कम जानकारी है; वास्तव में, वहाँ एक भी सुचारु 4-मनिफोल्ड नहीं है जहाँ उत्तर ज्ञात हो। डोनाल्डसन ने दिखाया कि कुछ सरल रूप से जुड़े सुसम्बद्ध 4-मनिफोल्ड हैं, जैसे कि [[डोलगाचेव सतह]]ें, अलग-अलग सुचारु संरचनाओं की अनगिनत अनंत संख्या के साथ। R पर विभिन्न सुचारु संरचनाओं की एक बेशुमार संख्या है<sup>4</sup>; विदेशी R4 देखें|विदेशी R<sup>4</उप>।
इसके विपरीत, सुचारु 4-मैनिफोल्ड पर सुचारु संरचनाओं को वर्गीकृत करने के दूसरे प्रश्न के विषय में बहुत कम जानकारी है; वस्तुतः, वहाँ एक भी सुचारु 4-मैनिफोल्ड नहीं है जहाँ उत्तर ज्ञात हो। डोनाल्डसन ने दिखाया कि कुछ सरल रूप से संयोजित सुसम्बद्ध 4-मैनिफोल्ड हैं, जैसे कि [[डोलगाचेव सतह|डोलगाचेव सतहें]], अलग-अलग सुचारु संरचनाओं की अगणनीय अनंत संख्या के साथ। R<sup>4</sup> पर विभिन्न सुचारु संरचनाओं की एक अगणनीय संख्या है विजातीय R<sup>4 देखें । फिंट्यूशेल और स्टर्न ने दिखाया कि कई अलग-अलग मैनिफोल्ड पर बड़ी संख्या में अलग-अलग सुचारु संरचनाओं(एकपक्षीय अभिन्न बहुपदों द्वारा अनुक्रमित) के निर्माण के लिए सर्जरी का उपयोग कैसे किया जाता है, यह दिखाने के लिए कि सुचारु संरचनाएं अलग-अलग हैं। उनके परिणाम बताते हैं कि सरलता से से संयोजित सुचारु 4-मैनिफोल्ड का कोई वर्गीकरण बहुत जटिल होगा। यह वर्गीकरण कैसा दिख सकता है, इसके विषय में वर्तमान में कोई सत्याभासी अनुमान नहीं है।(कुछ प्रारंभिक अनुमान हैं कि सभी सरलता से से संयोजित सुचारु 4-मैनिफोल्ड बीजगणितीय सतहों के संयोजित योग हो सकते हैं, या [[सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड]], संभवतः विपरीत झुकाव के साथ, अस्वीकृत कर दिया गया है।)  
फिंट्यूशेल और स्टर्न ने दिखाया कि कई अलग-अलग मनिफोल्ड  पर बड़ी संख्या में अलग-अलग सुचारु संरचनाओं (मनमानी अभिन्न बहुपदों द्वारा अनुक्रमित) के निर्माण के लिए सर्जरी का उपयोग कैसे किया जाता है, यह दिखाने के लिए कि सुचारु संरचनाएं अलग-अलग हैं। उनके नतीजे बताते हैं कि सरल ी से जुड़े सुचारु 4-मनिफोल्ड का कोई वर्गीकरण बहुत जटिल होगा। यह वर्गीकरण कैसा दिख सकता है, इसके विषय में वर्तमान में कोई प्रशंसनीय अनुमान नहीं है। (कुछ शुरुआती अनुमान हैं कि सभी सरल ी से जुड़े सुचारु 4-मनिफोल्ड बीजगणितीय सतहों के जुड़े योग हो सकते हैं, या [[सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड|सिंपलेक्टिक मनिफोल्ड]] , संभवतः उलटा झुकाव के साथ, अस्वीकृत कर दिया गया है।)


==4 आयामों में विशेष घटनाएं==
==4 आयामों में विशेष घटनाएं==
मनिफोल्ड  के विषय में कई मौलिक प्रमेय हैं जो कम से कम 3 आयामों में कम-आयामी विधियों द्वारा और कम से कम 5 आयामों में पूर्ण रूप से भिन्न उच्च-आयामी विधियों द्वारा सिद्ध किए जा सकते हैं, परन्तु जो आयाम 4 में गलत हैं। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:
मैनिफोल्ड के विषय में कई मौलिक प्रमेय हैं जो कम से कम 3 आयामों में कम-आयामी विधियों द्वारा और कम से कम 5 आयामों में पूर्ण रूप से भिन्न उच्च-आयामी विधियों द्वारा सिद्ध किए जा सकते हैं, परन्तु जो आयाम 4 में असत्य हैं। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:


*4 के अतिरिक्त अन्य आयामों में, किर्बी-सीबेनमैन अपरिवर्तनीय पीएल संरचना के अस्तित्व में बाधा प्रदान करता है; दूसरे शब्दों में एक सुसम्बद्ध सामयिक मनिफोल्ड  में पीएल संरचना होती है यदि और मात्र यदि एच में किर्बी-सीबेनमैन  निश्चर<sup>4</sup>(M,'Z'/2'Z') अंतर्धान हो जाता है। आयाम 3 और निचले में, प्रत्येक सामयिक मनिफोल्ड  अनिवार्य रूप से अद्वितीय पीएल संरचना को स्वीकार करता है। आयाम 4 में अंतर्धान होने वाले किर्बी-सीबेनमैन निश्चर के कई उदाहरण हैं परन्तु कोई पीएल संरचना नहीं है।
*4 के अतिरिक्त अन्य आयामों में, किर्बी-सीबेनमैन अपरिवर्तनीय पीएल संरचना के अस्तित्व में बाधा प्रदान करता है; दूसरे शब्दों में एक सुसम्बद्ध सामयिक मैनिफोल्ड में पीएल संरचना होती है यदि और मात्र यदि H<sup>4</sup>(M,'Z'/2'Z') में इसका किर्बी-सीबेनमैन अपरिवर्तनीयअंतर्धान हो जाता है। आयाम 3 और निम्नमें, प्रत्येक सामयिक मैनिफोल्ड अनिवार्य रूप से अद्वितीय पीएल संरचना को स्वीकार करता है। आयाम 4 में अंतर्धान होने वाले किर्बी-सीबेनमैन अपरिवर्तनीय के कई उदाहरण हैं परन्तु कोई पीएल संरचना नहीं है।
*4 के अतिरिक्त किसी भी आयाम में, एक सुसम्बद्ध सामयिक मनिफोल्ड  में अनिवार्य रूप से विशिष्ट पीएल या सुचारु संरचनाओं की मात्र एक सीमित संख्या होती है। आयाम 4 में, सुसम्बद्ध मनिफोल्ड  में गैर-डिफियोमॉर्फिक सुचारु संरचनाओं की संख्या अनंत संख्या में हो सकती है।
*4 के अतिरिक्त किसी भी आयाम में, एक सुसम्बद्ध सामयिक मैनिफोल्ड में अनिवार्य रूप से विशिष्ट पीएल या सुचारु संरचनाओं की मात्र एक सीमित संख्या होती है। आयाम 4 में, सुसम्बद्ध मैनिफोल्ड में गैर-डिफियोमॉर्फिक सुचारु संरचनाओं की संख्या अनंत संख्या में हो सकती है।
*चार ही एकमात्र आयाम n है जिसके लिए 'R'<sup>n</sup> में आकर्षक सुचारु संरचना हो सकती है। 'आर'<sup>4</sup> में विदेशी सुचारु संरचनाओं की एक बेशुमार संख्या है; विदेशी R4 देखें|विदेशी R<sup>4</उप>।
*चार एकमात्र आयाम n है जिसके लिए 'R'<sup>n</sup> में विजातीय सुचारु संरचना हो सकती है। 'R'<sup>4</sup> में विजातीय सुचारु संरचनाओं की एक अगणनीय संख्या है; विजातीय R<sup>4 देखें ।
*सुचारू पॉइनकेयर अनुमान का समाधान 4 के अतिरिक्त अन्य सभी आयामों में जाना जाता है (यह आमतौर पर कम से कम 7 आयामों में झूठा होता है; [[विदेशी क्षेत्र]] देखें)। पीएल मनिफोल्ड  के लिए पोंकारे अनुमान 4 के अतिरिक्त अन्य सभी आयामों के लिए सिद्ध किया गया है, परन्तु यह ज्ञात नहीं है कि यह 4 आयामों में सच है या नहीं (यह 4 आयामों में सुचारु पोंकारे अनुमान के बराबर है)।
*सुचारू पॉइनकेयर अनुमान का समाधान 4 के अतिरिक्त अन्य सभी आयामों में जाना जाता है(यह सामान्यतः कम से कम 7 आयामों में असत्य होता है; [[विदेशी क्षेत्र|विजातीय क्षेत्र]] देखें)। पीएल मैनिफोल्ड के लिए पोंकारे अनुमान 4 के अतिरिक्त अन्य सभी आयामों के लिए सिद्ध किया गया है, परन्तु यह ज्ञात नहीं है कि यह 4 आयामों में सत्य है या नहीं(यह 4 आयामों में सुचारु पोंकारे अनुमान के बराबर है)।
* सहज एच-कोबोर्डवाद प्रमेय सह-बोर्डवाद के लिए मान्य है, बशर्ते कि न तो सह-बोर्डवाद और न ही इसकी सीमा का आयाम 4 हो। यह विफल हो सकता है यदि सह-बोर्डवाद की सीमा का आयाम 4 हो (जैसा कि [[साइमन डोनाल्डसन]] द्वारा दिखाया गया है)।<ref>{{Cite journal |last=Donaldson |first=Simon K. |title=तर्कहीनता और एच-कोबर्डिज्म अनुमान|journal=J. Differential Geom. |volume=26 |issue=1 |year=1987 |pages=141–168 |doi=10.4310/jdg/1214441179 |mr=0892034 | url=http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214441179 |doi-access=free }}</ref> यदि सह-बोर्डवाद का आयाम 4 है, तो यह अज्ञात है कि एच-सह-बोर्डवाद प्रमेय धारण करता है या नहीं।
* सहज h-कोबोर्डवाद प्रमेय सह-बोर्डवाद के लिए मान्य है, अथवा न तो सह-बोर्डवाद और न ही इसकी सीमा का आयाम 4 हो। यह विफल हो सकता है यदि सह-बोर्डवाद की सीमा का आयाम 4 हो(जैसा कि [[साइमन डोनाल्डसन]] द्वारा दिखाया गया है)।<ref>{{Cite journal |last=Donaldson |first=Simon K. |title=तर्कहीनता और एच-कोबर्डिज्म अनुमान|journal=J. Differential Geom. |volume=26 |issue=1 |year=1987 |pages=141–168 |doi=10.4310/jdg/1214441179 |mr=0892034 | url=http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214441179 |doi-access=free }}</ref> यदि सह-बोर्डवाद का आयाम 4 है, तो यह अज्ञात है कि h-सह-बोर्डवाद प्रमेय धारण करता है या नहीं।
* 4 के बराबर नहीं होने वाले आयाम के एक सामयिक मनिफोल्ड  में एक हैंडलबॉडी अपघटन है। डायमेंशन 4 के मनिफोल्ड  में एक हैंडलबॉडी अपघटन होता है यदि और मात्र यदि वे चिकने हों।
* 4 के बराबर नहीं होने वाले आयाम के सामयिक मैनिफोल्ड में एक हैंडलबॉडी अपघटन है। आयाम 4 के मैनिफोल्ड में एक हैंडलबॉडी अपघटन होता है यदि और मात्र यदि वे सुचारु हों।
* सुसम्बद्ध 4-आयामी सामयिक मनिफोल्ड  हैं जो किसी भी साधारण जटिल के लिए होमोमोर्फिक नहीं हैं। आयाम में कम से कम 5 सामयिक मनिफोल्ड  का अस्तित्व एक साधारण जटिल के लिए होमोमोर्फिक नहीं एक खुली समस्या थी। [[सिप्रियन मनोलेस्कु]] ने दिखाया कि 5 से अधिक या उसके बराबर प्रत्येक आयाम में मनिफोल्ड हैं, जो एक साधारण जटिल के लिए होमोमोर्फिक नहीं हैं।<ref>{{cite journal |first=Ciprian |last=Manolescu |authorlink=Ciprian Manolescu| title=Pin(2)-equivariant Seiberg–Witten Floer homology and the Triangulation Conjecture |journal=[[Journal of the American Mathematical Society|J. Amer. Math. Soc.]] |volume=29 |year=2016 |pages=147–176 |doi=10.1090/jams829|arxiv=1303.2354 |s2cid=16403004 }}</ref>
* सुसम्बद्ध 4-आयामी सामयिक मैनिफोल्ड हैं जो किसी भी साधारण जटिल के लिए होमोमोर्फिक नहीं हैं। आयाम में कम से कम 5 सामयिक मैनिफोल्ड का अस्तित्व एक साधारण जटिल के लिए होमोमोर्फिक नहीं एक खुली समस्या थी। [[सिप्रियन मनोलेस्कु]] ने दिखाया कि 5 से अधिक या उसके बराबर प्रत्येक आयाम में मैनिफोल्ड हैं, जो एक साधारण जटिल के लिए होमोमोर्फिक नहीं हैं।<ref>{{cite journal |first=Ciprian |last=Manolescu |authorlink=Ciprian Manolescu| title=Pin(2)-equivariant Seiberg–Witten Floer homology and the Triangulation Conjecture |journal=[[Journal of the American Mathematical Society|J. Amer. Math. Soc.]] |volume=29 |year=2016 |pages=147–176 |doi=10.1090/jams829|arxiv=1303.2354 |s2cid=16403004 }}</ref>




== आयाम 4 == में व्हिटनी चाल की विफलता ==
== आयाम 4 में व्हिटनी चाल की विफलता ==
[[फ्रैंक क्विन (गणितज्ञ)|फ्पद क्विन (गणितज्ञ)]] के अनुसार, आयाम 2n के मनिफोल्ड के दो एन-आयामी सबमनिफोल्ड आमतौर पर अलग-अलग बिंदुओं में खुद को और एक-दूसरे को काटते हैं। व्हिटनी एम्बेडिंग प्रमेय # सबूत के विषय में थोड़ा | व्हिटनी ट्रिक इन चौराहों को सरल बनाने के लिए एक एम्बेडेड 2-डिस्क में एक आइसोटोप का उपयोग करती है। मोटे तौर पर यह 2-डिस्क के एम्बेडिंग के लिए एन-डायमेंशनल एम्बेडिंग के अध्ययन को कम करता है। परन्तु यह कमी नहीं है जब एम्बेडिंग 4 है: 2 डिस्क स्वयं मध्य-आयामी हैं, इसलिए उन्हें एम्बेड करने का प्रयास ठीक उसी समस्या का सामना करता है जिसे वे हल करने वाले हैं। यही वह परिघटना है जो आयाम 4 को दूसरों से अलग करती है।<ref>{{cite book |author=Quinn, F.|editor1=Ranicki, A. |editor2=Yamasaki, M. |year=1996 |url=http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0176/josai.pdf |chapter=Problems in low-dimensional topology|title=Surgery and Geometric Topology: Proceedings of a conference held at Josai University, Sakado, Sept. 1996 |pages=97–104}}</ref>
[[फ्रैंक क्विन (गणितज्ञ)|फ्पद क्विन(गणितज्ञ)]] के अनुसार, आयाम 2n के मैनिफोल्ड के दो n-आयामी उपमैनिफोल्ड सामान्यतः अलग-अलग बिंदुओं में स्वयं को और एक-दूसरे को काटते हैं। व्हिटनी ट्रिक इन प्रतिच्छेदन को सरल बनाने के लिए एक अंत:स्थापन 2-डिस्क में एक आइसोटोप का उपयोग करती है। साधारणतया यह 2-डिस्क के अंत:स्थापन के लिए n-आयामी अंत:स्थापन के अध्ययन को कम करता है। परन्तु यह कमी नहीं है जब अंत:स्थापन 4 है: 2 डिस्क स्वयं मध्य-आयामी हैं, इसलिए उन्हें अंत:स्थापन करने का प्रयास ठीक उसी समस्या का सामना करता है जिसे वे हल करने वाले हैं। यही वह परिघटना है जो आयाम 4 को दूसरों से अलग करती है।<ref>{{cite book |author=Quinn, F.|editor1=Ranicki, A. |editor2=Yamasaki, M. |year=1996 |url=http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0176/josai.pdf |chapter=Problems in low-dimensional topology|title=Surgery and Geometric Topology: Proceedings of a conference held at Josai University, Sakado, Sept. 1996 |pages=97–104}}</ref>




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गणित में, 4-मैनिफोल्ड एक 4-आयामी सामयिक मैनिफोल्ड है। एक सुचारु 4-मैनिफोल्ड एक सुचारु संरचना के साथ 4-मैनिफोल्ड है। आयाम चार में, निम्नआयामों के साथ स्पष्ट विपरीतता में, सामयिक और सुचारु मैनिफोल्ड अत्यधिक अलग हैं। कुछ सामयिक 4-मैनिफोल्ड स्थित हैं जो कोई सुचारु संरचना स्वीकार नहीं करते हैं, और यहां तक ​​​​कि यदि कोई सुचारु संरचना स्थित है, तो यह अद्वितीय नहीं होना चाहिए(अर्थात सुचारु 4-मैनिफोल्ड हैं जो होमियोमॉर्फिक हैं परन्तु डिफियोमॉर्फिक नहीं हैं)।

भौतिकी में 4-मैनिफोल्ड महत्वपूर्ण हैं क्योंकि सामान्य सापेक्षता में, अंतरिक्ष-समय को छद्म-रीमैनियन 4-मैनिफोल्ड के रूप में प्रतिरूपित किया जाता है।

सामयिक 4-मैनिफोल्ड

मात्र संयोजित सुसम्बद्ध 4-मैनिफोल्ड का होमोटॉपी प्रकार मात्र मध्य आयामी समरूपता पर प्रतिच्छेदन के रूप(4-मैनिफोल्ड) पर निर्भर करता है। माइकल फ्रीडमैन (1982) की एक प्रसिद्ध प्रमेय का तात्पर्य है कि होमियोमोर्फिज्म प्रकार का मैनिफोल्ड मात्र इस प्रतिच्छेदन के रूप पर निर्भर करता है, और एक अपरिवर्तनीय पर जिसे किर्बी-सीबेनमैन अपरिवर्तनीय कहा जाता है, और इसके अतिरिक्त यूनिमॉड्यूलर जाली और किर्बी-सीबेनमैन अपरिवर्तनीय का प्रत्येक संयोजन उत्पन्न हो सकता है, अतिरिक्त इसके कि यदि रूप सम है, तो किर्बी-सीबेनमैन अपरिवर्तनीय को हस्ताक्षर/8(मॉड 2) होना चाहिए।

उदाहरण:

  • विशेष स्थिति में जब रूप 0 होता है, तो इसका तात्पर्य 4-आयामी स्थलीय पोंकारे अनुमान से है।
  • यदि रूप E8 जाली है, तो यह मैनिफोल्ड देता है जिसे E8 मैनिफोल्ड कहा जाता है, किसी भी साधारण परिसर के लिए मैनिफोल्ड होमियोमॉर्फिक नहीं।
  • यदि रूप है, किर्बी-सीबेनमैन अपरिवर्तनीय के आधार पर दो मैनिफोल्ड हैं: एक 2-आयामी जटिल प्रक्षेपीय समष्टि है, और दूसरा काल्पनिक प्रक्षेपीय समष्टि है, जिसमें एक ही समस्थेयता प्रकार है परन्तु होमोमोर्फिक नहीं है(और कोई सुचारु संरचना नहीं है)।
  • जब रूप का पद लगभग 28 से अधिक होता है, तो यूनिमॉड्यूलर जाली वर्गीकरण पद के साथ बहुत तीव्रता से बढ़ना प्रारम्भ हो जाता है, इसलिए बड़ी संख्या में मात्र संयोजित सामयिक 4-मैनिफोल्ड होते हैं(जिनमें से अधिकांश में लगभग कोई रुचि नहीं प्रतीत होती है)।

फ्रीडमैन के वर्गीकरण को कुछ विषयों में विस्तारित किया जा सकता है जब मौलिक समूह बहुत जटिल नहीं है; उदाहरण के लिए, जब यह होता है, के समूह वलय पर हर्मिटियन रूपों का उपयोग करते हुए उपरोक्त के समान एक वर्गीकरण होता है। यदि मौलिक समूह बहुत बड़ा है(उदाहरण के लिए, 2 उत्पादक पर एक मुक्त समूह), तो फ्रीडमैन की तकनीकें विफल होने लगती हैं और इस प्रकारके मैनिफोल्ड के विषय में बहुत कम जानकारी है।

किसी भी सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत समूह के लिए इसके मूलभूत समूह के रूप में एक(सुचारु) सुसम्बद्ध 4-मैनिफोल्ड बनाना सरल है। जैसा कि यह बताने के लिए कोई कलन विधि नहीं है कि क्या दो सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत किए गए समूह समरूप हैं(यद्यपि एक को नगण्य माना जाता है) यह बताने के लिए कोई कलन विधि नहीं है कि क्या दो 4-मैनिफोल्ड में एक ही मौलिक समूह है। यह एक कारण है कि क्यों 4-मैनिफोल्ड पर अधिकतर काम मात्र संयोजित विषय पर विचार करता है: कई समस्याओं का सामान्य विषय पूर्व से ही अशिष्ट होने के लिए जाना जाता है।

सुचारु 4-मैनिफोल्ड

अधिकतम 6 आयामों के मैनिफोल्ड के लिए, किसी भी भाग की रैखिक(पीएल) संरचना को अनिवार्य रूप से अद्वितीय विधि से सुचारु किया जा सकता है,[1] इसलिए विशेष रूप से 4 आयामी पीएल मैनिफोल्ड का सिद्धांत 4 आयामी सुचारु मैनिफोल्ड के सिद्धांत के समान है।

सुचारु 4-मैनिफोल्ड के सिद्धांत में एक बड़ी खुली समस्या है, मात्र संयोजित सुसम्बद्ध वाले को वर्गीकृत करना। जैसा कि सामयिक ज्ञात हैं, यह दो भागों में विभाजित है:

  1. कौन से सामयिक मैनिफोल्ड सुचारु हैं?
  2. विभिन्न सुचारु संरचनाओं को एक सुगम मैनिफोल्ड पर वर्गीकृत करें।

प्रथम समस्या का लगभग पूर्ण उत्तर है, जिसमें मात्र सुसम्बद्ध 4-मैनिफोल्ड से संयोजित सुचारु संरचनाएं हैं। सबसे पूर्व, किर्बी-सीबेनमैन वर्ग को अंतर्धान होना चाहिए।

  • यदि प्रतिच्छेदन रूप निश्चित है डोनाल्डसन का प्रमेय (डोनाल्डसन 1983) एक पूर्ण उत्तर देता है: एक सुचारु संरचना होती है यदि और मात्र यदि रूप विकर्णीय है।
  • यदि रूप अनिश्चित और विषम है तो एक सुचारु संरचना होती है।
  • यदि रूप अनिश्चित है और यहां तक ​​कि हम यह भी मान सकते हैं कि यदि आवश्यक हो तो निर्देशन बदलकर यह गैर-सकारात्मक हस्ताक्षर का है, जिस स्थिति में यह कुछ m और n के लिए E8(−1) की II1,1 और 2n प्रतियों की m प्रतियों के योग के लिए समरूपी है। यदि m ≥ 3n(ताकि आयाम कम से कम 11/8 गुना |हस्ताक्षर|) तो एक सुचारु संरचना है, जो n K3 सतहों और m − 3n S2×S2 की प्रतियों का एक संयोजित योग लेकर दिया गया है। यदि m ≤ 2n(तो आयाम अधिक से अधिक 10/8 गुना है | हस्ताक्षर |) तो फुरुता ने सिद्ध किया कि कोई सुचारु सरंचना स्थित नहीं है । यह 10/8 और 11/8 के बीच एक छोटा सा अंतर छोड़ देता है जहां उत्तर अधिकतर ज्ञात होता है।(उपर्युक्त सबसे छोटी स्थित में n = 2 और m = 5 है, परन्तु बाहर कर दिया जाता है, इसलिए सबसे छोटी जाली जिसके लिए उत्तर वर्तमान में ज्ञात नहीं है, वह जाली II7,55 पद 62 का n = 3 और m = 7 है। इस क्षेत्र में वर्त्तमान की(2019 तक) प्रगति के लिए देखें।[2]) "11/8 अनुमान" बताता है कि यदि आयाम 11/8 गुना से कम है तो सुचारु संरचनाएं स्थित नहीं हैं।

इसके विपरीत, सुचारु 4-मैनिफोल्ड पर सुचारु संरचनाओं को वर्गीकृत करने के दूसरे प्रश्न के विषय में बहुत कम जानकारी है; वस्तुतः, वहाँ एक भी सुचारु 4-मैनिफोल्ड नहीं है जहाँ उत्तर ज्ञात हो। डोनाल्डसन ने दिखाया कि कुछ सरल रूप से संयोजित सुसम्बद्ध 4-मैनिफोल्ड हैं, जैसे कि डोलगाचेव सतहें, अलग-अलग सुचारु संरचनाओं की अगणनीय अनंत संख्या के साथ। R4 पर विभिन्न सुचारु संरचनाओं की एक अगणनीय संख्या है विजातीय R4 देखें । फिंट्यूशेल और स्टर्न ने दिखाया कि कई अलग-अलग मैनिफोल्ड पर बड़ी संख्या में अलग-अलग सुचारु संरचनाओं(एकपक्षीय अभिन्न बहुपदों द्वारा अनुक्रमित) के निर्माण के लिए सर्जरी का उपयोग कैसे किया जाता है, यह दिखाने के लिए कि सुचारु संरचनाएं अलग-अलग हैं। उनके परिणाम बताते हैं कि सरलता से से संयोजित सुचारु 4-मैनिफोल्ड का कोई वर्गीकरण बहुत जटिल होगा। यह वर्गीकरण कैसा दिख सकता है, इसके विषय में वर्तमान में कोई सत्याभासी अनुमान नहीं है।(कुछ प्रारंभिक अनुमान हैं कि सभी सरलता से से संयोजित सुचारु 4-मैनिफोल्ड बीजगणितीय सतहों के संयोजित योग हो सकते हैं, या सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड, संभवतः विपरीत झुकाव के साथ, अस्वीकृत कर दिया गया है।)

4 आयामों में विशेष घटनाएं

मैनिफोल्ड के विषय में कई मौलिक प्रमेय हैं जो कम से कम 3 आयामों में कम-आयामी विधियों द्वारा और कम से कम 5 आयामों में पूर्ण रूप से भिन्न उच्च-आयामी विधियों द्वारा सिद्ध किए जा सकते हैं, परन्तु जो आयाम 4 में असत्य हैं। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

  • 4 के अतिरिक्त अन्य आयामों में, किर्बी-सीबेनमैन अपरिवर्तनीय पीएल संरचना के अस्तित्व में बाधा प्रदान करता है; दूसरे शब्दों में एक सुसम्बद्ध सामयिक मैनिफोल्ड में पीएल संरचना होती है यदि और मात्र यदि H4(M,'Z'/2'Z') में इसका किर्बी-सीबेनमैन अपरिवर्तनीयअंतर्धान हो जाता है। आयाम 3 और निम्नमें, प्रत्येक सामयिक मैनिफोल्ड अनिवार्य रूप से अद्वितीय पीएल संरचना को स्वीकार करता है। आयाम 4 में अंतर्धान होने वाले किर्बी-सीबेनमैन अपरिवर्तनीय के कई उदाहरण हैं परन्तु कोई पीएल संरचना नहीं है।
  • 4 के अतिरिक्त किसी भी आयाम में, एक सुसम्बद्ध सामयिक मैनिफोल्ड में अनिवार्य रूप से विशिष्ट पीएल या सुचारु संरचनाओं की मात्र एक सीमित संख्या होती है। आयाम 4 में, सुसम्बद्ध मैनिफोल्ड में गैर-डिफियोमॉर्फिक सुचारु संरचनाओं की संख्या अनंत संख्या में हो सकती है।
  • चार एकमात्र आयाम n है जिसके लिए 'R'n में विजातीय सुचारु संरचना हो सकती है। 'R'4 में विजातीय सुचारु संरचनाओं की एक अगणनीय संख्या है; विजातीय R4 देखें ।
  • सुचारू पॉइनकेयर अनुमान का समाधान 4 के अतिरिक्त अन्य सभी आयामों में जाना जाता है(यह सामान्यतः कम से कम 7 आयामों में असत्य होता है; विजातीय क्षेत्र देखें)। पीएल मैनिफोल्ड के लिए पोंकारे अनुमान 4 के अतिरिक्त अन्य सभी आयामों के लिए सिद्ध किया गया है, परन्तु यह ज्ञात नहीं है कि यह 4 आयामों में सत्य है या नहीं(यह 4 आयामों में सुचारु पोंकारे अनुमान के बराबर है)।
  • सहज h-कोबोर्डवाद प्रमेय सह-बोर्डवाद के लिए मान्य है, अथवा न तो सह-बोर्डवाद और न ही इसकी सीमा का आयाम 4 हो। यह विफल हो सकता है यदि सह-बोर्डवाद की सीमा का आयाम 4 हो(जैसा कि साइमन डोनाल्डसन द्वारा दिखाया गया है)।[3] यदि सह-बोर्डवाद का आयाम 4 है, तो यह अज्ञात है कि h-सह-बोर्डवाद प्रमेय धारण करता है या नहीं।
  • 4 के बराबर नहीं होने वाले आयाम के सामयिक मैनिफोल्ड में एक हैंडलबॉडी अपघटन है। आयाम 4 के मैनिफोल्ड में एक हैंडलबॉडी अपघटन होता है यदि और मात्र यदि वे सुचारु हों।
  • सुसम्बद्ध 4-आयामी सामयिक मैनिफोल्ड हैं जो किसी भी साधारण जटिल के लिए होमोमोर्फिक नहीं हैं। आयाम में कम से कम 5 सामयिक मैनिफोल्ड का अस्तित्व एक साधारण जटिल के लिए होमोमोर्फिक नहीं एक खुली समस्या थी। सिप्रियन मनोलेस्कु ने दिखाया कि 5 से अधिक या उसके बराबर प्रत्येक आयाम में मैनिफोल्ड हैं, जो एक साधारण जटिल के लिए होमोमोर्फिक नहीं हैं।[4]


आयाम 4 में व्हिटनी चाल की विफलता

फ्पद क्विन(गणितज्ञ) के अनुसार, आयाम 2n के मैनिफोल्ड के दो n-आयामी उपमैनिफोल्ड सामान्यतः अलग-अलग बिंदुओं में स्वयं को और एक-दूसरे को काटते हैं। व्हिटनी ट्रिक इन प्रतिच्छेदन को सरल बनाने के लिए एक अंत:स्थापन 2-डिस्क में एक आइसोटोप का उपयोग करती है। साधारणतया यह 2-डिस्क के अंत:स्थापन के लिए n-आयामी अंत:स्थापन के अध्ययन को कम करता है। परन्तु यह कमी नहीं है जब अंत:स्थापन 4 है: 2 डिस्क स्वयं मध्य-आयामी हैं, इसलिए उन्हें अंत:स्थापन करने का प्रयास ठीक उसी समस्या का सामना करता है जिसे वे हल करने वाले हैं। यही वह परिघटना है जो आयाम 4 को दूसरों से अलग करती है।[5]


यह भी देखें

संदर्भ

  1. ↑ Milnor, John (2011), "Differential topology forty-six years later" (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 58 (6): 804–809, MR 2839925.
  2. ↑ Hopkins, Michael J.; Lin, Jianfeng; Shi, XiaoLin; Xu, Zhouli (2019), "Intersection Forms of Spin 4-Manifolds and the Pin(2)-Equivariant Mahowald Invariant", arXiv:1812.04052 [math.AT].
  3. ↑ Donaldson, Simon K. (1987). "तर्कहीनता और एच-कोबर्डिज्म अनुमान". J. Differential Geom. 26 (1): 141–168. doi:10.4310/jdg/1214441179. MR 0892034.
  4. ↑ Manolescu, Ciprian (2016). "Pin(2)-equivariant Seiberg–Witten Floer homology and the Triangulation Conjecture". J. Amer. Math. Soc. 29: 147–176. arXiv:1303.2354. doi:10.1090/jams829. S2CID 16403004.
  5. ↑ Quinn, F. (1996). "Problems in low-dimensional topology". In Ranicki, A.; Yamasaki, M. (eds.). Surgery and Geometric Topology: Proceedings of a conference held at Josai University, Sakado, Sept. 1996 (PDF). pp. 97–104.


बाहरी संबंध

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